半角的正弦、余弦、正切

半角的正弦余弦正切公式正弦的半角公式是指，对于任意角x，有sin(x/2) = ±√((1 - cos x)/2)。

余弦的半角公式是指，对于任意角x，有cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2)。

正切的半角公式是指，对于任意角x，有tan(x/2) = ±√((1 - cos x)/(1 + cos x))。

这些半角公式在三角学中起到了重要的作用，可以将一个角的正弦、余弦或正切值表示为另一个角的正弦、余弦或正切值的函数。

这些公式可以用来简化计算，减少计算复杂度。

我们来证明正弦的半角公式：根据泰勒级数展开，我们知道sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! + ...。

将x替换为(2y)，则有sin (2y) = (2y) - (2y)^3/3! + (2y)^5/5! - (2y)^7/7! + ...=2y-(8y^3/3!)+(32y^5/5!)-(128y^7/7!)+...再将y替换为(x/2)，我们有sin x = sin (2(x/2))=2(x/2)-(8((x/2)^3)/3!)+(32((x/2)^5)/5!)-(128((x/2)^7)/7!)+...根据幂函数的乘法法则和阶乘的定义，我们可以简化上述等式：sin x = 2(x/2) - (8(x^3/2^3)/3!) + (32(x^5/2^5)/5!) -(128(x^7/2^7)/7!) + ...=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...然后我们考虑sin(x/2)的幂级数展开：sin (x/2) = (x/2) - ((x/2)^3/3!) + ((x/2)^5/5!) -((x/2)^7/7!) + ...我们可以将sin x的幂级数展开与sin (x/2)的幂级数展开进行比较：x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...=(x/2)-((x/2)^3/3!)+((x/2)^5/5!)-((x/2)^7/7!)+...通过对比可以看到，两个展开式的各项对应系数相等。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切半角公式半角公式的推导过程如下表：思考 如何确定公式中的正负号？自主测试1 若cos α＝12，则sin α2等于( )A ．12B ．－12C ．±12D ．±32自主测试2 已知cos θ＝79，且270°＜θ＜360°，则cos θ2的值为( )A ．23 B ．－223 C ．±233 D ．－23自主测试3 若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B ．12 C ．2 D ．－2课堂互动 解读半角公式剖析：(1)半角公式是二倍角公式变形形式的一种具体化的表达方式，其本质是通过“单角”的三角函数值表示“半角”的三角函数值．(2)公式适用的条件：①半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立；②tan α2＝±1－cos α1＋cos α和tan α2＝sin α1＋cos α中要求α≠2k π＋π，k ∈Z ，而tan α2＝1－cos αsin α中则要求α≠k π，k ∈Z . (3)因为tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题．所以在解题时，使用相对较为方便，但需注意该公式成立的条件．知识拓展 半角公式是由倍角公式变形所得，主要体现了半角的正弦、余弦、正切与单角余弦的关系，除此，我们还可以把sin α，cos α，tan α统一用tan α2表示，显示了正弦、余弦、正切之间极强的内在联系．即sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2，tan α＝sin αcos α＝2tanα21－tan2α2.典型考题题型一 利用半角公式求值 例题1 求值：(tan 5°－cot 5°)·cos 70°1＋sin 70°.反思 对于化简求值要遵循三个“统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式，另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧． 题型二 给值求值问题例题2 已知sin α＝－45，π＜α＜3π2，求sin α2，cos α2，tan α2.反思 在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到的角的范围，还要注意选用公式要灵活多样．互动探究 若将本例中“π＜α＜3π2”改为“α为第三象限的角”结果又如何？题型三 恒等式的证明问题 例题3 求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.反思 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证等方法．常用的方法有定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 题型四 三角函数的综合问题例题4 设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A ．反思 为了方便研究三角函数的有关性质，其常见做法是利用三角变换公式将其化为正弦型函数或余弦型函数，在三角形中讨论三角函数要注意角的约束及隐含条件A ＋B ＋C ＝π. 随堂练习1．已知cos α＝－cos 2α2，则cos α2等于( )A ．±33 B ．33 C ．－33 D ．±132．下列各式与tan α相等的是( ) A ．1－cos 2α1＋cos 2α B ．sin α1＋cos αC ．sin α1－cos 2αD ．1－cos 2αsin 2α3．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( )A ．－1＋a2B ．－1－a2C ．－1＋a 2 D ．－1－a24．若sin α＝－45，且α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝________.5．求值：cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3－A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋A ＝__________. 6．已知向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．参考答案思考 答：根据“α2”的范围来确定，如果不能确定角“α2”的范围，“±”应保留．自主测试1 【答案】C 【解析】sin α2＝±1－cos α2＝±12.自主测试2 【答案】B【解析】∵270°＜θ＜360°，∴135°＜θ2＜180°，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋792＝－223. 自主测试3 【答案】A【解析】解法一：由cos α＝－45，且α是第三象限的角，得sin α＝－35，又tan α2＝sin α1＋cos α＝－351－45＝－3，∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－－3＝－12.解法二：∵cos α＝－45，α为第三象限的角，∴sin α＝－35.∴tan α＝34.由tan α＝34＝2tanα21－tan 2α2，得tan α2＝13或tan α2＝－3.又∵π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π2＋k π＜α2＜3π4＋k π(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π＜α2＜3π4＋2n π，此时α2在第二象限，tan α2＜0；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π＜α2＜7π4＋2n π， 此时α2在第四象限，tan α2＜0.∴tan α2＝－3.∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－(－3)＝－12.例题1 解：解法一：原式＝⎝⎛⎭⎫tan 5°－1tan 5°·cos 70°1＋sin 70°＝tan 25°－1tan 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝－2·1－tan 25°2tan 5°·sin 20°1＋cos 20°＝－2cot 10°·tan 10°＝－2.解法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin 5°cos 5°－cos 5°sin 5°·sin 20°1＋cos 20°＝sin 25°－cos 25°sin 5°·cos 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝－cos 10°12sin 10°·2sin 10°cos 10°2cos 210°＝－2.解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos 10°sin 10°－1sin 10°1＋cos 10°·sin 20°1＋cos 20°＝⎝⎛⎭⎫1－cos 10°sin 10°－1＋cos 10°sin 10°·sin 20°1＋cos 20°＝－2cos 10°sin 10°·2sin 10°cos 10°2cos 210°＝－2. 例题2 分析：先由sin α的值求出cos α的值，然后利用半角公式求解． 解：∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4.又∵sin α＝－45，∴cos α＝－35.则sin α2＝1－cos α2＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－1－352＝－55， ∴tan α2＝sinα2cosα2＝255－55＝－2.互动探究 解：sin α2＝±255，cos α2＝±55，tan α2＝－2.例题3 分析：解答本题时，首先可将切化弦，然后利用半角公式、倍角公式化简． 证明：证法一：原式左边＝cos 2α1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝cos 2α2cos αsin α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边，故原式成立．证法二：原式左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． 故原式成立．例题4 分析：(1)先利用两角和的余弦公式和降幂公式统一角，再化为正弦型函数求f (x )的最大值和最小正周期．(2)注意A ＋B ＋C ＝π，并利用两角和的正弦公式求sin(B ＋C )，即为sin A ． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由(1)可得，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝12－32sin C ＝－14， 所以sin C ＝32.因为C 为锐角，所以C ＝π3. 又因为在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.随堂练习 1．【答案】A【解析】由二倍角的余弦公式，得2cos 2α2－1＝－cos 2α2，即3cos 2α2＝1，所以cos α2＝±33.2．【答案】D 3．【答案】B【解析】∵5π＜θ＜6π，∴5π4＜θ4＜3π2.∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 4．【答案】－135．【答案】32【解析】原式＝1＋cos 2A2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2A 2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2A 2＝32＋12⎣⎡⎦⎤cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2A ＝32＋12⎝⎛ cos 2A ＋cos 2π3cos 2A ＋sin 2π3sin 2A ＋cos 2π3cos 2A －⎭⎫sin 2π3sin 2A ＝32＋12⎝⎛⎭⎫cos 2A ＋2cos 2π3cos 2A ＝32＋12(cos 2A －cos 2A )＝32. 6．解：(1)由已知得，f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 故f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3＜2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.。

§3.2.2半角的正弦、余弦、正切
（一）教学目标
1.知识目标：了解半角公式的推导过程，能初步运用公式求三角函数值。

2.能力目标：能应用公式进行三角函数求值、化简、证明。

3.情感目标：通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑
推理能力和辩证唯物主义观点。

（二）教学重点、难点
重点：半角的正弦、余弦、正切公式
难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。

（三）教学方法
观察、启发、探究相结合的教学方法
本组成员：王琪、李路军、李晓峰、李淑清、时秋英、韩英、周跃辉、何春梅、李云丽、李宁、苗佳、刘振刚、韩斌。