高三一模考试数学试题(理科)2019.03

齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】．故选B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】B＝{x|x＞1}；∴A∩B＝∅．故选：A．【点睛】考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义，属于基础题．3.若满足不等式组则的最小值为（）A. -2B. -3C. -4D. -5 【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．【详解】画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示：平移目标函数z＝2x﹣3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，∴z的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5．故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【详解】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：b a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π，图标第三部分的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．【点睛】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.设等差数列的前项和为，且，，则的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，分析可得4a1+6d＝3（2a1+d），a1+6d＝15，解可得d的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若S4＝3S2，a7＝15，则4a1+6d＝3（2a1+d），a1+6d＝15，解可得a1＝3，d＝2；故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.运行如图程序，则输出的的值为（）A. 0B. 1C. 2018D. 2017【答案】D【解析】依次运行程序框图给出的程序可得第一次：，不满足条件；第二次：，不满足条件；第三次：，不满足条件；第四次：，不满足条件；第五次：，不满足条件；第六次：，满足条件，退出循环。

第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合21log 11,13xAx x B x，则AB( )A ．1,0B ．,0C ．0,1D ．1,2.下列函数中，既是偶函数，又在区间0,单调递减的函数是()A.3y x B.ln yx C.cos yx D.2xy 3.函数sin ()ln(2)xf x x 的图象可能是( )4.设0a 且1a，则“函数xa x f )(在R 上是减函数”是“函数32)(x a x g 在R 上递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知4213532,4,25abc，则()A. cab B.abc C.ba c D.bc a6.若实数b a,满足23,32ba ，则函数b x a x f x)(的零点所在的区间是()A ．1,2 B ．0,1 C ．10，D ．21，7.已知命题p ：“R x 0，使得012020ax x 成立”为真命题，则实数a 满足()A ．11-， B ．,11, C ．，1 D ．1,8.定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f ，且在区间20，上递增，则()A ．)80()11()25(f f fB ．)25()11()80(f f fC ．)11()80()25(f f f D ．)25()80()11(f f f 9.已知函数)1(x f y 是定义域为R 的偶函数，且)(x f 在，1上单调递减，则不等式)2()12(xf x f 的解集为()。

2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.A.B.C.D.【答案】B 【解析】解：．故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2. 设集合0，，，则A. B. C.D.【答案】A 【解析】解：；．故选：A ．可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．3. 若x ，y 满足不等式组，则的最小值为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：画出x ，y 满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数知，，，当目标函数过点A 时，z 取得最小值， 的最小值为．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.已知双曲线的离心率为e，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线C的渐近线方程为B. C. D.A.【答案】A【解析】解：抛物线的焦点坐标为，则，又，所以，可得，可得：，所以双曲线的渐近线方程为：．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：图标第一部分的面积为，图标第二部分的面积和第三部分的面积为，图标第三部分的面积为，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.设等差数列的前n项和为，且，，则的公差为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为d，若，，则，，解可得，；故选：B．根据题意，设等差数列的公差为d，分析可得，，解可得d的值，即可得答案．本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.运行如图程序，则输出的S的值为A. 0B. 1C. 2018D. 2017【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得：．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】解：f的定义域为，因为，曲线在点处的切线方程为，可得，解得，故选：B．求出函数的导数，利用切线方程通过，求解即可；本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，a，，，，，，解得，，，，，0，，设直线与所成角为，则．直线与所成角的余弦值为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.已知函数在上是单调函数，且，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数在上是单调函数，，．又，即，则，，故选：C．利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得，则，由此可得的取值范围．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．9.已知半圆C：，A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使，则t的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则，由于BP与x轴垂直，且，则在中，，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，有最大值2，有最大值，则t取得最小值，时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为；故选：A．根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在中，，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析的最值，即可得t的范围，综合可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．10.在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如下图所示，易知和都是等边三角形，取AC的中点N，则，．所以，是二面角的平面角，过点B作交DN于点O，可得平面ACD．因为在中，，所以，，则．故三棱锥为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥的内切球的表面积为．故选：C．作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出，，可得出二面角的平面角为，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知，则______．【答案】【解析】解：，．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12.在的展开式中，的系数为______用数字作答．【答案】120【解析】解：的展开式的通项是，所以在的展开式中，含的项为，所以的系数为120．故答案为：120．根据的展开式的通项公式，计算在的展开式中含的项是什么，从而求出的系数．本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．13.已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】解：由等价为设，又由函数是定义在R上的奇函数，则有，则有，即函数为R上的奇函数，则有；又由对任意时，有，则，，，即在上为减函数，是奇函数，在上为减函数，，；，，则等价为，是减函数，，即不等式的解集为；故答案为：．根据条件构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数，利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．14.已知数列的前n项和满足，，数列的前n项和为，则满足的最小的n值为______．【答案】7【解析】解：根据题意，数列满足，当时，有，，可得：，变形可得，当时，有，解可得，则数列是以为首项，公比为的等比数列，则，数列的前n项和为，则，则有，可得：，变形可得：，若，即，分析可得：，故满足的最小的n值为7；故答案为：7．根据题意，将变形可得，两式相减变形可得，令求出的值，即可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可得数列的通项公式，进而可得，由错位相减法分析求出的值，若，即，验证分析可得n的最小值，即可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列的通项公式，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）15.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，的面积为S，且，．Ⅰ求的值；Ⅱ若，求S的值．【答案】解：Ⅰ，，可得：，中，A为锐角，又，可得：，，又，，Ⅱ在中，，由正弦定理，可得：，．【解析】Ⅰ由已知利用三角形面积公式可得，利用同角三角函数基本关系式可求，，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求的值．Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求，利用正弦定理可得b的值，即可得解S的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.如图，四棱锥中，，，，，．Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ，，，，，，，，，，，，，平面PAD，平面ABCD，平面平面ABCD．解：Ⅱ取AD中点O，连结PO，则，且，由平面平面ABCD，知平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，0，，0，，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得，，，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．Ⅱ取AD中点O，连结PO，则，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：平均每天锻炼的时间单位：分钟时间将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”．Ⅰ请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？Ⅱ在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，求这10人中，男生、女生各有多少人？从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：，其中临界值表．所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关分Ⅱ在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2．则X可得数学期望．【解析】列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．Ⅱ在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线与椭圆C相切．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ是否存在直线l：与椭圆C相交于E，D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】解：Ⅰ在中，令，可得，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，，直线与椭圆C相切，，，．故椭圆C的方程为；Ⅱ由Ⅰ可知，则直线l的方程为，联立，可得，则，，，，，，，即，整理可得，解得，直线l存在，且k的取值范围为．【解析】Ⅰ由题意可得，以及直线与椭圆C相切，可得，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；Ⅱ联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．19.已知函数．Ⅰ若函数在上有2个零点，求实数a的取值范围注Ⅱ设，若函数恰有两个不同的极值点，证明：．【答案】解：Ⅰ由，得，令，，，故在递减，在递增，又，，，故，故；Ⅱ，故，，是函数的两个不同的极值点不妨设，易知若，则函数没有或只有1个极值点，与已知矛盾，且，，故，，两式相减得，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，令，即证不等式，当时恒成立，设，则，设，则，当时，，递减，故，即，故，故在时递减，在处取最小值，故得证，故．【解析】Ⅰ问题转化为，令，，根据函数的单调性求出a的范围即可；Ⅱ求出，问题转化为证，令，即证不等式，当时恒成立，设，则，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题．20.已知曲线的参数方程为为参数，P是曲线上的任一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为．Ⅰ求曲线的直角坐标方程；Ⅱ以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：交曲线于M，N两点，求．【答案】解：Ⅰ利用消去可得，设PQ的中点坐标为，则P点坐标为，则PQ中点的轨迹方程为．Ⅱ直线的直角坐标方程为，联立与得，．【解析】Ⅰ利用消去可得圆的普通方程，设PQ的中点坐标为，则P点坐标为，将P的坐标代入的方程即可得；Ⅱ先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．21.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ对及，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得．所以不等式的解集为．Ⅱ，，，对于，恒成立等价于：对，，即，．【解析】Ⅰ根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．Ⅱ利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

2019届石家庄高三一模数学试题（理科）石家庄2019届高中毕业班模拟考试（一）理科数学答案一、选择题1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB 二、填空题13. 1 14. ()122y x =- 或()122y x =--15.16. 10三、解答题17. 解: （1） ∵△ABC 三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B=60°设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,由S =1sin 2ac B 可得12ac =.……2分△ABC 中，由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，∴b=.即AC 的长为 ……6分（2）∵BD 是AC 边上的中线，∴1()2BD BC BA =+u u u ru u ur u u u r ……8分 ∴2221(2)4BD BC BA BC BA =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =221(2cos )4a c ac B ++=221()4a c ac ++1(2)94ac ac ≥+=，当且仅当a c =时取“=” ……10分 ∴3BD ≥u u u r,即BD 长的最小值为3. ……12分18. 解：（1）证明：在PBC ∆中，60oPBC ∠=，2BC =，4PB =，由余弦定理可得PC =222PC BC PB +=Q ，PC BC ∴⊥，…………2分,PC AB AB BC B ⊥⋂=Q 又，PC ABC ∴⊥平面，PC PAC ⊂Q 平面，PAC ABC ∴⊥平面平面.…………4分（2）法1：在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以,,CA CM CP 所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系C xyz -如图所示：(0,0,0),(0,0,(2,0,0),C P AB F ，…………6分设平面PBC 的一个法向量为111(,,)x y z =m则11100CB x CP ⎧•==⎪⎨•==⎪⎩u u u r u u u r m m解得1x =11y =-，10z =即1,0)=-m …………8分设平面BCF 的一个法向量为222(,,)x y z =n则222200CB x CF x ⎧•=+=⎪⎨•=+=⎪⎩u u u r u u u r n n解得2x =，21y =-，21z =-即1,1)=--n …………10分cos 5,<>===g m n m n m n由图可知二面角P BC F --为锐角，所以二面角PBC F --12分 法2：由（1）可知平面PBC ⊥平面ABC ，所以二面角P BC F --的余弦值就是二面角A BC F --的正弦值，…………6分 作FM AC ⊥于点M ，则FM ⊥平面ABC ， 作MN BC ⊥于点N ，连接FN ，则FN BC ⊥∴FNM ∠为二面角A BC F --的平面角；…………8分Q 点F 为PA 中点，∴点M 为AC 中点，在Rt FMN ∆中，12FM PC==QMN = 2FN ∴=…………10分 sin FM FNM FN ∴∠==,所以二面角PBC F --的余弦值为5。

2019届全国1卷高考模拟试题三数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．实数集R ，设集合}4{},34{22<=-+-==x x Q x x y x P ，则=⋃)(Q C P RA ．[2，3]B ．(1，3)C ．(2，3]D ．),1[]2,(+∞⋃--∞2．设yi x i x R y x 24)(,,+=+∈，则=++iyix 14A ．10B ．5C ．2D ．23．己知命题p ：若ABC ∆为锐角三角形，则B A cos sin <；命题R y x q ∈∀,:，若5≠+y x ，则1-≠x 或6≠y ．则下列命题为真命题的是 A ．)(q p ⌝∨ B ．q p ∧⌝)(C ．q p ∧D ．)()(q p ⌝∧⌝4．若函数)1,0(3log )(≠>-=-a a x x f xa 的两个零点是n m ,，则 A ．1=mnB ．1>mnC ．1<mnD ．无法判断5．执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10，那么判断框应该填入的判断可以是A ．?55>sB ．?55≥sC ．?45>sD ．?45≥s6.已知)0,3(π-∈a ，534sin )6cos(=-+a a π，则)12sin(π+a 的值是 A. 532-B. 102-C.532D.54-7．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0204202y x y x y x 目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为2，则b a 31+的最小值为 A ．22B ．25C ．27D ．308．已知6)(x xa-展开式的常数项为15，=-+⎰-dx x x a a )1(2A ．πB ．π+2C ．2πD 22π+9．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是 A ．338cm B ．334cm C ．332cm D ．331cm 10. 已知三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，若球O 的体积为π328，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为 A.11113 B. 11112 C. 10103 D.101011．已知过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点)0,5(F 向两条渐近线引垂线交于P 、Q ，O 为原点，若四边形OPFQ 的面积为12，则双曲线的离心率是 A.35B ．45 C ．34或45 D ．35或45 12. 已知)('x f 是函数)(x f 的导函数，且对任意的实数x 都有)()32()('x f x e x f x ++=（e 是自然对数的底数），1)0(=f ，若不等式0)(<-k x f 的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是 A.)0,1[2e - B.]0,1[2e - C.]0,1(2e - D.)0,1(2e -二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．己知向量),2,1(),3,4(b λ-=-==⊥+=,，则实数=λ________． 14．在四边形ABCD 中，若,,2,1CD AC BC AB ====，则BD 的最大值为__________．15．己知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤++>=0,140,ln )(2x x x x x x f ，若关于x 的方程),(0)()(2R c b c x bf x f ∈=+-有8个不等的实数根，则c b +的取值范围是_________．16.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,1(F ，直线m x y l +=:与抛物线交于不同的两点B A ,.若10<≤m ，则FAB ∆的面积的最大值是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)己知c b a ,,分别为ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边，其面积2222,60,3b c a B S =+==︒．在等差数列}{n a 中，a a =1，公差b d =．数列}{n b 的前n 项和为n T ，且*∈=+-N n b T n n ,012．(1)求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；(2)若n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和为n S ． 18．(本小题满分12分)国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地。

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2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理)试题（一）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·深圳期末］已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+,{}1B x a x a =<<+，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．()3,4D ．[]3,42．[2019·广安期末］已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限,且5z z ⋅=，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．2i -D ．23i -+3．［2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到:凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是:一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分;且“冬至”时日影长度最大，为1350分;“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（ ）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分4．[2019·恩施质检］在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13B ．59C ．79D ．895．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．56．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形,俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π27．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检］如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“"中应填的执行语句是（ )A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．［2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C ,若2BC BF =，且21AF =+，则此抛物线的方程为( )A ．22y x =B ．22y x =C ．23y x =D ．23y x =11．［2019·陕西联考］将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位,在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π212．［2019·中山期末］如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题正确的是（ ）①当102CQ <<时,S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时,S 与11C D 交点R 满足1113C R =； ④当314CQ <<时，S 为六边形； ⑤当1CQ =时，S 的面积为6．A ．①③④B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③⑤二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，13+=a b ，则=b _____． 14．［2019·吴忠中学］()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为__________．15．[2019·广安一诊］某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件,已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元 16．[2019·湖师附中]已知数列{}n a 满足：11a =,()*12nn n a a n a +=∈+N ，()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭()*n ∈N ,1b λ=-，且数列{}nb 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6大题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分)[2019·濮阳期末］已知ABC△的内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，且()+=．c A a C1cos3sin（1)求角A的大小；（2)若7a=，1△的面积．b=，求ABC18．（12分)[2019·揭阳一模］如图，在四边形ABED中,AB DE∥，AB BE⊥，点C在AB上,且AC BC CD△沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC ===，现将ACD⊥，2AB CD所成的角为45︒．（1)求证:平面PBC⊥平面DEBC；(2)求二面角D PE B--的余弦值．19．（12分）［2019·合肥质检]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20．（12分）[2019·鹰潭期末］已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为椭圆C 的左右焦点，离心率为2，短轴长为2．(1）求椭圆C 的方程；（2）如图,椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F ，2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值．21．(12分）［2019·菏泽期末]已知函数()ln 1a f x x x=+-，a ∈R ．（1）当0a >时,若函数()f x 在区间[]1,3上的最小值为13，求a 的值；（2）讨论函数()()3x g x f x '-＝零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分． 22．（10分)【选修4—4:坐标系与参数方程】[2019·哈三中]已知曲线1:C x 2:x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程;（2)设C与x，y轴交于M，N两点,且线段MN的中点为P．若射线OP与1C，2C交于P,Q两1点，求P，Q两点间的距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】［2019·江南十校]设函数()()=-++-．lg2121f x x x a（1）当4f x的定义域；a=时,求函数()（2）若函数()f x的定义域为R，求a的取值范围．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由题意,集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或，{}1B x a x a =<<+；若A B =∅，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤,∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ． 2．【答案】A 【解析】由5z z⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-，∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ． 3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分, 且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至"时日影长度最小，为160分． ∴135012160d +=，解得119012d =-， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分)．故选B ．4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=;由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈， 区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ． 5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a-=，它的一条渐近线方程为1y x a =，直线2y x =-的斜率为2-，∵直线1y x a =与2y x =-垂直,∴()121a⨯-=-，即2a =，∴2c e a ==．故选B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ． 7．【答案】A【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=,∴()f x 为偶函数，选项B 错误,()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+,则()1cos 0g x x ='+≥恒成立， ∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时,()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ． 9．【答案】C【解析】由题意,n 的值为多项式的系数，由100,99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ．10．【答案】A【解析】如图,过A 作AD 垂直于抛物线的准线,垂足为D ，过B 作BE 垂直于抛物线的准线,垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，由抛物线的定义,BF BE =，21AF AD =,∵2BC BF =，∴2BC BE =，∴45DCA ∠=︒， ∴222AC AD ==+,22211CF =+--=， ∴222CF PF ==，即22p PF ==，∴抛物线的方程为22y x =,故选A ．11．【答案】D【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2,最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==,或()()122g x g x ==-（舍去)． 故有()()122g x g x ==,即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-,则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ． 12．【答案】D【解析】当102CQ <<时,如图，是四边形,故①正确；当12CQ =时，如图，S 为等腰梯形,②正确;当34CQ =时,如图,由三角形CQP 与三角形1A AH 相似可得123A H =，113D H =,由三角形ABP 与三角形1RD H 相似可得，123D R =,113C R =,③正确；当314CQ <<时，如图是五边形，④不正确;当1CQ =时，如图S 是菱形,面积为362⋅=,⑤正确，正确的命题为①②③⑤，故选D ．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ，又由13+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ， 变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1, 又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】40【解析】()52x y -展开式的通项公式为()()()555155C 221C r r r r r r r r r T x y x y ---+=⋅=--．令52r -=,得3r =；令53r -=，得2r =;∴()()52x y x y +-的展开式中33x y 系数为()()3223325521C 2140C ⨯-⨯+⨯-=⨯． 故答案为40． 15．【答案】3800【解析】设甲种设备需要生产x 天,乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+，甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域,由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2，当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800．16．【答案】2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由题意，数列{}n a 满足12n n n a a a +=+ ,取倒数可得1121n na a +=+， 即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公比为2的等比数列， ∴112n na +=，∴()()112122n n nb n n a λλ+⎛⎫=-+=-⋅ ⎪⎝⎭， ∵数列{}n b 是单调递增数列，∴当2n ≥时，1n n b b +>, 即()()122122n n n n λλ--⋅>--⋅，21n λ>-，221λ>-，32λ<； 当1n =时，21b b >,()122λλ-⋅>-，23λ<， 综上,23λ<．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）π3A =；（2）S =．【解析】（1)∵()1cos sin c A C +=,由正弦定理可得()sin 1cos sin C A A C +cos 1A A -=,∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．(2）∵a =1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11sin 1322S bc A ==⨯⨯= 18．【答案】（1)见解析；（2)．【解析】（1)证明：∵AB CD ⊥,AB BE ⊥,∴CD EB ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴EB PC ⊥，且PC BC C =，∴EB ⊥平面PBC , 又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ． （2）由（1）知EB ⊥平面PBC ,∴EB PB ⊥，由PE 与平面PBC 所成的角为45︒得45EPB ∠=︒，∴PBE △为等腰直角三角形，∴PB EB =，∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，∴2PB =,故PBC △为等边三角形， 取BC 的中点O ，连结PO , ∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ，以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，则()0,1,0B ，()2,1,0E ，()2,1,0D -，(3P ， 从而()0,2,0DE =，()2,0,0BE =，(2,1,3PE =,设平面PDE 的一个法向量为(),,x y z =m ，平面PEB 的一个法向量为(),,a b c =n ，则由00DE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得20230y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =-得()3,0,2=-m ，由00BE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20230a abc =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1c =得()3,1=n ，设二面角D PE B --的大小为θ，则7cos 72θ⋅===⋅⨯m n m n ， 即二面角D PE B --的余弦值为7．19．【答案】（1）见解析;（2）选择延保方案二较合算． 【解析】（1）X 所有可能的取值为0,1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=,()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=, ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为（2）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：117117697000900011000130001500010720100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为:267691000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）． ∵12EY EY >,∴该医院选择延保方案二较合算．20．【答案】（1)2212x y +=；（2)【解析】(1）依题意得22b =,c e a ==,解得a =1b c ==，∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2)当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =,联立2212x y +=，解得y =，此时平行四边形ABCD 的面积S =当AD 所在的直线斜率存在时,设直线方程为()1y k x =-,联立2212x y +=,得()2222124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,D x y ,则2122412k x x k +=+,21222212k x x k -=+，则)22112k AD k +=+，两条平行线间的距离d =则平行四边形ABCD的面积)22112k S k +==+令212t k =+，1t >，则S =()10,1t ∈，开口向下，关于1t单调递减,则(S 0,=，综上所述,平行四边形ABCD 的面积的最大值为 21．【答案】（1）13e a =；（2)见解析． 【解析】（1）()()2210a x af x x xx x-=-=>'， 当01a <≤时,()0f x '>在()1,3上恒成立，这时()f x 在[]1,3上为增函数,∴()()min 11f x f a =-=，令113a -=得413a =>（舍去),当13a <<时,由()0f x '=得，()1,3x a =∈，若()1,x a ∈，有()0f x '<，()f x 在[]1,a 上为减函数， 若(),3x a ∈有()0f x '>,()f x 在[],3a 上为增函数，()()minln f x f a a '==,令1ln 3a =，得13e a =．当3a ≥时,()0f x '<在()1,3上恒成立，这时()f x 在[]1,3上为减函数, ∴()()min 3ln313a f x f ==+-'，令1ln3133a +-=得43ln 32a =-<（舍去)． 综上知,13e a =．（2）∵函数()()()21033x a xg x f x x xx -=--'=>， 令()0g x =，得()3103a x x x =-+>．设()()3103x x x x ϕ=-+>，()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+， 当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>,此时()x ϕ在()0,1上单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在()1,+∞上单调递减,∴1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此1x =也是()x ϕ的最大值点，()x ϕ的最大值为()121133ϕ=-+=．又()00ϕ=,结合()x ϕ的图象可知： ①当23a >时,函数()g x 无零点；②当23a =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203a <<时，函数()g x 有两个零点； ④当0a ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；综上所述，当23a >时，函数()g x 无零点；当23a =或0a ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点； 当203a <<时，函数()g x 有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1)1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+;（2）1．【解析】(1）∵2C 的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数),∴其普通方程为22162x y +=,又1:C x∴可得极坐标方程分别为1π:sin 6C ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,2226:12sin C ρθ=+．（2)∵)M ,()0,1N ，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭,∴OP 的极坐标方程为π6θ=，把π6θ=代入πsin 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，π1,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=,π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴211PQ ρρ=-=，即P ,Q 两点间的距离为1．23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（2）3a <．【解析】（1）当4a =时,()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-；2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(一)(解析版)(可编辑修改word 版)当112x -<<时，12224x x -++>，无解; 当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>，综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++，()()()min 2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=，∴3a <．。

2019北京怀柔高三数学一模理科试卷怀柔区2019学年度第二学期高三期中练习数学（理科）2019.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合}2{>-1Q，则=QP，}0=xx{≤1x<-=xPA．}11x C．}2<x|{≤-x<x{≤|1{<<x B．}2-x1|D．}1x|x>{-2．若向量a=（1，—1），b=（—1，1），c=（5，1），则c+a+b=A ．aB ． bC ．cD ．a+b3．抛物线24y x =-的准线方程是A ．116x = B ．1x = C ．1y = D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方 差为A ．647 B ．9 C ．738 D ．780 6．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．函数sin cos y x x =的最小正周期为 . 10．经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标方程为 _.11．如图，是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 . 12．若函数2)(3++-=cx xx f )(R c ∈，则/3()2f -、/(1)f-、/(0)f的大小关系是_. 13．如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则=BD _. 14．已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0,20,)(2x x c bx x x f ，若1)1(=-f ，2)0(-=f ，则函数x x f x g +=)()(的零点个数为 ____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）..C O BD A已知函数)2sin()42cos(21)(x x x f --+=ππ．（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）求)(x f 在区间[,)42ππ-上的最大值与最小值．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ， SA =AD =1，AB =2．（I ）求证：MN ⊥平面ABN ；（II）求二面角A—BN—C的余弦值．17．（本小题满分13分）已知函数()32331f x axx a=-+-(R a ∈,且0)a ≠，求)(x f '及函数)(x f 的极大值与极小值．18．（本小题满分13分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．（I）求甲答对试题数 的分布列及数学期望；（II）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．19．（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e ，一2个焦点的坐标为()3,0．（I ）求椭圆C 方程； （II ）设直线1:2l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ．当m 变化时，求TAB ∆面积的最大值．20．（本小题满分14分）当np p p ,,,21均为正数时，称np pp n+++ 21为np p p ,,,21的“均倒数”．已知数列{}na 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为121+n ．（Ⅰ）试求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）设12+=n a cn n，试判断并说明()*1n ncc n N +-∈的符号；（Ⅲ）已知(0)n a nb t t =>，记数列{}nb 的前n 项和为nS ，试求1n nS S +的值；（Ⅳ）设函数124)(2+-+-=n a x xx f n，是否存在最大的实数λ，使当λ≤x 时，对于一切正整数n ，都有0)(≤x f 恒成立？怀柔区2019学年度第二学期高三数学期中练习参考答案及评分标准(理科)2010.3 一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. π 10.2cos ρθ=11.20n ≤12. /(0)f ＞/(1)f -＞/3()2f - 13. 814. 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.15. （本小题共12分） 解：（Ⅰ）由题意 0)2sin(≠-x π ⇒ Zk k x ∈≠-,2ππ⇒Zk k x ∈+≠,2ππ故所求定义域为{Z k k x x ∈+≠,2|ππ} …………4分 （Ⅱ）x x x x x x f cos 2sin 2cos 1)2sin()42cos(21)(++=--+=ππxxx x cos cos sin 2cos 22+=x x sin 2cos 2+=)4sin(22π+=x …………9分3,04244x x ππππ-≤<∴≤+<，…………10分∴当04x π+=即4x π=-时，min()0f x =；当42x ππ+=即4x π=时，max ()f x = ……12分16．（本小题满分14分）解：（I ）以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD为z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），S （0，0，1）(图略)).21,21,22(),0,1,22(N M ∴ ……………………2分).21,21,22(),0,0,2(),21,21,0(==-=∴…………………………4分.,.0,0⊥⊥∴==⋅==⋅∴ ∴MN⊥平面ABN .……………………………………………………………………7分（II ）设平面NBC 的法向量.,),,,(c b a ⊥⊥=则且又易知)1,1,2(),0,1,0(-==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴.2,0.02,0,0,0a c b c b a b 即令a =1，则).2,0,1(=……………………………………………………11分 显然，)21,21,0(-=就是平面ABN 的法向量..33||||,cos ==⋅>=<∴ MN n由图形知，二面角A —BN —C 是钝角二面角…………………………………12分.33---∴的余弦值是二面角C BN A ……………………………………14分17．（本小题满分13分） 解：由题设知)2(363)(,02ax ax x ax x f a -=-='∴≠ (2)分令2()00f x x x a'===得 或 ……………………………4分当0a >时，随x 的变化，()/fx 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小……………8分当0a <时，随x 的变化，()'f x 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小…………………12分综上，当0a >时，()31f x a=-极大，()2431f x a a=--+极小；当a <时，()31f x a=-极大，()2431f x a a=--+极小.……………13分18．（本小题满分13分）解：（I ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0,1,2,3，…………………1分 则,301)0(31034===C C P ξ12643103(1),10C C P C ξ⋅=== ,21)2(3101426=⋅==C C C P ξ.61)3(31036===C C P ξ ………………………………………………… 5分ξ∴的分布列为…………………… 6分甲答对试题数ξ的数学期望为.5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………7分（II ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则2()(2)(3),3P A P P ξξ==+==.15141205656)(310381228=+=+=C C C C B P (9)分因为事件A 、B 相互独立， ∴ 甲、乙两人考试均不合格的概率为 .451]15141][321[)()()(=--=⋅=⋅B P A P B A P ………………………11分∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.45444511)(1=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544 …………………13分另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为.454415143215143115123)()()(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544 19．（本小题满分14分）解法一：（I ）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b +=)0(>>b a3,2c c e a ===,2=∴a …… …………3分,1222=-=c a b ………………4分∴椭圆C的方程是2214x y += ………………5分（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2222214()4,222020,840,7x x m x mx m m m ++=++-=∆>-><<得即令得分设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()0,M x y……()21212012002,22 111,,2221,2x x m x x m AB x x x m y x m m M m m +=-=-====+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭则(),0,1012,1233,,044MT AB T t mMT AB k k t m t m T m -⊥∴⋅=⋅=-+⎛⎫=-∴- ⎪⎝⎭设解得 (11)分||45)2(521||||21.||4541161||222m m MT AB S m m m MT TAB ⋅-⋅=⋅=∴=+=∴∆.1)1(8522+--=m ………………13分22<<-m ， ∴当21m =，即1m =±时，TABS ∆取得最大值为.85 ………………14分 解法二：（I ）同解法一（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2222214()4,222020,840,7x x m x mx m m m ++=++-=∆>-><<得即令得分设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()0,M x y212122,22x x m x x m ∴+=-=-… ……………8分()01200111,,2221,2x x x m y x m m M m m =+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………10分MT AB ⊥MT∴的方程为322y x m =-- 令0y =，得34x m =-，3,04T m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………9分设AB 交x 轴与点R,则()2,0R m -.||45||m TR =∴ ………………11分2122121214)(||41||||41||||21x x x x TR x x TR y y TR S TAB -+⋅=-⋅=-⋅=∴∆)2(8522m m -=,852)2(8522=-+⋅≤m m (13)分∴当21m=，即1m =±时，TABS ∆取得最大值为.85 (14)分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）121(21)n n a a a a n n -++⋅⋅⋅++=+,121(1)(21)n a a a n n -++⋅⋅⋅+=--，两式相减，得41(2)na n n =-≥ . 又111211a =⨯+，解得 13411a ==⨯- , ∴41()na n n N +=-∈ . ………4分（Ⅱ）∵4132212121nna n c n n n -===-+++, 11322323n n a c n n ++==-++ , ∴1332123n n c c n n +-=-++＞0， 即1n nc+＞c . ………7分（Ⅲ）∵41()na n nb t t t -==＞0,∴374112n nnS b b b t t t -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，当1t =时,nS n = ,11n nS n S n++=; ………8分 当t ＞0且1t ≠时,344(1)1n n t t S t -=-，441411n n nn S t S t ++-=-. ………10分综上得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>--=+=++1,0,111,14441t t t t t n n S S nn nn………11分（Ⅳ）由（Ⅱ）知数列 {}nc 是单调递增数列,11c =是其的最小项，即11n c c ≥=．假设存在最大实数,使当x λ≤时,对于一切正整数n ,都有2()4021naf x x x n =-+-≤+ 恒成立，则2421nna x x c n -+≤=+ ()n N +∈．只需2141xx c -+≤=，即2410x x -+≥．解之得2x ≥+ 或2x ≤-．于是,可取2λ=-14分。

第1页（共14页） 第2页（共14页）2019届高三一模考试卷理科数学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·攀枝花统考]已知集合{}12A x x =-<<，(){}30B x x x =->，则集合A B =（ ） A ．{}13x x -<< B ．{}23x x x <>或 C ．{}02x x <<D ．{}03x x x <>或【答案】B【解析】由一元二次方程的解法化简集合，(){}{}3030B x x x x x =->=><或x ， ∵{}12A x x =-<<，∴{}23A B x x x =<>或，故选B ． 2．[2018·铜仁一中]若复数1i34iz +=-，则z =（ ） A ．25B CD ．225【答案】B 【解析】∵()()1i 34i 1i 17i 17i 34i 25252525z +++-+====-+-，∴z z ==，故选B ． 3．[2018·青岛调研]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A ，E，1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】取1DD 中点F ，连接AF ，1CF ．平面1AFC E 为截面．如下图：∴选C ．4．[2018·鄂尔多斯期中]若3sin 5α=-，α是第三象限角，则sin 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A BC ． D． 【答案】D【解析】∵3sin 5α=-，α是第三象限角，∴4cos 5α=-，则34sin 455αααπ⎛⎫⎫+=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 5．[2018·曲靖统测]7a x ⎛- ⎝的展开式中，3x 项的系数为14，则a =（ ）A ．2-B ．14C ．2D ．14-【答案】C此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号第3页（共14页） 第4页（共14页）【解析】由展开式的公式得到3x 项的系数为()57737C 1k kk kax --⋅⋅-⋅，57363k k -=⇒=． 系数为()66767C 17142a a a -⋅⋅-==⇒=．故选C ． 6．[2018·赣州期中]已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()222:0C x y r r +=>上恰有两点M ，N，使得MAB △和NAB △的面积均为5，则r 的取值范围是（ ） A．( B ．()1,5 C ．()2,5D．(【答案】B【解析】由题意可得5AB =， 根据MAB △和NAB △的面积均为5，可得两点M ，N 到直线的距离为2，由于AB 的方程为34150x y ++=，若圆上只有一个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB 的距离21r r =+⇒=， 若圆上只有三个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB 的距离25r r =-⇒=， ∴实数r 的取值范围是()1,5，故选B ．7．[2018·东北育才]已知函数()11ln f x x x=--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】∵()11ln f x x x =--，令()1ln g x x x =--，()11g x x'=-，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，则()f x 单调递减，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，则()f x 单调递增，且1x ≠，故选A ． 8．[2018·广安二中]已知随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，且()20.3P ζ<=，则()24P ζ<<的值等于（ ）A ．0.5B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】D【解析】∵随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，∴其正态曲线关于直线3x =对称，如图：又∵()20.3P ζ<=，由对称性得()40.3P ζ>=，从而有：()()24122120.30.4P P ζζ<<=-<=-⨯=，故选D ．9．[2018·三湘名校]中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2263用算筹表示就是=||丄|||．执行如图所示程序框图，若输人的1x =，2y =，则输出的S 用算筹表示为（ ）。

2019年高考诊断性测试理科数学参考答案及评分标准一、选择题A B D A D C A B C C B C二、填空题13．3 14．94 15．6 16．1(,)e -∞ 三、解答题17. 解：（1）1212log (1)log 21b a =+==. ……………………………………1分当2n ≥时，1221211log (1)log (1)log 1n n n n n n a b b a a a ---+-=+-+=+ 122122log log 211n n a a --+===+. ……………………………………3分 所以数列{}n b 是以为首项、公差为的等差数列. ………………………4分（2）由（1）得n b n =，12n n a +=，于是2n nn c =. ………………………5分 2311111112()3()(1)()()22222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ……………6分 231111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得231111111()()()()222222n n n T n +=++++-⨯ ………………………9分 11111()1122()122212n n n n n n +++-=-⨯=--- ………………………11分 所以222n nn T +=-. ………………………12分 18. 解：（1）证明：因为平面ABC ⊥平面ACD ， 平面ABC平面ACD AC =，CD ⊂平面ACD ，CD AC ⊥， 所以CD ⊥平面ABC . ………………………1分又AE ⊂平面ABC ，所以CD AE ⊥. ………………………2分 在等边ABC ∆中，因为为BC 的中点，所以AE BC ⊥. …………………3分因为AE CD ⊥，AE BC ⊥，CD BC C =，所以AE ⊥平面BCD . …………………4分（2）由（1）知DC ⊥平面ABC ，所以DBC ∠即为BD 与平面ABC 所成角，于是在直角DCB ∆中，3tan 2DC DBC BC ∠==. …………………5分 以C 为坐标原点，分别以,CD CA 所在的方向作为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.设等边ABC ∆的边长为，则32CD a =，(0,0,0)C ，(0,,0)A a，(0,,)22a B ，3(,0,0)2a D，(0,,)22a AB =-，3(,,0)2a AD a =-，(0,,)22a CB =，3(,0,0)2a CD =. ……………………7分设平面ABD 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，则00AB AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m，即111102302a y ax ay ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令11z =，则1y =1x =m =. ……………………9分 设平面BCD 的一个法向量为222(,,)x y z =n ，则00CB CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n，即222102302ay ax ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得20x =，令21z =，则2y =(0,=n . ……………………11分所以2cos ,2-<>===m n m n m n 由题意知二面角A BD C --为锐角，所以其余弦值为43. ……………………12分 19. 解：（1）因为(,0)2p F ，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±,…2分所以当直线与轴垂直时24AB p ==，解得2p =, ……………………3分抛物线的方程为24y x =. ……………………4分（2） 不妨设直线AB 的方程为1(0)x my m =+≠，因为抛物线24y x =的准线方程为1x =-，所以2(1,)M m --.……………………5分联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩消去，得2440y my --=, ……………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-, ……………………7分若存在定点00(,)P x y 满足条件，则PB PA PM k k k +=2， 即0010200102221y y y y y mx x x x x +--⋅=++--， ……………………8分因为点,,P A B 均在抛物线上，所以22212012,,444y y y x x x ===. 代入化简可得00122200120122(2)2(4)()my y y y m y y y y y y y +++=++++， ……………………9分将124y y m +=，124y y =-代入整理可得002200022(4)44my y mm y y my ++=++-，即220(1)(4)0m y +-=, ……………………10分因为上式对0m ∀≠恒成立，所以2040y -=，解得02y =±,……………………11分将02y =±代入抛物线方程，可得01x =，于是点(1,2)P ±即为满足题意的定点. ……………………12分20. 解：（1）60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……2分22222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯222(109)0.19(119)0.09(129)0.04 1.78+-⨯+-⨯+-⨯= …………4分（2）(i)由题知9μ=，2 1.78σ=，∴(9,1.78)X N.43σ==≈. ……………………5分109(10)()(0.75)0.773443P X P Y P Y -≤=≤=≤=. ……………………7分（ⅱ）由(i)知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=， ……………………8分可得(20,0.2266)Z B ,(2)1(0)(1)P Z P Z P Z ≥=-=-=201192010.77340.22660.77341(0.7734200.2266)0.0076C =--⨯=-+⨯⨯0.9597≈ ……………………10分的数学期望200.2266 4.532EZ =⨯=. ……………………12分21. 解：（1）由题意可知，222e 2e 3()e 23e ex x x x x a a f x a a ---'=--= (e 3)(e )e x x xa a -+=， ………………1分 当0a =时，()e 0x f x '=>，此时()f x 在上单调递增； ………………2分当0a >时，令()0f x '=，解得ln(3)x a =，当(,ln(3))x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln(3),)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； ………………3分当0a <时，令()0f x '=，解得ln()x a =-，当(,ln())x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln(),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； ………………4分综上，当0a =时，()f x 在上单调递增；当0a >时，(,ln(3))x a ∈-∞时，()f x 单调递减，(ln(3),)x a ∈+∞时单调递增；当0a <时，(,l n ()x a ∈-∞-时，()f x 单调递减，(ln(),)x a ∈-+∞时单调递增. ………………5分（2）由222e ()3e 10()x x x a a x a f x --+--+>可得，22e (1)2100x x a x ax a ---+-+>，令22()e (1)210x g x x a x ax a =---+-+只需在(0,)x ∈+∞使min ()0g x >即可，()e (1)e 22(e 2)()x x x g x x a x a x a '=--+-+=--， ………………6分(2) 当0a ≤时，0x a ->，当0ln 2x <<时，()0g x '<，当ln 2x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,ln 2)上是减函数，在(ln 2,)+∞上是增函数，只需22(ln 2)(2ln 22)ln 22ln 280g a a =-+--++>，解得ln 24ln 22a -<<+，所以ln 240a -<≤； ………………8分(3) 当0ln 2a <<时，()g x 在(0,)a 上是增函数，在(,ln 2)a 上是减函数，在(ln 2,)+∞上是增函数，则(ln 2)0(0)0g g >⎧⎨≥⎩，解得0ln 2a <<， ………………9分(4) 当ln 2a =时，()0g x '≥，()g x 在(0,)+∞上是增函数，而2(0)9ln 2ln 20g =-->成立， ………………10分(5) 当ln 2a >时，()g x 在(0,ln 2)上是增函数，在(ln 2,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数，则2()e 100,(0)90a g a g a a ⎧=->⎨=--≥⎩，解得ln 2ln10a <<.………11分 综上，的取值范围为(ln 24,ln10)-. ………12分22. 解：（1）直线l的普通方程为20x +=； ……………………………2分 因为2282cos ρθ=-，所以2222cos 8ρρθ-=， 将cos x ρθ=，222x y ρ=+，代入上式，可得2228x y +=. …………4分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得2540t --=，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t，则12t t +=，1245t t =-.……………6分 于是121211PA PB t t PA PB PA PB t t +-+==⋅ ………………8分==. ………………10分 23. 解：（1）2212≥+--x x ，当2-≤x 时，原不等式转化为2221≥++-x x ，解得2-≤x ；………………1分 当212≤<-x 时，原不等式转化为2221≥---x x ， 解得12-≤<-x ；…2分 当21>x 时，原不等式转化为2212≥---x x ，解得5≥x ； ………………3分 综上，不等式的解集为{}51≥-≤x x x 或. ………………4分（2）由已知得：()252x m f m x x ---=>，即25||1x m x -<+.25(),[1,1]||1x g x x x -=∈-+，由题意min ()m g x <. ………………6分当[0,1]x ∈时，257()211x g x x x -+==-+++为减函数， 此时最小值为3(1)2g =； ………………8分当[1,0)x ∈-时，253()211x g x x x -+==--+-为增函数， 此时最小值为7(1)2g -=. ………………9分 又3722<，所以min 3().2g x = 所以的取值范围为3{|}2m m <. ………………10分。

2019届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：球的表面积公式：球的体积公式：第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1. 集合，集合，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】集合集合，........................则.故选B.2. 已知复数，，,是虚数单位，若是实数，则A. B. C. D.【答案】A【解析】复数，，.若是实数，则，解得.故选A.3. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线为.若双曲线与直线无交点，则.离心率.所以.故选D.4. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，再沿着走到用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )米.A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，，即，，解得（米）．考点：1．扇形面积公式；2．余弦定理求三角形边长5. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为：.由题意知.所以，解得.故选A.6. 下列判断错误的是A. 若随机变量服从正态分布,则；B. 若组数据的散点都在上，则相关系数；C. 若随机变量服从二项分布：, 则；D. 是的充分不必要条件；【答案】D【解析】对于A.若随机变量服从正态分布，则，由得.,A正确；对于B.若组数据的散点都在上，则相关系数，B正确；对于C. 若随机变量服从二项分布：, 则；对于D.若，未必有，例如当时，，充分性不成立，D错误.故选D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的，的值分别为A. B. C. D.【答案】C【解析】执行程序：均为偶数，且所以；均为偶数，且所以；均为偶数，且所以；不均为偶数，且所以;不均为偶数，且所以.此时，所以输出.故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，.令，若在区间内，函数有4个不相等实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，是定义在R上的周期为2的偶函数，令,作其与y=f(x)的图象如下，函数有4个不相等实根，等价于与y=f(x)有4个交点，所以，解得.故选C.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题9. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为A. B. C. D.【答案】C【解析】架“歼—”飞机着舰的方法共有种，乙机最先着舰共有种，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻）有：.故选C.10. 2017年中学数学信息技术研讨会,谈到了图像计算器在数学教学中的应用.如图输入曲线方程,计算器显示线段，则线段的曲线方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题中示例可知：之所以可以表示为之所以可以表示线段.因为方程等价于，即，即为线段.由此可得题中线段的方程为：，等价于.故选A.11. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可知，故外接球面积为.考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.12. 设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】设.恒过(，恒过(1,0)因为存在唯一的整数，使得，所以存在唯一的整数，使得在直线下方.因为，所以当时，,单调递减；当时，,单调递增.所以.作出函数图象如图所示：根据题意得：，解得：.故选A.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，同时也可以转化为两个函数的图象关系..第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）13. 的展开式的常数项为_______________．【答案】70【解析】试题分析：的展开式中第项为令可得故展开式中的常数项为，故答案为.考点：二项展开式定理的应用.14. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为__________．【答案】2【解析】函数的图象向右平移个单位，得到函数，y=g(x)在上为增函数，所以，即：ω⩽2，所以ω的最大值为：2.故答案为：2.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.15. 已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则_____．【答案】【解析】由题意知可行域为图中△OAB及其内部，解得，又,则∠AOB=30°，由正弦定理得，解得.故答案为.16. 给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为___________．①函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是；②“”是“成等比数列”的必要不充分条件；③，；④若，则.【答案】②③④【解析】①,∵在区间(−1,1)上存在一个零点，∴,解得或，故①错误；②，若“”，则不一定成等比数列，例如，但“成等比数列”则有，所以“”成立，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故②正确；③,由图可知,单位圆O中，，设,又，所以，故③正确；④,∵为增函数,均为减函数，∴，故④正确；故答案为②③④.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域．．．．．．．．．．答题．．.）17. 已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且, . （1）求数列和的通项公式;（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得．所以．由，得，又，解得．所以．（2）因为，所以．18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,且,平面.（1）求与平面所成角的正弦值;（2）棱上是否存在一点,满足？若存在，求的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积的坐标形式进行求解；（2）依据题设条件，运用向量的坐标形式建立方程，即判定方程是否有解：解：（1）依题意，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，从而.设平面的法向量为,则，且，即，且，不妨取，则，所以平面的一个法向量,此时，所以与平面所成角的正弦值为；（2）设，则则，由得，化简得，，该方程无解，所以，棱上不存在一点满足.19. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男人，女人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表（单位：人）：（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的名女生中，任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两位女生被抽到的人数为，求的分布列和.附表及公式：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）计算K2，对照附表做结论；（2）使用组合数公式和古典概型的概率计算公式分别计算X取不同值时的概率，得到X的分布列，求出数学期望．试题解析：（1）由表中数据得的观测值：，所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.（2）可能取值为，，，，的分布列为：.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）若、分别是椭圆的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于与点.证明：为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是求出，为此要列出关于的两个等式，由椭圆的性质及，四边形是边长为2的正方形，知；（2）本小题采用解析几何的基本方法，设，写出直线方程，再代入椭圆方程求得点坐标，然后直接计算，可得定值．试题解析：（1），，∴，∴椭圆方程为．（2），，设，，则，，直线，即，代入椭圆得，∵，∴，，∴，∴（定值）考点：椭圆的标准方程，椭圆的综合应用．【名师点晴】1．确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件（即确定焦点的位置）和两个定形条件（即确定a，b的大小）．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为＋＝1 （a>b>0）或＋＝1 （a>b>0），或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1 （m>0，n>0，且m≠n）．2．解析几何中的定值问题，可根据已知条件设出一个参数，用这个参数表示出相应点的坐标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出，它的最终结果与参数无关，是定值．21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出，设令,通过求导进行证明．试题解析：（1）函数的定义域为..，方程的判别式.①当时，，∴，故函数在上递减；②当时，，由可得，.函数的减区间为；增区间为.所以，当时，在上递减；当时，在上递增，在，上递减.（2）由（1）知当时，函数有两个极值点，且.设，则，，所以在上递增，，所以.考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22. 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;（2）若，求的值.【答案】（1）曲线，直线；（2）.【解析】试题分析：（1）将曲线C的方程两边分别乘以，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可将极坐标方程化为直角坐标方程，对直线方程，消去参数t,即可化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t二次方程，利用根与系数关系及参数t的几何意义，即可求出|PM|+|PN|的值.试题解析：(1)曲线C的直角坐标方程为，直线的普通方程. 6分(2)直线的参数方程为(t为参数),代入y2=4x, 得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2则所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=14分考点：直角坐标方程与参数方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程互化；直线的参数方程中参数的意义；直线与抛物线的位置关系.23. 选修4—5：不等式选讲已知函数，，且的解集为.（1）求的值；（2）若是正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得的解集为，由绝对值不等式的解法即可得；（2）将代入得，可得,展开运用基本不等式即可证得. 试题解析：（1）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为.又的解集为，故（2）由（1）知，又是正实数，由均值不等式得：，当且仅当时取等号，所以.。

2019-2020年高三3月高考模拟理科数学含答案本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页. 考试时间120分钟.满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第I卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，，则A．B．C．D．2．已知复数（是虚数单位），它的实部和虚部的和是A．4 B．6 C．2 D．33．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，下面结论正确的是A．B．C．D．4．已知实数满足，则目标函数的最小值为A．B．5 C．6 D．75．“”是“函数在区间上为增函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的图象是A. B. C. D.7．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A．B．C．D．8．二项式的展开式中常数项是A．28 B．-7 C．7 D．-289．已知直线与圆相交于两点，且则的值是A．B．C．D．010．右图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变11．一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为A．B．C．D．12．设235111111,,a dxb dxc dxx x x===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是A．B．C．D．第7题图第11题图第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13．若点在直线上，其中则的最小值为.14．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右顶点，且渐近线方程为，则双曲线方程为．(),,nf x=三、解答题:本大题共6小题，共74分.17．(本题满分12分)已知，，且．（1）将表示为的函数，并求的单调增区间；（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，，求的面积．18．(本题满分12分)已知四棱锥的底面是等腰梯形，且,2,2PO ABCD PO AB CD⊥===底面分别是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.EA19．(本题满分12分)数列的前项和为，，，等差数列满足.（1）分别求数列，的通项公式；（2）设，求证．20．(本题满分12分)某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。

2019年高三下学期一模考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数，则等于（）A． B． C． D．2、设集合{0,1},{|1}==∈=-，则（）M N x Z y xA． B． C． D．3、给定函数①②③④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④4、在中，若sin sin cos cos sin-=，则的形状是（）A A C A CA．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为，众数，平均数为，则（）A． B．C． D．6、某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种 B．216种 C．240种 D．288种7、若函数的图象如图所示，则的范围为（）A． B． C． D．8、设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的交点相同，则此双曲线的方程为（）A． B． C． D．9、已知函数()0()210x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数在R 上有两个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10、若函数，并且，则下列各结论正确的是（ ）A ．()()()2a b f a f ab f +<<B ．()()()2a bf ab f f b +<< C ．()()()2a b f ab f f a +<< D ．()()()2a bf b f ab f +<<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、如图，正方体的棱长为1，E 为棱上的点， 为AB 的中点，则三棱锥的体积为12、已知满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则的最大值与最小值的比为 13、定义在实数集R 上的函数满足， 且现有以下三种叙述①8是函数的一个周期； ②的图象关于直线对称；③是偶函数。