实验 探究单摆周期与摆长的关系

单摆的周期跟摆长的关系
在探究单摆的周期跟哪些因素有关的实验中，得出周期跟摆长的关系是本实验的主要任务，为了探究二者的关系，实际教学过程中可以参考如下思路进行。

一、理论指导
单摆的周期指单摆做简谐运动时，完成一次全振动的时间。

单摆的摆长指悬挂小球的细线长度跟小球半径之和。

一个单摆制作完工以后，其摆长为定值，不同摆长的单摆振动过程中，振动周期与摆长有关，在某一地点，重力加速度g一定，单摆的摆长不同，振动周期就不同。

二、实验指导
1.定性探究：由对比实验不难发现摆长L越大，周期T越大。

2.猜想：有可能T跟L成正比，也可能T2跟L成正比。

3.定量探究：先设计数据表，然后通过实验获取相关数据，最后根据表中数据作出T2--L 图象，就会发现图线是一条直线，从而验证了T2跟L成正比的猜想。

数据表如下：。

专题22 实验：探究单摆的摆长与周期的关系 1.实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2π l g ，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2l T 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值．2．实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线（约1米）、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺．3．实验步骤（1）让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆．（2）把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示．（3）用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .（4）把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（不超过5°），然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N （N 为全振动的次数），反复测3次，再算出周期T ＝T 1＋T 2＋T 33. （5）根据单摆周期公式T ＝2π l g 计算当地的重力加速度g ＝4π2l T 2.（6）改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值．（7）将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因．1．注意事项 （1）构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°. （2）要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放． （3）测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．（4）本实验可以采用图象法来处理数据．即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g 4π2.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要办法．2．数据处理处理数据有两种方法：（1）公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝t N 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后代入公式g ＝4π2l T 2求重力加速度．（2）图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g 4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k ＝Δl ΔT 2，即可利用g ＝4π2k 求得重力加速度值，如图1所示．图13．误差分析（1）系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等．（2）偶然误差主要来自时间的测量上，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数．1．在用单摆测定重力加速度实验中，除了铁架台、铁夹、游标卡尺外，还提供了如下器材A.长度约为100cm的细线B.长度约为30cm的细线C.直径约为2cm的带孔铁球D.直径约为2cm的塑料球E.秒表F.打点计时器G.最小刻度是1cm的直尺H.最小刻度是1mm的直尺为了较精确测量重力加速度的数值（1）应该选择的器材有_____________________。

实验十四 探究单摆的摆长与周期的关系1.实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πlg，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2lT 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值. 2.实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺. 3.实验步骤(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆. (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示.图1(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝tN (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期的平均值T ＝T 1＋T 2＋T 33.(5)根据单摆周期公式T ＝2πl g ，计算当地的重力加速度g ＝4π2l T2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值.(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因.1.注意事项(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大.②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.(4)本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g4π2.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法. 2.数据处理处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝tN 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后利用公式g ＝4π2lT2求重力加速度.(2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k ＝ΔlΔT 2，即可利用g ＝4π2k 求重力加速度.图23.误差分析(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.(2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计全振动次数.命题点一教材原型实验例1某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素.(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图3所示，这样做的目的是________(填字母代号).图3A.保证摆动过程中摆长不变B.可使周期测量更加准确C.需要改变摆长时便于调节D.保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图4所示，则该摆球的直径为________ mm，单摆摆长为________ m.图4(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程.图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号).答案 (1)AC (2)12.0 0.993 0 (3)A解析 (1)橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变，从而保证摆长不变，同时又便于调节摆长，A 、C 正确；(2)根据游标卡尺读数规则可得摆球直径为d ＝12 mm ＋0.1 mm ×0＝12.0 mm ，则单摆摆长为L 0＝L －d2＝0.993 0 m(注意统一单位)；(3)单摆摆角不超过5°，且计时位置应从最低点(即速度最大位置)开始，故A 项的操作符合要求.变式1 某同学用单摆测当地的重力加速度.他测出了摆线长度L 和摆动周期T ，如图5(a)所示.通过改变悬线长度L ，测出对应的摆动周期T ，获得多组T 与L ，再以T 2为纵轴、L 为横轴画出函数关系图象如图(b)所示.由图象可知，摆球的半径r ＝________ m ，当地重力加速度g ＝________ m/s 2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________(选填“偏大”“偏小”或“一样”)图5答案 1.0×10－2 9.86 一样 命题点二 实验拓展与创新例2 (2015·天津理综·9(2))某同学利用单摆测量重力加速度. (1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________. A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图6所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆.实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________.图6答案(1)BC(2)4π2ΔLT21－T22解析(1)在利用单摆测重力加速度实验中，为了使测量误差尽量小，须选用密度大、半径小的摆球和不易伸长的细线，摆球须在同一竖直面内摆动，摆长一定时，振幅尽量小些，以使其满足简谐运动条件，故选B、C.(2)设第一次摆长为L，第二次摆长为L－ΔL，则T1＝2πLg，T2＝2πL－ΔLg，联立解得g＝4π2ΔLT21－T22.变式2为了研究滑块的运动，选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以及由漏斗和细线构成的单摆等组成如图7甲所示装置，实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，漏斗可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置，如图乙所示.图7(1)漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________(填写仪器序号).A.打点计时器B.秒表C.毫米刻度尺D.电流表(2)已知单摆周期T＝2 s，在图乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，则单摆在经过D点时，滑块的瞬时速度为v D＝________ m/s，滑块的加速度为a＝________ m/s2(结果保留两位有效数字).答案(1)A(2)0.340.040解析(1)单摆振动具有周期性，摆球每隔半个周期经过纸带中线一次，单摆在该实验中所起的作用与打点计时器相同，故选A.(2)在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度大小，故有v D＝x CET＝0.34 m/s据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，有：a＝CD＋DE－(AB＋BC)T2＝0.040 m/s2。

一、游标卡尺
1．构造：
图1
测量厚度、长度、深度、内径、外径．
利用主尺的最小分度与游标尺的最小分度的差值制成．
不管游标尺上有多少个小等分刻度，它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的
一、实验器材与注意事项
例
图2
例浙江名校新高考研究联盟第三次联
图3
图4
摆球直径用游标卡尺进行测量，测量方法和游标刻度如图
．(请注意单位，本空保留四位有效数字
图5
～14.06 0.483 0～0.484 5
浙江10月选
图6
因小球通过平衡位置时的速度较大，有利于计时．故选乙．
例
图7
AD
游标卡尺的主尺读数为2 cm，游标尺上第10个刻度和主尺上某一刻度对
×0.05 mm＝0.50 mm，所以最终读数为：
例
图8
．保证摆动过程中摆长不变
．保证摆球在同一竖直平面内摆动
1．(实验器材与注意事项)(20xx·宁波“十校联考”期末)在“用单摆测定重力加速度”的实验中
图9 图10
图11
测单摆周期时，为减小测量误差，应________．
图12
某同学在实验时忘了测量小球直径，但是改变摆线长度做了多次测量，得到的实验数据，根据这些数据，该同学能否求得当地的重力加速度？
图14
23.68(23.60～23.74) (3)117.4 s
为减小实验误差，应选择1 m左右的摆线，为减小空气阻力影响，摆球应选质量大的金属球，因此需要的实验器材是A、
题图所示仪器为游标卡尺，读数为：23 mm＋0.02×。

第50讲实验、探究：单摆的周期与摆长的关系考情剖析(注：①考纲要求及变化中Ⅰ代表了解和认识，Ⅱ代表理解和应用；②命题难度中的A知识整合知识网络基础自测一、实验目的：用单摆测定重力加速度二、实验原理单摆在偏角很小(不超过10°)时的摆动，可认为是简谐运动，其固有周期为____________，由此可得____________．只要测出摆长L和周期T，即可算出当地的重力加速度值．三、实验器材长约1 m的细丝线一条，通过球心开有小孔的金属小球一个、带有铁夹的铁架台一个，____________一根，____________一块．四、实验步骤①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆；②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球____________，在单摆平衡位置处做上标记；③用刻度尺测量单摆的摆长(悬点到球心间的距离)；④把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(不超过10°)，然后放开小球让它摆，再用秒表测出单摆完成30次或50次全振动的时间，计算出平均完成一次全振动的时间，这个时间就是单摆的____________；⑤改变摆长，重做几次实验；⑥根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度，求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即是本地区的重力加速度的值；⑦将测得的重力加速度数值与当地重力加速度值加以比较，分析产生误差的可能原因．五、注意事项①摆线不能过短或过长或易伸长、摆长应是悬点到球心间的距离．摆球用密度大、直径小的金属球．②摆球摆动时应使偏角不超过10°，且在同一竖直面内，不要形成圆锥摆，摆中悬点不能松动．③累积法测周期时，应从最低位置开始计时和记录全振动次数．④使用秒表方法是三次按按钮：一是“走时”，二是“停止”，三是“复零”．读数：先读分针刻度(包括半分钟)，再读秒针刻度(最小刻度为0.1s，不要再估读)．⑤处理数据时，采用图像法，画出T2－L图像，求得直线的斜率k，即有g＝4π2/k.六、误差分析①本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等．只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差而达到忽略不计的程度．②本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上，因此，要注意测准时间(周期)．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多计或漏计振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．③本实验中进行长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可(即使用卡尺测摆球直径也只需读到毫米位)．时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．重点阐述易错诊所一、秒表读数1．秒表构造外壳按钮：使指针启动、停止和回零，如图所示．表盘刻度：秒针指示大圆周的刻度，其最小分度值常见为0.1秒、0.2秒或0.5秒；秒钟转一周历时30秒；分针指示小圆周的刻度，其最小分度值常见为0.1分或0.5分，分针转一周历时15分．2．秒表的工作原理机械秒表靠发条转动力矩，通过内部齿轮驱动调节器调节摆动的秒针和分针，即将发条的弹性势能转化为动能，使指针摆．3．秒表的读数不足30秒即秒针转不到一周时，直接读大圆周上秒针所指的黑体分度值，因为大圆周上有红、黑两种字体，黑字0～30，红字31～60，意思是秒针转两周才60秒；同理分针所指的小圆周上也有两种字体，黑字0～15，红字16～31，分针转两周才30分；通常是分针读红字，秒针读红字，分针读黑字，秒针读黑字，计时为两个示数之和．4．秒表的使用方法①按钮开始计时，分针、秒针都启动②按钮停止计时，分针、秒针都停止③按钮分针、秒针回“0”位，此时在使用有两个按钮的表时，应按“0”位侧边的钮1．做单摆：取约1米长的线绳穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后拴在桌这的支架上．2．用米尺量出悬线长l，准确到毫米，用游标卡尺测摆球直径，算出半径r也准确到毫米，则摆长为l＋r(注意长即摆绳长的量法)．3．把单摆从平衡位置拉开一个角度放开它，用秒表测量单摆完成30次全振动(或50次)所用的时间，求出完成一次全振动所需要的时间，这个平均时间就是单摆的周期，反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值．4．把测得的周期(用平均值)和摆长的数值代入公式，求出重力加速度g的值来．【典型例题】(1)在做用单摆测定重力加速度的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.如果已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是________．如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是________s．单摆的摆动周期是________s.甲乙(2)以l g ＝________. 温馨提示熟悉秒表读数的方法，熟练应用单摆周期公式及其变形，学会应用图象解决问题．记录空间【变式训练】 用单摆测定重力加速度实验中：(1)除了细线、摆球、铁架台、铁夹、米尺之外，必需的仪器还有________； (2)为了减小实验误差：当摆球的直径约为2 cm 时，比较合适的摆长应选________(选填：80 cm 、30 cm 、10 cm)(3)实验中，利用g ＝4π2LT2，求得g ，其摆长L 和周期T 的误差都会使最后结果产生误差，两者相比，________的误差影响较大；(4)在某次实验中，测得单摆振动50次全振动的时间如图所示，则单摆的周期T ＝________s.随堂 演练1．在“用单摆测重力加速度”的实验中，摆线应选用( ) A ．长约10 cm 的细线 B ．长约1 m 的细线 C ．长约1 m 的粗绳 D ．80 cm 长的橡皮绳 2．以下实验操作错误的是( )A．单摆的最大偏角不小于10°B．测摆长时，应先把摆球挂起来再测量C．用秒表测周期时，应从摆球经过最高点时开始计时D．记下摆球从第一次经过最低点到第60次经过最低点的时间t，则单摆振动周期t592 3．宇航员在绕地球做圆周运动的空间站内研究处于完全失重状态下弹簧振子的周期T 与振子质量m的关系．身边的器材有：弹簧、完全相同的螺帽若干个、天平、秒表、刻度尺、温度计等．(1)宇航员利用上述器材中的螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还应从选择的一个器材是________；他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，那么他是以________为纵坐标的．由表中数据，在图示坐标系中作出该直线；(3)根据作出的图线，得出T与n的关系式为T＝________(s)，若每个螺帽的质量用m0表示，用T与m的关系式为T＝________(s)；(4)若用一未知质量的物体做振子时，测得周期为1.26 s，则该物体质量为________m0.第3题图4．(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(填“甲”或“乙”)．(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示．光敏电阻与某一自动记录相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如图丁所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”、“不变”或“变小”)，图丁中的△t将________(填“变大”、“不变”或“变小”)．丙丁第4题图第5题图5．(12年江苏模拟)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，将一单摆装置竖直悬于某一深度为h(未知)且开口向下的固定小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示．将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁．如果本实验的长度测量工具只能测量出筒下端口到摆球球心之间的距离l，并通过改变l而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、l为横轴，作出T2－l图象，则可以由此图象得出我们想要测量的物理量．(1)现有如下测量工具：A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻度尺，本实验所需的测量工具有________．(2)如果实验中所得到的T2－l关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________．(3)由图象可知，小筒的深度h＝________cm；当地重力加速度g＝________m/s2(π取3.14，计算结果保留到小数点后两位)．第50讲 实验、探究：单摆的周期与摆长的关系知识整合 基础自测 2.T ＝2πL/g g ＝4π2LT23.毫米刻度尺 秒表4.②自由下垂 ④振动周期 重点阐述【典型例题】 (1)在做用单摆测定重力加速度的实验时，用摆长l 和周期T 计算重力加速度的公式是g ＝________.如果已知摆球直径为2.00 cm ，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是________．如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是________s ．单摆的摆动周期是________s.甲乙(2)以l 为横坐标，T 为纵坐标，作出T －l 图象，利用此图线得重力加速度g ＝________. 【答案】 (1)4π2lT 2 87.40 cm 75.2 1.88 (2)图象如图所示 9.96 m/s 2【解析】 (1)由单摆周期公式T ＝2πlg，得g ＝4π2l/T 2，图中读出长度为88.40 cm ，则摆长l ＝88.40 cm －d/2 cm ＝87.40 cm ，短针是分针，一格是60 s ，长针是秒针，长针又指15.2 s ，故秒表读数是t ＝60 s ＋15.2 s ＝75.2 s ，单摆周期T ＝t/n ＝75.2/40 s ＝1.88 s.(2)由T ＝2πl g ，可得T 2＝4π2l g，所以T 2－l 图线是过坐标原点的一条直线，直线斜率是k ＝4π2/g ，g ＝4π2k.在图线上取较远的两点(l 1，T 21)，(l 2，T 22)，则k ＝T 22－T 21l 2－l 1，所以g ＝4π2（l 2－l 1）T 22－T 21. 作出图象如图所示，由直线上的点(0.5，2.02)和点(1.0，4.00)可求出k ＝4.00－2.021.0－0.5＝3.96，g ＝4π2k ＝4×3.1423.96m/s 2＝9.96 m/s 2.变式训练 (1)秒表 游标卡尺 (2)80cm (3)周期 (4)2.018【解析】 (1)除了细线、摆球、铁架台、铁夹、米尺之外，还需要秒表测周期，游标卡尺测摆球直径；(2)为了减小实验误差，当摆球的直径约为2 cm 时，比较合适的摆长应选80 cm ；(3)实验中，利用g ＝4π2LT 2，求得g ，其摆长L 和周期T 的误差都会使最后结果产生误差，两者相比，周期有平方，周期的误差影响较大；(4)读图可知，秒表读数为1.5×60＋10.9＝100.9，则周期T ＝100.950s ＝2.018 s.随堂演练1.B 【解析】 本题考察实验器材的选取，由于便于实验操作，通常选1m 长的细绳．2.ABC 【解析】 单摆的最大偏角应不大于5°，摆长等于长加上小球半径，而小球半径需要用卡尺测量；测量周期时，应从最低点计时，故ABC 错．3.(1)秒表 (2)T 2 (3)0.2n0.2mm 0(4)7.94 【解析】 (1)要测量出全振的时间，故还需要秒表(2)由数据表中的数据可知T 2与n 成正比 (3)由T 2n 图线可得T 2＝0.2n ，即T ＝0.2n ，每个螺帽的质量为m 0时，T 2＝0.2n ＝0.2mm 0，即T ＝0.2mm 0(4)由T ＝0.2m m 0， m ＝T 20.2·m 0＝5×1.262m 0＝7.94m 0第3题图4.(1)乙 (2)2t 0 变大 变大【解析】 (1)应将待测物体正确地放在测脚中如乙图；(2)单摆1个周期遮光两次；单摆周期与小球质量、大小无关，但若改用直径变为原小球直径的2倍，周期变大，但遮光时间Δt 变大．5.(1)BD (2)a (3)30 9.86 【解析】 (1)本实验需要使用秒表测量单摆振动的周期，还需要使用毫米刻度尺测量筒下端口到摆球球心之间的距离l ，所以，本题答案为BD. (2)根据单摆的周期公式T ＝2πl g ，可得T 2l ＝4π2g＝k(常数)，可见，在理论上T 2与摆长l 成正比，其T 2－l 图象如图乙中实线b 所示；又因为Δ（T 2）Δl ＝Δ（kl ）Δl ＝k(常数)，所以，即使l 不是摆长，而是筒下端口到摆球球心之间的距离，根据所得数据得到的T 2－l 图线的斜率是不变的；因为本实验的记录数据中，与周期T 相对于的摆长l 比实际摆长偏小，据此可知，实验得到T 2－l 图象应该是图线a. (3)根据T 2l ＝4π2g ＝k 可得g ＝4π2k，而图线a 的斜率k ＝1.2s 20.3m ＝4s 2/m ，所以，当地重力加速度g ＝π2＝9.86m/s 2，根据图线a 可知，当l ＝0时，实际摆长为小筒的深度h ，此时，T 2＝1.2s 2，根据T ＝2πhg，代入数据，可得h ＝30cm.。

【高中物理】高中物理知识点：实验：探究单摆周期与摆长的关系探究单摆周期与摆长的关系：实验目的：1、探究单摆周期与摆长的关系。

2、能正确熟练地使用秒表。

实验原理：测量摆长和摆的周期，得到一组数据；改变摆长，再得到几组数据。

从中可以找出周期与摆长的关系。

实验器材：带孔小钢球一个、细丝线一条（长约1 m）、毫米刻度尺一把、秒表、游标卡尺、带铁夹的铁架台。

实验步骤：1、做单摆：取约1 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂；2、测摆长：用米尺量出摆线长l（精确到毫米），用游标卡尺测出小球直径D（也精确到毫米），则单摆的摆长l′＝l＋；3、测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于10°），然后释放小球，记下单摆做30次～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。

反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值；4、改变摆长，重做几次实验。

数据处理：1、先通过数据分析，对周期T与摆长l的定量关系做出猜测，例如可能是T∝l、T∝l2，或者；2、建立直角坐标系，用纵坐标表示周期T，横坐标表示l（或l2、、等），作出图象。

如果这样作出的图象确实是一条直线，说明T∝l（或T∝l2、等）。

注意事项：1、选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。

2、单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。

3、注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10°，可通过估算振幅的办法掌握。

4、摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。

5、计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。

以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。

单摆周期与摆长关系引言单摆是物理学中研究振动现象的经典模型之一。

它由一个悬挂在固定点上的质点构成，通过一个轻细的绳或杆连接。

当质点被扰动并释放时，它会围绕固定点做周期性振动。

本文将探讨单摆周期与摆长之间的关系，并通过理论分析和实验验证来证明摆长对周期的影响。

理论分析首先，我们需要了解单摆的运动方程。

对于小摆角的情况，摆动的运动近似为简谐振动。

根据简谐振动的运动方程，可以推导出单摆的摆动周期与摆长之间的关系。

考虑到单摆的悬挂线长为L，质点的质量为m，摆动时与竖直方向夹角为θ。

由达西定律推导出来的单摆运动方程如下：\[ mL\frac{d2\theta}{dt2} = -mg\sin\theta \]其中，t为时间，g为重力加速度。

由于摆动的幅度较小，可以对上式进行近似处理。

使用小角度近似，即\(\sin\theta \approx \theta\)，得到以下简化的运动方程：\[ \frac{d2\theta}{dt2} = -\frac{g}{L} \theta \]这是一个简谐振动的运动方程，其解为：\[ \theta(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]其中，A为振幅，\(\omega\)为角频率，\(\phi\)为相位。

摆动的周期T可以定义为完成一次完整振动所需要的时间。

在单摆运动中，振动周期T与角频率\(\omega\)的关系为：\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]将简谐振动的解带入上式，得到：\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{L}}} \]可以看出，单摆的周期T与摆长L之间存在平方根关系。

实验验证为了验证理论推导的结果，我们设计了一个实验来测量单摆周期与摆长之间的关系。

实验装置包括一个可调节长度的摆线和一个质量较小的金属球。

我们先固定摆线的长度，然后将金属球拉到一侧并释放。

通过计时器记录金属球来回摆动的时间，即得到振动周期。

实验九探究单摆周期与摆长之间的关系、用单摆测量重力加速度1.实验目的(1)练习使用秒表和刻度尺。

(2)探究影响单摆运动周期的因素。

(3)学会用单摆测定当地重力加速度。

2.实验原理测摆长l和周期T，由T＝2πlg→g＝4π2lT2。

3.实验器材中心带有孔的小钢球、细线(长约1 m)、米尺、游标卡尺、秒表。

4.实验步骤(1)做单摆将细线穿过中心带有孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架上，让摆球自然下垂。

(2)测摆长用米尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出摆球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋D 2。

(3)测周期将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30次～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。

(4)改变摆长，重做几次实验。

5.数据处理(1)公式法：g＝4π2lT2，算出重力加速度g的值，再算出g的平均值。

(2)图像法：作出l－T2图像求g值。

6.误差分析产生原因减小方法偶然误差测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差①多次测量求平均值②计时从摆球经过平衡位置时开始系统误差主要来源于单摆模型本身①摆球要选体积小，密度大的②最大摆角要小于5°7.注意事项(1)摆线要选1 m左右，不要过长或过短。

(2)悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。

(3)单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。

(4)要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。

【例1】(2020·山东威海市模拟考试)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：(1)需要记录的数据有：小钢球的直径d、________、摆长L、30次全振动的总时间t和周期T；(2)用标准游标卡尺测小钢球的直径如图1所示，则直径d为__________ mm；图1(3)如图2所示，某同学由测量数据作出L－T2图线，根据图线求出重力加速度g ＝____________ m/s2(已知π2≈9.86，结果保留3位有效数字)。