北京市通州区2020届高三一模考试数学试题 含答案

通州区高三年级一模考试数学试卷2020年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =IA. {}03x x << B. {}23x x << C. {}01x x <≤ D. {}12x x <≤2. 已知复数=i(2i)z + （i 是虚数单位），则z =D. 33. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π4. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是A. （1，-2）B. （-1，-2）C. （-1，2）D. （2，1） 5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则33log log b c -等于 A. 1- B. 12- C. 12D. 16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =2C. 47. 在6(2)1x x-的展开式中，常数项是A. -160B. -20C. 20D. 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=u u u r u u u r与α有关 9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“(1,N )n a a n *>∈是几位数”，他以2(N )n n *∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg20.3010≈） A. 101 B. 50 C. 31 D. 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量(1,2)=-a ，(3,)m =-b ，其中m ∈R ．若,a b 共线 ，则m 等于 ___________.12. 圆()1122=+-y x的圆心到直线10x ++=的距离为 .13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+ 其中值域为[1)+∞，的函数的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC ，满足a =2b =，，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由. 从①3A =π ， ②cos 7B = 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.俯视图18. （本小题15分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，且060=∠A ，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=o . (Ⅰ)求证：⊥AE 平面EBHG ； (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AB λAF =，当//EF 平面AGH 时，求λ的值.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，点A (0，1)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数()()e x f x x a x a =-++，设()()g x f x '=. （Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. 21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列Λ,,10a a 对于所有非负整数i 满足])[(][1i i i i a a a a -⋅=+，其中0a 是任意一个非零实数.(Ⅰ) 若6.20-=a ，写出a 1,a 2,a 3； (Ⅱ)若00>a ，求数列]}{[i a 的最小值；(Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当k i ≥时，2+=i i a a .通州区高三年级一模考试数学试卷参考答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共25分）11．6 ； 12. 1；13．3； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分） 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=…………… 10分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，…………… 4分27=整理得，230c -+=，所以c =…………… 6分 因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=<，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人，青年员工20804400⨯=人 ……………… 4分（Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==g ，252810(X=0)28C P C == ……………… 11分5(X)4E =. ……………… 14分18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE 因为90AEG ∠=o ，所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以⊥AE平面EBHG . ……………… 4分 (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB ,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴， 建立如图空间坐标系可得(1,0,0)A ，B ，(0,0,1)G ，H .……………… 6分=(1,0,1)AG -u u u r ，=(AH -u u u r设平面AGH 的法向量为),,(z y x n =所以 00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令x =1，则)1,33,1(-=n ………………8分 平面EBHG 的法向量为(1,0,0)EA =u u u r……………… 9分设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ721,cos |cos >=<=θ ……………… 11分 (Ⅲ) 由AF AB =λu u u r u u u r，则(1,0)F -λ所以)0,3,1(λλ-= ……………… 12分 因为//EF 平面AGH ，则 0=⋅ ……………… 13分 即120-λ= ……………… 14分所以21=λ ……………… 15分19. （本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得c e a =………………1分 b =1,又222a b c =+解得1a c == ……………… 4分所以椭圆方程为2212x y += ……………… 5分（Ⅱ）设00(,)M x y ，由题意及椭圆的对称性可知000(,)(1)N x y y --≠±……………… 6分 则直线AM 的方程为0011y y x x -=+ ……………… 7分 直线AN 的方程为0011y y x x +=+ ……………… 8分 则E 点坐标为00(,0)1x y -，F 点坐标为00(,0)1x y -+ ……………… 10分假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan ∠OGE =tan ∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分 即OE OG OGOF=即2OG OE OF = ……………… 12分即220221x n y ==-所以n = ……………… 13分所以存在点G 坐标为(0,满足条件. ……………… 14分20. （本小题14分）解：（Ⅰ）()(1)1x f x x a e '=-++ ……………… 1分 由题意可知()(1)1x g x x a e =-++，所以()(2)x g x x a e '=-+ ……………… 2分 当2x a >-时()0g x '>，()g x 在(2,)a -+∞上单调递增；……………… 3分 当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(,2)a -∞-上单调递减……………… 4分 所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为2(2)1a g a e --=-+……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当2a ≤时2()10a f x e -'≥-+>， ……………… 6分 所以()f x 在单调递增，所以()(0)0f x f >= ……………… 7分 即2a ≤时()0f x >在(0,)+∞恒成立. ……………… 8分当2a >时(0)(0)20f g a '==-<， ………………9分 又()()10a f a g a e '==+>， ……………… 10分 又由于()f x '在(2,)a -+∞上单调递增；在(0,2)a -上单调递减； 所以在(0,)a 上一定存在0x 使得0()0f x '=， ……………… 11分 所以()f x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞递增，所以0()(0)0f x f <= ……………… 12分 所以在(0,)+∞存在0x ，使得0()0f x <， ……………… 13分 所以当2a >时，()0f x >在(0,)+∞上不恒成立所以a 的取值范围为(],2-∞. ………………14分21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 2.11-=a 、6.12-=a 、8.03-=a . ……………… 3分4分 5分 9分11分分 令k =m ，满足当k i ≥时，2+=i i a a .综上，存在非负整数k ，使得当k i ≥时， 2+=i i a a .………………14分。

2020年北京市通州区高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x2-x-2＜0}，则M∩N=（）A. {-2，-1 }B. {-1，0 }C. {0，1 }D. {1，2 }2.已知c＜0，则下列不等式中成立的是（）A. c＞2cB. c＞（）cC. 2c＞（）cD. 2c＜（）c3.在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是（）A. （，1）B. （1，）C. （0，1）D. （1，0）4.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中N≡n（bmodm）表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如11≡2（bmod3）表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的N等于（）A. 7B. 8C. 9D. 105.设抛物线y2=4x的焦点为F，已知点，，P（1，c），Q（4，d）都在抛物线上，则M，N，P，Q四点中与焦点F距离最小的点是（）A. MB. NC. PD. Q6.“”是“方程表示双曲线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A. B. C. D.8.由正整数组成的数对按规律排列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…．若数对（m，n）满足（m2-1）（n2-3）=2019，其中m，n∈N*，则数对（m，n）排在（）A. 第351位B. 第353位C. 第378位D. 第380位二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第______象限．10.在△ABC中，，，b=5，则c=______．11.若实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是______．12.能说明“若函数f（x）满足f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内不存在零点”为假命题的一个函数是______．13.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有______个（用数字作答）．14.在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若函数y=f（x）满足：∀x∈[a-1，a+1]，都有y∈[b-1，b+1]，就称这个函数是点A的“限定函数”．以下函数：①y=，②y=2x2+1，③y=sin x，④y=ln（x+2），其中是原点O的“限定函数”的序号是______．已知点A（a，b）在函数y=2x的图象上，若函数y=2x是点A的“限定函数”，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=2sin（π-x）cos x+2cos2x-1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．16.某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．17.如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，DE⊥AB于E．将△AED沿DE翻折到△A'ED，使A′E⊥BE，如图2．（Ⅰ）求证：平面A′ED⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；（Ⅲ）设F为线段A′D上一点，若EF∥平面A′BC，求的值．18.已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），长轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点（0，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点M满足=，求证：由点M构成的曲线L关于直线y=对称．19.已知函数f（x）=（k∈R）．（Ⅰ）当k=0时，求曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程；（Ⅱ）当k≠0时，（ⅰ）求f（x）的单调区间；（ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内单调递减，求k的取值范围．20.定义集合M与集合N之差是由所有属于M且不属于N的元素组成的集合，记作M-N={x|x∈M且x∉N}．已知集合S={1，2，3，…，100}．（Ⅰ）若集合T={x|x=2n，n∈N*}，写出集合S-（S-T）的所有元素；（Ⅱ）从集合S选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值D和最小值d分别是多少？公差为D和d的等差数列各有多少个？（Ⅲ）设集合A⊆S，且集合A中含有10个元素，证明：集合S-A中必有10个元素组成等差数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：N={x|-1＜x＜2}；∴M∩N={0，1}．故选：C．可求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：c＜0，∴（）c＞1，0＜2c＜1，∴（）c＞2c，故选：D．根据指数函数的图象和性质即可判断．本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．3.答案：B解析：解：圆ρ=2sinθ化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y，配方为x2+（y-1）2=1，因此圆心直角坐标为（0，1），可得圆心的极坐标为．故选：B．把极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心的直角坐标，再化为极坐标即可．本题考查了极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．4.答案：B解析：解：第一次，N=7，7除以3的余数是1，不满足条件．，N=8，8除以3的余数是2满足条件．，8除以5的余数是3满足条件．输出N=8，故选：B．根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．5.答案：A解析：解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1；则点到焦点F的距离为|MF|=-（-1）=，点到焦点F的距离为|NF|=-（-1）=，点P（1，c）到焦点F的距离为|PF|=1-（-1）=2，点Q（4，d）到焦点F的距离为|QF|=4-（-1）=5；所以点M与焦点F的距离最小．故选：A．根据抛物线的定义，分别求出点M，N，P，Q到焦点F的距离即可．本题考查了抛物线的定义与应用问题，是基础题．6.答案：A解析：【分析】本题考查了双曲线的性质及充分必要条件，属中档题由双曲线的性质得：“方程-=1表示双曲线”得：m（m+2）＞0，即m＞0或m＜-2，由充分必要条件得：“m＞0”是“m＞0或m＜-2”的充分不必要条件，即“m＞0”是“方程-=1表示双曲线”的充分不必要条件，得解【解答】解：由“方程-=1表示双曲线”得：m（m+2）＞0，即m＞0或m＜-2，又“m＞0”是“m＞0或m＜-2”的充分不必要条件，即“m＞0”是“方程-=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A．7.答案：C解析：解：该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥，红色线四棱锥A-BCDE为三视图还原后的几何体，CBA和ACD是两个全等的直角三角形：AC=CD=BC=2，几何体的体积为：=，故选：C．由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方形为底面的四棱锥，然后求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：B解析：解2019=3×673（673为质数），故，或者，（m，n∈N*），得，m+n=28，在所有数对中，两数之和不超过27的有1+2+3+……+26==351个，在两数之和为28的数对中．（2，26）为第二个（第一个是（1，27））故数对（2，26）排在第351+2=353位．故选：B．先求出m，n的数值，再根据数对的特点推数对（m，n）排在多少位．本题考查了简单的合情推理，等差数列的求和，属于中档题．9.答案：三解析：解：==-（2i+1）=-1-2i，对应点的坐标为（-1，-2），位于第三象限，故答案为：三结合复数的几何意义以及复数的运算法则进行化简即可．本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．10.答案：7解析：解：由，，b=5，代入a2=b2+c2-2bc cos A，得32=25+c2-2×5×c×，即：c2-6c-7=0，解得c=7，（c=-1 舍去）．故答案为：7．本题考查了余弦定理，属于基础题．由已知结合余弦定理计算即可．11.答案：1解析：解：实数x，y满足的可行域如图：目标函数z=2x+y，目标函数经过可行域的A时取得最小值，点A（0，1），z A=1，故答案为：1．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．12.答案：f（x）=（x-1）2解析：解：可举函数f（x）=（x-1）2，可得f（0）=1，f（2）=1，即有f（0）f（1）＞0，但f（x）在（0，2）内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数f（x）满足f（0）f（2）＞0，则f（x）在区间（0，2）上不存在零点”为假命题．故答案为：f（x）=（x-1）2．可考虑函数f（x）=（x-1）2，计算f（0）f（1）＞0，但在（0，2）内存在零点1．本题考查命题的真假判断，考查函数的零点问题，考查判断能力和推理能力，属于基础题．13.答案：48解析：解：根据题意，组成四位数的百位数字为5，分2步进行分析：①，组成四位数的千位数字不能为0，则千位数字有4种选法，②，在剩下的4个数字中选出2个，安排在十位、个位，有A42=12种选法，则符合条件的四位数有12×4=48个；故答案为：48．根据题意，分2步进行分析：①，组成四位数的千位数字不能为0，则千位数字有4种选法，②，在剩下的4个数字中选出2个，安排在十位、个位，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理了的应用，属于基础题．14.答案：①③（-∞，0]解析：解：要判断是否是原点O的“限定函数”，只要判断：∀x∈[-1，1]，都有y∈[-1，1]．对于①y=，由x∈[-1，1]可得y∈[-，]⊆[-1，1]，则①是原点O的“限定函数”；对于②y=2x2+1，由x∈[-1，1]可得y∈[1，3]⊈[-1，1]，则②不是原点O的“限定函数”；对于③y=sin x，由x∈[-1，1]可得y∈[-sin1，sin1]⊆[-1，1]，则③是原点O的“限定函数”；对于④y=ln（x+2），由x∈[-1，1]可得y∈[0，ln3]⊈[-1，1]，则④是原点O的“限定函数”．点A（a，b）在函数y=2x的图象上，若函数y=2x是点A的“限定函数”，可得b=2a，由x∈[a-1，a+1]，y∈[b-1，b+1]，即y∈[2a-1，2a+1]，即[2a-1，2a+1]⊆[2a-1，2a+1]，可得2a-1≤2a-1＜2a+1≤2a+1，可得a≤1且a≤0，即a≤0．a的范围是（-∞，0]．故答案为：①③；（-∞，0]．分别运用一次函数、二次函数和正弦函数、对数函数的单调性，结合集合的包含关系可判断是否是原点的限定函数；由指数函数的单调性，结合集合的包含关系，解不等式可得a的范围．本题考查函数的新定义的理解和运用，考查常见函数的单调性和运用，考查集合的包含关系，以及推理能力，属于基础题．15.答案：解：（Ⅰ）f（x）=2sin（π-x）cos x+2cos2x-1，=2sin x cosx+cos2x=sin2x+cos2x，=，=，所以最小正周期；（Ⅱ）因为，所以，．所以当，即时，有最小值．所以f（x）有最小值-1．因为当时f（x）≥m恒成立，所以m≤-1，即m的取值范围是（-∞，-1]．解析：（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.答案：解：（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A…（1分）从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以；…（3分）（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，…（4分）P（X=0）==，（X=1）==，（X=2）==（7分）X012P…（8分）；…（10分）（Ⅲ）3月3日…（13分）由直方图知，微信记步数落在[20，25]，[15，20），[10，15），[5，10），[0，5）（单位：千步）区间内的人数依次为200×0.15=30，200×0.25=50，200×0.3=60，200×0.2=40，200×0.1=20据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．解析：（1）分别根据微信记步数信息计算出甲乙步数都不低于10000的概率，再用分布原理处理．（2）X服从超几何分布，确定X的取值为0，1，2，代入超几何分布概率公式即可．（3）由直方图知，微信记步数落在各区间的频率，再根据甲和乙的名次情况分析即可．本题考查了频率分布直方图，折线图等识图能力，考查了古典概率模型的概率计算，超几何分布等的计算，还考查了推理能力．属于中档题．17.答案：（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，因为DE⊥AB，所以DE⊥AE，DE⊥EB．所以A′E⊥DE．………………（1分）因为A′E⊥BE，DE∩BE=E，DE⊂平面BCDE，BE⊂平面BCDE，所以A′E⊥平面BCDE．………………（3分）因为A′E⊂平面A′ED，所以平面A′ED⊥平面BCDE．………………（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A′E⊥DE，A′E⊥BE，DE⊥BE，如图建立空间直角坐标系E-xyz，则………………（5分）E（0，0，0），B（2，0，0），，A，（0，0，2），所以，．………………（6分）设平面A′BC的法向量=（x，y，z），由………………（7分）得所以令y=-1，则．所以．………………（8分）所以，又，所以．………………（9分）所以直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值为．………………（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，设，则………………（11分）．………………（12分）因为EF∥平面A′BC，所以，即．………………（13分）所以，即．所以．………………（14分）解析：（Ⅰ）证明DE⊥AE，DE⊥EB．A′E⊥DE．结合A′E⊥BE，证明A′E⊥平面BCDE．然后证明平面A′ED⊥平面BCDE．（Ⅱ）建立空间直角坐标系E-xyz，求出平面A′BC的法向量，利用空间向量的数量积求解直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值．（Ⅲ）设，通过EF∥平面A′BC，所以，求出m，然后推出结果即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，空间距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．18.答案：解：（Ⅰ）由已知，得a=，c=1，所以，又a2=b2+c2，所以b=所以椭圆C的标准方程为+=1，离心率，证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x m，y m），①当直线l与x轴垂直时，点A，B的坐标分别为，．因为，，，所以．所以x m=0，y m=0，即点M与原点重合，②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+1，由得（3k2+2）x2+6kx-3=0，△=36k2+12（3k2+2）=72k2+24＞0．所以x1+x2=-，则，因为=（x1-x M，y1-y M），=（x2-x M，y2-y M），=（-x m，-y m），所以．所以x1+x2=3x m，y1+y2=3y m．，，消去k得．综上，点M构成的曲线L的方程为2x2+3y2-2y=0对于曲线L的任意一点M（x，y），它关于直线的对称点为．把的坐标代入曲线L的方程的左端：．所以点M'也在曲线L上．所以由点M构成的曲线L关于直线对称解析：（Ⅰ）由已知，得a=，c=1，所以，由a2=b2+c2，所以b=，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x m，y m），分两种情况，借助韦达定理和向量的运算，即可求出点M构成的曲线L的方程为2x2+3y2-2y=0，即可证明本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点的轨迹方程，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）当k=0时，，…（1分）所以f'（-1）=2，f（-1）=1…（2分）所以曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程为y-f（-1）=f'（-1）[（x-（-1））]，…（3分）即2x-y+3=0；…（4分）（Ⅱ）k≠0时，（ⅰ）函数f（x）=，定义域为{x|x≠0}，…（5分）所以f'（x）=…（7分）令f′（x）=0，得…（8分）①当k＞0时，在（-∞，0）和（），f'′（x）＞0；在（0，），f′（x）＜0．所以f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（），单调递减区间为（0，）；…（9分）②当k＜0时，在（），f′（x）＞0；在（-∞，）和（0，+∞），f′（x）＜0．所以f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为和（0，+∞）；…（10分）（ⅱ）由f（x）在区间（0，1）内单调递减，①当k＞0时，（0，1）⊆（0，），有，所以0＜k≤2；…（11分）②当k＜0时，f（x）在（0，+∞），递减，符合题意…（12分）综上k的取值范围是（-∞，0）∪（0，2]…（13分）解析：（Ⅰ）先利用导数求出切线的斜率，再借助点斜式求出切线方程；（Ⅱ）在（i）中，先求出导数，然后对k讨论确定f′（x）的符号，从而求出单调区间；（ii）在（i）的基础上从集合角度建立不等式求解．本题考查导数的几何意义、用导数研究函数的单调性问题，属于中档题目．20.答案：解：（Ⅰ）根据题意，集合S={1，2，3，…，100}，T={x|x=2n，n∈N*}={2，4，8，……}；则S-（S-T）={2，4，8，16，32，64}；则集合S-（S-T）的所有元素是：2，4，8，16，32，64；（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即D=11．这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100；当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即d=1．这样的数列首项可以是1，2，3，…，91中的任何一个，因此共有91个公差为1的等差数列；（Ⅲ）将集合S中元素列表如下：表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．假设存在含有10个元素的集合A，使得S-A中不含10个元素组成的等差数列．显然每连续10个元素中必有集合A中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合A中的唯一一个元素．记表中第i行第j列的数为（i，j）．若第i（1≤i≤9）行中集合A的唯一元素为（i，j），则第i+1行中（i+1，1），（i+1，2），…（i+1，j）中必有集合A中元素．若第i（1≤i≤9）行的第一个数在集合A中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第一列中集合A的唯一元素只可能在第十行．同理，若第i（1≤i≤8）行的第二个数在集合A中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第二列中集合A的唯一元素只可能在第九行．依此类推，得A={10，19，28，37，46，55，64，73，82，91}．此时，另一条对角线上的十个元素{1，12，23，34，45，56，67，78，89，100}构成等差数列，与假设矛盾．综上，原命题成立．解析：（Ⅰ）根据题意，分析集合T的元素，结合M-N的含义分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由等差数列的性质分析公差的最大、最小值，据此分析等差数列的数目，相加即可得答案；（Ⅲ）根据题意，将集合S中元素列表，据此分析集合集合S-A中的元素，由反证法分析可得结论．本题考查数列与集合的综合应用，涉及集合的表示方法以及合情推理的应用，关键是掌握集合以及集合中元素的性质，属于基础题．。

北京市通州区2019-2020学年高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96【答案】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 2．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+ 在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C. 【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题. 3．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+ B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C . 【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r ，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r ，设EF 和1BB 成角为θ，则1122cos222EF BB EF BB θ⋅-===⨯⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.5．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1，0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==； 第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==； 第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==； 不满足判断条件，输出计算结果3y =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．31试题分析：由于在等比数列{}n a 中，由2664a a =可得：352664a a a a ==， 又因为3520a a +=，所以有：35,a a 是方程220640x x -+=的二实根，又0n a >，1q >，所以35a a <， 故解得：354,16a a ==，从而公比5132,1a q a a ===； 那么55213121S -==-，故选D ．考点：等比数列．8． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =．本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．9．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论. 【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确； 使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 10．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】命题p 为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题p 的否定为2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R ，故选C ． 11．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ． B ．C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.故选：. 【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合M 中元素，可得非空子集个数． 【详解】由题意{(1,1),(1,2),(2,1)}M =，共3个元素，其子集个数为328=，非空子集有7个．故选：C ． 【点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有n 个元素的集合其子集个数为2n ，非空子集有21n -个． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市通州区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点 D ．抛物线，但要去掉两个点【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得AC BC ⊥,即知C 在以AB 为直径的圆上. 【详解】PB α⊥Q ,AC α⊂，PB AC ∴⊥,又PC AC ⊥，PB PC P ⋂=,AC ∴⊥平面PBC ,又BC ⊂平面PBC AC BC ∴⊥，故C 在以AB 为直径的圆上， 又C 是α内异于,A B 的动点，所以C 的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A 【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.2．已知向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a b ⨯r r 为a r 与b r 的“向量积”，且a b ⨯r r是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=r r r r ，若()2,0u =r ，(1,u v -=r r ，则()u u v ⨯+=r r r（ ）A ．BC ．6D ．【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量坐标运算求出(u v +=r r和cos ,u u v +r r r ，进而求出sin ,u u v +r r r ，代入题中给的定义即可求解. 【详解】由题意()(v u u v =--=r r r r ，则(u v +=r r ，cos ,2u u v +=r r r ，得1sin ,2u u v +=r r r ，由定义知()1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=r r r r r r r r r ， 故选:D. 【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目. 3．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.4．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．5．等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；⊥；（2）存在某个位置，使得AE BDθ≥∠；（3）设二面角D AB E--的平面角为θ，则DAE（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用. 6．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 2； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin 2)4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=2，③正确； 因为5444x πππ≤-≤，所以12)24x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．7．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2 +2x-8>0}，B={x|log 2x<1}，则()R A B ⋂ð等于（ ） A ．[-4,2] B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)【答案】D 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】解：由x 2 +2x-8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A={x|x 2 +2x-8>0}＝{x| x ＜-4或x ＞2}， 由log 2x<1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B={x|log 2x<1}＝{ x |0＜x ＜2}， 则{}|42R A x x =-≤≤ð， ∴()()0,2R A B =I ð. 故选：D. 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.8．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．25【答案】B 【解析】 【分析】先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，满足3a b -<”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13，在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：()2,3、()2,5、()2,7、12()()f x f x -、()2,13、()3,5、()3,7、()3,11、()3,13、()5,7、()5,11、()5,13、()7,11、()7,13、()11,13，共15种情况，其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，且3a b -<”包含的基本事件有：()2,3、()3,5、()5,7、()11,13，共4种情况，因此，所求事件的概率为415P =. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.9．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B． C．⎤⎦D ．[]1,4【答案】D 【解析】 【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 【详解】由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，因为122PF ≤≤，故()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.10．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题 11．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数） 32e >；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln ,03f x x x =->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f e π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln ,0f x e x x x =->，利用导数求得函数的最大值为()0f e =，进而得到()30f <，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239(),() 2.2524e e ===，可得 2.25e >，根据不等式的性质，可得32e >成立，所以是正确的；对于②中，设函数()2ln ,03f x x x =->，则()10f x x'=>，所以函数为单调递增函数， 因为e π>，则()()ff e π>又由()221ln 10333f e e =-=-=>，所以()0f π>，即2ln 3π>，所以②不正确； 对于③中，设函数()ln ,0f x e x x x =->，则()1e e xf x x x-'=-=，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=， 所以()3ln330f e =-<，即ln33e <，即3ln 3e<，所以是正确的. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==； 第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==； 第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==； 不满足判断条件，输出计算结果3y =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市通州区2020届高三数学上学期摸底（期末）考试试题2020年1月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<<，{}13B x x =-<<，则A B =A. {}23x x -<< B. {}11x x -<< C. {}13x x << D. {}21x x -<<-2.在复平面内，复数i1iz =+（其中i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知点A （2，a ）为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于A.4B. 3C. D. 2 4. 若0x y >>，则下列各式中一定正确的是A.11x y > B. tan tan x y > C. 11()()22x y > D. ln ln x y > 5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为 A．俯视图C.6. 甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为A ． 24 B. 12 C. 8 D. 67. 对于向量a ，b ， “a a b =+”是“0b =”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 关于函数21`()(1)x f x x ax e-=+-有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1； ②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1； ③若2x =-是函数的一个极值点，则函数极小值为-1. 其中正确判断的个数有A ．0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量()3,2a →=-，()m b ,1=→，若()a a b →→→⊥-，则=m ___________.10. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1=2，且a 1，a 3，a 7依次成等比数列，那么数列{a n }的前n 项和n S 等于 .11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为 .12. 在ABC ∆中， 3a =，b =2B A ∠=∠，则cos B = .13.已知,,a b a m +均为大于0的实数，给出下列五个论断： ①a b >，②a b <，③0m >，④0m <，⑤b m ba m a+>+. 以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题 .14. 如图，某城市中心花园的边界是圆心为O ，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l ，花园中间有一条公路AB （AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ．规划要求：道路PB ，QA 不穿过花园．已知OC l ⊥，BD l ⊥（C 、D 为垂足），测得OC =0.9，BD =1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米.在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 元.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()2cos()sin 3πf x x x =-.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期；（Ⅱ）求f (x )在区间π[0,]2上的最大值和最小值.16．（本小题13分）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格. 良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：(Ⅰ)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；(Ⅱ)从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X ，求X 的分布列；(Ⅲ)设8所学校优秀比例的方差为S 12，良好及其以下比例之和的方差为S 22，比较S 12与S 22的大小.（只写出结果）17．（本小题14分）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ， ∠SAD =∠DAB =900，SA =3，SB =5，4AB =，2BC =，1AD =. (Ⅰ)求证：AB ⊥平面SAD ；(Ⅱ) 求平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E ，F 分别为线段BC ，SB 上的一点，若平面AEF //平面SCD ，比例 学校 等级学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3% 良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35% 及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38% 不及格33%17%42%35%32%15%38%24%求三棱锥B -AEF 的体积.18．（本小题13分）已知椭圆C ：12222=+b y a x (0)a b >>的长轴长为4，离心率为22，点P 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）已知点M (4，0)，点N (0，n )，若以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点，求n 的取值范围．19. （本小题13分）已知函数x x x x f cos sin )(+=．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数21()()4g x f x x =-零点的个数.20. （本小题14分）已知项数为*(,2)N m m m ∈≥的数列{}n a 满足如下条件：①*(1,2,,)n a N n m ∈=；②12m a a a <<<.若数列{}n b 满足*12()1m nn a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m =，则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（Ⅰ）数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12m b b b >>>；（Ⅲ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，求m 的最大值.通州区2019—2020学年度第一学期高三年级期末考试 数学试卷参考答案及评分标准 2020年1月一、选择题：（每小题5分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共30分）9．5- ； 10．21322n n +；11．221x y -=； 12．13； 13．①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）； 14．2.1三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）解：1()2cos()sin 2(cos )sin 32f x x x x x x π=-= 23)32sin()2cos 1(232sin 21+-=-+=πx x x ……………4分 （Ⅰ） f (x )的最小正周期T =2=2ππ ……………7分 （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以2π2[,]333x ππ-∈-， ……………9分所以当233x ππ-=-,即0x =时，f (x )取得最小值0； ……………11分当232x ππ-=，即512x π=时，f (x )1+. ……………13分16．（本小题13分）解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ， ……………1分 所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为12. ……………3分 （Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B 、F 、H 三所，所以X 的取值为0，1，2. ……………4分145)0(2825===C C X P 2851)1(281315===C C C X P 283)2(2823===C C X P 所以随机变量X 的分布列为……………10分（Ⅲ）S 12=S 22……………13分17．（Ⅰ）证明：在SAB 中，因为3,4,5SA AB SB ===， 所以AB SA ⊥. ………1分 又因为∠DAB =900所以AB AD ⊥， ……………2分 因为SAAD A =所以AB ⊥平面SAD . ……………4分 （Ⅱ）解：因为 SA ⊥AD ，AB SA ⊥，AB AD ⊥. 建立如图直角坐标系则A （0,0,0）B (0,4,0)， C （2,4,0），D （1,0,0），S (0,0,3). ……………5分 平面SAB 的法向量为(1,0,0)AD =. ……………6分 设平面SDC 的法向量为(,,)m x y z =所以有00m CD m SD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即4030x y x z +=⎧⎨-=⎩， 令1x =所以平面SDC 的法向量为11(1,,)43m =- ……………8分所以12cos 13m SD m SDθ==. ……………9分 （Ⅲ）因为平面AEF //平面SCD ， 平面AEF平面ABCD=AE ，平面SCD 平面ABCD=CD ，所以AE CD ∥， 平面AEF平面SBC=EF ，平面SCD平面SBC=SC ，所以FE SC ∥ ……………11分 由AE CD ∥，AD //BC 得四边形AEDC 为平行四边形.所以E 为BC 中点. 又FE SC ∥，所以F 为SB 中点. ……………12分 所以F 到平面ABE 的距离为32， 又ABE 的面积为2，所以1B AEF F ABE V V --==. ……………14分18 （本小题13分）解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a =4，得a =2又离心率22==a c e ，所以2=c 所以2222=-=c a b ．所以椭圆C 的方程为；12422=+y x ． ……………4分（Ⅱ）法一：设点)(00y x P ，，则1242020=+yx所以PN 的中点)22(00n y x Q +， ……………5分 )242(00n y x +-=，，)(00n y x -=，． ……………6分 因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点所以MQ ⊥NP ，则0=⋅ ……………7分即0))(2()42(0000=-++-n y n y x x ． ……………8分 又因为1242020=+y x ，所以02822020=-+-n x x所以]22[28200202，，-∈+-=x x xn . ……………10分 函数]22[282)(00200，，-∈+-=x x xx f 的值域为]2012[，- 所以2002≤≤n所以5252≤≤-n . ……………13分 法二：设点)(00y x P ，，则1242020=+yx ．设PN 的中点为Q因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点所以MQ 是线段PN 的垂直平分线 ……………7分 所以MN MP = 即2202016)4(n y x +=+- 所以2820202+-=x x n ． ……………10分 函数]22[282)(00200，，-∈+-=x x x x f 的值域为]2012[，- 所以2002≤≤n . 所以5252≤≤-n . ……………13分若有其他方法请酌情给分.19．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为()cos f x x x '=， ……………1分 所以(0)0f '=. ……………2分 又因为(0)1f = ……………3分 所以曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程为1y =. ……………4分 （Ⅱ）因为21()()4g x f x x =-为偶函数，(0)1g = ……………5分 所以要求()g x 在R x ∈上零点个数，只需求()g x 在(0,)x ∈+∞上零点个数即可. ……………6分11()cos (cos )22g x x x x x x '=-=- 令()0g x '=，得23x k ππ=+，523x k ππ=+N k ∈ ……………7分 所以()g x 在(0,)3π单调递增，在5(,)33ππ单调递减，在57(,)33ππ单调递增， 在5(2,2)33k k ππππ++单调递减，在(2,2)33k k ππππ-+单调递增N k *∈……………8分 列表得：由上表可以看出()g x 在23x k ππ=+（N k ∈）处取得极大值，在523x k ππ=+（N k ∈）处取得极小值 ……………9分21()03236g ππ=+->；25125()03236g ππ=+-<. ……………10分 当k ∈*N 且1k ≥时221115(2)(2)(2)(20332243434g k k k k ππππππππ+=++-+=-++< （或21()14g x x x <+-，21(2)(2)1(2)03343g k k k ππππππ+<++-+<） ………11分 所以()g x 在(0,)x ∈+∞上只有一个零点. ………12分 函数21()()()4R g x f x x x =-∈零点的个数为2. ………13分20．（本小题14分）（Ⅰ）解：数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. ……………1分 因为*41357979512b N ++++-==∉-， 所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. ……………3分 （Ⅱ）证明：因为111n n n n a a b b m ++--=-，*11,n m n N ≤≤-∈ ……………4分又因为12m a a a <<<，所以有10n n a a +-< 所以1101n n n n a a b b m ++--=<- ……………5分 所以12m b b b >>> 成立 ……………6分（Ⅲ）∀1≤i <j ≤m ，都有1j ii j a a b b m --=-， ……………7分因为*i b N ∈，12m b b b >>>.所以*i j b b N -∈， 所以*1j ii j a a b b N m --=∈- ……………8分 所以*11204811m m a a b b N m m --==∈-- 因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-， 所以11n n a a m --≥- ……………10分又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-++-(1)(1)(1)m m m ≥-+-++-=2(1)m - ……………12分所以2(1)2048m -≤，所以46m ≤ ……………13分 又*20481N m ∈-，所以33m ≤例如：6463n a n =-（133n ≤≤），满足题意，所以， m 的最大值是33. …………14分。

通州区高三年级一模考试数学试卷2020年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =IA. {}03x x << B . {}23x x << C . {}01x x <≤ D . {}12x x <≤2. 已知复数=i(2i)z + （i 是虚数单位），则z =A. 1 B . 2 C.D . 33. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π4. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是A. （1，-2） B . （-1，-2） C . （-1，2） D . （2，1） 5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则33log log b c -等于 A. 1- B . 12- C . 12D . 16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =A.B . 2C .D . 47. 在6(2)1x x-的展开式中，常数项是A. -160 B . -20 C . 20 D . 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=u u u r u u u rA.1 B .C . 2D . 与α有关9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“(1,N )n a a n *>∈是几位数”，他以2(N )n n *∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg20.3010≈） A. 101 B . 50 C . 31 D . 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量(1,2)=-a ，(3,)m =-b ，其中m ∈R ．若,a b 共线 ，则m 等于 ___________.12. 圆()1122=+-y x的圆心到直线10x +=的距离为 .13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+ 其中值域为[1)+∞，的函数的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC，满足a =2b =， ，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A =π ， ②cos 7B = 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.俯视图18. （本小题15分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，且060=∠A ，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=o . (Ⅰ)求证：⊥AE 平面EBHG ； (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AB λAF =，当//EF 平面AGH 时，求λ的值.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，点A (0，1)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数()()e x f x x a x a =-++，设()()g x f x '=. （Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. 21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列Λ,,10a a 对于所有非负整数i 满足])[(][1i i i i a a a a -⋅=+，其中0a 是任意一个非零实数.(Ⅰ) 若6.20-=a ，写出a 1,a 2,a 3； (Ⅱ)若00>a ，求数列]}{[i a 的最小值；(Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当k i ≥时，2+=i i a a .通州区高三年级一模考试数学试卷参考答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共25分）11．6 ； 12. 1；13．3； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分） 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos B =时，222cos 2a c b B ac +-==…………… 4分27=整理得，230c -+=，所以c = …………… 6分因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人，青年员工20804400⨯=人 ……………… 4分（Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==g ，252810(X=0)28C P C == ……………… 11分5(X)4E =. ……………… 14分18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE 因为90AEG ∠=o ，所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以⊥AE 平面EBHG . ……………… 4分 (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB ,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴， 建立如图空间坐标系可得(1,0,0)A ，B ，(0,0,1)G ，H .……………… 6分=(1,0,1)AG -u u u r ，=(AH -u u u r设平面AGH 的法向量为),,(z y x n =所以 00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令x =1，则)1,33,1(-=n ………………8分 平面EBHG 的法向量为(1,0,0)EA =u u u r……………… 9分设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ721,cos |cos >=<=θ ……………… 11分 (Ⅲ) 由AF AB =λu u u r u u u r，则(1,0)F -λ所以)0,3,1(λλ-= ……………… 12分 因为//EF 平面AGH ，则 0=⋅ ……………… 13分 即120-λ= ……………… 14分所以21=λ ……………… 15分19. （本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得c e a ==………………1分 b =1,又222a b c =+解得1a c == ……………… 4分所以椭圆方程为2212x y += ……………… 5分（Ⅱ）设00(,)M x y ，由题意及椭圆的对称性可知000(,)(1)N x y y --≠±……………… 6分 则直线AM 的方程为0011y y x x -=+ ……………… 7分 直线AN 的方程为0011y y x x +=+ ……………… 8分 则E 点坐标为00(,0)1x y -，F 点坐标为0(,0)1x y -+ ……………… 10分假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan ∠OGE =tan ∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分 即OE OG OGOF=即2OG OE OF = ……………… 12分即220221x n y ==-所以n = ……………… 13分所以存在点G 坐标为(0,满足条件. ……………… 14分20. （本小题14分）解：（Ⅰ）()(1)1x f x x a e '=-++ ……………… 1分 由题意可知()(1)1x g x x a e =-++，所以()(2)x g x x a e '=-+ ……………… 2分 当2x a >-时()0g x '>，()g x 在(2,)a -+∞上单调递增；……………… 3分 当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(,2)a -∞-上单调递减……………… 4分 所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为2(2)1a g a e --=-+……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当2a ≤时2()10a f x e -'≥-+>， ……………… 6分 所以()f x 在单调递增，所以()(0)0f x f >= ……………… 7分 即2a ≤时()0f x >在(0,)+∞恒成立. ……………… 8分当2a >时(0)(0)20f g a '==-<， ………………9分 又()()10a f a g a e '==+>， ……………… 10分 又由于()f x '在(2,)a -+∞上单调递增；在(0,2)a -上单调递减； 所以在(0,)a 上一定存在0x 使得0()0f x '=， ……………… 11分 所以()f x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞递增，所以0()(0)0f x f <= ……………… 12分 所以在(0,)+∞存在0x ，使得0()0f x <， ……………… 13分 所以当2a >时，()0f x >在(0,)+∞上不恒成立所以a 的取值范围为(],2-∞. ………………14分21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 2.11-=a 、6.12-=a 、8.03-=a . ……………… 3分分 分 分11分 令k =m ，满足当k i ≥时，2+=i i a a .综上，存在非负整数k ，使得当k i ≥时， 2+=i i a a .………………14分。

北京市通州区2020年高三数学一模答案2020年4月，通州区高三年级进行了一次数学模拟考试，以下是参考答案及评分标准。

一、选择题（每小题4分，共40分）题号：1-10答案：D,C,B,B,A,D,A,B,A,C二、填空题（每道小题5分，共25分）1.1632.15；①②④三、解答题（本大题共6小题，共85分）11.6；12.1；13.16解析：选项1，因为当A=时，cosA=，所以c-2c-3=，所以c=3，所以△ABC的面积S=bc*sinA=2*3*sin/2=3，因为3>2成立。

选项2，因为a=7，b+c=4+3=7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC的面积S=bc=2*3=6<2不成立。

答案：选项117.（本小题14分）解析：Ⅰ）该单位员工共400人，抽取的老年员工7人，中年员工9人，青年员工4人。

Ⅱ）X的可取值为0,1,2，P(X=0)=210/15=2/15，P(X=1)=11C3/23C3=28/253，P(X=2)=8C5/28C5=56/，所以X的分布列为：X。

P0.2/151.28/2532.56/E(X)=5/4.18.（本小题15分）Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点，所以BE⊥AD，因此BE⊥AE。

如果存在正整数$k$，使得$[a_k]=0$，则$\{[a_i]\}$的最小值为$0$。

证明如下：由于$[a_k]=0$，根据题意可知存在$k\in N$，使得$[a_k]=0$，因此$a_{k+1}=0$，从而$[a_{k+1}]=0$。

对于$i\geq k$，有$a_i=a_{i+1}+[a_i]$，因此$[a_i]=[a_{i+1}]\geq 0$，即$\{[a_i]\}$的最小值为$0$。

当$a>0$时，根据式子$(2)$可知，存在$k\in N$，使得$[a_k]=0$。

因此，$a_{k+1}=0$，从而对于$i\geq k$，有$a_i=0$，即$a$的整数部分为$0$。

2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．已知集合A ＝{x |0＜x ≤2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜3}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |1＜x ≤2}2．已知复数z ＝i （2+i ）（i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．1B ．2C ．√5D ．33．函数f （x ）＝sin2x +cos2x 的最小正周期是（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π4．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且f （1）＝2，下列一定在函数f （x ）图象上的点是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣1，2）D ．（2，1）5．已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a ＞0，则log 3b ﹣log 3c 等于（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．16．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线x 23−y 2=1的右焦点重合，则p ＝（ ）A ．√2B ．2C ．2√2D ．47．在（2x −1x）6的展开式中，常数项是（ ） A ．﹣l 60B ．﹣20C ．20D ．1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （cos α，sin α），B(cos(α+π3)，sin(α+π3))．则|OA →+OB →|=（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．与α有关9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a→=(1，−2)，b→=(−3，m)，其中m∈R．若a→，b→共线，则m等于．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+√3y+1=0的距离为．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝；a n＝．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足a=√7，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①A=π3，②cosB=√217这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F满足AF→=λAB→，当EF∥平面AGH时，求λ的值．19．已知椭圆C：x2a+y2b=1(a＞b＞0)的离心率为√22，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2}【分析】利用交集定义能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：D．2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．√5D．3【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可解：因为复数z＝i（2+i）＝﹣1+2i，所以|z|=√(−1)2+22=√5，故选：C．3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．π2B．πC．2πD．4π【分析】函数y解析式提取√2变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．解：函数y＝sin2x+cos2x=√2sin（2x+√22），∵ω＝2，∴T＝π．故选：B ．4．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且f （1）＝2，下列一定在函数f （x ）图象上的点是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣1，2）D ．（2，1）【分析】根据f （x ）是奇函数即可得出f （﹣1）＝﹣2，从而得出点（﹣1，﹣2）在f （x ）的图象上．解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （1）＝2， ∴f （﹣1）＝﹣2，∴（﹣1，﹣2）一定在函数f （x ）的图象上． 故选：B ．5．已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a ＞0，则log 3b ﹣log 3c 等于（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出． 解：a ，3，b ，9，c 成等比数列， 则bc ＝81，b 2＝27，∴b 2bc=b c=13，∴log 3b ﹣log 3c ＝log 313=−1， 故选：A ．6．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线x 23−y 2=1的右焦点重合，则p ＝（ ）A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y 2＝2px 的焦点坐标（p2，0），可得p2=2，得p ＝4．解：∵双曲线x 23−y 2=1中a 2＝3，b 2＝1∴c =√a 2+b 2=2，得双曲线的右焦点为F （2，0） 因此抛物线y 2＝2px 的焦点（p2，0）即F （2，0）∴p 2=2，即p ＝4 故选：D ．7．在（2x −1x）6的展开式中，常数项是（ ） A ．﹣l 60B ．﹣20C ．20D ．160【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：(2x −1x)6展开式的通项公式为 T r +1=C 6r •（2x ）6﹣r •（﹣1）r •x ﹣r ＝（﹣1）r •26﹣r•C 6r •x6﹣2r ， 令6﹣2r ＝0，可得r ＝3，故(2x −1x)6展开式的常数项为﹣8•C 63=−160， 故选：A ．8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （cos α，sin α），B(cos(α+π3)，sin(α+π3))．则|OA →+OB →|=（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．与α有关【分析】根据题意，求出向量OA →、OB →的坐标，进而可得OA →+OB →的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．解：根据题意，A（cosα，sinα），B(cos(α+π3)，sin(α+π3))．则OA→=（cosα，sinα），OB→=（cos（α+π3），sin（α+π3）），则有OA→+OB→=（cosα+cos（α+π3），sinα+sin（α+π3）），故|OA→+OB→|2＝[cosα+cos（α+π3）]2+[sinα+sin（α+π3）]2＝2+2cosαcos（α+π3）+2sinαsin（α+π3）＝2+2cosπ3=3，则|OA→+OB→|=√3；故选：B．9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】a＞0，b＞0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2√ab，可由ab≥1，得出a+b ≥2．反之不成立．解：a＞0，b＞0，∴a+b≥2√ab，若ab≥1，则a+b≥2．反之不成立，例如取a＝5，b=1 10．∴“ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．故选：A．10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30【分析】因为450＝2100，所以N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数．解：∵450＝2100，∴N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30.10＝30+0.10＝30+lg100.10≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a→=(1，−2)，b→=(−3，m)，其中m∈R．若a→，b→共线，则m等于6．【分析】因为a→，b→共线，即a→∥b→，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．解：若a→，b→共线，即a→∥b→，∵a→=(1，−2)，b→=(−3，m)，∴1×m＝﹣2×（﹣3），∴m＝6．故答案为：6．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+√3y+1=0的距离为1．【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+√3y+1=0的距离d=|1+1|√1+(√3)2=1，故答案为：1．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于√33．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体． 如图所示：所以：V =13×12×4×2√3×4=16√33．故答案为：16√33． 14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n }，则a 1＝ 8 ；a n ＝ 15n ﹣7 ．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n }的公差为15，首项为8．利用通项公式即可得出．解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n }的公差为15，首项为8． ∴a 1＝8，a n ＝8+15（n ﹣1）＝15n ﹣7． 故答案为：8，15n ﹣7．15．给出下列四个函数，①y ＝x 2+1；②y ＝|x +1|+|x +2|；③y ＝2x +1；④y ＝x 2+cos x ，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是 ①②④ ．【分析】①由x 2≥0，得x 2+1≥1，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由2x ＞0，得2x +1＞1，由此得出结论；④由函数f （x ）＝x 2+cos x 的奇偶性及单调性即可得出结论．解：①∵x 2≥0， ∴x 2+1≥1，故值域为[1，+∞），符合题意；②y ＝|x +1|+|x +2|≥|（x +1）﹣（x +2）|＝1，故值域为[1，+∞），符合题意； ③∵2x ＞0， ∴2x +1＞1，故值域为（1，+∞），不合题意；④函数f （x ）＝x 2+cos x 为偶函数，且f ′（x ）＝2x ﹣sin x ，f ''（x ）＝2﹣cos x ＞0，故f ′（x ）在R 上单调递增，又f ′（0）＝0，故当x ∈（0，+∞）时，f （x ）单调递增，则当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）单调递减，又f （0）＝1，故其值域为[1，+∞），符合题意． 故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．已知△ABC ，满足a =√7，b ＝2，______，判断△ABC 的面积S ＞2是否成立？说明理由．从①A =π3，②cosB =√217这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，先利用余弦定理可解得c ＝3，从而求得三角形面积为3√32，由此作出判断；选②，先利用余弦定理可得c =√3，结合已知条件可知△ABC 是A 为直角的三角形，进而求得面积为√3，此时S ＞2不成立．解：选①，△ABC 的面积S ＞2成立，理由如下：当A =π3时，cosA =12=4+c 2−72⋅2c，所以c 2﹣2c ﹣3＝0，所以c ＝3，则△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×3×sin π3=32√3，因为32√3=√274＞√4=2，所以S ＞2成立．选②，△ABC 的面积S ＞2不成立，理由如下：当cosB =√217时，cosB =a 2+c 2−b 22ac =√217，即22√7c=√217，整理得，c 2−2√3c +3=0，所以c =√3， 因a 2＝7，b 2+c 2＝4+3＝7， 所以△ABC 是A 为直角的三角形， 所以△ABC 的面积S =12bc =12×2×√3=√3＜2， 所以不成立．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：子女教育继续教育大病医疗 住房贷款利住房租金赡养老人专项 员工人数 息老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工12121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．（Ⅱ）随机变量X 的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望． 解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人， 抽取的老年员工140×20400=7人， 中年员工180×20400=9人， 青年员工80×20400=4人． （Ⅱ）X 的可取值为0，1，2，P(X =0)=C 32C 82=328，P(X =1)=C 31⋅C 51C 82=1528，P(X =0)=C 52C 82=1028． 所以X 的分布列为X012P32815281028数学期望E（X）=0×328+1×1528+2×1028=54．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F满足AF→=λAB→，当EF∥平面AGH时，求λ的值．【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；（Ⅲ）由AF→=λAB→，则F(1−λ，√3λ，0)，由n→⋅EF→=0．计算可得所求值．解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．因为∠AEG＝90°，所以GE ⊥AE ．因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE ＝E 所以AE ⊥平面EBHG ．（Ⅱ） 设菱形ABCD 的边长为2，由（Ⅰ）可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE ．所以以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图空间坐标系可得A （1，0，0），B(0，√3，0)，G （0，0，1），H(0，√3，2)．AG →=(−1，0，1)，AH →=(−1，√3，2)设平面AGH 的法向量为n →=(x ，y ，z)，所以{n →⋅AG →=0n →⋅AH →=0，即{−x +z =0−x +√3y +2z =0． 令x ＝1，则n →=(1，−√33，1)．平面EBHG 的法向量为EA →=(1，0，0)．设二面角A ﹣GH ﹣B 的大小为θ（θ＜900）cosθ=|cos ＜n →，EA →＞=√217．（Ⅲ） 由AF →=λAB →，则F(1−λ，√3λ，0)，所以EF →=(1−λ，√3λ，0)．因为EF ∥平面AGH ，则n →⋅EF →=0． 即1﹣2λ＝0．所以λ=12．19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，点A （0，1）在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问：y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE ＝∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合b ＝1，求出a ，得到椭圆方程．（Ⅱ）设M （x 0，y 0），由题意及椭圆的对称性可知N （﹣x 0，﹣y 0）（y 0≠±1），求出AM ，AN 的方程，求出E 的坐标，F 的坐标，假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE ＝∠OFG ，得到|OE||OG|=|OG||OF|，求出n ，即可．说明存在点G 坐标为(0，±√2)满足条件．解：（Ⅰ）由题意得e =c a =√22，b ＝1， 又a 2＝b 2+c 2解得a =√2，c =1， 所以椭圆方程为x 22+y 2=1．（Ⅱ）设M （x 0，y 0），由题意及椭圆的对称性可知N （﹣x 0，﹣y 0）（y 0≠±1），则直线AM的方程为y=y0−1x0x+1，直线AN的方程为y=y0+1x0x+1，则E点坐标为(x01−y0，0)，F点坐标为(−x01+y0，0)．假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，即tan∠OGE＝tan∠OFG（也可以转化为斜率来求），即|OE||OG|=|OG||OF|即|OG|2＝|OE||OF|，即n2=x021−y02=2所以n=±√2，所以存在点G坐标为(0，±√2)满足条件．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数得到g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1，通过a≤2时，当a＞2时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可．解：（Ⅰ）f'（x）＝（x﹣a+1）e x+1，由题意可知g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，所以g'（x）＝（x﹣a+2）e x，当x＞a﹣2时g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；当x＜a﹣2时g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，a﹣2）上单调递减，所以g（x）在x＝a﹣2处取得极小值，为g（a﹣2）＝﹣e a﹣2+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1当a≤2时f'（x）≥﹣e a﹣2+1＞0，所以f（x）在单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，即a≤2时f（x）＞0在（0，+∞）恒成立．当a＞2时f'（0）＝g（0）＝2﹣a＜0，又f'（a）＝g（a）＝e a+1＞0，又由于f'（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；在（0，a﹣2）上单调递减；所以在（0，a）上一定存在x0使得f'（x0）＝0，所以f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，所以f（x0）＜f（0）＝0，所以在（0，+∞）存在x0，使得f（x0）＜0，所以当a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立所以a的取值范围为（﹣∞，2]．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k ，使得当i ≥k 时，a i ＝a i +2．【分析】（Ⅰ）由a 0＝﹣2.6，代入可得a 1＝[a 0]•（a 0﹣[a 0]）＝﹣1.2，同理可得：a 2，a 3．（Ⅱ）由a 0＞0，可得[a 0]≥0，a 1＝[a 0]（a 0﹣[a 0]）≥0，设[a i ]≥0，i ≥1，可得a i +1＝[a i ]（a i ﹣[a i ]）≥0，因此[a i ]≥0，∀i ≥0．又因0≤a i ﹣[a i ]＜1，则a i +1＝[a i ]（a i ﹣[a i ]）≤[a i ]，可得[a i +1]≤[a i ]，∀i ≥0．假设∀i ≥0，都有[a i ]＞0成立，可得：[a i +1]≤[a i ]﹣1，∀i ≥0，利用累加求和方法可得[a n ]≤[a 0]﹣n ，∀n ≥1，则当n ≥[a 0]时，[a n ]≤0，得出矛盾，因此存在k ∈一、选择题，[a k ]＝0．从而{[a i ]}的最小值为0．（Ⅲ）当a 0＞0时，由（2）知，存在k ∈N ，[a k ]＝0，可得a k +1＝0，[a k +1]＝0，可得a i ＝0，∀i ≥k ，成立．当a 0＜0时，若存在k ∈N ，a k ＝0，则a i ＝0，∀i ≥k ，得证；若a i ＜0，∀i ≥0，则[a i ]≤﹣1，则a i +1＝[a i ]（a i ﹣[a i ]）＞[a i ]，可得[a i +1]≥[a i ]，∀i ≥0，可得数列{[a i ]}单调不减．由于[a i ]是负整数，因此存在整数m 和负整数c ，使得当i ≥m 时，[a i ]＝c ．所以，当i ≥m 时，a i +1＝c （a i ﹣c ），转化为a i+1−c 2c−1=c(a i −c 2c−1)，令b i =a i −c 2c−1，即b i +1＝cb i ，i ≥m ．经过讨论：当b m ＝0时，得证．当b m ≠0时，b i ≠0，i ≥m ，b i =c i−m b m ，i ≥m ，当i ≥m 时，[a i ]＝c ，则a i ∈[c ，c +1），则{b i }有界，进而证明结论． 解：（Ⅰ）∵a 0＝﹣2.6，∴a 1＝[a 0]•（a 0﹣[a 0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2，同理可得：a 2＝﹣1.6、a 3＝﹣0.8．………………（Ⅱ）因a 0＞0，则[a 0]≥0，所以a 1＝[a 0]（a 0﹣[a 0]）≥0，设[a i ]≥0，i ≥1，则a i +1＝[a i ]（a i ﹣[a i ]）≥0，所以[a i ]≥0，∀i ≥0．又因0≤a i ﹣[a i ]＜1，则a i +1＝[a i ]（a i ﹣[a i ]）≤[a i ]，则[a i +1]≤[a i ]，∀i ≥0．………………假设∀i ≥0，都有[a i ]＞0成立，则a i +1＝[a i ]（a i ﹣[a i ]）＜[a i ]，则[a i +1]＜[a i ]，∀i ≥0，即[a i +1]≤[a i ]﹣1，∀i ≥0，……………… 则[a n ]≤[a 0]﹣n ，∀n ≥1，则当n ≥[a 0]时，[a n ]≤0，这与假设矛盾，所以[a i ]＞0，∀i ≥0不成立，……………… 即存在k ∈N ，[a k ]＝0．从而{[a i ]}的最小值为0．……………… （Ⅲ）证明：当a 0＞0时，由（2）知，存在k ∈N ，[a k ]＝0， 所以a k +1＝0，所以[a k +1]＝0，所以a i ＝0，∀i ≥k ，成立．……………… 当a 0＜0时，若存在k ∈N ，a k ＝0，则a i ＝0，∀i ≥k ，得证；……………… 若a i ＜0，∀i ≥0，则[a i ]≤﹣1，则a i +1＝[a i ]（a i ﹣[a i ]）＞[a i ]，则[a i +1]≥[a i ]，∀i ≥0，所以数列{[a i ]}单调不减．由于[a i ]是负整数，所以存在整数m 和负整数c ，使得当i ≥m 时，[a i ]＝c ． 所以，当i ≥m 时，a i +1＝c （a i ﹣c ），则a i+1−c 2c−1=c(a i −c 2c−1)，令b i =a i −c 2c−1， 即b i +1＝cb i ，i ≥m ．当b m ＝0时，则b i ＝0，i ≥m ，则a i =c 2c−1，i ≥m ，得证．……………… 当b m ≠0时，b i ≠0，i ≥m ，b i =c i−m b m ，i ≥m ， 因当i ≥m 时，[a i ]＝c ，则a i ∈[c ，c +1），则{b i }有界， 所以|c |≤1，所以负整数c ＝﹣1．……………… ∴a i =−12+(−1)i−m b m =−12+(−1)i−m (a m +12)(i ≥m)， 则a i ={a m ，i =m ，m +2，m +4，⋯−1−a m ，i =m +1，m +3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 令k ＝m ，满足当i ≥k 时，a i ＝a i +2． 综上，存在非负整数k ，使得当i ≥k 时，a i ＝a i +2．………………。

通州区高三年级一模考试数学试卷2020年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =IA. {}03x x << B . {}23x x << C . {}01x x <≤ D . {}12x x <≤2. 已知复数=i(2i)z + （i 是虚数单位），则z =A. 1 B . 2 C.D . 33. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π4. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是A. （1，-2） B . （-1，-2） C . （-1，2） D . （2，1） 5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则33log log b c -等于 A. 1- B . 12- C . 12D . 16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =A.B . 2C .D . 47. 在6(2)1x x-的展开式中，常数项是A. -160 B . -20 C . 20 D . 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=u u u r u u u rA.1 B .C . 2D . 与α有关9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“(1,N )n a a n *>∈是几位数”，他以2(N )n n *∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg20.3010≈） A. 101 B . 50 C . 31 D . 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量(1,2)=-a ，(3,)m =-b ，其中m ∈R ．若,a b 共线 ，则m 等于 ___________.12. 圆()1122=+-y x的圆心到直线10x ++=的距离为 .13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+ 其中值域为[1)+∞，的函数的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC，满足a =2b =， ，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A =π ，② cos B = 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下：（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题15分）俯视图如图，已知四边形ABCD 为菱形，且060=∠A ，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=o . (Ⅰ)求证：⊥AE 平面EBHG ； (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AB λAF =，当//EF 平面AGH 时，求λ的值.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，点A (0，1)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数()()e x f x x a x a =-++，设()()g x f x '=. （Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. 21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列Λ,,10a a 对于所有非负整数i 满足])[(][1i i i i a a a a -⋅=+，其中0a 是任意一个非零实数.(Ⅰ) 若6.20-=a ，写出a 1,a 2,a 3； (Ⅱ)若00>a ，求数列]}{[i a 的最小值；(Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当k i ≥时，2+=i i a a .ECDBAEGHBA。

北京市通州区2020届高三数学一模试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则{}02A x x =<≤{}13B x x =<<A B =A. B. C. D. {}03x x <<{}23x x <<{}01x x <≤{}12x x <≤2. 已知复数 （i 是虚数单位），则=i (2i)z +z =D. 33. 函数的最小正周期是（ ）()sin 2cos 2f x x x =+Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．π2π2π4π4. 已知为定义在R 上的奇函数，且，下列一定在函数图象上的点是()f x (1)2f =()f x A. （1，-2） B. （-1，-2） C. （-1，2） D. （2，1）5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则等于33log log b c -A. B. C. D. 1-12-1216. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则22(0)y px p =>2213x y -=p =B. C. 247. 在的展开式中，常数项是6(21x x-A. -160 B. -20 C. 20 D. 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点，(cos ,sin )A αα.(cos(33B ππαα++则OA OB +=C. 2D. 与有关α9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“是几位数”，他以(1,N )n a a n *>∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：2(N )n n *∈2(0)n N n =>lg N 的位数N 12lg 2一位数22lg 4一位数32lg8一位数421lg1.6+两位数521lg3.2+两位数621lg 6.4+两位数722lg1.28+三位数822lg 2.56+三位数922lg5.12+三位数1023lg1.024+四位数试用该同学的研究结论判断是几位数（参考数据）504lg 20.3010≈A. 101 B. 50 C. 31 D. 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量，，其中．若共线，则m 等于(1,2)=-a (3,)m =-b m ∈R ,a b ___________.12. 圆的圆心到直线()1122=+-y x 10x +=13.14将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 ，则 ； . {}n a 1a =n a =（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①；②；③；④21y x =+12y x x =+++21x y =+2cos y x x =+其中值域为的函数的序号是 .[1)+∞，三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC ，满足，， ，判断△ABC 的面积a =2b =是否成立？说明理由.2S >从① ， ② 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中3A =πcos B =的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下： 专项员工 人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题15分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，且，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折060=∠A 起至EBHG ，使得.90AEG ∠=o(Ⅰ)求证：平面；⊥AE EBHG (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足，当平面时，求的值.AB λAF =//EF AGH λ19．（本小题14分）已知椭圆C ：的离心率为，点A (0，1)在椭圆C 上．)0(12222>>=+b a by a x 22（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数，设.()()e x f x x a x a =-++()()g x f x '=（Ⅰ）求的极小值；()g x （Ⅱ）若在上恒成立，求a 的取值范围.()0fx >(0,)+∞21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列对于所有非负整数i 满足，其中是任意一个非零实数.,,10a a ])[(][1i i i i a a a a -⋅=+0a (Ⅰ) 若，写出a 1,a 2,a 3； 6.20-=a (Ⅱ)若，求数列的最小值；00>a ]}{[i a (Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当时，.k i ≥2+=i ia a 通州区高三年级一模考试数学试卷答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）题号12345678910答案DCBBADABAC二、填空题（每道小题5分，共25分）11． ； 12. ；13； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分）61 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选，△ABC 的面积成立，理由如下:○12S >当时，， …………… 4分3A =π2147cos 222c A c +-==⋅所以，所以， …………… 6分2230cc --=3c =则△ABC 的面积分11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=， …………… 12分2=>=所以成立. ……………14分2S > 选，△ABC的面积不成立，理由如下：○22S >当，…………… 4分cos B =222cos 2a cb B ac +-===整理得，，所以分230c -+=c =因， …………… 8分2227,437a b c =+=+=所以△ABC是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积，…………… 12分112222S bc ==⨯=<所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工人，201407400⨯=中年员工人，201809400⨯=青年员工人 ……………… 4分20804400⨯=（Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分，， (11)23283(X=0)28C P C ==11352815(X=1)28C C P C == 252810(X=0)28C P C ==分所以的分布列为X 012P32815281028. ……………… 14分5(X)4E =18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE因为，90AEG ∠=o所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以平面. ……………… 4分⊥AE EBHG (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴，建立如图空间坐标系可得，，，.……………… 6分(1,0,0)AB (0,0,1)G H ，=(1,0,1)AG - =(AH -设平面AGH 的法向量为),,(z y x n = 所以 ，即.00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 令x =1，则 ………………8分)1,33,1(-=n 平面EBHG 的法向量为 ……………… 9分(1,0,0)EA =设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ ……………… 11分721,cos |cos >=<=EA n θ(Ⅲ) 由，则AF AB =λ(1,0)F -λ所以 ……………… 12分)0,3,1(λλEF -=因为平面，则 ……………… 13分//EF AGH 0=⋅EF n 即 ……………… 14分120-λ=所以 ……………… 15分21=λ19. （本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得………………1分c e a ==b =1,又222a bc =+解得 ……………… 4分1a c ==所以椭圆方程为 ……………… 5分2212x y +=（Ⅱ）设，由题意及椭圆的对称性可知……………… 6分00(,)M x y 000(,)(1)N x y y --≠±则直线AM 的方程为 ……………… 7分0011y y x x -=+直线AN 的方程为 ……………… 8分0011y y x x +=+则E 点坐标为，F 点坐标为 ……………… 10分00(,0)1x y -00(,0)1x y -+假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan∠OGE =tan∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分即OE OG OGOF=即 ……………… 12分2OG OE OF =即 2202021x n y ==-所以 ……………… 13分n =所以存在点坐标为满足条件. ……………… 14分G (0,20. （本小题14分）解：（Ⅰ） ……………… 1分()(1)1x f x x a e '=-++由题意可知，()(1)1x g x x a e =-++所以 ……………… 2分()(2)x g x x a e '=-+当时，在上单调递增；……………… 3分2x a >-()0g x '>()g x (2,)a -+∞当时，在上单调递减……………… 4分2x a <-()0g x '<()g x (,2)a -∞-所以在处取得极小值，为……………… 5分()g x 2x a =-2(2)1a g a e --=-+（Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当时， ……………… 6分2a ≤2()10a f x e -'≥-+>所以在单调递增，所以 ……………… 7分()f x ()(0)0f x f >=即时在恒成立. ……………… 8分2a ≤()0f x >(0,)+∞当时， ………………9分2a >(0)(0)20f g a '==-<又， ……………… 10分()()10a f a g a e '==+>又由于在上单调递增；在上单调递减；()f x '(2,)a -+∞(0,2)a -所以在上一定存在使得， ……………… 11分(0,)a 0x 0()0f x '=所以在递减，在递增，()f x 0(0,)x 0(,)x +∞所以 ……………… 12分0()(0)0f x f <=所以在存在，使得， ……………… 13分(0,)+∞0x 0()0f x <所以当时，在上不恒成立2a >()0f x >(0,)+∞所以a 的取值范围为. ………………14分(],2-∞21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 、、. ……………… 3分2.11-=a 6.12-=a 8.03-=a分 分分分则 ……………… 13分,,2,4,1,1,3,m i m a i m m m a a i m m =++⎧=⎨--=++⎩L L 令k =m ，满足当时，.k i ≥2+=i i a a 综上，存在非负整数k ，使得当时， .………………14分k i ≥2+=i i a a。

通州区高三年级一模考试数学试卷2020年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则AB =A. {}03x x << B . {}23x x << C . {}01x x <≤ D . {}12x x <≤2. 已知复数=i(2i)z + （i 是虚数单位），则z =A. 1 B . 2 C.D . 33. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π4. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是A. （1，-2） B . （-1，-2） C . （-1，2） D . （2，1） 5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则33log log b c -等于 A. 1- B . 12- C . 12D . 16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =A.B . 2C .D . 47. 在6(2)1x x-的展开式中，常数项是A. -160 B . -20 C . 20 D . 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=A.1 B .C . 2D . 与α有关9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“(1,N )n a a n *>∈是几位数”，他以2(N )n n *∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg20.3010≈） A. 101 B . 50 C . 31 D . 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量(1,2)=-a ，(3,)m =-b ，其中m ∈R ．若,a b 共线 ，则m 等于 ___________.12. 圆()1122=+-y x的圆心到直线10x ++=的距离为 .13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+ 其中值域为[1)+∞，的函数的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC，满足a =2b =， ，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A =π ，② cos B = 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下：（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题15分）俯视图如图，已知四边形ABCD 为菱形，且060=∠A ，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=. (Ⅰ)求证：⊥AE 平面EBHG ； (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AB λAF =，当//EF 平面AGH 时，求λ的值.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，点A (0，1)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数()()e x f x x a x a =-++，设()()g x f x '=. （Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. 21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列 ,,10a a 对于所有非负整数i 满足])[(][1i i i i a a a a -⋅=+，其中0a 是任意一个非零实数.(Ⅰ) 若6.20-=a ，写出a 1,a 2,a 3； (Ⅱ)若00>a ，求数列]}{[i a 的最小值；(Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当k i ≥时，2+=i i a a .ECDBAEGHBA通州区高三年级一模考试数学试卷参考答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共25分）11．6 ； 12. 1；13．3； 14．8；15n -7；（第一空2分，第二空3分） 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，…………… 4分27=整理得，230c -+=，所以c = …………… 6分 因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=<，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人， 青年员工20804400⨯=人 ……………… 4分 （Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==，252810(X=0)28C P C == ……………… 11分5(X)4E =. ……………… 14分18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE 因为90AEG ∠=，所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以⊥AE 平面EBHG . ……………… 4分 (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB ,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴， 建立如图空间坐标系可得(1,0,0)A ，B ，(0,0,1)G ，H .……………… 6分=(1,0,1)AG -，=(1,AH -设平面AGH 的法向量为),,(z y x n =所以 00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令x =1，则)1,33,1(-=n ………………8分 平面EBHG 的法向量为(1,0,0)EA = ……………… 9分设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ721,cos |cos >=<=EA n θ ……………… 11分 (Ⅲ) 由AF AB =λ，则(1,0)F -λ所以)0,3,1(λλ-= ……………… 12分 因为//EF 平面AGH ，则 0=⋅ ……………… 13分 即120-λ= ……………… 14分所以21=λ ……………… 15分19. （本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得c e a ==………………1分 b =1,又222a b c =+解得1a c == ……………… 4分所以椭圆方程为2212x y += ……………… 5分（Ⅱ）设00(,)M x y ，由题意及椭圆的对称性可知000(,)(1)N x y y --≠±……………… 6分 则直线AM 的方程为0011y y x x -=+ ……………… 7分 直线AN 的方程为0011y y x x +=+ ……………… 8分 则E 点坐标为00(,0)1x y -，F 点坐标为00(,0)1x y -+ ……………… 10分假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan ∠OGE =tan ∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分 即OE OG OGOF=即2OG OE OF = ……………… 12分即220221x n y ==-所以n = ……………… 13分所以存在点G 坐标为(0,满足条件. ……………… 14分20. （本小题14分）解：（Ⅰ）()(1)1x f x x a e '=-++ ……………… 1分 由题意可知()(1)1x g x x a e =-++，所以()(2)x g x x a e '=-+ ……………… 2分 当2x a >-时()0g x '>，()g x 在(2,)a -+∞上单调递增；……………… 3分 当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(,2)a -∞-上单调递减……………… 4分 所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为2(2)1a g a e --=-+……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当2a ≤时2()10a f x e -'≥-+>， ……………… 6分 所以()f x 在单调递增，所以()(0)0f x f >= ……………… 7分 即2a ≤时()0f x >在(0,)+∞恒成立. ……………… 8分当2a >时(0)(0)20f g a '==-<， ………………9分 又()()10a f a g a e '==+>， ……………… 10分 又由于()f x '在(2,)a -+∞上单调递增；在(0,2)a -上单调递减； 所以在(0,)a 上一定存在0x 使得0()0f x '=， ……………… 11分 所以()f x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞递增，所以0()(0)0f x f <= ……………… 12分 所以在(0,)+∞存在0x ，使得0()0f x <， ……………… 13分 所以当2a >时，()0f x >在(0,)+∞上不恒成立所以a 的取值范围为(],2-∞. ………………14分21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 2.11-=a 、6.12-=a 、8.03-=a . ……………… 3分分 分分 4,3, ……………… 13令k =m ，满足当k i ≥时，2+=i i a a .综上，存在非负整数k ，使得当k i ≥时， 2+=i i a a .………………14分。

精品文档，欢迎下载！精品文档，欢迎下载！通州区高三年级一模考试数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择成本大题共10小履，每小题4分，共40分.在毎小題列出的四个选項中,只有一项是符合题目要求的.1.己知集合A={x^)<x<2\.8={・印<xv3},则AC\B^3.函数/（x ）=sin2x +co"x 的最小正周期是（Cl 知/（》）为定义在R 上的奇函数.且/⑴=2.卜列一定在的数/（对图篆上的点是C-I D1己知抛物线尸=2四（p>0）的焦点与袱曲线;-f =i 的右焦点重合，购’在(2x--)6的展开式中•常数项是x A.-160B.-20C 20D.1608.在平面直角坐标系中，。

为坐标原点,已知两点/Kcosa.sino ）,8（cos （”+；）,sin （”+A.{x|O<x<3*B.}.v|2<x<3jC.[.v|()<x<l2.己知复数Z =I (2+I )〈i 是虚数单位），则目A.1B.2C.D.3C.InD.4JT4.A.(I.-2)R (・1,-2) C.(-1 D.(2.I)5.12知〃，3,b.9.c 成等比数列,且〃X ）,JW—gJ-lo&c 等于A.6.A.V2B.2C 2>/2D.47.9.若。

>0.3>0.贝广泌31”是5+632”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是TWfN）是几位数”,他以试用该同学的研究结论判断是几位故（参考数据A.101B.50 C.31D.30第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.己知向量"=（L 一2）,b=（-3.m）,其中w G R .若〃题共线.则小等于__________________12.圆（X-。

北京市通州区2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部. 【详解】由zi ＝1﹣i ，∴z ＝()()111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题． 2．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】解不等式327x <可得3x <，解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<<x x 为{|3}x x <的子集，据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件． 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题. 3．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m 的值. 【详解】由复数的除法运算化简可得1033m m i i+=+-+， 因为是纯虚数，所以30m +=， ∴3m =-， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.4．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围.【详解】函数2xy x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+，令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee -=-==， 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e. 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.5．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =+ ）A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ．考点：函数的定义域．6．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(],1-∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集. 【详解】构造函数()()()11111x x g x f x ex e--=-=-+-，()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()11x x h x g x e x e=+=-+，()h x 的定义域为R ，且()()1xx h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称. 不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤， 等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥. 所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[)1,+∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.8．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【详解】输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则1052n ==，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则1682n ==，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则842n ==，314i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则422n ==，415i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则212n ==，516i =+=；1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.故选：B. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.9．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD V 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅u u u v u u u v分拆，设(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u v，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1.已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =I （ ） A.{}03x x <<B.{}23x x <<C.{}01x x <≤D.{}12x x <≤2.已知复数()2z i i =+（i 是虚数单位），则z =（ ）A.1B.2D.33.函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期是（ ） A.2π B.πC.2πD.4π4.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()12f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是（ ） A.()1,2-B.()1,2--C.()1,2-D.()2,15.已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且0a >，则33log log b c -等于（ ） A.1-B.12-C.12D. 16.已知抛物线22y px =（0p >）的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =（ ）B.2C.D. 47.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（ ） A.160-B.20-C.20D.1608.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()cos ,sin A αα，cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.则OA OB +=u u u r u u u r（ ）A.1C.2D.与α有关9.若0a >，0b >，则“1ab ≥”是“2a b +≥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是“n a （1a >，*n ∈N ）是几位数”，他以2n （*n ∈N ）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：2n N =（0n >）lg N N 的位数 12 lg 2 一位数 22 lg 4 一位数 32 lg 8 一位数 42 1lg1.6+ 两位数 52 1lg3.2+ 两位数 62 1lg 6.4+ 两位数 72 2lg1.28+ 三位数 82 2lg 2.56+ 三位数 92 2lg5.12+ 三位数 1023lg1.024+四位数 ………………试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg 20.3010≈）（ ） A.101B.50C.31D.30二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()1,2a =-r ，()3,b m =-r ，其中m R ∈.若a r ，b r共线，则m 等于______.12.圆()2211x y -+=的圆心到直线10x ++=的距离为______. 13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于______.14.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{}n a ，则1a =______；n a =______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+，其中值域为[)1,+∞的函数的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.已知ABC △，满足a =2b =，______，判断ABC △的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A π=，②cos 7B =这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人. 某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表： 专项员工人数 子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息 住房租金 赡养老人老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工12121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.18.如图，已知四边形ABCD 为菱形，且60A ∠=︒，取AD 中点为E . 现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=︒.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面EBHG ； （Ⅱ）求二面角A GH B --的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足AF AB λ=u u u r u u u r，当EF ∥平面AGH 时，求λ的值.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，点()0,1A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F .问：y 轴上是否存在定点G ，使得OGE OFG ∠=∠？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数()()xf x x a e x a =-++，设()()g x f x '=.（Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在()0,+∞上恒成立，求a 的取值范围.21.用[]x 表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[]22=，[]4.14=，[]3.14-=-. 已知实数列0a ，1a ，…对于所有非负整数i 满足[][]()1i i i i a a a a +⋅=-，其中0a 是任意一个非零实数. （Ⅰ）若0 2.6a =-，写出1a ，2a ，3a ； （Ⅱ）若00a >，求数列[]{}i a 的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k ，使得当i k ≥时，2i i a a +=.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =I （ ）A.{}03x x <<B.{}23x x <<C.{}01x x <≤D.{}12x x <≤【分析】利用交集定义能求出A B I .解：∵集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<， ∴{}12A B x x =<≤I . 故选：D.2.已知复数()2z i i =+（i 是虚数单位），则z =（ ）A.1B.2D.3【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可解：因为复数()212z i i i =+=-+，所以z ==，故选：C.3.函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期是（ ） A.2π B.πC.2πD.4π【分析】函数y ω的值代入周期公式即可求出最小正周期.解：函数sin 2cos 222y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∵2ω=，∴T π=. 故选：B.4.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()12f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是（ ） A.()1,2-B.()1,2--C.()1,2-D.()2,1【分析】根据()f x 是奇函数即可得出()12f -=-，从而得出点()1,2--在()f x 的图象上. 解：∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()12f =， ∴()12f -=-，∴()1,2--一定在函数()f x 的图象上. 故选：B.5.已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且0a >，则33log log b c -等于（ ） A.1-B.12-C.12D. 1【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出. 解：a ，3，b ，9，c 成等比数列， 则81bc =，227b =，∴213b b bc c ==， ∴333log log 113log b c ==--， 故选：A.6.已知抛物线22y px =（0p >）的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =（ ）B.2C.D. 4【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线22y px =的焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得22p =，得4p =.解：∵双曲线2213x y -=中23a =，21b =∴2c =，得双曲线的右焦点为()2,0F 因此抛物线22y px =的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭即()2,0F ∴22p=，即4p = 故选：D.7.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（ ） A.160-B.20-C.20D.160【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项.解：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()66621662112r r r r r r rr r T C x x C x ----+=⋅⋅-⋅=-⋅⋅⋅，令620r -=，可得3r =，故612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为368160C -⋅=-，故选：A.8.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()cos ,sin A αα，cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.则OA OB +=u u u r u u u r（ ）A. 1C. 2D.与α有关【分析】根据题意，求出向量OA u u u r 、OB uuu r 的坐标，进而可得OA OB +u u u r u u u r的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案.解：根据题意，()cos ,sin A αα，cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 则()cos ,sin OA αα=u u u r ，cos ,sin 33OB ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r ，则有cos cos ,sin sin 33OA OB ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，故222cos cos sin sin 33OA OB ππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦u u u r u u u r22cos cos 2sin sin 22cos 3333πππαααα⎛⎫⎛⎫=++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则OA OB +=u u u r u u u r故选：B.9.若0a >，0b >，则“1ab ≥”是“2a b +≥”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】0a >，0b >，利用基本不等式的性质可得：a b +≥，可由1ab ≥，得出2a b +≥.反之不成立.解：0a >，0b >，∴a b +≥，若1ab ≥，则2a b +≥. 反之不成立，例如取5a =，110b =. ∴“1ab ≥”是“2a b +≥”的充分不必要条件. 故选：A.10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是“n a （1a >，*n ∈N ）是几位数”，他以2n （*n ∈N ）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：2n N =（0n >）lg N N 的位数 12 lg 2 一位数 22 lg 4 一位数 32 lg 8 一位数 42 1lg1.6+ 两位数 52 1lg3.2+ 两位数 62 1lg 6.4+ 两位数 72 2lg1.28+ 三位数 82 2lg 2.56+ 三位数 92 2lg5.12+ 三位数 1023lg1.024+四位数 ………………试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg 20.3010≈）（ ） A.101B. 50C. 31D. 30【分析】因为5010042=，所以1002N =，则100lg lg 2100lg 230lg1.26N ==≈+，由表中数据规律可知，N 的位数是31位数.解：∵5010042=，∴1002N =，则1000.10lg lg 2100lg 230.10300.1030lg1030lg1.26N ==≈=+=+≈+， 由表中数据规律可知，N 的位数是31位数， 故选：C.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()1,2a =-r ，()3,b m =-r ，其中m R ∈.若a r ，b r共线，则m 等于6.【分析】因为a r ，b r 共线，即a b r r∥，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可.解：若a r ，b r 共线，即a b r r∥，∵()1,2a =-r ，()3,b m =-r，∴()123m ⨯=-⨯-， ∴6m =. 故答案为：6.12.圆()2211x y -+=的圆心到直线10x ++=的距离为1. 【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果. 解：圆()2211x y -+=的圆心坐标为()1,0，所以圆()2211x y -+=的圆心到直线10x ++=的距离1d ==，故答案为：1.13.【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积. 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体.如图所示：所以：114432V =⨯⨯⨯=.. 14.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{}n a ，则1a =8；n a =157n -.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{}n a 的公差为15，首项为8.利用通项公式即可得出. 解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{}n a 的公差为15，首项为8. ∴18a =，()8151157n a n n =+-=-. 故答案为：8，157n -.15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+，其中值域为[)1,+∞的函数的序号是①②④.【分析】①由20x ≥，得211x +≥，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由20x >，得211x +>，由此得出结论；④由函数()2cos f x x x =+的奇偶性及单调性即可得出结论.解：①∵20x ≥， ∴211x +≥，故值域为[)1,+∞，符合题意；②()()12121y x x x x =+++≥+-+=，故值域为[)1,+∞，符合题意；③∵20x >， ∴211x +>，故值域为()1,+∞，不合题意；④函数()2cos f x x x =+为偶函数，且()2sin f x x x '=-，()2cos 0f x x ''=->，故()f x '在R 上单调递增，又()00f '=，故当()0,x ∈+∞时，()f x 单调递增，则当(),0x ∈-∞时，()f x 单调递减， 又()01f =，故其值域为[)1,+∞，符合题意. 故答案为：①②④.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知ABC △，满足a =2b =，______，判断ABC △的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A π=，②cos 7B =这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】选①，先利用余弦定理可解得3c =选②，先利用余弦定理可得c =结合已知条件可知ABC △是A 为直角的三角形，此时2S >不成立.解：选①，ABC △的面积2S >成立，理由如下：当3A π=时，2147cos 222c A c+-==⋅，所以2230c c --=，所以3c =，则ABC △的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=，2=>=， 所以2S >成立.选②，ABC △的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，27=，整理得，230c -+=，所以c = 因27a =，22437b c +=+=， 所以ABC △是A 为直角的三角形， 所以ABC △的面积112222S bc ==⨯=<， 所以不成立.17. 2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表： 专项员工人数 子女教育 继续教育大病医疗 住房贷款利息 住房租金赡养老人老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工12121 （Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可.（Ⅱ）随机变量X 的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.解：（Ⅰ）该单位员工共14018080400++=人， 抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人，青年员工20804400⨯=人. （Ⅱ）X 的可取值为0，1，2，()23283028C P X C ===，()11352815128C C P X C ⋅===，()252810028C P X C ===. 所以X 的分布列为X 012P3281528 1028数学期望()3151050122828284E X =⨯+⨯+⨯=. 18.如图，已知四边形ABCD 为菱形，且60A ∠=︒，取AD 中点为E . 现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=︒.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面EBHG ； （Ⅱ）求二面角A GH B --的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足AF AB λ=u u u r u u u r，当EF ∥平面AGH 时，求λ的值.【分析】（Ⅰ）只需证明GE AE ⊥，BE AE ⊥，GE BE E =I ，由线面垂直的判定定理可得证明； （Ⅱ）以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，求得平面AGH 的法向量和平面EBHG 的法向量.设二面角A GH B --的大小为θ（90θ<︒），即可得到所求值；（Ⅲ）由AF AB λ=u u u r u u u r，则()1,0F λ-，由0n EF ⋅=u u u rr .计算可得所求值.解：（Ⅰ）证明：在左图中，ABD △为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE AD ⊥，所以BE AE ⊥. 因为90AEG ∠=︒， 所以GE AE ⊥.因为GE AE ⊥，BE AE ⊥，GE BE E =I所以AE ⊥平面EBHG .（Ⅱ）设菱形ABCD 的边长为2，由（Ⅰ）可知GE AE ⊥，BE AE ⊥，GE BE ⊥.所以以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图空间坐标系可得()1,0,0A，()B ，()0,0,1G，()2H .()1,0,1AG =-u u u r，()2AH =-u u u r 设平面AGH 的法向量为(),,n x y z =r，所以0n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u r u r，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩. 令1x =，则1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r . 平面EBHG 的法向量为()1,0,0EA =u u u r.设二面角A GH B --的大小为θ（90θ<︒）cos cos ,7n EA θ==u u u r r （Ⅲ）由AF AB λ=u u u r u u u r，则()1,0F λ-，所以()1,0EF λ=-u u u r.因为EF ∥平面AGH ，则0n EF ⋅=r u u u r. 即120λ-=. 所以12λ=.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，点()0,1A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F .问：y 轴上是否存在定点G ，使得OGE OFG ∠=∠？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由.【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合1b =，求出a ，得到椭圆方程.（Ⅱ）设()00,M x y ，由题意及椭圆的对称性可知()00,N x y --（01y ≠±），求出AM ，AN 的方程，求出E 的坐标，F 的坐标，假设存在定点()0,G n 使得OGE OFG ∠=∠，得到OE OGOG OF=，求出n ，即可.说明存在点G坐标为(0,满足条件.解：（Ⅰ）由题意得2c e a ==， 1b =，又222a b c =+解得a =1c =，所以椭圆方程为2212x y +=.（Ⅱ）设()00,M x y ，由题意及椭圆的对称性可知()00,N x y --（01y ≠±）， 则直线AM 的方程为0011y y x x -=+， 直线AN 的方程为0011y y x x +=+， 则E 点坐标为00,01x y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，F 点坐标为00,01x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 假设存在定点()0,G n 使得OGE OFG ∠=∠，即tan tan OGE OFG ∠=∠（也可以转化为斜率来求），即OE OG OG OF= 即2OG OE OF =，即2202021x n y ==-所以n =所以存在点G 坐标为(0,满足条件.20.已知函数()()xf x x a e x a =-++，设()()g x f x '=.（Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在()0,+∞上恒成立，求a 的取值范围.【分析】（Ⅰ）求出导函数得到()()11xg x x a e =-++，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()()21a f x g x e -'=≥-+，通过2a ≤时，当2a >时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可.解：（Ⅰ）()()11xf x x a e '=-++，由题意可知()()11xg x x a e =-++，所以()()2xg x x a e '=-+，当2x a >-时()0g x '>，()g x 在()2,a -+∞上单调递增； 当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(),2a -∞-上单调递减， 所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为()221a g a e --=-+.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()21a f x g x e-'=≥-+当2a ≤时()210a f x e -'≥-+>，所以()f x 在单调递增，所以()()00f x f >=， 即2a ≤时()0f x >在()0,+∞恒成立. 当2a >时()()0020f g a '==-<， 又()()10af ag a e '==+>，又由于()f x '在()2,a -+∞上单调递增；在()0,2a -上单调递减；所以在()0,a 上一定存在0x 使得()00f x '=， 所以()f x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增， 所以()()000f x f <=，所以在()0,+∞存在0x ，使得()00f x <， 所以当2a >时，()0f x >在()0,+∞上不恒成立 所以a 的取值范围为(],2-∞.21.用[]x 表示一个小于或等于x 的最大整数. 如：[]22=，[]4.14=，[]3.14-=-. 已知实数列0a ，1a ，…对于所有非负整数i 满足[][]()1i i i i a a a a +⋅=-，其中0a 是任意一个非零实数. （Ⅰ）若0 2.6a =-，写出1a ，2a ，3a ； （Ⅱ）若00a >，求数列[]{}i a 的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k ，使得当i k ≥时，2i i a a +=.【分析】（Ⅰ）由0 2.6a =-，代入可得[][]()1000 1.2a a a a =-=-⋅，同理可得：2a ，3a .（Ⅱ）由00a >，可得[]00a ≥，[][]()10000a a a a =-≥，设[]0i a ≥，1i ≥，可得[][]()10i i i i a a a a +=-≥，因此[]0i a ≥，0i ∀≥. 又因[]01i i a a ≤-<，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=-≤，可得[][]1i i a a +≤，0i ∀≥. 假设0i ∀≥，都有[]0i a >成立，可得：[][]11i i a a +≤-，0i ∀≥，利用累加求和方法可得[][]0n a a n ≤-，1n ∀≥，则当[]0n a ≥时，[]0n a ≤，得出矛盾，因此存在k ∈一、选择题，[]0k a =. 从而[]{}i a 的最小值为0.（Ⅲ）当00a >时，由（2）知，存在k N ∈，[]0k a =，可得10k a +=，[]10k a +=，可得0i a =，i k ∀≥，成立.当00a <时，若存在k N ∈，0k a =，则0i a =，i k ∀≥，得证；若0i a <，0i ∀≥，则[]1i a ≤-，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=->，可得[][]1i i a a +≥，0i ∀≥，可得数列[]{}i a 单调不减. 、由于[]i a 是负整数，因此存在整数m 和负整数c ，使得当i m ≥时，[]i a c =.所以，当i m ≥时，()1i i a c a c +=-，转化为22111i i c c a c a c c +⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，令21i i c b a c =--，即1i i b cb +=，i m ≥.经过讨论：当0m b =时，得证.当0m b ≠时，0i b ≠，i m ≥，i mi m b c b -=，i m ≥，当i m ≥时，[]i a c =，则[),1i a c c ∈+，则{}i b 有界，进而证明结论.解：（Ⅰ）∵0 2.6a =-，∴[][]()()10003 2.63 1.2a a a a =-=-⨯-+=-⋅， 同理可得：2 1.6a =-、30.8a =- （Ⅱ）因00a >，则[]00a ≥， 所以[][]()10000a a a a =-≥，设[]0i a ≥，1i ≥，则[][]()10i i i i a a a a +=-≥， 所以[]0i a ≥，0i ∀≥. 又因[]01i i a a ≤-<，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=-≤，则[][]1i i a a +≤，0i ∀≥. 假设0i ∀≥，都有[]0i a >成立， 则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=-<，则[][]1i i a a +<，0i ∀≥，即[][]11i i a a +≤-，0i ∀≥， 则[][]0n a a n ≤-，1n ∀≥， 则当[]0n a ≥时，[]0n a ≤，这与假设矛盾，所以[]0i a >，0i ∀≥不成立， 即存在k N ∈，[]0k a =. 从而[]{}i a 的最小值为0.（Ⅲ）证明：当00a >时，由（2）知，存在k N ∈，[]0k a =， 所以10k a +=，所以[]10k a +=， 所以0i a =，i k ∀≥，成立.当00a <时，若存在k N ∈，0k a =，则0i a =，i k ∀≥，得证； 若0i a <，0i ∀≥，则[]1i a ≤-，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=->， 则[][]1i i a a +≥，0i ∀≥， 所以数列[]{}i a 单调不减. 由于[]i a 是负整数，所以存在整数m 和负整数c ，使得当i m ≥时，[]i a c =. 所以，当i m ≥时，()1i i a c a c +=-，则22111i i c c a c a c c +⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，令21i i c b a c =--， 即1i i b cb +=，i m ≥.当0m b =时，则0i b =，i m ≥，则21i c a c =-，i m ≥，得证.当0m b ≠时，0i b ≠，i m ≥，i mi m b c b -=，i m ≥，因当i m ≥时，[]i a c =，则[),1i a c c ∈+），则{}i b 有界，所以1c ≤，所以负整数1c =-. ∴()()11111222i m i m i m m a b a --⎛⎫=-+-=-+-+ ⎪⎝⎭（i m ≥）， 则,2,,,4,11,3,m i m a i m m m a a i m m =++⎧=⎨--=++⎩LL令k m =，满足当i k ≥时，2i i a a +=.综上，存在非负整数k ，使得当i k ≥时，2i i a a +=.。

数学试卷2020年5月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =IA. {}03x x << B. {}23x x << C. {}01x x <≤ D. {}12x x <≤ 2. 已知复数=i(2i)z + （i 是虚数单位），则z = A. 1 B. 2C.D. 33. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π4. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是 A. （1，-2） B. （-1，-2） C. （-1，2） D. （2，1）5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则33log log b c -等于 A. 1- B. 12- C. 12D. 16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =A.B. 2C. D. 47. 在6(2)1x x-的展开式中，常数项是 A. -160 B. -20 C. 20 D. 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=u u u r u u u rA.1B.C. 2D. 与α有关9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“(1,N )n a a n *>∈是几位数”，他以2(N )n n *∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg20.3010≈） A. 101 B. 50 C. 31 D. 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量(1,2)=-a ，(3,)m =-b ，其中m ∈R ．若,a b 共线 ，则m 等于 ___________.12. 圆()1122=+-y x 的圆心到直线10x ++=的距离为 .13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+ 其中值域为[1)+∞，的函数的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC ，满足a =2b =， ，判断△ABC 的面积2S > 俯视图是否成立？说明理由. 从①3A =π ， ②cos 7B = 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下：（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题15分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，且060=∠A ，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=o . (Ⅰ)求证：⊥AE 平面EBHG ； (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足λ=，当//EF 平面AGH 时，求λ的值.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，点A (0，1)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数()()e x f x x a x a =-++，设()()g x f x '=. （Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列Λ,,10a a 对于所有非负整数i 满足])[(][1i i i i a a a a -⋅=+，其中0a 是任意一个非零实数.(Ⅰ) 若6.20-=a ，写出a 1,a 2,a 3； (Ⅱ)若00>a ，求数列]}{[i a 的最小值；(Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当k i ≥时，2+=i i a a .数学试卷参考答案及评分标准 2020年5月一、选择题：（每小题4分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共25分）11．6 ； 12. 1；13； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分） 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，…………… 4分2=整理得，230c -+=，所以c = …………… 6分因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分 所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人，青年员工20804400⨯=人 ……………… 4分 （Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==g ，252810(X=0)28C P C == ……………… 11分5(X)4E =. ……………… 14分18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE 因为90AEG ∠=o ，所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以⊥AE 平面EBHG . ……………… 4分 (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB ,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴， 建立如图空间坐标系可得(1,0,0)A ，B ，(0,0,1)G ，H .……………… 6分=(1,0,1)AG -u u u r ，=(AH-u u u r设平面AGH 的法向量为),,(z y x n =所以 00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令x =1，则)1,33,1(-= ………………8分 平面EBHG 的法向量为(1,0,0)EA =u u u r……………… 9分设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ721,cos |cos >=<=θ ……………… 11分 (Ⅲ) 由AF AB =λu u u r u u u r，则(1,0)F -λ所以)0,3,1(λλ-= ……………… 12分 因为//EF 平面AGH ，则 0=⋅ ……………… 13分 即120-λ= ……………… 14分所以21=λ ……………… 15分19. （本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得2c e a ==， ………………1分 b =1,又222a b c =+解得1a c = ……………… 4分所以椭圆方程为2212x y += ……………… 5分（Ⅱ）设00(,)M x y ，由题意及椭圆的对称性可知000(,)(1)N x y y --≠±……………… 6分 则直线AM 的方程为0011y y x x -=+ ……………… 7分 直线AN 的方程为0011y y x x +=+ ……………… 8分 则E 点坐标为00(,0)1x y -，F 点坐标为0(,0)1x y -+ ……………… 10分假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan ∠OGE =tan ∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分 即OE OG OGOF=即2OG OE OF = ……………… 12分即2202021x n y ==-所以n = ……………… 13分 所以存在点G坐标为(0,满足条件. ……………… 14分20. （本小题14分）解：（Ⅰ）()(1)1x f x x a e '=-++ ……………… 1分 由题意可知()(1)1x g x x a e =-++，所以()(2)x g x x a e '=-+ ……………… 2分当2x a >-时()0g x '>，()g x 在(2,)a -+∞上单调递增；……………… 3分 当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(,2)a -∞-上单调递减……………… 4分 所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为2(2)1a g a e --=-+……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当2a ≤时2()10a f x e -'≥-+>， ……………… 6分 所以()f x 在单调递增，所以()(0)0f x f >= ……………… 7分 即2a ≤时()0f x >在(0,)+∞恒成立. ……………… 8分当2a >时(0)(0)20f g a '==-<， ………………9分 又()()10a f a g a e '==+>， ……………… 10分 又由于()f x '在(2,)a -+∞上单调递增；在(0,2)a -上单调递减； 所以在(0,)a 上一定存在0x 使得0()0f x '=， ……………… 11分 所以()f x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞递增，所以0()(0)0f x f <= ……………… 12分 所以在(0,)+∞存在0x ，使得0()0f x <， ……………… 13分 所以当2a >时，()0f x >在(0,)+∞上不恒成立所以a 的取值范围为(],2-∞. ………………14分21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 2.11-=a 、6.12-=a 、8.03-=a . ……………… 3分（Ⅱ）因00a >，则0[]0a ≥，所以1000[]([])0a a a a =-≥，设[]0,1i a i ≥≥，则1[]([])0i i i i a a a a +=-≥， 所以[]0,0i a i ≥∀≥.又因0[]1i i a a ≤-<，则1[]([])[]i i i i i a a a a a +=-≤，则1[][],0i i a a i +≤∀≥. ……………… 4分 假设0,[]0i i a ∀≥>都有成立， 则1[]([])[]i i i i i a a a a a +=-<，则1[][],0i i a a i +<∀≥，即1[][]1,0i i a a i +≤-∀≥，……………… 5分 则0[][],1n a a n n ≤-∀≥， 则当0[]n a ≥时，[]0n a ≤，这与假设矛盾，所以[]0,0i a i >∀≥不成立，………………6分 即存在k N ∈,[]0k a =.分分令k =m ，满足当k i ≥时，2+=i i a a .综上，存在非负整数k ，使得当k i ≥时， 2+=i i a a .………………14分。