最新中考数学总复习线、角、三角形专题卷

专题28解直角三角形（58题）一、单选题1．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时，位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL 为（）A ．sin a θ千米B ．sin aθ千米C ．cos a θ千米D ．cos aθ千米2．（2024·天津·2cos451- 的值等于（）A ．0B ．1C ．212-D 213．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，5AB AC ==，4sin 5B =，则BC 的长是（）A ．3B ．6C ．8D ．94．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边ABC 钢架的立柱CD AB ⊥于点D ，AB 长12m ．现将钢架立柱缩短成DE ，60BED ∠=︒．则新钢架减少用钢（）A ．(243m-B ．(243m-C ．(2463m-D ．(243m-5．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD 的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB ，小李同学在小楼房楼底B 处测得C 处的仰角为60︒，在小楼房楼顶A 处测得C 处的仰角为30︒．（AB CD 、在同一平面内，B D 、在同一水平面上），则建筑物CD 的高为（）米A ．20B ．15C ．12D ．10+6．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m 的测量仪EF 测得的仰角为45︒，小军在小明的前面5m 处用高1.5m 的测量仪CD 测得的仰角为53︒，则电子厂AB 的高度为（）（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）A ．22.7mB ．22.4mC ．21.2mD ．23.0m7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，,E F 是边BC 上两点，且BE EF FC ==，连接,,DE AF DE 与AF 相交于点G ，连接BG ．若4AB =，6BC =，则sin GBF ∠的值为（）A ．10B ．10C ．13D ．238．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（）A 5B 455C 355D 259．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是BC 边上一个动点，在BC 延长线上找一点Q ，使得点P 和点Q 关于点C 对称，连接DP AQ 、交于点M ．当点P 从B 点运动到C 点时，点M 的运动路径长为（）A ．36B 33C 32D 310．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形ABCD 中，=60B ∠︒，点E 是AB 边上的点，4AE =，8BE =，点F 是BC 上的一点，EGF △是以点G 为直角顶点，EFG ∠为30︒角的直角三角形，连结AG ．当点F 在直线BC 上运动时，线段AG 的最小值是（）A ．2B ．432-C ．23D ．411．（2024·四川泸州·512-的美感．如图，把黄金矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点B '处，AB '交CD 于点E ，则sin DAE ∠的值为（）A 55B ．12C ．35D 25512．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则sinNBC ∠BN =；⑤若12AH D H =，则112BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤二、填空题13．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A 测得该楼顶部点C 的仰角为60︒，测得底部点B 的俯角为45︒，点A 与楼BC 的水平距离50m AD =，则这栋楼的高度为m （结果保留根号）．14．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB 的高度．如图，点C 处与古树底部A 处在同一水平面上，且10AC =米，无人机从C 处竖直上升到达D 处，测得古树顶部B 的俯角为45︒，古树底部A 的俯角为65︒，则古树AB 的高度约为米（结果精确到0.1米；参考数据：sin 650.906︒≈，cos 650.423︒≈，tan 65 2.145︒≈）．15．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45︒，底端B 的俯角为63︒，则测得黄鹤楼的高度是m ．（参考数据：tan632︒≈）16．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么tan ∠=EFC ．17．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m 的点P 处，测得教学楼底端点A 的俯角为37︒，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m 至点Q 处，测得教学楼顶端点B 的俯角为45︒，则教学楼AB 的高度约为m ．（精确到1m ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）18．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 上，AF D E ⊥于点F ，CG DE ⊥于点G ．若5AD =，CG 4=，则AEF △的面积为．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD ，OM 为折痕，以点O 为圆心，OM 为半径作弧，分别交AD ，BC 于E ，F 两点，则 EF的长度为（结果保留π）．20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC 置于平面直角坐标系中，点O 的坐标为(00)，，点B 的坐标为(1)0，，点C 在第一象限，120OBC ∠=︒．将OBC △沿x 轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后，点O 的对应点为O '，点C 的对应点为C '，OC 与O C ''的交点为1A ，称点1A 为第一个“花朵”的花心，点2A 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，OBC △滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为．21．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为．22．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P 处测得瞭望台正对岸A 处的俯角为50︒，测得瞭望台顶端C 处的俯角为63.6︒，已知瞭望台BC 高12米（图中点A ，B ，C ，P 在同一平面内），那么大汶河此河段的宽AB 为米．（参考数据：3sin 405︒≈，9sin 63.610︒≈，6tan 505︒≈，tan 63.62︒≈）23．（2024·四川达州·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒．点D 在线段BC 上，45BAD ∠=︒．若4AC =，1CD =，则ABC 的面积是．24．（2024·贵州·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，AF ．若4sin 5EAF ∠=，5AE =，则AB 的长为．25．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在ABC 中，AB BC =，5tan 12B ∠=，D 为BC 上一点，且满足85BD CD =，过D 作DE AD ⊥交AC 延长线于点E ，则CEAC=．26．（2024·黑龙江绥化·中考真题）在矩形ABCD 中，4cm AB =，8cm BC =，点E 在直线AD 上，且2cm DE =，则点E 到矩形对角线所在直线的距离是cm ．三、解答题27．（2024·内蒙古通辽·0322sin60(π)-+︒--．28．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东37︒方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45︒方向上的B 处．这时，B 处距离A 处有多远？（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）29．（2024·北京·中考真题）计算：()0582sin 302π-︒+-30．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：()011(32cos 30π 6.84-+-︒-．31．（2024·广东深圳·中考真题）计算：()112cos 45 3.14124π-⎛⎫-⋅︒+-++ ⎪⎝⎭．32．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）先化简，再求值：22222111m m m m m m ⎛⎫-+÷- ⎪-+⎝⎭，其中cos60m =︒．33．（2024·吉林·中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）34．（2024·青海·018tan 452π︒+--．35．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：301tan6032(π2024)2-⎛⎫--+︒-+- ⎪⎝⎭．36．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D 处，测得操控者A 的俯角为30︒，测得楼BC 楼顶C 处的俯角为45︒，又经过人工测量得到操控者A 和大楼BC 之间的水平距离是80米，则楼BC 的高度是多少米？（点A B C D ，，，都3 1.7≈）37．（2024·内蒙古通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C 点测得杨树底端B 点的仰角是30︒，BC 长6米，在距离C 点4米处的D 点测得杨树顶端A 点的仰角为45︒，求杨树AB 的高度（精确到0.1米，AB ，BC ，CD 在同一平面内，点C ，D 在同一水平线上．参考数据：3 1.73)≈．38．（2024·湖南·中考真题）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF 的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：(1)求线段CE 和BC 的长度：(2)求底座的底面ABCD 的面积．39．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A 处投射到底部B 处，入射光线与水槽内壁AC 的夹角为A ∠；第二步：向水槽注水，水面上升到AC 的中点E 处时，停止注水．（直线NN '为法线，AO 为入射光线，OD 为折射光线．）【测量数据】如图，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O ，N ，N '在同一平面内，测得20cm AC =，45A ∠=︒，折射角32DON ∠=︒．【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：(1)求BC 的长；(2)求B ，D 之间的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin 320.52︒≈，cos320.84︒≈，tan 320.62︒≈）40．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 3 1.73≈）．41．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点,,C D E 依次在同一条水平直线上，36m,DE EC AB =⊥，垂足为C ．在D 处测得桥塔顶部B 的仰角（CDB ∠）为45︒，测得桥塔底部A 的俯角（CDA ∠）为6︒，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（CEB ∠）为31︒．(1)求线段CD 的长（结果取整数）；(2)求桥塔AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1︒≈︒≈．42．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA 的长度；(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA '释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA ''，两次位置的高度差PQ h =．根据上述条件能否求出秋千绳索OA 的长度？如果能，请用含α、β和h 的式子表示；如果不能，请说明理由．43．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点A 和湖心岛上鸟类栖息点P 之间的距离【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B ．测量A ，B 两点间的距离以及∠PAB 和PBA ∠，测量三次取平均值，得到数据：60AB =米，79PAB ∠=︒，64PBA ∠=︒．画出示意图，如图【问题解决】（1）计算A ，P 两点间的距离．（参考数据：sin640.90︒≈，sin790.98︒≈，cos790.19︒≈，sin370.60︒≈，tan370.75︒≈）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图2，选择合适的点D ，E ，F ，使得A ，D ，E 在同一条直线上，且AD DE =，DEF DAP ∠=∠，当F ，D ，P 在同一条直线上时，只需测量EF 即可．（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）①解直角三角形②三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．44．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，DB ，CE 交于点F ，DF FB =，AF DC .(1)求证：四边形AFCD 为平行四边形；(2)若90EFB ∠=︒，tan 3FEB ∠=，1EF =，求BC 的长.45．（2024·甘肃临夏·中考真题）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB 的实践活动．A 为乾元塔的顶端，AB BC ⊥，点C ，D 在点B 的正东方向，在C 点用高度为1.6米的测角仪（即 1.6CE =米）测得A 点仰角为37︒，向西平移14.5米至点D ，测得A 点仰角为45︒，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB ．（结果保留整数，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）46．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B 处发出，经水面点E 折射到池底点A 处．已知BE 与水平线的夹角36.9α=︒，点B 到水面的距离 1.20BC =m ，点A 处水深为1.20m ，到池壁的水平距离 2.50m AD =，点B C D ，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求sin sin βγ的值（精确到0.1，参考数据：sin 36.90.60︒≈，cos36.90.80︒≈，tan 36.90.75︒≈）．47．（2024·浙江·中考真题）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，AE 是BC 边上的中线，10,6,tan 1AB AD ACB ==∠=．(1)求BC 的长；(2)求sin DAE ∠的值．48．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH 垂直于地面，测角仪CD ，EF 在AH 两侧， 1.6m CD EF ==，点C 与点E 相距182m （点C ，H ，E 在同一条直线上），在D 处测得简尖顶点A 的仰角为45︒，在F 处测得筒尖顶点A 的仰角为53︒．求风电塔筒AH 的高度．（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈．）49．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P 恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离4m BQ =，仰角为α；淇淇向前走了3m 后到达点D ，透过点P 恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ 的距离 1.6m ==AB CD ，点P 到BQ 的距离 2.6m PQ =，AC 的延长线交PQ 于点E ．（注：图中所有点均在同一平面）(1)求β的大小及tan α的值；(2)求CP 的长及sin APC ∠的值．50．（2024·四川广元·中考真题）计算：()2012024π32tan 602-⎛⎫-++︒- ⎪⎝⎭．51．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sin sin αβ叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且7cos 4α=30β=︒，求该介质的折射率；(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A ，B ，C ，D 分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形2121A D D A 对角线交点O 处射入，其折射光线恰好从点C 处射出．如图②，已知60α=︒，10cm CD =，求截面ABCD 的面积．52．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB 的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．(1)请你设计测量教学楼AB 的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用,m n 等表示，测出的角用,αβ等表示），并对设计进行说明；(2)根据你测量的数据，计算教学楼AB 的高度（用字母表示）．53．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知O 和圆上一点M ．作法如下：①以点M 为圆心，OM 长为半径，作弧交O 于A ，B 两点；②延长MO 交O 于点C ；即点A ，B ，C 将O 的圆周三等分．(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将O 的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）画出的图形，连接AB ，AC ，BC ，若O 的半径为2cm ，则ABC 的周长为______cm ．54．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC ，对垂直于地面CD 的建筑物AD 的高度进行测量，BC CD ⊥于点C ．在B 处测得A 的仰角=45ABE ∠︒，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG 处，FG CD ⊥于点G ，测得A 的仰角58AFE ∠=︒，BF 的延长线交AD 于点E ，求建筑物AD 的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin580.85,cos580.53,tan58 1.60︒≈︒≈︒≈）55．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN 充电站的平面示意图，矩形ABCD 是其中一个停车位．经测量，60ABQ ∠=︒， 5.4m AB =， 1.6m CE =，GH CD ⊥，GH 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m 3 1.73≈）(1)求PQ 的长；(2)该充电站有20个停车位，求PN 的长．56．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A 点垂直下降到B 点，再垂直下降到着陆点C ，从B 点测得地面D 点的俯角为36.87︒，17AD =米，10BD =米．(1)求CD 的长；(2)若模拟装置从A 点以每秒2米的速度匀速下降到B 点，求模拟装置从A 点下降到B 点的时间．（参考数据：sin 36.870.60︒≈，cos36.870.80︒≈，tan 36.870.75︒≈）57．（2024·青海·中考真题）如图，某种摄像头识别到最远点A 的俯角α是17︒，识别到最近点B 的俯角β是45︒，该摄像头安装在距地面5m 的点C 处，求最远点与最近点之间的距离AB （结果取整数，参考数据：sin170.29︒≈，cos170.96︒≈，tan170.31︒≈）．58．（2024·陕西·中考真题）问题提出（1）如图1，在ABC 中，15AB =，30C ∠=︒，作ABC 的外接圆O ．则 ACB 的长为________；（结果保留π）问题解决（2）如图2所示，道路AB 的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D ，E ，C ，线段AD AC ，和BC 为观测步道，其中点A 和点B 为观测步道出入口，已知点E 在AC 上，且AE EC =，60DAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，1200m AB =，900m AD BC ==，现要在湿地上修建一个新观测点P ，使60DPC ∠=︒．再在线段AB 上选一个新的步道出入口点F ，并修通三条新步道PF PD PC ，，，使新步道PF 经过观测点E ，并将五边形ABCPD 的面积平分．请问：是否存在满足要求的点P 和点F ?若存在，求此时PF 的长；若不存在，请说明理由．（点A ，B ，C ，P ，D 在同一平面内，道路AB 与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）。

中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中直线y=−x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．−2D．−142．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，在Rt△ABC中AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E．若BC=8cm,BD=5cm则DE的长为（）A．2√3cm B．3cm C．4cm D．5cm4．如图，矩形纸片ABCD中AD=8cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=10cm，则AB的长为（）A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm5．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．15°6．如图，锐角∠ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为()A．20°B．40°C．60°D．70°7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，28．如图，在∠ABC中AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．若点O是等腰∠ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则∠ABC的面积为() A．2＋√3B．2√3C．2＋√3或2－√3D．4＋2√3或2－√3310．如图，等边ΔABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．如图，在△ABC中∠A=30°，∠ABC=100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°12．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（）A．5厘米B．6厘米C．2厘米D．12厘米二、填空题13．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线段BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20米，则河宽AB长为米．14．如图1，点P从△ABC的项点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A.图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是.15．如图，在正方形ABCD中AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，BE的延长线交AD于点F，∠BED=120∘，则∠EFD的度数为.16．如图，△ABC中∠A=40°，D、E是AC边上的点，把△ABD沿BD对折得到△A′BD，再把△BCE沿BE对折得到△BC′E，若C′恰好落在BD上，且此时∠C′EB=80°，则∠ABC=．17．如图，测量三角形中线段AB的长度为cm.判断大小关系：AB+AC BC（填“ >”，“ =”或“ <”）．18．如图，已知AB是∠O的弦，AB=8，C是∠O上的一个动点，且∠ACB=45°．若M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN长度的最大值是三、综合题19．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为∠ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断∠ABC的形状，并说明理由；（2）如果∠ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．如图，在Rt∠OAB中∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1．（1）线段OA1的长是，∠AOB1的度数是；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．21．已知一次函数y=2x−2的图像为l1，函数y=12x−1的图像为l2．按要求完成下列问题：（1）求直线l1与y轴交点A的坐标；求直线l2与y轴的交点B的坐标；（2）求一次函数y=2x−2的图象l1与y=12x−1的图象l2的交点P的坐标；（3）求由三点P、A、B围成的三角形的面积．22．在图中利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）图中AC与A′C′的关系怎样？（3）记网格的边长为1，则△A′B′C′的面积为多少？23．如图，在∠ABC中点D在AB上，且CD=CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD 于点M，连接AM.（1）求证：EF= 12AC；（2）若EF∠AC，求证：AM+DM=CB.24．如图①，Rt△ABC中∠C=90°，AC=6cm.动点P以acm/s的速度由B出发沿线段BA 向A运动，动点Q以1cm/s的速度由A出发沿射线AC运动.当点Q运动2s时，点P开始运动；P点到达终点时，P、Q一起停止.设点P运动的时间为ts，△APQ的面积为ycm2，y与t的函数关系图像如图②所示.（1）点P运动的速度a=cm/s，AB=cm；（2）当t为何值时，△APQ的面积为12cm2；（3）是否存在t，使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】2014．【答案】1215．【答案】105º16．【答案】60°17．【答案】2.0；>18．【答案】4√219．【答案】（1）解：ΔABC是等腰三角形；理由：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以ΔABC为等腰三角形（2）解：∵ΔABC为等边三角形∴a=b=c∴方程化为x2+x=0解得x1=0，x2=−1．20．【答案】（1）6；135°（2）证明：∵∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1∴∠AOA1＝90°，∠OA1B1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6∴∠AO A1＝∠O A1B1∴OA∠A1B1∵A1B1＝OA∴四边形OAA1B1是平行四边形．21．【答案】（1）解：当x =0时，y= -2，即直线l 1与y 轴交点A 的坐标为(0，−2)当x =0时，y= -1，即直线l 2与y 轴交点B 的坐标为(0，−1)；（2）解：∵一次函数y =2x −2的图象l 1与y =12x −1的图象l 2相交∴2x −2=12x −1∴x =23∴y =2×23−2=−23∴交点P 的坐标为(23，−23)；（3）解：三点P 、A 、B 围成的三角形，如下图，作PD ⊥AB 交y 轴于点DAB =|−1−(−2)|=1△ABP 的高DP 为：23∴S △ABP =12AB ×DP =12×1×23=13即由三点P 、A 、B 围成的三角形的面积：13．22．【答案】（1）解：如图，∠A′B′C′为所作；（2）解：线段AC 与A′C′的位置关系是平行，数量关系是相等 （3）解：∠A′B′C′的面积＝12×4×4＝8．23．【答案】（1）证明：连接CE∵CD=CB，点E为BD的中点∴CE⊥BD∵点F为AC的中点∴EF=12AC；（2）解：∵点F是AC中点∴AF=FC，又EF⊥AC∴∠AFM=∠CFM，且AF=FC∴ΔAFM≅ΔCFM(SAS)∴AM=CM∵BC=CD=DM+CM=DM+AM.24．【答案】（1）1；10（2）解：当运动时间为t时，AQ=t+2，BP=t，AP=10−t 如图，作PH⊥AC，则△APH∽△ABC∴PH=APAB·BC=4(10−t)5∴S△APQ=12AQ·PH=12(t+2)4(10−t)5=2(t+2)(10−t)5∴△APQ的面积为12cm2时，解方程12=2(t+2)(10−t)5，得t1=4+√6∴当t=4+√6或4−√6时，△APQ的面积为12cm2；（3）解：∵S△ABC=24cm2，C△ABC=6+8+10=24cm∴12S△ABC=12cm2①当0<t≤4时由（2）可知，当t=4−√6时，△APQ的面积为12cm2此时，AQ=4−√6+2=6−√6∴AP+AQ=6+√6+6−√6=12，即AP+AQ=12C△ABC∴t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；②当4<t≤10时设PQ与BC交于点N，作PM⊥BC则有：△PBM∽△ABC∴PM AC=BPBA=BMBC，∴PM=3t5，BM=4t5，MC=8−4t5∵PM QC=MNCN，∴MN=3t2−30t25−10t当BN+BP=12时，解方程4t5+3t2−30t25−10t+t=12，得t=5或t=4（舍去）此时，PM=3，BM=4，BP=5∴BN=4+3=7∴当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；∴综上，当t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分.第11页共11页。

中考数学复习线段、角、相交线和平行线一、考点分析1．直线、射线、线段2.角3.相交线4. 角的平分线与线段的垂直平分线5.平行线6.命题二、练习1. 一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是( )A．30° B．45° C．60° D．70°2. 下列命题中，属于真命题的是( )A．三点确定一个圆 B．圆内接四边形对角互余C．若a2＝b2，则a＝b D．若a3＝b3，则a＝b3. 如图，C，D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长等于( )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm4. 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD相交于点E，F，∠BEF的平分线与CD相交于点N.若∠1＝63°，则∠2＝( )A．64° B．63° C．60° D．54°5. 如图，与∠1是同旁内角的是( )A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠56. 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a＝b，则|a|＝|b|；④若x＝0，则x2－2x＝0.它们的逆命题一定成立的有( )A．①②③④ B．①④ C．②④ D．②7. 如图，AB∥CD，∠1＝50°，则∠2的大小是( )A．50° B．120° C．130° D．150°8. 如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是( )A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠5 D．∠3＋∠4＝180°9. 如图，已知∠1＝60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为( )A．70° B．100° C．110° D．120°10. 下列命题是真命题的是( )A．必然事件发生的概率等于0.5B．5名同学二模的数学成绩是92，95，95，98，110，则他们的平均分是98分，众数是95 C．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则乙较甲稳定D．要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用抽样调查的方法11. 图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是____．,12. 如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数是____．13. 如图，直线l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝____．14. 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝____．15. 一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是__________________．16. 如图，直线a∥b，BC平分∠ABD，DE⊥BC，若∠1＝70°，求∠2的度数．17. 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图①，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？(2)如图②，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；(3)如图③，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想∠MON与α，β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．。

知识回顾2023年中考数学----三角形的综合知识回顾与专项练习题（含答案解析）1. 角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

2. 角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

3. 角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O 为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M 、N 。

如图①。

②分别以点M 与点N 为圆心，大于MN 长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P 。

如图②。

③连接OP ，OP 即为角的平分线。

4. 垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

5. 垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

6. 垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M 、N 。

如图①②连接MN ，过MN 的直线即为线段的垂直平分线。

如图②7.中位线的性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

8. 等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。

②等腰三角形的两底角相等。

（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。

（简称底边上三线合一）9. 等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。

10. 等边三角形的性质：①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。

②等边三角形三条边都存在“三线合一”③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。

④等腰三角形的面积等于243a （a 为等腰三角形的边长）。

11. 等腰三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A.85°B.75°C.65°D.60°（第1题图）（第2题图）2.如图，平行线AB，CD 被直线EF 所截，过点B 作BG⊥EF 于点G，已知∠1=50°，则∠B=（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（）A．米B．2sin70°米C．米D． 2.2cos70°米（第3题图）（第5题图）4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（）A．B．3C．D．5.如图，每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）A.1B.2C.3D.46.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.137.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．（第7题图）（第8题图）8.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9.如图，在△ABC 外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC 与△DEF 是位似图形B．△ABC 与△DEF 是相似图形C．△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2D．△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1（第9题图）（第10题图）10.如图，在数轴上有A，B，C，D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A，D 两点表示的数分别为-5和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为BC 的点为N，则该数轴的原点为（）A．点EB．点FC．点MD.点N 11.如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）（第11题图）（第12题图）12.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，将△ABC 绕点B。

2023年安徽中考数学总复习专题：解直角三角形的实际应用1．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO＝60°，∠BPO ＝45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）．2．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．3．投影仪，又称投影机，是一种可以将图象或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆AD与地面FC垂直，且AD的长为12cm，脚杆CD的长为50cm，AD距墙面EF的水平距离为240cm，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角∠EAD＝120°，脚杆CD与地面的夹角∠DCB＝42°，求光源投屏最高点与地面间的距离EF．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈1.73）4．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移多少m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）5．小华在网上看到一个如图（1）的躺椅，他决定自己动手用木条制作一个简易的躺椅，如图（2）是简易躺椅的侧面，其中∠B＝44°，∠ACB＝17°，∠DEC＝∠DCE＝48°，AE=13AC，若木条AB＝5dm，请你计算木条AC，DE，DC的长．（相关数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97，sin17°＝0.29，cos17°＝0.96，tan17°＝0.31，sin48°＝0.74，cos48°＝0.67，tan48°＝1.11，结果保留一位小数）6．“蛟龙号”载人潜水器是中国探索深蓝的利器．如图，在某次任务中，当蛟龙号下潜到点B处时，科研人员在海面的观察点A测得点B的俯角为60°，当蛟龙号继续垂直下潜2千米到达海底C处时，在观察点A测得点C的俯角为75.97°，求点C到海面的深度．（结果精确到0.1千米）参考数据：3≈1.73，sin75.97°＝0.97，cos75.97°≈0.24，tan75.97°≈4.007．图1是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处B出发先沿水平方向向左行走37米到达点C，再经过一段坡度（坡面的垂直高度与水平方向的距离的比）为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向左行走50米到达点E．在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为58°，摩天轮最高处A的仰角为24°．AB所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求AB的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）8．一艘渔船在海中自西向东航行，速度为28海里/小时，船在A处测得灯塔C在北偏东60°方向，半小时后渔船到达B点，测得灯塔C在北偏东15°方向，求船与灯塔间的最近距离．9．海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A 的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为602海里的D处拦截到该可疑船只．（1）求点A到直线CB的距离；（2）若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：3≈1.73)10．如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底座矩形BCLK的高BK＝19cm，宽BC＝40cm，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝76°，支架AF的长为240cm，篮板顶端F到篮筐D的距离FD＝90cm（FE与地面LK垂直，支架AK与地面LK 垂直，支架HE与FE垂直），篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝66°，求篮筐D到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈94，sin76°≈0.96，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0）参考答案1．解：（1）在Rt△BOP中，∠BOP＝90°，∵∠BPO＝45°，OP＝100，∴OB＝OP＝100．在Rt△AOP中，∠AOP＝90°，∵∠APO＝60°，∴AO＝OP•tan∠APO．∴AO＝1003（米），∴AB＝100（3―1）（米）；（2）∵此车的速度=100(3―1)4=25（3―1）≈25×0.73＝18.25米/秒，70千米/小时=700003600米/秒≈19.4米/秒，18.25米/秒＜19.4米/秒，∴此车没有超过了万丰路每小时70千米的限制速度．2．解：（1）△OBD与△COE全等．理由如下：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，∠COE=∠OBD∠CEO∠ODBOC=OB，∴△COE≌△OBD（AAS）；（2）∵△COE≌△OBD，∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，∴OD＝2.4m，OE＝1.8m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.4﹣1.8＝0.6（m），∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM＝1.2m，∴EM＝DM+DE＝1.8（m），答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；（3）∵OA＝OB=OD2+BD2=2．42+1．82=3（m），∴AM＝OD+DM﹣OA＝2.4+1.2﹣3＝0.6（m）．∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m．故答案为：0.6．3．解：过点A作AG⊥EF，垂足为G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，则AB＝GF，AG＝BF＝240cm，∠GAB＝90°，在Rt△DBC中，∠DCB＝42°，CD＝50cm，∴DB＝CD•sin42°≈50×0.67＝33.5（cm），∵AD＝12cm，∴GF＝AB＝AD+DB＝45.5（cm），∵∠EAD＝120°，∴∠EAG＝∠EAD﹣∠GAB＝30°，在Rt△EAG中，EG＝AG•tan30°＝240×33=803（cm），∴EF＝EG+GF＝803+45.5≈183.9（cm），∴光源投屏最高点与地面间的距离EF约为183.9cm．4．解：作∠DAG＝50°，AG交BC于G，过点G作GH⊥AD于H，则BEGH为矩形，∴GH＝BE，BG＝EH，设BE＝12xm，∵斜坡AB的坡比为12：5，∴AE＝5xm，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝262，解得：x＝2（负值舍去），∴BE＝24m，AE＝12m，∴GH＝BE＝24m，在Rt△GAH中，tan∠GAH=GH AH，则24AH≈1.2，解得：AH＝20，∴EH＝AH﹣AE＝10（m），∴BG＝EH＝10m，答：坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡．5．解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥FC于点N，如图，在Rt△ABM中，AB＝5dm，∠ABC＝44°，∵sin∠ABM=AM AB，∴AM＝AB•sin∠ABM＝5•sin44°＝5×0.69＝3.45dm，在Rt△ACM中，∠ACM＝17°，∵sin∠ACM=AM AC∴AC=AMsin∠ACM=AMsin17°=3.450.29≈11.9dm；∵AE=13 AC，∴EC=AC―AE=23AC=23×11.9≈7.93dm，∵∠DEC＝∠DCE＝48°，∴DE＝DC，∵DN⊥FC∴FN=CN=12EC≈3.97dm，在Rt△DEN中，EN＝3，97dm，∠DEN＝48°，∵cos∠DEN=EN DE，∴DE=ENcos∠DEN=3.97cos48°=3.970.67≈5.9dm答：AC的长为11.9dm，DE的长为5.9dm，DC的长为5.9dm．6．解：延长CB，交AE于点D，由题意得，∠DAB＝60°，∠DAC＝75.97°，∠ADC＝90°，BC＝2千米，设BD＝x千米，则CD＝（x+2）千米，在Rt△ABD中，tan60°=BDAD=xAD=3，解得AD=33 x，在Rt△ACD中，tan75.97°=CDAD=x+233x≈4.00，解得x≈1.5，经检验，x≈1.5是原方程的解且符合题意，∴CD≈3.5千米．∴点C到海面的深度约为3.5千米．7．解：过C作CM⊥OD于M，过F作FN⊥AB于N，如图所示：则FN＝EO，ON＝EF，OM＝BC＝37米，BO＝CM，FN∥EO，∴∠EDF＝∠DFN＝58°，∵斜坡CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝26米，∴BO＝CM＝10（米），MD＝24（米），∵DE＝50米，∴FN＝EO＝DE+MD+OM＝50+24+37＝111（米），在Rt△DEF中，tan∠EDF=EFDE=tan58°≈1.60，∴EF≈1.60DE＝1.60×50＝80（米），∴ON＝EF≈80米，∴BN＝ON﹣BO≈70（米），在Rt△AFN中，∠AFN＝24°，∵tan∠AFN=ANFN=tan24°≈0.45，∴AN≈0.45FN＝0.45×111＝49.95（米），∴AB＝AN+BN＝49.95+70≈120（米），即AB的高度约为120米．8．解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，过点B作BE⊥AC于点E，由题意得，∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣15°＝75°，AB＝28×0.5＝14（海里），∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝45°，在Rt△ABE中，sin30°=BEAB=BE14=12，cos30°=AEAB=AE14=32，解得BE＝7，AE=73，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE＝7海里，∴AC＝AE+CE＝（7+73）海里，在Rt△ACD中，sin30°=CDAC=CD7+73=12，解得CD=72+732．∴船与灯塔间的最近距离为（72+732）海里．9．解：（1）过点A作AH⊥CB于点H，如图．由题意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∴∠C＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴AH=12AC=12×120＝60（海里）．答：点A到直线CB的距离是60海里；（2）海警船能否在1小时内拦截到可疑船只，理由：在Rt△ADH中，AD＝602海里，AH＝60海里，∴DH=AD2―AH2=60（海里），∵∠ABH＝∠BAC+∠C＝60°，在Rt△ABH中，∠BAH＝90°﹣∠ABH＝30°，∴BH=12 AB，∴AB＝2BH，∵BH2+AH2＝AB2，∴BH2+602＝（2BH）2，∴BH＝203，∴BD＝DH﹣BH＝（60﹣203）海里，∵海警船的速度是30海里/小时，∴（60﹣203）÷30≈0.9＜1，答：海警船能否在1小时内拦截到可疑船只．10．解：延长FE交地面LK于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，则∠FML＝90°，AK＝GM，HE∥AG，∴∠FHE＝∠FAG＝66°，在Rt△ACB中，∠ACB＝76°，BC＝40cm，∴AB＝BC•tan76°≈40×4＝160（cm），∵BK＝19cm，∴GM＝AK＝AB+BK＝179（cm），在Rt△AFG中，AF＝240cm，∴FG＝AF•sin66°≈240×910=216（cm），∵FD＝90cm，∴DM＝FG+GM﹣FD＝216+179﹣90＝305（cm），∴篮筐D到地面的距离约为305cm．。

中考数学总复习《角形中位线综合》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在Rt ABC 中90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '和C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．2．如图1，ABC 中，点,,D E F 分别在边,,AB BC AC 上，BE=CE ，点G 在线段CD 上，CG=CA 和,GF DE AFG CDE =∠=∠．（1）填空：与CAG ∠相等的角是_____；（2）用等式表示线段AD 与BD 的数量关系，并证明；（3）若90,2BAC ABC ACD ︒∠=∠=∠（如图2），求AC AB的值． 3．如图，菱形ABCD 的边长为1，=60ABC ∠︒点E 是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE 的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF EF=；（2）求MN NG+的最小值；∠的大小是否变化？为什么？（3）当点E在AB上运动时，CEF4．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD 中点．(1)当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；(2)在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH 的长；(3)在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．5．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．6．如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求证：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值为；②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．7．（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：PMN PNM ∠=∠．（2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：AEM F ∠=∠．（3）用数学的语言表达．如图，在ABC 中AC AB <，点D 在AC 上AD BC =，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若60ANM ∠=︒，试判断CGD △的形状，并进行证明．8．如图①，ABC 和ADE 是等边三角形，连接DC ，点F ，G ，H 分别是,DE DC 和BC 的中点，连接,FG FH ．易证：3FH FG =．若ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，且90BAC DAE ∠=∠=︒，如图②：若ABC 和ADE 都是等腰三角形，且120BAC DAE ∠=∠=︒，如图③：其他条件不变，判断FH 和FG 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．9．如图1，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，和,AO CO BCA CAD ．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)如图2，E ，F ，G 分别是,,BO CO AD 的中点，连接,,EF GE GF ，若2,15,16BD AB BC AC ，求EFG 的周长．10．在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．(写出你添加的条件，不要求证明)11．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．答案：1．（1）在RtABC 中2222534AC AB BC =-=-=． 根据旋转性质可知AB A B '=，即ABA '△为等腰三角形． ∵90ACB ∠=︒，即BC AA '⊥ ∴4A C AC '==∴8AA '=．（2）如图，作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠ 3BC BC '==． ∵//CE A B '∴CEB A BC ''∠=∠∴CEB ABC ∠=∠∴3CE BC BC '=== DE DB =． ∵1122ABC S AB CD AC BC == 即543CD ⨯=⨯ ∴125CD =． 在Rt BCD △中 2295DB BC CD =-=∴185BE =． ∴335C E BE BC ''=+=． ∵//CE A B '∴BM BC CE C E '=' 即33335BM =和AC D ''中∴()APD A C D AAS ''≅AD A D '= 即点D ∵点E 为AC 中点DE 为ACA '的中位线12A C 'DE 最小 根据图可知A C '≥∴此时1=12DE A C '= 即DE 最小值为1．2．解：（1）,CG CA =,CAG CGA ∴∠=∠故答案为：.CGA ∠（2）1,2AD BD = 理由如下： 在CG 上取点H 使,GH AF = 连接EH ,,HGA FAG AG GA ∠=∠=,AGH GAF ∴≌,,AH GF GHA AFG ∴=∠=∠ ,GF DE AFG CDE =∠=∠,,GHA CDE AH DE ∴∠=∠= //,AH DE ∴∴ 四边形AHED 是平行四边形 ,//,AD EH AD EH ∴=,BE CE =EH ∴为CBD △的中位线1,2EH BD ∴= 1.2AD BD ∴=∠=BAC∴= AH DH 设ACD∠∴∠=HAC∴∠AHD AH DE//∴∠HDEBDE∴∠∠=ABCB x ∴∠=2∴∠=BED∴∠=BDE∴=BD BE3．解：（1）连接CF∵FG垂直平分CE∴CF=EF∵四边形ABCD为菱形∴A和C关于对角线BD对称∴CF=AF∴AF=EF；（2）连接AC∵M和N分别是AE和EF的中点点G为CE中点∴MN=12AF NG=12CF 即MN+NG=12（AF+CF）当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时AF+CF最小即此时MN+NG最小∵菱形ABCD边长为1 ∠ABC=60°∴△ABC为等边三角形AC=AB=1即MN+NG的最小值为12；∵△ABC和△ADE均为等边三角形∴AB=AC AD=AE∠BAC=∠DAE ∴∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD=CE∠ADB=∠AEC∵EG=GB EF=FDBD GF∥BD∴FG=12∵DF=EF DH=HCEC FH∥EC∴FH=12∴FG=FH∵∠ADB+∠ADM=180°∴∠AEC+∠ADM=180°∴∠DME+∠DAE=180°∴∠DME=120°∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°∴△FGH是等边三角形故答案为：等边三角形．∵四边形ABCD 为正方形∴AD =DC ∠BCD =∠ADC =90°．在△ADF 和△DCE 中 90DF CE ADF DCE AD DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△DCE (SAS )∴AF =DE ∠DAF =∠CDE ．∵∠ADG +∠EDC =90°∴∠ADG +∠DAF =90°∴∠AGD =90° 即AF ⊥DE ；（2）上述结论① ②仍然成立 理由是：.∵四边形ABCD 为正方形∴AD =DC ∠BCD =∠ADC =90°．在△ADF 和△DCE 中 90DF CE ADF DCE AD DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△DCE (SAS )∴AF =DE ∠DAF =∠EDC ．∵∠ADG +∠EDC =90°∴∠ADG +∠DAF =90°∴∠AGD =90° 即AF ⊥DE ；（3）四边形MNPQ 是正方形．理由是：BD BF ABD EBF AB BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BDA ≌△BFE （SAS ）；（2）①∵两点之间 线段最短即C D F E 共线时CD +DF +FE 最小 ∴CD +DF +FE 最小值为CE∵∠ACB =90° ∠ABC =30° AC =1∴BE =AB =2 BC =223AB AC -=∵∠CBE =∠ABC +∠ABE =90°∴CE =227BE BC +=故答案为：7；②证明：∵BD =BF ∠DBF =60°∴△BDF 为等边三角形即∠BFD =60°∵C D F E 共线时CD +DF +FE 最小∴∠BFE =120°∵△BDA ≌△BFE∴∠BDA =120°∴∠ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60°∴∠ADF =∠BFD∴AD ∥BF ；（3）∠MPN 的大小是为定值 理由如下：）P的中点1AD BC = PM PN ∴=.PMN PNM ∴∠=∠.（2）P 的中点 M 是AB 的中点PN BC ∴∥PNM F ∴∠=∠.同理 PMN AEM ∠=∠.由（1）可知PMN PNM ∠=∠AEM F ∴∠=∠.（3）CGD △是直角三角形 证明如下： 如图 取BD 的中点P 连接PM PNM 是AB 的中点PM AD ∴∥ 12PM AD =. 同理 PN BC ∥ 12PN BC =.AD BC =PM PN ∴=.PM AD∥∴∠PMN∴∠PNMPN BC∥∴∠CGN又CNG∠=∴是等边三角形CGN∴=.CN GN又CN DN=∴=.DN GN∴∠=∠NDG∴∠=∠CGD∴是直角三角形CGD故答案为：．解：图②中图②证明如下：是CDE的中位线，CE FG=同理可得GH BD∥∵ABC和ADE都是等腰直角三角形∴()SAS ABD ACE △≌△∴CE BD ACE ABD ==，∠∠∴FG HG =∵BD GH FG CE ∥，∥∴FGH FGD HGD ∠=∠+∠DCE GHC GCH =++∠∠∠DBC DCB ACD ACE =+++∠∠∠∠DBC ABD ACB =++∠∠∠ACB ABC =∠+∠90=︒∴HGF △是等腰直角三角形∴2FH FG =；图③证明如下：如图③所示 连接BD HG CE ，，∵点F G 分别是DE DC ，的中点∴FG 是CDE 的中位线∴12FG CE FG CE =∥， 同理可得12GH BD GH BD =∥，∵ABC 和ADE 都是等腰三角形 且120BAC DAE ∠=∠=︒∴()SASABD ACE△≌△∴CE BD ACE ABD==，∠∠∴FG HG=∵BD GH FG CE∥，∥∴FGH FGD HGD∠=∠+∠DCE GHC GCH=++∠∠∠DBC DCB ACD ACE=+++∠∠∠∠DBC ABD ACB=++∠∠∠ACB ABC=∠+∠180BAC=︒-∠60=︒∴HGF△是等边三角形∴FH FG=．9．（1）证明：∵∠=∠BCA CAD∴BC∥AD在△AOD和△COB中：BCA CADCO AOCOB AOD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOD≌△COB(ASA)∴BC=AD∴四边形ABCD为平行四边形．（2）解：∵点E F分别为BO和CO的中点∴EF是△OBC的中位线∴11522EF BC；∵ABCD为平行四边形∴BD=2BO又已知BD=2BA∴BO=BA=CD=OD∴△DOC与△BOA均为等腰三角形又F为OC的中点连接DF∴DF⊥OC∴∠AFD=90°又G为AD的中点由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：1115222GF AD BC；过B点作BH⊥AO于H连接HG如上图所示：由等腰三角形的“三线合一”可知：AH=HO=12AO=14AC=4∴HC=HO+OC=4+8=12在Rt△BHC中由勾股定理可知222215129BH BC CH1122HG OD BO BE∴四边形BHGE 为平行四边形GE=BH =9151592422EFG C GE GF EF ． 10．连接A C ∵E F G H 分别是AB BC CD DA 的中点 ∴HG∥AC EF∥AC , ∴HG∥EF 又HG= EF=AC ∴四边形EFGH 是平行四边形．在△CDE 和△DBF 中 ∴△CDE≌△DBF （SAS ）；（2）∵四边形ABCD 是菱形， AC=10 ∴AO=5，∠AOB=90° ∴BO=22AB AO -=22135-=12 ∴BD=24 ∵点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点 ∴EF //12BD ∴EF=12．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．。

三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值X围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD 于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。

4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。

中考数学总复习《三角形》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、解答题：1.如图，在矩形ABCD中BE⊥AC，DF⊥AC垂足分别为E、F.求证：AF=CE．2.如图，CD是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD，垂足为M，且______，______，则______．给出下列信息：①AM平分∠BAE②AB=AE③BC=DE.请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．3.如图，B是AC的中点，点D、E在AC同侧AE=BD，BE=CD．(1)求证：△ABE≌△BCD；(2)连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形．4.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．(1)求证：∠A=∠C；(2)求证：AB//CD．5.如图A、D、B、F在一条直线上DE//CB，BC=DE，AD=BF．(1)求证：△ABC≌△FDE；(2)连接AE、CF，求证四边形AEFC为平行四边形．6.如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．7.已知：如图，点D为线段BC上一点BD=AC，∠E=∠ABC，DE//AC.求证：DE=BC．8.已知：如图，点D为线段BC上一点BD=AC，∠E=∠ABC，DE//AC.求证：DE=BC．9.如图，在Rt△ABC中∠C=90°．(1)尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D(请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法)；(2)在(1)的条件下若∠ABC=60°AB=4求⊙O与△ABC重叠部分的面积．10.如图点D E分别在AB AC上∠ADC=∠AEB=90°BE CD相交于点O OB=OC．求证：∠1=∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC=∠AEB=90°∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°．∵∠DOB=∠EOC∴∠B=∠C.……第一步又OA=OA OB=OC∴△ABO≌△ACO.……第二步∴∠1=∠2.……第三步(1)小虎同学的证明过程中第______步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．11.如图在▱ABCD中BE DG分别平分∠ABC∠ADC交AC于点E G．(1)求证：BE//DG BE=DG；(2)过点E作EF⊥AB垂足为F.若▱ABCD的周长为56EF=6求△ABC的面积．12.在四边形ABCD中O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD则点O叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形______“等形点”(填“存在”或“不存在”)；(2)如图在四边形ABCD中边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”.已知CD=4√ 2OA=5 BC=12连接AC求AC的长；(3)在四边形EFGH中EH//FG.若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”求OF的值．OG13.如图将矩形ABCD沿对角线AC折叠点B的对应点为点E AE与CD交于点F．(1)求证：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE=40°求∠CAB的度数．14.在△ABC中CD平分∠ACB交AB于点D AH是△ABC边BC上的高且∠ACB=70°∠ADC=80°求：(1)直接写出∠BAC=______．(2)求∠BAH的度数．15.如图点A在射线OX上OA=a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0<n≤360)到OA′那么点A′的位置可以用(a,n°)表示．(1)按上述表示方法若a=3n=37则点A′的位置可以表示为______；(2)在(1)的条件下已知点B的位置用(3,74°)表示连接A′A A′B.求证：A′A=A′B．16.如图在△ABC中AB=2∠ACB=60°DC⊥BC DC=BC则AD的长的最大值为．17.如图B E C F是直线l上的四点AB=DE AC=DF BE=CF．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)点P Q分别是△ABC△DEF的内心．①用直尺和圆规作出点Q(保留作图痕迹不要求写作法)；②连接PQ则PQ与BE的关系是______．18.如图在△ABC中∠BAC=90°AB=AC=12点P在边AB上D E分别为BC PC的中点连接DE.过点E作BC的垂线与BC AC分别交于F G两点．连接DG交PC于点H．(1)∠EDC的度数为______°；(2)连接PG求△APG的面积的最大值；(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；(4)求CH的最大值．CE19.如图四边形ABCD为平行四边形延长AD到点E使DE=AD且BE⊥DC．(1)求证：四边形DBCE为菱形；(2)若△DBC是边长为2的等边三角形点P M N分别在线段BE BC CE上运动求PM+PN的最小值．20.(1)如图1在△ABC中∠ACB=2∠B CD平分∠ACB交AB于点D DE//AC交BC于点E．①若DE=1BD=32求BC的长；②试探究ABAD −BEDE是否为定值．如果是请求出这个定值；如果不是请说明理由．(2)如图2∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角∠BCF=2∠CBG CD平分∠BCF交AB的延长线于点D DE//AC交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1△CDE的面积为S2△BDE的面积为S3.若S1⋅S3=916S22求cos∠CBD的值．参考答案和解析1.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD AB//CD∴∠BAE=∠DCF．又BE⊥AC DF⊥AC∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE与△CDF中{∠AEB=∠CFD ∠BAE=∠DCF AB=CD∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF∴AE+EF=CF+EF即AF=CE．【解析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF可得AE=CF即可解决问题．本题考查了全等三角形的判定与性质熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．2.【答案】②③①证明：根据题意补全图形如图所示：连接AC AD∵AM垂直平分CD∴CM=DM AC=AD(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)在△ACM与△ADM中{AM=AM AC=AD CM=DM∴△ACM≌△ADM(SSS)∴∠CAM=∠DAM在△ABC与△AED中{AB=AE AC=AD BC=ED∴△ABC≌△AED(SSS)∴∠BAC=∠EAD又∵∠CAM=∠DAM∴∠BAC+∠CAM=∠EAD+∠DAM即∠BAM=∠EAM=12∠BAE∴AM平分∠BAE．【解析】根据题意补全图形连接AC AD根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出AC=AD再求证三角形全等得出角相等求得∠BAM=∠EAM进而得出结论AM平分∠BAE．本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．3.【答案】证明：(1)∵B是AC的中点∴AB=BC在△ABE与△BCD中{AE=BD BE=CD AB=BC,∴△ABE≌△BCD(SSS)；(2)∵△ABE≌△BCD∴∠ABE=∠BCD∴BE//CD∵BE=CD∴四边形BCDE为平行四边形．【解析】(1)根据线段中点的定义得到AB=BC根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠BCD根据平行线的判定定理得到BE//CD根据平行四边形的判定定理即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质平行四边形的判定熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．4.【答案】证明：(1)在△AOB和△COD中{OA=OC∠AOB=∠COD OB=OD,∴△AOB≌△COD(SAS)∴∠A=∠C；(2)由(1)得∠A=∠C∴AB//CD．【解析】此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及平行线的判定的理解及运用．(1)由已知利用SAS判定△AOB≌△COD(SAS)全等三角形的对应角相等即∠A=∠C(2)利用内错角相等两直线平行即可推出AB//CD．5.【答案】证明：(1)∵AD=BF∴AD+DB=DB+BF∴AB=FD∵DE//CB∴∠ABC=∠FDE∵BC=DE∴△ABC≌△FDE(SAS)(2)如图：由(1)知△ABC≌△FDE∴∠CAB=∠EFD AC=EF∴AC//EF∴四边形ABCD为平行四边形．【解析】(1)由SAS可证△ABC≌△FDE；(2)结合(1)用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答．本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形判定定理．6.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD AB//CD∴∠ABD=∠CDB在△ABE和△CDF中{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知△ABE≌△CDF∴AE=CF∠AEB=∠CFD∴∠AEF=∠CFE∴AE//CF∵AE=CF AE//CF∴四边形AECF是平行四边形．【解析】本题考查的是平行四边形的判定和性质全等三角形的判定和性质掌握平行四边形的对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD AB//CD根据平行线的性质得到∠ABD=∠CDB利用SAS 证明△ABE≌△CDF；(2)根据全等三角形的性质得到AE=CF∠AEB=∠CFD推出∠AEF=∠CFE根据平行线的判定定理证明AE//CF再根据平行四边形的判定定理证明结论．7.【答案】证明：∵DE//AC∴∠EDB=∠C在△BDE和△ACB中{∠E=∠ABC ∠EDB=∠C BD=AC∴△BDE≌△ACB(AAS)∴DE=BC．【解析】由平行线的性质得∠EDB=∠C再证△BDE≌△ACB(AAS)即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8.【答案】证明：∵DE//AC∴∠EDB=∠C在△BDE和△ACB中{∠E=∠ABC ∠EDB=∠C BD=AC∴△BDE≌△ACB(AAS)∴DE=BC．【解析】由平行线的性质得∠EDB=∠C再证△BDE≌△ACB(AAS)即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9.【答案】解：(1)如图先作∠ABC的平分线交AC于点D再过D点作AC的垂线交AB于O点然后以O 点为圆心OB为半径作⊙O则⊙O为所作；(2)⊙O交BC于E点交AB于F点连接OE如图设⊙O的半径为r则OB=r∵AC为⊙O的切线∴OD⊥AC OD=r∵∠C=90°.∠ABC=60°∴∠A=30°∴OA=2r∵AB=4∴2r+r=4解得r=43∵OB=OE∠OBE=60°∴△OBE为等边三角形∴∠BOE=60°∴∠EOF=120°∴⊙O与△ABC重叠部分的面积=S扇形EOF +S△OBE=120×π×(43)2360+12·sin60°×(43)2=1627π+4√ 39．【解析】(1)如图先作∠ABC的平分线交AC于点D再作DO⊥AC交AB于O点则以O点为圆心OB 为半径的圆满足条件；(2)⊙O交BC于E点交AB于F点连接OE如图设⊙O的半径为r则OB=r根据切线的性质得到OD⊥AC再利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA=2r接着求出r=43然后根据扇形的面积公式利用⊙O与△ABC重叠部分的面积=S扇形EOF+S△OBE进行计算．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图逐步操作．也考查了切线的判定与性质和扇形面积的计算．10.【答案】(1)二；(2)证明：∵∠ADC=∠AEB=90°∴∠BDC=∠CEB=90°在△DOB和△EOC中{∠BDO=∠CEO ∠DOB=∠EOC OB=OC∴△DOB≌△EOC(AAS)∴OD=OE在Rt△ADO和Rt△AEO中{OD=OEOA=OA∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)∴∠1=∠2．【解析】(1)解：小虎同学的证明过程中第二步出现错误故答案为：二；(1)根据全等三角形的判定定理判断；(2)证明△DOB≌△EOC根据全等三角形的性质得到OD=OE再证明Rt△ADO≌Rt△AEO得到∠1=∠2．本题考查的是全等三角形的判定和性质掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．11.【答案】(1)证明：在▱ABCD中AD//BC∠ABC=∠ADC∴∠DAC=∠BCA AD=BC∵BE DG分别平分∠ABC∠ADC∴∠ADG=∠CBE∵∠DGE=∠DAC+∠ADG∠BEG=∠BCA+∠CBE ∴∠DGE=∠BEG∴BE//DG；在△ADG和△CBE中{∠DAG=∠BCE AD=CB∠ADG=∠CBE,∴△ADG≌△CBE(ASA)∴BE=DG；(2)解：过E点作EH⊥BC于H∵BE平分∠ABC EF⊥AB ∴EH=EF=6∵▱ABCD的周长为56∴AB+BC=28∴S△ABC=12AB⋅EF+12BC⋅EH=12EF(AB+BC)=12×6×28=84．【解析】本题主要考查平行四边形的性质角平分线的定义与性质三角形的面积全等三角形的判定与性质掌握平行四边形的性质是解题的关键．(1)根据平行四边形的性质可得∠DAC=∠BCA AD=BC由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠DGE=∠BEG进而可证明BE//DG；利用ASA证明△ADG≌△CBE可得BE=DG；(2)过E点作EH⊥BC于H由角平分线的性质可求解EH=EF=6根据平行四边形的性质可求解AB+ BC=28再利用三角形的面积公式计算可求解．12.【答案】解：(1)不存在；(2)作AH⊥BO于H∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”∴△OAB≌△OCD∴AB=CD=4√ 2OA=OC=5∵BC=12∴BO=7设OH=x则BH=7−x由勾股定理得(4√ 2)2−(7−x)2=52−x2解得x=3∴OH=3∴AH=4∴CH=8在Rt△CHA中AC=√ AH2+CH2=√ 42+82=4√ 5；(3)如图∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”∴△OEF≌△OGH∴∠EOF=∠HOG OE=OG∠OGH=∠OEF∵EH//FG∴∠HEO=∠EOF∠EHO=∠HOG∴∠HEO=∠EHO∴OE=OH∴OH=OG∴OE=OF∴OFOG=1．【解析】本题是新定义题主要考查了全等三角形的性质正方形的性质勾股定理平行线的性质等知识理解新定义并能熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．(1)根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD则∠OAB=∠C=90°而O是边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”；(2)作AH⊥BO于H由△OAB≌△OCD得AB=CD=4√ 2OA=OC=5设OH=x则BH= 7−x由勾股定理得(4√ 2)2−(7−x)2=52−x2求出x的值再利用勾股定理求出AC的长即可；(3)根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH则∠EOF=∠HOG OE=OG∠OGH=∠OEF再由平行线性质得OE=OH从而推出OE=OH=OG从而解决问题．13.【答案】解：(1)证明：已知矩形ABCD沿对角线AC折叠则AD=BC=EC∠D=∠B=∠E=90°在△DAF和△ECF中{∠DFA=∠EFC ∠D=∠EDA=EC∴△DAF≌△ECF(AAS)；(2)∵△DAF≌△ECF∴∠DAF=∠ECF=40°∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=90°∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°∵∠EAC=∠CAB∴∠CAB=25°．【解析】本题考查矩形的性质全等三角形的判定和性质翻折变换等知识解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题属于中考常考题型．(1)根据AAS证明三角形全等即可；(2)利用全等三角形的性质求解即可．14.【答案】解：(1)65°；(2)由(1)知∠BAC=65°∵AH⊥BC∴∠AHC=90°∴∠HAC=90°−∠ACB=90°−70°=20°∴∠BAH=∠BAC−∠HAC=65°−20°=45°．【解析】解：(1)∵CD平分∠ACB∠ACB=70°∴∠ACD=12∠ACB=35°∵∠ADC=80°∴∠BAC=180°−∠ACD−∠ADC=180°−35°−80°=65°故答案为：65°；(2)见答案．(1)根据角平分线的性质可得∠ACD=35°再根据三角形的内角和是180°即可求解；(2)由直角三角形的两锐角互余即可求解∠HAC根据∠BAH=∠BAC−∠HAC即可得解．本题考查三角形内角和定理角平分线的定义三角形的高的性质等知识解题的关键是熟练掌握角形内角和定理角平分线的定义基本知识属于中考常考题型．15.【答案】解：(1)(3,37°)；(2)证明：如图：∵A′(3,37°)B(3,74°)∴∠AOA′=37°∠AOB=74°OA=OB=3∴∠A′OB=∠AOB−∠AOA′=74°−37°=37°=∠AOA′在△AOA′和△BOA′中{OA=OB∠AOA′=∠BOA′OA′=OA′∴△AOA′≌△BOA′(SAS)∴A′A=A′B．【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质新定义题目旋转的性质理解题意理解新定义是解题的关键．(1)根据点的位置定义即可得出答案；(2)画出图形证明△AOA′≌△BOA′(SAS)即可由全等三角形的性质得出结论．【解答】(1)根据题意可得：若a=3n=37则点A′的位置可以表示为(3,37°)；故答案为：(3,37°)；16.【答案】√ 6+√ 2【解析】【分析】此题主要考查等腰直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质和非负数的性质作DG⊥AC交AC的延长线于G构造含30°角的直角三角形设DC=BC=x AC=y(x>0,y>0)则DG=12xCG=√ 32x根据勾股定理表示出AD2再利用(x−y)2⩾0得到xy⩽x2+y22代入根据当x=y时AD2有最大值求解【解答】解：如图作DG⊥AC交AC的延长线于G则∠G=90°∵DC⊥BC∴∠BCD=90°∵∠ACB=60°∴∠DCG=30°设DC=BC=x AC=y(x>0,y>0)则DG=12x CG=√ 32x在Rt△ADG中AD2=AG2+DG2=(y+√ 32x)2+(12x)2=x2+y2+√ 3xy∵(x−y)2⩾0∴xy⩽x2+y22∴AD2=x2+y2+√ 3xy⩽x2+y2+√ 3·x2+y22当x=y时AD2有最大值为x2+y2+√ 32(x2+y2)当x=y时即AC=BC时∵∠ACB=60°∴AC=BC=AB=2∴x=y=2∴AD2=x2+y2+√ 32(x2+y2)=4+4+√ 32×(4+4)=(√ 6+√ 2)2∴AD=√ 6+√ 217.【答案】(1)证明：∵BE=CF ∴BE+EC=CF+EC∴BC=EF在△ABC和△DEF中{AB=DE BC=EF AC=DF∴△ABC≌△DEF(SSS)；(2)解：①如图点Q即为所求；②PQ//BE PQ=BE【解析】(2)②PQ与BE的关系是：PQ//BE PQ=BE理由如下：∵△ABC≌△DEF∴∠ABC=∠DEF∵点P Q分别是△ABC△DEF的内心∴BP平分∠ABC EQ平分∠DEF∴∠PBE=12∠ABC∠QEF=12∠DEF∴∠PBE=∠QEF∴PB//QE∵△ABC≌△DEF∴∠A=∠D在△ABG和△DEH中{∠ABG=∠DEH AB=DE∠A=∠D,∴△ABG≌△DEH(ASA)∴BG=EH∵点P Q分别是△ABC△DEF的内心∴BP=EQ∴四边形PQEB是平行四边形∴PQ//BE PQ=BE．故答案为：PQ//BE PQ=BE．(1)利用SSS即可证明△ABC≌△DEF；(2)①根据三角形的内心定义和角平分线的画法即可解决问题；②根据三角形的内心定义证明四边形PQEB是平行四边形即可解决问题．本题考查了作图−复杂作图全等三角形的判定与性质三角形内切圆与内心解决本题的关键是掌握内心定义．18.【答案】解：(1)45;(2)如图连接PG∵∠BAC=90°AB=AC=12∴∠ABC=∠ACB=45°BC=12√ 2设AP=x则BP=12−x∵DE=12BP∴DE=6− x2∵GF⊥BC∠EDC=45°∴∠EDC=∠DEF=45°∴DF=EF=√ 22DE=3√ 2−√ 24x∵点D是BC的中点∴BD=CD=6√ 2∴CF=CD−DF=3√ 2+√ 24x ∵GF⊥BC∠ACB=45°∴∠ACB=∠CGF=45°∴GF=FC∴GC=√ 2FC=6+ x2∴AG=AC−CG=6−x2∴S△APG=12·AP·AG=12x·(6−x2)=−14(x−6)2+9∴当x=6时△APG的面积的最大值为9；(3)PE⊥DG DG=PE理由如下：在△CEF和△GDF中{EF=DF∠CFE=∠GFD=90°CF=GF,∴△CEF≌△GDF(SAS)∴CE=GD∠DGF=∠ECF∵∠DGF+∠GDF=90°∴∠GDF+∠ECF=90°∴∠DHC=90°∴DG⊥PE∵点E是PC的中点∴PE=EC∴DG=PE；(4)如图以DG为斜边构造等腰直角△DOG作OJ⊥DG于J．∵∠ACB=45∘=12∠GOD则点C D G均在⊙O上设⊙O的半径为r则OC=OD=OG=r DG=√ 2r OJ=12DG=√ 22r由(3)得△CEF≌△GDF ∴DG=CE=√ 2r.∵CH⊥DG∴CH≤CO+OJ∴CH CE =CHDG≤CO+OJDG=r+√ 22r√ 2r=1+√ 22即CHCE 的最大值为1+√ 22．【解析】【分析】本题主要考查了等腰直角三角形圆的构造三角形的中位线定理全等三角形的性质及判定方法(1)由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°由三角形中位线定理可得DE//AB可求解；(2)设AP=x由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理可求AG的长由三角形面积公式和二次函数的性质可求解；(3)由“SAS”可证△CEF≌△GDF可得CE=DG∠DGF=∠ECF可求解；(4)以DG为斜边构造等腰直角△DOG可得点C D G均在圆上然后利用全等三角形的性质得出CE=DG利用“垂线段最短”得出CH≤CO+OJ然后分别求出各线段长度最终得到CHCE的最大值．【解答】解：(1)∵∠BAC=90°AB=AC=12∴∠ABC=∠ACB=45°BC=12√ 2∵D E分别为BC PC的中点∴DE//AB DE=12BP∴∠EDC=∠ABC=45°故答案为：45；19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC AD=BC∵DE=AD∴DE=BC∵E在AD的延长线上∴DE//BC∴四边形DBCE是平行四边形∵BE⊥DC∴四边形DBCE是菱形；(2)解：作N关于BE的对称点N′过D作DH⊥BC于H如图：由菱形的对称性知点N关于BE的对称点N′在DE上∴PM+PN=PM+PN′∴当P M N′共线时PM+PN′=MN′=PM+PN∵DE//BC∴MN′的最小值为平行线间的距离DH的长即PM+PN的最小值为DH的长在Rt△DBH中∠DBC=60°DB=2∴∠BDH=30°∴BH=1∴DH=√ 3∴PM+PN的最小值为√ 3．【解析】本题考查平行四边形性质和判定涉及菱形的判定等边三角形性质及应用对称变换等解题的关键是正确做出对称点．(1)先证明四边形DBCE是平行四边形再由BE⊥DC得四边形DBCE是菱形；(2)作N关于BE的对称点N′过D作DH⊥BC于H由菱形的对称性知点N关于BE的对称点N′在DE上可得PM+PN=PM+PN′即知MN′的最小值为平行线间的距离DH的长即PM+PN的最小值为DH 的长在Rt△DBH中可得DH=√ 3即可得出答案．20.【答案】解：(1)①∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB=1∠ACB2∴∠ACD=∠DCB=∠B∴CD=BD=32∵DE//AC∴∠ACD=∠EDC∴∠EDC=∠DCB=∠B ∴CE=DE=1∴△CED∽△CDB∴CE CD =CDCB∴132=32CB解得BC=94；②∵DE//AC∴AB AD =BCCE同①可得CE=DE∴AB AD =BCDE∴AB AD −BEDE=BCDE−BEDE=CEDE=1∴AB AD −BEDE是定值定值为1；(2)∵DE//AC∴S1 S2=ACDE=BCBE∵S3 S2=BECE∴S1⋅S3S22=BCCE又∵S1⋅S3=916S22∴BC CE =916设BC=9x则CE=16x ∵CD平分∠BCF∴∠ECD=∠FCD=12∠BCF∴∠ECD=∠FCD=∠CBD ∴BD=CD∵DE//AC∴∠EDC=∠FCD∴∠EDC=∠CBD=∠ECD ∴CE=DE∵∠DCB=∠ECD∴△CDB∽△CED∴CD CE =CBCD∴CD2=CB⋅CE=144x2∴CD=12x过点D作DH⊥BC于点H ∵BD=CD=12x∴BH=12BC=92x∴cos∠CBD=BHBD =92x12x=38．【解析】本题考查了角平分线的定义相似三角形的判定与性质等腰三角形的性质平行线的性质锐角三角函数的定义熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．(1)①证出∠ACD=∠DCB=∠B由等腰三角形的判定得出CD=BD=32求出CE=DE=1证明△CED∽△CDB由相似三角形的性质可求出BC的长；②由平行线分线段成比例定理得出ABAD =BCCE同①可得CE=DE，证出ABAD=BCDE则可得出答案；(2)证出S1⋅S3S22=BCCE由题意可得出BCCE=916设BC=9x则CE=6x，证明△CDB∽△CED由相似三角形的性质得出CDCE =CBCD，求出CD=12x，过点D作DH⊥BC于点H，则BH=12BC=92x，根据锐角三角函数的定义可得出答案．。

2024年中考数学复习单元测试卷及答案解析—第四章：三⾓形（考试时间：100分钟试卷满分：120分）⼀．选择题（共10⼩题，满分30分，每⼩题3分）1．下⾯⼏何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察所给⼏何体，可以直接得出答案．【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；B选项为圆锥，符合题意；C选项为三棱锥，不合题意；D选项为球，不合题意；故选B．【点睛】本题考查常见⼏何体的识别，熟练掌握常见⼏何体的特征是解题的关键．圆锥⾯和⼀个截它的平⾯，组成的空间⼏何图形叫圆锥．2．下列图形是正⽅体展开图的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据正⽅体的展开图的特征，11种不同情况进⾏判断即可．【详解】解：根据正⽅体的展开图的特征，只有第2个图不是正⽅体的展开图，故四个图中有3个图是正⽅体的展开图．故选：C．【点睛】考查正⽅体的展开图的特征，“⼀线不过四，⽥凹应弃之”应⽤⽐较⼴泛简洁．3．如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的⼤⼩为（）A．36°B．44°C．54°D．63°【答案】C【分析】由∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，可求出∠COD的度数，再根据⾓与⾓之间的关系求解．【详解】∵∠AOC=90°，∠AOD=126°，∴∠COD=∠AOD−∠AOC=36°，∵∠BOD=90°，∴∠BOC=∠BOD−∠COD=90°−36°=54°．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是⾓的计算，注意此题的解题技巧：两个直⾓相加和∠AOD相⽐，多加了∠BOC．4．如图，在△ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，DE//BC，M为BC边上⼀点（不与B、C重合），连结AM 交DE 于点N ，则（ ）A ．AD AN =AN AEB ．BD MN =MN CEC ．DN BM =NE MCD ．DN MC =NEBM 【答案】C 【分析】根据平⾏线的性质和相似三⾓形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三⾓形的性质即可得到答案.【详解】∵DE //BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴DN BM =AN AM ,AN AM =NE MC ⇒DN BM =NEMC ，故选C.【点睛】本题考查平⾏线的性质、相似三⾓形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平⾏线的性质、相似三⾓形的判定和性质.【新考法】 数学与实际⽣活——利⽤数学知识解决实际问题5．如图是⼩亮绘制的潜望镜原理⽰意图，两个平⾯镜的镜⾯AB 与CD 平⾏，⼊射光线l 与出射光线m 平⾏．若⼊射光线l 与镜⾯AB 的夹⾓∠1=40°10'，则∠6的度数为（ ）A ．100°40'B ．99°80'C ．99°40'D ．99°20'【答案】C 【分析】由⼊射光线与镜⾯的夹⾓等于反射光线与镜⾯的夹⾓，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l //m 可得∠6=∠5【详解】解：由⼊射光线与镜⾯的夹⾓等于反射光线与镜⾯的夹⾓，可得∠1=∠2，∵∠1=40°10'∴∠2=40°10'∴∠5=180°−∠1−∠2=180°−40°10'−40°10'=99°40'∵l//m∴∠6=∠5=99°40'故选：C【点睛】本题主要考查了平⾏线的性质，熟记两直线平⾏，内错⾓相等是解答本题的关键．【新考法】数学与实际⽣活——利⽤数学知识解决实际问题6．如图是脊柱侧弯的检测⽰意图，在体检时为⽅便测出Cobb⾓∠O的⼤⾯⼩，需将∠O转化为与它相等的⾓，则图中与∠O相等的⾓是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【答案】B【分析】根据直⾓三⾓形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同⾓的余⾓相等可得结论．【详解】由⽰意图可知：△DOA和△DBE都是直⾓三⾓形，∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°，∴∠DEB=∠O，故选：B．【点睛】本题考查直⾓三⾓形的性质的应⽤，掌握直⾓三⾓形的两个锐⾓互余是解题的关键．7．【易错题】若等腰三⾓形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三⾓形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题⽬给出等腰三⾓形有两条边长为3和5，⽽没有明确腰、底分别是多少，所以要进⾏讨论，还要应⽤三⾓形的三边关系验证能否组成三⾓形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三⾓形，此时等腰三⾓形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三⾓形，此时等腰三⾓形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三⾓形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三⾓形的性质及三⾓形三边关系；已知没有明确腰和底边的题⽬⼀定要想到两种情况，分类进⾏讨论，还应验证各种情况是否能构成三⾓形进⾏解答，这点⾮常重要，也是解题的关键．【⼏何模型】三⾓形折叠模型8．如图，三⾓形纸⽚ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸⽚折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸⽚，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）A．136B．56C．76D．65【答案】A【分析】根据题意可得AD = AB = 2，∠B = ∠ADB，CE= DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继⽽设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸⽚折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD = AB = 2，∠B = ∠ADB，∵折叠纸⽚，使点C与点D重合，∴CE= DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC = 90°，∴∠B+ ∠C= 90°，∴∠ADB + ∠CDE = 90°，∴∠ADE = 90°，∴AD2 + DE2 = AE2，设AE=x，则CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2 =x2，解得x=136即AE=136故选A【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．【⼏何模型】⼀线三垂直模型9．如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（）A．(7,2)B．(7,5)C．(5,6)D．(6,5)【答案】D【分析】先过点C做出x轴垂线段CE，根据相似三⾓形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．【详解】如图过点C作x轴垂线，垂⾜为点E，∵∠ABC=90°∴∠ABO+∠CBE=90°∵∠CBE+BCE=90°∴∠ABO=∠BCE在ΔABO和ΔBCE中，{∠ABO=∠BCE∠AOB=∠BEC=90°，∴ΔABO∽ΔBCE，∴AB BC =AOBE=OBEC=12，则BE=2AO=6 ,EC=2OB=2∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A坐标为(0，3)，∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，故答案选D【点睛】本题考查了图象的平移、相似三⾓形的判定与性质，利⽤相似三⾓形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键．10．如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的⼀点，点M从点A出发沿折线AH−HC−CB运动到点B停⽌，点N从点A出发沿AB运动到点B停⽌，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t s，△AMN的⾯积为S cm2，已知S与t之间函数图象如图②所⽰，则下列结论正确的是（）①当0<t≤6时，△AMN是等边三⾓形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三⾓形的点M⼀共有3个．③当0<t≤6时，S2．④当t=9△ADH∽△ABM．⑤当9<t<9+S=−3t+9+A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最⼤，此时点M在点H处，点N在点B处并停⽌不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利⽤四边形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利⽤以上的信息对每个结论进⾏分析判断后得出结论．【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最⼤，此时点M在点H处，点N在点B处并停⽌不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH=AB=6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6cm．∵当t=6s时，S=2，×AB×BC=∴12∴BC=∵当6≤t≤9时，S=∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，∴HC=3cm，即点H为CD的中点．∴BH=6．∴AB=AH=BH=6，∴△ABM为等边三⾓形．∴∠HAB=60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM=AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三⾓形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三⾓形：此时有两个符合条件的点；当AD=AM时，△ADM为等腰三⾓形，如图：当DA=DM时，△ADM为等腰三⾓形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三⾓形的点M⼀共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM =AN =t ，由①知：∠HAB =60°．在Rt △AME 中，∵sin ∠MAE =MEAM ，∴ME =AM ，∴S =12AN ×ME =12×t 2．∴③正确；④当t CM由①知：BC =∴MB =BC -CM =∵AB =6，∴tan ∠MAB =BM AB ∴∠MAB =30°．∵∠HAB =60°，∴∠DAH =90°-60°=30°．∴∠DAH =∠BAM ．∵∠D =∠B =90°，∴△ADH ∽△ABM ．∴④正确；⑤当9＜t ＜9+M 在边BC 上，如图，此时MB =9+t ，∴S =12×AB ×MB =12×6×=27+3t ．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三⾓形的⾯积，等腰三⾓形的判定，等边三⾓形的判定，相似三⾓形的判定，特殊⾓的三⾓函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．⼆．填空题（共6⼩题，满分18分，每⼩题3分）11．如图，已知△ABC ≌△DEF ，点B ，E ，C ，F 依次在同⼀条直线上．若BC =8，CE =5，则CF 的长为．【答案】3【分析】利⽤全等三⾓形的性质求解即可．【详解】解：由全等三⾓形的性质得：EF=BC=8，∴CF=EF−CE=8−5=3，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三⾓形性质，熟练掌握全等三⾓形的性质是解答的关键．12．⼀个三⾓形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是．（只填⼀个即可）【答案】4（答案不唯⼀，⼤于2且⼩于8之间的数均可）【分析】根据三⾓形的三边关系定理：三⾓形两边之和⼤于第三边，三⾓形的两边差⼩于第三边可得5−3<x<5+3，再解即可．【详解】解：设第三边长为x，由题意得：5−3<x<5+3，则2<x<8，故答案可为：4（答案不唯⼀，⼤于2且⼩于8之间的数均可）．【点睛】此题主要考查了三⾓形的三边关系：第三边的范围是：⼤于已知的两边的差，⽽⼩于两边的和．13．【原创题】若直三棱柱的上下底⾯为正三⾓形，侧⾯展开图是边长为6的正⽅形，则该直三棱柱的表⾯积为．【答案】36++36【分析】根据题意得出正三⾓形的边长为2，进⽽根据表⾯积等于两个底⾯积加上侧⾯正⽅形的⾯积即可求解．【详解】解：∵侧⾯展开图是边长为6的正⽅形，∴底⾯周长为6，∵底⾯为正三⾓形，∴正三⾓形的边长为2作CD ⊥AB ，∵△ABC 是等边三⾓形，AB =BC =AC =2，∴AD =1，∴在直⾓ΔADC 中，CD∴S △ABC =12×2∴该直三棱柱的表⾯积为6×6+36+故答案为：36+【点睛】本题考查了三棱柱的侧⾯展开图的⾯积，等边三⾓形的性质，正⽅形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC <AC ．点D ，E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，将△BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B '．若点B '刚好落在边AC 上，∠CB 'E =30°，CE =3，则BC 的长为 ．【答案】9【分析】根据折叠的性质以及含30度⾓的直⾓三⾓形的性质得出B 'E =BE =2CE =6，即可求解．【详解】解：∵将△BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B '．点B '刚好落在边AC 上，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC <AC ，∠CB 'E =30°，CE =3，∴B 'E =BE =2CE =6，∴BC =CE +BE =3+6=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度⾓的直⾓三⾓形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【新考法】 数学与规律探究——图形类规律15．在平⾯直⾓坐标系中，点A 1、A 2、A 3、A 4⋯在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3⋯在直线y =x ≥0上，若点A 1的坐标为2,0，且△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4⋯均为等边三⾓形．则点B 2023的纵坐标为 ．【答案】2【分析】过点A 1作A 1M ⊥x 轴，交直线y x ≥0于点M ，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，先求出∠A 1OM =30°，再根据等边三⾓形的性质、等腰三⾓形的判定可得A 1B 1=OA 1=2，然后解直⾓三⾓形可得B 1C 的长，即可得点B 1的纵坐标，同样的⽅法分别求出点B 2,B 3,B 4的纵坐标，最后归纳类推出⼀般规律，由此即可得．【详解】解：如图，过点A 1作A 1M ⊥x 轴，交直线y x ≥0于点M ，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，∵A 12,0，∴OA 1=2，当x =2时，y 1M∴tan ∠A 1OM =A 1M A 1O ∴∠A 1OM =30°，∵△A 1B 1A 2是等边三⾓形，∴∠A 2A 1B 1=60°,A 1A 2=A 1B 1，∴∠OB 1A 1=30°=∠A 1OM ，∴A 1B 1=OA 1=2，∴B 1C =A 1B 1⋅sin60°=2B 1的纵坐标为2同理可得：点B 2的纵坐标为22点B 3的纵坐标为23点B 4的纵坐标为24归纳类推得：点B n 的纵坐标为2n 2n −n 为正整数），则点B 2023的纵坐标为22023−2故答案为：2【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三⾓形的性质、正⽐例函数的应⽤、解直⾓三⾓形等知识点，正确归纳类推出⼀般规律是解题关键．16．【创新题】如图，在△ABC 中，AB =AC,∠A <90°，点D,E,F 分别在边AB ，BC,CA 上，连接DE,EF,FD ，已知点B 和点F 关于直线DE 对称．设BC AB =k ，若AD =DF ，则CFFA = （结果⽤含k 的代数式表⽰）．【答案】k 22−k 2【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE ∥AC ，再证△BDE ∽△BAC ，推出EC =12k ⋅AB ，通过证明△ABC ∽△ECF ，推出CF =12k 2⋅AB ，即可求出CF FA的值．【详解】解： ∵点B 和点F 关于直线DE 对称，∴ DB =DF ，∵ AD =DF ，∴ AD =DB ．∵ AD =DF ，∴ ∠A =∠DFA ，∵点B 和点F 关于直线DE 对称，∴ ∠BDE =∠FDE ，⼜∵ ∠BDE +∠FDE =∠BDF =∠A +∠DFA ，∴ ∠FDE =∠DFA ，∴ DE ∥AC ，∴ ∠C =∠DEB ，∠DEF =∠EFC ，∵点B 和点F 关于直线DE 对称，∴ ∠DEB =∠DEF ，∴ ∠C =∠EFC ，∵ AB =AC ，∴ ∠C =∠B ，在△ABC 和△ECF 中，∠B =∠C ∠ACB =∠EFC，∴ △ABC ∽△ECF ．∵在△ABC 中，DE ∥AC ，∴ ∠BDE =∠A ，∠BED =∠C ，∴ △BDE ∽△BAC ，∴ BE BC =BD BA =12，∴ EC =12BC ，∵ BC AB =k ，∴ BC =k ⋅AB ，EC =12k ⋅AB ，∵ △ABC ∽△ECF ．∴ AB EC =BC CF，∴ AB 12k ⋅AB =k⋅AB CF ，解得CF =12k 2⋅AB ，∴CFFA =CFAC−CF=CFAB−CF=12k2⋅ABAB−12k2⋅AB=k22−k2．故答案为：k 22−k2．【点睛】本题考查相似三⾓形的判定与性质，轴对称的性质，平⾏线的判定与性质，等腰三⾓形的性质，三⾓形外⾓的定义和性质等，有⼀定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．三．解答题（共9⼩题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，2 17．如图，AB∥CD，直线MN与AB,CD分别交于点E，F，CD上有⼀点G且GE=GF，∠1=122°．求∠2的度数．【答案】64°【分析】根据AB∥CD，可得∠DFE=∠1=122°，从⽽得到∠EFG=58°，再由GE=GF，可得∠FEG=∠EFG=58°，然后根据三⾓形内⾓和定理，即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∠1=122°∴∠DFE=∠1=122°，∴∠EFG=180°−∠DFE=58°，∵GE=GF，∴∠FEG=∠EFG=58°，∴∠2=180°−∠FEG−∠EFG=64°．【点睛】本题主要考查了平⾏线的性质，等腰三⾓形的性质，三⾓形内⾓和定理，熟练掌握平⾏线的性质，等腰三⾓形的性质，三⾓形内⾓和定理是解题的关键．【⼏何模型】射影定理（相似）18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的⾼．(1)证明：△ABD∽△CBA；(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=185【分析】（1）根据三⾓形⾼的定义得出∠ADB=90°，根据等⾓的余⾓相等，得出∠BAD=∠C，结合公共⾓∠B=∠B，即可得证；（2）根据（1）的结论，利⽤相似三⾓形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的⾼．∴∠ADB=90°，∠B+∠C=90°∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C⼜∵∠B=∠B∴△ABD∽△CBA，（2）∵△ABD∽△CBA∴AB CB =BD AB，⼜AB=6，BC=10∴BD=AB 2CB =3610=185．【点睛】本题考查了相似三⾓形的性质与判定，熟练掌握相似三⾓形的性质与判定是解题的关键．19．△ABC在边长为l的正⽅形⽹格中如图所⽰．①以点C为位似中⼼，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似⽐为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表⽰出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．【答案】①作图见解析，点A1的坐标为（3，﹣3）；②作图见解析；【分析】①延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则△A1B1C满⾜条件；②利⽤⽹格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从⽽得到△A2B2C．③先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．【详解】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；②如图，△A2B2C为所作；③OB点B经过的路径长．【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的⼀般步骤为：确定位似中⼼；分别连接并延长位似中⼼和能代表原图的关键点；③根据位似⽐，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放⼤或缩⼩的图形．也考查了旋转变换．20．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD(1)求证：DE=AF(2)若∠ABC=∠CDE，求证：AF2=BF⋅CE【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先根据平⾏线的性质可得∠DAE=∠ACF，再根据三⾓形的全等的判定可得△DAE≅△ACF ，然后根据全等的三⾓形的性质即可得证；（2）先根据全等三⾓形的性质可得∠AFC=∠DEA，从⽽可得∠AFB=∠CED，再根据相似三⾓形的判定可得△ABF∼△CDE，然后根据相似三⾓形的性质即可得证．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACF，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACFAD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．（2）证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°−∠AFC=180°−∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由（1）已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三⾓形全等的判定与性质、相似三⾓形的判定与性质，熟练掌握相似三⾓形的判定与性质是解题关键．21．综合与实践主题：制作⽆盖正⽅体形纸盒素材：⼀张正⽅形纸板．步骤1：如图1，将正⽅形纸板的边长三等分，画出九个相同的⼩正⽅形，并剪去四个⾓上的⼩正⽅形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成⽆盖正⽅体形纸盒．猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC 与纸盒上∠A 1B 1C 1的⼤⼩关系；(2)证明（1）中你发现的结论．【答案】(1)∠ABC =∠A 1B 1C 1(2)证明见解析.【分析】（1）△ABC 和ΔA 1B 1C 1均是等腰直⾓三⾓形，∠ABC =∠A 1B 1C 1=45°；（2）证明△ABC 是等腰直⾓三⾓形即可.【详解】（1）解：∠ABC =∠A 1B 1C 1（2）证明：连接AC ，设⼩正⽅形边长为1，则AC =BC AB ∵AC 2+BC 2=5+5=AB 2，∴△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∵A 1C 1=B 1C 1=1，A 1C 1⊥B 1C 1，∴△A 1B 1C 1为等腰直⾓三⾓形，∴∠ABC =∠A 1B 1C 1=45°，故∠ABC =∠A 1B 1C 1【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应⽤和等腰三⾓形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．22．如图，⼀次函数y =kx +94（k 为常数，k ≠0）的图象与反⽐例函数y =mx (m 为常数，m ≠0)的图象在第⼀象限交于点A 1,n ，与x 轴交于点B −3,0．(1)求⼀次函数和反⽐例函数的解析式．(2)点P 在x 轴上，△ABP 是以AB 为腰的等腰三⾓形，请直接写出点P 的坐标．【答案】(1)⼀次函数的解析式为y =34x +94，反⽐例函数的解析式为y =3x (2)(−8,0)或(2,0)或(5,0)【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代⼊再解⽅程即可得出答案；（2）⾸先利⽤勾股定理求出得AB 的长，再分两种情形讨论即可．【详解】（1）解：把点B −3,0代⼊⼀次函数y =kx +94得，−3k +94=0,解得：k =34，故⼀次函数的解析式为y =34x +94，把点A1,n代⼊y=34x+94，得n=34+94=3，∴A(1,3)，把点A(1,3)代⼊y=mx，得m=3，故反⽐例函数的解析式为y=3x；（2）解：B−3,0，A(1,3)，AB=5，当AB=PB=5时，P(−8,0)或(2,0)，当PA=AB时，点P,B关于直线x=1对称，∴P(5,0)，综上所述：点P的坐标为(−8,0)或(2,0)或(5,0)．【点睛】本题是反⽐例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三⾓形的性质等知识，运⽤分类思想是解题的关键．23．【原创题】如图，△ABC是边长为4的等边三⾓形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满⾜AD=BE=CF．(1)求证：△ADF≌△BED；(2)设AD的长为x，△DEF的⾯积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述△DEF的⾯积随AD的增⼤如何变化．【答案】(1)见详解(2)y2−+(3)当2<x<4时，△DEF的⾯积随AD的增⼤⽽增⼤，当0<x<2时，△DEF的⾯积随AD的增⼤⽽减⼩【分析】（1）由题意易得AF=BD，∠A=∠B=60°，然后根据“SAS”可进⾏求证；=AF=4−x，（2）分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂⾜分别为点H、G，根据题意可得S△ABC然后可得FG1）易得△ADF≌△BED≌△CFE，则有S△ADF=S△BED=S△CFE4−x，进⽽问题可求解；（3）由（2）和⼆次函数的性质可进⾏求解．【详解】（1）证明：∵△ABC是边长为4的等边三⾓形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，∵AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，在△ADF和△BED中，AF=BD，∠A=∠BAD=BE∴△ADF≌△BED SAS；（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂⾜分别为点H、G，如图所⽰：在等边△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC=4，∴CH=AC⋅sin60°=∴S △ABC =12AB ⋅CH =设AD 的长为x ，则AD =BE =CF =x ，AF =4−x ，∴FG =AF ⋅sin60°∴S △ADF =12AD ⋅FG 4−x ，同理（1）可知△ADF ≌△BED ≌△CFE ，∴S △ADF =S △BED =S △CFE 4−x ，∵△DEF 的⾯积为y ，∴y =S △ABC −3S △ADF =4−x =2−+（3）解：由（2）可知：y 2−+∴a 0，对称轴为直线x =2，∴当x >2时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，当x <2时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；即当2<x <4时，△DEF 的⾯积随AD 的增⼤⽽增⼤，当0<x <2时，△DEF 的⾯积随AD 的增⼤⽽减⼩．【点睛】本题主要考查锐⾓三⾓函数、⼆次函数的综合及等边三⾓形的性质，熟练掌握锐⾓三⾓函数、⼆次函数的综合及等边三⾓形的性质是解题的关键．【⼏何模型】 ⼿拉⼿模型24．如图1，△ABC 是等边三⾓形，点D 在△ABC 的内部，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针⽅向旋转60°，得到线段AE ，连接BD ，DE ，CE ．(1)判断线段BD 与CE 的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接⽤等式表⽰线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．【答案】(1)BD=CE，理由见解析(2)①BE=AE+CE；②∠BAD=45°，理由见解析【分析】（1）利⽤等边三⾓形的性质和旋转的性质易得到△ABD≌△ACE SAS，再由全等三⾓形的性质求解；（2）①根据线段AD绕点A按逆时针⽅向旋转60°得到AE得到△ADE是等边三⾓形，由等边三⾓形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，根据等边三⾓形的性质和锐⾓三⾓函数求值得到∠BAF=∠DAG，AGAD =AFAB，进⽽得到△BAD∽△FAG，进⽽求出∠ADB=90°，结合BD=CE，ED＝EC得到BD=AD，再⽤等腰直⾓三⾓形的性质求解．【详解】（1）解：BD=CE．证明：∵△ABC是等边三⾓形，∴AB=AC，∠BAC=60°．∵线段AD绕点A按逆时针⽅向旋转60°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE SAS，∴BD=CE；（2）解：①BE=AE+CE理由：∵线段AD绕点A按逆时针⽅向旋转60°得到AE，∴△ADE是等边三⾓形，∴AD=DE=AE，由（1）得BD=CE，∴BE=DE+BD=AE+CE；②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，如下图．∵△ADE是等边三⾓形，AG⊥DE，∴∠DAG=12∠DAE=30°，∴AGAD=cos∠DAG∵△ABC是等边三⾓形，点F为线段BC中点，∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF=12∠BAC=30°，∴AFAB=cos∠BAF∴∠BAF=∠DAG，AGAD =AF AB，∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，即∠BAD=∠FAG，∴△BAD ∽△FAG ，∴∠ADB =∠AGF =90°．∵BD =CE ，ED ＝EC ，∴BD =AD ，即△ABD 是等腰直⾓三⾓形，∴∠BAD =45°．【点睛】本题主要考查了等边三⾓形的性质，旋转的性质，全等三⾓形的判定和性质，解直⾓三⾓形，相似三⾓形的判定和性质，等腰直⾓三⾓形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．25．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A (﹣2，0)、B (6，0)两点，与y 轴交于点C (0，﹣3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在直线BC 下⽅的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当PM AM 最⼤时，求点P 的坐标及PMAM 的最⼤值；（3）在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使△BCD 是直⾓三⾓形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =14x 2−x −3；（2）P(3,−154)，916；（3）(3,6)或(3,−9)或(3,−32)或(3−32)【分析】（1）将A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代⼊y =ax 2+bx +c 即可求解析式；（2）过点A 作AE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，过P 作PF ⊥x 轴交直线BC 于点F ，由PF //AE ，可得MP AM =PF AE ，则求PF AE 的最⼤值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD =90°时，过点B 作GH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作CH ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，可证明ΔDBG ∽ΔBCH ，求出D(3,6)；当∠BCD =90°时，过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，可证明ΔOBC ∽ΔKCD ，求出D(3,−9)；当∠BDC =90°时，线段BC 的中点T(3,−32)，设D(3,m)，由DT =12BC ，可求D(32)或D(3,−32)．【详解】解：（1）将点A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代⼊y =ax 2+bx +c ，得4a −2b +c =036a +6b +c =0c =−3 ，解得a =14b =−1c =−3，∴y =14x 2−x −3；（2）如图1，过点A 作AE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，过P 作PF ⊥x 轴交直线BC 于点F ，∴PF //AE ，∴ MP AM =PF AE ，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，∴6k +d =0d =−3 ，∴ k =12d =−3 ，∴y =12x −3，设P(t,14t 2−t −3)，则F(t,12t −3)，∴PF =12t −3−14t 2+t +3=−14t 2+32t ，∵A(−2,0)，∴E(−2,−4)，∴AE =4，∴ MP AM =PF AE =−14t 2+32t 4=−116t 2+38t =−116(t −3)2+916，∴当t =3时，MP AM 有最⼤值916，∴P(3,−154)；（3）∵P(3,−154)，D 点在l 上，如图2，当∠CBD =90°时，过点B 作GH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作CH ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，∴∠DBG +∠GDB =90°，∠DBG +∠CBH =90°，∴∠GDB =∠CBH ，∴ΔDBG ∽ΔBCH ，∴ DG BH =BG CH ，即33=BG 6，∴BG =6，∴D(3,6)；如图3，当∠BCD =90°时，过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，∵∠KCD +∠OCB =90°，∠KCD +∠CDK =90°，∴∠CDK =∠OCB ，∴ΔOBC ∽ΔKCD ，∴ OB KC =OC KD ，即6KC =33，∴KC =6，∴D(3,−9)；如图4，当∠BDC =90°时，线段BC 的中点T(3,−32)，BC =设D(3,m)，∵DT =12BC ，∴|m +32|∴m =32或m =−32，∴D(3−32)或D(3,32)；综上所述：ΔBCD 是直⾓三⾓形时，D 点坐标为(3,6)或(3,−9)或(3,32)或(32)．【点睛】本题考查⼆次函数的综合，熟练掌握⼆次函数的图象及性质，通过构造平⾏线将MP AM 的最⼤值问题转化为求PF AE 的最⼤值问题是解题的关键．。