甘肃省武威第十八中学2020届高三上学期第一次诊断考试数学试题 含答案

甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，（其中为虚数单位，是的共轭复数），则（）A. 2B.C.D. -22.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.3.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则A. B. C. D.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则中点到抛物线准线的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 55.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 408.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（）种兵布阵的方式.A. B. C. D.9.已知函数，若，则A. B. C. D.10.若函数的图像关于点对称，且当时，，则（）A. B. C. D.11.在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线与双曲线C 交于A,B两点，若△FAB的面积为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.12.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则__________．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.中，角的对边分别为若，，，则__________．14.抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为__________．15.已知四点在球的表面上，且，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为__________．16.已知则的大小关系是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）令，求数列的前项和.18.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为]（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与均为等边三角形，点为的中点.（1）证明：平面平面；（2）试问在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知，设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线分别交轴于点，证明：.（为坐标原点）21.已知函数．（1）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；（2）判断函数在区间上零点的个数；（3）在（1）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

2020届甘肃省第一次高考诊断考试（数学文）数学文科考生注意：本试卷分第1卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，总分值为150分，考试时刻120分钟，所有试题均在答题卡上作答．其中，选择题用28铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，参考公式：假如事件A、B互斥，那么假如事件A、B相互独立，那么，假如事件.A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生A次的概率为．球的表面积公式：，其中R表示球的半径，球的体积公式：，其中R表示球的半径，第1卷〔选择题，共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合．那么=(A) (B) (C) (D)2．函数的反函数为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．在△ABC中，假设，那么△ABC的形状为(A)直角三角形(B)等边三角形(c)等腰三角形(D)等腰直角三角形4．以下四个数中，最大的一个是(A) (B) (C) (D)5．某篮球运动员在三分线投篮的命准率为，他投篮5次，恰好投准3次的概率为(A) (B) ( C) (D)6 .在等差数列中，假设.那么的前IO项和(A)70 (B)80 (C)90 (D)IOO7．将函数的图像按向量平移，那么平移后的函数图像的解析式为(A) (B)( C) (D)8．正三棱锥S -ABC的各棱长均相等，D为SC的中点，那么SA与BD所成角的余弦值为(A) (B) (c) (D)9．从4名男生和3名女生中选出3人，分不参加三项不同的工作，假设这三人中至少有1名女生，那么选派方案共有(A)270种(B)216种(C)186种(D)108种lO．过半径为2的球O表面上一点A，作球O的截面，假设OA与该截面所成的角为30°，那么该截面的面积为(A)4π(B)3π(C)2π(D)π11．设a=(3．4)，a在b上的投影为，b在j=(o，1)上的投影为1，且，那么b=(A)(O,1) (B)(1,2) (C)(1,1) (D)(2,1)12．函数在区间上的最小值为一2，那么的最小值为(A)5 (B)4 (C)3 (D)2第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．的展开式中x项的系数为________________.14．双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比为2，那么m=_________15．从编号为1，2，3……10的10个大小相同的球中任取4个，那么所取4个球的最大号码为6的概率为_____________.16．以下命题中：①假设a.b.m差不多上正数，那么，那么b>a；②a、b差不多上实数，假设，那么ab <O;③假设a、b、c为△ABC的三条边，那么a2 +b2 +C2 >2〔ab+ bc+ ca〕④假设a>b>c,那么．其中，正确的命题为____ 〔将正确的序号填在横线上〕．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤．17．本小题总分值10分设函数．(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)假设锐角△ABC中，角A满足，求的值．18．本小题总分值12分如图(1)，AABC是等腰直角三角形，AC =BC =4，E、F分不为AC、AB的中点，将AABC沿EF折起，使A’在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图(2)．(1)求证：EF⊥A'C；(2)求二面角A’-BC -E的大小；(3)求三棱锥F-A'BC的体积，图(1) 图(2)19．〔本小题总分值12分〕加工某种零件需要通过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分不为、且各道工序互不阻碍．(1)求该种零件的合格率；(2)从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率．20．本小题总分值12分在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，求数列的前30项的和．21．本小题总分值12分抛物线的焦点为F，M为其准线上一点，直线MF与抛物线交与A、B两点，(1)求证;(2)当时，求直线AB的方程．22本小题总分值12分设函数以．(1)讨论函数的单调性；(2)设函数在区间内是减函数，求a的取值范畴．。

2020届武威十八中高三上学期第一次诊断考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)·(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}2．设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+C.y=sinxD.y=cosx4．已知命题p ：∀x >2，x 3－8>0，那么¬p 是( )A ．∀x ≤2，x 3－8≤0B ．∃x >2，x 3－8≤0C ．∀x >2，x 3－8≤0D ．∃x ≤2，x 3－8≤05．函数f （x ）=的定义域为（ ） A.(-1,+∞）B.(-1,1）∪（1,+∞）C.[-1,+∞）D.[-1,1）∪（1，+∞）6．若函数f （x ）=ax 2+（2a 2﹣a ）x+1为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．1 B． C ．0 D ．0或7.已知复数z ＝1＋2i2－i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.－1B.0C.1D.i8．设函数()1x 22,x 1,f x 1log x,x 1,-⎧≤=⎨->⎩则满足f(x)≤2的x 的取值范围是（ ） A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞)D ．[0,+∞)9．设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<10.曲线x x x y 223-+=在1-=x 处的切线斜率是( )A.1B. －1C. 2D. 311.定义域为R 的奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且(2)2018f =，则(2018)(2016)f f +=（ ）A. 2018B. 2020C. 4034D. 212.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)二、填空题（每空5分，共20分）13．=-+-1)21(2lg 225lg 。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|y =lgx}，则A ∪B =( )A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4)，若a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k 为( ) A. −12 B. 12C. 43D. 344. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3p ，则k =( )A. √2B. −√2C. ±√2D. ±25. 函数f(x)=x4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)7. 具有线性相关关系的两变量x ，y 满足的一组数据如表，若y 与x 的回归直线方程为y ̂=3x −32，则m 的值为( )x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=log 2(1−x).若f(a2−1)<1，则实数a的取值范围是()A. (−√2,0)∪(0,√2)B. (−√2,√2)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,1)10.将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的一个对称中心可以是()A. (0,0)B. (π6,0) C. (π3,0) D. (π2,0)11.在(1+x)6(1−2x)展开式中，含x5的项的系数是A. 36B. 24C. −36D. −2412.已知函数f(x)=a(2a−1)e2x−(3a−1)(x+2)e x+(x+2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )A. (12,e) B. (12,e+12)C. (12,1)∪(1,e) D. (12,1)∪(1,e+12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则共有___________种安排方法(用数字作答)．15.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC=2acosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是________．16.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a n}：a n=2 [n2]，n∈N∗其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[−1.3]=−2(1)求证：{a n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；(2)求{a n}的前2014项和S2014．18.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．(1)求直线EC与AF所成角的余弦值．(2)求二面角E−AF−B的余弦值．19.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标21.函数f(x)=−lnx+12ax2+(a−1)x−2(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求证：f(x)≥−32a．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， B ={x|y =lgx}={x|x >0}， 则A ∪B ={x|x ≥0}=[0,+∞)． 故选：C ．化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题． 由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k 的值． 解：∵平面向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ·b⃗ =k +12=0， 解得k =−12， 故选A ．4.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得x 1+x 2=k 2p+2p k 2，根据|AB|=x 1+x 2+p ，即可求得结果． 解：设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，联立方程{y =k (x −p2)y 2=2px ，消y 得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0，Δ>0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=k 2p+2p k 2，因为|AB|=x 1+x 2+p ， 所以k 2p+2p k 2+p =3p ，解得k 2=2⇒k =±√2．故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键．属于基础题． 判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可． 解：由4x 2−1≠0，得x 2≠14，得x ≠±12，所以函数f(x)的定义域为{x |x ≠±12}，关于原点对称，函数f(−x)=−x4(−x)2−1=−x4x 2−1=−f(x)，则函数为奇函数，可排除C ，D ， 当x =1时，f(1)=14−1=13>0，排除B ． 故选：A ．6.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 先求出切线的斜率，再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，可得ba >√3，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围． 解：由题意，圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32， ∴k =±√3，∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，∴ba >√3， ∴1+b 2a 2>4， 即c 2a 2>4，∴e >2， 故选：D ．7.答案：C解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．由表中数据计算x −、y −，把样本中心点代入线性回归方程中，求得m 的值．解：由表中数据，计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5， y −=14×(−1+1+m +7)=m+74，把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中，得m+74=3×1.5−32，解得m =5． 故选C ．8.答案：B解析：解：∵m ，n 是两条不同的直线，m ⊥平面α， ∴“m ⊥n ”推不出“n//α”， “n//α”⇒“m ⊥n ”，∴“m⊥n”是“n//α”的必要不充分条件．故选：B．“m⊥n”推不出“n//α”，“n//α”⇒“m⊥n”．本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数，结合偶函数f(x)满足f(−1)=1，可得答案．解：当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数．令f(x)=1，即log2(1−x)=1，解得x=−1．又函数f(x)是定义在上的偶函数，若f(a2−1)<1，则a2−1∈(−1,1)，解得a∈(−√2,0)∪(0,√2).故选A．10.答案：D解析：解：将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=sin(x+π3)的图象；再向左平移π6个单位，可得y=sin(x+π6+π3)=cosx的图象，故它的一个对称中心可以是(π2,0)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数．解：∵(1+x)6展开式中，x 4系数为C 64，x 5系数为C 65，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数为1×C 65+(−2)×C 64故展开式中含x 5的系数为6−30=−24， 故选D ．12.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题． 由题意可得a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，求导，利用导数可得g(x)max =g(−1)=e ，可得，解不等式即可． 解：由得即a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，g′(x)=−(x+1)e x，所以g(x)在(−∞, −1)上单调递增，在(−1, +∞)上单调递减，g(−2)=0， 所以g(x)max =g(−1)=e ，当x >−2, g(x)>0.x →−∞, g(x)→−∞，x →+∞, g(x)→0+， 要使方程有4个不同的零点，则{0<a <e,0<2a −1<e, 2a −1≠a ⇒12<a <1+e2, a ≠1, 即实数a 的取值范围为(12,1)∪(1,e+12)．故选D ．13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ， 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．14.答案：408解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题目． 对数学是否排在上午第一节进行分类即可．解：上午第一节排数学，有A 55=5×4×3×2×1=120种排法， 上午第一节不排数学，也不排体育，数学又必须在上午，所以有A 41×A 31×A 44=4×3×4×3×2×1=288．所以共有120+288=408种方法． 故答案为408种．15.答案：4√33解析：本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于综合题，先由正弦定理和ccosB +bcosC =2acosA ，求得，再由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，b 2+c 2=2+a 22消去a 得(b +c)2=4+bc ，再利用基本不等式可得．解：∵ccosB +bcosC =2acosA ，，，解得，在ΔABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，①在ΔAMC 中，， 在ΔAMB 中，，∴b 2+c 2=2+a 22，②由①②消去a 得(b +c)2=4+bc ， ∴(b +c)2=4+bc ≤4+(b+c)24，当且仅当b =c 取“=”，∴b +c ≤4√33，即b +c 的最大值是4√33． 故答案为4√33． 16.答案：√612a解析：本题考查了类比推理，平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ，正四面体的高为h ， 所以13×ℎ×S =4×13×r ×S ，．故答案为√612a ．17.答案：解：(1)若n 为偶数，不妨设n =2k ，k ∈Z ，则[n2]=[k]=k =n2，此时a n =2 [n2]=2n2． 此时a n+2a n =2n+222n 2=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 2=2的等比数列．若n 为奇数，不妨设n =2k −1，则[n 2]=[2k−12]=k −1=n+12−1=n−12，则a n =2[n2]=2n−12．此时a n+2a n=2n+2−122n−12=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列．即{a n }为“亚等比数列，且a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z．(2)∵a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z，奇数项是公比为2，首项a 1=1的等比数列，偶数项是公比为2，首项a 2=2的等比数列， ∴{a n }的前2014项和S 2014=S 奇+S 偶=1×(1−21007)1−2+2×(1−21007)1−2=3⋅21007−3．解析：(1)根据条件求数列的通项公式，利用{a n }为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，(2)利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a n }的前2014项和S 2014．本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．18.答案：解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，F(0,1，0)，C(0,2，0)，E(2,1，2)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)． ∴cos <AF,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=22222=−√53， 故直线EC 与AF 所成角的余弦值为√53．(2)平面ABCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设平面AEF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，∴{−2x +y =0y +2z =0, 令x =1，则y =2，z =−1⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+1=−√66． 由图知二面角E −AF −B 为锐二面角，所以其余弦值为√66．解析：本题考查利用空间向量求异面直线夹角及二面角的余弦值，属于中档题．(1)通过建立空间直角坐标系，得到AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF 所成角的余弦值；(2)利用线面垂直的性质及空间向量求出平面ABCD 与平面AEF 的一个法向量，利用法向量的数量积公式即可得到二面角的余弦值．19.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5， P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545，P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．20.答案：解：(1)由题意得：b =4,c a =35，又因为a 2=b 2+c 2，解得a =5，椭圆C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线被椭圆C 所截线段的端点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22)，y =45(x −3)与x 225+y 216=1联立消元得：x 2−3x −8=0，△=41>0，x 1+x 2=3，x 1x 2=−8，x 1+x 22=32,y 1+y 22=45(32−3)=−65，所以，直线被椭圆C 所截线段中点坐标为(32,−65)； |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+1625)(x 1−x 2)2=√415√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，|AB|=√415√9+32=415，直线被椭圆C 所截线段长为415．解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．(2)求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)f′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x(x >0).①当a ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a >0时，由f ′(x)>0解得x >1a ，由f ′(x)<0解得0<x <1a ．即f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增；综上，a ≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间； a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 , 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞)． (2)由(1)知f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增， 则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1．要证f(x)≥−32a ，即证lna −12a −1≥−32a ，即lna +1a −1≥0， 构造函数μ(a)=lna +1a −1，则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，由μ′(a)>0解得a >1，由μ′(a)<0解得0<a <1， 即μ(a)在(0,1)上单调递减；μ(a)在(1,+∞)上单调递增； ∴μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0， 即lna +1a −1≥0成立． 从而f(x)≥−32a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值，问题转化为lna +1a −1≥0，构造函数μ(a)=lna +1a −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由(1)可知t1+t2=2cosα，t1t2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t1+t2|=2|cosα|=1，∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，则A. B. C. D.2.若复数是虚数单位，则A. B. C. D.3.某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为A. 20B. 16C. 14D. 124.已知平面向量满足，且，则A. 3B.C.D. 55.已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为A. B. C. D.6.已知，则A. B. C. D.7.为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为A. B. C. D.8.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.9.已知抛物线经过点，焦点为则直线MF的斜率为A. B. C. D.10.侧棱长与底面边长都相等的四棱锥中，若E为侧棱PB的中点，则异面直线PD与AE所成角的正弦值为A. B. C. D.11.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则的周长是A. B. C. D.12.若函数为奇函数其中a为常数，则不等式的整数解的个数是A. 1011B. 1010C. 2020D. 2021二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在处的切线方程为______．14.实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．15.设m，n是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：若，，，则；若，，，则；若，，，则；若，，，，则．其中正确的是______填序号．16.设函数时，若时，存在零点和极值点，则整数a的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列满足，是与的等差中项．证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；求数列的前n项和．18.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各50人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如表所示：感兴趣无所谓合计男性262450女性302050合计5644100根据以上数据能否有的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？参考公式：，其中k在感兴趣的会员中随机抽取10人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数满分10分，如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”分数不低于分、“满意”分数不低于平均分且低于分、“基本满意”分数低于平均分三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．19.如图，正方体的棱长为2，E为棱的中点．画出过点E且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线不必说明画法及理由；求点B到该平面的距离．20.椭圆C：的右焦点，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．求椭圆C的方程；过点的直线与椭圆C交于M，N两点．O为坐标原点，若，求的面积．21.函数，且．若，判断函数的单调性；当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方．22.在平面直角坐标系xOy，曲线的参数方程为：为参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；若直线l：与曲线交于O，A两点，与曲线交于O，B两点，求取得最大值时直线l的直角坐标方程．23.已知函数，不等式的解集为．求实数m，n的值；若，，，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，则故选：D．找出A与B的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．【解答】解：复数，则，故选：A．3.答案：B解析：解：高二年级学生占的比例为，故应抽取的高二年级学生人数为人，故选：B．由题意利用分层抽样的定义和方法，用样本容量乘以高二年级学生所占的比例，即可得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.答案：B解析：解：平面向量满足，且，，求得，，则，故选：B．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求出t的值，再根据求向量的模的方法，求出本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题．5.答案：B解析：解：双曲线的一个焦点为，可得，解得，所以渐近线方程为：．故选：B．利用双曲线方程求出焦点坐标，列出方程求出m，然后求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．6.答案：A解析：解：，．故选：A．利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，基本事件总数，其中中秋节被选中包含的基本事件个数，其中中秋节被选中的概率为．故选：C．求出基本事件总数，其中中秋节被选中包含的基本事件个数，由此能求出其中中秋节被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：A解析：解：，，，，，，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．9.答案：A解析：解：由题意可得所以，所以抛物线的方程为：，所以焦点，所以，故选：A．由点M在抛物线上，代入抛物线的方程可得p的值，进而求出焦点F的坐标，由两个点的坐标求出直线MF的斜率．本题考查抛物线方程的求法及抛物线的性质和有两点求斜率的方法，属于基础题．10.答案：A解析：解：如图，连接AC，BD，设，则O为BD的中点，连接OE，则，或其补角为异面直线PD与AE所成角．设侧棱长与底面边长为2a，可得，，，得，即，则．即异面直线PD与AE所成角的正弦值为．故选：A．由题意画出图形，连接AC，BD，设，连接OE，则，可得或其补角为异面直线PD与AE所成角．设侧棱长与底面边长为2a，求解三角形得答案．本题考查异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．11.答案：D解析：解：，，，，，，由余弦定理可得，即，，，的周长是为，故选：D．利用三角恒等变换可求B的值，由正弦定理可求的值，利用余弦定理即可求得a的值，根据三角形周长公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.答案：B解析：解：由奇函数的定义域关于原点对称，可得，经验证，此时的定义域为：，且，满足题意，所以，所以，，，，即，，解得：，整数解的个数则不等式的整数解的个数为1010，故选：B．利用奇函数的定义域关于原点对称可得，所以，所以原不等式等价于，解得，所以，从而得到不等式的整数解的个数．本题主要考查了函数的奇偶性，对数函数导的单调性，是中档题．13.答案：解析：解：由已知得：，所以，，故切线为：，即．故答案为：．先求出函数的导数，然后分别求出和的值，利用点斜式求出切线方程．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，注意利用切点满足的条件列方程组解决问题．属于基础题．14.答案：10解析：解：实数x，y满足约束条件，画出可行域，如图：由可得，则直线在y轴上的截距越小，z越大然后平移直线L：，当直线过点A时z最大由可得时，z最大值为10故答案为：10．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.答案：解析：解：由m，n是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面．知：在中，若，，，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，若，，，则由面面垂直的性质定理得，故正确；在中，若，，，则或，故错误；在中，若，，，，则线面垂直的判定定理得，故正确．故选：．在中，m与n相交、平行或异面；在中，由面面垂直的性质定理得；在中，或；在中，线面垂直的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.答案：2021解析：解：，所以，根据正弦型函数的性质，时，存在零点和极值点，所以，整理得，所以，即，故整数a的最小值为2021．故答案为：2021．直接利用整体思想的应用，利用函数的零点和单调性的应用建立不等式组，进一步求出a的最小值．本题考查了三角函数图象与性质、函数的零点与极值点，考查了计算能力，属于基础题．17.答案：解：证明：是与的等差中项，可得，即，可化为，又，故数列是首项和公比均为2的等比数列，即有，所以数列的通项公式为；由可得，则．解析：运用等差数列的中项性质和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；求得，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查定义法和数列的分组求和法，化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：、由列表可得：，所以没有的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，故答案为：没有的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，由茎叶图知，这10个数据的平均数为：，依题意这10人中满意的有4人，记为a，b，c，很满意的有2人，记为1，2．从这6人中任取2人共含，，，，，，，，，，，，，，个基本事件，记A为从满意和很满意的会员中随机抽取两人至少有一人很满意，则A中包含，，，，，，，，个基本事件，所以，故答案为：这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率为，解析：根据题目所给的列联表即可计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．利用列举法和古典概型可得两人中至少有一人是“很满意”会员的概率，本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：解：截面图如图所示：其中F，G，H，I，J分别为，，AD，AB，，的中点．设点B的到平面的距离为h，则由可知：，所以．解析：由平面的基本性质，画出截面图形即可．利用等体积法，转化求解点B到该平面的距离．本题考查平面的基本性质的应用，空间几何体的体积的求法，等体积法的应用，是基本知识的考查．20.答案：解：由题可得，点在椭圆上，带入可得，又，解得，，所以椭圆的方程为；设，，由，可得，由题知MN的斜率存在，所以不妨设直线MN的方程为，带入椭圆方程整理可得，则，，将代入上式可得，解得，则的面积．解析：将点带入方程可得a，b关系，结合即可求出a，b，进而得到方程；设，，由条件得到，联立直线MN与椭圆，利用跟鱼系数关系，结合条件可求得k，进而可求出面积本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：确定椭圆的标准方程，关键是确定，的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“”运用．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21.答案：解：当时，，．，当或时，；当时，，所以的减区间为，增区间为，．令，．，由得，由得，所以在上递增，在上递减．故，又因为，所以恒成立，即当时，的图象恒在函数的图象的下方．解析：直接对函数求导，然后判断导数在定义域内的符号；只需要证明恒成立即可，然后求的单调性、极值以及最大值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性、最值以及不等式恒成立问题，同时考查学生运用方程思想、转化思想的解题意识以及运算能力和逻辑推理能力．属于中档题．22.答案：解：曲线的参数方程为：为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．直线l：转换为极坐标方程为与曲线交于O，A两点，所以，得到，曲线交于O，B两点，所以，则，所以，当时，取得最大值．此时l的极坐标方程为，即直角坐标方程为．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：即为，等价为或或，解得或或，所以原不等式的解集为，由题意可得，；证明：由可得，由，，可得，当且仅当时等号成立，故，即．解析：由题意可得，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，即可得到原不等式的解集，进而得到m，n的值；由可得，运用乘1法和基本不等式，证得，本题考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．。

高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.已知全集U=R，集合A={x|-3≤x≤1}，B={x|x＜-2，或x＞2}，那么集合A∩（∁U B）=（）A. {x|-3≤x＜-2}B. {x|-3≤x＜2}C. {x|-2≤x≤1}D. {x|x≤1，或x≥2}3.已知平面向量，的夹角为，=（0，-1），||=2，则|2+|=（）A. 4B. 2C. 2D. 24.抛物线y2=8x的焦点到双曲线-x2=1的渐近线的距离是（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A. f（x）=e|x|•cos xB. f（x）=ln|x|•cos xC. f（x）=e|x|+cos xD. f（x）=ln|x|+cos x6.若函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]为增函数，则实数a的取值范围是（）A. [1，+∞）B. （-∞，-]C. [-，1]D. （-∞，-]∪[1，+∞）7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.B.C.D.8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B. C. D. C C C9.在△ABC中，A=120°，BC=14，AB=10，则△ABC的面积为（）A. 15B. 15C. 40D. 4010.四棱锥P-ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P-ABCD的体积最大值为（）A. B. C. D.11.直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A. 2B.C.D. 412.已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，则不等式f（x）＜e x-2的解集为（）A. （-∞，e）B. （1，+∞）C. （1，e）D. （e，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．14.已知α，β均为锐角，cosα=，tan（α-β）=-，则cosβ=______．15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AB=2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面积等于______．16.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且在区间[0，2]上是增函数，①函数f（x）的一个周期为4；②直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；③函数f（x）在[-6，-5）上单调递增，在[-5，-4）上单调递减；④函数f（x）在[0，100]内有25个零点；其中正确的命题序号是______（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a3-a2=3，a2+a4=14．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是等比数列{b n}的前n项和，若b2=a2，b4=a6，求S7．18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中a的值；120A B两个试验区，部分数据如下列联表：将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．19.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ADC=120°，PD=AD=AB=2，CD=4，点M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A-BM-C的余弦值．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l经过N（0，），且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．21.已知函数f（x）=x2-x lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（3，2）作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|•|PN|．23.已知函数f（x）=|x-2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x-m）-f（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∁U B={x|-2≤x≤2}；∴A∩（∁U B）={x|-2≤x≤1}．故选：C．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.【答案】B【解析】解：由题意，∵=（0，-1），=1．∴|2+|2=（）2=42+2+4=4•1+4+4=8+4•cos=8+4•1•2•（-）=4．∴|2+|=2．故选：B．本题可将模进行平方一下，然后根据向量性质计算，最后得出模平方的值，最终算出结果．本题主要根据向量性质进行计算，属基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和焦点的求法，属于基础题．求得抛物线的焦点和双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得所求距离．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线-x2=1的一条渐近线方程设为y=2x，可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离为=．故选：C．5.【答案】D【解析】解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）=e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞0，故可排除C．故选：D．采用排除法排除A，B，C．本题考查了函数图象与图象的变换，属中档题．6.【答案】A【解析】解：①当a=0时，函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]上先增后减，结论不成立．②当a≠0时，f（x）=a sin x+cos xf′（x）=a cos x-sin x，若f（x）在[-，]上为单调增函数，则a cos x-sin x≥0在[-，]上恒成立，故a≥tan x在[-，]上恒成立，而y=tan x在[-，]上的最大值是1，∴a≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可．本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=+++…+=1-+-+…+-=1-，∵满足条件k＞10的最小k=11，∴当k=11时，程序运行终止，此时S=1-=．故选：C．算法的功能是求S=+++…，判断当k=11时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．8.【答案】A【解析】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A．根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用余弦定理可求AC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵A=120°，BC=14，AB=10，∴由余弦定理可得：142=102+AC2-2×10×AC×cos A，可得：AC2+10AC-96=0，∴解得：AC=6或-16（舍去），∴S△ABC=AB•AC•sin A==15．故选：B．10.【答案】D【解析】【分析】由题意，可得当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大，画出图形，求出四棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．本题考查球内接多面体体积最值的求法，明确当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大是关键，是中档题．【解答】解：四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD为正方形，球的半径为3，下底面的边长为4，若四棱锥P-ABCD的体积最大，则球心在高上，且四棱锥为正四棱锥．设四棱锥的高为h，则下底面的中心G到B的距离GB=，可得OG2+GB2=OB2，即，可得h=2（舍）或h=4．则该四棱锥的体积的最大值V=．故选D．11.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．【解答】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．准线与x轴交于点G，∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选：C．12.【答案】B【解析】解：设g（x）=，则g′（x）==．∵对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）为R上的减函数．g（1）=．由f（x）＜e x-2，得，即g（x）＜g（1）．∵g（x）为R上的减函数，∴x＞1．∴不等式f（x）＜e x-2的解集为（1，+∞）．故选：B．由已知f（x）-f'（x）＞0，可联想构造函数g（x）=，利用导数得其单调性，把要求解的不等式转化为g（x）＜g（1）得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】8【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=x-y过点A时取得最大值，由，解得A（6，-2），代入计算z=6-（-2）=8，所以z=x-y的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件表示的平面区域，利用图形求出最优解，计算目标函数的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，cosα=，∴sinα=，∴tanα=．∵tan（α-β）===-，解得tanβ=．联立，解得cosβ=（β为锐角）．故答案为：．由已知求得tanα，进一步求得tanβ，结合平方关系即可求得cosβ．本题考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设三棱柱高为h，以A为坐标原点，建立如图坐标系，则A（0，0，0），B（1，，0），C（2，0，0），D（，，0），C1，（2，0，h），∴=（2，0，h），=（-2，，0）=（-，，0），异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，∴与所成角的余弦值的绝对值为，∴==，解得h=2，∴三棱柱的表面积为：S=2×+（2+2+2）×2=．故填：14．设三棱柱的高为h，建立坐标系后，根据异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，求出h，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：∵偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），∴令x=-2得满足f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（2）=f（2）+f（2）得f（2）=0，则f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的周期函数，故①正确，∵f（x）是偶函数，∴图象关于y轴即x=0对称，函数的周期是4，∴x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故②正确，∵在区间[0，2]上是增函数，∴在区间[-2，0]上是减函数，则在区间[-6，-4]上是减函数，故③错误，∵f（2）=0，∴f（-2）=0，即函数在一个周期[0，4）内只有一个零点，则函数f（x）在[0，100]内有25个零点，故④正确，故正确的是①②④，故答案为：①②④．根据函数的奇偶性和条件，得到f（2）=0，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的性质是应用，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3-a2=3，a2+a4=14．∴d=3，2a1+4d=14，解得a1=1，d=3，∴a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1=2=q，b1=-2=q，∴S7==254，或S7==-86．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3-a2=3，a2+a4=14．可得d=3，2a1+4d=14，联立解得a1，d，即可得出．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1，q，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：2（a+a+2a+0.2+0.2）=1，解得a=0.025．（Ⅱ）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有120（0.100×2+0.025×2）=30，∴=≈10.3＜10.828，∴有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），∴P（X=0）==，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，EX=4×=1．【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列方程能求出a．（Ⅱ）根据频率分布直方图得样本中优质产品有30，作出列联表，求出k2≈10.3＜10.828，从而有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．本题考查频率、独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，∵M是棱PC的中点，∴EM∥CD，且EM=CD，∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴EM∥AB，EM=AB，∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE，∵BM⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD．解：（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，0，2），A（，-1，0），B（，1，0），C（0，4，0），M（0，2，1），=（0，2，0），=（-，1，1），=（-，3，0），设=（x，y，z）是平面ABM的一个法向量，由，即，令x=，得=（），设=（x，y，z）是平面CBM的法向量，由，即，令y=1，得=（，1，2），cos＜＞===，∵二面角A-BM-C的平面角为钝角，∴二面角A-BM-C的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，推导出四边形ABME是平行四边形，从而BM∥AE，由此能证明BM∥平面PAD．（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BM-C的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程+y2=1整理可得得（1+4k2）x2+8kx+4=0，△=（8k）2-16（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜-，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴•＜0∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2=（1+k2）+k（-）+2＜0，解得k＜-或k＞故直线l斜率的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线l斜率的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x2-x lnx的导数为f′（x）=2x-（ln x+1），可得切线的斜率为1，切点为（1，1），切线方程为y-1=x-1，即y=x；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，令y=-x lnx+x2，则y′=-ln x-1+x，y″=-+1＞0，可得y′在（1，+∞）上单调递增，则y′＞-ln1-1+1=0，可得y在（1，+∞）上单调递增，则y＞，则k≤．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）由题意可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求切线方程和函数的单调区间，同时考查了不等式恒成立问题解法，有一定的综合性．22.【答案】解：（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）（Ⅱ）过点P（3，2）与直线C1垂直的直线的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x可得t2+8t-16=0设M，N对应的参数为t1，t2，则t1t2=-16，所以|PM||PN|=|t1t2|=16．【解析】（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）；（Ⅱ）代入直线的参数方程到曲线C2中，利用参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9（7分）∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，（9分）∴-13≤m≤5（10分）【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

甘肃省武威第十八中学2020届高三数学上学期第一次诊断考试试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A. {1}B. {12}，C. {0123}，，， D.{10123}-，，，，【答案】C 【解析】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2. 设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】∵:3p x <，:13q x -<<∴q p ⇒，但，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分、必要条件的判断.熟记概念即可，属于常考题型.3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. y =lnx B. 21y x =+C. y =sinxD. y =cosx【答案】D【解析】【详解】选项A ：ln y x =的定义域为（0,+∞），故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错； 选项D ：cos y x =是偶函数， 且cos 02y x x k ππ==⇒=+，k z ∈，故D 项正确.考点：本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.4.已知命题3:280p x x ∀-＞，＞，那么p⌝（ ）A. 3280x x ∀-≤＞，B. 30280x x ∃-≤＞， C. 3280x x ∀≤-≤， D. 30280x x ∃≤-≤，【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可写出答案. 【详解】命题3:280p x x ∀-＞，＞，则p ⌝为30280x x ∃-≤＞，故选B【点睛】本题考全称命题的否定形式，属于简单题. 5.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A. (1,)-+∞B. [1,)-+∞C. (1,1)(1,)-+∞D. [1,1)(1,)-⋃+∞【答案】C 【解析】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以10{10x x +>-≠，解得(1,1)(1,)x ∈-⋃+∞.考点：定义域.6.若函数()f x 22(2)1ax a a x =+-+为偶函数，则实数a 的值为（ ）A. 1B.12C. 0D. 0或12【答案】D 【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，即22(2)1ax a a x --+22(2)1ax a a x =+-+，∴220a a -=，解得0a =或12a =．选D ． 7.已知复数122iz i+=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. －1 B. 0C. 1D. i【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案． 【详解】复数()()()()1221252225i i i iz i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.设函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x 的x 的取值范围是（ ）A. [1,2]-B. [0,2]C. [1,)+∞D. [0,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的形式，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，122x -≤，11x -≤，解得0x ≥所以01x ≤≤当1x >时，221log 2log 1x x -≤⇒≥-， 解得：12x ≥所以：1x >，综上可知不等式的解集是[)0,+∞. 故选：D【点睛】本题考查分段函数，解不等式，重点考查计算能力，属于基础题型. 9.设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（ ） A. a b c ＜＜ B. a c b ＜＜ C. b a c ＜＜ D. b c a ＜＜【答案】C 【解析】由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.10.曲线322y x x x =+-在1x =-处的切线斜率是（） A. 1 B. -1 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义，曲线322y x x x =+-在1x =-处的切线斜率即为'(1)f -，先求32()2f x x x x =+-的导函数，再取1x =-即可得解.【详解】解:由32()2y f x x x x ==+-, 则'2()322f x x x =+-,所以'2(1)3(1)2(1)21f -=⨯-+⨯--=-,即曲线322y x x x =+-在1x =-处的切线斜率是1-，故选B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了运算能力，属基础题.11.定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且(2)2018f =，则(2018)(2016)f f +=A. 4034B. 2020C. 2018D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的周期，再结合已知条件求解.【详解】因为函数的图像关于直线x=2对称，所以(x)f(x 4)f =-+， 所以(4)(44)()()f x f x f x f x +=--+=-=- 所以(8)(44)(4)()f x f x f x f x +=++=-+=， 所以函数的周期是8,所以(2018)(2016)(2)(0)201802018f f f f +=+=+=. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性及函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,2)-∞-B. (,2)-∞-C. (6,)-+∞D.(,6)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】由题意不等式等价于()2max42a x x <--，转化为求函数的最大值.【详解】不等式等价于存在()1,4x ∈，使242a x x <--成立，即()2max42a x x <--设()224226y x x x =--=-- 当()1,4x ∈时，[)6,2y ∈-- 所以2a <- . 故选：A【点睛】本题考查根据不等式存在性问题求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.二、填空题（每空5分，共20分）13.151lg 2lg 222-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=______． 【答案】1- 【解析】 【详解】试题分析：15155lg 2lg 2()lg lg 42lg(4)2lg1021212222-+-=+-=⨯-=-=-=-． 考点：对数的运算．14.已知偶函数()f x 在[)0,+∞ 上单调递减，若()()23f x f ->，则x 的取值范围是____________. 【答案】()1,5- 【解析】偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴不等式()()23f x f ->等价为()()23fx f ->，则23x -<，即323x -<-<，则15x -<<，即不等式的解集为()1,5-，故答案为()1,5-. 【方法点晴】本题主要考查抽象函数的奇偶性、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()f g x f h x ≥ 后再利用单调性和定义域列不等式组.15.函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是_________． 【答案】()4,+∞ 【解析】设2ln ,280y u u x x ==--> ，2x <- 或4x >ln y u = 为增函数，28u x x =--在(4,)+∞为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数()()2ln 28f x x x =-- 的单调递增区间是(4,)+∞.16.给出下列四个命题：①命题“若αβ=，则cos cos αβ=”的逆否命题；②“0x R ∃∈，使得2000x x ->”的否定是：“x R ∀∈，均有20x x -<”； ③命题“24x =”是“2x =-”的充分不必要条件； ④p ：{},,a a b c ∈，q ：{}{},,a a b c ⊆，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________．（填写所有真命题的序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，由原命题与其逆否命题同真同假，因为原命题为真，即①为真命题； 对于②，特称命题的否定为全称命题,原命题在否定时出错,则②为假命题；对于③，先求“24x =”的充要条件，再判断其充要条件与“2x =-”的充要性即可； 对于④，因为p 为真命题，q 为真命题，故p 且q 为真命题.【详解】解：对于①，命题“若αβ=，则cos cos αβ=”为真命题，由原命题与其逆否命题同真同假，即①为真命题；对于②，命题“0x R ∃∈，使得2000x x ->”的否定是：“x R ∀∈，均有20x x -≤”，则②为假命题；对于③，“24x =”的充要条件为“22x x ==-或”，即命题“24x =”是“2x =-”的必要不充分条件，则③为假命题；对于④，因为{},,a a b c ∈，所以p 为真命题，因为{}{},,a a b c ⊆，所以q 为真命题，故p 且q 为真命题，则④为真命题；故答案为①④【点睛】本题考查了四种命题的关系及充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17.已知全集为R ，函数()()lg 1f x x =-的定义域为集合A ，集合(){}|16B x x x =->. （1）求()R AC B ；（2）若{}|12C x m x m =-+<<，()()R C A C B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(){}|21R A C B x x =-≤<（2）12m ≤【解析】 【分析】（1）先求集合B ,再求其补集，再求()R AC B 即可；（2）由{}|21C x x ⊆-≤<，根据空集的定义，即空集是任意集合的子集，则需讨论C =∅，C ≠∅两种情况，再列不等式组求解即可.【详解】【解】（1）由10x ->得，函数()()lg 1f x x =-的定义域{}|1A x x =<.260x x -->，()()320x x -+>，得{}|32B x x x =><-或.{}|23R C B x x =-≤≤，∴(){}|21R AC B x x =-≤<.（2）{}|21C x x ⊆-≤<，①当C =∅时，满足要求，此时12m m -+≥，得1m ≤-；②当C ≠∅时，要{}|21C x x ⊆-≤<，则121221m mm m -+<⎧⎪-+≥-⎨⎪≤⎩，解得112m -<≤；由①②得，12m ≤. 【点睛】本题考查了集合的交、并、补运算及集合间的包含关系，并利用集合间的关系求解参数的范围，重点考查了集合思想及分类讨论的数学思想方法，属中档题. 18.已知p ： 3x a -<（a 为常数）； q()lg 6x -有意义．（1）若1a =，求使“p q ∧”为真命题的实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[)1,4-（2）[]2,3 【解析】试题分析：（1）通过解不等式得到p ：33a x a -<<+，q ：16x -≤<，求两个不等式的交集即可；（2）若p 是q 成立的充分不必要条件，则A B ⊂，列式求解即可. 试题解析：p ：3x a -<等价于：33x a -<-<即33a x a -<<+；q()lg 6x -有意义等价于：1060x x +≥⎧⎨->⎩，即16x -≤<（1）1a =时，p 即为24x -<<若“p q ∧”为真命题，则2416x x -<<⎧⎨-≤<⎩，得：14x -≤<故1a =时，使“p q ∧”为真命题的实数x 的取值范围是[1-，4) （2）记集合{|33}A x a x a =-<<+，{|16}B x x =-≤< 若p 是q 成立的充分不必要条件，则A B ⊂，因此：3136a a -≥-⎧⎨+≤⎩， ∴ 23a ≤≤，故实数a 的取值范围是[]2,3．19.已知函数()()1100f x a x a x=-＞，＞． （1）求证：f （x ）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f （x ）在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域是122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求a 的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）25【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照取值，作差，变形，定号，即可证出；（2）根据（1）可知，函数f （x ）在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()112222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，解出即可．【详解】（1）证明：设x 2＞x 1＞0，则x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，∵()()21212112*********x x f x f x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（0，+∞）上是单调递增的． （2）∵f （x ）在（0，+∞）上是单调递增的，∴f （x ）在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增， ∴()112222f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，，即1122a -=，1122a -=， ∴25a =． 【点睛】本题主要考查函数单调性的证明和应用，属于基础题．20.设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x . (1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式.【答案】(1) f (x )是偶函数(2)()[]()[],1,0,0,12,1,2x x f x x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩【解析】试题分析：（1）因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )，又f （x ）是最小正周期为 2的函数，所以f (x ＋2)＝f (x )，则 f (－x )＝f (x )，所以得f （x ）是偶函数；（2）由-1≤x≤0时，f （x ）=-x ，根据f (x )是偶函数得当0≤x≤1时，f （x ）解析式；由f （x ）是最小正周期为 2的函数，得1≤x≤2时，f （x ）解析式. 试题解析：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x ). 又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x ).又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数.(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故()[]()[],1,0,0,12,1,2x x f x x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩21.已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2；（2）(]1,3.【解析】【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--，则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；（2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a. 因此，实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.22.设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =.（1）求()f π的值；（2）当44x -≤≤时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积.【答案】（1）4π-（2）4【解析】【分析】（1）由()()2f x f x +=-可推出函数()f x 是以4为周期的周期函数，再利用函数的周期性及奇偶性可得()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--， 再利用函数在[]0,1上的解析式即可得解，（2）由函数的周期性、奇偶性及函数在[]0,1上的解析式，作出函数在[]4,4-的图像，再求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积即可.【详解】解：（1）由()()2f x f x +=-得，()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是以4为周期的周期函数，所以()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--()44ππ=--=-.（2）由()f x 是奇函数且()()2f x f x +=-，得()()()1211f x f x f x -+=--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()11f x f x +=-.故知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.又当01x ≤≤时，()f x x =，且()f x 的图象关于原点成中心对称，则()f x 的图象如下图所示.当44x -≤≤时，()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则1442142OAB S S ∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考查了函数性质的应用，重点考察了作图能力，属中档题.。

2020届甘肃省第一次高考诊断考试理科数学试题一、单选题(★) 1 . 已知，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知，则（）A．5B．C．13D．(★) 3 . 已知平面向量，满足，，且，则（）A．3B．C．D．5(★) 4 . 已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．(★) 5 . 函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．(★) 6 . 已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2(★) 7 . 网络是一种先进的高频传输技术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（）A．2020年6月B．2020年7月C．2020年8月D．2020年9月(★) 8 . 设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，，则.其中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④(★) 9 . 定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．(★) 10 . 将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．(★) 11 . 若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（）A．85B．84C．57D．56(★) 12 . 若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 实数，满足约束条件，则的最大值为__________.(★) 14 . 某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.(★) 15 . 在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________.三、双空题(★★★★) 16 . 1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（ Thomas Hales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________ （排球的直径约为）四、解答题(★★) 17 . 数列满足，是与的等差中项.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.(★★) 18 . 如图，正方体的棱长为2，为棱的中点.（1）面出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求与该平面所成角的正弦值.(★★) 19 . 某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时.（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.(★★★★★) 20 . 椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点. 为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.(★★★★★) 21 . 已知函数.（1）讨论函数单调性；（2）当时，求证：.(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：. （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.(★★) 23 . 已知函数，不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）若，，，求证：.。

甘肃省武威第十八中学2021届高三数学上学期第一次诊断考试试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)·(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}2．设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+C.y=sinxD.y=cosx4．已知命题p ：∀x >2，x 3－8>0，那么¬p 是( )A ．∀x ≤2，x 3－8≤0B ．∃x >2，x 3－8≤0C ．∀x >2，x 3－8≤0D ．∃x ≤2，x 3－8≤05．函数f （x ）= 的定义域为（ ）A.(-1,+∞）B.(-1,1）∪（1,+∞）C.[-1,+∞）D.[-1,1）∪（1，+∞）6．若函数f （x ）=ax 2+（2a 2﹣a ）x+1为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．C ．0D ．0或7.已知复数z ＝1＋2i2－i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.－1B.0C.1D.i8．设函数()1x 22,x 1,f x 1log x,x 1,-⎧≤=⎨->⎩则满足f(x)≤2的x 的取值范围是（ ）A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞)D ．[0,+∞)9．设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<10.曲线x x x y 223-+=在1-=x 处的切线斜率是( )A.1B. －1C. 2D. 311.定义域为R 的奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且(2)2018f =，则(2018)(2016)f f +=（ ）A. 2021B. 2020C. 4034D. 212.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)二、填空题（每空5分，共20分）13．=-+-1)21(2lg 225lg 。

一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合{}|A x y ==， {}|1 3 B x x =≤≤，则( ) A. A B = B. A B ⊇ C. A B ⊆ D. A B φ⋂= 2．已知,a R ∈则“01aa ≤-”是“指数函数x y a =在R 上为减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．已知函数()2225y x a x =+-+在区间()4,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ( )A. 2a ≤-B. 2a ≥-C. 6a ≤-D. 6a ≥-4．函数()()ln 15xf x =-的定义域是（ ）A. (),0-∞B. ()0,1C. (),1-∞D. ()0,+∞ 5．若()cos f x x x =，则函数()f x 的导函数()f x '等于（ ） A. 1sin x - B. sin x x - C. sin cos x x x - D. cos sin x x x -6.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 3,2,60a b C ===︒，则边c = ( )2 7．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A. sin2y x =B. cos2y x =C. 2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．在等差数列{}n a 中， 3412a a +=，公差2d =，则9a =（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 179．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3A. 243π+B. 342π+C. 263π+D. 362π+10．若方程220x y x y m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）A. 12m <B. 0m <C. 12m >D. 12m ≤ 11．某算法的程序框图如图所示，若输出的12y =，则输入的x 可能为（ ）A. -1B. 1C. 1或5D. -1或112．已知()f x 是定义R 在上的偶函数，且()()1f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上单调递减，则()f x 在[]1,3上是 ( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数 二、填空题(每小题5分，共20分)13．对于命题2:,10P x R x x ∀∈++>，则P 的否定是__________．14．已知函数2(31)32f x x x +=++，则(4)f =________. 15．已知()2,1a =， (),1b m =-，若a b ，则m =__________．16．直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线33x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为__________．三、简答题题(17题10分，其余各题12分，共70分)17．设集合{|12},A x x =-<<{|2123}B x a x a =-<<+.若A B ⊆，求a 的取值范围； 18．已知:||3P x a -< （a 为常数）；:q()lg 6x -有意义．若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +=+且(0)1f =． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[1,1]x ∈-时，不等式：()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围． 20．已知函数32()391()f x x x x x R =--+∈． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若()210f x a -+≥对[2,4]x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围.21．已知曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=．（1）把1C 的参数方程式化为普通方程，2C 的极坐标方程式化为直角坐标方程； （2）求1C 与2C 交点的极坐标(,)ρθ(0,02)ρθπ≥≤≤．22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标方程为2π⎫⎪⎭. （1）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B ，求PA PB +的值.参考答案一、选择题二、填空题(李生柱，段希爱)13．14．6 15．-2 16．2 三、简答题17．（杨万庆，王丽丽） 解：根据题意：211232a a -≤-⎧⎨+≥⎩解得：102a -≤≤.； 18．（张秀远，祁成宏） 解：根据题意：3136a a -≥-⎧⎨+≤⎩解得：[]2,3. 19．（杨双喜，潘金）(1)解：利用待定系数法可得：2()1f x x x =-+ ; (2)1m <-20．（丁春年，陈玉栋，） （1）()3(3)(1)f x x x '=-+ 单调增区间单调减区间（2）21．（鲁文霞，李靖利）（Ⅰ）；（Ⅱ）与交点的极坐标分别为.22．（王斌莅，安文金）(1) (P ，221515x y +=.(2)6.。