学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量及其加减运算课时练无答案新人

讲练学案部分§3.1.1空间向量及其加减运算.知识点一空间向量的概念判断下列命题是否正确, 若不正确, 请简述理由．①向量AB与AC是共线向量, 则A、B、C、D四点必在一条直线上；②②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量, 若起点不同, 则终点一定不同.解①不正确, 共线向量即平行向量, 只要求两个向量方向相同或相反即可, 并不要求两个向量AB, CD在同一条直线上.②不正确, 单位向量模均相等且为1, 但方向并不一定相同.③不正确, 零向量的相反向量仍是零向量, 但零向量与零向量是相等的.④不正确, 因为A、B、C、D可能共线.⑤正确.⑥不正确, 如图所示, AC与BC共线, 虽起点不同, 但终点却相同.【反思感悟】解此类题主要是透彻理解概念, 对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|, 则a、b的长度相同, 方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量, 则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中, 一定有AB+AD=AC答案 B解析|a|=|b|, 说明a与b模长相等, 但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故|a|=|b|, 从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律, 减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB+AD=AC, 只有平行四边形才能成立.故A、C、D均不正确.知识点二空间向量的加、减运算如图所示, 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1, M为A1C1与B1D1的交点, 化简下列向量表达式．（1）1AA +11B A ；（2）2111B A + 2111D A ； （3）1AA +2111B A +11D A ； （4）AB +BC +1CC +11A C +A A 1;解 （1）11AA B B +u u u u r =1AB u u u r.（2）11111122A B A D +=u u u u r u u u u r 11111()2A B A D +=u u u u r u u u u r 11112A C A M =u u u ur u u u u r（3）111111122AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r 11AA A M AM =+=u u u r u u u u r u u u u r（4）1110AB BC CC C A +++=u u u r u u u r u u u u r u u u u r【反思感悟】 向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则, 同平面向量相同, 封闭图形, 首尾连续向量的和为0..已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式: (1)';AA CB -u u u r u u u r (2)'''''AB B C C D ++u u u u r u u u u u r u u u u u r解 (1)'AA CB -u u u r u u u r ='AA BC +u u u r u u u r ='''AA A D AD +=u u u r u u u u r u u u u r A(2)''''''AB B C C D AD ++=u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u r知识点三 向量加减法则的应用在如图所示的平行六面体中, 求证：''2'AC AB AD AC ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形,∴ ,AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r '',AB AB AA =+u u u u r u u u r u u u r AD ′→＝AD →＋AA ′→. ∴''AC AB AD ++=u u u r u u u u r u u u u r (')AD AA ++=u u u r u u u r ()(')AB AD AB AA +++u u u r u u u r u u u r u u u r =2('),AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r又由于 AB ＝CC ′→, AD →＝BC →,∴ AB u u u r ＋AD →＋AA ′→= AB u u u r ＋BC →＋CC ′→=AC u u u r ＋CC ′→＝AC ′→, ∴AC u u u r ＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.【反思感悟】 在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量AC ′→='AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r,该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体法则).在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 画出表示下列向量的有向线段.（1）AB u u u r ＋AD →＋1AA u u u r;；（2）11AB CC DD +-u u u r u u u u r u u u u r;.解 如图,（1）AB u u u r ＋AD →＋1AA u u u r = 11AC AA AC +=u u u r u u u r u u u u r;(2)11AB CC DD +-u u u r u u u u r u u u u r =111111AB BB AA AB AA A B +-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r图中1AC u u u u r , 11A B u u u u r为所求.课堂小结：1．在掌握向量加减法的同时, 应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差, 如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量, 理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点, 运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由减数b 的终点指向被减数a 的终点的一条有向线段．课时作业一、选择题1．判断下列各命题的真假：①向量AB u u u r 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行, 则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量, 其终点必相同； ④两个有公共终点的向量, 一定是共线向量；⑤向量AB u u u r 与向量CD →是共线向量, 则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量, 向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 ①真命题；②假命题, 若a 与b 中有一个为零向量时, 其方向是不确定的；③真命题；④假命题, 终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题, 共线向量所在直线可以重合, 也可以平行；⑥假命题, 向量可用有向线段来表示, 但并不是有向线段．2. 已知向量AB u u u r , AC →, , AC →, BC → 满足 |AB →| ＝ |AC →|＋|BC →|, 则( )A ．AB u u u r ＝AC →＋BC → B ．AB u u u r ＝－AC →－BC →C ．AC →与BC →同向D ．AC →与CB →与CB →同向答案 D解析 由 |AB u u u r | = |AC → | + |BC → | = |AC → | + |CB →|,知C 点在线段AB 上, 否则与三角形两边之和大于第三边矛盾, 所以AC →与CB →与CB →同向3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 向量表达式1DD AB BC-+u u u u r u u u r u u u r化简后的结果是（ ）A .1BD u u u u rB .1D B u u u u rC .1BD u u u u r D .1DB u u u u r答案 A解析 如图所示,因 1DD u u u u r ＝AA 1→, DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝1BA ,1BA u u u r ＋BC →＝BD 1→, ∴1DD u u u u r －AB →＋BC →＝BD 1→.4．空间四边形ABCD 中, 若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点, 则下列各式中成立的是( )A .EB u u u r ＋BF →＋EH →＋GH →＝0 B . EB u u u r ＋FC →＋EH →＋GE →＝0C . EF u u u r ＋FG →＋EH →＋GH →＝0D .EF u u u r －FB →＋CG →＋GH →＝0答案 B解析 如图所示,EB u u u r ＋FC →＋EH →＋GE → ＝(EB u u u r ＋BF →)＋(GE →＋EH →) = EF u u u r ＋FE →＝0.5. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 如图所示, 下列各式中运算的结果为向量1BD u u u u r的是（ ） ① (11A D u u u u r －A 1A →)－AB →；② (BC uuu r ＋BB 1→)－D 1C 1→；③（AD u u u r －AB →)－2DD 1→；④（11B D u u u u r －A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 A (11A D u u u u r －A 1A →)－AB → ＝ AD 1→－AB →＝BD 1→. (BC uuu r ＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→.∴①、②正确．二、填空题6. 如图所示 a, b 是两个空间向量, 则AC u u u r 与A ′C ′→与A ′C ′→是________向量, AB →与B ′A ′→是________向量．答案 相等 相反7. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AB →+ CD uuu r + BC DA +u u u r u u u r的结果为________．答案 0 解析AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DA →) =AC u u u r ＋CA →＝0. 三、解答题8．如图所示, 已知空间四边形ABCD , 连结AC , BD , E , F , G 分别是BC , CD , DB 的中点,请化简 （1）AB →＋BC →＋CD →, （2）AB →＋GD →＋EC →, 并标出化简结果的向量．解 （1）AB →＋BC →＋CD →= AC u u u r ＋CD →＝AD →.(2)∵E, F, G 分别为BC, CD, DB 中点．∴BE u u u r ＝EC →, EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC → = AB →＋BE →＋EF →= AF u u u r9. 已知ABCD 是空间四边形,M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点.求证: MN u u u u r = 1()2AB CD +u u u r u u u r证明MN u u u u r =MA AB BN ++u u u r u u u r u u u r又MN u u u u r =AB MC DN ++u u u r u u u u r u u u r , ∴2MN u u u u r = ()()MA MC AB CD BN DN +++++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由于M,N 分别是AC 和BD 的中点,所以．MA MC +u u u r u u u u r= 0. ∴MN u u u u r ＝ 12(AB →＋CD →)．10．设A 是△BCD 所在平面外的一点, G 是△BCD 的重心．求证：1(3AG AB =+u u u r u u u r AC →＋AD →)．证明 连结BG, 延长后交CD 于E, 由G 为△BCD 的重心,知 23BG BE =u u u r u u u r∵E 为CD 的中点, ∴BE u u u r ＝12BC →＋12BD →.∴AG u u u r ＝AB →＋BG → = AB →＋23BE →=AB →＋13(BC uuu r ＋BD →)=AB → +1()()3AC AB AD AB ⎡⎤-+-⎣⎦u u ur u u u r u u u r u u u r=13(AC →＋AC →＋AD →)．。