最新311空间向量及其加减运算

课前篇自主预习
【做一做1】 下列命题正确的是( ) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p 解析单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有 |a|=1,即C项正确. 答案C
方法总结在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个 向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪 个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算的平行四边形 法则、三角形法则及多边形法则来求.
④错误,空间四边形 ABCD 中,������������与������������的模不一定相等,方向也不
相反; ⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与������������1的模一定相等的向量是
������1������, ������������1, ������1������, ������������1, ������1������,一共有 5 个. 答案②③
及其运算律,理解空间向量 加法、减法的几何意义.
几何意义
课前篇自主预习
【思考1】类比平面向量的概念,能否给出空间向量的概念? 答案能.在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. 1.空间向量及其表示 (1)定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大 小叫做向量的长度或模. (2)表示:①几何表示法,用有向线段表示; ②字母表示法,用a,b,c,…表示或用表示向量的有向线段的起点 和终点的字母表示. 如图,相应的向量可表示为:a 或������������. (3)模的表示方法:向量������������的模记为|������������|,向量 a 的模记为|a|.

A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量及其加减运算
知识对比
平面向量
概念 具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
运 加法交换律 abba
算 加法结合律 律
(ab)ca(bc)
加法交换律 abba 加法结合律 成立吗？
(ab)ca(bc)
空间向量推广:
知识对比
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注意：1）零向量是一个特殊的向量； 2）零向量与非零向量的区别。
1.平面向量的基本知识
复习回顾
向 量 几何表示 : 有向线段
的 表
字母表示 :a、 AB等
示 坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
2、平面向量的加法、减法运算
复习回顾
首尾连，指终点b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
b
共起点，指被减 a
向量减法的三角形法则
3、平面向量的加法、减法运算律
复习回顾
加法交换律： abba 加法结合律： (ab)ca(bc)

• (1)|λa|＝|λ||a|. • (2)当λ>0时，λa与a同向; • 当λ<0时，λa与a反向; • 当λ＝0时，λa＝0.
第1课时 空间向量的线性运算
• 向量的运算律: • 加法交换律:a＋b＝b＋a; • 加法结合律:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c); • 数乘分配律:λ(a＋b)＝λa＋λb.
第三章 空间向量与立体几何
• 单元结构
第1课时 空间向量的线性运算
• 为使走路方便,小区准 备在小道上铺上地砖, 为了让路面平整耐用, 先对地面进行打夯,如 图所示,一块大木头嵌 有四条绳索,四名建筑 工人借助绳索用力,让 木头抬起向下打夯.
第1课时 空间向量的线性运算
• 预学1:空间向量的有关概念 • (1)打夯图中的四个人的用力方向不一致，
第1课时 空间向量的线性运算
• ④向量的模或长度:向量的大小叫作向量的 模或向量的长度.
• ⑤零向量:长度为0的向量. • ⑥单位向量:长度为1的向量. • 议一议:如何理解有向线段与向量的关系?两
个向量能否比较大小?
第1课时 空间向量的线性运算
• 【解析】向量可用有向线段来表示，但有 向线段不是向量，它只是向量的一种表示 方法.空间向量是具有大小与方向的量，两 个向量之间只有等与不等之分，而无大小 之分.
第1课时 空间向量的线性运算
第1课时 空间向量的线性运算
• 1.用已知向量来表示未知向量，一定要结合 图形，以图形为指导是解题的关键.要正确 理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义.在立体几何中三角形法则、平行四边形 法则仍然成立.利用向量的线性运算和空间 向量基本定理表示向量是向量应用的基础.
第1课时 空间向量的线性运算
第1课时 空间向量的线性运算

内容
概念
空间向量 在平面上，既有大 在空间，具有大 小又有方向的量 小和方向的量
平面向量
用有向线段画出来； 用有向线段画出来； 画法及其表示 表示方式： AB 表示方式： AB 或 a 或 a 长度为零的向量叫 长度为零的向量叫 零向量 做零向量，零向量 做零向量，零向量 的方向是任意的 的方向是任意的
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律： λ(a + b) =λa +λb ；
⑷数乘结合律： λ(μa ) = (λμ) a
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(2) 2 AD1 BD1
AD1 AD1 BD1 AD1 ( BC1 BD1 ) AD1 D1C1
AC1
A1 D1 B1 C1
问题 1:
F3
新 课 讲 解
已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间 的夹角都为60度, 它们的合力的大小 为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量
……
一．创设情境，提出问题
F
如图，一正三角形钢板，三 顶点用等长的绳子绑起，在 力F的作用下静止，三绳子 的受力情况如何？
解：设M是线段CC’的中点，则
1 AB AD CC ' 2
D’ C’ B’ M
AC CM

【解析】1.方法一(统一成加法运算)：
原式＝AB CD AC BD AB BD DC CA AD DA 0.
方法二 利用OA OB BA :
原式＝AB CD AC BD
AB AC CD BD CB CD BD
DB BD 0.
方法三(利用 AB OB OA )： 设O是空间内的任意一点，则
【拓展提升】 1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用空间多边形法则化简. (2)利用向量的减法法则，即利用 OA OB BA 化简. (3)利用 AB OB OA，把各个向量转化成与空间的某一点有 关的向量化简.
2．在几何体中用已知向量表示其他向量时的解答技巧 灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路(即沿 几何体的边选择途径)，多个向量运算时，先观察分析 “首尾相接”的向量使之结合，使用减法时，把握“共 起点，方向指向被减向量”.
AA 1 AB 1 AD, 22
x y 1. 2
3AF AB BC CF
AB AD 1 (BA BB) 2
AB AD 1 (AB AA) 2
AD 1 AB 1 AA, 22
x y 1. 2
【拓展提升】利用向量解决几何问题的一般思路
【易错误区】对空间向量的概念理解不到位而致错 【典例】下列说法中，正确的个数为( ) ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若向量 AB，CD 满足AB CD ，且 AB与CD 同向，则 AB＞CD ； ③若两个非零向量 AB与CD满足 AB CD 0，则 AB与CD为相反 向量．
(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾 向量的终点，因此，求空间若干向量之和时，可通过平 移将它们转化为首尾相接的向量，如图：

空间向量及其运算
空间向量 基本概念
B
a 向量
A
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 2、长度或模：向量的大小 记作：a AB
3、零向量：长度为零的向量。记作：0
4、单位向量：长度为1的向量。
5、相反向量：与向量 a 长度相等而方向 相反的向量，称为a 的相 反向量。记作：- a
P
a
(或APtAB)
B
则A、B、P三点共线。
A
若 O 若PP 为xAO ,A B中y点O ,B(xy1)， O
则 A则、 B O、 PP三 1 点 OA共 线 OB。 向量参数表示式 2
3. 共面向量
平行于同一平面的向量，叫做共面向量 空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或
减法 平行四边形法则
数乘 运算
减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
加法交换律 abba
3.利用空间向量共线定理和共面定理， 可以解决立体几何中的共点、共线、共 面和平行等问题，这是一种向量方法.
成立吗？ 加法结合律
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
b +c

A A1 D1 B1
C1
F2
D B C
F1
小结
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 零向量 相等向量 相反向量 加法:平行四边形法则 加法:平行四边形法则 或三角形法则 加、 或三角形法则 减法 减法:三角形法则 运算 减法:三角形法则 不共面的三个向量的和：
平行六面体法则 运 算 律
加法交换律 加法结合律
ab ba
(a b) c a (b c)
类比方法
数形结合思想
（二）平面向量的加法、减法法则及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连 C ab b
A
2.向量加法平行四边形法则:
B
a
a b b
C 特点:共起点
b
a
B
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
a
O
B
b
a
A
BA a b
b 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
OB OA AB a b, CA OA OC a b,
b a
b
C
B

O
a
A
空间向量加法的推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An An
D1 A1 B1 C1
a
D A B C
平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是平行四边形。
典例剖析：
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列 向量表达式 (如图)