离散数学第七章群与环

格式：ppt
大小：1.10 MB
文档页数：45

下载文档原格式

离散数学第七章群与环

定理7.4：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且s∈S的逆元元，则积半群<S×T>中的逆元为
，t∈T的逆
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05
半群群子群与群的陪集分解循环群与置换群环与域
7.2 群
定义7.7 给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G，⊙>是独异点并且每个元素均存在逆元，或满足⊙是可结合的并且关于⊙存在幺元并且G中每个元素关于⊙是可逆的，则称<G，⊙>是群。记为G。群比独异点具有更强的条件。
7.3.2 群的陪集与拉格朗日定理
给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地，每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一等价关系的等价类，其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1−1a2会在H内。H的左陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言，其中o(G)和o(H)分别为G和H的目。特别地是，每一个G的子群的目(和每一个G内元素的目)都必须为o(G)的因子。右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于 [G:H]。若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。
然而，在给出的运算下该集合是一个幺半群。例7.16 在一般意义下的乘法运算下，所有非零实数组成的集合构成一个群。 a≠0的逆是1/a。

群与环的基本概念与性质

群与环的基本概念与性质群与环是数学中重要的代数结构，它们具有丰富的性质和应用。

本文将介绍群与环的基本概念，并探讨它们的性质。

一、群的基本概念与性质群是一种包含了代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，它们的运算结果仍然在群中。

2. 结合律：群中的代数运算满足结合律，即对于群元素a、b和c，(a•b)•c = a•(b•c)。

3. 单位元：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。

4. 逆元：对于群中的任意元素a，存在一个元素b，使得a•b = b•a = e，其中e为单位元。

元素b称为元素a的逆元。

群的性质还包括以下几个重要的特点：1. 唯一性：群中的单位元是唯一的，对于任意元素a，它的逆元也是唯一的。

2. 消去律：对于群中的任意三个元素a、b和c，如果a•b = a•c，那么b = c。

类似地，如果b•a = c•a，那么b = c。

3. 关于单位元的运算规则：对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。

4. 子群：如果一个集合在同一运算下构成一个群，并且它是原群的子集，则称这个集合为原群的子群。

二、环的基本概念与性质环是一种包含了两种代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于环中的任意两个元素，它们的加法和乘法结果仍然在环中。

2. 加法结合律和乘法结合律：环中的加法和乘法满足结合律，即对于环元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)，(a*b)*c = a*(b*c)。

3. 加法单位元：环中存在一个特殊的元素0，称为加法单位元，对于环中的任意元素a，a+0 = 0+a = a。

4. 加法逆元：对于环中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a+b = b+a = 0。

元素-b称为元素a的加法逆元。

5. 乘法单位元：环中存在一个特殊的元素1，称为乘法单位元，对于环中的任意元素a，a\*1 = 1\*a = a。

离散数学群

定理7.1.4 任何一个循环半群（或含幺循环半群）都是可交换半群（或含幺可交换半群）。定理7.1.5 设<S, *>是一个半群，H 是S中任一元素的幂所构成的集合，则<H,*>是<S, *>的子半群，且是个循环子半群。 (该定理的证明自己练习)
5 半群同态
定义7.1.5 设U=<X,ο >和V=<Y, *>是两个半群，ο和*都是二元运算，函数f：X→Y，若对任意的x,y∈X，有：
定理群的运算表中每一行或每一列都是G中元素的双变换。 G中每个元素在每一行必出现且仅出现一次。
例 P198习题-18 若群<G,*>中每个元素的逆是其自身，证该群是阿贝尔群。
证只需证运算*可交换。对任意的a,b∈G, a*b=a-1*b-1=(b*a)-1=b*a 故<G,*>是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。（习题-25与之类似）
阿贝尔群设<G，*>是一个群，若*是可交换的, 则称群 <G，*>为可交换群或阿贝尔群。
例 <R，×>不是群；而 <R-{0}，×>是群。
例 7.2.1 <I，+>是阿贝尔群。
例 7.2.2 G={α，β，γ，δ}，验证<G，*>是群。
可验证运算*是可结合的， * α β γ
δ

离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质

离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质一、概念介绍代数结构是离散数学中的一个重要概念。

它描述了在特定集合上定义的运算规则和性质。

常见的代数结构主要包括：1. 群（Group）：群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。

它是一种基本的抽象代数结构，并具有丰富的性质和应用。

2. 环（Ring）：环是一种具有加法和乘法两种运算的代数结构。

它具有封闭性、结合律、单位元、交换律和分配律等性质。

3. 域（Field）：域是一种具有加法、乘法、减法和除法四种运算的代数结构。

它是一种高级的代数结构，并满足多种性质，如交换性、维数等。

二、性质探讨不同的代数结构具有不同的性质，下面我们分别探讨一下群、环和域的性质：1. 群的性质：- 封闭性：对于群G中的任意元素a和b，它们的运算结果ab 也属于G。

- 结合律：对于群G中的任意元素a、b和c，(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。

- 单位元：群G中存在一个元素e，使得对于任意元素a，ae = ea = a。

- 逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e。

2. 环的性质：- 封闭性：对于环R中的任意元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于R。

- 结合律：对于环R中的任意元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)和(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。

- 单位元：环R中存在一个元素0，使得对于任意元素a，a+0 = 0+a = a。

- 交换律：对于环R中的任意元素a和b，a+b = b+a和ab = ba。

- 分配律：对于环R中的任意元素a、b和c，a(b+c) = ab+ac和(a+b)c = ac+bc。

3. 域的性质：- 封闭性：对于域F中的任意非零元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于F。

- 结合律、单位元和逆元：与群和环的性质类似，域也具有结合律、单位元和逆元的性质。

离散数学第七章__环

规定:
n na a a a (n)a (na), 0a 0
则有：
ma na (m n)a m na mn a
0a a 0 0（0为Ｒ中零元）
n(a b) na nb
定义一个集合（Ｒ，+，。）叫做环，假如
(a)(b) ab
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn
a b
ibn amb1 ambn
(na) b a(nb) n(ab)
规定：
n n a aa a
a0 和
ab ac ab ac 0 a(b c) 0
得
b c 0 即 b c 消去律成立。
反之，假设消去律成立，因为
ab 0 ab a 0
所以由消去律知若 a
0则 b0
所以环Ｒ没有零因子。
推论: 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律也成立。
a0 1
定义（含单位元的环）：（R，。）是单元半群常见的环：整数环，有理数环，实数环。推论：（R，。）不可能构成群。（因为0元无逆元）
运算规则：
(a b)c ac bc c(a b) ca cb
0a a 0 0 （0为Ｒ中零元）
(a)b a(b) ab
则对任何整数都有
a a a
m n
mn
(a ) a
m n
mn
定义：若在一个环Ｒ里
a 0, b 0 但 ab 0
则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。
例Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法如下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]

群、环、域的基本概念与性质

群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核，记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规子群。
感谢观看
域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关，是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解性等问题。
THANKS
子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则称$I$是环$R$的理想。

离散数学第七讲群、环、域

对于列也可同样证明。
7
一、群的定义和性质
定理4：群〈G ,*〉的运算表中的每一行或每一列都是G中证： iii)最后, 因为〈G, *〉中含有么元, 所以没有两行
综合以上结果便得出: 运算表中每一行都是G的元素的
一个置换, 并且每一行都是不同的置换。同样的结论适合于列。证毕。定理5：群中没有零元。
(3)对任意 a、b∈S, ∵ b-1 ∈S , ∴ a *(b-1 )-1 ∈S, ∵ a *(b-1 )-1 = a *b , ∴ a *b∈S 。
得证。
21
四、群同态
定义8:设〈G , *〉和〈H , *′〉是两个群, 映射h:G →H
称为从〈G , *〉到〈H, *′〉的群同态, 如果对任
④ 代数〈Nk, +k, -1, 0〉是群, 这里x-1 =k-x 代数〈Nk, ×k 不是群, 因为0元素没有逆元
3
一、群的定义和性质
群是半群和独异点的特定情况, 有关半群和独异点的性质在群中也成立, 群的性质还有：
定理1: 如果〈G , *〉是一个群, 则对于任何a、b∈G, (a) 存在一个唯一的元素x, 使得a * x=b (b) 存在一个唯一的元素y, 使得y * a=b
任意群〈G ,*〉均有两个平凡子群：〈{e},*〉和〈G ,*〉。
18
三、子群
定理12：设〈G , *〉是个群, S⊆G, 如果(1)若a、b∈S, 则a * b∈S, (2)若a∈S, 则a-1 ∈S。那么〈S , *〉是〈G, *〉
证：对任意元素a∈S, 由(2)得a-1 ∈S, 再由(1)得a * a-1 =e∈S。所以, 〈S , *〉是〈G , *〉的子群。
推论： (a1

群与环知识点总结

群与环知识点总结一、群的定义与性质1. 群的定义群是一个集合G以及一个二元运算*构成的代数结构，满足以下四条性质：封闭性：对于任意的a、b∈G，都有a*b∈G。

结合律：对于任意的a、b、c∈G，都有(a*b)*c＝a*(b*c)。

存在单位元：集合G中存在一个元素e，对于任意的a∈G，都有a*e＝e*a＝a。

存在逆元：对于每个a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b＝b*a＝e。

2. 群的性质群的性质有许多重要的定理和结论，其中最重要的结论是：唯一单位元：群的单位元是唯一的。

唯一逆元：对于每个元素a∈G，其逆元素是唯一的。

左消去律：对于任意的a、b、c∈G，如果a*b＝a*c，那么b＝c。

右消去律：对于任意的a、b、c∈G，如果b*a＝c*a，那么b＝c。

以上是群的基本定义和性质，群还有许多重要的定理和结论，如拉格朗日定理、柯西定理等。

这些定理和结论对于群的研究具有重要意义，并在数学的许多领域中发挥着重要作用。

二、环的定义与性质1. 环的定义环是一个集合R以及两个二元运算+和*构成的代数结构，满足以下四条性质：R对于+构成一个交换群。

乘法满足结合律：对于任意的a、b、c∈R，都有(a*b)*c＝a*(b*c)。

分配律成立：对于任意的a、b、c∈R，有a*(b+c)＝a*b+a*c和(b+c)*a＝b*a+c*a。

2. 环的性质环的性质也有许多重要的定理和结论，其中最重要的结论是：唯一加法单位元：环的加法单位元是唯一的。

乘法分配性：环的乘法对加法满足分配律。

交换律：对于环中的任意元素a和b，都有a*b＝b*a。

环还有许多重要的定理和结论，如唯一乘法单位元、素环、主理想环等。

这些定理和结论对于环的研究具有重要意义，并在数学的许多领域中发挥着重要作用。

三、群与环的应用群与环在数学的许多领域中有着广泛的应用，如数论、代数学、几何学等。

具体而言，群与环的应用包括：1. 数论中的应用在数论中，群与环的应用非常广泛，如在模运算、同余方程、数论函数等方面，群与环都有重要的应用。

离散数学第7章PPT课件

3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路简单通路复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1：设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2：设D V, E 为有向图，
第36页/共94页

离散数学第二版答案(6-7章)

离散数学第二版答案(6-7章)第六章代数系统6.1第129页1．证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的；任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。

该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。

2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。

任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。

任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。

*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。

*运算没有左么元。

证明：采用反证法。

假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。

3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。

离散数学屈婉玲第七章 ppt课件

离散数学屈婉玲第七章
6
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B)
(2) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C)
(3) 对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA)
(2) A在R下的像记作R[A], 其中
R[A]=ran(R↾A)
说明：
R在A上的限制 R↾A是 R 的子关系，即 R↾A R
A在R下的像 R[A] 是 ranR 的子集，即 R[A] ranR
离散数学屈婉玲第七章
19
实例
例7 设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}, 则
离散数学屈婉玲第七章
26
关系运算的性质
定理7.5 设F 为关系, A, B为集合, 则
(1) F ↾(A∪B) = F ↾A∪F ↾B
(2) F [A∪B] = F [A]∪F [B]
(3) F ↾(A∩B) = F ↾A∩F ↾B
(4) F [A∩B] F [A]∩F [B]
离散数学屈婉玲第七章
离散数学屈婉玲第七章
23
关系运算的性质
定理7.3 设R为A上的关系, 则 RIA= IAR=R
<x,y> <x,y>∈RIA
t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) <x,y>∈R
离散数学屈婉玲第七章
24
关系运算的性质

群、环与域的定义及其应用

群、环与域的定义及其应用群、环与域是数学中非常基础的概念，许多高级的数学理论都建立在它们的基础之上。

本文将介绍群、环与域的定义及其应用，希望能够帮助读者更好地理解这些数学概念。

一、群的定义及其应用1.1 群的定义群是一个数学结构，它由一个集合和一个二元运算组成，满足以下四个条件：1）封闭性：对于任意两个群元素a，b，它们的运算结果c也必须属于该群。

2）结合律：对于任意三个群元素a，b，c，它们的运算结果必须满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)。

3）存在单位元：存在一个元素e，使得对于任意一个群元素a，都有a⋅e=e⋅a=a。

4）存在逆元：对于任意一个群元素a，都存在另一个元素b，使得a⋅b=b⋅a=e。

1.2 群的应用群是数学中最基础的代数结构之一，它的研究涉及到许多领域，如物理学、化学、密码学等。

其中，群在对称性研究中的应用尤为广泛。

例如，对于一个几何图形的某种对称性操作，可以构成一个群。

通过研究这个群的结构，不仅可以更好地理解这个几何图形的性质，还能够得到更精确的计算结果。

二、环的定义及其应用2.1 环的定义环也是一个代数结构，它由一个集合和两个二元运算组成，满足以下四个条件：1）封闭性：对于任意两个环元素a，b，它们的加法a+b和乘法a×b的结果也必须属于该环。

2）加法结合律：对于任意三个环元素a，b，c，它们的加法a+(b+c)=(a+b)+c和乘法结合律a×(b×c)=(a×b)×c都成立。

3）加法交换律：对于任意两个环元素a，b，它们的加法满足a+b=b+a。

4）存在加法单位元和乘法分配律：存在一个元素0，对于任意一个环元素a，都有a+0=a和a×(b+c)=a×b+a×c。

2.2 环的应用环的应用也非常广泛，例如在计算机科学中，根据环的运算结构可以将某些数据结构分为环型和非环型。

此外，环在数论、代数学、统计学等领域的应用也非常重要。

离散数学讨论课(群环格域布尔代数)

图像的边缘 .
算法见pdf 文件
格论：L为非空集合，+和。是L上的两个二院运算，如果他们满足交换
律、结合律、吸收律，则代数系统（L,+,。）为格，也称作代数格。交换律：a+b=b+a，a。b=b。a
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)， (a。b)。c=a。(b。c)
吸收律：a+ (a。b)=a，a。(a+b)=a
环论和格论
环的基本定义整环域
格的基本定义分配格有界格
补格
布尔代数
环的定义：设有代数系统（Ｒ，+，。），若满足以下条件：
（１）、（Ｒ，+）为可换群；（即满足交换律、结合律、存在零元、负元）（２）、（Ｒ，。）为半群；（即满足结合律）（３）、运算。对+满足分配律，即对任意ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，存在
的一些基本概念（如：时域和频域信号空间的群同
构关系）（３）、椭圆曲线密码的应用等
组合群论在密码学中的应用用群论的基础知识理解信号处理中的一些基本概念(如：时域和频域信号空间的群同构关系)
椭圆曲线密码的应用
椭圆曲线密码的应用
无线网络操作模式由 3 部分组成 : ① 移动用户。能从一个代理范围移动到另一个代理范围 ; ②地点固定的代理。它如同一个调停机构 , 协调移动用户和服务器之间的通信服务 ; ③ 服务器。当移动用户从一个地区到另一个地区时 , 它能选择一个合适的代理 , 实现与服务器和其它移动用户之间的通信。为了保证用户的合法接入和信息的安全传输 , 一般需要做到如下 5 点：【1】访问控制。确保接入用户合法。此过程可以通过移动用户的 MAC 地址和用户的相关信息来实现。【2】身份认证。确保对方为其所声称的用户及数据的完整性 , 通过数字签名技术实现。【3】不可否认性。确保其发出的信息事后无法抵赖 , 通过数字签名实现。【4】数据完整性。防止信息被截获后数据被更改重新发送 , 通过消息认证码 ( MAC ) 和数字签名来实现。【5】保密性。信息在传输中即使被截获 , 因截获者无法破解而毫无意义。通过数据的加密来实现。密码应用中常使用的两类椭圆曲线为定义在有限域 GF ( p ) 上的素曲线和在有限域 GF(2n )上的二元曲线。素曲线计算不需二元曲线所要求的位混淆运算 , 对软件应用而言 , 最好使用素曲线 ;而对硬件应用而言 , 则最好使用二元曲线 , 它可用很少的门电路来得到快速且功能强大的密码体制。

离散数学第7章群环和域

第7章群、环和域
这样以来，可以将6.2节中关于xn的定义推广为： x0 =e x1 =x xn+1=xn *x n为正整数。 x–n＝(x–1)n n为正整数。定义7.2.2 设<G,*>是群，如果它的子代数<H,*>也是群，则称<H,*>是<G,*>的子群。定义7.2.3 设<G,*>是群，如果G是有限集，则<G,*>称为有限群，如果 G 是无限集，则 <G,*> 称为无限群。基数 |G| 称为群<G,*>的阶数，简称群G的阶。定理7.2.1 群中不可能有零元。证明：当群的阶为1时，惟一元素为幺元。设|G|＞1且群 <G,*>有零元θ。那么对群中任何元素xG，都有x∗θ=θ∗x =θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，这与<G,*>是群相矛盾。
第7章群、环和域
对任意的a, bG，有a*b=b*a，因此， (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) 即(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 设对任意 a, bG ，有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) ，下证 <G,*>是阿贝尔群。 a∗b=e*(a*b)*e =(a –1*a)*(a*b)*(b*b –1) =a –1∗(a∗(a*b)*b)*b –1 =a –1*((a*a)*(b*b))*b –1 =a–1∗((a*b)*(a*b))*b–1 =(a –1∗a)*(b*a)*(b*b –1) =e*(b*a)*e=b*a 即得a*b=b*a，因此群<G,*>是阿贝尔群。
第7章群、环和域
证明：因为 * 在 B 上是封闭的，所以 * 是 B 上的二元运算。 B,* 是代数系统。 a,b,cB ，由于 BS ，所以 a,b,cS ，又由于S,*是半群，所以(a*b)*c=a*(b*c)，故B,*是半群。定义7.1.2 定理7.1.1中的半群B,*叫做半群S,*的子半群。例如，因为QR且乘法在有理数集上是封闭的，由定理 7.1.1和定义7.1.2，Q,·是R,·的子半群，所以Q,·是半群。类似的可以证明N,·、[0,1],·和(0,1),·是半群。定理7.1.2 设S,*是半群，S是有限集，则必有aS，使得a*a=a 证明：bS，由*在S上的封闭性知： b2=b*bS b3=b2*bS …

离散数学群与环89页PPT

21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
离散数学群与环
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克

离散数学第07章半群与群_OK

• <s1，t1><s2，t2>=<s1⊙s2，t1○t2>，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T • 由于运算是经⊙和○定义的，易知，积半群是个半群。
2021/6/28
23
• 不难证明下列定理：
• 定理7.3.1 若半群<S，⊙>和<T，○>是可交换的，则<S×T，>也是可交换的。
• 定理7.3.2 给定半群<S，⊙>和<T，○>，且e1和e2分别是它们的幺元，则积半群<S×T，>含有幺元<e1，e2>。换言之，若<S，⊙，e1>和<T，○， e2>是独异点，则<S×T，，<e1，e2>>是独异点。
2021/6/28
37
• 定义7.5.2 给定集合X且pi，pj∈PX，由X的元素先进行置换pi后继之作置换pj所得到的置换，表为pi◇pj，称pi◇pj是置换pi和pj的复合，◇是复合置换运算。
• 可以看出，若把置换看成一种特殊关系时，复合置换pi◇pj就是复合关系 piopj，常称之右复合；又若把置换看成函数时，那么复合置换又可表成如下的复合函数即所谓左复合：
33
7.5 置换群和循环群
• 本节里，将讨论群论中两种常见而又重要的群：置换群和循环群，特别在研究群的同构群时，置换群扮演着极重要的角色。
• 在正式讨论置换群以前，需要先作些必要的准备。
2021/6/28
34
• 定义7.5.1 令X是非空有穷集合，从X到X的双射，称为集合X中的置换，并称|X|为置换的阶。
2021/6/28
7
• 定理7.1.3 给定半群<S，⊙>及任意a∈S，则<{a，a2，a3，…}，⊙>是循环子半群。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

然而，在给出的运算下该集合是一个幺半群。例7.16 在一般意义下的乘法运算下，所有非零实数组成的集合构成一个群。 a≠0的逆是1/a。
7.2 群
定义 7.9 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群。群G的基数称为群G的阶。含有单位元的群称为平凡群。
7.2 群
例7.17 <Z，+>是无穷群，<S，⊙>，其中S={a，b，c}，⊙的运算表如表7.3 可以验证，<S，⊙>是群，a为幺元，b和c互为逆元；又因为|G|=3，故<S， ⊙>是3阶群。 ⊙ a b c a a b c b b c a c c a b
半群群子群与群的陪集分解循环群与置换群环与域
7.3.1 子群的概念
子群就是群的子代数。定义 7.13 给定群G，H是G的子集，使得（1）G的单位元eH ，（2）如果a和bH ，那么abH ，（3）如果aH ，那么 H。
则称H为G的一个子群，（1）和（3）说明H是G的子幺半群。如果
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05
半群群子群与群的陪集分解循环群与置换群环与域
7.4 循环群与置换群
定义7.15 设<G，>是群，若a∈G，对x∈G，k∈Z，有x= ，则称<G， >是循环群，记作G=<a>，称a是群<G，>的生成元。
例 7.11 给定<Z，+>和<Q，*>，其中Z和Q分别为整数集和有理数集，+和*
分别是一般意义下的加法和乘法。可知<Z，+>是群，0是幺元，每个元素
i∈Z的逆元为-1；<Q，*>不是群，1是幺元，0无逆元。但<Q-{0}，*>是群。
在半群、独异点、群这些概念中，由于只含有一个二元运算，所以在不发生混淆的情况下，可以将算符省去。例如将x*y写成xy。在下面的讨论中，我们将常使用这种简略表示方法。
定义7.4 给定半群<S，⊙>及G⊆S，则G为<S，⊙>的生成集：
(∀a)(a∈S→a=⊙(G))∧min|G|这里⊙(G)表示用G中的元素经⊙的复合而生
成的元素。类似地定义独异点<M，⊙，e>的生成集。
7.1 半群
例7.6：给定<N，+>，其中N是自然数集合，+为一般意义下的加法，则<N， +>是无穷循环独异点，0是幺元，1是生成元。
是a和b的积。如果⊙是一个可交换的二元运算，则称半群<S，⊙>是一个
可交换半群。
7.1 半群
例 7.1 <Z,+>是一个可交换半群。因为加法满足结合率，同时加法是可交换的，所以<Z,+>是一个可交换半群。
例 7.2 集合Z以及一般意义下的除法运算就不构成一个半群，因为除法运算不是可结合的。
e e e a a b b c c
a
b c
a
b c
e
c b
c
e a
b
a e
7.2 群
定义7.8 给定群G，若⊙是可交换的，则称G是可交换群或G是Abel群。
例7.14 具有一般意义下的加法运算的所有整数的集合Z是一个Abel群，如果a∈Z，那么a的逆是他的负数-a。
例7.15 在一般意义下的乘法运算不是一个群，因为中的元素2没有你元素。
定理7.4：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且s∈S的逆元元，则积半群<S×T>中的逆元为
，t∈T的逆
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05
半群群子群与群的陪集分解循环群与置换群环与域
7.2 群
定义7.7 给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G，⊙>是独异点并且每个元素均存在逆元，或满足⊙是可结合的并且关于⊙存在幺元并且G中每个元素关于⊙是可逆的，则称<G，⊙>是群。记为G。群比独异点具有更强的条件。
G是一个群，H是G的一个子群，那么H也是关于G中运算的一个群，因为G中的结合性定义7.14 给定群<G，⊙>及非空集合HG，则<H, ⊙>是<G，⊙>的子群（a）（b）（a，b∈Ha⊙b∈H）（a）（a∈H ∈H）。
本定理表明<H，⊙>是<G，⊙>的子群的充要条件是H对于⊙封闭及H中每个元素存在逆元。定理7.6 设G为群，H是G的非空子集。则H是G的子群当且仅当a，b属于H 有a ∈H。
7.3.2 群的陪集与拉格朗日定理
给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地，每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一等价关系的等价类，其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1−1a2会在H内。H的左陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言，其中o(G)和o(H)分别为G和H的目。特别地是，每一个G的子群的目(和每一个G内元素的目)都必须为o(G)的因子。右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于 [G:H]。若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。
定义7.6 ：给定半群<S，⊙>以及任意的a∈S，则有<{a，a2，a3，…}，⊙> 是<S，⊙>的循环子半群。
例7.8 ：给定半群<S，⊙>以及任意的a∈S，证明<{a，，},⊙>是循环子
半群。
7.1 半群
例7.9 给定两个半群<S，⊙>和<T，*>。称<S×T，⊗>为<S，⊙>和<T，*> 的积半群，其中S×T为集合S与T的笛卡儿积，运算⊗定义如下：<s1， t1>⊗<s2，t2> =<s1⊙s2，t1*t2>，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T。由于⊗是由⊙和*定义的，易知积半群是个半群。
7.2 群
例7.18 <Z，+>和<R，+>是无限群，<Zn，>是有限群也是n阶群。klein四元群是四阶群。<{0}，+>是平凡群。上述的所有群都是交换群，但是n阶（n≥2）实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群，因为矩阵乘法不满足交换律。
定理 7.5 给定群<G，>，则
7.2 群
定义 7.11 集合X是无限的，令TX表示所有从集合X到X的变换的集合，具有下列性质： – – –
–
<TX，º >构成群，在代数中称为变换群。置换群是变换群的特例。
7.2 群
定义7.12 设p是集合X={ p（）= ，，p（为X上的n阶轮换，记为（，）= ，， }上的n阶置换，若p（）= ）若n=2，称p为X上的对换。，
例 7.3 集合P（S），其中S是一个集合，加上并运算，它就构成一个交换
半群。因为并运算满足结合律和交换律。
7.1 半群
定义7.2 ：给定<M，⊙>，若<M，⊙>是半群且⊙有幺元或⊙满足结合律且拥有幺元，则称<M，⊙>为独异点或含幺半群或拟群。
例7.4 给定<N，+>和<N，*>，其中N是自然数集合，+和*为一般意义下的加法和乘法。易知<N，+>和<N，*>都是半群，而且还是独异点。因为0是
例7.7 令半群<S，*>，其中S={a，b，c，d}，*定义如表7.1，试证明生成集 G={a，b}。 * a b c d A D B C A b c b c b c b b c c d a b c d
7.1 半群
定义7.5 ：给定半群<S，⊙>及非空集合T⊆S，若T对⊙封闭，则称<T，⊙> 为<S，⊙>的子半群。
7.1 半群
定理7.1 ：若半群<S，⊙>和半群<T，>是可交换的，则<S×T，>也是可交换的。
定理7.2 ：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且e1 和 e2分别是他们的幺元，则积半群<S×T>含有幺元 <e1 ,e2> 。
7.1 半群
定理7.3：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且的零元，则积半群<S×T>含有零元和分别是他们
，并且X中其余元素保持不变，则称p
由轮换的定义可知，轮换中任何元素均可排在首位，他们表示是同一个轮换，如（）=（）。
例7.20 令S={1，2，3，4，5}，S上的5阶置换p= 换（1 2 4）。
是S上的3阶轮
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05
7.2 群
定义 7.10：集合的置换：令X是非空有限集合，从X到X的双射函数，称为集合X中的置换，并称|X|为置换的阶。集合上的所有置换（双射）与复合运算，构成的代数系统是一个群，称为对称群。由n个元素的集合而构成的所有n!个n阶置换的集合 ◇构成群< 若，◇>，它便是n次n!阶对称群。，则称由Q和◇构成的群<Q，◇>为置换群。与复合置换运算

离散数学第七章群与环

合集下载