数学：311-312《空间向量及其加减与数乘运算》课件(新人教B版选修(1)
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高中数学选修2-1精品课件6：3.1.2空间向量的数乘运算
3.1.2 空间向量的数乘运算
学习目标 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解 共线(平行)向量的意义． 2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会 证明空间三点共线与四点共面问题．
课前预习
1．空间向量加法运算满足_结__合__律___和_交__换__律___． 2．以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算， 所谓平面向量的数乘运算就是：实数λ与平面向量a 的乘积λa仍然是一个__向__量__，还学过平面中两向量 共线的充要条件，其具体内容为：在平面内存在 _惟__一__实__数__λ__，使得_a_＝__λ_b_(_b_≠_0_)__成立．
2．对向量共面的充要条件的理解 (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有 序实数对(x，y)，使M→P＝xM→A＋yM→B.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满 足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面 A1BD， ∴A→1B、B→1C、E→F都与平面 A1BD 平行． ∴A→1B、B→1C、E→F共面．
课堂小结
1．向量共线的充要条件及其应用 (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样， 当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所 在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当
有什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空 间．运算要正确地使用向量加法和减法的平行四边 形法则和三角形法则，以及准确使用运算律．
例1 已知正四棱锥 P-ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中，x，y 的值． (1)O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
学习目标 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解 共线(平行)向量的意义． 2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会 证明空间三点共线与四点共面问题．
课前预习
1．空间向量加法运算满足_结__合__律___和_交__换__律___． 2．以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算， 所谓平面向量的数乘运算就是：实数λ与平面向量a 的乘积λa仍然是一个__向__量__，还学过平面中两向量 共线的充要条件，其具体内容为：在平面内存在 _惟__一__实__数__λ__，使得_a_＝__λ_b_(_b_≠_0_)__成立．
2．对向量共面的充要条件的理解 (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有 序实数对(x，y)，使M→P＝xM→A＋yM→B.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满 足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面 A1BD， ∴A→1B、B→1C、E→F都与平面 A1BD 平行． ∴A→1B、B→1C、E→F共面．
课堂小结
1．向量共线的充要条件及其应用 (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样， 当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所 在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当
有什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空 间．运算要正确地使用向量加法和减法的平行四边 形法则和三角形法则，以及准确使用运算律．
例1 已知正四棱锥 P-ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中，x，y 的值． (1)O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算(1)课件 新人教版选修21
B M
D
向量来分析.
O
N
A
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB，求 x y的值.
12
第十二页，共18页。
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB，求 x y的值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
16
第十六页，共18页。
思考 2(课本 P95 思考) 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
加法交换律 a b b a
加法(jiāfǎ)结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的
加、减法实质是一样的.
2
第二页，共18页。
b b
a a
我们知道(zhī dào)平面向量还有 数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的 数乘运算,其运算律是否也与平面向量 3
第三页，共18页。
一、
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如 (lìr ú):
3a a
3a 4 第四页，共18页。
显然,空间(kōngjiān)向量的数乘运算满足 分配律及结合律
3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算-数学选修2-1
一、空间向量的基本概念
平面向量 空间向量
定义
表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小
a
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小
a
AB
AB
长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量
三、空间向量的数乘运算
a 仍然是一个向量.
⑴当 ⑵当 ⑶当
与平面向量一样 , 实数 与空间向量 a 的乘积
0 时, a 与向量 a 的方向相同; 0 时, a 与向量 a 的方向相反; 0 时, a 是零向量.
例如: a
3a
(2) OP 2OA 2OB OC ；
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
由平面向量基本定理知，如果 e1 ， e2
a e2 e1
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 2 使a 1e1 2e2 只有一对实数 1，
3a
四、空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
人教版高中数学选修3-1-1《空间向量及其加减运算》t课件
a b OA OC CA
练一练
填空：
1AB BC _A__C_
(2)AB BC AD _D_C__
(3) A1A2 A2 A3 A3 A4 _A_1_A_4_
0 (4）A1A2 A2 A3 A3 A1 ______
你能对（3）（4）结论进行推广吗？
A1A2 A2 A3 An1An __A_1_A_ n
加法交换律： a b b a
运
算
加法结合律:
律 (a b) c a (b c)
加法交换律： a b b a
加法结合律:
(a b) c a (b c)
课后作业
1、P97页1、2 2、基础训练P60页7、8、9
b Bc
(空间向量)
与证明平面向 量结合律有什 么不同？
2、空间向量的加法的运算律：
加法交换律： a + b = b + a 加法结合律：(a + b)+c = a +(b + c)
四、新知运用
例：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简 下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
1 .BC +AB
…
2
A
3
A
4
首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．
探究三：（1）空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a + b =b + a
探究三（2）空间向量的加法是否满足结合律？
O
a
A
b
(a b) c = a (b c)
O
a
b +c
练一练
填空：
1AB BC _A__C_
(2)AB BC AD _D_C__
(3) A1A2 A2 A3 A3 A4 _A_1_A_4_
0 (4）A1A2 A2 A3 A3 A1 ______
你能对（3）（4）结论进行推广吗？
A1A2 A2 A3 An1An __A_1_A_ n
加法交换律： a b b a
运
算
加法结合律:
律 (a b) c a (b c)
加法交换律： a b b a
加法结合律:
(a b) c a (b c)
课后作业
1、P97页1、2 2、基础训练P60页7、8、9
b Bc
(空间向量)
与证明平面向 量结合律有什 么不同？
2、空间向量的加法的运算律：
加法交换律： a + b = b + a 加法结合律：(a + b)+c = a +(b + c)
四、新知运用
例：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简 下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
1 .BC +AB
…
2
A
3
A
4
首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．
探究三：（1）空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a + b =b + a
探究三（2）空间向量的加法是否满足结合律？
O
a
A
b
(a b) c = a (b c)
O
a
b +c
高中数学选修1(人教B版)课件1.1.1空间向量及其运算
解析：(2)对于①：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量， 故①错；对于②：向量是不能比较大小的，故不正确；对于③：不 相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．
答案：(2)B
题型二 空间向量的加、减法运算[经典例题]
状元随笔
向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的三角 形法则有什么特点？
知识点二 空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
加法
a＋b＝O→A＋O→B
空间 减法
a－b＝O→A－O→B
向量 的运
当 λ＞0 时，λa＝Q→P＝λO→A；
算 数乘 当 λ＝0 时，λa＝0；当 λ＜0
时，λa＝M→N＝λO→A
加法与 数乘运 算律
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 成为同一个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平 面向量的加减法．
(2) 若 两 个 空 间 向 量 的 始 点 相 同 ， 则 这 两 个 向 量 即 为 平 面 向 量．求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则．
(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量 的终点，因此为便于记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”，求 空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向 量．
将所求向量置于适当的三角形或多边形中，利用三角形法则、 平行四边形法则或首尾相接的方法，将所求向量表示出来，然后化 简整理．
方法归纳
利用数乘运算进行向量表示的技巧 1．数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用 三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 2．明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质． 提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知 向量表示出来．
答案：(2)B
题型二 空间向量的加、减法运算[经典例题]
状元随笔
向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的三角 形法则有什么特点？
知识点二 空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
加法
a＋b＝O→A＋O→B
空间 减法
a－b＝O→A－O→B
向量 的运
当 λ＞0 时，λa＝Q→P＝λO→A；
算 数乘 当 λ＝0 时，λa＝0；当 λ＜0
时，λa＝M→N＝λO→A
加法与 数乘运 算律
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 成为同一个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平 面向量的加减法．
(2) 若 两 个 空 间 向 量 的 始 点 相 同 ， 则 这 两 个 向 量 即 为 平 面 向 量．求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则．
(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量 的终点，因此为便于记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”，求 空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向 量．
将所求向量置于适当的三角形或多边形中，利用三角形法则、 平行四边形法则或首尾相接的方法，将所求向量表示出来，然后化 简整理．
方法归纳
利用数乘运算进行向量表示的技巧 1．数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用 三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 2．明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质． 提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知 向量表示出来．
高二数学课件 3.1空间向量及其乘运算课件人教版_选修2-1 (2)
合 应 用.
课后作业
《学案》《习案》
湖南省长沙市一中卫星远程学校
复习引入
（1）若a ，b是平面上的两个任意向量，那a 与 b的 数 量 的 计 算 方 法 、 几何 意 义 各 是 什 么 ？ 有 哪 些 重 要 性 质.
复习引入
（1）若a ，b是平面上的两个任意向量，那a 与 b的 数 量 的 计 算 方 法 、 几何 意 义 各 是 什 么 ？ 有 哪 些 重 要 性 质.
△ABC和△ACD的重心，若BD 4，则MN
.
课堂练习
（1） 点O是 △ABC所 在 平 面 上 一 点 ， 若OP
OA ( AB AC )，( 0)， 则 点P所 在 的 直 线
必 经 过 △ABC的 心.
课堂练习
（1） 点O是 △ABC所 在 平 面 上 一 点 ， 若OP
OA ( AB AC )，( 0)， 则 点P所 在 的 直 线
A1
C1
B1
A
C
B
新课讲授
思考题：
3. 如图，在平行六面体ABCD ABCD中， AB 4，AD 3，AA 5，BAD 90， BAA DAA 60，求AC的长.
新课讲授
思考题：
4. 如图 ，线段AB，BD在平 面内 ，BD AB， 线 段AC ， 且AB a，BD b，AC c，
新课讲授
例2. 已知空间任意一点O和不共线的三点A、
B、C，满足OP xOA 2OB 3OC 若A、B、
C、P四点共面，则x
.
新课讲授
例3. 已知a 、b 是两不共线的向量，且a ，tb ，
1 (a b)，的起点相同，终点在一条线上，
3
则t
.
课后作业
《学案》《习案》
湖南省长沙市一中卫星远程学校
复习引入
（1）若a ，b是平面上的两个任意向量，那a 与 b的 数 量 的 计 算 方 法 、 几何 意 义 各 是 什 么 ？ 有 哪 些 重 要 性 质.
复习引入
（1）若a ，b是平面上的两个任意向量，那a 与 b的 数 量 的 计 算 方 法 、 几何 意 义 各 是 什 么 ？ 有 哪 些 重 要 性 质.
△ABC和△ACD的重心，若BD 4，则MN
.
课堂练习
（1） 点O是 △ABC所 在 平 面 上 一 点 ， 若OP
OA ( AB AC )，( 0)， 则 点P所 在 的 直 线
必 经 过 △ABC的 心.
课堂练习
（1） 点O是 △ABC所 在 平 面 上 一 点 ， 若OP
OA ( AB AC )，( 0)， 则 点P所 在 的 直 线
A1
C1
B1
A
C
B
新课讲授
思考题：
3. 如图，在平行六面体ABCD ABCD中， AB 4，AD 3，AA 5，BAD 90， BAA DAA 60，求AC的长.
新课讲授
思考题：
4. 如图 ，线段AB，BD在平 面内 ，BD AB， 线 段AC ， 且AB a，BD b，AC c，
新课讲授
例2. 已知空间任意一点O和不共线的三点A、
B、C，满足OP xOA 2OB 3OC 若A、B、
C、P四点共面，则x
.
新课讲授
例3. 已知a 、b 是两不共线的向量，且a ，tb ，
1 (a b)，的起点相同，终点在一条线上，
3
则t
.
新高考 高中数学 选修一 课件+类型题1.1.1空间向量及其线性运算
欧啦 ·数学
临渊羡鱼，不如退而结网！
新高考·人教B版 ·选修1
选修一
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
一、空间向量的概念
思考： 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量O→A， O→B，O→C，它们和以前所学的向量有何不同？ 【提示】 O→A，O→B，O→C是不同在一个平面内的向量，而 我们以前所学的向量都在同一平面内．
图 3－1－20
方法点评：
1．求两向量数量积的解题思路： (1)解出两向量的模． (2)根据向量的方向求出两向量的夹角． (3)使用公式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉得出结果． 2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．
典型例题
类型一、空间向量的有关概念 例 1、给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体 ABቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD—A1B1C1D1 中，A→C＝A→1C1； ③若向量 a 与向量 b 的模相等，则 a，b 的方向相同或相 反； ④在四边形 ABCD 中，必有A→B＋A→D＝A→C. 其中正确命题的序号是________．
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
方法点评： 1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、 相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同． 2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量 有关概念问题时，通常抓住这两点来解决． 3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何 向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
图 3－1－20
(3)|G→F|＝12a，|A→C|＝a， 又∵G→F∥A→C，〈G→F，A→C〉＝π， ∴G→F·A→C＝12a2cos π＝－12a2； (4)∵|E→F|＝12a，|B→C|＝a，E→F∥B→D， ∴〈E→F，B→C〉＝〈B→C，B→D〉＝60°， ∴B→C·E→F＝12a2cos 60°＝14a2.
临渊羡鱼，不如退而结网！
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选修一
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
一、空间向量的概念
思考： 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量O→A， O→B，O→C，它们和以前所学的向量有何不同？ 【提示】 O→A，O→B，O→C是不同在一个平面内的向量，而 我们以前所学的向量都在同一平面内．
图 3－1－20
方法点评：
1．求两向量数量积的解题思路： (1)解出两向量的模． (2)根据向量的方向求出两向量的夹角． (3)使用公式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉得出结果． 2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．
典型例题
类型一、空间向量的有关概念 例 1、给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体 ABቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD—A1B1C1D1 中，A→C＝A→1C1； ③若向量 a 与向量 b 的模相等，则 a，b 的方向相同或相 反； ④在四边形 ABCD 中，必有A→B＋A→D＝A→C. 其中正确命题的序号是________．
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
方法点评： 1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、 相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同． 2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量 有关概念问题时，通常抓住这两点来解决． 3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何 向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
图 3－1－20
(3)|G→F|＝12a，|A→C|＝a， 又∵G→F∥A→C，〈G→F，A→C〉＝π， ∴G→F·A→C＝12a2cos π＝－12a2； (4)∵|E→F|＝12a，|B→C|＝a，E→F∥B→D， ∴〈E→F，B→C〉＝〈B→C，B→D〉＝60°， ∴B→C·E→F＝12a2cos 60°＝14a2.
1.1.1空间向量及其运算(第1课时空间向量的概念及线性运算)课件高二上学期数学人教B版选择性
∥
D.若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 = 是四边形 ABCD 为平行四边形的
充要条件
探究点二
空间向量的线性运算
【例2】 如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中
标出化简结果的向量.
(1)' − ;
(2)' + + ''.
解 (1)' − = ' − = ' + = '+'' = '.
(1)写出与向量BC相等的向量;
(2)写出与向量BC相反的向量;
(3)写出与向量EF平行的向量.
解 (1)与 相等的向量有 , '', ''.
(2)与 相反的向量有 , , '', ''.
(3)与 平行的向量有' , ', ' , ', .
= '
1
1 1
1
1
''=-c+ b- a=- a+ b-c.
2
2 2
2
2
1
+ 2 (''
+ '')
4. (多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC和BD的交点为O,设
=a,=b,1 =c,则下列结论正确的是( AC )
A.=b-a
B.1 =a-b+c
相等向量 大小相等,方向相同 的向量称为相等向量
与向量a大小 相等
相反向量
向量,记作 -a
D.若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 = 是四边形 ABCD 为平行四边形的
充要条件
探究点二
空间向量的线性运算
【例2】 如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中
标出化简结果的向量.
(1)' − ;
(2)' + + ''.
解 (1)' − = ' − = ' + = '+'' = '.
(1)写出与向量BC相等的向量;
(2)写出与向量BC相反的向量;
(3)写出与向量EF平行的向量.
解 (1)与 相等的向量有 , '', ''.
(2)与 相反的向量有 , , '', ''.
(3)与 平行的向量有' , ', ' , ', .
= '
1
1 1
1
1
''=-c+ b- a=- a+ b-c.
2
2 2
2
2
1
+ 2 (''
+ '')
4. (多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC和BD的交点为O,设
=a,=b,1 =c,则下列结论正确的是( AC )
A.=b-a
B.1 =a-b+c
相等向量 大小相等,方向相同 的向量称为相等向量
与向量a大小 相等
相反向量
向量,记作 -a
人教版高中数学选修2-1 3.1.2空间向量的数乘运算教学课件 (共29张PPT)
什么是共面向量？
平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）空涉 间中及任空意间两任个意向两量总个是向共量面问的题．，那平 三个 向量呢面？向如何量判中断有三关个结向论量仍是否适共用面它呢们？。
探究： 空间任意不共线的两个向量a,b,
如果p xa yb， 那么向量p与向量a，b有什么位置关系？ 反过来，向量p与a，b有什么位置关系时， 有p xa yb？
方向关系
模的关系
λ>0
方向_相__同___
λ＝0
λa＝_0__，其方向是任意的
λa的模是a的模的 _|λ_|_倍
λ<0
方向_相__反___
自学
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
❖ 即：
(((a例1】 已知在空间四边形 OABC 中，M， N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在
【例2】
题型二 向量共线问题 设两非零向量 e1、e2 不共线，A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋
8e2，C→D＝3(e1－e2)．试问：A、B、D 是否共线，请说明理由．
解 ∵B→D＝B→C＋C→D＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)， ∴B→D＝5A→B，又∵B 为两向量的公共点，
问题1
不一定
c
a
b
问题2
共面
a
p
b
O1
a
O2
p b
问题3
共面
a
O2
p b
问题4
存在
必修四学过的 平面向量基本定理
空间向量共面定理
如果两个向量 a,b 不共线，那么p 与a,b 共面的充要条
件是存在惟一的有序实数对（x，y），使p xa yb
平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）空涉 间中及任空意间两任个意向两量总个是向共量面问的题．，那平 三个 向量呢面？向如何量判中断有三关个结向论量仍是否适共用面它呢们？。
探究： 空间任意不共线的两个向量a,b,
如果p xa yb， 那么向量p与向量a，b有什么位置关系？ 反过来，向量p与a，b有什么位置关系时， 有p xa yb？
方向关系
模的关系
λ>0
方向_相__同___
λ＝0
λa＝_0__，其方向是任意的
λa的模是a的模的 _|λ_|_倍
λ<0
方向_相__反___
自学
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
❖ 即：
(((a例1】 已知在空间四边形 OABC 中，M， N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在
【例2】
题型二 向量共线问题 设两非零向量 e1、e2 不共线，A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋
8e2，C→D＝3(e1－e2)．试问：A、B、D 是否共线，请说明理由．
解 ∵B→D＝B→C＋C→D＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)， ∴B→D＝5A→B，又∵B 为两向量的公共点，
问题1
不一定
c
a
b
问题2
共面
a
p
b
O1
a
O2
p b
问题3
共面
a
O2
p b
问题4
存在
必修四学过的 平面向量基本定理
空间向量共面定理
如果两个向量 a,b 不共线，那么p 与a,b 共面的充要条
件是存在惟一的有序实数对（x，y），使p xa yb
人教版高中数学课件第五册3.1.1空间向量及其加减与数乘运算
D1
AB1 B1C1 C1C
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
C B
(3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2AD1 BD1 xAC1 (3) AC AB1 AD1 xAC1
A1 G
D A
B1 M
C B
(2)AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
O
a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD
边的中点,化简
A
(1)
AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D (1)原式＝AB BM MG AG
B
M
(2)原式
G ＝AB BM MG 1 ( AB AC)
2
C
＝BM MG 1 ( AB AC)
(2) 2AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1) AD1 D1C1 AC1
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数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(a b) ka＋kb
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
A
b +c
CA
C
bB c
bBc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律：
( a + b )+ c = a +( b + c )
的夹角都为90度,
F3
它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
空间向量的有关概念：
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量. 常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示. 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
O
O
a a
b +c
A
bB
C
c
A
b
C
Bc
(空间向量)
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
C
问题 1: 向 如图:已知 OA=6 米,
上
B
AB=6 米,BC=3 米,
正
O正
北
A
东
F2
问题 2:
? 那么 OC=
已知F1=10N, F2=15N， F3=15N
这三个力两两之间
向量 a , b ( b 0 ),
a // b 存在 R , a b . b c
a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
小结
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
定义: 数乘空间向量的运算法则
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
C
a+b
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
b
a
向量加法的平行四边形法则
a
k a (k>0)
k a加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) ka＋kb
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
复习回顾： 平面向量
这是什么? 向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
(a) ()a 其中、是实数。
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个
c
B 终点
a
起点 A
b
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
运 算
加法结合律
律 (a b) c a (b c)
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同;
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分
配律及结即合：律(a b) a b
（ ）a a a
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(a b) ka＋kb
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
A
b +c
CA
C
bB c
bBc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律：
( a + b )+ c = a +( b + c )
的夹角都为90度,
F3
它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
空间向量的有关概念：
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量. 常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示. 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
O
O
a a
b +c
A
bB
C
c
A
b
C
Bc
(空间向量)
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
C
问题 1: 向 如图:已知 OA=6 米,
上
B
AB=6 米,BC=3 米,
正
O正
北
A
东
F2
问题 2:
? 那么 OC=
已知F1=10N, F2=15N， F3=15N
这三个力两两之间
向量 a , b ( b 0 ),
a // b 存在 R , a b . b c
a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
小结
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
定义: 数乘空间向量的运算法则
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
C
a+b
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
b
a
向量加法的平行四边形法则
a
k a (k>0)
k a加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) ka＋kb
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
复习回顾： 平面向量
这是什么? 向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
(a) ()a 其中、是实数。
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个
c
B 终点
a
起点 A
b
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
运 算
加法结合律
律 (a b) c a (b c)
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同;
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分
配律及结即合：律(a b) a b
（ ）a a a