华二黄中2023-2024学年第二学期第二次月考高一年级数学试卷试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．在复平面内，已知复数11z i=-，则其共轭复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（）A ．至少摸出1个白球B ．至少摸出1个红球C ．摸出2个白球D ．摸出2个白球或摸出2个红球3．已知数据12,,,,n x x x t 的平均数为t ，方差为21s ，数据12,,,n x x x 的方差为22s ，则（）A ．2212s s >B ．2212s s =C ．2212s s <D ．21s 与22s 的大小关系无法判断4．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个结论，其中正确结论是：①//l m αβ⇒⊥；②l m αβ⊥⇒⊥；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒.A ．①与②B ．①与③C ．②与④D ．③与④5．在ABC 中，若138,7,cos 14a b C ===，则最大角的余弦是（）A ．15-B ．16-C ．17-D ．18-6．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（）A ．10cmB ．2cmC ．D ．527．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A ．1%B ．2%C ．3%D ．5%8．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB CD ，22AB CD ==，M 是DC 的中点，2=CN NB ，若AC AM AN λμ=+，则λμ+的值为（）A ．119B ．89C ．2D ．3二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的有（）．A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7—8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10．下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．数据1210,,,x x x 的平均数为90，方差为3；数据1215y ,y ,,y 的平均数为85，方差为5，则12101115,,,,,,,x x x y y y 的平均数为87，方差为10.2C ．数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D ．已知数据1210,,,x x x 的极差为6，方差为2，则数据121021,21,,21x x x +++ 的极差和方差分别为12，811．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则（）A ．异面直线1AB 与11B D B ．取1BB 的中点为M ，过1A MC ､､三点的平面截直四棱柱所得截面图形的面积为734C ．1A B //平面11BD CD ．点1B 到平面11BD A 的距离为125第II 卷（非选择题）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知向量()1,a x = ，()1,b x =- ，若2a b - 与b垂直，则a 的值为.13．某学校高二年级选择“物化地”，“物化生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“物化生”组合中选出的同学人数为．14．已知正三棱锥-P ABC 的底面边长为1，点P 到底面ABC ，则该三棱锥的内切球半径为，该三棱锥外接球半径为．四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15．已知复数112i x =-是关于x 的方程20x ax b ++=的根（i 是虚数单位），其中,a b ∈R ．(1)求a ，b 的值．(2)若||z =1x z 是纯虚数，求z ．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，,E F 分别为,AD PB 的中点．(1)求证：PE BC ⊥；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；17．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，且满足2sin 0a C =(1)求角A 的值；(2)若a =ab ≤，求2cb -的取值范围．18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[]115,125频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的众数、中位数、平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19．如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为2.(1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)在（2）的条件下，问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由.1．D【分析】根据复数运算和共轭复数定义求得z ，由此可得对应点坐标，从而确定结果.【详解】()()111111122i z i i i i +===--+ ，1122z i ∴=-，z ∴对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D.2．C【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项．【详解】对于A ，至少摸出1个白球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于B ，至少摸出1个红球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于C ，摸出2个白球与摸出1个白球1个红球是互斥而不对立事件；对于D ，摸出2个白球或摸出2个红球与摸出个白球1个红球是互斥也是对立事件.故选：C ．3．C【分析】利用方差与均值的关系，结合方差公式即可判断2212,s s 的大小.【详解】由题设，123...1n x x x x t t n +++++=+，即123...nx x x x t n++++=，∴22111()1n i i s x t n ==-+∑，22211()n i i s x t n ==-∑，即有2212s s <.故选：C.4．B【解析】由面面平行的性质和线面垂直的定义，可判断①的真假；由线面垂直的性质、面面垂直的性质及空间关系，可判断②的真假；由线面垂直的判定定理，及面面垂直的判定定理，可判断③的真假；根据线面垂直、线线垂直的定义及几何特征，可判断④的真假.【详解】过直线m 做一平面,,//n γγααβ= ，//m n ∴，l ⊥平面α，,l n l m ∴⊥⊥，①正确；直线l ⊥平面α，若αβ⊥，则l 与m 可能平行，异面也可能相交，②错误；直线l ⊥平面α，若//l m ，则m ⊥平面α，m ⊂平面β，αβ∴⊥，③正确；直线l ⊥平面α，若l m ⊥，则//m α或m α⊂，则α与β平行或相交，④错误.故选:B.【点睛】本题以空间线面关系的判定为载体，考查了空间线面垂直，线面平行，面面垂直及面面平行的判定及性质，考查空间想象能力，属于中档题.5．C【分析】运用余弦定理求出c ，再根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理进行求解即可.【详解】因为138,7,cos 14a b C ===，所以3c =，因为a b c >>，所以A B C >>，因此222499641cos 22737b c a A bc +-+-===-⨯⨯，故选：C 6．D【分析】将圆柱展开，根据题意即可求出答案.【详解】圆柱的侧面展开图如图所示，展开后1552()222E F cm ππ'=⨯⨯=，∴)E G cm '=，即为所求最短距离．故选:D.7．C【分析】由图1知食品开支占总开支的30%，由图2知鸡蛋开支占食品开支的110，由此求得鸡蛋开支占总开支的百分比．【详解】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的3013040100805010=++++，∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%110⨯=3%．故选C ．8．A【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出λ、μ即可.【详解】根据题意，//AB CD ，22AB CD ==，M 是DC 的中点，2=CN NB ，画出梯形ABCD 如下图所示：所以AM AC CM =+ 14AC BA =+()14BN C NAA =++ 1142NC AC NA ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1184NC NA AC =++ ()1184AC AN AC NA=+-+ 111884AC A AC N AN =+-- 9388AC AN =- ，则8193AC AM AN =+ ，又AC AM AN λμ=+ ，AM 、AN不共线，所以8913λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以8111939λμ+=+=.故选：A 9．BCD【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．【详解】解：对于A ，由折线图的变化趋势可得，月接待游客量有增有减，故选项A 错误；对于B ，由折线图的变化趋势可得，年接待游客量逐年增加，故选项B 正确；对于C ，由折线图可得，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故选项C 正确；对于D ，由折线图可得，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故选项D 正确．故选：BCD.10．ABD【分析】A 选项，根据简单随机抽样的定义和概率性质得到答案；B 选项，根据分层抽样平均数及方差公式判断；C 选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D 选项，根据方差性质得到121021,21,,21x x x +++ 的方差可判断.【详解】A 选项，每个个体被抽到的概率为50.150=，故A 正确；B 选项，12101115,,,,,,,x x x y y y 的平均数为10901585871015⨯+⨯=+，方差{}2221103(9087)155(8587)10.21015S ⎡⎤⎡⎤=⨯+-++-=⎣⎦⎣⎦+，故B 正确；C 选项，这10个数据从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；D 选项，不妨设1106x x -=，则()10110121212()2612x x x x +-+=-=⨯=，即数据121021,21,,21x x x +++ 的极差为12，由方差性质知22228S =⨯=，故D 正确．故选：ABD 11．ACD【分析】由于11//A B CD ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠或其补角.利用余弦定理计算可判断A ，作出截面计算可判断B ，根据线面平行的判定定理判断C ，利用等体积法求点到面的距离判断D.【详解】对于A ，依题意115CB CD ==，11B D =，由于11//A B CD ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠（或其补角），在三角形11CB D 中，2221155cosB DC +-∠==所以异面直线1A B 与11B D ，故A 选项正确；对于B ，设过1A M C ､､三点的平面α交棱1DD 于N ，连接1,AN C N ，如图，由1//C M 平面11ADD A ，α 平面11ADD A AN =，1C M α⊂，所以1//C M AN ，同理可得1//AM NC ，所以截面为平行四边形1AMC N ，又Rt ABM ≌11Rt C B M △，可得1AM C M =，所以四边形1AMC N 为菱形，所以Rt ADN △≌11Rt C D N ，可得1D N DN =，即N 为1DD 中点，所以面积1122S AC MN =⋅==B 错误；对于C ，由于11//A B CD ，1⊄A B 平面11B D C ，1CD ⊂平面11B D C ，所以1//A B 平面11B D C ，故C 选项正确；对于D ，设点1B 到平面11BD A 的距离为h ，由111111B A BD B A B D V V --=，所以1111454433232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得125h =，故D 选项正确.故选：ACD.12．2【分析】首先根据2a b - 与b垂直求得x =a 的值即可.【详解】解：根据题意，向量()1,a x =，()1,b x =- ，则()23,a b x -=，若2a b - 与b垂直，则()2230a b b x =-+-=⋅ ，解可得：x =则2a ==.故答案为：2.13．3【分析】根据分层抽样的概念，按各层比列求解即可.【详解】由分层抽样可知，“物化生”组合中选出的同学人数为901232109060⨯=++人，故答案为：314．267212【分析】设PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，易得几何体的体积，进而结合等体积法求得内切球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径.【详解】如图，PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，233144ABC S ==△，113633412P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯=△，113DM ==PD =CM =12PAB S AB PD =⨯⨯△112612=⨯⨯=，所以33PAB ABC S S S =+=⨯△△设内切球半径为r ，则13P ABC Sr V -=，3126r ⨯=；易知外接球球心在高PM 上，球心为O ，设外接球半径为R ，则在Rt OMC 中，222OM MC OC +=，即)222R R +=⎝⎭，解得12R =.故答案为：26；7212．15．(1)2,5a b =-=；(2)z =或z =-．【分析】（1）将112i x =-代入方程，根据复数相等列方程组求解可得；（2）设i z m n =+，根据复数模公式和纯虚数概念列方程组求解即可.【详解】（1）112i x =- 是方程的根，()()212i 12i 0a b ∴-+-+=，即()342i 0a b a +--+=，30420a b a +-=⎧∴⎨--=⎩，解得2,5a b =-=；（2）设i z m n =+，则z =2210m n +=①，又()()()()112i i 22i x z m n m n n m =-+=++-为纯虚数，所以2020m n n m +=⎧⎨-≠⎩②，由①②联立，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩z ∴=或z =-．16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到PE AD ⊥，再根据//BC AD 可得PE BC ⊥；（2）根据面面垂直的性质定理得到AB ⊥平面PAD ，进一步得到AB PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理得到PD ⊥平面PAB ，最后根据面面垂直的判定定理可证平面PAB ⊥平面PCD .【详解】（1）因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为底面ABCD 为矩形，所以//BC AD ，所以PE BC ⊥.（2）因为底面ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥.又因为PA PD ⊥，PA AB A = ，所以PD ⊥平面PAB .因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .17．(1)2π3或π3(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简求得sin A =A 的值；（2）根据题意，得到因π3A =，求得4sin bB =，π4sin 4sin 3cC B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，化简得到1π26b c B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合π2π33B ≤<，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：因为2sin 0a C =，由正弦定理得2sin sin 0A C C =，又因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >，所以sin 2A =，因为(0,π)A ∈，所以2π3A =或π3A =，（2）解：因为a =且a b ≤，所以π3A =，由正弦定理得4sin a A =，所以4sin b B =，π4sin 4sin 3c C B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭则1ππ4sin 2sin 3sin 2236b c B B B B B ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由a b ≤，可得π2π33B ≤<，所以πππ662B ≤-<，可得π1sin [,1)62B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则π6B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以即2c b -的取值范围．18．(1)频率分布直方图见解析(2)众数为100，中位数约为99.7，平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)不能【分析】（1）根据频率分布表完成频率直方图即可；（2）根据频率分布直方图求出众数、中位数、平均数、方差；（3）计算出质量指标值不低于95的产品所占比例，由此可得出结论.【详解】（1）由表格数据知：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[]115,125频率0.060.260.380.220.08频率分布直方图如下：（2）众数为951051002+=，前2个矩形面积之和为0.060.260.320.5+=<，前3个矩形面积之和为0.320.380.70.5+=>，所以中位数位于()95,105，质量指标值的样本中位数为0.18951099.70.38+⨯≈，质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.质量指标值的样本方差为()()22222200.06100.2600.38100.22200.08104s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.所以这种产品质量指标值的众数为100，中位数约为99.7，平均数的估计值为100，方差的估计值为104.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．19．(1)60(3)存在，F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置【分析】（1）取AD 中点M ，连接OM 、PM ，由正四棱锥的性质知PMO ∠为所求二面角P AD O --的平面角，PAO ∠为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角，设AB a =，求出tan PMO ∠的值，即可得解；（2）依题意连接AE 、OE ，可知OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角，证明出AO OE ⊥，计算出AO 、OE 的长，即可求得结果；（3）延长MO 交BC 于N ，取PN 的中点G ，连接EG 、MG ，易得BC ⊥平面PMN ，可得平面PMN ⊥平面PBC ，分析出PMN 为正三角形，易证MG ⊥平面PBC ，取AM 的中点F ，连接EF ，可得四边形EFMG 为平行四边形，从而//MG FE ，可得EF ⊥平面PBC ，即可得出结论.【详解】（1）解：取AD 的中点M ，连接OM 、PM ，由正四棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂ 平面ABCD ，则AD PO ⊥，依条件可知AD MO ⊥，则PMO ∠为所求二面角P AD O --的平面角.PO ⊥ 面ABCD ，则PAO ∠为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角，则tan PAO ∠=设AB a =，则AO =，所以，tan PO AO POA =⋅∠=，则tan PO PMO MO∠==，因为090PMO <∠< ，故60PMO ∠=o .（2）解：连接AE 、OE ，所以，AEO ∠为异面直线PD 与AE 所成的角.PO ⊥ 平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，则AO PO ⊥，AO BD ⊥ ，BD PO O = ，AO ∴⊥平面PBD ，又OE ⊂平面PBD ，AO OE ∴⊥.12OE PD a = ，所以，210tan 5AO AEO EO ∠==.（3）解：延长MO 交BC 于N ，则N 为BC 的中点，取PN 的中点G ，连接EG 、MG .因为PB PC =，N 为BC 的中点，则BC PN ⊥，同理可得BC PM ⊥，PM PN P = ，故BC ⊥平面PMN ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PMN ⊥平面PBC ，又PM PN ==，60PMN ∠=︒，所以，PMN 为正三角形，G 为PN 的中点，则MG PN ⊥，又因为平面PMN 平面PBC PN =，平面PMN ⊥平面PBC ，MG ⊂平面PMN ，所以，MG ⊥平面PBC ，取AM 的中点F ，连接EF ，G 、E 分别为PN 、PB 的中点，则//EG BN 且12EG BN =，因为//AD BC 且AD BC =，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则//AM BN 且AM BN =，F 为AM 的中点，则//FM BN 且12FM BN =，故//FM EG 且FM EG =，所以，四边形EFMG 为平行四边形，则//EF MG ，故EF ⊥平面PBC .因此，F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置.。
