第十章 实验16 探究单摆周期与摆长的关系

单摆运动的周期与摆长的关系探究摆是我们日常生活中非常常见的物体，如钟摆、秋千等。

而单摆作为一种简单的物理振动系统，也是研究摆动现象的基础。

在单摆运动中，周期是一个重要的物理量，它与摆长之间存在着一定的关系。

一、周期的定义和测量方法周期是指一个周期性现象从起点到终点并回到起点所经历的时间间隔。

在单摆运动中，周期可以通过测量摆动一次所需的时间来确定。

测量单摆的周期可以使用简单的实验方法。

首先，将一根线或者细线拴在一个固定的支点上，然后在线的另一端挂上一个重物。

当重物被拉向一侧后释放，它将开始进行摆动。

使用计时器来记录从某一固定位置（例如摆球运动的最高点）开始，到下一次回到固定位置所经历的时间。

重复多次测量，然后取平均值作为实验结果。

二、周期与摆长的关系在单摆运动中，周期与摆长之间存在着一定的关系，可以表达为周期的平方与摆长的比例关系。

考虑一个简单的单摆系统，重物的质量为m，线的长度为L，重力加速度为g。

摆球在摆动过程中，受力有两个分量：沿摆线方向的重力分量和垂直摆线方向的张力分量。

根据牛顿第二定律，可以得到运动方程。

解决运动方程可以得到单摆运动的周期T的表达式：T = 2π * √(L/g)从上式可以看出，周期T与摆长L成正比。

当摆长增加时，周期也会随之增加。

这是因为较长的摆长对应着更大的牵引力，使得摆球运动的速度更慢，从而导致周期增加。

三、单摆周期与摆长关系的实验验证为了验证周期与摆长之间的关系，可以进行一系列实验。

首先，固定摆球的质量和重力加速度，分别改变摆线的长度，测量不同摆长下的周期。

在实验中选择不同的摆长，可以使用一个可调节的固定支点，或者调节线的长度。

固定起点、记录时间，进行多次测量取平均值。

通过计算周期的平方与摆长之间的比值，可以验证周期与摆长的关系。

实验结果会呈现出周期的平方与摆长的线性关系，验证了周期与摆长之间的关系。

结论通过对单摆运动的周期与摆长的关系进行探究，可以发现它们之间存在着一定的关联。

《探究单摆周期与摆长的关系》教学设计【课标要求】《课程标准》要求学生通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系。

会用单摆测定重力加速度。

为了研究周期与各种因素是否有关以及有怎样的关系，可以采用控制变量的方式进行定性和定量相结合的方案来研究这些关系【教学目标】1．知识与技能目标（1）知道单摆周期与哪些因素有关。

（2）知道单摆的周期公式。

（3）能运用单摆的周期公式解答有关实际问题。

2．过程与方法目标（1）通过单摆振动周期规律探究，培养学生猜想能力，实验设计能力，数据处理能力，交流协作能力。

（2）通过单摆周期公式的应用，培养学生运用物理知识解答实际问题的能力。

3．情感态度与价值观目标（1）结合物理学史介绍物理学家对单摆的研究，法展学生对自然的好奇性，激发学生乐于探究自然的奥秘。

（2）在单摆周期规律的探究中，培养学生的交流协作精神，使学生体验科学探究的艰辛和喜悦。

【学情分析】1．通过前面的学习，学生已经知道了单摆的概念，单摆的回复力等知识。

也了解了单摆做简谐运动的条件。

2．高二学生已有一定的物理学科方法，如观察实验，控制实验，假说方法，从现象归纳规律等，可以实现教材渗透的方法教育意图3.可能存在的困难：学生对实验的数据处理。

【教学重难点】1．教学重点：自足探究单摆的周期与哪些因素有关。

2．教学难点：定量实验，得出单摆的周期T与L的关系并对数据的处理。

【课前准备】1.课前完成对小组长学案题目完成情况的的检查和实验操作的指导培训。

【教学过程】一、实验目的：探究单摆的周期与摆长的关系。

二、实验器材：铁架台细线摆球（中间有孔）游标卡尺直尺秒表三、实验方法：控制变量法四、实验步骤：1、组装仪器2、测量摆长3、测量周期4、数据处理5、重复测量【自主探究】：探究一：探究单摆的周期与什么因素有关？物理量振幅（A）质量（M）摆长（L）周期（T）振幅（A）改变不变不变质量（M）不变改变不变摆长（L）不变不变改变探究二：探究单摆周期与摆长之间有什么定量的关系？物理量/组数 1 2 3 4 5摆长（L）周期（T）周期（T2）猜想：先通过简单的数据分析，对周期T与摆长L的定量关系做出猜猜，例如可能是T ∝L、 T∝L2或者、……然后按照猜测来确定纵坐标轴和横坐标轴。

单摆的周期跟摆长的关系
在探究单摆的周期跟哪些因素有关的实验中，得出周期跟摆长的关系是本实验的主要任务，为了探究二者的关系，实际教学过程中可以参考如下思路进行。

一、理论指导
单摆的周期指单摆做简谐运动时，完成一次全振动的时间。

单摆的摆长指悬挂小球的细线长度跟小球半径之和。

一个单摆制作完工以后，其摆长为定值，不同摆长的单摆振动过程中，振动周期与摆长有关，在某一地点，重力加速度g一定，单摆的摆长不同，振动周期就不同。

二、实验指导
1.定性探究：由对比实验不难发现摆长L越大，周期T越大。

2.猜想：有可能T跟L成正比，也可能T2跟L成正比。

3.定量探究：先设计数据表，然后通过实验获取相关数据，最后根据表中数据作出T2--L 图象，就会发现图线是一条直线，从而验证了T2跟L成正比的猜想。

数据表如下：。

单摆运动周期与摆长关系摆长是指单摆的线长，即摆锤离摆轴的距离。

在物理学中，单摆是一个重要的研究对象，它的运动周期与摆长之间存在着一定的关系。

本文将探讨单摆运动周期与摆长的关系，并从理论和实验两个方面进行讨论。

一、理论分析单摆的运动周期与摆长之间存在着一个简单的数学关系，即周期的平方与摆长成正比。

这个关系由物理学家伽利略在16世纪提出，并由后来的科学家进行了验证和推广。

假设单摆的摆长为L，重力加速度为g，摆锤的质量为m。

根据牛顿第二定律，摆锤在重力作用下受到一个向心力，大小为mg*sinθ，其中θ为摆锤与竖直方向的夹角。

根据几何关系，可以得到sinθ=L/L0，其中L0为摆锤在最低点时的线长。

根据牛顿第二定律和几何关系，可以得到摆锤的运动方程为：m*L0*d^2θ/dt^2 = -m*g*sinθ化简后得到：d^2θ/dt^2 + g/L0*sinθ = 0这是一个非线性的微分方程，很难直接求解。

但是，当θ很小的时候，可以近似地认为sinθ≈θ，即θ的弧度近似等于它的正弦值。

这个近似成立的条件是θ的弧度要远小于1弧度，即θ要远小于π/2。

在这个近似条件下，可以将微分方程简化为：d^2θ/dt^2 + g/L0*θ = 0这是一个简谐振动的微分方程，它的解可以表示为：θ(t) = A*sin(ωt + φ)其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。

通过对微分方程的求解，可以得到角频率ω的表达式：ω = √(g/L0)根据周期的定义，周期T等于振动一周所需的时间，即T = 2π/ω。

代入角频率的表达式，可以得到周期与摆长的关系：T = 2π*√(L0/g)由此可见，单摆的运动周期与摆长的平方根成正比。

二、实验验证为了验证理论分析的结果，可以进行实验来测量单摆的运动周期与摆长的关系。

实验的步骤如下：1. 准备一个单摆装置，包括一个摆轴和一个可调节摆长的摆锤。

2. 将摆锤拉至一定角度，然后释放，观察摆锤的运动。

[考试标准]知识内容必考要求加试要求 实验16：探究单摆周期与摆长的关系√1．实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πlg，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2lT 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值． 2．实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺． 3．实验步骤(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆． (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示．(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝tN (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期的平均值T ＝T 1＋T 2＋T 33.(5)根据单摆周期公式T ＝2πl g 计算当地的重力加速度g ＝4π2l T2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值．(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因．1．注意事项(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．(4)本实验可以采用图象法来处理数据．即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g4π2.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要办法． 2．数据处理处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝tN 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后代入公式g ＝4π2lT2求重力加速度．(2)图象法：图1由单摆周期公式不难推出：l＝g4π2T2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k＝ΔlΔT2，即可利用g＝4π2k求得重力加速度值，如图1所示．3．误差分析(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等．(2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数.命题点一教材原型实验例1小郑同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小约为3 cm、外形不规则的大理石块代替小球．他设计的实验步骤的是：图2A．将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点(如图2所示)B．用刻度尺测量OM间细线的长度l作为摆长C．将石块拉开一个约为5°的偏角，然后由静止释放D．从摆球摆到最低点时开始计时，测出石块经过最低点30次的总时间t，由T＝t30得出周期(1)则该同学以上实验步骤中有错误的是________(填写序号)．(2)根据单摆周期公式推导可得重力加速度的表达式为________；若该同学用OM 的长作为摆长代入上述公式(其他错误已纠正)，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值________(填“大于”“小于”或“等于”)真实值；若该同学改变摆长，进行多次测量，先通过描点法作出T 2－l 图象，再利用图象的斜率来求解重力加速度，则用OM 间细线的长度作为摆长将使重力加速度的测量值________(填“大于”“小于”或“等于”)真实值． 解析 (1)摆长应为O 点到石块重心之间的距离，选项B 错误；石块经过最低点30次的时间为t ，则周期T ＝t15，选项D 错误．(2)由单摆的周期公式T ＝2πl g 得，g ＝4π2lT2.若该同学用OM 作摆长，则摆长偏小，测得的重力加速度偏小．设石块重心到M 点的距离为r ，则实际摆长为l ＋r ，T 2－l 图象的斜率k ＝T 22－T 21l 2＋r －l 1－r ＝T 22－T 21l 2－l 1，所以用OM 间细线的长度作为摆长将使重力加速度的测量值等于真实值．答案 (1)BD (2)g ＝4π2lT 2 小于 等于题组阶梯突破1．某实验小组在探究单摆周期与摆长的关系的实验中：(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图3所示，则该摆球的直径为________cm.图3(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)． A ．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时 B ．测量摆球通过最低点100次的时间t ，则单摆周期为t100C ．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D ．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小 答案 (1)0.97 (2)C解析 (1)主尺刻度加游标尺刻度的总和等于最后读数，0.9 cm ＋7×110 mm ＝0.97 cm ，不需要估读．(2)单摆在摆角较小时才能看做简谐运动，其周期公式才成立，为减小计时误差，应从摆球速度最大的最低点瞬间计时，A 错；通过最低点100次的过程中，经过的时间是50个周期，B 错；应选用密度较大、直径较小的球以减小空气阻力的影响，D 错；悬线的长度加摆球的半径才等于摆长，由单摆周期公式T ＝2πl ＋rg可知，若摆长记录值偏大，测定的重力加速度也偏大，C 正确．2．在用单摆测定重力加速度的实验中：(1)实验时用20分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图4甲所示，则该摆球的直径d ＝________cm.图4(2)接着测量摆线的长度为l 0，实验时用拉力传感器测得摆线的拉力F 随时间t 变化的图象如图乙所示，则通过计算，求得重力加速度的表达式为________． 答案 (1)1.410 (2)g ＝π2(2l 0＋d )8t 2解析 (1)游标卡尺为20等份，每等份为0.05 mm ，故读数为(14＋2×0.05) mm ＝14.10 mm ＝1.410 cm.(2)由题图知，周期T ＝4t 0，而摆长l ＝l 0＋d2，由T ＝2πl g ，得g ＝4π2T 2l ＝4π2(l 0＋d 2)(4t 0)2＝π2(2l 0＋d )8t 20. 3．(1)(2016·浙江10月选考·21(1))在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，测量单摆的周期时，图5中________(填“甲”、“乙”或“丙”)作为计时开始与终止的位置更好些．图5(2)一位同学在做探究单摆周期与摆长关系的实验时，进行了如下步骤： A ．组合单摆：选择相应器材组成单摆，并用铁夹将绳的上端固定； B ．测摆长l ：用米尺量出摆线的长度；C ．测周期T ：将摆球拉起一个小角度，然后放开，在放手的同时按下秒表开始计时，测量单摆50次全振动的时间t ，算出单摆的周期T ＝t50；D ．将所测得的l 和T 填入表格，分析数据得出单摆的周期和摆长的关系． 从上面操作步骤中找出两处错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正．(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________． 答案 (1)乙 (2)见解析解析 (1)单摆周期的计时位置，一般选取摆球经过最低点时记录，所以选择乙图．(2)B.摆长不等于摆线的长度，所以要用游标卡尺测出摆球直径d ，摆长l 等于摆线长与d2之和；C.小球从最高点释放时速度为0，计时的误差比较大，而小球通过最低点时的速度最大，计时的误差比较小，所以按秒表开始计时最好是在小球通过最低点的时候．命题点二 拓展创新实验例2 (1)两个同学分别利用清华大学和广东中山大学的物理实验室，各自在那里用先进的DIS 系统较准确地探究了“单摆的周期T 与摆长L 的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T 2－L 图象，如图6甲所示．在中山大学的同学所测实验结果对应的图线是________(选填A 或B ) .图6(2)在清华大学做实验的同学还利用计算机绘制了a 、b 两个摆球的振动图象，如图乙所示．关于a 、b 两个摆球的振动图象，下列说法正确的是________． A ．a 、b 两个单摆的摆长相等 B ．b 摆的振幅比a 摆小 C ．a 摆的机械能比b 摆大D ．在t ＝1 s 时有正向最大加速度的是a 摆 解析 (1)由单摆周期公式T ＝2πL g 可得：T 2＝4π2g L ，由此可知T 2－L 图象的斜率k ＝4π2g，则重力加速度g ＝4π2k ，图象的斜率k 越大，重力加速度越小，中山大学当地的重力加速度小于清华大学当地的重力加速度，由图象可知，图象A 是在中山大学的同学的实验结果对应的图线．(2)由于T a ＜T b ，重力加速度g 相等，由单摆周期公式T ＝2πLg可得，两单摆的摆长不相等，故A 错误；由题图乙所示图象可知，两单摆的振幅关系：A a ＜A b ，故B 错误；由于不知道两摆球的质量关系，因此无法比较两摆的机械能关系，故C 错误；由题图乙所示图象可知，在t ＝1 s 时刻，a 摆摆球位于负最大位移处，因此它具有正向的最大加速度，故D 正确；故选D.答案 (1)A (2)D 题组阶梯突破4．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h (未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图7甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L ，并通过改变L 而测出对应的摆动周期T ，再以T 2为纵轴、L 为横轴作出T 2－L 函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h 和当地的重力加速度g .图7(1)如果实验中所得到的T 2－L 关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a 、b 、c 中的________；(2)由图可知，小筒的深度h ＝________ m ，当地重力速度g ＝________ m/s 2(π取3.14，g 的计算结果保留三位有效数字)． 答案 (1)a (2)0.3 9.86 解析 (1)由单摆周期公式T ＝2π L ＋h g 得T 2＝4π2L g ＋4π2h g，纵轴截距大于0，图线应为题图乙中的图线a ；(2)由图象的截距得h ＝0.3 m ；由斜率可求得 g ＝4π2k ＝4π21.20.3m /s 2＝π2 m/s 2≈9.86 m/s 2.。

测定并验证单摆周期和摆长的关系一、选题背景：在我们的高一物理书中也详细介绍了单摆的原理与实验。

说到单摆，你一定会联想到铁架台上挂摆球，外加秒表刻度尺，这几乎成了所有学校与学生心中单摆装置的统一模式。

但由于这套装置本身的不完善性，在实验过程中往往会造成较大的误差，并不令人信服。

为了更好地完善单摆实验，我们选择了这个实验作为研究课题。

二、选题目的通过自己搭建实验平台，利用三套不同的TI设备进行实验，更精确的进行数据采样，拟合摆长与周期关系的图样。

同时我们还就以上三套TI设备做单摆实验的优缺点进行综合评价，为TI设备在不久的将来将走进物理实验课做好铺垫。

三、选用仪器TI-83Plus、CBL-2、光电门、自制平台由于一般的铁架台过于笨重，且不可收缩，为实验带来了很大的不便，于是我们有必要自己设计制作一个便携式实验平台四、试验程序TI-83 PHYSICS五、实验方案我们的整个实验主要分为搭建平台与测量数据和汇总两大部分。

其中搭建平台是基础，而伸缩轻杆则是本次搭建平台的关键。

在我们的初步方案中，本来是用抽屉滑槽作为伸缩杆的材料，但是买不到。

我们甚至还考虑了悬挂式平台，但此计划最终还是难产。

为了解决这一难题，我们用了整整两个星期展开全面搜索，最终理想的材料找到了。

我们一共设计并制作了两套实验平台。

其中一个是由铝制拉伸式衣架改装而成，在上面安装滑轮，可以方便地调节摆线长。

另一套是我们为本次试验和身订制的。

在杆上刻有刻度，通过可移动的横杆构成X, Y轴，可以方便地读出摆长，同时通过横杆上的刻度，我们可以很方便地选择相应的摆角。

六、实验过程在整个实验中，我们运用了TI-83Plus、CBL2、光电门。

1．按下APPS键选择PHYSICS，在菜单中找到PHOTOGATE，进入，其中第三项便是有关单摆试验的程序，在进入之前，可以用CHECK GATE来检验光电门是否接触良好，按下第三项，进入试验。

2．控制好摆长，摆角，无外力释放摆球，使球心刚好从光电门的圆孔连线处穿过，待摆动稳定后，按下ENTER键，测得周期有关数据。

实验十四 探究单摆的摆长与周期的关系1.实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πlg，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2lT 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值. 2.实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺. 3.实验步骤(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆. (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示.图1(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝tN (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期的平均值T ＝T 1＋T 2＋T 33.(5)根据单摆周期公式T ＝2πl g ，计算当地的重力加速度g ＝4π2l T2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值.(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因.1.注意事项(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大.②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.(4)本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g4π2.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法. 2.数据处理处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝tN 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后利用公式g ＝4π2lT2求重力加速度.(2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k ＝ΔlΔT 2，即可利用g ＝4π2k 求重力加速度.图23.误差分析(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.(2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计全振动次数.命题点一教材原型实验例1某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素.(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图3所示，这样做的目的是________(填字母代号).图3A.保证摆动过程中摆长不变B.可使周期测量更加准确C.需要改变摆长时便于调节D.保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图4所示，则该摆球的直径为________ mm，单摆摆长为________ m.图4(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程.图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号).答案 (1)AC (2)12.0 0.993 0 (3)A解析 (1)橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变，从而保证摆长不变，同时又便于调节摆长，A 、C 正确；(2)根据游标卡尺读数规则可得摆球直径为d ＝12 mm ＋0.1 mm ×0＝12.0 mm ，则单摆摆长为L 0＝L －d2＝0.993 0 m(注意统一单位)；(3)单摆摆角不超过5°，且计时位置应从最低点(即速度最大位置)开始，故A 项的操作符合要求.变式1 某同学用单摆测当地的重力加速度.他测出了摆线长度L 和摆动周期T ，如图5(a)所示.通过改变悬线长度L ，测出对应的摆动周期T ，获得多组T 与L ，再以T 2为纵轴、L 为横轴画出函数关系图象如图(b)所示.由图象可知，摆球的半径r ＝________ m ，当地重力加速度g ＝________ m/s 2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________(选填“偏大”“偏小”或“一样”)图5答案 1.0×10－2 9.86 一样 命题点二 实验拓展与创新例2 (2015·天津理综·9(2))某同学利用单摆测量重力加速度. (1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________. A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图6所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆.实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________.图6答案(1)BC(2)4π2ΔLT21－T22解析(1)在利用单摆测重力加速度实验中，为了使测量误差尽量小，须选用密度大、半径小的摆球和不易伸长的细线，摆球须在同一竖直面内摆动，摆长一定时，振幅尽量小些，以使其满足简谐运动条件，故选B、C.(2)设第一次摆长为L，第二次摆长为L－ΔL，则T1＝2πLg，T2＝2πL－ΔLg，联立解得g＝4π2ΔLT21－T22.变式2为了研究滑块的运动，选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以及由漏斗和细线构成的单摆等组成如图7甲所示装置，实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，漏斗可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置，如图乙所示.图7(1)漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________(填写仪器序号).A.打点计时器B.秒表C.毫米刻度尺D.电流表(2)已知单摆周期T＝2 s，在图乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，则单摆在经过D点时，滑块的瞬时速度为v D＝________ m/s，滑块的加速度为a＝________ m/s2(结果保留两位有效数字).答案(1)A(2)0.340.040解析(1)单摆振动具有周期性，摆球每隔半个周期经过纸带中线一次，单摆在该实验中所起的作用与打点计时器相同，故选A.(2)在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度大小，故有v D＝x CET＝0.34 m/s据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，有：a＝CD＋DE－(AB＋BC)T2＝0.040 m/s2。

【高中物理】高中物理知识点：实验：探究单摆周期与摆长的关系探究单摆周期与摆长的关系：实验目的：1、探究单摆周期与摆长的关系。

2、能正确熟练地使用秒表。

实验原理：测量摆长和摆的周期，得到一组数据；改变摆长，再得到几组数据。

从中可以找出周期与摆长的关系。

实验器材：带孔小钢球一个、细丝线一条（长约1 m）、毫米刻度尺一把、秒表、游标卡尺、带铁夹的铁架台。

实验步骤：1、做单摆：取约1 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂；2、测摆长：用米尺量出摆线长l（精确到毫米），用游标卡尺测出小球直径D（也精确到毫米），则单摆的摆长l′＝l＋；3、测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于10°），然后释放小球，记下单摆做30次～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。

反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值；4、改变摆长，重做几次实验。

数据处理：1、先通过数据分析，对周期T与摆长l的定量关系做出猜测，例如可能是T∝l、T∝l2，或者；2、建立直角坐标系，用纵坐标表示周期T，横坐标表示l（或l2、、等），作出图象。

如果这样作出的图象确实是一条直线，说明T∝l（或T∝l2、等）。

注意事项：1、选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。

2、单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。

3、注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10°，可通过估算振幅的办法掌握。

4、摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。

5、计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。

以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。

《探究单摆周期与摆长的关系》案例分析为什么说教师最终可以引导学生把探究的因素确定为摆长、振幅、小球质量和重力加速度上来？前面三个还好说，重力加速度怎么能想到？为什么不想到影响因素有空气、小球的大小和小球的材料？学生在进行猜想的时候，有一些猜想非常发散在所难免，教师在这一环节应发挥指导作用，能做到对学生的猜想有放有收，在有限的时间内不可能对学生提出的任何猜想进行假设。

之所以不考虑空气的因素，是因为我们在建立单摆模型的时候已经忽略了空气的影响，另外诸如小球的大小和小球的材料诸因素可以引导学生归纳进小球的质量来。

至于为什么能把探究的因素确定为摆长、振幅、小球质量和重力加速度，可以从单摆的构成要素进行引导。

重力加速度确实不好考虑，但有些学生根据单摆的回复力与重力有关可能猜想到。

学生如果把误差归因为摆角的不同怎么办？这种情况只能在摆角不同的情况下出现，而在摆长相同，摆角在10度以内，除非出现读数问题，其他原因造成的误差不足以影响单摆摆动的周期，而且重复测三次，已经一定程度上消除了测量误差。

如果单摆摆角在10度以内引起的误差非常显著，足以影响学生对摆角对摆动周期的作用的判断，能推翻的只有真理了。

为什么不用科学史导入，而要用实验呢？导入课有多种选择，科学史是一种方式。

在进行本节课前，已经学习了有关单摆的知识，科学史在学习单摆时作为导入似乎更恰当些。

而本节探究课是探究影响单摆周期的因素，根据前面理论部分的介绍，影响单摆周期的因素在学生的头脑中应有一个前概念或相异构想，通过实验导入至少有三个作用：（1）创造两种条件下单摆摆动的情境，有利于启发学生对影响因素的思考（2）通过初步计算两个单摆的周期，造成实验结果与学生前概念的认知冲突（3）实验情境更容易激发学生探究的兴趣。

书上是探究摆长对单摆周期的影响，为什么改成探究影响单摆周期的影响因素？该探究活动是一个经典的训练和考查学生控制变量能力的机会，如果只单纯考察摆长对单摆周期的影响起不到应有的作用。