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学考优化指导数学(人教A2～1)

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人教版高中数学同步解析与测评 学考练 数学A版 选修2-1 1.1.1

人教版高中数学同步解析与测评 学考练 数学A版 选修2-1 1.1.1

答案:②③⑤
学习目标导引 基础知识梳理 核心要点解析 典型例题领悟 -15-
题型一 题型二 题型三 题型四
判断命题的真假 【例2】 判断下列命题的真假: (1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c或b≠d,则a+b≠c+d; (2)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根; (3)空集是任何集合的真子集; (4)垂直于同一个平面的两个平面互相平行. 分析:根据真命题、假命题的定义进行判断. 解:(1)假命题.反例:1≠4或5≠2,而1+5=4+2. (2)真命题.因为m>1⇒Δ=4-4m<0⇒方程x2-2x+m=0无实数根. (3)假命题.空集是任何非空集合的真子集. (4)假命题.反例:有可能互相垂直,如墙角. 反思要判断一个命题是不是真命题,一般要有严格的证明;而要 判断一个命题是不是假命题,只要举出一个反例即可.
学习目标导引 基础知识梳理 核心要点解析 典型例题领悟 -14-
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 下列语句:
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
②一个数不是正数就是负数;
③若x,y都是无理数,则x+y也是无理数;
④请把门关上;
⑤若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行.
其中为命题的是
核心要点解析
典型例题领悟 -5-
1.一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判 断真假的陈述句叫做命题.
2.判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 3.在数学中,“若p,则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的条 件,q叫做命题的结论.
知识清单 预习自测
学习ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ标导引

学考优化指导数学(人教a必修2)1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

学考优化指导数学(人教a必修2)1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 课后篇 巩固提升
基础巩固
1.圆台的上、下底面半径分别是 3 和 4,母线长为 6,则其表面积等于 ( )
A.72
B.42 π
C.67 π
D.72 π
解析 S 圆台表 =S 圆台侧 +S 上底 +S 下底 = π(3+ 4) ·6+π·32+ π·42= 67π.
直角三角形 ,侧棱长为 3,因此其体积为 答案 C
1
2×1×2 ×3= 3.
2.某几何体的三视图如图所示 (单位 : cm),则该几何体的体积是 ( )
A .8 cm 3
B.12 cm3
32
C. 3
cm3
40
D. 3
cm3
解析 由已知得 ,该几何体是由一个棱长为 成,
2 的正方体与一个底面边长为
2,高为 2 的正四棱锥组合而
=
√39 ,
?△??????=?
1
2×(2
√3
)2×√23
=
3
√3
,
故三棱锥 V-ABC 的表面积为
3S△VBC +S△ABC= 3√39+ 3√3= 3(√39 + √3 ).
9.( 选做题 )如图 ,一个圆锥的底面半径为 1,高为 3,在圆锥中有一个半径为 (1) 试用 x 表示圆柱的高 ; (2) 当 x 为何值时 ,圆柱的侧面积最大 ,最大侧面积是多少 ? 解 (1)设所求的圆柱的底面半径为 x,它的轴截面如图 ,
1+4 π
A . 2π
1+2 π
B. 4π
1+2 π

最新-学考优化设计2021学年高中数学人教A版选修22课件

最新-学考优化设计2021学年高中数学人教A版选修22课件
1 3
y
=元)技术改造费用,增加的销售额可近似地用函数 2 3x +2x2+5x
(单位:百万元)来计算.现该公司准备共投入3(单位:百万元),分别用
于广告投入和技术改造投入,请设计一种资金分配方案,使得该公
司的销售额最大.(参考数据: √2≈1.41,√3≈1.73 )
分析:如果将3百万元中用于技术改造投入的资金为 x百万元,那
3.针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注
意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.
4.根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.
【做一做】 已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:
1
万件)的函数关系式为y=- x33+81x-234,则使该生产厂家获取最大
π
π
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用料最省、造价最低一般都是与表面积有关,此类问题的
求解思路是找到变量之间的关系,借助关系建立函数关系式,然后
借助导数予以求解.
探究一
探究二
探究三

思维辨析
变式训练2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的
屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热
1.4
生活中的优化问题举例
学
习
目
标
思 维 脉 络
1.了解导数在解决利润最大、效率最高、 导数的实际应用
利润最大问题
用料最省等实际问题中的应用.
2.掌握利用导数解决实际问题最大(小)
值的方法.
用料最省问题
效率最高问题
1.优化问题
在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,

学考优化指导数学(人教a必修2)3.1.1倾斜角与斜率

学考优化指导数学(人教a必修2)3.1.1倾斜角与斜率

A.6
B. -6
C.4
D.-4
解析 由题意可得
tan
45°
2 -??
= 1-3 ,即
2- ??
=
1-3
1,解得
m= 4,故选
C.
答案 C
4.若经过点 A(2,1),B(1,m)的直线 l 的倾斜角为锐角 ,则 m 的取值范围是 ( )
A .m< 1
B.m> 1
C.m<- 1
D.m>- 1
解析 由直线 l 的倾斜角为锐角
∵α3+ α2= 180° , ∴α1+ α2= 180° . 答案 α1+ α2= 180°
10.已知 M (a,b),N(a,c)(b≠c),则直线 MN 的倾斜角是
.
解析 M ,N 两点的横坐标相同 ,均为 a,故直线 MN 与 x 轴垂直 ,从而直线 MN 的倾斜角是 90°.
答案 90°
11.如图所示 ,直线 l 1 的倾斜角 α1= 30° ,直线 l 1⊥ l2,求直线 l 1,l 2 的斜率 .
6.若
A(2,2), B( a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线
1
,则 ??+
1??的值等于
(
)
1
1
A. 2
B. -2
C.2
D.-2
解析
∵A,B,C 三点共线
, ∴ kAB=k
0- 2
AC,即 ??- 2
=
??- 2
0- 2,即
ab= 2a+ 2b,两边同除以
22
ab,得
1= +
??
,
??
即

《学考优化指导》2016-2017学年高一数学(人教A版)必修4练习第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示

《学考优化指导》2016-2017学年高一数学(人教A版)必修4练习第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、A组1.已知a=(-4,3),b=(1,2),则a2-(a-b)·b=()A.8B.3+C.28D.32解析:a2-(a-b)·b=a2-a·b+b2=25-(-4+6)+5=28.答案:C2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是()A.(3,4)B.C.D.(1,1)解析:与a共线的单位向量是±=±(3,4),即与a共线的单位向量是.答案:C3.已知a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,则|2a+3b|等于()A. B.4C.3D.2解析:∵a∥b,∴m=-4,b=(-2,-4).∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).∴|2a+3b|==4.答案:B4.(2016·广东深圳南山期末)已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若k a-2b与a垂直,则实数k的值为()A.-1B.1C.2D.-2解析:∵向量a=(1,1),b=(2,-3),∴k a-2b=k(1,1)-2(2,-3)=(k-4,k+6).∵k a-2b与a垂直,∴(k a-2b)·a=k-4+k+6=0,解得k=-1.故选A.答案:A5.已知a=(1,),b=(x,2),且b在a方向上的投影为2,则a与b的夹角为()A. B.C.D.解析:∵b在a方向上的投影为2,则=2,∴=2,解得x=-2,∴b=(-2,2).设a,b的夹角为θ,则cos θ=.∵0≤θ≤π,∴θ=.答案:D6.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),a·b=2,则|a|=.解析:∵a=(1,n),b=(-1,n),a·b=2,∴-1+n2=2,∴n2=3.∴|a|2=1+n2=4,∴|a|=2.答案:27.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.解析:a·b=-1+3y,|a|=,|b|=,∵a与b的夹角为45°,∴cos 45°=.解得y=2或y=-(舍去).答案:28.在△ABC中,∠C=90°,=(k,1),=(2,3),则k的值是.解析:∵∠C=90°,∴,∴=0.又=(2-k,2),∴2(2-k)+6=0,k=5.答案:59.在平面直角坐标系内,已知三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:(1)的坐标;(2)||的值;(3)cos∠BAC的值.解:(1)=(0,1)-(1,0)=(-1,1),=(2,5)-(1,0)=(1,5).(2)因为=(-1,1)-(1,5)=(-2,-4),所以||==2.(3)因为=(-1,1)·(1,5)=4,||=,||=,所以cos∠BAC=.10a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解:(1)因为a⊥b,所以a·b=0,即(1,x)·(2x+3,-x)=0.所以x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.(2)因为a∥b,所以1×(-x)-(2x+3)×x=0,即x2+2x=0,所以x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),所以|a-b|=2;当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),所以|a-b|=2.二、B组1.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于()A.4B.-4C.2D.-2解析:如图所示,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.答案:A2.已知向量a=(2,0),|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4a·b+4=12,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则cos θ=,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案:B3.设a=(2,3),a在b方向上的投影为3,b在x轴上的投影为1,则b=()A. B.C. D.解析:由b在x轴上的投影为1,设b=(1,y).∵a在b方向上的投影为3,∴=3,解得y=,则b=.故选A.答案:A4.已知向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,则|c|=.解析:∵a=(2,4),b=(-1,2),∴a·b=-2+8=6.∴c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8).∴|c|=8.答案:85.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=.解析:设b=(x,y).∵|b|==1,∴x2+y2=1.∵a·b=x+y=,∴x2+[(1-x)]2=1.∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.∴x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.∵(1,0)是与x轴平行的向量,∴b=.答案:6.已知a=(,-1),b=,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-k a+t b,且x⊥y,试求的最小值.解:∵a=(,-1),b=,∴a·b=-1×=0.∵|a|==2,|b|==1,a·b=0,∴a⊥b.∵x⊥y,∴[a+(t2-3)b]·(-k a+t b)=0,即-k a2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)a·b=0.∴k=.∴(t2+4t-3)=(t+2)2-.故当t=-2时,有最小值-.7=(1,7),=(5,1),=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.(1)当取最小值时,求的坐标;(2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB的值.解:(1)设=(x,y).∵点Q在直线上,∴向量共线.又=(2,1),∴x=2y,∴=(2y,y).又=(1-2y,7-y),=(5-2y,1-y),∴=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,故当y=2时,有最小值-8,此时=(4,2).(2)由(1)知,=(-3,5),=(1,-1),=-8,||=,||=,cos∠AQB==-.。

学考优化指导数学(人教a必修2)4.2.1直线与圆的位置关系

学考优化指导数学(人教a必修2)4.2.1直线与圆的位置关系

∵0<a ≤ 4,∴当 a= 3 时 ,L 的最大值为 2√10 .
(2)∵直线 l 与圆 C 相切 ,则有 |??√-22??|= 2√??,
即 |m-2a|= 2√2??. ∵点 C 在直线 l 的上方 ,∴a>-a+m ,即 2a>m , ∴2a-m= 2√2??,∴m= (√2??-1) 2-1. ∵0<a ≤ 4,∴0< √2??≤ 2√2, ∴m∈ [-1,8-4√2] .
√2d',
∴2≤ S△ABP≤ 6. 答案 A
5.由直线 y=x- 1 上的一点向圆 C:x2+y 2-6x+ 8=0 引切线 ,则切线长的最小值为 ( )
A.1
B.√2
C.√3
D.2
解析 在直线 y=x- 1 上取一点 P,过 P 向圆引切线 ,设切点为 A.连接 CA.在 Rt△PAC 中 ,|CA|=r= 1.要使
|PA| 最小 ,则 |PC| 应最小 .又当 PC 与直线垂直时
,|PC| 最小 ,其最小值为
|3- 0-1| =
√2
√2.故 |PA| 的最小值为
√( √2 )2 -1 2= 1.
答案 A 6.一条光线从点 (- 2,-3) 射出 ,经 y 轴反射后与圆 (x+ 3)2+( y-2)2= 1 相切 ,则反射光线所在直线的斜率为
由圆心 (1,1)到直线
3x+ 4y-b= 0 的距离为
|7 -??|=
5
1,得
b= 2
或
b= 12,故选
D.
答案 D 3.若过点 A(3,0)的直线 l 与曲线 (x-1)2+y 2= 1 有公共点 ,则直线 l 斜率的取值范围为 ( )

最新-学考优化设计2021学年高中数学人教A版必修1课件：1311函数的单调性 精品

除这种方法外,求单调区间时还可以使用定义法,也就是由增函数、
减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,若单调区间不唯一,中
间可用“,”隔开.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
2.一次、二次函数及反比例函数的单调性:
(1)一次函数 y=kx+b(k≠0)的单调性由系数 k 决定:当 k>0 时,该
函数在 R 上是增函数;当 k<0 时,该函数在 R 上是减函数.
1 .3
函数的基本性质
1.3函数的单调性
课
标
阐 释
1.理解增函数和减函数的定义.
2.理解函数单调性的含义,掌握利用定
义证明函数的单调性的方法.
3.能够利用定义或图象求函数的单调
区间,能够利用函数的单调性解决有
关问题.
思
维
脉 络
一、增函数和减函数的定义
【问题思考】
数,在[4,5]上是增函数.
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的
画“×”.
(1)对于函数 f(x),若在区间[a,b]上存在两个数 x1,x2,且 x1<x2,有
f(x1)>f(x2)成立,则 f(x)在区间[a,b]上是减函数.
(
)
(2)若函数 f(x)在定义域[a,b]上是增函数,且 f(x1)<f(x2),则
二、函数的单调性与单调区间
【问题思考】
1.填空:
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在
这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
2.做一做:
根据下图说出在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.

学考优化指导数学(人教a必修2)4.3空间直角坐标系


2
+
9 (??- 10 )
5
9
2
+
16
9,
当且仅当
5t=m=
10 时 ,PQ 取最小值
9
4
3,故选
C.
答案 C
7.已知 A(-4,2,3) 关于 xOz 平面的对称点为 A1,A 关于 z 轴的对称点为 A2,则|A1A2|等于
.
解析 由题可知 A1(-4,-2,3),A2(4,2,3),
∴|A1A2|= √(-4 -4 )2 + (-2-2)2 + 0= 4√5 .
2 = 2 ,4= 2 ,-1= 2 ,∴x= 5,y= 13,z=- 3,∴D (5,13, -3). 答案 (5,13,- 3) 10.
如图所示 ,在空间直角坐标系中 ,有一棱长为 a 的正方体 ABCO-A'B'C'D' ,A'C 的中点 E 到 AB 的中点 F
的距离为
.
解析 由图易知 A(a,0,0), B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a).
4.3 空间直角坐标系
课后篇 巩固提升
1.设 A(1,-1,1),B(3,1,5),则 AB 中点在空间直角坐标系中的位置是 ( )
A. y 轴上
B. xOy 面内
C.xOz 面内
D.yOz 面内
解析 因为 A(1,-1,1),B(3,1,5), 所以线段 AB 的中点坐标为 (2,0,3), 该点在 xOz 面内 .
答案 4√5
8.已知点 P 在 z 轴上 ,且满足 |OP|= 1(O 为坐标原点 ),则点 P 到点 A(1,1,1) 的距离是

最新-学考优化设计2021学年高中数学人教A版必修1课件：习题课1单调性与奇偶性的综合应用 精品


(1 )-(2)
<0,则 f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列
1 -2
为(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2 是偶函数,所以 m=1,即
f(x)=-x2+2,结合函数 f(x)的图象(图略)知选 C.
(2)因为 f(x)是奇函数,所以 f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).
变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的
不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我
们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到
同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.
∴a<1.故实数a的取值范围为(-∞,1).
1
2
3
4
5
1.若f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成
立的是(
)
A.f(0)<f(6)
B.f(4)>f(3)
C.f(2)>f(0)
D.f(-1)<f(4)
解析∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,
∴f(-1)=f(1).
又 f(3)<f(1),所以-f(-3)<-f(-1),所以 f(-3)>f(-1).
(3)由已知条件可知 f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以 f(3)<f(2)<f(1).
再由偶函数的性质得 f(3)<f(-2)<f(1).
答案(1)C (2)A

《学考优化指导》2016-2017学年高一数学(人教A版)必修4课件第一章三角函数本章整合1


+
π 8
,0
,k∈Z.
∴原点右侧的第一个对称中心为
π 8
,0
.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练 3
已知函数 f(x)=2sin
2������-
π 6
+a,a 为常数.
(1)求函数 f(x)的最小正周期;
(2)求函数 f(x)的单调递增区间;
(3)若
x∈
0,
π 2
时,f(x)的最小值为-2,求
a
的值.
专题一
专题二
专题三
专题四
1 例
点
P
从点(1,0)出发,沿单位圆
x2+y2=1
逆时针方向运动π弧
3
长到达点 Q,则点 Q 的坐标为( )
A.
1 2
,
3 2
B.
-
3 2
,-
1 2
C.
-
1 2
,-
3 2
D.
-
3 2
,
1 2
解析:设∠POQ=θ,则 θ=π3.
又设 Q(x,y),则 x=cosπ3 = 12,y=sinπ3 = 23.
(1)用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的图象时,确定五个关键点的方 法是分别令 ωx+φ=0,π2,π,32π,2π.
专题一
专题二
专题三
专四题四
(2)对于 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,应注意先“平移”后“伸缩”与 先“伸缩”后“平移”的区别.
(3)已知函数图象求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时, 常用的解题方法是待定系数法.
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1 >0,试判断¬ p 2 ������ -������-6
是¬ q 的什么条件?
思路分析(1)按照命题否定的定义进行改写,注意常见词语的否定 形式,如果是“若p则q”的形式,则只否定其结论;(2)可以有两种思路, 一是直接将¬p,¬q的范围写出来,通过集合间的包含关系进行判断, 二是判断p与q的关系,利用等价关系得到¬p是¬q的什么条件.
-17-
1.3
探究一
简单的逻辑联结词
探究二 探究三
学习目标
新知导学
答疑解惑
当堂检测
规范解答
命题的否定及其应用 【例3】 (1)写出下列命题的否定形式: ①函数f(x)=sin 3x是周期函数; ②面积相等的三角形都是全等三角形; ③若m2+n2+p2=0,则m,n,p全为0.
(2)若 p:x2-2x-3>0,q:
-6-
1.3
1 2
简单的逻辑联结词
学习目标
新知导学
答疑解惑
当堂检测
解析：(1)因为¬p是假命题,所以p是真命题. 又p∧q是假命题,所以q是假命题. (2)4是8的约数但不是16的倍数,①是假命题;2<5成立,5<2不成立, 所以②是真命题;方程x2-3=0的根为± 3,不是有理数,③为真命题; 函数f(x)=sin 2x既是周期函数又是奇函数,④是真命题. 答案：(1)B (2)②③④
-15-
1.3
探究一
简单的逻辑联结词
探究二 探究三
学习目标
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答疑解惑
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规范解答
变式训练 2(1)设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为2,命题 q:函数 y=cos x 的图象关于直线 ( )
π x=2对称.则下列判断正确的是
π
A.p为真命题 B.p∧q为真命题,p∨q为真命题 C.p∧q为假命题,p∨q为真命题 D.p∧q为假命题,p∨q为假命题 (2)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0,q:“x>1”是“x>2”的充分不必 要条件,则下列命题为真命题的是 ( ) A.p∧q B.(¬p)∧(¬q) C.(¬p)∧q D.p∧(¬q)
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1.3
探究一
简单的逻辑联结词
探究二 探究三
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解析：(1)因为函数y=sin 2x的最小正周期为π,所以p为假命题.又 q为假命题,所以p∧q为假命题,p∨q为假命题. (2)由题意知,p是真命题,q是假命题,所以p∧(¬q)是真命题. 答案：(1)D (2)D
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1.3
1 2
简单的逻辑联结词
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1.逻辑联结词“且”“或”“非” (1)用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命 题,记作p∧q,读作“p且q”. (2)用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命 题,记作p∨q,读作“p或q”. (3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作¬p,读作“非p” 或“p的否定”. 名师点拨 1.对于逻辑联结词“且”“或”“非”,可以分别结合集合中 的“交集”“并集”“补集”来进行理解. 2.一个命题的否定与命题的否命题不同,命题的否定只是将命题 的结论进行否定,而否命题则是将命题的条件和结论都进行否定.
又因为
1 2 > 0 ⇒ x -x-6>0⇒x>3 ������2 -������-6
或 x<-2,
所以¬q:-2≤x≤3. 因为{x|-1≤x≤3}⫋{x|-2≤x≤3},所以¬p是¬q的充分不必要条件.
(方法 2)因为 p:x2-2x-3>0⇒x>3 或 x<-1,q:
1 2 > 0 ⇒ x -x-6>0 ������2 -������-6
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1.3
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p 是 q 的充分不必要条件⇔¬ p 是¬ q 的必要不充分条件 p 是 q 的必要不充分条件⇔¬ p 是¬ q 的充分不必要条件 p 是 q 的充要条件⇔¬ p 是¬ q 的充要条件
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1.3
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1.3
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变式训练1指出下列命题的构成形式,以及构成它的简单命题: (1)48是16与12的公倍数; (2)方程x2+x+3=0没有实数根; (3)相似三角形的周长相等或对应角相等; (4)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两段弧. 解(1)这个命题是p∧q形式,其中p:48是16的倍数,q:48是12的倍数. (2)这个命题是¬p形式,其中p:方程x2+x+3=0有实数根. (3)这个命题是p∨q形式,其中p:相似三角形周长相等,q:相似三角 形对应角相等. (4)这个命题是p∧q形式,其中p:垂直于弦的直径平分这条弦,q:垂 直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧.
-5-
1.3
1 2
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【做一做2】 (1)若¬p与p∧q都是假命题,则p和q的真假性是( ) A.p真q真 B.p真q假 C.p假q真 D.p假q假 (2)给出下列命题:①4既是8的约数又是16的倍数;②2<5或5<2;③ 方程x2-3=0没有有理根;④函数f(x)=sin 2x既是周期函数又是奇函 数.其中真命题是 .(填序号)
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解(1)因为p是假命题,q是假命题, 所以p∧q是假命题,p∨q是假命题,¬p是真命题. (2)因为p是假命题,q是真命题, 所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,¬p是真命题. (3)因为p是真命题,q是假命题, 所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,¬p是假命题. (4)因为p是真命题,q是真命题, 所以p∧q是真命题,p∨q是真命题,¬p是假命题.
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1.3
1 2
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2.含逻辑联结词的命题(即复合命题)的真假判断(真值表)
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∨q 真 真 真 假 p∧q 真 假 假 假 ¬p 假 假 真 真
名师点拨 注意以上真值表的逆用,当p∧q为真时,p和q都必须是真命 题;当p∨q为真时,p和q中至少有一个是真命题;当p∨q为假时,p和q都 必须是假命题;当p∧q为假时,p和q中至少有一个是假命题.
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解(1)这个命题是p∨q形式,其中p:1是质数,q:1是合数. (2)这个命题是p∧q形式,其中p:他是运动员,q:他是教练. (3)这个命题是¬p形式,其中p:不等式|x-2|≤0有实数解. (4)这个命题是p∨q形式,其中p:周长相等的两个三角形全等,q:面 积相等的两个三角形全等. (5)这个命题是p∧q形式,其中p:这部作品艺术上有缺点,q:这部作 品政治上有错误.
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变式训练 3 若 p:x2-4x>0,q: ������ >2,则¬ p 是¬ q 的
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反思感悟 1.辨别含逻辑联结词的命题的构成形式时,应根据组成 含逻辑联结词的命题的语句中所出现的逻辑联结词,或语句的意义 确定含逻辑联结词的命题的形式,准确理解语义应注意抓住一些关 键词.如“是……也是……”,“兼”,“不但……而且……”,“既…… 又……”,“要么……,要么……”等. 2.要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式.如 a≥3是a>3或a=3,xy=0是x=0或y=0,x2+y2=0是x=0且y=0. 3.如果要用逻辑联结词“且”“或”“非”联结两个命题,关键是正确 理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词, 有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形. 4.常见词语及其否定形式:是→不是,相等→不相等,>→≤,<→≥, 都是→不都是,都不是→至少有一个是.
⇒x>3或x<-2, 所以p是q的必要不充分条件,故¬p是¬q的充分不必要条件.
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反思感悟 1.注意区分命题的否定与命题的否命题,二者是有区别 的,对于“若p,则q”形式的命题,其否命题是“若¬p,则¬q”,即条件和 结论都进行否定,而命题的否定只对全称命题和特称命题进行否定. 2.若p是q的充分不必要条件,即p⇒q,q p,则由原命题与其逆否 命题的等价性可知,¬q⇒¬p,¬p ¬q,所以¬p是¬q的必要不充分 条件;同理,若p是q的必要不充分条件,则¬p是¬q的充分不必要条件; 若p是q的充要条件,则¬p是¬q的充要条件.因此在判断¬p与¬q之 间的关系时,可以借助下表进行恰当的转化,简化解题过程.
1.3
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