高中数学选修2-1 同步练习 专题3.1.1空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算(原卷版)

第三章 3.1 3.1.1 3.1.2请同学们认真完成练案[20]A 级 基础巩固一、选择题1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( D ) A ．DB →B ．AC →C ．AB →D ．BA →[解析] 解法一：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.解法二：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →) ＝DA →＋BD →＝BA →.2．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( B ) A ．AB →＝BC →＋CD →B ．AB →－DC →＋BC →＝AD → C ．AD →＝AB →＋BC →＋DC →D ．BC →＝BD →－DC →[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测)在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是( B )A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点[解析] 平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．4．如图所示，已知A 、B 、C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为( C )A ．OA →＋2AB →＋2AC →B ．OA →－3AB →－2AC → C ．OA →＋3AB →－2AC →D ．OA →＋2AB →－3AC →[解析] 根据A 、B 、C 、P 四点共面的条件可知AP →＝xAB →＋yAC →.由图知x ＝3，y ＝－2，∴OP →＝OA →＋3AB →－2AC →，故选C ．5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( D )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14[解析] AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1，y ＝14.6．(2020·福建泉州市普通高中质量检测)如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，N 是A 1B 的中点，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则CN →＝( B )A ．12(a ＋b －c )B ．12(a ＋b ＋c )C ．a ＋b ＋12cD ．a ＋12(b ＋c )[解析] 本小题主要考查解空间向量的运算，若AB 中点为D ，CN →＝CD →＋DN →＝12(a ＋b ＋c )，故选B ．二、填空题7．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__0__.[解析] 解法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 解法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，则x ＋y ＋z ＝__76__.[解析] 如图所示，有AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →.又∵AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝13z ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝12z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.三、解答题9．如图所示，在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →.(2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.10．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 在AC ′上，且AE ：EC ′＝1：2，点F 、G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，求下列各式中的x 、y 、z 的值．(1)AE →＝xAA ′→＋yAB →＋zAD →； (2)BF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →； (3)GF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →. [解析] (1)∵AE ：EC ′＝1：2， ∴AE →＝13AC ′→＝13(AB →＋BC →＋CC ′→)＝13(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝13AA ′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13.(2)∵F 为B ′D ′的中点，∴BF →＝12(BB ′→＋BD ′→)＝12(BB ′→＋BA →＋AA ′→＋A ′D ′→)＝12(2BB ′→＋BA →＋BC →)＝BB ′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12.(3)∵G 、F 分别为BD ′、B ′D ′的中点， ∴GF →＝12BB ′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0.B 级 素养提升一、选择题1．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( D ) A ．0 B ．3 C ．2＋2D ．2 2[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2. 2．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，则MP →＋NC 1→＝( A )A ．32a ＋12b ＋32cB ．a ＋12cC ．12a ＋12b ＋cD ．32a ＋12b ＋12c[解析] MP →＋NC 1→＝12AA 1→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1→＝32AA 1→＋12AB →＋32AD →＝32a ＋12b ＋32c ，故选A ．3．(多选题)下列命题中假命题的是( ABD )A ．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆B ．若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝bC ．若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝pD ．空间中任意两个单位向量必相等[解析] A ．假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．B ．假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但B 中向量a 与b 的方向不一定相同．C ．真命题．向量的相等满足递推规律．D ．假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错．4．(多选题)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列说法正确的是( BCD ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x a ＋y b ＋z cD ．{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }一定能构成空间的一个基底[解析] 对于A 选项，b 与a ，c 都垂直，a ，c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误．对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面，B 选项正确．对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确．对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面．假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设a ＋b ＝x (b ＋c )＋y ·(c ＋a )，化简得(x ＋y )c ＝(1－y )a ＋(1－x )b ，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底．所以D 选项正确．故选BCD ．二、填空题5．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中：①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC →.正确的是__①②③④__.[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB ′→＋BC →＝AC ′→，AC ′→＋C ′C →＝AC →，∴④正确．6．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ：MC ＝2：1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ＝__－23__，y ＝__－16__，z ＝__16__.[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ：FD ＝2：1，连接MF ，则MN →＝MF →＋FN →，∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)，MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB →，∴MN →＝－23AB →－16AD→＋16AP →，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.三、解答题7．已知三个向量a 、b 、c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p 、q 、r 是否共面？[解析] 假设存在实数λ、μ，使p ＝λq ＋μr ，则a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c ，∵a ，b ，c 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ－7μ＝1－3λ＋18μ＝1－5λ＋22μ＝－1，∴⎩⎨⎧λ＝53μ＝13.即存在实数λ＝53，μ＝13，使p ＝λq ＋μr ，故p 、q 、r 共面．8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E 、F 、B 三点共线．[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.所以E 、F 、B 三点共线．。

第三章课时作业一、选择题．在平行六面体—′′′′中，与向量的模相等的向量有( ) ．个．个．个．个解析：＝＝＝＝＝＝＝.答案：．已知正方体－的中心为，则在下列各结论中正确的结论共有( )①＋与＋是一对相反向量；②－与－是一对相反向量；③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；④－与－是一对相反向量．. 个. 个. 个. 个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．答案：．设有四边形，为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形是( ). 平行四边形. 空间四边形. 等腰梯形. 矩形解析：∵＋＝＋，∴＝.∴∥且＝.∴四边形为平行四边形．答案：．如果向量、、满足＝＋，则( ). ＝＋. ＝－－. 与同向. 与同向解析：∵＝＋∴、、共线且点在之间，即与同向．答案：二、填空题．在直三棱柱－中，若＝，＝，＝，则＝(用，，表示)．解析：＝－＝－(＋)＝－＋－.答案：－＋－．在长方体－′′′′中，化简向量表达式－＋－结果是．解析：＋－(＋)＝－＝.答案：．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：①＋＝；②－＝；③＋＝；④－＝.其中一定不成立的是．解析：①＋＝恒成立；②－＝，故②不成立；③当、、方向相同时，有＋＝；④当、、共线且与、方向相反时，有－＝.故只有②一定不成立．答案：②三、解答题．如图，在长、宽、高分别为＝，＝，＝的长方体－中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．()单位向量共有多少个？()写出模为的所有向量．()试写出的相反向量．解：()由于长方体的高为，所以长方体条高所对应的向量，，，，，，共个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为，故单位向量共个．()由于长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.()向量的相反向量为，，，.．如图所示，在平行六面体－中，设＝，＝，＝，、、分别是、、的中点，试用、、表示以下各向量：()；()；().解：()∵是的中点，∴＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋.。

知识1．空间向量的定义在空间中，我们把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．2．空间向量的表示方法（1）几何表示：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的_____．（2）符号表示：空间向量可用一个字母表示，如向量a，也可用有向线段的起点、终点的字母表示，如AB．图所示，可用表示向量a的有向线段的起点A和终点B表示为AB，向量的模记为||a或||3．几个特殊的空间向量零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a相等向量方向相同且_____的向量称为相等向量4．空间向量的加法和减法运算已知空间向量a，b，可以把它们平移到同一个平面α内，以任意点O为起点，作向量OA=a，OB=b，如图1所示．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算(如图2所示)：=-=．CA OA OCOB OA AB______=+=，______图1 图25．空间向量的加法运算律（1）交换律：______+=a b ； （2）结合律：()()++=++a b c a b c ． 用图1、图2来验证空间向量的加法运算律如下：图1 图2以上运算律对于多个空间向量的加法也是成立的．6．空间向量的数乘运算（1）定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）向量λa 与a 的关系：如图，当0λ>时，λa 与向量a 的______；当0λ<时，λa 与向量a 的______．λa 的长度是向量a 的长度的λ倍．（3）空间向量的数乘运算律：①分配律：()λλλ+=a b a +b ；②结合律：()()λμλμ=a a ．7．共线向量（1）定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_______，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）向量共线的充要条件（即共线向量定理）对于空间任意两个向量a ，b ()≠0b ，∥a b 的充要条件是存在实数λ，使_______． （3）共线向量定理的推论如图所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA t =+a ①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量． 若在l 上取AB =a ，则①式可以化为(1)OP OA t AB t OA tOB =+=-+ ②．①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定．注：共线向量定理及其推论可用来证明直线平行和空间三点共线．8．共面向量（1）定义平行于_______的向量，叫做共面向量．（2）三个向量共面的充要条件（即共面向量定理）如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p =_______．（3）共面向量定理的推论如图，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使AP xAB yAC=+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC =++ ③．③式称为空间平面ABC 的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．三点共线的充要条件由共线向量定理的推论，我们可以得到空间三点共线的充要条件为OP OA OB αβ=+，且=1αβ+.此结论经常使用.知识参考答案： 1．大小 方向7．（1）平行或重合 （2）λa =b 8．（1）同一个平面 （2）x y +a b重点重点 空间向量的定义及其表示、空间向量的加减法运算及数乘运算 难点 共线向量、共面向量易错混淆平行直线与平行向量、混淆向量与平面平行和直线与平面平行重点 空间向量的相关概念理解向量的相关概念，关键是掌握几个重要概念：相等向量的模相等，方向相同；零向量的方向任意，模为零；共线向量方向相同或相反；相反向量的模相等，方向相反．下列有关空间向量的说法中正确的是A ．如果两个向量的模相等,那么这两个向量相等B ．如果两个向量的方向相同,那么这两个向量相等C ．如果两个向量平行且它们的模相等,那么这两个向量相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】D【解析】相等向量要求模相等且方向相同,故A 和B 错误； 平行向量可以方向相同也可以方向相反,故C 错误; D 显然正确.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，11AA =，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，（1）写出模为5的所有向量；（2）写出与AB 相等的所有向量；（3）写出1B B 的相反向量；（4）单位向量共有多少个？【答案】见解析．【名师点睛】相等向量和相反向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也不一定是相反向量．重点 空间向量的线性运算向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．已知空间四边形ABCD ,如图,连接AC ,BD ,设M ,G 分别是BC ,CD 的中点.化简下列各表达式,并在图中标出化简得到的向量. （1）++;（2）+12(+); （3）-12(+). 【解析】（1）+++.如图所示.（2）方法一：+(+)=+12+12++.如图所示.方法二：连接BG , ∵G 是CD 的中点,∴+=2. ∴+12(+)=+.如图所示.【名师点睛】（1）首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=，因此求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；（2）若首尾顺次相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++=0；（3）两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立，因此求起点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．难点 向量共线问题判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使得λ=a b 成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形进行化简，从而得到∥a b ，即a 与b 共线．反之，当两个空间向量共线时，即存在实数λ，使得λ=a b 成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值．已知()324,182x y =--=+++a m n p b m n p ，≠0a ，若∥a b ，求实数的值.【解析】∵∥a b ，∴()324182x y λ--=+++⎡⎤⎣⎦m n p m n p ，∴，∴.如图,在四棱锥V-ABCD 中,VA =VB =VC =VD ,13VP VC =,23VM VB =,23VN VD =.若H 是MN 的中点,求证:VA ∥PH .重点 三点共线问题若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得AC AB λ=，这是解决三点共线问题的突破口．已知空间向量,a b ,且2,56,72AB BC CD =+=-+=-a b a b a b ,则一定共线的三点为A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【答案】A【解析】由题意可得：24BD BC CD =+=+a b ，则，则A ，B ，D 三点共线；不存在实数满足，则A ，B ，C 三点不共线； 不存在实数满足，则B ，C ，D 三点不共线；48AC AB BC =+=-+a b ，不存在实数满足，则A ，C ，D 三点不共线.故选A.设e 1,e 2是不共线的空间向量,已知=2e 1+ke 2,=e 1+3e 2,=2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,求k 的值.难点 空间向量的共面问题（1）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量不一定共面．（2）向量p 与a ，b 共面的充要条件是在向量a ，b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立． （3）若点P 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外的任意一点，则OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，这也是判断四点共面的常用结论．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任意一点，（1）若1()3OP OA OB OC =++，试判断向量PA ，PB ，PC 是否共面，并判断点P 是否在平面ABC 内；（2）若点P 在平面ABC 内，且1253OP OA OB mOC =++，求实数m 的值．【答案】（1）向量PA ，PB ，PC 共面，点P 在平面ABC 内；（2）215．【解析】（1）因为3OA OB OC OP ++=，所以()()OA OP OP OB OP OC BP CP -=-+-=+，即PA BP CP PB PC =+=--， 所以向量PA ，PB ，PC 共面．因为PA ，PB ，PC 有共同的起点P ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以P ，A ，B ，C 共面，即点P 在平面ABC 内．方法2：若点P 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外的任意一点， 则OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=， 利用此结论可得12153m ++=，解得215m =． 【名师点睛】要证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．易错 混淆平行直线与平行向量而致错已知下列命题：①若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB 与CD 是共线向量； ②若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB 与CD 不是共线向量； ③向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上； ④向量AB 与AC 是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上． 其中是真命题的有____________（填序号）． 【错解】①②③④【错因分析】因为向量为自由向量，所以平行向量就是共线向量，但是向量所在的直线却不一定重合，也有可能平行，关键是看这两个向量所在的直线有没有公共点，如果没有公共点，那么对应的两条直线平行；否则，对应的两条直线重合．【正解】①为真命题，若A ，B ，C ，D 在一条直线上，向量AB ，CD 方向相同或相反，因此AB 与CD 是共线向量；②为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 方向不确定，不能判断AB 与CD 是否是共线向量；③为假命题，因为AB ，CD 两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上； ④为真命题，因为AB ，AC 两个向量所在的直线有公共点A ，所以三点共线． 故填①④．【名师点睛】平行直线与平行向量的区别与联系：①平行向量所在的直线既可以平行也可以重合；②平行直线是指任何不重合的两条平行直线．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线．易错 混淆向量与平面平行和直线与平面平行而致错已知AB ，CD 是异面直线，CD α∥，AB α∥，M ，N 分别是AC ，BD 的中点．证明：MN α∥．【错解】因为CD α∥，AB α∥，且AB ，CD 是异面直线，所以在平面α内存在向量a ，b 使得AB =a ，CD =b ，且两个向量不共线． 因为M ，N 分别是AC ，BD 的中点， 所以111()()()222MN MA AB BN MC CD DN AB CD =+++++=+=+a b ． 根据共面向量定理知MN α∥，所以MN α∥． 【错因分析】由1()2MN =+a b 可知，表示向量的有向线段所在的直线与平面可能平行，也可能在平面内．错解没有理解向量与平面平行的含义．【正解】因为CD α∥，AB α∥，且AB ，CD 是异面直线，所以在平面α内存在向量a ，b 使得AB =a ，CD =b ，且两个向量不共线． 因为M ，N 分别是AC ，BD 的中点， 所以111()()()222MN MA AB BN MC CD DN AB CD =+++++=+=+a b ， 所以MN ，a ，b 共面， 所以MN α∥或MN α⊂．若MN α⊂，则AB ，CD 必在平面α内，这与已知AB ，CD 是异面直线矛盾．故MN α∥．【名师点睛】线面平行要求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面的位置关系．这就要求同学们在平时的学习中要充分理解定义、定理的实质．基础训练1．空间向量不可以做的运算是 A ．加法 B ．减法 C ．数量积D ．除法2．已知空间四边形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，AD =c ，则CD = A ．+-a b c B ．--c a b C ．+-c a bD ．++a b c 3．如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,+-=A ．B ．C ．D ．4．在长方体中,为与的交点,若===,则下列向量与相等的是A ．B ．C ．D ．5．已知为空间任意一点,三点不共线,若=111326OA OB OC ++，则四点A ．一定不共面B ．不一定共面C ．一定共面D ．无法判断6．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算结果为向量1AC 的是①1()AB BC CC ++；②11111()AA A D DC ++；③111()AB BB BC ++；④11111()AA A B BC ++． A ．①③ B ．②④ C ．③④D ．①②③④7．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB BC CD ++=_________________． 8．如图,已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1,给定的下列各对向量:①与;②与;③与;④与.其中是相反向量的是 .(填序号)9．已知点P 和不共线的三点A ,B ,C ,四点共面且对于空间任意一点O ，都有 ，则λ＝________.10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 1为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，若11AO AA xAB yAD=++，则2x y +=________________．11．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式：（1）1AB BA +；（2）111AB BC C C ++； （3）AM BM CB --；（4）112AA AB AM +-．12．已知两个非零向量12,e e 不共线，如果12AB =+e e ，1228AC =+e e ，1233AD =-e e ，求证：共面.13．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AD 1中点， N 是BD 中点，试判断与是否共线？请说明理由.能力提升14．设P 是ABC △的重心，若,,BC CA AB ===a b c ，且++=0a b c ，则AP =A ．2-b cB ．2-c bC ．3-b cD ．3-c b15．已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O ,则有下列结论:①OA +OD 与'OB +'OC 是一对相反向量; ②OB -OC 与'OA -'OD 是一对相反向量;③OA +OB +OC +OD 与'OA +'OB +'OC +'OD 是一对相反向量; ④'OA -OA 与OC -'OC 是一对相反向量. 其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．已知空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB 与AD 边上的点，M ，N 分别是BC 与CD 边上的点，若AE AB λ=，AF AD λ=，CM CB μ=，CN CD μ=，则向量EF 与MN 满足的关系为A ．EF MN =B ．EF MN ∥C ．EF MN =D ．EF MN ≠17．如图，空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则下列各式中成立的是A ．EB BF EH GH +++=0 B ．EB FC EH GE +++=0 C ．EF FG EH GH +++=0D ．EF FB CG GH -++=018．设空间四点O 、A 、B 、P 满足OP =m OA +n OB ，其中m +n =1，则A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 不一定在直线AB 上D ．以上都不对19．已知平行六面体ABCD A B C D -''''，则下列四式中：①AB CB AC -=；②AC AB B C CC ''''=++；③AA CC ''=；④AB BB BC C C AC '''+++=． 正确式子的序号是_________________．20．已知O 是空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，四点共面，且2OA xBO =+34yCO zDO +，则234x y z ++=_________________．21．已知点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别是,PC PD 上的点，M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN x AB y AD z AP =++的实数,,x y z 的值．22．（1）已知A ，B ，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OC mOA nOB =+，求m n +的值； （2）设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知6AB m =+a b ，2BC =--a b ，2DC =-a b ，且A ，B ，D 三点共线，求实数m 的值．23．已知在四面体P ABCD -中，PA =a ，PB =b ，PC =c ，G ∈平面ABC ．证明：G 为ABC △的重心的充要条件是1()3PG =++a b c ．真题练习24．（2019上海模拟）设1A ，2A ，3A ，4A ，5A 是空间中给定的5个不同的点，则使1234MA MA MA MA ++++5MA =0成立的点M 的个数为A ．0B ．1C ．5D ．10参考答案1．【答案】D2．【答案】B【解析】因为AB BC CD DA +++=0，所以CD =--c a b ,选B. 3．【答案】B 【解析】+-+++.4．【答案】B【解析】由向量的三角形法则可得,即,故选B ．5．【答案】C 【解析】因为=,且,所以四点共面.6．【答案】D7．【答案】AD【解析】AB BC CD AC CD AD ++=+=．故填AD ． 8．【答案】③④【解析】结合相反向量的定义,又由空间向量在空间中可以任意平移可知③④符合题意. 9．【答案】【解析】由四点共面的充要条件可得：，解得：.故答案为．10．【答案】34【解析】因为11111111111111()2222AO AA AO AA AC AA AC AA AB AD AA AB =+=+=+=++=+ 12AD +，所以12x =，12y =， 所以234x y +=．故填34．11．【解析】（1）11AB BA AA +=． （2）111111111AB BC C C A B BC C C AC ++=++=． （3）AM BM CB AM MB BC AC --=++=． （4）112AA AB AM BM AB MA AB BM MA +-=++=++=0． 12．【解析】∵12AB =+e e ，1228AC =+e e ，1233AD =-e e ，∴1233AD =-e e ()()1212528=+-+e e e e，∴共面.14．【答案】D【解析】如图所示，由重心的性质可得：23AP AM =， 由平面向量的运算法则可得：()12AM AB AC =+， 则()213233AB AC AP AB AC +-=⨯+==c b .故选D.15．【答案】C【解析】如图所示,①=-,=-,则+=-(+),是一对相反向量;②-+,-+,而,故不是一对相反向量;③同①,+++与+++是一对相反向量;④-+,-+=-,是一对相反向量.16．【答案】B17．【答案】B【解析】∵GE EH GH+=0，+=，FC EB BF EB EF+=+=，EF GH ∴EB FC EH GE+++=0．故选B．18．【答案】A【解析】由可得，结合题意可知：，即，，据此可知，A ，P ，B 三点共线，点P 一定在直线AB 上.故选A. 19．【答案】①②③【解析】AB CB AB BC AC -=+=，①正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，②正确；③显然正确；AB BB BC C C AB B C C C AC C C AC ''''''''+++=++=+=，故④错误．故填①②③． 20．【答案】1-【解析】因为A ，B ，C，D 四点共面，所以()()(1)O A O B B C B DO B OC O B OD O B λμλμλμλμ=++=+-+-=--+(1)23B O C OD O x B O yCOzDOλμλμ=+---=++， 所以234(1)()()1x y z λμλμ++=+-+-+-=-．故填1-．22．【解析】（1）由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC AB λ=，即=()O C O A O B O A λ--， 所以(1)OC OA OB λλ=-+，所以1m λ=-，n λ=，所以1m n +=．（2）由2BC =--a b ，2DC =-a b 可得2(2)3BD BC CD BC DC =+=-=----=-+a b a b a b ， 因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得AB BD λ=，即6(3)m λ+=-+a b a b ，所以63m λλ=-⎧⎨=⎩，解得2m λ==-． 【名师点睛】本题（1）中是一个重要的结论：空间A ，B ，C 三点共线的充要条件为OC mOA nOB =+，且1m n +=．但很容易忽略“O 为直线外空间任意一点”这一条件，当O 在直线上时，O 可以与A 点重合，这时OA =0，其前面的系数1λ-可以取任意实数，这时不一定有1m n +=．23．【解析】必要性：如图，连接AG 并延长交BC 于D ，所以1()111p p PD PB BD PB PC PB PB PC p P p=+=+-=++++， 于是1()111q p PG PA AG PA PB PC PA q p p =+=++-+++ 11(1)(1)(1)(1)q pq PA PB PC q q p q p =+++++++， 因为1()3PG =++a b c ，故111(1)(1)(1)(1)3q pq q q p q p ===+++++， 解得2q =，1p =，于是G 为ABC △的重心．综上，G 为ABC △的重心的充要条件是1()3PG =++a b c ． 24．【答案】B 【解析】由题意1A ，2A ，3A ，4A ，5A 是空间中给定的5个不同的点，如图，假设点1A ，2A ，3A ，4A ，5A 均匀分布在同一条直线上，易知当且仅当点M 与点3A 重合时，才能使1234MA MA MA MA ++++5MA =0，故使1234MA MA MA MA ++++5MA =0成立的点M 的个数为1．。

§3.1.1 空间向量及其加减运算一、选择题1．下列命题:(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)已知A ，B ，C ，D 是不共线的四点，若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)若|a|=|b|且a ∥b ，则a=b ； (5) 若 a ＝b ，则|a |＝|b|．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( )A ．AB →＋BC →＝AC →B ．AB →＋BC →＋CA →＝0 C ．AB →－AC →＝CB →D ．AB →＝－BA →3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( )A ．AB →＝BC →＋CD → B ．AB →－DC →＋BC →＝AD →C ．AD →＝AB →＋BC →＋DC → D ．BC →＝BD →－DC →4．在平行六面体ABCD —A ‘B ’C ‘D ’中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中(1)(AB →＋BC →)＋CC 1→ (2)(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ (3)(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→ (4)(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.运算的结果为向量AC 1→的共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A ．EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0 B ．EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C ．EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D ．EF →－FB →＋CG →＋GH →＝09．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →＝( )A ．－a －bB ．a ＋b C.12a －b D ．2(a －b )二、填空题10．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________.11．已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝____.12．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →、AD →表示的结果为______________________．三、解答题13．如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式．(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.14．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证EF →＝12(AB →＋DC →)．参考答案一、选择题1．[答案] C[解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．(2)正确．∵AB →＝DC →∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →.又∵A ，B ，C ，D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．(3)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同．∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c .(4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反．(5)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，2．[答案] B[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0.3．[答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．4．[答案] C[解析] 利用向量相等的定义求解．5． [答案] A[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD → ＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝－12a ＋12b ＋c .∴应选A. 6．[答案] D7．[答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；⑤假命题．零向量的方向是任意的．8．[答案] B[解析] EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →，EH →＋GE →＝GH →，易证四边形EFGH 为平行四边形，故EF →＋GH →＝0，9．[答案] A[解析] BC →＝BO →＋OC →＝BO →－OA →＝－b －a ，故选A.二、填空题10． [答案] b －c －a[解析] A 1B →＝CB →－CA →＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a .11． [答案] OD →[解析] ∵D 为BC 中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，又OB →＋OC →＝－2OA →∴OD →＝－OA →即OD →＝AO →.12．[答案] 12(AD →－AB →) [解析] MN →＝12BD →＝12(AD →－AB →) 三、解答题13．[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→(2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→14．[解析] 证明：EF →＝EA →＋AB →＋BF →，①EF →＝ED →＋DC →＋CF →，②①＋②，得2EF →＝(EA →＋AB →＋BF →)＋(ED →＋DC →＋CF →)＝AB →＋DC →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)．。

高二数学《选修２－1》第三章：空间向量与立体几何 3.1.1. 空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算姓名 班级 学号 编号01一、课前练习1. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则（ ） A ．c b a -+ B ．c b a +- C ．c b a ++- D ．c b a -+-2.在空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则21AB +→--(+)等于 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、二、课堂练习1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++=2．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是（ ）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ=3.如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____ ________。

三、课后练习1. 已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 .2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） （A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c3.空间四边形OABC ，点M ，N 分别是OA ，OB 的中点，设=，，，则用，，表示=→--MN 的结果是____________。

4.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，+=____________ 。

5. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是上底面A 1B 1C 1D 1和侧面CDD 1C 1的中心，如果+x+y ，则x=________，y=________。

第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．任意两个空间向量都可以比较大小B ．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C ．空间向量的大小与方向有关D ．空间向量的模可以比较大小 解析：由向量概念可知只有D 正确． 答案：D2．在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，与向量AD →相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4 答案：C3．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →解析：AB →－DC →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. 答案：B4．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ．2＋ 2 D ．2 2解析：利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2. 答案：D5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( )A.AB →＋AD →＋AA 1→B.AB →－AC →＋BB 1→C.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→D.AC →＋CB 1→－AB →解析：在C 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 答案：C 二、填空题6．两个非零向量的长度相等是两个向量相等的_______条件． 答案：必要不充分7.如图，在以长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有________个． (2)写出模为5的所有向量________．解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，C 1C →，CC 1→，DD 1→，D 1D →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，C 1B →，BC 1→，B 1C →，CB 1→.答案：(1)8 (2)AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，C 1B →，BC 1→，B 1C →，CB 1→8．如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝－a ＋b －c . 答案：－a ＋b －c 三、解答题9．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段．(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)AB →＋CC 1→－DD 1→.解：如图(1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→.(2)AB →＋CC 1→－DD 1→＝AB →＋BB 1→－AA 1→＝AB 1→－AA 1→＝A 1B 1→. 图中AC 1→，A 1B 1→为所求．10．已知平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′. 求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形． 所以AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→，所以AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)． 又因为AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，所以AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，所以AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.B 级 能力提升1．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →答案：D2．已知点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝________． 解析：设D 为AB 的中点，则MA →＋MB →＝2MD →， 又M 为△ABC 的重心，则MC →＝－2MD →， 所以MA →＋MB →＋MC →＝0. 答案：03．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，求λ的值．解：连接CG 并延长交AB 于D ， 则D 为AB 中点，且CG ＝2GD ， 所以OA →＋OB →＋OC →＝OG →＋GA →＋OG →＋GB →＋OG →＋GC →＝3OG →＋GA →＋GB →＋GC →＝3OG →＋2GD →＋GC →＝3OG →－GC →＋GC →＝3OG →. 所以λ＝3.。

绝密★启用前3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算一、选择题1．【题文】在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-等于( )A ．OAB ．ABC ．OCD ．AC2．【题型】在空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在线段OA 上且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（）A ．121232-+a b cB ．112223+-a b cC ．211322-++a b cD ．221332+-a b c3．【题文】在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若23AC xAB yBC zC C ''=++， 则x y z ++等于( )A ．116B ．76C ．56D ．234.【题文】如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，下列各式中运算结果为向量1AC 的是( )①()1AB BC CC ++；②()11111AA A D D C ++； ③()111AB BB B C ++；④()11111AA A B B C ++.A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②③④5．【题文】已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 上的点，若AE AB λ=，AF AD λ=，CM CB μ=，CN CD μ=，则向量EF 与MN 满足的关系为( )A. EF MN =B. EF MNC ．EF MN =D ．EF MN ≠6．【题文】下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A.2OM OA OB OC =--B.111532OM OA OB OC =++C.MA MB MC ++=0D.OM OA OB OC +++=07．【题文】空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB BF EH GH +++=0B.EB FC EH GE +++=0C.EF FG EH GH +++=0D.EF FB CG GH -++=08．【题文】对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP xOA yOB =+()x zOC y z ∈+R 、、，则1x y z ++=是四点P 、A 、B 、C 共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9.【题文】已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB BC CD ++=_____________.10．【题文】已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，四点共面，且234OA xBO yCO zDO =++，则234x y z ++=_____.11．【题文】已知平行六面体ABCD A B C D -''''，则下列四式中：①AB CB AC -=；②AC AB B C CC ''''=++； ③AA CC ''=；④AB BB BC C C AC '''+++=. 正确式子的序号是________．三、解答题12.【题文】三棱柱111ABC A B C -中，M N 、分别是1A B 、11B C 上的点，且BM = 12A M ，112C N B N =.设AB =a ，AC =b ，1AA =c .试用,,a b c 表示向量MN .13．【题文】点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ,,M N 分别是,PC PD 上的点，M 分PC 成定比，N 分PD 成定比，求满足MN =xAB yAD zAP ++的实数,,x y z 的值．14．【题文】已知在四面体P ABCD -中，PA =a ，PB =b ，PC =c ，G ∈平面ABC ． 证明：G 为△ABC 的重心的充分必要条件是()13PG =++a b c .3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算参考答案与解析一、选择题1． 【答案】C【解析】OA AB CB OB CB OB BC OC +-=-=+=. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】C【解析】()1221123322MN ON OM OB OC OA =-=+-=-++a b c ，故选C. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】B【解析】因为AC AC CC AB BC CC '''=+=++，23AC xAB yBC zC C ''=++，所以111,,23x y z ===-，则76x y z ++=.考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】①()111AB BC CC AC CC AC ++=+=；②()111111111AA A D D C AD D C AC ++=+=； ③()1111111AB BB B C AB B C AC ++=+=； ④()111111111AA A B B C AB B C AC ++=+=.考点：空间向量的运算. 【题型】选择题 【难度】较易 5． 【答案】B【解析】AE AF AB AD DB λλλ-=-=，即FE DB λ=.同理，NM DB μ=.因为DBDB μλ，所以FE NM ，即EF MN .又λ与μ的大小关系不确定，故MN 与EF 的大小关系不确定. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般 6． 【答案】C【解析】C 选项中MA MB MC =--，∴点M 、A 、B 、C 共面，故选C. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般7． 【答案】B【解析】∵GE EH GH +=，FC EB BF EB EF +=+=，EF GH +=0，∴EB FC EH GE +++=0. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般 8． 【答案】C【解析】充分性：若1x y z ++=，则原式可变形为()1OP y z OA yOB zOC =--++，()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-，∴AP yAB z AC =+，∴P 、A 、B 、C 四点共面．必要性：若P 、A 、B 、C 四点共面，则由共面向量定理的推论知对空间任一点O ，有OP OC sCA tCB =++(其中、是唯一的一对有序实数)． ∵CA OA OC =-，CB OB OC =-，∴()1OP s t OC sOA tOB =--++.令x =1s t --，y s =，z t =，则有1x y z ++=.考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9.【答案】AD【解析】AB BC CD AC CD AD ++=+=. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】填空题 【难度】较易 10．【答案】−1【解析】∵A 、B 、C 、D 共面，∴OA OB BC BD λμ=++()()()1OB OC OB OD OB OB OC OD λμλμλμ=+-+-=--++()1234BO CO DO xBO yCO zDO λμλμ=+---=++， ∴()()()23411x y z λμλμ++=+-+-+-=-. 考点：空间向量的运算. 【题型】填空题 【难度】一般 11．【答案】①②③【解析】AB CB AB BC AC -=+=，①正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，②正确；③显然正确；AB BB BC C C AB B C C C AC C C AC ''''''''+++=++=+=，故④错误．考点：空间向量的运算. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12.【答案】111333MN =++a b c【解析】11111111133MN MA A B B N BA AB B C =++=++()()1111133333=-++-=++c a a b a a b c . 考点：空间向量的数乘运算. 【题型】解答题 【难度】一般 13．【答案】211,,366x y z =-=-=【解析】取PC 的中点E ，连接NE ，则()12MN EN EM CD PM PE =-=--()12111112322626CD PC PC CD PC AB AP AB AD ⎛⎫=--=-=---++ ⎪⎝⎭ 211366AB AD AP =--+，通过比较知211,,366x y z =-=-=． 考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】证明见解析【解析】证明：必要性：连接AG 并延长交BC 于D ，则D 平分BC ，且G 分AD 所成的比为21∶，从而23PG PA AG AD =+=+a ， 又()()()()1112222AD AB AC PB PA PC PA ⎡⎤=+=-+-=+-⎣⎦b c a ，故()()11233PG =++-=++a b c a a b c ．充分性：设D 分BC 所成的比为p ，G 分AD 所成的比为． 则()11p p BD BC PC PB p p ==-++，()11q q AG AD PD PA q q==-++， 所以()1111p pPD PB BD PB PC PB PB PC p P p=+=+-=++++， 于是，1111q pPG PA AG PA PB PC PA q P p ⎛⎫=+=++-⎪+++⎝⎭ ()()()()111111q pqPA PB PC q q p q p =+++++++， 因为()13PG =++a b c ，故()()()()11111113q pq q q p q p ===+++++，解得2q =，1p =，于是G 为△ABC 的重心． 所以G 为△ABC 的重心的充分必要条件是()13PG =++a b c . 考点：空间向量的运算. 【题型】解答题 【难度】较难。

高中数学人教新课标 A 版选修 2-1（理科）第三章 3.1.1 空间向量及其加减运算，3.1.2 空间向量的数乘运算同步练习（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 11 题；共 19 分)1. （2 分） (2015 高二上·昌平期末) 如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 M，N 分别是面对角线 A1B 与B1D1 的中点，若 = ， = ，= ，则=（ ）A. （ + ﹣ ） B. （ + ﹣ ） C. （ ﹣ ） D. （ ﹣ ） 2. （2 分） 如图，正四面体 ABCD 中，E 是 BC 的中点，那么（ ）A.B.第1页共7页C.D.与不能比较大小3. （2 分） 设 A,B,C,D 是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是（ ）A . 钝角三角形B . 锐角三角形C . 直角三角形D . 不确定4. （2 分） 设 OABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上一点，且 OG=3GG1 ， 若 =x +y +z ， 则（x，y，z）为（ ）A.( , , )B.( , , )C.( , , )D.( , )5. （2 分） (2015 高二上·安徽期末) 已知正方体 ABCD﹣A′B′C′D′，点 E 是 A′C′的中点，点 F 是 AE的三等分点，且，则 等于（ ）A. ++B.++C.++D.++第2页共7页6. （ 2 分 ） (2017 高 二 上 · 泉 港 期 末 ) 已 知 三 棱 锥 O ﹣ ABC ， 点 M ， N 分 别 为 AB ， OC 的 中 点 ， 且，用 a，b，c 表示，则等于（ ）A.B.C.D.7. （2 分） (2016 高二上·重庆期中) 在四面体 O﹣ABC 中，点 P 为棱 BC 的中点．设，，，那么向量 用基底{ ， ， }可表示为（ ）A. B. C. D.第3页共7页8. （2 分） 已知点 A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C 为线段 AB 上一点，且 3| |=|| |，则点 C 的坐标是 （）A.B.C.D. 9. （1 分） 在三棱锥 PABC 中，G 为△ABC 的重心，设 =a， =b， =c，则 =________ （用 a，b，c 表示）．10.（1 分）如图，三棱锥 P﹣ABC 中，M 是 AC 的中点，Q 是 BM 的中点，若实数 x，y，z 满足，则 x﹣y+z=________11. （1 分） 已知四面体 ABCD 中，，=________.二、 解答题 (共 3 题；共 35 分)12. （20 分） 如图所示，在长、宽、高分别为 AB=3，AD=2， 点的两点为始点和终点的向量中：，AC，BD 的中点分别为 E，F，则的长方体的八个顶第4页共7页（1） 单位向量共有多少个？ （2） 试写出模为 的所有向量； （3） 试写出与 相等的所有向量； （4） 试写出 的相反向量．13. （5 分） 如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，BM=2MA，A1N=2ND，且 = ， 用 a，b，c 表示向量 ．=，= ，试14. （10 分） (2019·上饶模拟) 已知椭圆 远处的距离为 3．（1） 求椭圆 的方程；（2） 设 为坐标原点，过 的直线与四边形面积 的最大值．交于的短轴长等于，右焦点 距 最两点（不在 轴上），若,求第5页共7页一、 单选题 (共 11 题；共 19 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、参考答案9-1、 10-1、 11-1、二、 解答题 (共 3 题；共 35 分)12-1、12-2、第6页共7页12-3、 12-4、 13-1、 14-1、14-2、第7页共7页。

第三章空间向量与立体几何向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用，如鸟巢体育场的钢结构、北斗卫星定位系统示意图等．本章是在必修2中学习了立体几何初步以及必修4中学习了平面向量的基础上，学习空间向量及其运算，把平面向量推广到空间向量，并利用空间向量的运算解决有关的立体几何问题．由于空间向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个交汇点．学习目标1．空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．2．空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．本章重点空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的线面位置关系；求空间角和空间的距离．本章难点用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题．3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算自主预习·探新知情景引入1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？新知导学1．空间向量(1)定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的__大小__.(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用__有向线段__表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作：____，其模记为__|a|__或__||__.2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量__任意____0____0__单位向量任意__1__相反向量__相反__相等a的相反向量：__－a__ 的相反向量：____相等向量相同__相等__a＝b(1)加法：＝__＋__＝a＋b.(2)减法：＝__－__＝a－b.(3)加法运算律：①交换律：a＋b＝__b＋a__；②结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__.4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个__向量__，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系：λ的范围方向关系模的关系λ>0方向__相同__λa的模是a的模的__|λ|__倍λ＝0λa＝__0__其方向是任意的λ<0方向__相反__①分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②结合律：λ(μa)＝__(λμ)a__5．平行(共线)向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__互相平行或重合__ 平行于同一个__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量与__任意向量__共线充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__唯一__的有序实数对(x，y)使__p＝x a＋y b__推论对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__＝＋t a__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量＝a，则＝__＋t__点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝__x＋y__或对空间任意一点O，有＝__＋x＋y__预习自测1．下列命题中，假命题的是(D)A．向量与的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一条直线上的单位向量都相等[解析]在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反．2．下列命题中正确的是(C)A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb[解析]由零向量定义知选C．而A中b＝0，则a与c不一定共线；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直线可能异面．3．化简下列各式：(1)＋＋；(2)－＋；(3)＋＋－.结果为零向量的个数是(D)A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于(1)，＋＋＝＋＝0；对于(2)，－＋＝＋＝0；对于(3)，＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.4．(内蒙古赤峰市宁城县2019－2020学年高二期末)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M为AC与BD的交点，＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的是(A) A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．a－b＋cD．－a－b＋c[解析]因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出＝＋＝c＋(－)＝c－a＋b，选A．5．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P 与A、B、C三点共面，则λ＝____.[解析]由P与A、B、C三点共面，∴＋＋λ＝1，解得λ＝.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶空间向量的有关概念典例1(1)给出下列命题：①单位向量没有确定的方向；②空间向量是不能平行移动的；③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等．其中正确的是(C)A．①②B．②③C．①③D．①③④(2)如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有__8__个，模为的所有向量为__，，，，，，，__.[思路分析](1)依据空间向量的基本概念逐一进行分析；(2)单位向量的模为1，根据长方体的左右两侧的对角线长均为写出相应向量．[规范解答](1)①正确，单位向量的方向是任意的．②错误，空间向量可以平行移动．③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．④错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等．(2)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量，，，，，，，共8个单位向量．而其余向量模均不为1，故单位向量共8个．长方体的左、右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.『规律总结』处理向量概念问题需注意两点①向量：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可．②单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为1.┃┃跟踪练习1__■如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．[解析](1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．(2)向量的相反向量为，，，.(3)||＝|＋＋|∴||2＝2＋2＋2＝9∴||＝3.命题方向❷空间向量的加减运算典例2如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；(2)＋＋.[思路分析](1)分析题意，将等价转化为，转化为－，平行四边形法则得出结论．(2)应用平行四边形法则先求＋，再应用三角形法则求＋.[规范解答](1)－＝－＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示．『规律总结』化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．┃┃跟踪练习2__■(山东潍坊2018－2019学年高二期末)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，设＝a，＝b，＝c，则＝(B)A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．－a＋b＋c[解析]如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝a－b＋c.故选B．命题方向❸空间向量的数乘运算典例3已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：(1)＝＋x＋y；(2)＝x＋y＋.[思路分析]由题目可以获取以下主要信息：①四边形ABCD是正方形，O为中心，PO⊥平面ABCD，Q为CD中点；②用已知向量表示指定向量．解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出x、y即可．[规范解答]如图，(1)∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.(2)∵＋＝2，∴＝2－.又∵＋＝2，∴＝2－.从而有＝2－(2－)＝2－2＋.∴x＝2，y＝－2.『规律总结』 1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律．2．空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致．┃┃跟踪练习3__■如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.[解析](1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，∴＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)＝a＋b＋c.命题方向❹共线向量典例4如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？[思路分析]要判断与是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数λ，使＝λ.若存在，则与共线，否则与不共线．[规范解答]M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴＝＋＋＝＋＋.又∵＝＋＋＋＝－＋－－，∴＋＋＝－＋－－.∴＝＋2＋＝2(＋＋)．∴＝2，∴∥，即与共线．『规律总结』 1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键是找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使＝λ成立．(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．┃┃跟踪练习4__■e1，e2为不共线的非零向量，如果a＝4e1－e2，b＝e1－e2，试判断a，b是否共线．[解析]∵a＝4e1－e2，b＝e1－e2，∴a＝4(e1－e2)＝4b，∴a，b为共线向量．命题方向❺共面问题典例5正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面．[思路分析]要证M、N、P、Q四点共面，只需证明、、共面，即寻求实数λ、μ、k，使得λ＋μ＋k＝0.为此，令＝a，＝b，＝c，将、、都用a、b、c线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令＝λ＋μ，建立λ、μ的方程组解之．[规范解答]令＝a，＝b，＝c，∵M、N、P、Q均为棱的中点，∴＝b－a，＝＋＝a＋c，＝＋＋＝－a＋b＋c.令＝λ＋μ，则－a＋b＋c＝(μ－λ)a＋λb＋μc，∴，∴.∴＝2＋，因此向量、、共面，∴四点M、N、P、Q共面．『规律总结』 1.证明点P在平面ABC内，可以用＝x＋y，也可以用＝＋x＋y，若用＝x＋y＋z，则必须满足x＋y＋z＝1.2．判定三个向量共面一般用p＝x a＋y b，证明点线共面常用＝x＋y，证明四点共面常用＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．┃┃跟踪练习5__■如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明E、F、G、H四点共面．[思路分析]要证E、F、G、H四点共面，根据共面向量定理，只需探求存在实数x，y，使＝x＋y成立．[解析]如图，连接BG、EG，则＝，＝，＝(＋)，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面．学科核心素养空间向量的线性运算在立体几何中的应用(1)立体几何中的线线平行可转化为两向量的平行，即证明两向量具有数乘关系即可．证明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后根据空间向量的共线定理进行证明．特别地，线面平行可转化为该直线的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示．(2)在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法．利用向量证明平行的关键是构造向量之间的线性关系．(3)解题时，应结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量，再对照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到所有向量都符合目标要求为止．典例6如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.[思路分析]根据共面向量定理，证明向量平面CDE内两个不共线的向量共面即说明MN∥平面CDE.[规范解答]∵点M在BD上，且BM＝BD，∴＝＝＋.同理，＝＋.∴＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.由于与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE.『规律总结』解答本题要注意向量共面与直线平行于平面的联系与区别，如果没有充分理解定义、定理的实质，本题容易漏掉MN不在平面CDE内而致错．┃┃跟踪练习6__■已知AB，CD是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．求证MN∥α.[思路分析]运用共面向量定理先证出与平面α内两个不共线的向量共面，进而说明MN∥α.[证明]因为CD⊂α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存在向量a，b，使得＝a，＝b，且两个向量不共线．由M，N分别是AC，BD的中点，得＝(＋＋＋＋＋)＝(＋)＝(a＋b)．所以，a，b共面，所以MN∥α或MN⊂α.若MN⊂α，则AB，CD必在平面α内，这与已知AB，CD是异面直线矛盾．故MN∥α.易混易错警示典例7如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为__，，__.[错解]因为M为OA的中点，所以＝，因为＝2，所以＝，所以＝OM＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×＋(＋)＝＋＋所以x，y，z的值分别为，，.[辨析]错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当．实际上，本题中由N是BC的中点知＝(＋)．[正解]∵M为OA中点，∴＝，∵＝，∴＝∴＝＋＝＋M＝＋＝·＋·(＋)＝＋＋∴x，y，z的值为，，.。

3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算一、选择题1．【题文】在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-u u u r u u u r u u u r等于( )A ．OA u u u rB ．AB u u u rC ．OC u u u rD ．AC u u u r2．【题型】在空间四边形OABC 中，OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，OC =u u u r c ，点M 在线段OA 上且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN u u u u r等于（）A ．121232-+a b cB ．112223+-a b cC ．211322-++a b cD ．221332+-a b c3．【题文】在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若23AC x AB yBC zC C ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则x y z ++等于( )A ．116B ．76C ．56D ．234.【题文】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算结果为向量1AC u u u u r 的是( )①()1AB BC CC ++u u u r u u u r u u u u r ；②()11111AA A D D C ++u u u r u u u u r u u u u r；③()111AB BB B C ++u u u r u u u r u u u u r ；④()11111AA A B B C ++u u u r u u u u r u u u u r .A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②③④5．【题文】已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 上的点，若AE AB λ=u u u r u u u r ，AF AD λ=u u u r u u u r ，CM CB μ=u u u ur u u u r ，CN CD μ=u u u r u u u r ，则向量EF u u u r 与MN u u u u r满足的关系为( )A. EF MN =u u u r u u u u rB. EF MN u u u r u u u u r PC ．EF MN =u u u r u u u u rD ．EF MN ≠u u u r u u u u r6．【题文】下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A.2OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u rB.111532OM OA OB OC =++u u u ur u u u r u u u r u u u rC.MA MB MC ++=0u u u r u u u r u u u u rD.OM OA OB OC +++=0u u u u r u u u r u u u r u u u r7．【题文】空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB BF EH GH +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rB.EB FC EH GE +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rC.EF FG EH GH +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rD.EF FB CG GH -++=0u u u r u u u r u u u r u u u r8．【题文】对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r()x zOC y z ∈+R u u u r 、、，则1x y z ++=是四点P 、A 、B 、C 共面的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9.【题文】已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则 AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r_____________.10．【题文】已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，四点共面，且234OA xBO yCO zDO =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则234x y z ++=_____.11．【题文】已知平行六面体ABCD A B C D -''''，则下列四式中：①AB CB AC -=u u u r u u u r u u u r ；②AC AB B C CC ''''=++u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ； ③AA CC ''=u u u r u u u u r ；④AB BB BC C C AC '''+++=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r .正确式子的序号是________．三、解答题12.【题文】三棱柱111ABC A B C -中，M N 、分别是1A B 、11B C 上的点，且BM = 12A M ，112C N B N =.设AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，1AA =u u u rc .试用,,a b c 表示向量MN u u u u r .13．【题文】点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ,,M N 分别是,PC PD 上的点，M 分PC 成定比，N 分PD 成定比，求满足MN =u u u u r x AB y AD z AP ++u u u r u u u r u u u r的实数,,x y z 的值．14．【题文】已知在四面体P ABCD -中，PA =u u u r a ，PB =u u u rb ，PC =u u u rc ，G ∈平面ABC ．证明：G 为△ABC 的重心的充分必要条件是()13PG =++u u u r a b c .3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算参考答案与解析一、选择题1．【答案】C【解析】OA AB CB OB CB OB BC OC +-=-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】C【解析】()1221123322MN ON OM OB OC OA =-=+-=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r a b c ，故选C.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】B【解析】因为AC AC CC AB BC CC '''=+=++u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v ，23AC x AB yBC zC C ''=++u u u ur u u u r u u u r u u u u r ，所以111,,23x y z ===-，则76x y z ++=.考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】①()111AB BC CC AC CC AC ++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r；②()111111111AA A D D C AD D C AC ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ；③()1111111AB BB B C AB B C AC ++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ；④()111111111AA A B B C AB B C AC ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r .考点：空间向量的运算. 【题型】选择题 【难度】较易 5．【答案】B【解析】AE AF AB AD DB λλλ-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即FE DB λ=u u u r u u u r.同理，NM DB μ=u u u u r u u u r .因为DB DB μλu u u r u u u r P ，所以FE NM u u u r u u u u r P ，即EF MN u u u r u u u u rP .又λ与μ的大小关系不确定，故MN u u u u r 与EF u u u r的大小关系不确定. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般 6． 【答案】C【解析】C 选项中MA MB MC =--u u u r u u u r u u u u r，∴点M 、A 、B 、C 共面，故选C.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般7． 【答案】B【解析】∵GE EH GH +=u u u r u u u r u u u r ，FC EB BF EB EF +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，EF GH +=0u u u r u u u r，∴EB FC EH GE +++=0u u u r u u u r u u u r u u u r.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般 8． 【答案】C【解析】充分性：若1x y z ++=，则原式可变形为()1OP y z OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r，()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r，∴P 、A 、B 、C 四点共面．必要性：若P 、A 、B 、C 四点共面，则由共面向量定理的推论知对空间任一点O ，有OP OC sCA tCB =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中、是唯一的一对有序实数)． ∵CA OA OC =-u u u r u u u r u u u r ，CB OB OC =-u u u r u u u r u u u r ，∴()1OP s t OC sOA tOB =--++u u u r u u u r u u u r u u u r .令x =1s t --，y s =，z t =，则有1x y z ++=.考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9.【答案】AD u u u r【解析】AB BC CD AC CD AD ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.考点：空间向量的加减运算. 【题型】填空题 【难度】较易 10． 【答案】−1【解析】∵A 、B 、C 、D 共面，∴OA OB BC BD λμ=++u u u r u u u r u u u r u u u r()()()1OB OC OB OD OB OB OC OD λμλμλμ=+-+-=--++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()1234BO CO DO xBO yCO zDO λμλμ=+---=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴()()()23411x y z λμλμ++=+-+-+-=-. 考点：空间向量的运算. 【题型】填空题 【难度】一般 11．【答案】①②③【解析】AB CB AB BC AC -=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，①正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r，②正确；③显然正确；AB BB BC C C AB B C C C AC C C AC ''''''''+++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r，故④错误． 考点：空间向量的运算. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12.【答案】111333MN =++u u u u r a b c【解析】11111111133MN MA A B B N BA AB B C =++=++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r()()1111133333=-++-=++c a a b a a b c . 考点：空间向量的数乘运算. 【题型】解答题 【难度】一般 13．【答案】211,,366x y z =-=-=【解析】取PC 的中点E ，连接NE ，则()12MN EN EM CD PM PE =-=--u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r()12111112322626CD PC PC CD PC AB AP AB AD ⎛⎫=--=-=---++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r 211366AB AD AP =--+u u u r u u u r u u u r ，通过比较知211,,366x y z =-=-=．考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】证明见解析【解析】证明：必要性：连接AG 并延长交BC 于D ，则D 平分BC ，且G 分AD 所成的比为21∶，从而23PG PA AG AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u ur a ，又()()()()1112222AD AB AC PB PA PC PA ⎡⎤=+=-+-=+-⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b c a ，故()()11233PG =++-=++u u u r a b c a a b c ．充分性：设D 分BC 所成的比为p ，G 分AD 所成的比为．则()11p p BD BC PC PB p p ==-++u u u ru u u r u u u r u u u r ，()11q q AG AD PD PA q q==-++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以()1111p p PD PB BD PB PC PB PB PC p P p=+=+-=++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ， 于是，1111q p PG PA AG PA PB PC PA q P p ⎛⎫=+=++-⎪+++⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ()()()()111111q pqPA PB PC q q p q p =+++++++u u u r u u u r u u u r ， 因为()13PG =++u u u r a b c ，故()()()()11111113q pq q q p q p ===+++++， 解得2q =，1p =，于是G 为△ABC 的重心．所以G 为△ABC 的重心的充分必要条件是()13PG =++u u u r a b c .考点：空间向量的运算. 【题型】解答题 【难度】较难。

3.1.1　空间向量及其加减运算填一填1.空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．(3)表示法：Error!2．几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量|a |＝1或||＝1AB→ 相反向量与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量－a 相等向量方向相同且模相等的向量a ＝b 或＝AB→ CD →3.空间向量的加法和减法运算加法＝＋＝a ＋b OB→ OA → AB → 空间向量的运算减法＝－＝a －bCA→ OA → OC → 加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )判一判1.向量的长度与向量的长度相等．(√)AB → BA→ 2．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(√)3．空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．(√)4．有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．(√)5．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)6．0向量是长度为0，没有方向的向量．(×)7．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b .(×)8．空间向量不能比较大小，但向量的模是可以比较大小的．(√)想一想1.空间向量与平面向量的概念有哪些共同特征？空间向量与平面向量的共同特征是具有大小与方向．2．首尾相接的若干个空间向量的和如何求？首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：＋＋＋…＋A n －1A n ＝.A 1A 2→ A 2A 3→ A 3A 4→ A 1An → 3．首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和是什么？由图可得＋＋…＋A n －1A n ＋＝0.A 1A 2→ A 2A 3→ AnA1→ 思考感悟： 练一练1．已知空间向量，，，，则下列结论正确的是( )AB→ BC → CD → AD → A.＝＋ B.－＋＝AB → BC → CD → AB→ DC → BC → AD → C.＝＋＋ D.＝－AD → AB → BC → DC → BC→ BD → DC → 答案：B2．如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，在下列选项中，与相等的向量是( )CD→ A. B.AB → A 1C 1→C. D.B 1A 1→ AA1→ 答案：C3．已知四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD 是( )AO→ OB → DO → OC → A ．空间四边形 B ．平行四边形C ．等腰梯形 D ．矩形答案：B4．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2 B ．3C ．4 D ．1答案：B知识点一空间向量的概念辨析1．下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有＋＝AB→ AD → AC →解析：|a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故选B.AB→ AD → AC → 答案：B2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是( )A ．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等B ．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等C ．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量D ．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同解析：因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.答案：C3．下列命题正确的有( )①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②向量a ，b 相等的充要条件是Error!③＝的充要条件AB→ CD → 是A 与C 重合，B 与D 重合．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同；因为b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ，①正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反，②不正确.＝时，AB→ CD → ||＝||，与同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合，③不正确．AB → CD→ AB → CD → 答案：A知识点二空间向量的加减运算4．如图所示，点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，＝a ，＝b ，＝c ，则OA → OB → OC→为( )AD→ A.(a ＋b )－c 12B.(c ＋a )－b 12C.(b ＋c )－a12D ．a ＋(b ＋c )12解析：＝＋＝－＋(＋)＝－a ＋(b ＋c )．AD → AO → OD → OA → 12OB → OC→ 12答案：C5．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若＝a ，A 1B 1→ ＝b ，＝c ，则下列向量中与相等的是( )A 1D 1→ A 1A →B 1M→ A ．－a ＋b ＋c 1212B.a ＋b ＋c 121212C.a －b ＋c1212D ．－a －b ＋c1212解析：＝＋＋＝－a ＋c ＋(a ＋b )＝－a ＋b ＋c .B 1M → B 1A 1→ A 1A → AM→ 121212答案：A6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为的是( )BD1→ ①－－；A 1D 1→ A 1A → AB → ②＋－；BC → BB 1→ D 1C 1→ ③－－；AD→ AB → DD 1→ ④－＋.B 1D 1→ A 1A → DD 1→ A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④解析：①－－＝－＝；A 1D 1→ A 1A → AB→ AD 1→ AB → BD 1→ ②＋－＝＋＝；BC → BB 1→ D 1C 1→ BC 1→ C 1D 1→ BD 1→ ③－－＝－＝－＝≠；AD → AB → DD 1→ BD → BD 1→ BD → BB 1→ B 1D → BD 1→ ④－＋＝＋＋＝＋≠.故选A.B 1D 1→ A 1A → DD1→ BD → AA 1→ DD 1→ BD 1→ AA 1→ BD 1→ 答案：A综合应用7.给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量；(2)若a ，b 满足|a |>|b |且a ，b 同向，则a >b ；(3)不相等的两个空间向量的模必不相等；(4)对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |.其中正确命题的序号为________．解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确．答案：(4)8．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若＝a ，＝b ，＝c ，用a ，b ，c 表示，则＝________.A 1B 1→ A 1D 1→ A 1A → D 1M → D 1M→ 解析：＝＋D 1M → D 1D → DM →＝＋(＋)A 1A → 12DA→ DC → ＝c ＋(－＋)12A 1D 1→ A 1B 1→ ＝a －b ＋c .1212答案：a －b ＋c .1212基础达标一、选择题1．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( )A.＋＝B.＋＋＝0AB → BC → AC → AB→ BC → CA → C.－＝ D.＝－AB → AC → CB → AB → BA →解析：＋＋＝＋＝0.AB→ BC → CA → AC → CA → ∴B 错误．答案：B2．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则－＋＝( )MG→ AB → AD → A ．2 B ．3DB → MG →C ．3D ．2GM → MG →解析：－＋＝＋＝＋2＝3.MG → AB → AD → MG → BD → MG → MG → MG→ 答案：B3．在空间四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，＝c ，则等于( )AB → BC → AD → CD→ A ．a ＋b ＋c B ．c －a －b C ．a －b －c D ．b －a ＋c解析：如图所示，＝＋＝＋＋＝－b －a ＋c .CD→ CA → AD → CB → BA → AD →答案：B 4.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若＝a ，＝b ，＝c ，则等于( )CA → CB → CC 1→ A 1B→ A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c解析：如图所示，连接A 1C ，则在△A 1CB 中，有＝－＝－(＋)A 1B → CB→ CA 1→ CB → CC 1→ CA → ＝b －(a ＋c )＝－a ＋b －c .答案：D5．空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.＋＋＋＝0EB→ BF → EH → GH → B.＋＋＋＝0EB→ FC → EH → GE → C.＋＋＋＝0EF→ FG → EH → GH → D.－＋＋＝0EF→ FB → CG → GH →解析：如图，由题意得＋＝＋＝，＋＝，易证四边形EFGH 为平行四边形，故EB→ FC → EB → BF → EF → EH → GE → GH → ＋＝0，故选B.EF→ GH → 答案：B6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式－＋化简后的结果是( )DD1→ AB → BC → A. B.BD 1→ D 1B → C. D ．DB 1B 1D→解析：如图所示，因为＝，－＝－＝，又因为DD1→ AA 1→ DD 1→ AB → AA 1→ AB → BA 1→ ＋＝，所以－＋＝.BA 1→ BC → BD 1→ DD1→ AB → BC → BD 1→ 答案：A7．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列结论中正确的共有( )①＋与＋是一对相反向量；②－与－是一对相反向量；OA → OD → OB ′→ OC ′→ OB → OC → OA ′→ OD ′→ ③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；④－与－OA → OB → OC → OD → OA ′→ OB ′→ OC ′→ OD ′→ OA ′→ OA → OC → 是一对相反向量．OC ′→ A ．1个 B ．2个C ．3个 D ．4个解析：如图所示，①＝－，＝－，所以＋＝－(＋)，是一对OA → OC ′→ OD → OB ′→ OA → OD → OB ′→ OC ′→ 相反向量；②－＝，－＝，而＝，故不是相反向量；OB → OC → CB → OA ′→ OD ′→ D ′A ′→ CB → D ′A ′→ ③同①也是正确的；④－＝，－＝＝－，是一对相反向量．OA ′→ OA → AA ′→ OC → OC ′→ C ′C → AA ′→ 答案：C8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为的有( )AC1→ ①＋＋；②＋＋；AB → BC → CC 1→ AA 1→ B 1C 1→ D 1C 1→ ③－＋；④＋＋.AB → C 1C → B 1C 1→ AA 1→ DC → B 1C 1→ A ．①④ B ．①②③C ．①②④D ．①②③④解析：根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：①＋＋＝＋＝；②＋＋＝＋＝；③－AB → BC → CC 1→ AC → CC 1→ AC 1→ AA 1→ B 1C 1→ D 1C 1→ AD 1→ D 1C 1→ AC 1→ AB → ＋＝＋＝；④＋＋＝＋＝，所以，所给四个C 1C → B 1C 1→ AB 1→ B 1C 1→ AC 1→ AA 1→ DC → B 1C 1→ AB 1→ B 1C 1→ AC1→ 式子的运算结果都是.AC1→ 答案：D 二、填空题9．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，＋＋＝________；－＋AB → AD → AA 1→ DD1→ AB → ＝________.BC→解析：＋＋＝＋＋＝，－＋＝－(－)AB→ AD → AA 1→ AB → BC → CC 1→ AC 1→ DD 1→ AB → BC → DD 1→ AB → AD → ＝－＝.DD1→ DB → BD 1→ 答案：　AC1→ BD 1→10．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，＋＋化简的结果可表示为________．AB→ CB → AA 1→ 解析：＋＋＝＋＋＝＋＝.AB→ CB → AA 1→ DC → CB → BB 1→ DB → BB 1→ DB 1→ 答案：DB1→11．如图所示，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AC 的中点，则(＋＋)化简的结果为________．12AB→ BC → CD → 解析：(＋＋)12AB→ BC → CD → ＝(＋)12AC→ CD → ＝12AD → ＝.HG → 答案：HG→12．下列命题是真命题的是________(填序号)．①若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则与是共线向量；AB→ CD → ②若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则与不是共线向量；AB→ CD → ③向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上；AB→ CD → ④向量与是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．AB→ AC → 解析：①为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，向量，的方向相同或相反，因此AB→ CD → 与是共线向量；②为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则，的方向不确定，AB → CD → AB→ CD → 不能判断与是否是共线向量；③为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有AB → CD → AB→ CD → 公共点，所以四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为，两个向量所在的直线有AB→ AC → 公共点A ，且与是共线向量，所以三点共线．故填①④.AB→ AC → 答案：①④三、解答题13.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)＋；CB→ BA 1→ (2)＋＋；AC → CB → 12AA 1→ (3)－－.AA1→ AC → CB → 解析：(1)＋＝；CB→ BA 1→ CA 1→ (2)因为M 是BB 1的中点，所以＝.BM → 12BB1→ 又＝，所以＋＋＝＋＝；AA 1→ BB 1→ AC → CB → 12AA1→ AB → BM → AM → (3)－－＝－＝.AA1→ AC → CB → CA 1→ CB → BA 1→ 向量，，如图所示．CA1→ AM → BA 1→ 14．如图所示，在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中：(1)化简－－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量；A 1F 1→ EF → BA → FF 1→ CD → F 1A 1→ (2)化简＋＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．DE → E 1F 1→ FD → BB 1→ A 1E 1→ 解析：(1)－－＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋0＝＋A 1F 1→ EF → BA → FF 1→ CD → F 1A 1→ AF → FE → AB → BB 1→ CD → DC → AE → AB 1→ AE → ＝.ED1→ AD 1→ 在图中所示如下：AD1→(2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0＋＝.DE → E 1F 1→ FD → BB 1→ A 1E 1→ DE → EF → FD → BB 1→ B 1D 1→ BD1→ BD 1→ 在图中所示如下：BD1→能力提升15．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，点E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)＋＋；AB → BC → CD → (2)＋＋.AB → GD → EC → 解析：(1)＋＋＝＋＝.AB → BC → CD → AC → CD → AD → (2)∵点E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴＝，＝.BE → EC → EF → GD → ∴＋＋＝＋＋＝.AB → GD → EC → AB → BE → EF → AF → 所求向量，如图所示．AD → AF →16．求证：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．证明：如图所示，平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则＝＝(＋＋)．设P ，M ，N 分别是BD ′，CA ′，DB ′的中点，则AO → 12AC ′→ 12AB → AD → AA ′→ ＝＋＝＋AP → AB → BP → AB → 12BD ′→＝＋(＋＋)AB → 12BA → BC → BB ′→ ＝＋(－＋＋)AB → 12AB → AD → AA ′→ ＝(＋＋)．12AB → AD → AA ′→ 同理可证，＝(＋＋)，AM → 12AB → AD → AA ′→＝(＋＋)．AN → 12AB → AD → AA ′→ 由此可知O ，P ，M ，N 四点重合，故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。