工程力学-第三章-平面力系的合成与平衡

mO (F ) + mO (F′)
经推导，力偶对矩心O点的力矩只与力F和力偶臂d 的乘积 有关，而与矩心位置无关，该乘积称为力偶矩。
m(F, F′) = ± F ⋅ d
m(F, F′) = ± F ⋅ d
力偶的三要素： （1）力偶矩的大小； （2）力偶的转动方向； （3）力偶的作用平面；
§3.2.3 力偶的等效
Rx = ∑ X
证明：
Ry = ∑ Y
3、力系合成的解析法 力系合成的解析法基于以下两点： （a）合力投影定理；（b）合力的投影与合力之间的关系
2 R = Rx2 + R y =
(∑ X ) + (∑ Y )
2
2
tan α =
Ry Rx
=
∑Y ∑X
合力的具体指向由分力的正负号判定。
力系合成解析法的基本步骤： （1）将力系中各力分解到坐标轴方向上； （2）将坐标轴方向上的各力的投影相加，得到合力的投影； （3）由合力的投影求解合力。
算例：
解： 1、选定研究对象：刚架 2、画受力图：平面汇交力系 3、根据力系平衡的几何条件求解 （力多边形封闭） 分析讨论： 几何法的优点：直观 几何法的缺点：不适合于复杂受力情况
§3.1.3 平面汇交力系合成的解析法
解析法以力的分解为基础，因此先介绍力在坐标轴上的投影。 1、力在坐标轴上的投影
算例：
解：
算例：
解：
物体系平衡问题的解法： （1）判断是否是静定问题 （2）恰当地选择研究对象 （3）受力分析（与选择研究对象有关） （4）列平衡方程，求未知量： 只列必要的平衡方程，尽量减少方程数目，避免联立求解
§3-5 桁架
桁架是一种常见的工程结构，许多桥梁、房架都是桁架结构。
桁架的特点： （1）由杆件组成 （2）桁架的两端为铰连接，不计摩擦 （3）桁架所受的力都作用在桁架平面内的节点上 （4）不计各杆的自重，或将杆重平均分配到杆两端的节点上 根据上述假设，桁架每个杆件都是 “二力杆”，各杆内力必然沿杆 轴方向。
n i =1
主矢与主矩的解析求解： （1）各反力向x、y轴投影： X i （2）确定主矢的大小和方向：
2 R = Rx2 + Ry =
Yi
(∑ X ) + (∑ Y )
2
2
tan α =
Ry Rx
=
∑Y ∑X
（3）确定主矩的大小和方向
§3.3.3 平面任意力系的合成讨论
平面力系向一点简化后，可得一个主矢 R′ 和一个主矩 L 0 （1）R′ = 0 ，L0 ≠ 0 ，原力系简化为一个力偶 （2）R′ ≠ 0 ，L 0 = 0 ， 原力系简化为一个通过简化中心的合力 （3） R′ ≠ 0 ，L 0 ≠ 0 ， 原力系简化为通过简化中心的一个合力 和一个力偶。还可以继续简化为通过另一个点的合力。 证明：
工程力学
第三章 平面力系的合成与平衡
授课教师： 丁 勇 （宁波大学） 授课对象： 建工城建专业考生 电子邮件: dingyong@
§3-1 平面汇交力系
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内，且汇交于一点的力系。 （1）平面汇交力系的合成方法 （2）平面汇交力系的平衡方程
§3.1.1 平面汇交力系合成的几何法
平面力偶的等效定理： 同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、 转动方向相同，则两力偶必等效。
解释：力偶对物体的效应是使物体转动，其作用效应的大小 是通过力偶矩表达的，因此只要力偶矩相等，两力偶 必然等效。
示例： 力偶等效定理的推论: （1）力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的作用 （ 2 ）在保持力偶矩不变的条件下，可以任意改变力偶臂的大 小、力的大小而不影响它对物体的作用 注意:（1）平面力偶的等效定理不适用于变形效应的研究
§3-2 平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是基本的平面力系，也是研究 平面一般力系的基础。
§3.2.1 力对点之矩
力矩的概念： 力F对O点的力矩，等于O点到力F 作用线的垂直距离与力F的乘积。
mO (F ) = ± F d
其中d 称为力臂，O点称为力矩中心。
力矩的性质： （1）力矩不仅取决于力F的大小，同时还与矩心的位置有关； （2）力F对任一点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变； （3）力矩具有方向，广义上也是一个矢量；（逆时针为正）； （4）互成平衡的二力对于同一点之矩的代数和等于零。 算例：
∑X =0⎫ ⎪ m 0 = ⎬ ∑ ∑ m = 0⎪ ⎭
A B
前提：A、B两点的连线不与x轴垂直 第三种求解方法：
∑ m (F ) = 0 ⎫ ⎪ ( ) m F 0 = ⎬ ∑ ∑ m (F ) = 0⎪ ⎭
A B C
前提： A、B、C三点不在同一直线上
算例：
解：
§3-4 物体系统的平衡
1、物体系统：
M = ∑ mi = 0
算例：
解：（1）选取研究对象 （2）列平衡方程，求解螺栓所受的力
算例：
解： 1）选取整体为研究对象， 求A、B点的约束反力 2）选取CD杆为研究对象， 求C、D点的约束反力 3）选取ED杆为研究对象， 求E点的约束反力
§3-3 平面任ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力系
平面任意力系由平面汇交力系和平面力偶系组成。 示例：房架
§3.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充分必要条件：合力为零。
R = ∑ Fi = 0
i =1 n
在几何法中，当合力为零时，力多边形封闭
算例：
解：用几何法合成力系，并根据力系 平衡的几何条件求钢丝绳的反力。
1、选定研究对象：钢梁 2、画受力图：平面汇交力系 3、根据力系平衡的几何条件求解 （力多边形封闭） 4、分析讨论：角度的影响
解略
§3.2.2 力偶与力偶矩
力偶： 大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力叫做力偶
(F, F′)
示例：
力偶中两力作用的平面叫力偶作用面，两力作用线间的距离叫 力偶臂d。
力偶的作用： 力偶的合力为0，所以力偶对物体不产生移动效应，而只 能使物体产生转动效应。
力偶大小的度量： 力偶的大小可以用力偶中两个力对矩心的力矩之和来度量。
证明：（1）任一力F （2）任取一点，附加一对平衡力 （3）重新组合，合成为力F与力偶矩Fd
§3.3.2 平面一般力系向一点简化
汇交力系简化方法：（1）几何法 ;（2）解析法 力偶系简化方法： 合成 平面一般力系简化方法： 将平面一般力系分成平面汇交力系和平面力偶系，再将这 两个力系进行合成。
2 0 O
2
⎪ = 0⎫ ⎬ ⎪ ⎭
化简为：
∑X =0 ⎫ ⎪ Y 0 = ⎬ ∑ ⎪ ( ) m F 0 = ∑ ⎭
O
此即为平面一般力系的平衡方程
算例：
解：（1）选研究对象 （2）画受力图
（3）列平衡方程
∑X =0 ⎫ ⎪ ∑Y = 0 ⎬ ∑ m (F ) = 0⎪ ⎭
O
（4）分析讨论 第二种求解方法：
算例：
§3.1.4 平面汇交力系平衡方程及其应用
根据（1）平面汇交力系的平衡条件：合力 （2）合力的解析表达式:
R=
2
R=0
2
(∑ X ) + (∑ Y )
=0
得到 平面汇交力系的平衡方程：
∑ X = 0⎫ ⎬ ∑Y = 0 ⎭
用解析法求解题： 刚架如图所示，在B点受一水平力作用。设P＝20 kN， 刚架的质量略去不计。求A、D处的约束反力。 解：（1）选刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）列平衡方程 （4）求解未知量
桁架内力的计算方法: 1、节点法 算例：
2、截面法 用截面法求上例中第14杆的内力。
解：
工程结构中由许多物体通过一定方式连接而成的系统。 举例：
2、物体系统的外力： 物体系统以外的物体对这个物体系统的作用 物体系统的内力： 物体系统内各物体之间的相互作用。
3、物体系统的静力学平衡问题的解法 （1）选择研究对象：整体？局部？单个部件？ （2）列平衡方程：尽量避免联立方程 下面举例说明物体系平衡问题的解法
根据平行四边形法则（三角形法则），可以用几何法来合 成平面汇交力系。 示例：
几何法的解析表达：
R = F1 + F 2 + " + F n = ∑ Fi
i =1 n
用几何法求合力时的要点： （1）按照力的比例画出各力的大小。 （2）可以任意变换力的次序，合成的结果不变。
（3）力多边形中各力应该首尾相连，合力从第一个力的起 点指向最后一个力的终点。
（2）力偶在作用面内转移时，可能影响对物体构件的作用
§3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
1、平面力偶系的合成 根据力偶的等效定理来合成 ：
结论：平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各已知 力偶矩的代数和
M = m1 + m2 + " + mn = ∑ mi
2、平面力偶系的平衡 平面力偶系的平衡条件是合力偶矩为零 ： （平面汇交力系的平衡条件为合力等于零 ）
X = F cos α ⎫ ⎬ Y = F sin α ⎭
力的投影是代数量，正负由其 与坐标轴方向的关系决定。 如果已知力在坐标轴上的投影，也可以求出力
cos α = F= X X +Y
2 2
X 2 +Y 2 , sin α =
⎫ ⎪ Y ⎬ X 2 +Y 2 ⎪ ⎭
2、合力投影定理 合力在任意轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。
§3.3.4 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
力系简化结果： （1）一个主矢 R′ ；（2）一个主矩 L 0
R′ ≠ 0
L0 ≠ 0