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311-312空间向量及其加减与数乘运算讲义资料

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3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算-数学选修2-1

3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算-数学选修2-1

一、空间向量的基本概念
平面向量 空间向量
定义
表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小
a
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小
a
AB
AB
长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量
三、空间向量的数乘运算
a 仍然是一个向量.
⑴当 ⑵当 ⑶当
与平面向量一样 , 实数 与空间向量 a 的乘积
0 时, a 与向量 a 的方向相同; 0 时, a 与向量 a 的方向相反; 0 时, a 是零向量.
例如: a
3a
(2) OP 2OA 2OB OC ；
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
由平面向量基本定理知，如果 e1 ， e2
a e2 e1
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 2 使a 1e1 2e2 只有一对实数 1，
3a
四、空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；

3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算(用)共44页

3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算(用)共44页

APtAB
OPOAtAB
进一步，OP 还可表示为： OP _1-_ t O __ A_t_O __B
aP
B
A
O
1
特别的，当t=
时，则有
2
OP1(OAOB) P点为A,B 的中点 2
A、B、P三点共线
APt AB
OPOAtAB
O PxO A yO(xB y1)
练习1.对于空间任意一点O，下列命题正
OP OA xAByAC
O x O P y O A z O B 0 ( x C y z 1 )
练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，
且有 O x P O y A O z B O (x ,C y ,z R )则,x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的（ C ）
确的是： A
A.若 O PO A tA B，则P、A、B共线
B
P
B.若 3 O PO A A B，则P是AB的中点 O
A
C.若 O PO A tA B，则P、A、B不共线
D.若 O P O A A B，则P、A、B共线
三、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
a
b a
ka
（k>0）
ka
（k<0）
⒊平面向量的加法与数乘运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb
浙江省玉环县楚门中学吕联华
一：空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义 表示法 向量的模 相等向量
相反向量 单位向量 零向量

空间向量的加减和数乘运算

空间向量的加减和数乘运算

分配律
$k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) = koverset{longrightarrow}{a} + koverset{longrightarrow}{b}$。
单调性
当$k > 0$时，数乘会使向量增大；当$k < 0$时，数乘会使向量缩小。
在线性代数中，向量组的线性组合可以通过数乘运算来实现，从而研究向量组之间的关系。
向量组的线性组合
向量空间是由向量构成的集合，通过向量的加减和数乘运算可以研究向量空间的结构和性质。
向量空间
04
空间向量加减和数乘运算的注意事项
01
02
零向量的特殊性
零向量与任意向量数乘，结果仍然是零向量。
零向量与任意向量相加或相减，结果仍然是该任意向量。
解析
根据空间向量加法和减法的定义，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b})$的坐标等于两个向量的对应坐标相加和相减。即，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b}) = ( - 1 + 3,5 + ( - 1),2 + 4) = (2,4,6)$。
计算方法
根据定义，数乘的计算方法为将向量的每个分量分别乘以该实数。

§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算

§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算

第一章空间向量与立体几何§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____学习目标1、掌握空间向量单位向量、相反向量的定义2、用空间向量的运算意义及运算律解决问题3、掌握空间向量的数乘运算4、理解共线向量、共面向量的定理及推论5、用数乘运算把未知向量用已知向量表示自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理）1、空间向量的有关概念（1）定义：在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量;（2）长度：向量的___叫做向量的长度或__（3）表示法：①几何表示法：空间向量用_____表示②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作_____，其模记为_____或_____。

4、空间向量的数乘运算：实数λ与空间向量的乘积____，成为向量的数乘运算。

5、向量a与向量λa的关系（1）分配律：λ（a+b)=________（2）结合律：()______aλμ=7、共线向量与直线的方向向量（1）共向向量的概念：表示空间向量的有向线段所在的直线______共线向量也叫______（2）两向量共线（平行）的充要条件：对于空间任意两个向量,(0)a b b≠，则a b的充要条件是存在实数λ，使______（3)直线的方向向量：如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OA OP ta=+①，其中a叫做直线l的______8、共面向量（1）共面向量的定义：平行于______的向量（2）三个向量共面的充要条件：如果两个向量,a b______，那么向量p与向量,a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,),x y使____p=【突破·核心知识】【知识梳理】【题型归纳】【随堂∙自我测评】1、对于空间非零向量AC BC AB ,,下列各式一定不成立的是（ ）A 、AB →+BC →=AC → B 、AB →-AC →=BC →C 、AB →+BC →=CA →D 、AB →-AC →=CB →2、设有四边形ABCD 中，o 为空间任意一点，且OCDO AO →→→→+=+OB ，则四边形ABCD 是A 、平行四边形B 、空间四边形C 、等腰梯形D 、矩形 3、→→→≠=ba，且ba →→、不共线时ba →→+与ba →→-的关系是（ ）A 、共面B 、不共面C 、共线D 、无法确定4、已知两个非零向量21,e e不共线，如21A B e e =+ ，2128AC e e =+ ，2133AD e e =- 求证：,,,A B C D 共面．5已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠ ，若//a b，求实数,x y 的值6.已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC=++，试判断：点P与,,A B C 是否一定共面？【课后∙知能提升】1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式：①(111A D A A - )－AB； ② (1BC BB + )－11D C ；③ (1A D A B - )+1DD ； ④ (111B D A A -)－1DD，其中运算结果为向量11B D的是（ ） A 、①② B 、③④ C 、②④ D 、①③2．在空间四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，M 点是BD 的中点，则下列对应关系正确的是( )A ．1()2MA a b =+B ．1()2MC a b =+C ．1()2MD b a =- D ．1()2MB b a =-3．空间四边形ABCD 中，AB a =，，，BC b AD c == 则CD =( )A ．a b c +-B ．c a b --C ．a b c --D ．b a c -+4.在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，向量AB '、AD ' 、BD是( )A .有相同起点的向量B .等长的向C .共面向量D .不共面向量5、向量,,a b c两两夹角都是60 ，||1,||2,||3a b c === ，则||a b c ++= 。

312空间向量的数乘运算精品PPT课件

312空间向量的数乘运算精品PPT课件

考点突破
空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没有 什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空 间．运算要正确地使用向量加法和减法的平行四 边形法则和三角形法则，以及准确使用运算律．
例1 已知正四棱锥 P-ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中，x，y 的值． (1)O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D. 【思路点拨】 解答本题需准确画图，先利用三
量． 充要条件：若两个向量a，b不共线，则向量p与a， b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y), 使__p_＝_x_a_＋__y_b__.
问题探究
1．如果O→P＝O→A＋tA→B，你能判定 P、A、B 共线吗？
提示：能判定P、A、B共线． 2．空间的两非零向量a，b共面，能否推出a＝ λb(λ∈R)? 提示：不能推出a＝λb.因空间中任意两向量都共 面，a，b共面未必有a∥b，则不一定有a＝λb.
例2 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，F 在对角线 A1C 上，且A→1F ＝23F→C.求证：E，F，B 三点共线．
【思路点拨】 要证 E，F，B 三点共线，只需证E→B＝ mE→F(m∈R)即可．
【证明】 设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c. ∵A→1E＝2E→D1，A→1F＝23F→C， ∴A→1E＝23A→1D1，A→1F＝25A→1C. ∴A→1E＝23A→D＝23b， A→1F＝25(A→C－A→A1)＝25(A→B＋A→D－A→A1)
温故夯基
1．空间向量加法运算满足__结__合__律__和_交__换__律___． 2．以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算， 所谓平面向量的数乘运算就是：实数λ与平面向量a 的乘积λa仍然是一个_向__量___，还学过平面中两向量 共线的充要条件，其具体内容为：在平面内存在 _惟__一__实__数__λ__，使得_a_＝__λ_b_(_b_≠__0_)_成立．

高二数学最新课件-312空间向量的数乘运算 精品

高二数学最新课件-312空间向量的数乘运算 精品

回 顾
a

b
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
C1 D1 A1
B1
回 顾
a+b+c C
c
B

a
D
b
数乘向量的运算法则 数乘空间向量的运算法则
例如:
a
3a
3a
空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即：( a b ) a b （ ） a a a
点P在直线L上 ⇔ ∃t∈ ， 非零向量a叫做直线L的方向向量。 点P在直线L上 ⇔ ∃t∈ ，
O
（） 1 （） 2
（1）、（2）都称为空间直线的向量表示式。 即：空间直线由空间一点及直线的方向向 L 量唯一确定
A



B

P
a
问题；如图；已 知空间四边形 A B C D中， 向量AB = a， AC = b， AD = c，若M为BC的中点， G为ΔBCD的重心，试用a、 b、 c表示下列向 量：（1）DM （2） AG
= 2(AD + AB + AA1 )
∴ x = 2.
D A B C
= 2AC1
A1
问题
在正方体AC1中,点E是面AC’ 的中心, 若 AE = AA ' + xAB +yAD ，求实数x,y.
A E B C D
A B C
D
作业：P 1 、2 106
( )a ( )a
A
P 96 练习 1 （）、（ 1 2 ）、（） 3
D F B E C

课件16：3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算

课件16：3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算

思考 2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？ (2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C， 满足O→P＝13O→A＋31O→B＋13O→C，则点 P 与点 A，B，C 是否 共面？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量． (2)由O→P＝13O→A＋13O→B＋13O→C得O→P－O→A ＝13(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) 即A→P＝13A→B＋13A→C，因此点 P 与点 A，B，C 共面．
＝a＋b
的运算
减 法
C→A＝ O→A－O→C ＝a－b
加法运算 (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
思考 1：(1)空间中，a，b，c 为不共面向量，则 a＋b＋c 的几何意义是什么？ (2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？
2．已知向量 a，b，c 不共面，且 p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c， n＝a＋b－c，试判断 p，m，n 是否共面．
[提示] 设 p＝xm＋yn，即 3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋ y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c．
x＋y＝3， 因为 a，b，c 不共面，所以－x＋y＝2，
∴x＝－21，y＝－12．
(2)∵P→A＝P→D＋D→A＝P→D＋2Q→O ＝P→D＋2(P→O－P→Q)＝P→D＋2P→O－2P→Q， ∴x＝2，y＝－2．
类型3 共线问题
例 3 设 e1，e2 是空间两个不共线的向量，已知A→B＝e1＋ke2， B→C＝5e1＋4e2，D→C＝－e1－2e2，且 A，B，D 三点共线， 实数 k＝________．

空间向量及其加减与数乘运算解读

空间向量及其加减与数乘运算解读

b
a
a
三角形法则
平行四边形法则
加法交换律： a + b = b + a； 加法结合律： (a + b) + c =a + (b + c)；
⑵向量的减法 三角形法则
b a
a
b
a
c
b
c
（3）向量的数乘运算 a，其模长是a 的| | 倍 a 与 a 同向 当 0 时，
a 与 当 0 时，
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A1 D1 B1 C1
D
C B
A
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
⒈定义：空间中既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示；
用字母a、b等或者用有向线段 字母表示法：
的起点与终点字母 AB 表示． 相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
零向量、单位向量、相反向量； 空间任意两个向量都是共面向量.
⒉空间向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
1 AB ( BD BC ) （ 2） 2 1 AF ( AB AC ) （ 3） 2
4．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N分别 1 1 在对角线BD,AE上，且 BM BD, AN AE 3 3 求证：MN//平面CDE E F
N A B M C
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A1
A n1
A2
An
2020/10/9
A3
A4
例1 已知平行六 AB面C体 DA'B'C'D'，化简
列向量表达式， 化并 简标 结出 果的向
⑴AB BC；
D’
⑵ABADAA'；
A’
⑶ABAD1CC' 2
⑷1(ABADAA')． D 3
A
C’ B’
C B
2020/10/9
例1已知平行六 AB面 C体 DA'B'C'D'，化简下 列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量
C
MG
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1)AC ' x(A BBC CC ')
A
(2)AEAA' xAByAD B
E
D
C
2020/10/9
A B
D C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
作ABCD—A’B’C’D’．
D’
C’
平行六面体
A’
B’
的六个面都是平
行四边形，每个
面的边叫做平行 a
六面体的棱．
D
C
2020/10/9
A
B
AD 1AD 1BD 1
D1
A1 D (B1 CB1 D )
A1
AD1 D1C1
C1 B1
AC1
x1.
2020/10/9
D A
C B
例2：已知平行六面体
D1
ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
A1
C1 B1
⑶ AC A1B A1D xA1C D
C
解：(3) ACA1BAD 1 A
A1
A n1
A2
An
2020/10/9
A3
A4
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量： ⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量． ⑵表示方法： ①空间向量的表示方法和平面向量一样； ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
2020/10/9
b a
平行四边形法则
2020/10/9
a 三角形法则
⒊平面向量的加法与数乘运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb
2020/10/9
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
(1)AC ' x(A BBC CC ') A
B
E
D
C
2020/10/9
A B
D C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(2)AEAA' xAByAD A B
E
D
C
2020/10/9
A B
D C
练3
空间四 AB边 中 CAD 形 ， Ba， B＝ C b， A D c，
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC
解 (1) A1B A 1D 1C 1C
D1
AB 1 B1C 1 C 1CA1Fra bibliotekC1 B1
AC
x 1.
D
C
A
B
2020/10/9
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2A1D B1D xA1C
解：(2) 2AD 1BD 1
a
b
c
2020/10/9
a
b
c
对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立． ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加．
2020/10/9
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑴AB BC；
D’
⑵ABADAA'； A’
解：⑴AB BC AC
⑵ABADAA'
AC AA' ACCC'
AC '
D A
C’ B’
C B
2020/10/9
例1已知平行六 AB面 C体 DA'B'C'D'，化简下
列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量 ⑶ABAD1CC'
2
解：⑶设M是线段CC’的中点，则
G
3
2020/10/9
C
小结
类比、数形结合
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
A1
A n1
A2
An
2020/10/9
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A n A 1 0
ABAD1CC' 2
AC CM
AM
D’ A’
C’
B’ M
D
C
2020/10/9
A
B
例1已知平行六 AB面 C体 DA'B'C'D'，化简下
列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量
⑷1(ABADAA')． 3
解：⑷设G是线段AC’靠近点A的
三等分点，则
D’
C’
1(ABADAA') 3 1 AC '
3
AG ．
A
A’
G D
B’ M
C B
2020/10/9
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC
(2) 2AD1 BD1 xAC1
D1
(3) ACAB1 AD1 xAC1A1
C1 B1
2020/10/9
D A
C B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
A1
A n1
A2
An
2020/10/9
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A n A 1 0
G C
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边
的中点,化简：
(1) AB1(BCBD ) (2) AG1(ABAC)
2
2
A
(1)原式 A B ＝ BM M G AG
B
M
2020/10/9
(2)原式
＝ A BBM M G 1(A BA)C
D
2
＝ BM M G1(AB AC )
G
2
BMMGMB
B
(A D A) B (A 1 A A) B (A 1 A A)D
2(AD AB A1A )
2020/10/9
2AC1
x2.
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：
A
(1) AB 1 (BC BD)
2
(2) AG 1 ( AB AC )
D
2
B
M
2020/10/9
2020/10/9
浙江省玉环县楚门中学吕联华
一、平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
A 2020/10/9
C
⒉平面向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
⒉空间向量的加法、减法与数乘向量
C
B
P
a
b
O
b
a
A
a a
O
OBOAABa + b
CAOAOC a - b
OP a (R)
2020/10/9
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb ；
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
2020/10/9
加法交换律 abba 加法结合律
(ab)ca(bc) 数乘分配律 k(ab)ka＋kb
例：空间一个平移就是一个向量． a
a
D
A C
B
2020/10/9
D’
A’ C’
B’
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’