经典课件：2020年高考物理总复习课时作业五十三实验十一单摆的周期与摆长的关系

第 53 讲实验十一单摆的周期与摆长的关系受迫振动和共振考情分析观察内容考纲领求观察年份观察详情能力要求实验、研究：单摆的周期与摆长的关系T12( B)(2)－解答，理解、实验与研究受迫振动和共振Ⅰ14 年单摆的周期与摆长的关系知识整合一、单摆1．定义：假如细线的质量与小球对比可以 ____________，球的直径与线的长度对比也可以 ____________，这样的装置就叫做单摆．单摆是实质摆的 ____________模型．2．回复力供给：单摆振动时的回复力由 ____________供给．3．在摆角小于10°时，单摆的振动可看作简谐运动．二、单摆周期公式L1．表达式： T＝ 2πg，单摆周期取决于________和________，与振幅和小球质量________．2．摆长：从 ________到 ________的距离．3． g：当地的重力加快度．三、用单摆测定重力加快度1．实验目的用单摆测定重力加快度．2．实验原理单摆在偏角很小( 不超出 10°) 时的摇动，可以为是简谐运动，其固有周期为________，由此可得g＝ ________. 只要测出摆长L 和周期 T，即可算出当地的重力加快度值．3．实验器械长约 1 m的细丝线一条，经过球心开有小孔的金属小球一个、带有铁夹的铁架台一个，________一把， ________一块．4．实验步骤(1)让线的一端穿过小球的小孔，而后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆；(2)把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面之外，让摆球 ________，在单摆均衡地点处做上标志；(3)用刻度尺丈量单摆的摆长 ( 悬点到球心间的距离 ) ；(4)把单摆从均衡地点拉开一个很小的角度 ( 不超出 10° ) ，而后松开小球让它摇动，再用秒表测出单摆完成 30 次或 50 次全振动的时间，计算出均匀完成一次全振动的时间，这个时间就是单摆的________；(5)改变摆长，重做几次实验；(6)依据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加快度，求出几次实验获取的重力加快度的均匀值，即是当地区的重力加快度的值；(7)将测得的重力加快度数值与当地重力加快度值加以比较，分析产生偏差的可能原因．5．注意事项(1)摆线不可以很短或过长或易伸长、摆长应是悬点到球心间的距离．摆球用密度大、直径小的金属球．(2)摆球摇动时应使偏角不超出10°，且在同一竖直面内，不要形成圆锥摆，摆中悬点不可以松动．(3)积累法测周期时，应从最低地点开始计时和记录全振动次数．(4)使用秒表方法是三次按按钮：一是“走时”，二是“停止”，三是“复零”．读数：先读分针刻度 ( 包含半分钟 ) ，再读秒针刻度 ( 最小刻度为 0.1 s，不要再估读 ) ．(5) 办理数据时，采纳图象法，画出T2- L 图象，求得直线的斜率k，即有 g＝ 4π2/k.6．偏差分析(1)本实验系统偏差主要本源于单摆模型自己能否吻合要求．即：悬点能否固定，摆球能否可看作质点，球、线能否吻合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及丈量哪段长度作为摆长等等．只要注意了上边这些问题，就可以使系统偏差减小到远远小于有时偏差而达到忽视不计的程度．(2)本实验有时偏差主要来自时间 ( 即单摆周期 ) 的丈量上，所以，要注意测准时间 ( 周期) ．要从摆球经过均衡地点开始计时，并采纳倒数计时计数的方法，不可以多计或漏计振动次数．为了减小有时偏差，应进行多次丈量后取均匀值．(3)本实验中进行长度 ( 摆线长、摆球的直径 ) 的丈量时，读数读到毫米位即可 ( 即便用游标卡尺测摆球直径也只要读到毫米位 ) ．时间的丈量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．四、振动的分类按振子受力的不一样可将振动分为：1．自由振动 ( 又称固有振动 )回复力是系统内部的互相作用力，没有附带其余的外力作用．弹簧振子的____________是系统内部的力，单摆的________________也是系统内部的力．2．阻尼振动系统遇到摩擦力或其余阻力，系统战胜阻尼的作用要耗费________，因此 ________减小，最后停下来，阻尼振动的图象以以下图．物体做阻尼振动时，振幅虽不停减小，但振动的频率仍由自己结构特色所决定，其实不会随振幅的减小而变化．比方：用力敲锣，因为锣遇到空气的阻尼作用，振幅起来越小，锣声减弱，但音调不变．3．受迫振动(1)定义：如系统遇到周期性外力的作用，就可以利用外力对系统做功，赔偿系统因阻尼作用而损失的能量，使系统连续地振动下去．这类周期性的外力叫________．系统在驱动力作用下的振动叫________．(2)特色：系统做受迫振动的频率老是等于________的频率，与系统的________没关．五、共振1．共振：系统做受迫振动时，假如驱动力的频率可以调理，把不一样频率的驱动力先后作用于同一个振动系统，其受迫振动的振幅将不一样，驱动力频率f________ 系统的固有频率 f 0时，受迫振动的振幅________，这类现象叫做共振．2．共振曲线：横轴表示 ________ 的频率，当 ________时物体的振幅最大．图中 ________是物体的固有频率． f 驱与 f 固相差越大，物体做受迫振动的振幅________．3．共振的应用与防范(1)共振的应用：由共振的条件知，要利用共振就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致，如：共振筛、共振转速计、共鸣箱、核磁共振仪等．(2)共振的防范：由共振曲线可知，在需要防范共振时，要尽量使驱动力的频率和物体振动的固有频率不相等，并且相差越多越好．如：队伍过桥时，为防范周期性的驱动力使桥发生共振，应便步走．(3)自由振动、受迫振动和共振的关系比较振动种类项目自由振动受迫振动共振受力状况仅受回复力周期性驱动力作用周期性驱动力作用由系统自己性质决由驱动力的周期或频振动周期或频率定，即固有周期或固率决定，即 T＝ T 驱或 f T 驱＝ T 固或 f 驱＝ f 固有频率＝ f 驱振动能量振动物体的机械能不由产生驱动变力的物体供给振动物体获取的能量最大常有例子弹簧振子或单摆机械工作时底座发生共振筛、转速计等( θ ≤ 10°)的振动方法技巧考点1单摆【典型例题1】某单摆由 1 m长的摆线连接一个直径 2 cm的铁球构成，关于单摆周期，以下说法正确的选项是()A．用等大的铜球取代铁球，单摆的周期不变B．用大球取代小球，摆长会变化，单摆的周期不变C．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大1. 以以下图，圆滑轨道的半径为 2 m， C 点为圆心正下方的点，A、 B 两点与 C 点相距分别为 6 cm与 2 cm， a、 b 两小球分别从A、B 两点由静止同时开释，则两小球相碰的地点是()A．C点B．C点右边C．C点左边D．不可以确立【典型例题2】用单摆测定重力加快度的实验如图 1 所示．(1)( 多项选择 ) 组装单摆时，应在以下器械中采纳______( 选填选项前的字母 ) ．A．长度为 1 m左右的细线B．长度为30 cm左右的细线C．直径为cm的塑料球．直径为cm 的铁球D图1图2图3(2) 测出悬点O 到小球球心的距离( 摆长 )L 及单摆完成n 次全振动所用的时间t. 则重力加快度g＝ ____________ ．( 用 L， n， t 表示 )(3)下表是某同学记录的 3 组实验数据，并做了部分计算办理．组次123摆长 L/ cm50 次全振动时间 t/s振动周期 T/ s重力加快度 g/( ·s－ 2)m请计算出第 3 组实验中的 T＝ ______， g＝ ______ /2；s m s(4) 用多组实验数据做出T2- L 图象，也可以求出重力加快度g，已知三位同学做出的T2- L 图线的表示图如图 2 中的 a，b， c 所示，此中 a 和 b 平行， b 和 c 都过原点，图线 b对应的 g 值最凑近当地重力加快度的值．则有关于图线b，以下分析正确的选项是( 选填选项前的字母 )()．出现图线 a 的原由可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长LAB．出现图线c的原由可能是误将49次全振动记为50 次．图线 c 对应的 g 值小于图线 b 对应的 g 值C(5) 某同学在家里测重力加快度，他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图 3 所示，因为家里只有一根量程为30 cm的刻度尺，于是他在细线上的 A 点做了一个标志，使得悬点 O到 A 点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标志以下的细线长度不变，经过改变 O、A 间细线长度以改变摆长．实验中，当O、A 间细线的长度分别为l 1、l 2时，测得相应单摆的周期为 T1、T2. 由此可得重力加快度g＝ ____________( 用 l 1、l 2、 T1、 T2表示 ) ．考点 2受迫振动和共振【典型例题3】 (16年扬州一模 )( 多项选择 ) 以以下图， A、 B、C 三个小钢球的质量分别1为 2m、2m、m，A 球振动后，经过张紧的水平细绳给其余各摆施加驱动力．当B、C 振动达到稳准时，以下说法中正确的选项是 ()A．B的振动周期最大B．C的振幅比B的振幅小C．C的振幅比B的振幅大D．A、B、C的振动周期相等【典型例题4】( 多项选择 ) 如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则以下说法正确的是()A．若两次受迫振动分别在月球上和地球长进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l Ⅰ∶ l Ⅱ＝ 25∶4 C．图线Ⅱ假如在地面上完成的，则该摆摆长约为 1 mD．若摆长均为 1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的2.( 多项选择 ) 将测力传感器接到计算机上可以丈量快速变化的力，将单摆挂在测力传感器的探头上，测力探头与计算机连接，用此方法测得的单摆摇动过程中摆线上2拉力的大小随时间变化的曲线以以下图，g 取 10 m/ s . 某同学由此图象供给的信息做出了以下判断，此中正确的选项是()A．摆球的周期T＝sB．单摆的摆长l ＝ 1 mC．t＝s 时摆球正经过最低点D．摆球运动过程中周期愈来愈小当堂检测 1. 以以下图，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在遇到竖直方向且频率为9 Hz 的驱动力作用下做受迫振动时，两个弹簧振子的振动状况是()第 1题图A．甲的振幅较大，且振动频率为8 HzB．甲的振幅较大，且振幅频率为9 HzC．乙的振幅较大，且振动频率为9 HzD．乙的振幅较大，且振幅频率为72 Hz2． ( 多项选择 ) 以下说法正确的选项是()A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小D．系统做稳固的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率3．一个理想的单摆，已知其周期为T. 假如因为某种原由( 如转移到其余星球) 自由落体运动的加快度变为本来的1/2 ，振幅变为本来的1/3 ，摆长变为本来的1/4 ，摆球质量变为本来的1/5 ，它的周期变为__________ ．4．如图是一个单摆的共振曲线，此单摆的固有周期T 是 ________s，若将此单摆的摆长增大，共振曲线的最大值将________( 选填“向左”或“向右”) 挪动．第 4题图5．图甲是一个单摆振动的情况， O 是它的均衡地点， B、 C 是摆球所能到达的最远地点．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．依据图象回答：(1)单摆振动的频率是多大？(2)开始时辰摆球在何地点？(3) 若当地的重力加快度为π 2m/s2，试求这个摆的摆长是多少？第 5题图第 53 讲 实验十一：单摆的周期与摆长的关系 受迫振动和共振知识整合 基础自测 一、 1. 不计二、 1. 摆长不计 理想化重力加快度2.没关重力沿切线方向的分力2. 悬点 球心三、 2. T ＝ 2πL 4π 2L3. 毫米刻度尺 秒表4.(2) 自由下垂(4) 振动周期gT2四、 1. 弹力 重力的切向重量2．机械能 振幅3． (1) 驱动力 受迫振动(2) 驱动力固有频率五、 1. 等于 最大2．驱动力 f ＝f ′f ′ 越小方法技巧·典型例题 1· A 【分析】 依据单摆周期公式和单摆做简谐运动的等时性可知，用等大的铜球取代铁球，单摆的周期不变，选项A 正确；因为摆长是从悬点到摆球中心的长度，故在用相同长的摆线连接铁球时，用大球取代小球，摆长会变化，单摆的周期会改变，选项 B 错误；单摆在小摆角下的摇动周期相同， 选项 C 错误；将单摆从赤道移到北极，重力加快度增大，单摆的周期会变小，选项D 错误．·变式训练1· A【分析】因为半径远大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆．因为在同一地点，周期只与半径有关，与运动的弧长没关，故两球同时到达 C点，应选项 A 正确．·典型例题 2·(1) AD(2) 4π n2Lt2(4)B(5)4π 2（l1 － l2 ）【分析】(1) 单摆的模型要求细线要T21－ T 2长些、轻些，这样丈量相对偏差小、易观察摆球的地点变化等，A 正确．摆球的使用小重球，减小阻力、相对细线质量较大．D 正确． (2) 依据单摆周期公式＝2πL，单摆完Tgπ 2n2L成 N 次全振动的时间为t ， T ＝ t / n 可求当地的重力加快度g ＝ t2 .π 2n2L2(3) 据 T ＝ t / n ＝4可求． (4) 图线 b 对应的 g 值最凑近s 和 g ＝t2＝m/s当地重力加快度的值，说明图线b 对应的是较正确丈量方式．依据单摆的周期公式＝ 2TπL2＝4π 2L 2图象的斜率 k ＝ 4π 2g 得： T，依据数学知识可知，T - Lg ，当地的重力加快度gπ 22π 2L44g ＝ k .A 项若丈量摆长时忘了加上摆球的半径， 则摆长变为摆线的长度l ，则有 T ＝ g4π 2（l ＋r ） 4π 2 4π2r224π 2 4π 2r ＝g＝ g l ＋ g，依据数学知识可知， 对 T - L 图象来说， T ＝g l ＋g24π2lπ2r24与 b 线 T ＝g斜率相等，二者应当平行，g 是截距；故做出的T - L 图象中 a 线的原由可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长. 故 A 错误． B 项实验中误将 49 次全振L动记为 50 次，则周期的丈量值偏小，以致重力加快度的丈量值偏大，图线的斜率k 偏小，故 B 正确； C 项由图可知，图线 c 对应的斜率 k 偏小，依据 T2- L 图象的斜率 k＝4π2，当g4π 2地的重力加快度g＝k可知， g 值大于图线 b 对应的 g 值，故C错误．应选 B.L l1l2(5) 依据单摆的周期公式T＝2πg，第一次： T1＝2πg第二次： T2＝2πg4π 2（ l1－l2 ）.联立解得： g＝T21－T2·典型例题 3· CD 【分析】因为 A自由振动，其周期就等于其固有周期，而B、 C 在驱动力作用下的受迫振动，受迫振动的周期等于驱动力的周期，所以三个单摆的振动周期相等，故 A 错误；因为、C 摆长相等，产生共振，所以C的振幅比B大，故 C 、D正A确．·典型例题 4· ABC 【分析】受迫振动的频率与固有频率没关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以依据物体做受迫振动的共振l曲线判断出物体的固有频率．依据单摆振动周期公式T＝2πg，可以获取单摆固有频11g率 f ＝T＝2πl，依据图象中 f 的信息可以推测摆长或重力加快度的变化状况．·变式训练 2· BC【分析】由题图可知，单摆两次拉力极大值的时间差为 1 s，所以单摆的振动周期为 2 s ，选项 A 错误；依据单摆的周期公式＝ 2πl可得摆长l ＝T g1 m，选项 B 正确；t＝ 0.5 s时摆线的拉力最大，所以摆球正经过最低点，选项 C 正确；摆线拉力的极大值发生变化，说明摆球在最低点时的速度发生了变化，所以摆球做阻尼振动，振幅愈来愈小，因为周期与振幅没关，所以单摆的周期不变，选项 D 错误．当堂检测1． B【分析】支架在遇到竖直方向且频率为9 Hz 的驱动力作用下做受迫振动时，甲乙两个弹簧振子都做受迫振动，它们振动的频率都等于驱动力的频率9 Hz ，因为甲的频率凑近于驱动力的频率，所以甲的振幅较大，故B 正确， ACD错误．2．ABD 【分析】T＝2πL依据单摆周期公式：g可以知道，在同一地点，重力加速度 g 为定值，故周期的平方与其摆长成正比，应选项 A 正确；弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能参加转变，依据机械能守恒条件可以知道，振动系统的势能与动能之和保B 正确；依据单摆周期公式：T＝2πL持不变，应选项g可以知道，单摆的周期与质量无关，应选项 C 错误；当系统做稳固的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，选项 D正确．高考物理总复习第53讲实验十一单摆的周期与摆长的关系受迫振动和共振讲义word版本2依据单摆的周期公式＝ 2πL1倍，摆长减3.【分析】，重力加快度减小为2T g2 12小为4倍，故单摆周期减小为本来的 2 倍．4．向左【分析】当驱动力频率与单摆的固有频率相等时，振幅最大的现象叫做共振现象．由图象可以看出，当 f ＝0.4 Hz时，振幅最大，发生共振现象；故单摆的固有频率为 0.4 Hz 2.5 s ；若将此单摆的摆长增大，依据公式T＝2πL，故周期为g，周期变大，固有频率减小，故共振曲线的最大值将向左挪动．5． (1)1.25 Hz(2) B点(3)0.16 m【分析】 (1)由乙图知周期 T＝0.8 s1则频率 f ＝T＝1.25 Hz(2)由乙图知， 0 时辰摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时辰摆球在 B点L gT2(3) 由T＝ 2πg得 L＝4π2＝0.16 m.。

《用单摆测定重力加速度》一、实验题1.某同学利用单摆测量重力加速度。

①为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是______。

A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大②如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1m的单摆。

实验时，由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离△L.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g=______。

2.在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，(1)下列操作正确的是______(多选)；A.甲图：小球从偏离平衡位置60度开始摆动B.乙图：细线上端用铁夹子固定C.丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置D.丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度(2)某同学通过测量30次全振动时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T=t/30，其他操作步骤均正确。

多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2−L图象，则他绘制的图形可能是______；(3)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将______(选填“偏大”、“偏小”、或“不变”)3.在用单摆测重力加速度的实验中，测得单摆摆角很小时，完成n次全振动时间为t，用毫米刻度尺测得摆线长为l，用螺旋测微器测得摆球直径为d．(1)测得重力加速度的表达式为g=______．(2)螺旋测微器的读数如图所示，摆球直径d=______．(3)实验中某学生所测g值偏大，其原因可能是______．A.实验室海拔太高B.摆球太重C.测出n次全振动时间为t，误作为(n+1)次全振动时间进行计算D.以摆线长与摆球直径之和作为摆长来计算．4.在“用单摆测定重力加速度”的实验中：(1)测量摆线长度的器材是______(选填“卷尺”或“米尺”)；(2)测出摆长后，在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球，小球经过______时开始计时，用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，.若摆角从5°改为3°，单摆的周期会______(选填“变得到周期T=tn大”、“不变”或“变小”)。

实验十一探究单摆周期与摆长的关系一、实验目的1．知道把单摆的运动看做简谐运动的条件．2．会探究与单摆的周期有关的因素．3．会用单摆测定重力加速度．二、实验原理单摆在摆角小于10°时，其振动周期跟摆角的大小和摆球的质量无关，单摆的周期公式是T＝2πlg，由此得g＝4π2lT2，因此测出单摆的摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度值．三、实验器材带孔小钢球一个、细丝线一条(长约1 m)、毫米刻度尺一把、秒表、游标卡尺、带铁夹的铁架台．四、实验步骤1．做单摆：取约1 m 长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂．2．测摆长：用米尺量出摆线长l (精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D (也精确到毫米)，则单摆的摆长l ′＝l ＋D2.3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于10°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期．反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值．4．改变摆长，重做几次实验． 五、数据处理1．公式法：将测得的几次的周期T 和摆长l 代入公式g ＝4π2lT 2中算出重力加速度g 的值，再算出g 的平均值，即为当地的重力加速度的值．2．图象法：由单摆的周期公式T ＝2π·l g 可得l ＝g4π2T 2，因此以摆长l 为纵轴、以T 2为横轴作出的l －T 2图象是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k ，即可求出g 值．g ＝4π2k ，k ＝lT 2＝Δl ΔT 2.六、注意事项1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m 左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm.2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象．3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10°.可通过估算振幅的办法掌握． 4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记．以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数．七、误差分析1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，摆球是否可看做质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等．只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度．2．偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期)．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2，…在数“零”的同时按下秒表开始计时．不能多计或漏计振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．对实验原理操作及误差分析的考查【典题例析】某同学利用单摆测量重力加速度．(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________．A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆．实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________．[解析](1)应选用密度较大且直径较小的摆球，A错．在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B对．摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C对．摆动中摆角要控制在5°以内，所以D错．(2)设两次摆动时单摆的摆长分别为L1和L2，则T1＝2πL1g，T2＝2πL2g，则ΔL＝g4π2·(T21－T22)，因此，g＝4π2ΔLT21－T22.[答案](1)BC(2)4π2ΔLT21－T22(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．(3)测周期的方法①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球从某一方向经过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．某实验小组在探究单摆周期与摆长的关系的实验中：(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm.(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)．A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为t100C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小解析：(1)主尺刻度加游标尺刻度的总和等于最后读数，0.9 cm＋7×110mm＝0.97 cm，不需要估读．(2)单摆在摆角较小时才能看做简谐运动，其周期公式才成立，为减小计时误差，应从摆球速度最大的最低点瞬间计时，A错误；通过最低点100次的过程中，经过的时间是50个周期，B错误；应选用密度较大、直径较小的球以减小空气阻力的影响，D错误；悬线的长度加摆球的半径才等于摆长，由单摆周期公式T＝2πl＋rg可知，若摆长记录值偏大，测定的重力加速度也偏大，C正确．答案：(1)0.97(2)C对实验数据处理的考查【典题例析】(2020·湖州调研)下表是探究单摆周期与摆长的关系实验中获得的有关数据：(2)利用图象，取T2＝4.2 s2时，l＝________m．重力加速度g＝________m/s2.[解析](1)由T＝2πl g得g＝4π2·lT2或l＝g4π2·T2，所以图象是过原点且斜率为g4π2的一条直线．l－T2图象如图所示．(2)T2＝4.2 s2时，从图中画出的直线上可读出其摆长l＝1.05 m，将T2与l代入公式g＝4π2l2.T2，得g＝9.86 m/s[答案](1)见解析图(2)1.059.86某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示．这样做的目的是________(填字母代号)．A．保证摆动过程中摆长不变B．可使周期测量得更加准确C．需要改变摆长时便于调节D．保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L ＝0.999 0 m ，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为________mm ，单摆摆长为________m.(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m 的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A 、B 、C 均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是______(填字母代号)．解析：(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变摆长时便于调节，A 、C 正确．(2)根据游标卡尺读数规则，摆球直径为12.0 mm ，单摆摆长为L －d2＝0.999 0 m －0.0060 m ＝0.993 0 m.(3)单摆测量周期，必须从平衡位置开始计时，且摆角小于10°，所以合乎实验要求且误差最小的是A.答案：(1)AC(2)12.00.993 0(3)A[随堂检测]1．(2020·丽水质检)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：(1)下面所给器材中，选用哪些器材较好，请把所选用器材前的字母依次填写在题后的横线上．A．长1 m左右的细线B．长30 cm左右的细线C．直径2 cm的铅球D．直径2 cm的铝球E．秒表F．时钟G．最小刻度是厘米的直尺H．最小刻度是毫米的直尺所选用的器材是________．(2)实验时对摆线偏离竖直线的偏角要求是___________________________________．解析：本实验的原理：振动的单摆，当摆角＜10°时，其振动周期与摆长的平方根成正比，与重力加速度的平方根成反比，而与偏角的大小(振幅)、摆球的质量无关，周期公式为T＝2πlg，变换这个公式可得g＝4π2lT2.因此，本实验中测出单摆的摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值，本实验的目的是测量重力加速度g的值，而非验证单摆的振动规律．因此实验中应选用较长的摆长l，这样既能减小摆长的测量误差，又易于保证偏角θ不大于10°，而且由于振动缓慢，方便计数和计时．本实验所用的实际摆要符合理论要求，摆长要有1 m左右，应选用不易伸长的细线，摆球直径要小于2 cm，应选用较重的小球，故选A、C.由于重力加速度g与周期的平方成反比，周期T的测量误差对g的影响是较大的，所用计时工具应选精确度高一些的，故选E.由于摆长l 应是悬点到铅球的边缘的距离l 加上铅球的半径r .铅球半径用游标卡尺测量出(也可由教师测出后提供数据)，因此l 应读数准确到毫米位．实验中应用米尺或钢卷尺来测量，故选H.答案：(1)A 、C 、E 、H (2)小于10°2．(2016·10月浙江选考)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，测量单摆的周期时，图中________(填“甲”“乙”或“丙”)作为计时开始与终止的位置更好些．答案：乙3．某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验时，先测得摆线长为101.00 cm ，摆球直径为2.00 cm ，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5 s ，则(1)他测得的重力加速度g ＝________m/s 2.(2)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l 并测出相应的周期T ，从而得出一组对应的l 与T 的数据，再以l 为横坐标、T 2为纵坐标将所得数据连成直线，并求得该直线的斜率k .则重力加速度g ＝________．(用k 表示)解析：(1)本次实验中的摆长l ＝L ＋r ＝(101.00＋1.00)cm ＝1.020 0 m ，周期T ＝t N ＝101.550s ＝2.03 s ，由公式g ＝4π2lT2可以解得g ＝9.76 m/s 2.(2)由公式g ＝4π2l T 2得：T 2＝4π2g l ，这是一条T 2关于l 的一元一次函数(如y ＝kx )，所以它的斜率是k ＝4π2g ，所以g ＝4π2k.答案：(1)9.76 (2)4π2k4．(2020·湖州质检)在做“用单摆测定重力加速度”的实验过程中：(1)小李同学用游标卡尺测得摆球的直径如图所示，则摆球直径d ＝________cm.(2)小张同学实验时却不小心忘记测量小球的半径，但测量了两次摆线长和周期，第一次测得悬线长为L 1，对应振动周期为T 1，第二次测得悬线长为L 2，对应单摆的振动周期为T 2，根据以上测量数据也可导出重力加速度的表达式为________．解析：(1)游标卡尺为20分度，精确度为0.05 mm ，主尺读数为20 mm ，游标尺读数为0.05×6＝0.30 mm ，所以测得摆球的直径d ＝2.030 cm.(2)设摆球半径为r ，则：T 1＝2πL 1＋r g ，T 2＝2π L 2＋r g 联立两式解得：g ＝4π2（L 1－L 2）T 21－T 22. 答案：(1)2.030 (2)4π2（L 1－L 2）T 21－T 22。

时1212)T1＋T2＋T33实验14探究单摆周期与摆长的关系一、实验原理单摆在偏角θ＜5°，摆球的运动可看做简谐运动，用累积法测出n次全振动的t时间t，则算得T＝n，同时量得悬点到小球上端和下端距离l和l，则单摆的摆l＋l长l＝122，然后用图象法寻找周期T与摆长l的定量关系。

二、实验装置图及器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约1米)、停表、毫米刻度尺和三角板。

三、实验步骤1.让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。

2.把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如图所示。

l＋l 3.用毫米刻度尺量出悬点到小球上端和下端距离l、l，计算出摆长l＝122。

4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算t 出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T＝N(N为全振动的次数)，反复测3次，再计算出周期的平均值T＝。

5.改变摆长、重做几次实验。

6.用图象法探究周期和摆长的关系。

22，＋r四、数据处理图象法g由单摆周期公式不难推出：l＝4πT2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，Δl 作l－T2图象，图象应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k＝ΔT2，即可利用g＝4πk求得重力加速度值。

注意事项1.构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°。

2.要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。

3.用毫米刻度尺量出摆线长度l′用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′。

4.测周期的方法(1)要从摆球过平衡位置时开始计时。

一、游标卡尺
1．构造：
图1
测量厚度、长度、深度、内径、外径．
利用主尺的最小分度与游标尺的最小分度的差值制成．
不管游标尺上有多少个小等分刻度，它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的
一、实验器材与注意事项
例
图2
例浙江名校新高考研究联盟第三次联
图3
图4
摆球直径用游标卡尺进行测量，测量方法和游标刻度如图
．(请注意单位，本空保留四位有效数字
图5
～14.06 0.483 0～0.484 5
浙江10月选
图6
因小球通过平衡位置时的速度较大，有利于计时．故选乙．
例
图7
AD
游标卡尺的主尺读数为2 cm，游标尺上第10个刻度和主尺上某一刻度对
×0.05 mm＝0.50 mm，所以最终读数为：
例
图8
．保证摆动过程中摆长不变
．保证摆球在同一竖直平面内摆动
1．(实验器材与注意事项)(20xx·宁波“十校联考”期末)在“用单摆测定重力加速度”的实验中
图9 图10
图11
测单摆周期时，为减小测量误差，应________．
图12
某同学在实验时忘了测量小球直径，但是改变摆线长度做了多次测量，得到的实验数据，根据这些数据，该同学能否求得当地的重力加速度？
图14
23.68(23.60～23.74) (3)117.4 s
为减小实验误差，应选择1 m左右的摆线，为减小空气阻力影响，摆球应选质量大的金属球，因此需要的实验器材是A、
题图所示仪器为游标卡尺，读数为：23 mm＋0.02×。