离散数学第七章 关系-集合的笛卡尔积集

例2 A，B，C，D为任意集合，判断等式
(A∪B)×(C∪D)=(A×C) ∪(B×D)
是否成立。
答：不成立。 若A=D=Ø，B=C={a}，则 (A∪B)×(C∪D)=B×C={(a,a)} (A×C) ∪(B×D)=Ø×Ø=Ø
有序 n元组
定义3 一个有序n(n≥3) 元组是一个有序二 元组，其中第一个元素是一个有序 (n-1)元组，记为
（a1,a2,…,an-1,an ）
笛卡尔积集
定义4 设A1，A2，…，An 是 n(≥2)个集合，这n 个集合的笛卡尔积集记作 A1×A2×…×An，
即
A1×…×An＝{(a1,a2,…,an)│ a1∊A1,┅,an∊An}
当 A1＝A2＝…＝An时, 记之为An, 即 An= A×A×…×A
目录（集合论）
第六章 集合（4学时） 第七章 关系（8学时） 第八章 函数与集合的势（5学时）
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
7.1 集合的笛卡尔积集
思路: 要分别证明 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C) (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C)
例１ 求证： A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C)
证明：对于任意的x，y， 若(x,y) ∊A×(B∪C)，即有x∊A且 y∊B或C. 若y∊B, 则 (x,y) ∊A×B； 若y∊C, 则 (x,y) ∊A×C ， 所以(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)，故 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C). 对于任意的x，y，若(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)， 即(x,y)∊A×B, 或 (x,y) ∊A×C. 若(x,y)∊A×B，则x∊A且 y∊B； 若(x,y)∊A×C，则x∊A且 y∊C。 所以x∊A且 y∊B∪C, 得(x,y)∊A×(B∪C)，故 (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C). 综上可知， A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C) 。
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
A×B＝{(a,b)│a∊A,b∊B}。
例 A={1,2}， B={a,b,c}, A×B＝{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
笛卡尔 René Descartes（1596～1650）
著名的法国哲学家、数学家、物理 学家，解析几何学奠基人之一。在 今天，巴黎安葬民族先贤的圣日耳 曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上 镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以 来，第一个为人类争取并保证理性 权利的人”。 笛卡儿的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学， 都开创了这些学科的崭新时代。《几何学》是他公开 发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代 数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程 表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化 为代数题后能轻而易举地找到答案.
定义1 a和b是两个元素，把a作为第一个元素，把b 作为第二个元素，按这个顺序排列的一个二元 组叫有序二元组, 简称有序对， 记为:
Байду номын сангаас
（a，b）
特点：
(1) 当a≠b时，（a，b）≠（b，a）； (2) 两个有序二元组相等，即（a，b）＝（x，y） 的充分必要条件是 a＝x 且b=y。
笛卡尔积集
定义：设A和B是两个集合，存在一个集合，它的元素 是用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素 构成的有序二元组。称它为集合A和B的笛卡尔 积集，记为 A×B 。即
笛卡尔积集的性质
性质1．若A和B有一个是空集，则它们的笛卡尔积 集是空集，即 Ø ×B=A×Ø =Ø 性质2．当A≠B，且A和B均不是空集时，有 A×B≠B×A 性质3．当A，B，C均不是空集时，有 (A×B) ×C≠A×(B×C)
尚未定义(a,b,c)
((a,b),c)≠(a,(b,c))
例１ 求证： A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C)