实验十二 探究单摆周期与摆长的关系

单摆周期与摆长关系引言单摆是物理学中研究振动现象的经典模型之一。

它由一个悬挂在固定点上的质点构成，通过一个轻细的绳或杆连接。

当质点被扰动并释放时，它会围绕固定点做周期性振动。

本文将探讨单摆周期与摆长之间的关系，并通过理论分析和实验验证来证明摆长对周期的影响。

理论分析首先，我们需要了解单摆的运动方程。

对于小摆角的情况，摆动的运动近似为简谐振动。

根据简谐振动的运动方程，可以推导出单摆的摆动周期与摆长之间的关系。

考虑到单摆的悬挂线长为L，质点的质量为m，摆动时与竖直方向夹角为θ。

由达西定律推导出来的单摆运动方程如下：\[ mL\frac{d2\theta}{dt2} = -mg\sin\theta \]其中，t为时间，g为重力加速度。

由于摆动的幅度较小，可以对上式进行近似处理。

使用小角度近似，即\(\sin\theta \approx \theta\)，得到以下简化的运动方程：\[ \frac{d2\theta}{dt2} = -\frac{g}{L} \theta \]这是一个简谐振动的运动方程，其解为：\[ \theta(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]其中，A为振幅，\(\omega\)为角频率，\(\phi\)为相位。

摆动的周期T可以定义为完成一次完整振动所需要的时间。

在单摆运动中，振动周期T与角频率\(\omega\)的关系为：\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]将简谐振动的解带入上式，得到：\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{L}}} \]可以看出，单摆的周期T与摆长L之间存在平方根关系。

实验验证为了验证理论推导的结果，我们设计了一个实验来测量单摆周期与摆长之间的关系。

实验装置包括一个可调节长度的摆线和一个质量较小的金属球。

我们先固定摆线的长度，然后将金属球拉到一侧并释放。

通过计时器记录金属球来回摆动的时间，即得到振动周期。

实验十四探究单摆的摆长与周期的关系1.实验原理当偏角很小时,单摆做简谐运动,其运动周期为T＝2π错误!,它与偏角的大小与摆球的质量无关,由此得到g＝错误!.因此,只要测出摆长l和振动周期T,就可以求出当地的重力加速度g的值.2.实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线<约1 m>、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺.3.实验步骤<1>让细线的一端穿过金属小球的小孔,然后打一个比小孔大一些的线结,做成单摆.<2>把细线的上端用铁夹固定在铁架台上,把铁架台放在实验桌边,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自然下垂,在单摆平衡位置处做上标记,如图1所示.图1<3>用毫米刻度尺量出摆线长度l′,用游标卡尺测出摆球的直径,即得出金属小球半径r,计算出摆长l＝l′＋r.<4>把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度<不超过5°>,然后放开金属小球,让金属小球摆动,待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t,计算出金属小球完成一次全振动所用时间,这个时间就是单摆的振动周期,即T＝错误!<N为全振动的次数>,反复测3次,再算出周期的平均值错误!＝错误!.<5>根据单摆周期公式T＝2π错误!,计算当地的重力加速度g＝错误!.<6>改变摆长,重做几次实验,计算出每次实验的重力加速度值,求出它们的平均值,该平均值即为当地的重力加速度值.<7>将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较,分析产生误差的可能原因.1.注意事项<1>构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小,选用体积小、密度大的小球,摆角不超过5°.<2>要使摆球在同一竖直面内摆动,不能形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.<3>测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小,而最高点速度小、计时误差大.②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时,且在数"零"的同时按下秒表,以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.<4>本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l,用横轴表示T2,将实验所得数据在坐标平面上标出,应该得到一条倾斜直线,直线的斜率k＝错误!.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法.2.数据处理处理数据有两种方法：<1>公式法：测出30次或50次全振动的时间t,利用T＝错误!求出周期；不改变摆长,反复测量三次,算出三次测得的周期的平均值错误!,然后利用公式g＝错误!求重力加速度.<2>图象法：由单摆周期公式不难推出：l＝错误!T2,因此,分别测出一系列摆长l对应的周期T,作l－T2的图象,图象应是一条通过原点的直线,如图2所示,求出图线的斜率k＝错误!,即可利用g＝4π2k求重力加速度.图23.误差分析<1>系统误差的主要来源：悬点不固定,球、线不符合要求,振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.<2>偶然误差主要来自时间的测量,因此,要从摆球通过平衡位置时开始计时,不能多计或漏计全振动次数.命题点一教材原型实验例1某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素.<1>他组装单摆时,在摆线上端的悬点处,用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线,再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧,如图3所示,这样做的目的是________<填字母代号>.图3A.保证摆动过程中摆长不变B.可使周期测量更加准确C.需要改变摆长时便于调节D.保证摆球在同一竖直平面内摆动<2>他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下,用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m,再用游标卡尺测量摆球直径,结果如图4所示,则该摆球的直径为________ mm,单摆摆长为________ m.图4<3>下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程.图中横坐标原点表示计时开始,A、B、C均为30次全振动的图象,已知sin 5°＝0.087,sin 15°＝0.26,这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________<填字母代号>.答案<1>AC<2>12.00.993 0<3>A解析<1>橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变,从而保证摆长不变,同时又便于调节摆长,A、C正确；<2>根据游标卡尺读数规则可得摆球直径为d＝12 mm＋0.1 mm×0＝12.0 mm,则单摆摆长为L0＝L－错误!＝0.993 0 m<注意统一单位>；<3>单摆摆角不超过5°,且计时位置应从最低点<即速度最大位置>开始,故A项的操作符合要求.变式1某同学用单摆测当地的重力加速度.他测出了摆线长度L和摆动周期T,如图5<a>所示.通过改变悬线长度L,测出对应的摆动周期T,获得多组T与L,再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图象如图<b>所示.由图象可知,摆球的半径r＝________ m,当地重力加速度g＝________ m/s2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________<选填"偏大""偏小"或"一样">图5答案1.0×10－29.86一样命题点二实验拓展与创新例2<2015·##理综·9<2>>某同学利用单摆测量重力加速度.<1>为了使测量误差尽量小,下列说法正确的是________.A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下,摆的振幅尽量大<2>如图6所示,在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆.实验时,由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺,于是他先使摆球自然下垂,在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点,测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变,设法将摆长缩短一些,再次使摆球自然下垂,用同样方法在竖直立柱上做另一标记点,并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果,写出重力加速度的表达式g＝________.图6答案<1>BC<2>错误!解析<1>在利用单摆测重力加速度实验中,为了使测量误差尽量小,须选用密度大、半径小的摆球和不易伸长的细线,摆球须在同一竖直面内摆动,摆长一定时,振幅尽量小些,以使其满足简谐运动条件,故选B、C.<2>设第一次摆长为L,第二次摆长为L－ΔL,则T1＝2π错误!,T2＝2π错误!,联立解得g＝错误!.变式2为了研究滑块的运动,选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以与由漏斗和细线构成的单摆等组成如图7甲所示装置,实验中,滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动,同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动,漏斗可以漏出很细的有色液体,在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置,如图乙所示.图7<1>漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________<填写仪器序号>.A.打点计时器B.秒表C.毫米刻度尺D.电流表<2>已知单摆周期T＝2 s,在图乙中AB＝24.10 cm,BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm,则单摆在经过D点时,滑块的瞬时速度为v D＝________ m/s,滑块的加速度为a＝________ m/s2<结果保留两位有效数字>.答案<1>A<2>0.340.040解析<1>单摆振动具有周期性,摆球每隔半个周期经过纸带中线一次,单摆在该实验中所起的作用与打点计时器相同,故选A.<2>在匀变速直线运动中,中间时刻的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度大小,故有v D＝错误!＝0.34 m/s据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2,有：a＝错误!＝0.040 m/s2。

第十二章实验十二1.某同学做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验时，测得的重力加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是()A. 测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成摆长B. 测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，此后摆球第30次通过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为t，并由计算式T＝t30求得周期C. 开始摆动时振幅过小D. 所用摆球的质量过大解析：由T＝2π lg得g＝4π2lT2，造成g偏大的原因一是l偏大，二是T偏小，因此A错B对．振幅过小和摆球质量过大对实验结果没有影响．答案：B2．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结果精度有利的是()A．适当加长摆线B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期解析：单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度．适当加长摆线长度有利于把摆球看成质点，在摆角小于10°的条件下，摆球的空间位置变化较大，便于观察，选项A对．摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，选项B错．只有在小角度的情形下，单摆的周期才满足T＝2πlg，选项C对．本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，选项D错．答案：AC3．如图所示，甲、乙、丙、丁四个单摆的摆长均为l，四个小球质量均为m，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a向下加速运动的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电，放在匀强电场E中，周期为T 丁；分别求出它们的周期．则下列说法正确的是()A ．T 甲>T 乙>T 丙>T 丁B ．T 甲＝T 丙>T 乙>T 丁C ．T 乙>T 甲＝T 丙>T 丁D ．T 丁>T 乙>T 甲＝T 丙解析：由题意知T 甲＝2πl g ；乙处在加速下降的电梯中，T 乙＝2πl g －a；丙处在匀强磁场中，所受洛伦兹力始终沿绳方向，对单摆周期无影响，T 丙＝2πl g ；丁处在电场中，等效重力加速度g ′＝g ＋qE m，所以T 丁＝2πl g ′.综上所述有T 乙>T 甲＝T 丙>T 丁． 答案：C 4．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50 cm ，摆球直径为2.00 cm ，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图所示．则：(1)该摆摆长为________cm ，秒表的示数为________；(2)如果他测得的g 值偏小，可能的原因是( )A ．测摆线长时摆线拉得过紧B ．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了C ．开始计时时，秒表过迟按下D ．实验中误将49次全振动数为50次解析：(1)由摆长公式l ＝l ′＋d /2，知l ＝98.50 cm ＝0.9850 m ，由秒表的读数方法，可求得单摆振动50次所用的时间t ＝短针读数(t 1)＋长针读数(t 2)＝3×30 s ＋9.8 s ＝99.8 s ，同时可求得周期T .(2)通过g ＝4π2l T2，可知g 偏小的可能原因有二：一是摆长l 的测量值偏小，即测量值小于实际值，可知A 错，B 正确；二是周期T 的测量值偏大，如开始计时时，过早按下秒表；停止计时时，过迟按下秒表；误把n ＋1次全振动数为n 次等等．由此可知C 、D 选项皆错，故正确答案为B.答案：(1)98.5 99.8 s (2)B5．某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他只好找到一块大小为3 cm 左右，外形不规则的大理石块代替小球．实验步骤是A ．石块用细尼龙线系好，结点为M ，将尼龙线的上端固定于O 点B ．用刻度尺测量OM 间尼龙线的长度L 作为摆长C ．将石块拉开一个大约α＝30°的角度，然后由静止释放D ．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t ，由T ＝t /30得出周期E ．改变OM 间尼龙线的长度，再做几次实验，记下相应的L 和TF ．求出多次实验中测得的L 和T 的平均值作计算时使用的数据，带入公式g ＝(2πT)2L 求出重力加速度g .(1)你认为该同学在以上实验步骤中有重大错误的是哪些步骤？为什么？(2)该同学用OM 的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？你认为用何方法可以解决摆长无法准确测量的困难？解析：(1)实验步骤中有重大错误的是：B ：大理石重心到悬挂点间的距离才是摆长C ：最大偏角不能超过10°D ：应在摆球经过平衡位置时计时F ：应该用各组的L 、T 求出各组的g 后，再取平均值．(2)用OM 作为摆长，则忽略了大理石块的大小，没有考虑从结点M 到石块重心的距离，故摆长L 偏小．根据T ＝2πL g ，g ＝4π2L T 2.故测量值比真实值偏小．可以用改变摆长的方法．如T ＝2πL g ，T ′＝2πL ＋Δl g ，测出Δl .则g ＝4π2Δl T ′2－T 2. 6．将一单摆装置竖直挂于某一深度h (未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，测量出筒的下端口到摆球球心的距离l ，并通过改变l 而测出对应的周期T ，再以T 2为纵轴、l 为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h 和当地的重力加速度．(取π2＝9.86)(1)如果实验中所得到的T 2－l 关系图象如图乙所示，那么正确的图象应是a 、b 、c 中的________．(2)由图象可知，小筒的深度h ＝________m ，当地的重力加速度g ＝________m/s 2. 解析：(1)由单摆周期公式T ＝2πL g 可得T 2＝4π2g L ，而L ＝l ＋h ，所以T 2＝4π2g(l ＋h )，即T 2＝4π2g l ＋4π2g h ，正确图象应是a . (2)由图象知4π2h g ＝1.20，4π2g ＝1.200.3，得g ＝π2＝9.86 m/s 2，h ＝0.30 m. 答案：(1)a (2)0.30 9.867．[2012·重庆模拟]在“用单摆测定重力加速度”的实验中，为防止摆球在摆动过程中形成“圆锥摆”，实验中采用了如图甲所示的双线摆．测出摆线长度为L ，线与水平横杆夹角为θ，摆球半径为r .若测出摆动的周期为T ，则此地重力加速度为________；某同学用10分度的游标卡尺测量摆球的直径时，主尺和游标如图乙所示，则摆球的半径r 为________mm.解析：单摆的摆长为l ＝L sin θ＋r ，由周期公式T ＝2πl g，此地的重力加速度为g ＝4π2(L sin θ＋r )T 2.由图知摆球的半径r ＝12×16.0 mm ＝8.0 mm. 8. 在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如右图所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R 随时间t 变化图线如下图所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”、“不变”或“变小”)，图乙中的Δt将________(填“变大”、“不变”或“变小”)．解析：小球摆动到最低点时，挡光使得光敏电阻阻值增大，从t1时刻开始，再经两次挡光完成一个周期，故T＝2t0；摆长为摆线加小球半径，当小球直径变大，则摆长增加，由周期公式T＝2πlg可知，周期变大；当小球直径变大，挡光时间增加，即Δt变大．答案：2t0变大变大。

单摆的周期跟摆长的关系
在探究单摆的周期跟哪些因素有关的实验中，得出周期跟摆长的关系是本实验的主要任务，为了探究二者的关系，实际教学过程中可以参考如下思路进行。

一、理论指导
单摆的周期指单摆做简谐运动时，完成一次全振动的时间。

单摆的摆长指悬挂小球的细线长度跟小球半径之和。

一个单摆制作完工以后，其摆长为定值，不同摆长的单摆振动过程中，振动周期与摆长有关，在某一地点，重力加速度g一定，单摆的摆长不同，振动周期就不同。

二、实验指导
1.定性探究：由对比实验不难发现摆长L越大，周期T越大。

2.猜想：有可能T跟L成正比，也可能T2跟L成正比。

3.定量探究：先设计数据表，然后通过实验获取相关数据，最后根据表中数据作出T2--L 图象，就会发现图线是一条直线，从而验证了T2跟L成正比的猜想。

数据表如下：。

摆动周期与摆长的关系实验摆动周期（或称为摆动时间）是指一个摆锤从一个极点摆动到另一个极点所需的时间。

而摆长是指摆锤的长度，通常用L表示。

摆动周期与摆长之间存在着一定的关系，通过实验可以探究这种关系。

实验装置：为了进行摆动周期与摆长的关系实验，我们需要准备以下装置和器材：1. 一个可以自由摆动的物体，如一个小球或小木块，作为摆锤。

2. 一根轻便的绳或线，用于悬挂摆锤。

3. 一个固定的支架或吊杆，以确保摆锤的运动方向。

实验步骤：1. 将绳或线固定在支架或吊杆上，确保其能够自由摆动，可以沿一个垂直线方向运动。

2. 将摆锤悬挂在绳或线的另一端，确保摆锤能够自由摆动而不受外界干扰。

3. 将摆锤拉至一较大的摆幅，然后释放，观察其摆动的过程。

4. 使用计时器或秒表，测量摆动开始到达记时点的时间，即一个完整的摆动周期的时间。

5. 重复以上步骤多次，记录每次测量得到的摆动周期和对应的摆长数值。

实验数据记录与处理：在实验过程中，每次测量得到的摆动周期和对应的摆长数值应记录在实验表中，以便后续的数据处理和分析。

为了获得更准确的结果，可以进行多次测量并取平均值。

实验结果与讨论：将实验所得数据绘制成摆长和摆动周期的图表，可以更直观地观察二者之间的关系。

根据实验结果，我们可以得出以下结论：1. 当摆长较小时，摆动周期较短；当摆长较大时，摆动周期较长。

2. 摆长和摆动周期之间存在着正比关系，即摆长越大，摆动周期越长。

结论解释：根据摆锤的运动规律和力学知识，我们可以解释这种关系。

摆锤在摆动过程中，受到万有引力和向心力的作用。

摆长的增大会导致摆锤的势能增加，引起摆锤受力的变化，从而影响摆动周期。

直观地说，摆长增大意味着摆锤离旋转轴更远，转动的路程更长，所需时间也就增加。

实验误差与改进：在实际实验中，由于摆动过程受到各种因素的影响，可能会产生一定的误差。

为了减小误差，可以采取以下改进措施：1. 保持实验环境的稳定性，避免外界风力等干扰摆动过程。

单摆运动周期与摆长关系摆长是指单摆的线长，即摆锤离摆轴的距离。

在物理学中，单摆是一个重要的研究对象，它的运动周期与摆长之间存在着一定的关系。

本文将探讨单摆运动周期与摆长的关系，并从理论和实验两个方面进行讨论。

一、理论分析单摆的运动周期与摆长之间存在着一个简单的数学关系，即周期的平方与摆长成正比。

这个关系由物理学家伽利略在16世纪提出，并由后来的科学家进行了验证和推广。

假设单摆的摆长为L，重力加速度为g，摆锤的质量为m。

根据牛顿第二定律，摆锤在重力作用下受到一个向心力，大小为mg*sinθ，其中θ为摆锤与竖直方向的夹角。

根据几何关系，可以得到sinθ=L/L0，其中L0为摆锤在最低点时的线长。

根据牛顿第二定律和几何关系，可以得到摆锤的运动方程为：m*L0*d^2θ/dt^2 = -m*g*sinθ化简后得到：d^2θ/dt^2 + g/L0*sinθ = 0这是一个非线性的微分方程，很难直接求解。

但是，当θ很小的时候，可以近似地认为sinθ≈θ，即θ的弧度近似等于它的正弦值。

这个近似成立的条件是θ的弧度要远小于1弧度，即θ要远小于π/2。

在这个近似条件下，可以将微分方程简化为：d^2θ/dt^2 + g/L0*θ = 0这是一个简谐振动的微分方程，它的解可以表示为：θ(t) = A*sin(ωt + φ)其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。

通过对微分方程的求解，可以得到角频率ω的表达式：ω = √(g/L0)根据周期的定义，周期T等于振动一周所需的时间，即T = 2π/ω。

代入角频率的表达式，可以得到周期与摆长的关系：T = 2π*√(L0/g)由此可见，单摆的运动周期与摆长的平方根成正比。

二、实验验证为了验证理论分析的结果，可以进行实验来测量单摆的运动周期与摆长的关系。

实验的步骤如下：1. 准备一个单摆装置，包括一个摆轴和一个可调节摆长的摆锤。

2. 将摆锤拉至一定角度，然后释放，观察摆锤的运动。