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单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于线性规划问题求解的数学方法，它的基本原理是通过不断地在可行解空间中移动，寻找到最优解的过程。
在实际应用中，单纯形法被广泛地应用于生产调度、资源分配、运输优化等领域，它的高效性和可靠性使得它成为了解决复杂实际问题的重要工具。
单纯形法的基本原理可以简单地概括为以下几个步骤：1. 初始可行解的构造。
在单纯形法中，首先需要构造一个初始的可行解。
这个可行解需要满足线性规划问题的约束条件，并且需要在可行解空间内。
构造初始可行解的方法有多种，常见的方法包括人工构造、单纯形表法等。
2. 迭代移动。
一旦得到了初始可行解，单纯形法就开始了迭代移动的过程。
在每一步迭代中，单纯形法会根据当前的可行解，寻找一个移动方向，并且沿着这个方向进行移动。
移动的目的是寻找到更优的解，直到找到最优解为止。
3. 优化目标的改善。
在每一步迭代中，单纯形法都会尝试改善优化目标的值。
优化目标通常是线性规划问题的目标函数值，单纯形法的目标是找到一个可行解，使得优化目标的值最小或最大。
4. 终止条件的判断。
单纯形法在迭代移动的过程中，需要不断地判断是否满足终止条件。
终止条件通常包括目标函数值不再改善、可行解空间已经被完全搜索等情况。
通过以上几个基本步骤，单纯形法可以在有限的迭代次数内找到线性规划问题的最优解。
它的高效性和可靠性使得它成为了解决实际问题的重要工具。
在实际应用中，单纯形法还可以通过一些改进的方法来提高求解效率，例如对初始可行解的选择、对移动方向的选择、对终止条件的判断等方面进行优化。
这些改进方法可以使得单纯形法更加适用于复杂的实际问题。
总的来说，单纯形法是一种强大的数学方法，它具有较高的求解效率和可靠性，可以被广泛地应用于各种领域的实际问题求解中。
通过深入理解单纯形法的基本原理，我们可以更好地应用它来解决复杂的实际问题，为各种决策问题提供科学的决策支持。
单纯形法原理单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。
单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。
它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。
概述：根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）某1，某2，…某n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。
使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。
这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。
求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。
最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。
单纯形法原理单纯形表单纯形法原理与单纯形表的详实解析在数学领域中，特别是在线性规划问题的研究中，单纯形法是一种十分重要的求解方法。
它是由美国数学家乔治·丹齐格在1947年提出的一种迭代算法，用于解决具有多个变量和约束条件的优化问题。
本文将围绕单纯形法的原理和单纯形表这两个核心概念进行详细的解析。
一、单纯形法原理单纯形法的基本思想是通过一系列可行解逐步逼近目标函数的最大值或最小值。
这些可行解形成一个点集，称为单纯形。
每次迭代过程中，算法都会选择一个新的顶点作为下一个单纯形的顶点，这个新的顶点应该使目标函数有所改进。
重复这一过程，直到达到最优解或者满足停止准则为止。
单纯形法的步骤如下：1. 构造初始单纯形：首先，需要找到一个包含至少两个可行解的多边形，这就是初始单纯形。
2. 判断是否达到最优解：如果当前顶点的目标函数值已经是全局最优解，那么算法结束。
3. 选择换入变量：如果当前顶点不是最优解，那么需要选择一个非基变量来替换基变量。
这个被选中的非基变量应该是能够使目标函数最大化的变量。
4. 计算换出变量：确定了换入变量后，需要计算相应的换出变量。
这可以通过解一个线性方程组来实现。
5. 更新单纯形：用新选出的变量替换旧的变量，得到新的单纯形。
6. 回到第二步，继续判断是否达到最优解。
二、单纯形表单纯形表是单纯形法的重要工具，它记录了单纯形法每一步的详细信息。
每个列代表一个基变量，而每个行则代表一个约束条件。
表中还包括目标函数的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
在单纯形表中，每一行代表一个约束条件，包括它的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
每一列则代表一个基变量，包括它的系数和该变量对应的值。
在每一步迭代过程中，单纯形表都会被更新以反映当前的解状态。
通过观察单纯形表的变化，我们可以清楚地看到迭代过程是如何进行的，以及如何通过调整基变量来改进目标函数的值。
总结来说，单纯形法是一种有效的解决线性规划问题的方法，其核心在于构造并不断更新单纯形表，通过迭代寻找最优解。
simplex 单纯形法单纯形法（Simplex Algorithm）是一种用于线性规划问题求解的有效算法。
它由美国运筹学家Dantzig于1947年提出，被广泛应用于工业生产优化、资源分配、物流管理等领域。
本文将介绍单纯形法的基本原理、步骤与应用，并探讨其优缺点。
一、基本原理单纯形法是通过不断地在可行解空间中移动来逼近最优解的方法。
该方法从一个初始可行解出发，通过一系列迭代操作，每次改变一个基本变量以达到更优的目标函数值。
最终，算法将找到一个全局最优解或者判断问题无界或无可行解。
二、基本步骤1. 线性规划标准形式化：将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数最小化，约束条件为线性等式。
2. 初始可行解：找到一个满足约束条件的初始可行解，并将其称为基本可行解。
3. 进行迭代操作：通过改变基本变量来改善目标函数值，直到达到最优解或者判断问题无界或无可行解。
4. 基本变量的选择：在每一次迭代中，选择一个非基本变量作为入基变量，并选取一个基本变量作为出基变量。
5. 确定迭代终止条件：判断是否终止迭代，若目标函数值无法继续改善或者判断问题无界或无可行解，则终止迭代。
6. 输出最优解：若找到了最优解，输出最优解及最优目标函数值。
若判断问题无界或无可行解，则给出相应的判断结果。
三、应用领域单纯形法广泛应用于工业生产优化、资源分配、物流管理等领域。
以下是一些典型应用案例：1. 生产计划优化：通过使用单纯形法，可以优化生产计划以最大化产出，同时考虑资源约束和成本限制。
这对于提高生产效率和降低成本非常重要。
2. 物流网络优化：单纯形法可以帮助优化物流网络的设计和运作，以最小化物流成本、最大化物流效率，并满足客户需求。
3. 能源系统调度：单纯形法可以应用于能源系统的调度问题，包括电力系统、天然气输送网络等，以最大化供应效率，并解决资源分配和运营问题。
4. 金融投资组合优化：通过单纯形法，可以优化金融投资组合以最大化收益或最小化风险，并满足投资者的需求。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
工程优化设计中单纯形法的基本原理张云龙（大连海洋大学土木工程学院辽宁大连116023)摘要：从实例出发提出线性规划的数学模型，给出图解法的基本原理，进而重点讲述它的标准解法——单纯形法。
在此基础上进一步讨论单纯形法的推广，即大M法和两相法。
关键词：线性规划图解法单纯形法大M法THE BASIC PRINCIPLES OF SIMPLEX METHOD TO THE ENGINEERING OPTIMIZE DESIGNZHANG Yun-long(Dalian Ocean University, College of Civil Engineering, Liaoning, Dalian 16023)Abstract: From the instance of the starting linear programming mathematical model of the basic principles of the graphic method, and then focus on the standard solution - simplex method. To promote further discussion on this basis, the simplex method, that is, the big M method and two-phase method.Key Words: Linear programming；Graphic method；Simplex Method; Big M Method1引言在工程优化设计问题中，当约束集由一组线性函数所确定时，其最优化问题的求解已有比较系统的技巧。
如果连目标函数也是线性的，也即线性规划问题，则是目前对规划问题研究最透彻最完善的一类问题，而且有比较成熟的解法。
线性规划在工程实例中的应用已相当广泛。
虽然大多数设计问题是非线性的，但对线性规划的研究仍然占据突出地位。
其原因是：有一部分实际问题，诸如运输问题，分配问题等，确实可以用线性规划问题来求解。
尤为重要的是，对于几乎所有规划问题的讨论都与线性规划有关，有时用线性逼近法去直接求解非线性问题；有时则利用线性规划，作为求解在最优化过程中所提出的那些子问题的一个工具，例如，可用来求解可行方向法中的方向寻求问题等错误!未找到引用源。
因此，深刻理解线性规划问题及其标准解法——单纯形法，显得尤为关键。
2线性规划问题2.1数学模型线性规划主要解决：如何利用现有的资源，使得预期目标达到最优。
例如，美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。
已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1所示。
问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？表1-1 工时及利润简表解题过程：设公司制造Ⅰ、Ⅱ两种家电分别为1,x 2x 件。
问题：1?x = 2?x =可使得利润Z 最大？ 设备A 的工时限制： 2515x ≤ 设备B 的工时限制： 126224x x +≤ 调试工序的时间限制：125x x +≤ 利润： 122Z x x =+ 即要求：12max 2Z x x =+ 目标函数即为：12max 2Z x x =+约束条件：s.t. 212121251562245,x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩其中，约束条件可记 s. t. (subject to), 意思为“以…为条件”、“假定”、“满足”之意。
从数学的角度来看上述的例子①每一个问题都有一组变量—称为决策变量，一般记为12,,,.n x x x 对决策变量每一组值：(0)(0)(0)12(,,)T n x x x 代表了一种决策方案。
通常要求决策变量取值非负，即0,(1,2,).i x i n ≥=②每个问题中都有决策变量需满足的一组约束条件—线性的等式或不等式。
③都有一个关于决策变量的线性函数—称为目标函数。
要求这个目标函数在满足约束条件下实现最大化或最小化。
将约束条件及目标函数都是决策变量的线性函数的规划问题称为线性规划。
有时也将线性规划问题简记为LP （linear programming)其数学模型为：1122max(min)n n Z c x c x c x =+++11112211211222221122(,)(,)..(,)0,(1,2,,)n n n n m m mn n mj a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x bx j n +++≤=≥⎧⎪+++≤=≥⎪⎪⎨⎪+++≤=≥⎪≥=⎪⎩上述模型的简写形式为：1max(min)nj jj Z c x==∑1(,)(1,2,,).0(1,2,,)nij j i j j a x b i m s t x j n =⎧≤=≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑若令12(,,,);n C c c c =12;n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12;m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11121212221212(,,,)n n n m m mn a a a a a a A P P P a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭则线性规划问题的矩阵形式：max(min)Z CX =(,).0AX bs t X ≤=≥⎧⎨≥⎩2.2 线性规划问题的标准形式LP 问题的数学模型的标准形式为：1122max n n Z c x c x c x =+++1(1,2,,,0).0(1,2,,)nij j i i j j a x b i m b s t x j n =⎧==≥⎪⎨⎪≥=⎩∑且⑴ 若目标函数为 1122min n n Z c x c x c x =+++，则可以引进新的目标函数,Z Z '=-则Z 的最小值即为Z ’的最大值，即：min max Z Z '=。
从而目标函数变换为：1122max n n Z c x c x c x '=----⑵ 当约束条件中含有不等式时， 如：12max 33Z x x =+()()12122101.21420(1,2)ix x s t x x x i +≤→⎧⎪+≤→⎨⎪≥=⎩此时，对⑴ 12210x x +≤，引入变量30,x ≥ 使得⑴式变为：123210x x x ++=，同理对⑵式12214x x +≤引入变量40,x ≥使得⑵式变为：124214x x x ++= 于是原LP 问题化为标准形式：12max 33Z x x =+123124210.2140(1,2,3,4)i x x x s t x x x x i ++=⎧⎪++=⎨⎪≥=⎩引进变量x 3,x 4称为松弛变量。
⑶ 若约束条件中线性方程式的常数项为负数，则将该线性方程式两端乘以-1，使得常数项为正数。
⑷ 若变量l x 无约束，则引进两个非负变量0,l x '≥0l x ''≥将l x 表示为：l l l x x x '''=- 所有的线性规划问题，总可以通过这四步将其化为标准形式，这样便于利用图解法或单纯形法进一步求解。
3 线性规划的图解法线性规划的图解法是解决两个变量LP 问题的一种简单实用的方法。
图解法步骤：⑴ 根据约束条件画出可行域。
⑵ 根据目标函数Z 的表达式画出目标直线Z=0，并表明目标函数增加的方向，即目标函数原点处的梯度方向，可通过求偏导数得到。
⑶ 在可行域中，找符合要求的距离目标直线Z=0的最远或最近点，并求出该点坐标。
例如，解LP 问题：12max 3Z x x =+12128.601,2i x x s t x x i +≤⎧⎪≤⎨⎪≥=⎩解：123Z x x =+在原点的梯度：13,xZ '=21x Z '= 所以，(3,1)Z ∇=。
随着直线213x x =-沿梯度方向去扫可行域，目标函数123Z x x =+中的Z 在增加。
如：经过点(1,1)时， 4.Z =由此可见，当目标函数沿梯度的方向去扫可行域时，在顶点(6,1)处取得最大值。
目标函数的最优值为：max 36119.Z =⨯+=图1 线性规划图解法实际上，如果利用图解法解决很多的类似的题目后，我们可以得到以下事实： ①若线性规划问题的可行域存在，则可行域一定是凸集。
②若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一（如果有无穷多最优解的话）一定是可行域凸集的某个顶点。
4 单纯形法4.1 单纯形法中的一些基本概念在一个非齐次线性方程组中，例如：非其次方程组2312412551562245x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，其增广矩阵为 称3,x 4,x 5x 为基变量（括号中的数字所对应的变量）。
基变量个数=()()3r A r A ==。
此方程组的解为3241251215524625x x x x x x xx =-⎧⎪=--⎨⎪=--⎩。
其中1,x 2x 为任意实数。
称它们为非基变量，或自由变量。
称非基变量1,x 2x 为0的解(0,0,15,24,5) 叫基解。
如果一个解的每个分量都是非负数，就叫做可行解。
如果基解是可行的，就叫基可行解，如0(0,0,15,24,5)TX =即为基可行解。
基可行解所对应的基称为2x ()()()0510********2411015A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1x 2x 3x 4x 5x b可行基，如345{,,}x x x 即为可行基。
基可行解很重要，可以证明以下定理：定理1：若线性规划问题存在最优解，则问题的可行域是凸集。
定理2：线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点。
定理3：若线性规划问题最优解存在，则最优解一定在可行域顶点处取得[2]。
由此可看出，最优解要在基可行解（可行域顶点）中找。
通过以上分析，我们也可以得到以下几个结论：（1）线性规划问题的可行域是一个凸集，可行域可能有界，也可能无界，但其顶点数是有限个。
（2）线性规划问题每个基本可行解对应于可行域的一个顶点。
（3）若线性规划问题有最优解，则必可在其可行域的某个（或多个）顶点上达到最优值。
4.2 单纯形法基本原理首先说明什么是基变换。
例如，对于LP 问题：12345max 2000Z x x x x x =++++23124125515622451,,5i x x xx x x x x x i +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪≥=⎩当前可行基345{,,}x x x 所对应的基可行解0(0,0,15,24,5)TX =。
这个解显然不是最优。
因为，当10,x =20x =时是没有现实意义的。
