高三“一模”数学模拟试题(6)

上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市黄浦区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.6一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 2A x x ， 1B x x ，则A B ．2.若函数 1y x x a 为偶函数，则实数a 的值为．3.已知复数1z i （i 为虚数单位），则满足z w z 的复数w 为．4.5.6.7.某城市,34,36,418.在 若25a 9. 12010.若 ．11.设123,,,,n a a a a 是首项为3且公比为313233log log log a a a 1343log 1log 18n n a a 的最小正整数n 的值为．12.若正三棱锥A BCD 的底面边长为6，，动点P 满足DA CB PA PB PC PD ，则2PA PB PA 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设x R ，则“38x ”是“2x ”的（）.A 充分而不必要条件；.B 必要而不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）.A 720；.B 710；.C 310；.D 35．15.若实数a 、b 满足221a b ab ，则必有（）.A 222a b ；.B 221a b ；.C 1a b ；.D 2a b ．16.O 最近的点为点①点p Q ）.A 三、17.4、3、2后，（1）（2）n t ，求数列 n t 的18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，平面ABCD 平面ADEF ，四边形ADEF 是正方形，//BC AD ，45BAD CDA ，2CD，AD （1）证明：CD 平面ABF ；（2）求二面角B EF A 的正切值．19.（折线DCE ）（1）（2）第18题图第19题图设a 为实数，1 是以点 0,0O 为顶点、以点10,4F为焦点的抛物线，2 是以点 0,A a 为圆心、半径为1的圆位于y 轴右侧且在直线y a 下方的部分．（1）求1 与2 的方程；（2）若直线2y x 被1 所截得的线段的中点在2 上，求a 的值；（3）是否存在a ，满足：2 在1 的上方，且2 有两条不同的切线被1 所截得的线段长相等？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．第20题图设函数 f x 与 g x 的定义域均为D ，若存在0x D ，满足 00 f x g x 且 00''f x g x ，则称函数 f x 与 g x “局部趋同”．（1）判断函数 151f x x 与 322f x x x 是否“局部趋同”，并说明理由；（2）已知函数 21g x x ax （0x ）， 2e xg x b （0x ）．求证：对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数 f x 与 g x “局部趋同”；（3）对于给定的实数m ，若存在实数n ，使得函数 1n h x mx x（0x ）与 2ln h x x “局部趋同”，求实数m 的取值范围．高三数学参考答案和评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题（本大题满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）1. [1 2]−，；2. 1；3. i − ；4. 54；5. 12； 6. ； 7. 56； 8. 2425； 9.220； 10. π(0,]6； 11. 25； 12. 8. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）13. A 14. B 15. D 16. C三、解答题（本大题共有5题，满分78分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由4345441000a a a a a a q q=⋅⋅=， 可得341000a =，即410a =. …………………………2分又由3454,3,2a a a 成等差数列，可得354426,a a a += 即402060,q q+=解得1q =或2，又{}n a 是严格增数列，所以2q =，…………………4分 故443410252n n n n a a q −−−==⋅=⋅. …………………………6分（2）由3(12)n n S =−，可得当2n ≥时，1113(22)32n n n n n n b S S −−−=−=−=−⋅，又1111332b S −==−=−⋅，所以对一切正整数n ，都有132n n b −=−⋅， …………………9分所以3132n n t −===⋅， ……………………11分所以{}n t 的前n 和为113131213(122)(21)44124n n n −−+++=⋅=−−. …………………14分 18.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．解：（1）在平面ABCD 内，BAD ∠=CDA ∠45=︒，∴直线AB, DC 相交，设它们交于点P ，90DPA ∴∠=︒, 即AB CD ⊥. 四边形ADEF 是正方形，AF AD ∴⊥，又平面ABCD ⊥平面ADEF ，它们的交线为AD ，AF ⊂平面ADEF ，故AF ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，AF CD ∴⊥. ……………4分又AB 与AF 是平面ABF 内的两条相交直线，∴CD ⊥平面ABF . ……………6分（2）在平面ABCD 内，过B 作BG AD ⊥，垂足为G .又平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，故BG ⊥平面ADEF . ……………8分在平面ADEF 内，过G 作GH EF ⊥，垂足为H ，连BH ，则BH EF ⊥，故BHG ∠就是二面角B EF A −−的平面角， ……………11分又sin 45sin 45BG BA CD =︒=︒=，GH AF AD ===在直角BGH △中，1tan 4BG BHG GH ∠===， 所以二面角B EF A −−的正切值为14． ……………14分 法二：设O 是线段AD 的中点，由APD △是以AD 为底边的等腰直角三角形，可知PO AD ⊥，由平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，且PO ⊂平面ABCD ，故PO ⊥平面ADEF , 设M 是线段EF 的中点，则OM ⊂平面ADEF ，可得PO OM ⊥，又,O M 是正方形ADEF 的对边,AD EF 的中点，可得AD OM ⊥， …………9分分别以,,OD OM OP 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐 标系，则(42,0,0)EF =−，(2,42,2)BF =−，设(,,1)n x y =是平面BEF 的一个法向量，则有(42)0,24220,n EF x n BF x y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=⋅+⋅−=⎪⎩解得0,1.4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故1(0,,1)4n =，又(0,0,22)OP =是平面ADEF 的一个法向量， ……………11分 所以二面角B EF A −−的余弦值为||4224172217||||n OP n OP ⋅⋅==⋅⋅， ，故二面角B EF A −−的正切值为14. ……………14分 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：（1）由πππ()333DOC αα∠=+−<<，2π3AOB ∠=, 可知 π3COE α∠=−, 作OF CD ⊥, 垂足为F ，由OD OC =，可知CF DF =且1π262DOF DOC α∠=∠=+， 在直角DOF △中，πsin()62DF OD α=+，故π2sin()62CD OD α=+， 同理可得ππ2sin()2sin()6262EC OC OD αα=−=−， ……………4分 所以π2sin()62OD α++π2sin()10062OD α−=，可得OD =5050ππsin()sin()cos 62622ααα=++−(米). ……6分（2）设花卉育苗区的面积为S 平方米，则221π1πsin()sin()2323S OD OD αα=++− 22150ππ[sin()sin()]233cos 2ααα=++−. ………9分1]1cos cos 2S =α==−+α. ……………12分 当且仅当cos 1α=且ππ33α−<<，即0α=时，S 取最大值，此时50OD =米. 故使π3DOC ∠=，且50OD =米，可使花卉育苗区的面积最大. ………………14分 20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解:（1）设1Γ的方程为22x py =，又124p =，得21p =，即1Γ的方程为2y x =， ……2分 2Γ的方程为22()1(0,)x y a x y a +−=><. ……………4分（2）设直线2y x =+与1Γ的交点为1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)G x y ， 由22,,y x y x =+⎧⎨=⎩可得220x x −−=，故1200015,2222x x x y x +===+=， ……………7分 由点G 在2Γ上，可知215()142a +−=且52a <，解得52a =. ……………10分 （3）设(,)D x y 为2Γ上任一点，则1)y a x =−<<. 点D 在1Γ的上方等价于2a x >,即2a x >对于(0,1)x ∈t =, 由(0,1)x ∈, 可得(0,1)t ∈,故222151()24x t t t +=−++=−−+的最大值为54, 可得54a >. ………12分 设直线y kxb =+与2Γ相切, 被1Γ截得的线段长为L ，则0,1k b a ><−,1=,可得a b −=, 又由2,,y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得20x kx b −−=, 设它的两个实根为12,x x , 则2222212(1)()(1)(4)L k x x k k b =+−=++， …………14分 设a b n −=，则1n >，n =，222432(144)4(41)L n n n a n n a n =−−+=−+−，令432()4(41)f n n n a n =−+−，则3223()412(82)[4()811]2f n n n a n n n a '=−+−=−+−， 当且仅当8110a −<，即118a <时，存在132n +=，使得在1(1.5,)n 与1(,)n +∞上， ()f n '分别小于0和大于0, 故()f n 分别严格增与严格减，故在(1.5,)+∞上必存在两个不同的n 值, 对应的()f n 相等，即存在两个不同的正数k ，使得对应的L 值相等.所以存在a 满足题中条件，且a 的取值范围是511(,)48. ……………18分21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）1212()(),()(),f x f x f x f x =⎧⎨''=⎩(*1)即为32512,532,x x x x ⎧+=+⎨=+⎩………………2分 也即3310,1,x x x ⎧−−=⎨=±⎩由1x =与1x =−都不满足方程3310x x −−=， 故(*1)无解，所以1()f x 与2()f x 非“局部趋同”. ……………4分（2）1212()(),()(),g x g x g x g x =⎧⎨''=⎩即为2e ,2e ,x x x ax b x a b ⎧−+=⎨−+=⎩ 等价于2(2)0,2e ,x x a x a x a b ⎧−++=⎨−+=⎩（*2） ………7分 令2()(2)g x x a x a =−++，对于任意正数a ，由(0)0g a =>，()02a g a =−<， 又()g x 在[0 ]2a ，上的图像是连续不间断的，故 ()g x 在(0 )2a ，上至少有一个零点， ……9分 设0x 是其中一个零点，则存在正数002e x x a b −+=，使得（*2）在(0 )+∞，上有解0x ， 故对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数1()g x 与2()g x “局部趋同”. …………10分（3）1212()(),()(),h x h x h x h x =⎧⎨''=⎩(*)即为2ln ,1,n mx x x n m x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩等价于221ln ,,mx x n mx x −=⎧⎨=−⎩（*3） ………13分令()ln h x x =，则1()h x x'=，()h x 的图像在点(,ln )t t 处的切线的方程为1ln ()y t x t t −=−， 即1ln 1y x t t=+−，令ln 11t −=−，可得1t =，此时上述切线方程为1y x =−，………15分 故当且仅当21m =时，直线21y mx =−与()h x 的图像相切，由图像可知，当且仅当21m ≤时，直线21y mx =−与()h x 的图像有公共点（在y 轴右侧），故当且仅当12m ≤时，21ln mx x −= 有正数解0x ，此时存在200n mx x =−，使得（*3）有正数解，从而1()h x 与2()h x “局部趋同”.所以满足条件的实数m 的取值范围是1(,]2−∞. ……………18分。

上海市长宁区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.12一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 ,4A ， 1,3,5,7B ，则A B ．2.复数z 满足11z i（i 为虚数单位），则z ．3.不等式11 的解集为． 4.5.将46.物体的瞬时速度为．7.第1支水笔的编号为．8.10lg II ．其中I 为2，则其相应的声9.10.11.若函数 sin cos f x x a x 在27,36上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为．12.设 2log f x x ax b （0a ），记函数 y f x 在区间 ,1t t （0t ）上的最大值为 ,t M a b ，若对任意b R ，都有 ,1t M a b a ，则实数t 的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）.A 2f x x ；.B 2f x x ；.C ln f x x ；.D x f x e ．14.“ P A B P A P B ”是“事件A 与事件B 互相独立”的（）.A 充分不必要条件；.B 必要不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．15.设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置 01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角（02）后到达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4到达2P ．若点2P 的横坐标为35，则点1P 的纵坐标为（）.A 10；.B 5；.C 5；.D 10．16.，5AC ，点P 在ABC Q ，都存在点P ，满足.A 12三、17.（1）（2）A ，求事件A 发生如图，在三棱锥A BCD 中，平面ABD 平面BCD ，AB AD ，O 为BD 的中点．（1）求证：AO CD ；（2）若BD DC ，BD DC ，AO BO ，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小．18题图汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心．如图1，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为 ，右前轮转向角为 ，转向中心为O ．设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米．（1）试用w 、l 和 表示tan ；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米．试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由．假设：①转向过程中，左前轮转向角 的值始终为30 ；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d 且OM OD ，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w ， 2.680l ．问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？第19题图1第19题图2已知椭圆22:142x y ，1F 、2F 为 的左、右焦点，点A 在 上，直线l 与圆22:2C x y 相切．（1）求12AF F 的周长；（2）若直线l 经过 的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y 上，O 为原点，若OA OD ，求证：直线AD 与圆C 相切．若函数 y f x 与 y g x 满足：对任意12,x x R ，都有 1212f x f x g x g x ，则称函数 y f x 是函数 y g x 的“约束函数”．（1）若 2f x x ，判断函数 yg x 的奇偶性，并说明理由；（2）若 3f x ax x （0a ）， sing x x ，求实数a 的取值范围；（3）若 y g x 为严格减函数， 01f f ，且函数 y f x 的图像是连续曲线，求证：y f x 是 0,1上的严格增函数．参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. {}1,3；2.2；3. ()0,1；4. 2；5.12；6. 80；7．14；8. 130；9.()0,1,1−；10．[)2,−+∞；11. ⎡⎢⎣；12.13.11解：()cos sin f x x a x '=−，因为()0f π'<，所以()y f x =在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数， 当27,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x a x −<恒成立，所以1tan 0a x −>在27,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，因为我tan x ⎛∈ ⎝是，所以a ≤≤ 12解：设2log u x ax b =++，因为[],1x t t ∈+，所以()()22log log 11t at b u t a t b ++≤≤++++ 所以()()(){}22,max log ,log 11t M a b t at b t a t b =++++++()()()()()()()()2222log 11loglog 11log 2t a t b t at b t a t b t at b ++++++++++++−++=()()()()()2222log 11loglog 1log 2122t a t b t at b t t aa ++++−+++−+≥=≥+得103t <≤二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.A ；14.C ；15. D ；16.B16解：该几何体由一下几部分组成：一个底面与ABC 平行高为2的三棱柱；底面为半径为1的半圆，高分别3、4、5的三个圆柱；一个半径为1的球.所以该几何体的体积为()4226234512233πππ⨯++++=+三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．BD17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =. （1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .解：（1）因为()1112n S na n n d =+−，所以1011090100S a =+=， ……..2分得11a =， …….4分 所以()1121n a a n d n =+−=−. …….6分（2）随机实验样本空间中样本点的个数为3620C =， ……..3分 事件A 所含样本点分两类，公差为d 的有4个，公差为2d 的有2个， ……..6分 所以事件A 发生的概率()632010P A ==. …….8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）求证：AO CD ⊥；（2）若BD DC ⊥，BD DC =，AO BO =，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（1）证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点， 所以AO DB ⊥， …….2分 因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ， …….4分因为CD ⊂平面BCD ，所以AH CD ⊥. …….6分 （2）由（1）知AO ⊥平面BCD ，作//OE CD ，因为CD BD ⊥，所以OE BD ⊥，进而可以OE 、OD 、OA 分别为x 轴、y 轴和z 轴正方向，建立坐标系，因为AO BO =，BD DC =，所以可设()0,0,A a ，()0,,0B a −，()0,,0D a ，()2,,0C a a ， …..6分 因为()2,2,0BC a a =，()0,,AD a a =− 设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则12121cos 2n n n n θ⋅==，所以60θ=︒ ……8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，前右轮转向角为β，转向中心为O. 设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β； （2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =， 2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？解：（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=， …….2分 所以tan l OD α=，tan lOC w α=+，……..4分 进而tan tan llw βα=+. …….. 6分（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y轴建立坐标系， 则()3.5, 3.5M −−. 4.642tan lOD α===， 6.766OB ==，……..2分设(),O a b ()0,0a b <<，2 6.642a =−=−，d b =−，OM ==， ……..4分由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b −<<−， 由OB d <，得 6.766b <−，…….6分所以当 6.917 6.765b −<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道. 答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道. …….8分 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.xD C BA B C S F E C D B A已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.解：（1）设椭圆Γ的聚焦为2c ，长轴长为2a ，短轴长为2b ， 则24a =，22b =，所以22c =， ……..2分 所以1224AF AF a +==，122F F c ==得△12AF F的周长为4+. ……..4分 （2）椭圆Γ的右顶点为()2,0，所以可设直线l 的方程为()2y k x =−， ……..2分 因为圆222x y +=与直线l 相切，= ……..4分解得2k =±，直线l的方程为)22y x =±−. …….6分（3）设()00,A x y ，(),2D m ，因为OA OD ⊥，所以0020mx y +=， …….2分当0m x =时，2020x y +=， 由2200142x y +=，得01y =−，0x = 直线AD方程为x =22:2C x y +=相切， …….4分 当0m x ≠时，直线AD 的方程为()0000002222y y x my y x m x x m x m x m−−−=−+=+−−− 则原点O 到直线AD 的距离为d =， …….6分因为02y m x =−，2200142x y +=，所以2216844422202040020202020200200=+++=++++=x x x x x x y y x x y x d ． 此时直线AD 与圆22:2C x y +=相切． ……8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x −≥−，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由； （2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.证明：（1）函数()y g x =为偶函数. ……2分 因为对任意R x ∈，都有()()()()f x f x g x g x −−≥−−， 所以()()()220g x g x x x −−≤−−=，得()()g x g x −=，所以()y g x =为偶函数. ………4分 （2）解：设12x x <因为()y f x =是R 上的严格增函数，所以()()12f x f x <， 进而()()()()1221g x g x f x f x −≤−，所以()()()()1122f x g x f x g x +≤+，()()()()1122f x g x f x g x −≤−， 设()()()u x f x g x =+，()()()v x f x g x =−，则()y u x =与()y v x =均为R 上的严格增函数， …….3分()23cos 0u x a x x '=++≥，()23cos 0v x a x x '=+−≥恒成立因为230x ≥，cos 1x −≥−，所以23cos 1a x x a +−≥−，得1a ≥， 当1a ≥时，()23cos 0u x a x x '=++≥恒成立，所以1a ≥. ………..6分 （3）设12x x <，因为()y g x =是严格减函数，所以()()12g x g x >， 而()()()()2112f x f x g x g x −≥−，所以()()120f x f x −> 所以对任意12x x <，都有()()12f x f x ≠（*） ……2分 ①首先证明，当01x <<时，()()()01f f x f <<， 假设存在001x <<，且()()01f f x <，设()()()1h x f x f =−，则()00h <，()00h x >， 所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =， 得()()31f x f =，与结论*矛盾， 所以不存在001x <<，使得()()01f f x <同理也不存在001x <<，使得()()00f x f <，所以当01x <<时，()()()01f f x f <<. ……5分 ②再证明，当1201x x <<<时，()()12f x f x <， 假设存在1201x x <<<，使得()()12f x f x >， 则()()()()2101f f x f x f <<<设()()()2h x f x f x =−，则()00h <，()10h x >， 所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =， 得()()32f x f x =，与结论*矛盾，所以假设不成立，即对任意()12,0,1x x ∈，都有()()12f x f x < 所以函数()y f x =是区间()0,1上的增函数 ……8分。

9上海市宝山区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.13一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.函数 lg 1f x x 的定义域是．2.已知向量 2,1a m ， 1,3b m ，a b，则实数m．3.4.设x 5.6.设a 、7.设函数8.4a x 9.点B 则 10.政、外语和专业课三门，录取工作将这样进行：在每门课均及格（60分）的考生中，按总分进行排序，择优录取．振华同学刚刚完成报考，尚有11周复习时间，下表是他每门课的复习时间和预计得分．设思政、外语和专业课分配到的周数分别为x 、y 、z ，则自然数数组 ,,x y z 时，振华被录取的可能性最大．科目周数012345678910思政2040556572788082838485外语3045535862656870727475专业课507085909395969696969611.已知函数 311f x x ，正项等比数列 n a 满足1012110a ，则 20231lg k k f a ．12.设点P 在直线:250l x y 上，点Q 在曲线:ln y x x 上，线段PQ 的中点为M ，O 为坐标原点，则OM的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.“1x ”是“1x ”的（）.A .C 14..A .B .C .D 15.已知z .A 2z .B 若.C 若z .D 若116.m n S 、，m n 则下列选项中正确的是（）.A ①是真命题，②是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①是假命题，②是假命题．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．P A；（1）若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求（2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，P B；求（3）若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．验证C、D是独立的．18.在（1）（2）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC 12AC AA ，且D 、E 分别是AC 、11AC 的中点．（1）证明：AC BE ；（2）求三棱锥D ABE 的体积；（3）求直线BD 与平面ABE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19题图以坐标原点为对称中心，焦点在x 轴上的椭圆 过点 2,0A ，且离心率为2．（1）求椭圆 的方程；（2）若点 1,0B ，动点M 满足2MA MB ，求动点M 的轨迹所围成的图形的面积；（3）过圆224x y 上一点P （不在坐标轴上）作椭圆 的两条切线1l 、2l ．记OP 、1l 、2l 的斜率分别为0k 、1k 、2k ，求证： 0122k k k ．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题①满分6分，第2小题②满分8分）已知函数 e xf x x ， exg x x ，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数 y f x 的图像在点1,1f 处的切线方程；（2）设函数 F x af x g x ，①若e a ，求函数 y F x 的单调区间，并写出函数 y F x m 有三个零点时实数m 的取值范围；②当01a 时，1x 、2x 分别为函数 y F x 的极大值点和极小值点，且不等式12F x tF x 0 对任意 0,1a 恒成立，求实数t 的取值范围．2023学年第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷参考答案1.()∞+，12.13.84.(][)∞+∞−，，105.486.二7.1− 8.8− 9.123++ 10.()5,4,2 11.2023 12.513. A 14.B 15.B 16.C17.解：（1）若一次抽取3张卡片，共包含()321，，、()421，，、()431，，、()432，，共4个基本事件.其中事件()(){}4,3,2431、，，=A 包含2个基本事件 .............2分 所以()2142P A ==...........4分 （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，共包含1644=⨯个基本事件，其中事件()()(){}3,44,44,3、、=B 包含3个基本事件 ...........6分 所以()316P B =............8分（3）一次抽取2张卡片,共包含624=C 个基本事件，事件()(){}4,22,1，=C ，所以()2163P C == ...........9分事件()()(){}4,34,24,1、、=D ，所以()3162P D == ...........10分当D C 、同时发生，即2张卡片上数字之和是3的倍数同时积是4的倍数，只有一种取法()4,2，所以()16P C D =...........12分因为()()()P C D P C P D =，所以事件C 与事件D 是独立的． ...........14分18.解：(1)根据正弦定理得2sin sin A B B = ...........2分所以23sin =A ...........4分所以323ππ或=A...........6分（2）由三角形面积公式得A bc a a sin 212121=⋅，即A bc a sin 22= ...........8分又由余弦定理A bc c b a cos 2222−+=得A bc c b A bc cos 2sin 222−+= ...........10分解得()A A bc c b cos sin 222+=+从而()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4sin 22cos sin 222πA A A bc c b . ..........12分 当24ππ=+A 即4π=A 时bc c b 22+有最大值22即cbb c +的最大值为22. ...........14分19.解：（1）证明：易知1//AA DE由易知直三棱柱111C B A ABC −知ABC AA 面⊥1 所以ABC DE 面⊥从而BD 是BE 在ABC 面内的投影ABC ∆中，BC AB =，D 为AC 中点，则BD AC ⊥ 由三垂线定理知⊥AC BE . ..........4分（2）等腰ABC ∆中，2==BC AB ，，2=AC 从而1=BD 所以211121=⨯⨯=∆ABD S...........6分 由ABC DE 面⊥，且，21==AA DE所以312213131=⨯⨯=⋅=∆−DE S V ABD ABD E ...........8分又因为ABD E ABE D V V −−=所以三棱锥ABE D −的体积为31. ...........10分(3)由（2）31==−−ABD E ABE D V V令点D 到面ABE 的距离为d ，则有3131=⋅=∆−d S V ABE ABE DABE ∆中，2=AB ，5==BE AE ,从而23=∆ABE S . ..........12分所以32=d...........14分设直线BD 与平面ABE 所成角为α，则32sin ==BD d α所以直线BD 与平面ABE 所成角的大小为32sin arc . ...........16分另解（空间向量）相应给分以D 为坐标原点，射线DE DB DA 、、分别为z y x 、、轴建立空间直角坐标系. 则()()()()2,0,00,0,10,1,00,0,1E C B A ，，，−（1）()()2,10,0,0,2−=−=，BE AC ..........2分 因为0=⋅BE AC所以⊥AC BE . .........4分 （2）设平面ABE 的一个法向量()z y x n ,,=()()0,11,2,0,1，−=−=AB AE则有⎩⎨⎧=+−=+−02y x z x 令1=z ，则()1,2,2=n ..........6分又(),2,0,0=DE所以点D 到面ABE的距离32==d..........8分ABE ∆中，2=AB ，5==BE AE ,从而23=∆ABE S 所以3132233131=⨯⨯=⋅=∆−d S V ABEABE D 即三棱锥ABE D −的体积为31. ..........10分（3）直线BD 与平面ABE 所成角为α，由（2）知平面ABE 的一个法向量()1,2,2=n ，且()0,10−=，BD则32sin ==α..........14分所以直线BD 与平面ABE 所成角的大小为32sin arc . ..........16分20．解：（1）由题设知椭圆Γ中，23,2===a c e a 得3=c由222c b a +=得1=b .........2分所以椭圆Γ的方程为2214x y +=..........4分 （2）设(),M x y ， 由MB MA 2=得()()[]2222142y x y x +−=++化简得()4222=+−y x . .........6分表示的是以()0,2为圆心，2为半径的圆，其面积为π4. ..........8分 （3）设()0000,,(,0)P x y x y ≠，且42020=+y x 设过点P 的直线m kx y +=与椭圆相切，联立⎩⎨⎧=++=4422y x m kx y 化简得()()014841222=−+++m kmx x k ..........10分由()()014116642222=+−−=∆k m m k 得1422+=k m ..........12分 点()00,P x y 在直线m kx y +=上，得00kx y m −=代入上式()142200+=−k kx y化简得()01242000220=−++−y k y x k x因为21l l 、是椭圆的两条切线，所以21k k 、是上面方程的两根 由韦达定理得42200021−=+x y x k k . .........13分 由42020=+y x 得20204y x −=− 所以020002122y x y y x k k −=−=+..........14分 又00x y k =所以()22000210−=⋅−=+x y y x k k k . ..........16分21．解：（1）由导函数()'e 1x f x =−，得()'1e 1f =−， ..........2分 故切线方程为()()()1e 11y f x −=−−，即()e 1y x =−. ........4分 （2）()()e exxF x a x x −=−−−，导函数()()()()e 1e 1'e 1+e 1e xx x xxa F x a −−−=−−=，①当e a =时，()1e e e x x F x x x +−=−−−，令()()()1e 1e 1'0x x xF x +−−==，得0x =或1x =−， .........6分所以F x 的单调增区间为,1−∞−和0,+∞，单调减区间为1,0−；.........8分 极大值()12F −=，极小值()0e 1F =−，又()5414e 4e 42eF =−−−>，()344e 4e e 4e 1F −−=+−+<−，结合单调性 故函数()y F x m =−有三个零点时m 的取值范围为()()()0,1F F −即()e 1,2−；.........10分 ②令()'0F x =得e 1x=或1e 1x=>，0x =或1ln ln 0x a ==−>，所以12， .........12分 故()()1010F x F a ==−<，()()()()211ln ln ln 1ln 10F x F a a a a a a a a F x a ⎛⎫=−=+−+=++−<< ⎪⎝⎭， 所以0t <， .........13分 设()()()()()1211ln 1,0,1a F x tF x a t a a a a ϕ=+=−+++−∈⎡⎤⎣⎦，可知()10ϕ=， .........14分()()11'1ln 11ln ,0,1a a t a t a a a a ϕ+⎛⎫⎛⎫=++−=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()()1ln ,0,1m a a a a =+∈，其导函数为()22111'a m a a a a−=−=， 可得()'0m a <，所以()()0,1a m a ∈在上严格减，且()()11m a m >=， .........16分()111,'1ln 110t a a a ϕ⎛⎫︒≤−≤−+<−= ⎪⎝⎭，所以()()0,1a a ϕ∈在上严格减， ()()10a ϕϕ>=，符合题意；210,t ︒−<<存在()00,1a ∈，使得()0'0a ϕ=，所以(0,1a a a ∈在上上严格增，且10a <=，不符合题意； 综上所述，实数t 的取值范围为(],1−∞− ..........18分另解：相应给分 分离参数得()aa a a t −++−<1ln 11 令()()()1,0,1ln 11∈−++−=a aa a a a ϕ 由计算器得()1−>a ϕ所以1−≤t .。

河北省保定市2023届高三模拟（一模）数学试题一、单选题1．（2023·河北保定·统考一模）已知集合{}2430A x x x =-+≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,3C ．{}0,1,2D ．{}1,2,32．（2023·河北保定·统考一模）已知复数2i z =-，则()22z -=（ ）A ．8i-B ．8iC ．88i-D ．88i+3．（2023·河北保定·统考一模）设α，β是两个不同的平面，则“α内有无数条直线与β平行”是“//αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023·河北保定·统考一模）保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，打算改建成矩形花圃ABCD ，中间划分出直角三角形MPQ 区域种玫瑰，直角顶点M 在边AB 上，且距离A 点5m ，距离B 点6m ，且P 、Q 两点分别在边BC 和AD 上，已知8m BC =，则玫瑰园的最小面积为（ ）A ．230mB ．215mC ．2D ．25．（2023·河北保定·统考一模）函数()()22ln 11x f x x +=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2023·河北保定·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2AB =，PAD V 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且P ABCD V -=，则PC 与平面PAD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．12C D 7．（2023·河北保定·统考一模）函数()()sin f x A x =+ωϕ，（0A >，0ω>，0πϕ<<）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是10π9B ．函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于直线π4x =对称D ．若圆C 的半径为5π12，则函数()f x 的解析式为()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．（2023·河北保定·统考一模）已知14e 1a =-，12πb =，1sin 4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b>>二、多选题9．（2023·河北保定·统考一模）已知平面向量()2,1a =-r ，()4,2b =r ，()2,c t =r，则下列说法正确的是（ ）A ．若b c ⊥r r，则4t =B ．若//a c r r，则1t =-C ．若1t =，则向量a r 在c r上的投影向量为35c-r D ．若4t >-，则向量b r 与c r的夹角为锐角10．（2023·河北保定·统考一模）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22195x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）A ．2B ．8C ．10D ．1211．（2023·河北保定·统考一模）沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（ ）A ．沙漏的侧面积是2cmB ．沙漏中的细沙体积为316πcm 3C ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是837秒()π 3.14≈12．（2023·河北保定·统考一模）如图所示的三角数阵，其中第m 行（从上到下），第n 列（从左到右）的数表示为mn a ，且11m a =，当2m n ≥≥时，有()()11mn m n na m n a -=-+，则下列说法正确的是（ ）A ．431a =B ．C n mn ma =C ．()()()1122223333441112nn n n a a a a a a a a n --+++⋅⋅⋅+<≥D ．()1234121mm m m m mm a a a a a m++++⋅⋅⋅+=-三、填空题13．（2023·河北保定·统考一模）二项式6x ⎛⎝展开式中常数项是________．（填数字）14．（2023·河北保定·统考一模）写出过抛物线24y x =上的点()1,P t 且与圆()2221x y -+=相切的一条直线的方程________．15．（2023·河北保定·统考一模）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．16．（2023·河北保定·统考一模）已知()f x '是函数()f x 在定义域上的导函数，且()()1e x f x f x -'+=，()11f =，若函数()()()ln 20mf x mx x m =-+>在区间()0,∞+内存在零点，则实数m 的最小值为________．四、解答题17．（2023·河北保定·统考一模）已知()()2cos cos 0f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π．(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小以及()f A 的取值范围．18．（2023·河北保定·统考一模）已知1a ，21a a -，32a a -，…，()12n n a a n --≥是以1为首项，1为公差的等差数列．(1)求n a 的通项公式；(2)求数列(){}cos πn n a 前2n 项的和2n S ．19．（2023·河北保定·统考一模）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为ABCD 为正方形，11π3A AB A AD ∠=∠=，点E 为1BB 的中点，点F 为1CC 的中点，动点P 在平面ABCD 内．(1)若O 为AC 中点，求证：1A O AO ⊥；(2)若//FP 平面1D AE ，求线段CP 长度的最小值．20．（2023·河北保定·统考一模）在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用．某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药．初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以ξ表示选取的人中服药后有效的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．21．（2023·河北保定·统考一模）如图，双曲线的中心在原点，焦距为点分别为A ，B ，曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N ．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得4P T x x =（其中P x ，T x 为点P ，T 的横坐标），若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．22．（2023·河北保定·统考一模）已知函数()()sin ln 1f x x a x =-+．(1)当1a =时，证明：当[]0,1x ∈时，()0f x ≥；(2)当[]0,πx ∈时，()2e 2xf x ≤-恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】解一元二次不等式再求交集.【详解】因为{}{}243013A x x x x x =-+≤=≤≤，所以A B =I {}1,2,3.故选：D 2．A【分析】利用复数的运算，再结合共轭复数的意义求解作答.【详解】因2i z =-，有2i z =,则()()22222i 24i 48i=448i=8i z -=-=+--+--， 所以()228i z -=-.故选：A 3．B【分析】根据面面平行的定义以及判定定理，举例即可得出答案.【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11//A B 平面ABCD .在平面11ABB A 内，除直线AB 外，其他所有与11A B 平行的直线，都与平面ABCD 平行，但是平面11ABB A 与平面ABCD 不平行；若//αβ，根据面面平行的定义可知，平面α内的直线都与平面β平行.所以，“α内有无数条直线与β平行”是“//αβ”的必要不充分条件.故选：B.4．A【分析】设BMP θ∠=根据直角三角形的性质可将6cos MP θ=，5sin PQ θ=，进而可得115tan tan MPQS θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭V ，再根据P 、Q 两点分别在边，BC 和AD 上，可得54tan ,83θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而可得最小值.【详解】如图所示，设BMP θ∠=，则2AMQ πθ∠=-，AQM θ∠=，所以6cos MP θ=，5sin MQ θ=，所以222115sin cos tan 11151515tan 2sin cos sin cos tan tan MPQS MP MQ θθθθθθθθθθ++⎛⎫=⋅==⋅=⋅=+ ⎪⋅⎝⎭V ，又P 、Q 两点分别在边BC 和AD 上，所以[]6tan 0,8BP θ=∈，[]50,8tan AQ θ=∈，所以54tan ,83θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1tan 2tan θθ+≥=，当且仅当1tan tan θθ=，即tan 1θ=时，等号成立，所以115tan 30tan MPQS θθ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭V ，即MPQ S V 的最小值为230m ，故选：A.5．B【分析】函数()()22ln 11x f x x +=+是由函数()22ln xg x x =向左平移1个单位得到的，而()22ln x g x x=是偶函数，所以得()()22ln 11x f x x +=+的图像关于直线=1x -对称，再取值可判断出结果.【详解】解：因为()()22ln 11x f x x +=+是由()22ln xg x x =向左平移一个单位得到的，因为()22ln ()(0)()x g x g x x x --==≠-，所以函数()22ln xg x x=为偶函数，图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于=1x -对称，故可排除A ，D 选项；又当<2x -或0x >时，2ln 10x +>，()210x +>，所以()0f x >，故可排除C 选项.故选：B .【点睛】此题考查函数图像的识别，利用了平移、奇偶性，函数值的变化情况，属于基础题.6．B【分析】连接PO ，O 为AD 的中点，结合面面垂直性质定理证明PO ⊥平面ABCD ，根据锥体体积公式求PD ，再由面面垂直性质定理证明CD ⊥平面PAD ，根据线面角的定义证明PC 与平面PAD 所成角的平面角为CPD ∠，解三角形求其正切值.【详解】取AD 的中点O ，连接PO ，由已知PAD V 为等边三角形，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，设PD x =，则PO ，AD x =，又2AB =，所以矩形ABCD 的面积2ABCD S x =，所以四棱锥P ABCD -的体积211233P ABCD ABCD V S PO x x -=⨯⨯=⨯=，2，所以4x =，所以4PD =，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，所以CDP △为直角三角形，斜边为PC ，因为CD ⊥平面PAD ，所以PC 与平面PAD 所成角的平面角为CPD ∠，在Rt CDP △中，2CD AB ==，4PD =，所以1tan 2CD CPD PD ∠==，PC 与平面PAD 所成角的正切值为12.故选：B.7．D【分析】根据函数的图象，求得()f x 的最小正周期，可判定A 错误；利用五点作图法，求得π3ϕ=，结合三角函数的性质，可判定B 错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解析式为()cos 2g x A x =，进而判定C 错误；利用222CM OM OC =+，求得A 的值，可判定D 正确.【详解】解：由函数()f x 图象，可得点C 的横坐标为π3，所以函数()f x 的最小正周期为ππ2[(π36T =--=，所以A 不正确；又由2π2T ω==，且π()06f -=，即ππsin[2()]sin()063ϕϕ⨯-+=-+=，根据五点作图法且0πϕ<<，可得π03ϕ-+=，解得π3ϕ=，因为7ππ,1)23(x --∈，可得π5ππ,3632()x +--∈，结合三角函数的性质，可得函数()f x 在7ππ,12()3--是先减后增的函数，所以B 错误；将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后，得到()πsin(2)cos 22g x A x A x =+=，可得对称轴的方程为2π,Z x k k =∈，即π,Z 2k x k =∈，所以π4x =不是函数()g x 的对称轴，所以C 错误；当0x =时，可得()π0sin 3f A A ==，即OM A ,若圆的半径为5π12，则满足222CM OM OC =+，即2225ππ())()123A =+，解得A ()f x 的解析式为()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以D 正确.故选：D.8．D【分析】利用构造函数法，结合导数，先判断,a c 的关系，然后判断,b c 的关系，从而确定正确答案.【详解】构造函数()()e 1sin 0xf x x x =--≥，()()e cos 0,x f x x f x '=-≥在[)0,∞+上单调递增，所以()104f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即141e 1sin 04-->，也即141e 1sin 4->，则a c >.10.1592πb =≈，设()()21cos 1012g x x x x =+-≤≤，()sin g x x x '=-+，设()()sin 01h x x x x =-+≤≤，()cos 10h x x =+'-≥，所以()h x 在[]0,1上递增，()()00h x h ≥=，即()0g x '≥，()g x 在[]0,1上单调递增，所以()1004g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11131cos 10,cos 432432+->>，构造函数()()sin 01cos xm x x x x=-≤≤，()2222cos sin 1110cos cos x x m x x x+'=-=-≥，()m x 在[]0,1上递增，所以()104m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1sin111131140,sin cos 0.2421875144441282πcos 4b ->>>=>=，即c b >.综上所述，a c b >>.故选：D【点睛】利用导数来比较代数式的大小，主要是通过构造函数法，然后利用导数研究所构造函数的单调性，由此来比较出代数式的大小.在比较大小的过程中，如果无法一次比较出大小关系，可通过多次比较大小（放缩法）来进行比较.9．BC【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断AB 选项，根据投影向量定义可得判断C 选项，由 4t >-可得0b c ⋅>r，但此时向量b r 与c r 的夹角可以为零角并非锐角，可得D 错误.【详解】解：已知平面向量(2,1)a =-r，(4,2)b =r ，(2,)c t =r ，对于A ，若b c ⊥r r ，可得0b c ⋅=r r，即4220t ⨯+=，解得4t =-，所以A 选项错误；对于B ，若//a c r r，根据平面向量共线性质，可得221t-=，即1t =-，所以B 选项正确；对于C ，若1t =，则(2,1)c =r，由投影向量定义可知向量a r 在c r 上的投影向量为222413215a c c c c c ⋅-+⋅==-+r r r r r r ，所以C 选项正确；对于D ，若4t >-，则422820b c t t ⋅=⨯+=+>r r ，所以cos ,0b c b c b c ⋅=>⋅r rr r r r ；但当1t =时，cos ,1b c b c b c ⋅====⋅r rr r r r ，此时向量b r 与c r的夹角为0︒，所以D 选项错误；故选：BC.10．ACD【分析】根据已知，光线自1F 出发，可以沿11F A 方向传播，也可以沿12F A 方向传播，也可以不沿x 轴传播.根据椭圆的光学性质，分别得出光线传播的路径，结合椭圆的定义，即可得出答案.【详解】设抛物线左焦点为1F ，右焦点为2F ，左顶点为1A ，右顶点为2A .由已知可得，3a =，2224c a b =-=，所以2c =.①当光线从1F 出发，沿11F A 方向传播，到达1A 后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿11A F 方向传播，第一次经过1F ，此时所经过的路程为()11222A F a c =-=，故A项正确；②当光线从1F 出发，沿12F A 方向传播，到达2A 后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿22A F 方向传播，过点2F 后，继续传播第一次经过1F ，此时所经过的路程为()212210A F a c =+=，故C 项正确；③当光线从1F 出发后，不沿x 轴传播，如图2光线开始沿1F P 传播，到达P 点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿2PF 方向传播，过点2F 后，继续传播到达Q 点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿1QF 方向传播，第一次经过1F ，此时所经过的路程为1221PF PF QF QF +++.根据椭圆的定义可知，1226PF PF a +==，1226QF QF a +==，所以121212PF PF QF QF +++=，故D 项正确.故选：ACD.11．BD【分析】A 选项，求出圆锥的母线长，从而利用锥体体积公式求出沙漏的侧面积；B 选项，根据细沙形成的圆锥的高度得到此圆锥的底面半径，得到细沙的体积；C 选项，由B 选项求出的体积公式得到细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度；D 选项，利用细沙的体积和沙漏漏下的速度求出时间.【详解】A 选项，设下面圆锥的母线长为l ，则l =，故下面圆锥的侧面积为π3S rl ==⨯=2cm ，故沙漏的侧面积为2S =2cm ，故A 错误；B 选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的23，所以细沙形成的圆锥底面半径为2323⨯=cm ，高为2643⨯=cm ，故底面积为2π24π⋅=，所以沙漏中的细沙体积为3116π4π4cm 33⨯⨯=，B 正确；C 选项，由B 选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为316πcm 3，其中此锥体的底面积为2π39π⋅=，故高度为16π3163 1.89π9⨯=≈cm ，C 错误；D 选项，16π16 3.14837.3300002.2⨯÷≈⨯≈秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D 正确.故选：BD 12．ACD【分析】运用累和法，结合组合数公式、裂项相消法、二项式系数和公式逐一判断即可.【详解】因为()11mnm n a m n an--+=,所以有()()()12111212111C 12m n n mnm mn m m m m n m n a a a m n m n m a a a a a n n m----+-+-=⋅⋅=⋅⋅=-LL 343411C 4144a =⨯=⨯=，所以A 对，B 错，而1mm a m=，()()()1111111nn n n a a n n n n--==---，所以()()11222233334411111111111,2231nn n n a a a a a a a a n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 因此C 对()()12012123411C C C C C C C 1m mm m m m mm m m m m m m m a a a a a m m++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-()121mm=-，因此D 对.故选：ACD【点睛】关键点睛：运用累和法、逆用组合数公式、裂项相消法是解题的关键.13．240【分析】根据二项式的展开通项公式求解即可.【详解】展开式的通项公式为3662166C 2C rrr r r r r T x x--+==，令3602r -=，解得4r =，所以常数项为44562C 240T ==，故答案为:240.14．10x -=或34110x y +-=或34110x y --=（写出其中一个即可）【分析】由已知求出点()1,2P 或()1,2P -.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得出点斜式方程，表示出圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方程.【详解】由题意可知，24t =，解得2t =±，所以，点()1,2P 或()1,2P -.又圆()2221x y -+=的圆心()2,0C ，半径1r =.①当点()1,2P 时当直线l 斜率不存在时，此时l 方程为1x =，与圆相切，满足题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为1k ，此时直线l 方程为()121y k x -=-，即1120k x y k --+=.因为，直线l 与圆相切，所以圆心()2,0C 到l 的距离1d r =，1，整理可得，1430k +=，解得134k =-，代入直线方程整理可得，直线方程为34110x y +-=.②当点()1,2P -时当直线l 斜率不存在时，此时l 方程为1x =，与圆相切，满足题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为2k ，此时直线l 方程为()221y k x +=-，即2220k x y k ---=.因为，直线l 与圆相切，所以圆心()2,0C 到l 的距离2d r =，1，整理可得，2430k -=，解得234k =， 代入直线方程整理可得，直线方程为34110x y --=.综上所述，直线方程为1x =或34110x y +-=或34110x y --=.故答案为：1x =.15．96【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排4名同学的2名选择数学竞赛，在安排剩下的2名同学到其他竞赛课程中即可.【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，则有：24C 6=种情况，剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：①2名同学选择1个学科竞赛则有：14C 4=种情况，②2名同学各选择1个学科竞赛则有1134C C 12=种情况，所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：()612496⨯+=种情况，故答案为：96.16．1【分析】（1）首先根据条件等式，变形得到函数()1e x xf x -=，再变形得到()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=，通过构造函数()e 1=--t g t t 得到1ln 0x mx -+=，参变分离后，转化为求函数的值域，即可求m 的取值范围.【详解】在()y f x =中，()()1e xf x f x -'+=，∴()()e e e x xf x f x '+=，∴()()()e e x f x x ''⋅=∴()e e xf x x c ⋅=+（c 为常数），由()11f =，解得：0c =，∴()1e x xf x -=，若()1ln 2e x x mmx x -=-+在区间()0,∞+内存在零点，整理可得：()1ln e1ln 10x mxx mx -+--+-=，设()e 1=--t g t t ，()e 1tg t '=-，令()0g t '=，得0=t ，当0t <时，()0g t '<，函数单调递减，当0t >时，()0g t '>，函数单调递增，所以当0=t 时，函数()g t 取得最小值，()00g =，所以()0g t ≥，当0=t 时，等号成立，所以()1ln e1ln 10x mxx mx -+--+-≥当且仅当1ln 0x mx -+=时，上式取等号即存在()0,x ∈+∞，使1e x m x -=，设()1e x h x x -=，()()12e 1x x xh x --'=，令()0h x '=，得1x =，当1x <时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，所以当1x =时，函数()h x 取得最小值，()11h =，所以1e 1x m x -=≥，故m 最小值为1,故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，零点，不等式的综合问题，本题的关键一是利用导数的等式，通过构造得到函数()f x 的解析式，关键二是利用同构得到等式()1ln e1ln 10x mxx mx -+--+-=，再构造函数求得1ln 0x mx -+=，参变分离后即可求解.17．(1)0(2)π3B =，()11,2f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和辅助角公式化简，结合公式2πT ω=计算可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即可求解π6f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由正弦定理和诱导公式可得1cos 2B =，即可求出角B ；进而20,π3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）∵()2cos cos f x x x xωωω=-11π12cos 2sin 22262x x x ωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由函数()f x 的最小正周期为π．即2ππ2ω=，得1ω=，∴()π1sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）∵()2cos cos a c B b C -=，∴由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=．∵sin 0A >，∴1cos 2B =．∵()0,πB ∈，则π3B =.∵2ππ3A C B +=-=，∴20,π3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ7π2,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴π1sin 2,162A ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，∴()π11sin 21,622f A A ⎛⎫⎛⎤=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.18．(1)()12n n n a +=(2)2n S 2n n=+【分析】（1）根据题意和等差数列前n 项求和公式可得当2n ≥时，(1)2n n n a +=，验证1a 符合该式即可；（2）由（1）可得2122n n a a n --+=，()()()1cos π12nn n n n a +=-，结合等差数列前n 项求和公式计算即可求解.【详解】（1）当2n ≥时，()()()()21213211122n n n n na a a a a a a a n n n -++-+-+⋅⋅⋅+=+-==-，又11a =，符合上式，∴2(1)22n n n n n a ++==；（2）由（1）知，()()212212221222n n n n n n a a n --⋅+-+=-+=，()()()()1cos π112nnn n n n n a a +=-=-，∴()()221222112233422222n n n n n S -⋅+⨯⨯⨯=-+-+⋅⋅⋅-+2(123)n =++++L ()122n n +=⨯2n n =+.19．(1)证明见解析【分析】（1）由条件先求1AD AA ⋅u u u r u u u r ，1AB AA ⋅u u u r u u u r ，AD AB ⋅u u u r u u u r，再证明10AO AO ⋅=u u u r u u u r ，由此完成证明；（2）建立空间直角坐标系，设(),,0P m n ，求平面1D AE 的法向量和直线FP 的方向向量，由条件列方程确定,m n 的关系，再求CP u u u r的最小值即可.【详解】（1）由已知1AB A A AD ===1π3A AD ∠=，1π3A AB ∠=，π2BAD ∠=，所以11π1cos 232AD AA ⋅==u u u r u u u r ，11π1cos 232AB AA ⋅==u u u r u u u r ，0AD AB ⋅=u u u r u u u r，因为O 为AC 中点，所以111222AO AC AB AD ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，又()11111112222A O AO AO AA AO AB AD AA AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以111110002244A O AO ⋅=+++--=u u u r u u u r ，所以1AO AO ⊥u u u r u u u r所以1A O AO⊥（2）连接1A D ，1A B ，∵1A A AD ==1π3A AD ∠=∴1A D∵1A A AB ==1π3A AB ∠=∴1A B =连接BD ，由正方形的性质可得,,B O D 三点共线，O 为BD 的中点，所以1AO BD ⊥，由第一问1A O AO ⊥，,AO BD ⊂平面ABCD ，AO BD O =I ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点， 1,,OA OB OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系()1,0,0A 、()0,1,0D -、()10,0,1A 、()0,1,0B 、()1,0,0C -()112,1,1AD AD AA =+=--u u u u r u u u r u u u r1131,1,222AE AB BE AB AA ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，设平面1D AE 法向量为n r ，(),,n x y z =r，则100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，所以203022x y z zx y --+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， ∴73022x z -+=，令3x =，则7z =，1y =．∴()3,1,7n =r为平面1D AE 的一个法向量，因为点P 在平面ABCD 内，故设点P 的坐标为(),,0m n ，因为()112FP OP OF OP OC CF OP OC AA =-=-+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以31,,22FP m n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u r ，0FP n ⋅=u u u r r，则310m n ++=，所以CP ====u u u r ，所以当25m =-时，CP u uu r 有最小值，最小值为20．(1)分布列见解析，95(2)13【分析】（1）由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，分别求出相应的概率，进而求解；（2）由全概率公式即可求解.【详解】（1）由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，()34310C 10C 30P ξ===，()2146310C C 31C 10P ξ===，()1246310C C 12C 2P ξ===，()36310136ξ===C P C ，所以随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P1303101216所以，()1311901233010265ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E .（2）设B =“任取一人新药对其有效”，=i A “患者来自第i 组”（1i =，2，3，分别对应甲，乙，丙），则123A A A Ω=U U ，且1A ，2A ，3A 两两互斥，根据题意得：()10.4P A =，()20.32P A =，()30.28P A =，()10.64P B A =，()20.75P B A =，()30.8P B A =，由全概率公式，得()()()()()()()1122330.40.640.320.750.280.80.72P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自于乙组的概率()()()()()()22220.320.7510.723P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，所以，任意选取一人，发现新药对其有效，则他来自乙组的概率为13.21．(1)双曲线方程：22143x y -=，椭圆方程为：22143x y+=(2)存在，()4,3P 【分析】（1）设双曲线方程为22221x y a b-=，椭圆方程22221x y a b +=，根据焦距和离心率求出22,a b 可得答案；（2）设()0,p x t ，()11,M x y ，()22,N x y ， 根据P 、A 、N 三点共线，P 、B 、M 三点共线可得()()2102102222y x x x y x --=++，令T x n =得直线MN l 的方程，与椭圆方程联立利用韦达定理代入上式化简可得()()2102102222y x x x y x --=++22nn-=+，若存在4p T x x =，即04x n =代入可得答案；法二：()00,p x y ，()11,M x y ，()22,N x y 设直线AP ：()0022y y x x =++与椭圆方程联立可得N x ，M x 、T x ，若存在4pT x x =，则0044x x =⨯可得答案.【详解】（1）由已知可设双曲线方程为22221x y a b-=，椭圆方程22221x y a b +=，222274132a b a b ⎧+=⎧=⇒⎨==⎩所以双曲线方程：22143x y -=，椭圆方程为：22143x y +=；（2）设()0,p x t ，()11,M x y ，()22,N x y ，()2,0A -，()2,0B ，P 、A 、N 三点共线，22022y tx x =++，P 、B 、M 三点共线，11022y tx x =--，相除：()()2102102222y x x x y x --=++，令()22T x n n =-<<，则设MN l ：x my n =+，联立椭圆方程：()22222346312034120x my nm y mny n x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩，易得0∆>，所以21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++，∴2121242y y n y y mn-=+，()()()()()()()()21211221222112121121222222222222y x y my n my y n y mny y n n y x y y my n my y n y mny y n n y -+-+-+-===+++++++()()()()()()()()()()()()21221221212142222222222422n y y n n y n n y n y n n n n y n y n y y n n y -++-⎡⎤-++--⎣⎦===⎡⎤++++--+++⎣⎦，若存在4p T x x =，即04x n =，0022422242n x n n x n ---==+++，得21n =，又P 在第一象限，所以1n =，()4,3P ；法二：()00,p x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，()2,0A -，()2,0B ，直线AP ：()0022y y x x =++，()()()()022*********22000241616231202223412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎡⎤=+⎪+⇒+++-=⎢⎥⎨+++⎢⎥⎪⎣⎦+=⎩，显然0∆>，由()()22002200161222324N y x x x y -+-=++，又因为P 在双曲线上，满足2200143x y -=，即22004312y x =-，所以()()()()()()222200000222200000008626246224246232432312N y x x x x x x x x x y x x -+--+-+--====+++++-，即04N x x =，同理BP ：()0022y y x x =--，可得04M x x =，所以04T x x =，若存在4p T x x =，即0044x x =⨯，而P 在第一象限，所以04x =，即()4,3P .【点睛】思路点睛：本题第二问主要是利用韦达定理代入()()2102102222y x x x y x --=++进行化简运算，考查了学生的思维能力和运算能力.22．(1)证明见解析(2)[)1,-+∞【分析】（1）法一：求导后利用放缩法得到()0f x ¢>，故()()00f x f ≥=；法二：多次求导，结合隐零点，得到()f x '先增后减，结合端点值的符号，得到()0f x ¢>在()0,1x ∈上恒成立，求出()()00f x f ≥=；（2）法一：构造()()2e 2sin ln 1x g x x a x =--++，变形后结合()e 100xx x --≥≥，()0sin 0x x x -≥≥，()()0ln 10x x x -+≥≥，且在0x =处取等号，得到1a ≥-时，()0g x ≥符合题意，1a <-时，结合函数单调性及零点存在性定理得到矛盾，求出答案；法二：构造()()2e 2sin ln 1xg x x a x =--++，求导后考虑0a ≥，利用放缩法及函数单调性可证，再考虑a<0，由()g x '在()0,π单调递增，且()01g a '=+，分10a +≥与10a +<两种情况，进行求解，得到答案.【详解】（1）法一：首先证明sin x x ≤，[)0,x ∈+∞，理由如下：构造()sin j x x x =-，[)0,x ∈+∞，则()cos 10j x x '=-≤恒成立，故()sin j x x x =-在[)0,x ∈+∞上单调递减，故()()00j x j ≤=，所以sin x x ≤，[)0,x ∈+∞，()()sin ln 1f x x x =-+，[]0,1x ∈，()22111cos 12sin 1212121x x f x x x x x ⎛⎫'=-=--≥--⎪+++⎝⎭()21111012121x x x x x=--≥--≤≤++，故()()2122202222x x x x x f x x x -+---'≥=>++在[]0,1x ∈上恒成立，所以()f x 在[]0,1单调递增，故()()00f x f ≥=法二：()()sin ln 1f x x x =-+，[]0,1x ∈，()1cos 1f x x x'=-+，且()00f '=，令()()1cos 1f x x xq x '=-=+，则()()21sin 1q x x x '=-++，令()()()21sin 1w q x x x x =-+='+，则()()32cos 01w x x x '=--<+在[]0,1x ∈上恒成立，所以()()21sin 1q x x x '=-++单调递减，又()010q '=>，其中π1sin1sin62>=，故()1sin1014q =-+<'，故()00,1x ∃∈，使得()00q x '=，且当()00,x x ∈时，()0q x '>，当()0,1x x ∈时，()0q x '<，所以()f x '先增后减，又()00f '=，()11cos102f '=->，∴()0f x ¢>在()0,1x ∈上恒成立，所以()f x 单调递增，()()00f x f ≥=；（2）法一：()()2e 2sin ln 1xg x x a x =--++，()()()()()2e 1sin ln 11ln 10x g x x x x x x a x =--+-+-++++≥，下证：()e 100xx x --≥≥，()0sin 0x x x -≥≥，()()0ln 10x x x -+≥≥，且在0x =处取等号，令()()0e 1x x r x x -=-≥，则()()e 100x r x x -≥'=≥，故()()0e 1xx r x x -=-≥单调递增，故()()00r x r ≥=，且在0x =处取等号，()0sin 0x x x -≥≥在（1）中已证明；令()()()0ln 1t x x x x =-≥+，则()()101011x t x x x x '=-≥++≥=，故()()()0ln 1t x x x x =-≥+单调递增，故()()00t x t ≥=，且在0x =处取等号，当0x >时，()ln 10x +>，当10a +≥时，即1a ≥-时，()0g x ≥符合题意，当1a <-时，()00g =，()2e cos 1x ag x x x '=-++，()010g a ='+<，其中当1a <-时，2e 2e a ->，()cos 1a -≤，11111111a a a a a -+-==-≤-+-+-+，故()()2e cos 01aag a a a -'-=--+>-+，令()()2e cos 1xau x g x x x '==-++，[]0,πx ∈，则()()22e sin 01xau x x x '=+->+在[]0,πx ∈上恒成立，故()g x '在[]0,πx ∈上单调递增，故()10,x a ∃∈-，使得()10g x '=，()g x 在()10,x 单调递减，故()()100g x g <=与()0g x ≥矛盾，舍去；综上：a 的取值范围为[)1,-+∞；法二：()()2e 2sin ln 1x g x x a x =--++，()2e cos 1xag x x x '=-++，()0,πx ∈，①当0a ≥时，()2e 10xg x '≥->，()0,πx ∈，()g x 在[]0,π单调递增，且()()00g x g ≥=符合题意，②当a<0时，()2e cos 1xag x x x '=-++在()0,π单调递增，()0211g a a '=+-=+，③当10a +≥时，即10a -≤<时，()()010g x g a ''≥=+≥ ()g x 在[]0,π单调递增，()()00g x g ≥=符合题意，②当10a +<时，即1a <-时，()00g =，()2e cos 1x ag x x x '=-++，()010g a ='+<，其中当1a <-时，2e 2e a ->，()cos 1a -≤，11111111a a a a a -+-==-≤-+-+-+，故()()2e cos 01aag a a a -'-=--+>-+，令()()2e cos 1xau x g x x x '==-++，[]0,πx ∈，则()()22e sin 01xau x x x '=+->+在[]0,πx ∈上恒成立，故()g x '在[]0,πx ∈上单调递增，故()10,x a ∃∈-，使得()10g x '=，()g x 在()10,x 单调递减，故()()100g x g <=与()0g x ≥矛盾，舍去；综上：a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。

试卷类型：A潍坊市高考模拟考试数学2024.3本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知平面向量(1,2),(1,)a b λ==-，若a b ⊥,则实数λ=（ ）A ．12B ．12- C ．2- D ．2 2．已知抛物线2:C x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（ ）A ．1B ．54C ．32D ．2 3．已知集合{}3log (21)2A x x =+=∣,集合{2,}B a =,其中a ∈R ．若AB B =,则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为114,1,510n S a S a =-=+,则4S =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．105．12世纪以前的某时期．盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000例如：58=LVIII ，464=CCCCLXIIII ．依据此记数方法，MMXXXV=（ ）A ．2025B ．2035C ．2050D ．20556．如图所示，在梭长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP A C ⊥,则点P 的轨迹长度是（ ）A ．2BC ．12D ．1 7．已知数列{}n a 满足120,1a a ==．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2004a =（ ）A ．2023213+B ．2024213+ C ．101221- D ．101121- 8．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且,2AB BC BC ⊥=,则该棱柱体积的最大值为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如右图所示．已知这6人年龄的极差为14，则（ ）A ．8a =B ．6人年龄的平均数为35C ．6人年龄的75%分位数为36D ．6人年龄的方差为64310．函数2()cos 2cos 1(01)f x x x x ωωωω=+-<<的图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．23y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数 C ．cos 6y f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称D ．若()(0)y f tx t =>在[0,]π上有且仅有两个零点，则1117,66t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,且()()2f x f x x --=,()(2)0g x g x +-=,则（ ）A ．(0)1g =B ．()f x y x =的图象关于点(0,1)对称 C ．()(2)0f x f x +-= D ．()2*1()N 2n k n n g k n =-=∈∑ 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(2i)i z +=,则2iz =-____________． 13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有____________种．（结果用数值表示）14．已知平面直角坐标系xOy 中，直线12:2,:2l y x l y x ==-,点P 为平面内一动点，过P 作2DP l ∥交1l 于D ,作1EP l ∥,交2l 于E ,得到的平行四边形ODPE 面积为1,记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知(sin cos )a B B c +=．（1）求A ；（2）若c a D ==为BC 的中点，求AD ．16．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>中，点A,C 分别是E的左、上顶点，||AC =E 的焦距为（1）求E 的方程和离心率；（2）过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于R,S 两点，设直线,,RS CR CS 的斜率分别为12,,k k k ,若123k k +=-，求k 的值．17．（15分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD是平行四边形，111120,22,8,ABC AB A B BC A A ∠====︒=,1,DD DC M ⊥为BC 的中点．（1）求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ;（2）若14D D =,求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．18．（17分）若,ξη是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(),,,1,2,i j a b i j =,记p η表示(),i j a b 在Ω中出现的概率，其中()()(),i j i j p P a b P a b ηξηξη⎡⎤======⎣⎦．（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m,n 表示）；（2）()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：()1i j P a p ηξ+∞===∑． 19．（17分） 已知函数1()2ln (0)f x m x x m x=-+>． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()2*3222211111111e N ,2234n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<∈≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）若函数221()ln 2g x m x x x =--+有三个不同的零点，求m 的取值范围．。

广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（柳州一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z =1+i ，则1z 的虚部为( )．A. −12B. 12C. −i2D. 12−i22.对于非零向量a ，b ，“a +b =0”是“a //b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:y 24−x 2m =1的一条渐近线方程为y =−2x ，则m =( )．A. 1B. 2C. 8D. 164.若过点(23,0)与圆x 2+y 2=4相切的两条直线的夹角为α，则cos α=( )．A.55B. 255C. 13D. 235.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，则点M 的轨迹方程为( )．A. x 225−9y 2100=1(x ≠±5)B. x 225−3y 2100=1(x ≠±5)C. y 225−3x 2100=1(x ≠±5) D. y 225−9x 2100=1(x ≠±5)6.设函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)，已知f(x 1)=−1，f(x 2)=1，且|x 1−x 2|的最小值为π4，则ω=( )．A. 1B. 2C. 3D. 47.已知正四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1的体积为763，AB =2，A 1B 1=1，则AA 1与底面ABCD 所成角的正切值为( )．A.32B.3 C. 23 D. 48.设函数f(x)=x ln x−(a +b)ln x ，若f(x)≥0，则5a +5b 的最小值为( )．A. 1B. 2C.5D. 25二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2024北京朝阳高三一模数 学2024.4（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<，则UA =（A ）{1} （B ）{1,2}（C ）{3,4} （D ）{2,3,4}（2）复数i3i+在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在ABC △2sin b A =，则B ∠=（A ）6π （B ）6π或65π （C ）3π（D ）3π或32π （4）已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =−在R 上单调递增”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线60x −+=222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r =（A ）2（B）（C ）4（D）（6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12341,4a a a a =++=，则6S =（A ）9（B ）16（C ）21（D ）25（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N 分别是l与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为 （A ）y x =±（B）y = （C）y = （D）y = （8）在ABC △中，2,AB AC BC ===P 在线段BC 上．当PA PB ⋅取得最小值时，PA =（A（B（C ）34（D ）74（9）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =．则下列说法正确的是 （A ）存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交G1A（B ）存在点H ，使得直线DH ⊥平面EFG （C ）直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3（D ）平面EFG （10）已知n 个大于2的实数21,,,n x x x ，对任意(1,2,),i n x i =，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x −+++≤成立的最大正整数n 为（A ）14（B ）16 （C ）21 （D ）23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

上海市崇明区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.15一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集是．2.双曲线221y x 的焦距是．3.4.5.x6.7.8.9.10.个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．．11.已知不平行的两个向量a 、b 满足1a ，a bt R ，都有2b ta 成立，则b 的最小值等于．12.已知正实数a 、b 、c 、d 满足210a ab ，221c d ，则当 22a cb d 取得最小值时，ab．第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合23A x x ，0B x x ，则A B （）.A 2,3 ；.B 0,3；.C 0, ；.D 2, ．14.若0x y ，则下列不等式正确的是（）.A x y ；.B 22x y ；.C 11x y；.D 2x y．15.已知点M 为正方体1111ABCD A B C D 内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：1q2q .A .C 16.则实数m 的取值.A ．三、17.1，90ADC ，E 、F （1（2）求点B 到平面PCF 的距离．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC 中，5a ，6b ．（1）若4cos 5B，求A 和ABC 外接圆半径R 的值；（2）若ABC 的面积4S，求c 的值．19.台计算TPI 4个等级：某市（1）年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路2022年同日TPI高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．已知抛物线21:4y x ，22:2y x ，直线l 交抛物线1 于点A 、D ，交抛物线2 于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1 焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为 4,4，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD，求AOD 与BOC 的面积之比．已知 sin f x mx x （m R 且0m ）．（1）若函数 y f x 是实数集R 上的严格增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列 n a 是等差数列（公差0d ）， n n b f a ．是否存在数列 n a 使得数列 n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列 n a ，并证明此时的数列 n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m ，是否存在直线y kx b 满足：①对任意的x R 都有 f x kx b 成立，②存在0x R使得 00f x kx b ？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．崇明区2023学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1. （1，3）；2. 3. 2； 4. 31； 5. 10；6.7. 3； 8. 9； 9. 0.42； 10. 假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚； 11.12.12+. 二、选择题13. D ； 14. C ； 15. A ； 16. A. 三、解答题17. 解 （1）证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，12CD AB =，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，......................................4分 由于CE 不在平面PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD ；.....................................................................................7分 （2）设点B 到平面PCF 的距离为h ，由题意，CF AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以CF PF ⊥ 在RT PAF △中，PF =，所以12PFC S CF PF =⋅=△分 由P BCF B PCF V V −−=得1133BCF PCF S PA S h ⋅=⋅△△所以5h =，即点B 到平面PCF的距离为5.......................................7分 18. 解 （1）因为4cos 5B =−，()0,B π∈，所以3sin 5B ==...........2分 由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，....................................4分 所以1sin 2A =，5R =， 因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =..................................................6分 （2）由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△，....................2分于是3cos 4C ==±.....................4分当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+−⨯⨯⨯=.....................6分当3cos 4C =−时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =分（2）根据统计数据可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天，故0,1,2X =.....................2分()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====； ()125237C C 512C 357P X ⋅====...........................................................................................8分20. 解 （1）抛物线24y x =的准线为1x =−，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2， 所以点A 的横坐标为1，故点A 的坐标为(1,2).....................4分 （2）设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,)22x y ++ 由题意，402y +=，故04y =−，所以(8,4)C −.....................2分 所以直线l 的方程为：2120x y +−=.....................4分所以原点O 到直线l 的距离d ==.....................6分 （3）由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+ 设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x y B x y C x y由2AB CD =，得31242()y y y y −=−①，.....................2分由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b −+=，所以124y y k +=，124b y y k =同理，342y y k+=，342b y y k =.....................4分所以12342()y y y y +=+②，12342y y y y =③由①，②得：23y y =−，代入③得142y y =−，代入②得2434y y =所以4412344442103473AODBOCy y S y y S y y y y −−−===−−−△△...............................................................8分 21.解 （1）因为函数()y f x =是实数集R 上的增函数，所以'()cos 0f x m x =+≥对任意的x ∈R 都成立.............................2分 因为函数cos y m x =+的最小值为1m −，所以1m ≥.....................4分（2）sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立， 即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+， 将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=， 即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++−++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅−=对一切正整数n 成立，所以1sin 0n a +=或cos 1d =， 故1n a n π+=或()20,d k k k π=≠∈Z ；......................................................3分 注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分 当()20,d k k k π=≠∈Z 时，()()11sin sin 1212n n n b a ma a n k m a n k ππ=+=+−++−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112sin m n k ma a π=−++，所以12n n b b m k π+−=为常数，故{}n b 是等差数列......................................................................6分 同理，当n a n π=时，亦可证明数列{}n b 为等差数列. （3）令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b =+−+=−+−则当m Z ∈时，(2)2(1)sin11b bg m k m k kππ+=−+−− 1k >时，存在m Z ∈使得(2)01bg m kπ+<−， 即存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符.......................4分1k =时，()sin g x x b =−当1b >−时，显然存在存在x R ∈使得()0g x <，即存在存在x R ∈使得()f x kx b <+ 当1b <−时，对任意的x R ∈都有()0g x >，..................................6分 当1b =时，存在02x π=−，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x R ∈都有()f x kx b ≥+综上，存在直线1y x =−满足题意..................................8分。

数学姓名__________准考证号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,1,1,1a m b m =+=-，且a b ⊥，则m =（）A.1B.1- C. D.0【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由题意知()()21110a b m m m ⋅=+⨯-+== ，所以0m =.故选：D2.已知集合{}{}1,1,0,1,2,4A B =≤=-，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}1 B.{}1,1- C.{}0,1 D.{}1,0,1-【答案】C 【解析】【分析】先求得集合A ,根据图示计算出A B ⋂即可.【详解】结合题意图中阴影部分表示的集合为A B ⋂，因为{}1A x=≤，根据幂函数的性质：y =为增函数，且0x ≥，1≤，所以有：01x ≤≤，所以{}|01A x x =≤≤，又{}1,0,1,2,4B =-，所以{}0,1A B = .故选：C3.设命题:R,x p x a kx ∃∈>，则p ⌝为（）A.R,x x a kx ∀∈>B.R,x x a kx ∃∈≤C.R,x x a kx ∀∈≤D.R,x x a kx∃∈=【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式判定即可.【详解】由题意可知:R,x p x a kx ⌝∀∈≤.故选：C4.某学校高三年级组在每次考试后将全年级数学成绩的第85百分位数定为“优秀”分数线.某次考试后，张老师将自己所带100名学生的数学成绩录入计算机，并借助统计软件制作成如图所示的频率分布直方图.据此，以样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为（）A.120B.123C.126D.129【答案】D 【解析】【分析】根据频率分布直方图，求出张老师将自己所带100名学生的数学成绩第85百分位数，以样本估计总体，即可求解.【详解】样本中[)120,135，[)135,150两个小组的频率分别为1150.2075´=，7150.071500´=，由于0.200.070.270.15+=>，故第85百分位数位于[)120,135内，设其为x ，则()10.071350.1575x +-=，解得129x =，由样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为129.故选：D5.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，经过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若223,4,5AF AB BF ===，则椭圆C 的离心率为（）A.22B.33C.12D.55【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义求出2a ，根据2ABF △边长确定290BAF ∠=︒，进而求出2c ，即可求解椭圆离心率.【详解】由题意结合椭圆定义可知：2ABF △的周长为124a =，26a =，又因为2222291625AF AB BF +=+==，所以290BAF ∠=︒，又由23AF =，知1223AF a AF =-=，故1212c F F ===，因此椭圆C 的离心率为2262c e a ===.故选：A6.已知数列{}n a 满足1121n n n n a a a a ++=--，且13a =，则2024a =（）A.15B.4- C.54D.23【答案】B 【解析】【分析】由递推公式列举数列的若干项，观察规律，利用数列的周期性计算即可.【详解】由题意可知22232314a a a =--⇒=-，同理312a =-，45678125,,,3,4534a a a a a =====- ，即{}n a 是以6为周期的数列，所以20246337224a a a ⨯+===-.故选：B7.已知函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，若()()()22f x f y f xy yx=+，则（）A.()11f =B.()11f -=C.()f x 为偶函数 D.()f x 为奇函数【答案】C 【解析】【分析】根据题意，令x 、y 取特殊值逐一验证四个选项即可.【详解】令1x y ==，则()()121f f =，故()10f =，A 选项错误；令1x y ==-，则()()121f f =-，故()10f -=，B 选项错误；令1y =-，则()()()()21f f x f x f x x--=+=，故()f x 为偶函数，C 选项正确；因为()f x 为偶函数，又函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，D 选项错误.故选：C8.如图，在体积为1的三棱锥A BCD -的侧棱,,AB AC AD 上分别取点,,E F G ，使::1:1,:2:1AE EB AF FC AG GD ===，记O 为平面BCG ､平面CDE ､平面DBF 的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（）A.14B.15C.16D.17【答案】B 【解析】【分析】先画出图形确定O 的位置，将三棱锥O BCD -的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推导，求出比例即可．【详解】如图所示，假设,ED BG J CG DF I == ，连接,BI CJ ，易知BI CJ O = ，在ABD △中，设,GJ GB EJ ED λμ==，所以()2221333AJ AG GJ AD AB AD AB AD λλλ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，()1111222AJ AE ED AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，则()()1112421132λμλλμμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩，即14GJ GB =，同理14GI GC =，则1445JI BO BC BI =⇒=，设,,,O I G A 到底面的距离分别为,,,O I G A h h h h ，则4311,,5435O G O I I G A A h h h h h h h h ===⇒=，所以15O BCD O A BCD A V h V h --==.故选：B【点睛】思路点睛：先根据平面性质确定交点位置，再由平面向量的线性运算计算线段比例关系得出棱锥高的比例关系即可.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数13i,z z =-+是z 的共轭复数，则（）A.32i z +-=B.z 的虚部是3iC.z 在复平面内对应的点位于第二象限D.复数z 是方程2280x x ++=的一个根【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.【详解】由题意可知32i 2i z +-=+，所以32i z +-=，故A 正确；易知z 的虚部是3，故B 错误；z 在复平面内对应的点为()1,3-，位于第二象限，故C 正确；对于2228012x x x -±++=⇒==-±，显然13i z =--不符合题意，故D 错误.故选：AC10.已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则（）A.当12ω=时，函数()f x 的周期为4πB.函数()f x 图象的对称轴是ππ,6k x k ωω=+∈Z C.当12ω=时，5π3x =是函数()f x 的一个最大值点D.函数()f x 在区间()0,1内不单调，则5π6ω>【答案】ACD 【解析】【分析】由正弦函数的周期，对称性及最大值判断ABC ，由导函数等于0有解判断D.【详解】对A ，当12ω=时，函数()f x 的周期为2π4πω=，故A 正确；对B ，令πππ32x k ω-=+，得5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故函数()f x 图象的对称轴是5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故B 错误；对C ，当12ω=时，()1π5πsin ,1233f x x f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故5π3x =是函数()f x 的一个最大值点，故C 正确；对D ，函数()f x 在区间()0,1内不单调，则()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'在()0,1有解，且左右函数值异号，令πππ,333t x ωω⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，则2ππ3ω->，解得5π6ω>，故D 正确.故选：ACD.11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合，“ ”是一个适用于G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G 对“ ”构成一个群：（1）封闭性，即若,a b G ∈，则存在唯一确定的c G ∈，使得c a b = ；（2）结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有()()a b c a b c = ；（3）单位元存在，即存在e G ∈，对任意a G ∈，满足a e e a a == ，则e 称为单位元；（4）逆元存在，即任意a G ∈，存在b G ∈，使得a b b a e == ，则称a 与b 互为逆元，b 记作1a -.一般地，a b 可简记作,ab a a 可简记作22,a a a 可简记作3a ，以此类推.正八边形ABCDEFGH 的中心为O .以e 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以r 表示以点O 为中心，将正八边形逆时针旋转π4的旋转变换；以m 表示以OA 所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“ ”表示复合变换，即f g 表示将正八边形先进行g 变换再进行f 变换的变换.以形如(,pqr m p q ∈N ，并规定)00r m e ==的变换为元素，可组成集合G ，则G 对运算“ ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作8D .则以下关于8D 及其元素的说法中，正确的有（）A.28mr D ∈，且22mr r m =B.3r m 与5r m 互为逆元C.8D 中有无穷多个元素D.8D 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，对选项逐一运算可得结果.【详解】我们有：1 由于两次轴对称等价与不变换，故2m e =；由于旋转45 施行8次等价于旋转360 也就是不变，故8r e =；由于先旋转再关于OA 对称和先关于OA 对称再旋转等效，故rm mr =.2 8D 一共是16个元素，变换后ABCDEFGH 逆时针排列的有8个，顺时针排列的有8个.这就说明：22mr r m =，A 正确；()()353528r m r m r r mr e ===，B 正确；8D 一共是16个元素，C 错误；8D 中，()()()22484428,,m e r r e mr mr m r e =====，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一个底面半径为1，高为2的圆柱的两个底面的圆周都在球O 的表面上，则球O 的表面积为__________．【答案】8π【解析】【分析】画出组合体的轴截面图，根据轴截面图可知，利用勾股定理可计算出球的半径，进而求得球的表面积.【详解】画出组合体的轴截面图如下图所示，其中BC 是球的半径，AB 是圆柱底面半径，AC 是圆柱高的一半，故222112BC AC AB =+=+=，所以球的表面积为24π8πBC ⋅=.【点睛】本小题主要考查球的表面积计算，考查圆柱和球的组合体问题的求解方法，属于基础题.13.甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学中考语文､数学､外语的成绩如下表：甲乙丙丁戊己语文108110115110118107数学110120112111100118外语110100112114110113将每人中考成绩最高的科目认定为他的“最擅长科目”，例如甲的最擅长科目为数学和外语.现从这六位同学中选出三人分别担任语文､数学､外语三个科目的科代表（每科一人，不可兼任），若每个科代表对应的科目都是他的最擅长科目，则符合要求的安排方法共有__________种.【答案】10【解析】【分析】由表格先确定六人各自擅长科目，再分类讨论即可.【详解】由表格可知：甲最擅长科目为数学和外语，乙为数学，丙为语文，丁为外语，戊为语文，己为数学.则语文可从丙、戊两位同学选，数学可从甲乙己三位同学选，外语可从甲丁两位同学选，C C4=种选法；若甲不为课代表，则只需选语文、数学科目代表即可，有1122C2=选法；若甲为课代表，则①甲为数学课代表，只需选语文课代表即可，有12C C4=种选法；②甲为外语课代表，只需选语文、数学课代表即可，有有1122综上所述，共有10种方案.故答案为：1014.已知()()1122,,,A x y B x y 为抛物线28y x =上两个不同的动点，且满足1216y y =-，则112222x y x y +++++的最小值为__________.【答案】6【解析】【分析】根据点A 、B 在抛物线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，设出直线AB 方程，利用韦达定理化简22121248y y y y ++++得到一元二次函数，即可求出最小值.【详解】由()11,A x y 在抛物线28y x =上可知：2118y x =，所以()2211111422088y y x y y +++=++=≥；同理可得：222222208y x y y ++=++≥，故22121122122248y y x y x y y y ++++++=+++①，设直线AB 方程为x my n =+，直线与抛物线联立，有：28x my ny x=+⎧⎨=⎩消去x 整理有：2880y my n --=，由韦达定理有：128y y m +=，又1216y y =-，故①式化为：221888862m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，故：112222x y x y +++++的最小值为6.故答案为：6【点睛】关键点点睛：要求112222x y x y +++++的最小值，关键在于结合点在曲线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，再利用韦达定理进一步化简成一元二次函数求最值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其面积为S ，且2224S b c a =+-.（1）求A ；（2）已知a =S 的取值范围.【答案】（1）π4A =（2）02S <≤+【解析】【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解tan 1A =，进而可求解π4A =，（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.【小问1详解】因为三角形的面积为222441sin 2bc A S b c a ==+-⨯，则222sin cos 2b c a A A bc+-==，所以tan 1A =，又(0,π)A ∈，则π4A =；【小问2详解】由于2222cos 22b c a A bc +-==，所以22828b c bc +-=≥-，即(288bc bc -≤⇒≤+b c =取等号，故(11212sin 8222222S bc A ==⨯≤⨯+=，故02S <≤+16.如图，在三棱台111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面11111π,,4,2,2AB C BB AB AB AA AB BAC ∠⊥====.（1）证明：AC ⊥平面11ABB A ；（2）若直线BC 与11B C 距离为3，求平面11ABB A 与平面11BCC B 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，进而可求，（2）根据线面垂直的性质，结合平面夹角的几何法，即可求解1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，根据三角形的边角关系求解长度即可求解.【小问1详解】由于平面11ABB A ⊥平面1,AB C 且交线为1AB ,又111,BB AB BB ⊥⊂平面11ABB A ，所以1BB ⊥平面1,AB C AC ⊂平面1,AB C 故1BB AC ⊥，又11,,,AB AC AB BB B AB BB ⊥⋂=⊂平面11ABB A ,故AC ⊥平面11ABB A 【小问2详解】由（1）知1BB ⊥平面1,AB C 1CB ⊂平面1,AB C 故1BB ⊥1CB ，又11,BB AB ⊥1AB ⊂平面11ABB A ,1CB ⊂平面11BCC B ,所以1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，过1B 作1B D BC ⊥于D ,由于直线BC 与11B C 距离为3，故13B D =，由于111,4,2BB AB AB AB ⊥==，故1BB ==在直角三角形1BB D中，111sin 2B D DBB BB ∠==,故1π3DBB ∠=，故在直角三角形1BB C中，111tan 6B C BB DBB =∠==，（1）知AC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A 故1AB AC ⊥，所以1Rt AB C △中，11121cos 63B A ABC CB ∠===17.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军.比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分，比赛没有平局；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为12.（1）求甲乙决出冠军时比赛局数X 的分布列与数学期望()E X ；（2）求在甲获得冠军的条件下其积分达到11分的概率P .【答案】（1）分布列见解析；()238E X =（2）18【解析】【分析】（1）根据比赛规则，分析比赛可能出现的各种情况，确定X 的取值，进而求出X 的分布列与数学期望；（2）根据条件概率公式求出()()()()()P BC P BC P BC P BC P BC +++即可.【小问1详解】由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，故比赛次数不会超过5；由比赛规则可知，若比赛共进行了n 局，()25n ≤≤，则前n 1-局不可能出现某人连胜2次（否则2连胜后比赛结束），故前n 1-局必定甲乙二人胜负交替，综上可知：比赛决出冠军时，二人比赛过程中的胜负情况有以下三种可能：第一，比赛进行n 局()24n ≤≤，前n 1-局二人胜负交替，第n 局与第n 1-局胜者相同，此人达成2连胜并获得冠军（其积分不超过33110⨯+=，故未达11分）；第二，比赛进行了5局，二人始终胜负交替，其中第5局获胜者获得11分，另一方9分，此时获胜者仅积分率先达到11分并获得冠军；第三，比赛进行了5局，前4局二人胜负交替，但第4局的获胜者在第5局连续获胜，则他同时完成2连胜且积分率先达到11分并获得冠军.即随机事件=i A “第i 局比赛中甲获胜”{}1,2,3,4,5i ∈，B =“甲达成2连胜”，C =“甲先获得11积分”；根据题意，X 的可能取值为2,3,4,5()()()2212121112222P X P A A P A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()331231231113224P X P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()44123412341114228P X P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11115123412488P X P X P X P X ==-=-=-==---=.于是X 的分布列为：X2345P12141818故()111123234524888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】根据以上分析可知：()()()()234121231234111722216P BC P A A P A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故()()()()()()()()()1113232|7118163232P BC P BC P C P P C B C P B C P BC P BC P BC ++=⋃===⋃++++.18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，其右焦点为F ，且直线2y x =是C 的一条渐近线.（1）求C 的标准方程；（2）设(),M m n 是C 上任意一点，直线22:1mx nyl a b -=.证明：l 与双曲线C 相切于点M ；（3）设直线PT 与C 相切于点T ，且0FP FT ⋅=，证明：点P 在定直线上.【答案】（1）221832x y -=（2）证明过程见解析（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）由题意得229412a bb a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出,a b 的值即可；（2）一方面(),M m n 是C 上任意一点，从而可得出它也在直线22:1mx nyl a b -=上面，联立椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可；（3）由（2）中结论，设出点的坐标，可得432nq mp =-，由向量数量积公式化简得-=-0-≠即可得证.【小问1详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，且直线2y x =是C 的一条渐近线，所以229412a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得228,32a b ==，所以C 的标准方程为221832x y -=；【小问2详解】首先设(),M m n 是C 上任意一点，所以有222222221832m n m n m n m n a b a b ⋅-⋅=-=-=，这表明了点(),M m n 也在直线l 上，也可以得到22432m n -=，联立直线l 的方程与椭圆C 的方程有2218321832x y mx ny ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，化简并整理得()222246425680n mxmx n -+--=，而224320n m -=-≠，且()()()()2222222Δ6444832643240m n mnm m =+-⨯+=-⨯=，这也就是说l 与双曲线C 相切于点M ；【小问3详解】不妨设()(),,,T m n P p q ，由（2）可知过点T 的直线PT 的方程为1832mx ny -=，因为点(),P p q 在直线1832mx ny -=上，所以1832mp nq-=，即有432nq mp =-，又2240a b +=，从而()F ，所以()(),FP p q FT m n =-=-，若0FP FT ⋅=，则()40432FP FT p m qn pm p m pm ⋅=--+=-+++-)580pm p m =-++=，-=-，因为m a ≥=2105m ≠=0-≠，从而5p ==，所以点P 在定直线上2105x =上.19.已知0a >，且1a ≠，函数()()ln 11xf x a x =++-.（1）记()()ln 1,n n a f n n n S =-++为数列{}n a 的前n 项和.证明：当89a =时，642024S <；（2）若1ea =，证明：()0xf x ≥；（3）若()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）直接利用等差数列、等比数列的求和公式计算即可；（2）利用导数研究()e 1xx -+的单调性与最值判定()f x 的单调性即可证明；（3）分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及极限思想计算即可.【小问1详解】由题意可知89a =时，()()88ln 11ln 1199n nn a n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--++=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()64126644881998880126412016899919S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 6484202920428⎛⎫=⎪⎭<-⨯ ⎝；【小问2详解】易知1e a =时，()()()()()()e 1111ln 111e 1e e 1xx x x x f x x f x x x x +'=++-⇒=--=>-++，令()()()()1e 1e 1xxg g x x x x '=->⇒=+--，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,g x x '<∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()()000g x g f x '≥=⇒≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，所以()1,0x ∈-时，()()0,0,f x x <∈+∞时，()0f x >，故()0xf x ≥；【小问3详解】①若1a >，易知()f x 定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意；②若1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()1,0x ∈-时，1e x x a <，x ∈()0,∞+时，1exx a >，由（2）可知：()1,0x ∈-时，()()1ln 110e xf x x <++-<，()0,x ∈+∞时，()()1ln 110ex f x x >++->，且()00f =，则函数()f x 只有一个零点，不符题意；③由（2）知，1ea =时，()f x 在()1,-+∞上单调递增，也不符题意；④若10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()1111ln 111ln 11xxx x a a a f x x x x a a -⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=+=>-+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()(),l 1111111e 1n ,ln x xh x x x a a a a a h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+>>- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭'-⇒⎭⎝-⎝⎝⎭=，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,h x x ∞<∈+'时，()0h x '>，即()h x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，注意到()()10,01ln 0h a h a -=>=+<，(),0x h x →+∞>，所以()()121,0,0,x x ∃∈-∈+∞使得()()120h x h x ==，即()f x 在()11,x -和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，又1x →-时，()f x →-∞，()()()1200f x f f x >=>，(),0x f x →+∞>，所以在区间()()121,,,x x -+∞各存在一个零点，及0x =也是一个零点，符合题意；综上10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：对于第三问，先讨论1a >，此时函数单调递增，排除；结合（2）再讨论1,ea 的大小关系，首先注意到1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由1,ex x a 的大小关系及（2）的结论放缩下从而确定不符题意，再利用隐零点及零点存在性定理、极限思想来确定10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时符合题意即可.。