离散数学屈婉玲第七章教学内容

离散数学第二版屈婉玲简介《离散数学第二版》是由屈婉玲编写的离散数学教材。

离散数学是计算机科学中的一门基础课程，主要研究离散对象及其结构、性质和相互关系。

这本教材系统地介绍了离散数学的各个方面，具有循序渐进、清晰易懂的特点，适合计算机科学及相关专业本科生使用。

目录•离散数学概论–离散数学的基本概念–命题逻辑–谓词逻辑与推理–集合与命题逻辑的应用•图论基础–图的基本概念–有向图与无向图–图的遍历–最短路径•关系与函数–二元关系–关系的闭包与等价关系–函数与映射关系–函数的复合与反函数•计数原理–基本计数原理–排列与组合–生成函数–容斥原理•离散数学中的数论–整数与整除性–模运算与同余关系–素数与因子分解–公约数与最大公约数•离散结构中的代数系统–代数系统的基本概念–半群与幺半群–群与子群–环与域内容概述离散数学概论第一章介绍了离散数学的基本概念和离散对象的性质。

包括集合论、命题逻辑和谓词逻辑等内容。

后续讲解了命题逻辑的推理规则，以及如何应用集合论和命题逻辑解决实际问题。

图论基础第二章介绍了图论的基本概念和图的表示方法。

包括有向图和无向图的概念、图的遍历算法和最短路径算法。

通过实例讲解了如何使用图论解决实际问题。

关系与函数第三章介绍了关系与函数的概念和性质。

包括二元关系的定义和性质、关系的闭包和等价关系的概念，以及函数与映射关系的概念和性质。

通过实例讲解了如何使用关系和函数解决实际问题。

计数原理第四章介绍了计数原理的基本概念和计数方法。

包括基本计数原理、排列与组合、生成函数和容斥原理等内容。

通过实例讲解了如何使用计数原理解决实际问题。

离散数学中的数论第五章介绍了离散数学中的数论知识。

包括整数与整除性、模运算与同余关系、素数与因子分解、公约数与最大公约数等内容。

通过实例讲解了如何使用数论知识解决实际问题。

离散结构中的代数系统第六章介绍了离散结构中的代数系统。

包括代数系统的基本概念、半群与幺半群、群与子群、环与域等内容。

离散数学（屈婉玲）答案_1-5章教学内容离散数学(屈婉玲)答案_1-5章第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0.（3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0(4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。

并且，如果3是无理数，则2也是无理数。

另外6能被2整除，6才能被4整除。

”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。

19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(?q→?p)（5）(p∧r) ?(?p∧?q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式 //最后一列全为1（5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1（6）公式类型为永真式（方法如上例）//第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ?(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r))(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)(?p∨q)∧(?p∨r)p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q)1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1(p∨q)∧?(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(?p→q)→(?q∨p)(2)?(p→q)∧q∧r(3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)解：（1）主析取范式(?p →q)→(?q ∨p)(p ∨q)∨(?q ∨p)(?p ∧?q)∨(?q ∨p)(?p ∧?q)∨(?q ∧p)∨(?q ∧?p)∨(p ∧q)∨(p ∧?q)(?p ∧?q)∨(p ∧?q)∨(p ∧q) ?320m m m ∨∨∑(0,2,3)主合取范式：(?p →q)→(?q ∨p)(p ∨q)∨(?q ∨p)(?p ∧?q)∨(?q ∨p)(?p ∨(?q∨p))∧(?q ∨(?q ∨p))1∧(p ∨?q)(p ∨?q) ? M 1∏(1)(2) 主合取范式为：(p →q)∧q ∧r ??(?p ∨q)∧q ∧r(p ∧?q)∧q ∧r ?0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)(?p ∧(?q ∨?r))∨(p ∨q ∨r)(?p ∨(p ∨q ∨r))∧((?q ∨?r))∨(p ∨q ∨r))1∧11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,?(q∧r),r结论：?p(4)前提：q→p,q?s,s?t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①?(q∧r) 前提引入②?q∨?r ①置换③q→?r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤?q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q?s 前提引入④s?t 前提引入⑤q?t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→?q,?r∨q,r∧?s结论：?p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确. 第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x ).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。

第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。

离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ⇔（0?1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）?(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）? (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。

并且，如果3是无理数，则2也是无理数。

另外6能被2整除，6才能被4整除。

”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。

19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)? ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x ).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解： F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。

离散数学教学大纲屈婉玲离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象和离散结构之间的关系。

作为计算机科学专业的一门核心课程，离散数学的教学大纲对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

离散数学的教学大纲应该包含以下几个方面的内容。

首先是集合论，它是离散数学的基础，研究集合和元素之间的关系。

集合论的基本概念包括集合的定义、子集、并集、交集等，学生需要通过练习掌握这些概念，并能够运用它们解决实际问题。

其次是逻辑和证明，逻辑是离散数学的重要组成部分，它研究命题、命题之间的关系以及推理规则。

学生需要学习命题的基本概念，如真值、合取、析取等，并能够使用真值表和逻辑符号进行推理。

此外，学生还需要学习证明的方法和技巧，如直接证明、间接证明、数学归纳法等，以培养他们的证明能力和思维能力。

第三个方面是图论，图论是离散数学中的一个重要分支，研究图和图的性质。

学生需要学习图的基本概念，如顶点、边、路径、回路等，并能够运用图的算法解决实际问题。

图论在计算机科学中有着广泛的应用，如网络设计、路径规划等，因此学生对图论的掌握对于他们日后的学习和工作都具有重要意义。

最后一个方面是组合数学，组合数学是离散数学的另一个重要分支，研究离散对象的组合和排列。

学生需要学习组合数学的基本概念，如排列、组合、二项式系数等，并能够运用这些概念解决实际问题。

组合数学在密码学、编码理论等领域有着广泛的应用，学生对组合数学的掌握将为他们未来的学习和工作打下坚实的基础。

除了以上几个方面的内容，离散数学的教学大纲还应该包括一些实践性的内容，如编程实践、案例分析等。

通过实际操作，学生能够将离散数学的理论知识应用到实际问题中，提高他们的解决问题的能力和实践能力。

总的来说，离散数学的教学大纲应该全面、系统地覆盖离散数学的各个方面，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

通过合理的教学大纲，学生能够系统地学习离散数学的基本概念和方法，并能够运用它们解决实际问题。

屈婉玲⾼教版离散数学部分答案第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A ,全域关系E A ,⼩于或等于关系L A ,整除关系D A .解：I A ={<2，2>,<3,3>,<4,4>}E A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}L A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} D A ={<2,4>}13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A ?B,A ?B, domA, domB, dom(A ?B), ranA, ranB, ran(A ?B ), fld(A-B). 解：A ?B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} A ?B= {<2,4>}domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A ∨B)={1,2,3,4}ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A ?B)={4}A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求R οR, R -1, R ↑{0,1,}, R[{1,2}] 解：R οR={<0,2>,<0,3>,<1,3>}R -1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}16．设A={a,b,c,d}，1R ，2R 为A 上的关系，其中1R ={},,,,,a a a b b d{2,,,,,,,R a d b c b d c b=求23122112,,,R R R R R R o o 。

离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)⇔（0?1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝(4)（176能被2q:3r:2s:619（4）(p（5）(p（6）((p答：（pqp→q⌝0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000010010014.(2)(p→(4)(p∧证明（2（45.(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p⇔1∧(p⇔(p∨⇔∏(2)⌝(p→q)⇔(p∧(3)⇔⌝⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r⑤⌝q⑥p→q⑦￢p（3证明（4①t②t③q④s⑤q⑥（⑦（⑧q⑨q⑩p15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p②p③﹁④￢⑤￢⑥r⑦r⑧r3.:(1)均有2=(x+)(x).(2)其中(a)(b)解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。

7.1 列各组数中，那些能构成无向图的度数列？那些能构成无向简单图的度数列？（1）1，1，1，2，3（2）2，2，2，2，2（3）3，3，3，3（4）1，2，3，4，5（5）1，3，3，3解答：（1），（2），（3），（5）能构成无向图的度数列。

（1），（2），（3）能构成五项简单图的度数列。

7.2 设有向简单图D 的度数列为2，2，3，3，入度列为0，0，2，3，试求D 的出度列。

解：因为 出度=度数-入度，所以出度列为2，2，1，0。

7.3 设D 是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3。

它的入度列（或出度列）能为1，1， 1，1吗？解：由定理7.2可知，有向图的总入度=总出度。

该有向图的总入度=1+1+1+1=4,总出度=2+2+2+2=8,4！=8，所以它的出度列（或入度列）不能为1，1，1，1。

7.6 35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点？解：根据握手定理，所有顶点的度数之和为70，假设每个顶点的度数都为3，则 n 为小于等于370的最大整数，即：２３ ∴ 最多有23个顶点7.7 设n 阶无向简单图G 中，δ（G ）=n-1，问△（G ）应为多少？解： 假设n 阶简单图图n 阶无向完全图，在K n 共有2)1(-n n 条边，各个顶点度数之和为n （n-1）∴每个顶点的度数为nn n )1(-=n-1 ∴△（G ）=δ（G ）=n-17.8 一个n （n ≥２）阶无向简单图Ｇ中，n 为奇数，有r 个奇度数顶点，问Ｇ的补图G 中有几个奇度顶点？解：在K n 图中，每个顶点的度均为（n-1），n 为奇数，在Ｇ中度为奇数的顶点在G 中仍然为奇数，∴共有r 个奇度顶点在G 中７.９ 设Ｄ是n 阶有向简单图，Ｄ’是Ｄ的子图，已知Ｄ’的边数m ’＝n （n-1），问Ｄ的边数m 为多少？解： 在Ｄ’中m ’＝n （n-1） 可见Ｄ’为有个n 阶有向完全图，则Ｄ＝Ｄ’ 即Ｄ’就是Ｄ本身，∴m=n （n-1）7.18 有向图D 入图所示。

《离散数学》课程教学大纲【课程名称】离散数学（Discrete Mathematics)）【课程代码】08012007【适应专业】数学与应用数学【授课对象】普通本科【课程简介】离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。

以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标。

离散数学课程主要介绍命题逻辑等值演算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑的基本概念、一阶逻辑等值演算与推理、集合代数、二元关系、函数、图的基本概念、欧拉图与哈密顿图等内容。

教学原则是注重理论、方法和实例的有机结合，努力使学生对于离散数学课程逐渐形成较为完整的知识体系，对于一些概念、性质、方法有更加深刻的理解，建立正确的形式逻辑和辩证逻辑，提高分析问题、解决问题的能力。

【教学目标】通过离散数学的学习，能够掌握集合的概念、运算及应用，集合内元素间的关系以及集合之间的关系，掌握图论学科的基本理论知识和相关应用，不仅能为学生的专业课学习及将来从事的软、硬件开发打下坚实的基础，同时也能培养他们抽象思维和严格逻辑推理能力。

【参考学时】72学时【参考书目】1．屈婉玲，耿素云编著：《离散数学》，北京，高等教育出版社，2008年2．左孝凌等编著：《离散数学》，上海，上海科技文献出版社，2003年3．蔡英编著：《离散数学》，西安，西安电子科技大学出版社，2007年4．王元元编著：《离散数学导论》，北京，科学出版社，2005年【教学内容】●第一单元命题逻辑的基本概念●§1 命题与联结词§2 命题公式及其赋值●基本要求：1．深刻理解5种常用联结词的涵义，并能准确地应用它们将基本复合命题及复合命题符号化；2．分清“相容或”与“排斥或”；3．深刻理解命题公式的赋值、成真赋值、成假赋值，从而准确地判断出公式的类型。

●重点、难点：蕴涵联结词与析取联结词；真值表。

●教学方法提示：讲授法●参考学时：4学时●第二单元命题逻辑的等值演算●§1 等值式§2 析取范式与合取范式§3 联结词的完备集●基本要求：1．深刻理解等值式的定义；2．熟练应用基本等值式及置换规则进行等值演算；3．深刻理解极小项、极大项的定义，名称、下角标与成真赋值的关系，会求主析取范式与主合取范式。