《高等数学(上册)》 第七章

于是平面图形的面积为
S b[ f (x) g(x)]dx ． a
7.2.1 平面图形的面积
类似地，由左右两条曲线 x (y) 与 x (y) 及上下两条直线 y d 与 y c 所围
成的平面图形（见下图）的面积为
S d [ ( y) ( y)]dy ． c
7.2.1 平面图形的面积
即
V [ f (x)]2 dx ，
于是体积元素为
dV [ f (x)]2 dx ，
旋转体的体积为
V b[ f (x)]2 dx ． a
7.2.2 立体的体积
同理，由连续曲线 x (y) ，直线 y c ，y d 以及 y 轴所围区域，绕 y 轴旋转
的旋转体（见下图）体积为
V d 2 ( y)dy ． c
7.2.2 立体的体积
3
例 6 如图所示，求由曲线 y x2 与直线 x 4 ， x 轴所围图形绕 x 轴旋转而成的
旋转体的体积．
解 所求旋转体的体积为
V
4
(
x
3 2
)
2
dx
0
1 4
4
x4
0
64 ．
7.2.2 立体的体积
2
2
2
例 7 如图所示，求星形线 x3 y3 a3 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积．
例 1 计算由抛物线 y x2 1 和 y x2 x 所围成的图形的面积．
解 （1）画图，如图所示；
（2）确定图形在
x
轴上的投影区间：
1 2
，1
；
（3）确定上下曲线， f上 (x) x2 1 ； f下 (x) x2 x ； （4）计算积分：
S
1 1
(
x2
2
1
x2
x)dx
2x3 3
(dx)2 (dy)2 1 y2 dx ，
7.2.3 平面曲线的弧长
从而得弧长元素（即弧微分）为 ds 1 y2 dx ．
以 1 y2 dx 为被积表达式，在闭区间[a ，b] 上积分，可得所求的弧长为
S b 1 y2 dx ． a
7.2.3 平面曲线的弧长
例 10 如图所示，求抛物线 y 1 x2 被圆 x2 y2 3 所截下的有限部分的弧长． 2
微元法求量 U，
即U b f (x)dx ． a 显然，微元法是在特定条件下简化求解过程的表达，即将“大化小，常代变，
近似求和，取极限”四个步骤作进一步的“算式化”，从而更加实用便利．
7.2 定积分的几何应用
7.2.1 平面图形的面积
本节将利用微元法对几何图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长进行分析求解． 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线 y f (x) 与 y g(x) 及左右两条直线 x a 与 x b 所围 成（见下图），则面积元素为 dS [ f (x) g(x)]dx ，
x2 y2 3，
解
由
y
1 2
x2
解得抛物线与圆的两个交点分别
为 ( 2 ，1) 和 ( 2 ，1) ，于是所求的弧长为
2
S 2 0
1
x2
dx
2
x 2
1 x2 1 ln(x 2
1
x2
)
0
2
6 ln( 2 3) ．
7.2.3 平面曲线的弧长
2．参数方程情形
设
曲
线弧由
参
数方程
x
7.2.2 立体的体积
2．平行截面面积为已知的立体的体积 设有一立体 ，它介于过点 x a 与 x b (a b) 且垂直于 x 轴的两个平面之 间，过点 x 且垂直于 x 轴的平面与立体相截所得的截面面积 A(x) 为 x 的已知连续函 数．容易求得该立体的体积元素为 A(x)dx ，故立体的体积为
解 由对称性可得所求旋转体的体积为
V 2
a y2dx 2
a2
(a 3
2
x 3 )3dx
0
0
42
24
2 a (a2 3a 3 x 3 3a 3 x 3 x2 )dx ． 0
2
a
2
x
9
a
4 3
x
5 3
5
9 7
27
a3x3
1 3
a
x3
0
32 a3 105
7.2.2 立体的体积
例8
y
(t) ， (
(t)
剟t
) 给 出 ， 其 中 x (t) ，y (t) 在
[ ， ] 上具有连续导数，且(t) ， (t) 不同时为零．因为 dy (t)dt ，dx (t)dt
所以弧长元素为
ds (dx)2 (dy)2 2 (t)(dt)2 2 (t)(dt)2 （2 t） 2 (t)dt ，
所求弧长为
S 2 (t) 2 (t)dt ．
7.2.3 平面曲线的弧长
例 11
计算摆线
x y
a(t a(1
sin t) ， (0
cos t )
剟t
2) 的一拱的长度．
解 由弧长元素的参数方程公式，有 ds a2 (1 cost)2 a2 sin2 tdt a 2(1 cost)dt 2asin t dt ， 2
椭圆的参数方程为
x
y
a b
cos t sin t
， (0
剟t
2) ，
于是， S
4
a
ydx 4
0
0
bsin td(a cos t) 4ab
2
0
sin
2
tdt
2
2ab
2 (1 cos 2t)dt
0
2ab 2
ab ．
7.2.1 平面图形的面积
3．极坐标情形
由曲线 ( ) 及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形，如图所示．
1．直角坐标情形 设曲线弧的直角坐标方程为 y f (x) (a 剟x f (x) 在区间[a ，b] 上具有一阶连续导数．
b) ，
现在来计算该曲线弧的长度．如图所示，取横坐标 x 为积分变量，它的变化区 间为[a ，b] ．曲线 y f (x) 上相应于[a ，b] 上任一小区间[x ，x dx] 的一段弧的长度 为 s ，可以用该曲线在点( x ，f (x) )处的切线上相应的一小段长度来近似代替，切 线上相应的小段长度为
计算由摆线
x
y
a(t a(1
sin t) ， (0
cos t)
剟t
2) 的一拱与直线 y 0 所围成的图形
（见下图）分别绕 x 轴、 y 轴旋转而成的旋转体的体积．
解 所给图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为
Vx
2a 0
y2dx
2 a2 (1 cost)2
0
a(1 cost)dt
a3 2 (1 3cost 3cos2 t cos3t)dt 0
7.2.2 立体的体积
利用定积分可以求一些特殊立体的体积，下面讨论如何求旋转体的体积和平行截 面面积为已知的立体的体积．
1．旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内某一条定直线旋转一周而成的立体．这条 定直线称为旋转轴． 常见的旋转体包括：圆柱、圆锥、圆台、球体及椭球体等，如图所示．
7.2.2 立体的体积
V b A(x)dx ． a
7.2.2 立体的体积
例 9 如图所示，计算底面是半径为 R 的圆，且垂直于底面的所有截面都是等 边三角形的立体体积．
解 设过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积为 A(x) ．
由已知条件知，它是边长为 2 R 2 x 2 的等边三角形的面积，
其值为 A(x) 1 2 R 2x 2 3 2 R 2 x 2 3(R2 x 2) ，
下面用微元法来计算由连续曲线 y f (x) 、 直线 x a 与 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形 绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积，如图所示．
设过区间[a ，b] 内点 x 且垂直于 x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x) ，当平面
左右平移 dx 时，体积的增量近似于以 f (x) 为底面半径、 dx 为高的扁圆柱体的体积，
7.1 定积分的微元法
一般情况下，为求某一量 U（与变量 x 有关的量），先确定变量 x 的变化区间 [a ，b] ，再求量 U 的元素 dU ．若 dU f (x)x f (x)dx ，则量 U 就是以 f (x)dx 为 被积表达式，以[a ，b] 为积分区间的定积分，即
U b f (x)dx ． a
x
x2 2
1
1
9 8
．
2
7.2.1 平面图形的面积
例 2 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积．
解 （1）画图，如图所示；
（2）确定图形在 y 轴上的投影区间：[2，4] ；
（3）确定左右曲线， 左 ( x)
1 2
y2
， 右 (x)
y
4；
（4）计算积分：
S
取 为积分变量，在区间 [ ， ] 上任取子区间[ ， d ] ，相应的小曲边扇形的面积 可用半径为 ( ) 、中心角为 d 的圆扇形的面积来近似代替，即面积元素为
dS 1 ( )2 d ．
2
因此，曲边扇形的面积为
S
1 ()2 d
2
1 2
(
)2
d
．
7.2.1 平面图形的面积
例 4 如图所示，求对数螺线 ae ( 剟 ) 及射线 和
A
3 2
， 3
，
B
3 2
，
3
．
由于对称性，所求面积为
S
2
1 2
3
(1