2020年高考一模数学试题及答案(数学)

2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．35．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升” )的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为( )立方分米．A ．40B ．853C ．30D ．7336．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( )A ．314B ．37C ．67D ．13287．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．28．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 ．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为 ，|2|a b +的取值范围为 ．15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是16．（5分）已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高()i cm x166167160173178169158173体重()i kg y57 58 53 61 66 57 50 66（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：2211()1(nii i n ii yy R y==-=-∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--． 参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-． （Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数3(13)2221313i i i z i i i-++=+=+=+++，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)在第一象限． 故选：A ．2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =【解答】解：集合{|||3}{|3P x x x x =>=<-或3}x >，2{|4}{|2Q x x x x =>=<-或2}x >，P Q ∴，故选：B ．3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：由 可得49a =，42log 6log c == 则 可知，1bc a >>>， 故选：B ．4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．3【解答】解：由约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩作出可行域如图，化目标函数2z x y=+为直线方程的斜截式，122zy x=-+，由图可知，当直线122zy x=-+过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故选：D．5．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”)的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为()立方分米．A．40B．853C．30D．733【解答】解：由三视图还原原几何体如图，要加工成如图所示散斗，则长方体木料长的最小值为4，宽的最小值为4，高的最小值为52， 则则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米． 故选：A ．6．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( ) A ．314B ．37C ．67D ．1328【解答】解：不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，基本事件总数2828n C ==，取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数：116212m C C ==，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m p n ===． 故选：B ．7．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解答】解：由抛物线的方程可得焦点(2,0)F ，准线方程为：2x =-，作MA 垂直于y 轴交于A ，因为2MF FN =，所以可得F 为线段MN 的三等分点，即13NF MN =，由NFO NMA ∆∆∽，所以13OF MA =，即3326MA OF ==⨯=，所以||628MF =+=， 故选：A ．8．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =【解答】解：由图象可知，当0x =时，0y ≠，故排除选项A ； 又对任意的x ，函数值0y ，故排除选项B ； 对选项D ，当12x π=>时，0y =，这与图象矛盾，综上，选项C 满足题意． 故选：C ．9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m【解答】解：设AB x =，由图利用直角三角形的性质可得：BC AB x ==，3BD x =， 在BCD ∆中，由余弦定理可得：22236002600cos120x x x =+-⨯︒，化为：23001800000x x --=，解得600x =． 故选：B ．10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3 【解答】解：332cos sin sin 2,[2,2]0,[2,2]2222()2|cos |sin sin 2,2cos sin sin 2,[2,2)2sin 2,[2,2)2222x x x x k k x k k f x x x x k Zx x x x k k x x k k ππππππππππππππππ⎧⎧-+∈++∈++⎪⎪⎪⎪=+==∈⎨⎨⎪⎪+∈-++∈-++⎪⎪⎩⎩，其大致图象如图所示，①()f x 的图象不关于直线4x π=对称，即①错误；②()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增，即②正确； ③()f x 的最小正周期为2π，即③错误． 所以真命题只有②， 故选：B ．11．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒【解答】解：作//AP DM ，1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线， 由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时， 1PAD ∠取得最大值，则1PAD ∠的最大值为60︒，此时，1D ∈平面ABC ，1D 不在平面ABC 上，1(0,60)PAD ∴∠∈︒︒，∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(0,60)θ∈︒︒．故选：D ．12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >【解答】解：如图所示：由题意可得A 中，2,[0,1]()|2|,(1,)x x f x x x ⎧∈=⎨-∈+∞⎩B 中，当12x 时，120x --，(2)(2)2()f x f x x f x -=--=，当23x <时，021x <-，(2)2()f x x f x --=，当34x <时，122x <-，(2)2(2)42()f x x x x f x -=--=--=，当4x ，22x -，恒有(2)()f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[0x ∈，)+∞，()f x x ，令()t f x =，则0t ，所以()f t t ，即(())()f f x f x ，故C 正确，D 不正确． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 210x y --= ． 【解答】解：1y x nx =+，∴11y x'=+， 1|112x k y =∴='=+=，∴函数1y x nx =+在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-，整理，得210x y --=． 故答案为：210x y --=．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π，|2|a b +的取值范围为 ． 【解答】解：设向量a ，b 的夹角为θ，则[0θ∈，]π； 又||2a =，||1b =，所以22()()421cos 12cos 134cos a a b b a b a a b b a b θθθ++-=++-=+⨯⨯+⨯⨯-=+， 即34cos 1θ+， 解得1cos 2θ-； 则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π； 即2[3πθ∈，]π； 所以222(2)444421cos 488cos a b a a b b θθ+=++=+⨯⨯⨯+=+， 又cos [1θ∈-，1]2-，所以88cos [0θ+∈，4]，所以|2|a b +的取值范围是[0，2]． 故答案为：23π，[0，2]． 15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是 124125【解答】解：飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀． 某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45， 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是： 0033411241()()55125P C =-=． 故答案为：124125．16．（5分）已知双曲线C 的方程为21x =，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为 2【解答】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为F '，由双曲线C 可得(3,0)F ，(3,0)F '-，||NF =MNF ∆周长为||||||||||MN MF NF MN MF ++=++，由双曲线的定义可得||||22MF MF a '-==， 即有||||||||2MN MF MN MF '+=++， 当P 在左支上运动到M ，N ，F '共线时，||||MN MF '+取得最小值||NF '=则有MNF ∆周长的最小值为22=．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =， 设数列的首项为1a ，公差为d ， 则：1112335a d a d a d+=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)n a n n =+-=．数列{}n b 满足：2124b b ==，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．① 所以1122111(24)2n n n a b a b a b n b ---++⋯+=-+．② ①-②得：1(22)(24)n n n n a b n b n b -=---， 由于n a n =， 整理得12nn b b -=（常数）， 所以数列{}n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列． 所以1222n n n b -=⨯=． 由于首项符合通项公式， 所以2n n b =．证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==， 所以212222n n nT =++⋯+①， 故2311122222n n nT +=++⋯+② ①-②得：211111(1)1111122()112222222212n n n n n n n n n n T +++-=++⋯+-=-=---， 所以112222n n n nT -=--<． 即122n c c c ++⋯+<．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：连接ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点，所以12ME AD =，//ME AD ，所以//BC ME ，BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形， 所以//CE BM ．又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂/平面BMD ， 所以//CE 平面BMD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1(2CQ =-，1-，1)，(1CE =-，0，1)，设平面CEQ 的法向量为(n x =，y ，)z ，列方程组00n CQ n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得：120x y z x z ⎧--+=⎪⎨⎪-+=⎩其中一个法向量为(2n =，1，2)，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是22sin 3414001θ==++++， 进而求得5cos θ=（15分） 19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．【解答】解：（1）由题意可得：222243a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）(1,)M m ，(2,0)A -，(2,0)B ，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴直线AM 的方程为：(2)3my x =+， 联立方程22(2)314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+， 同理可得2414F my m =+，5AMF BME S S ∆∆=，即()5()ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-， 54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-，∴22412||5||4||1494m mm m m=-++，又0m ≠， 42161630m m ∴-+=，解得214m =或34， 点M 在椭圆内，∴234m <， ∴214m =， 12m ∴=±．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--． 参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．【解答】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9y x =-， 计算6ˆ570.816975.9 2.3e=-⨯+=-， 7ˆ500.815875.90.5e=-⨯+=-， 8ˆ660.817375.9 3.5e=-⨯+=； 完善下列残差表如下，计算22121()111(0.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.25)10.090.90226()nii i n ii yy R yy ==-=-=-⨯+++++++≈-=-∑∑；所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈． （2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y =，由8178880i i i x y ==∑，计算修订后8178880173661735877496i i i x y ='=-⨯+⨯=∑，又281226112i ix ==∑，168x =，修订后1(858.56658)57.58y '=⨯⨯-+=，所以1222177496816857.5ˆ0.6752261128168ni ix yi nixi x yn bxn --=-=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ57.50.67516855.9ay bx ='-=-⨯=-； 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-． 21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈【解答】解：（1）设直线y x =与()y f x =相切于点0(P x ，02())ln ax b +， 2()af x ax b '=+， 002()1af x ax b '∴==+，02ax b a ∴+= (0)a >，又点P 在切线y x =上，002()ln ax b x ∴+=， 022ln a x ∴=，02222b a ax a aln a ∴=-=-，因此22222ab a a ln a =-(0)a >，设g （a ）22222a a ln a =-，0a >，g '∴（a ）2422(122)a aln a a ln a =-=-，令g '（a ）0>得，0a <<g '（a ）o <得，a > g ∴（a）在上单调递增，在，)+∞上单调递减， g ∴（a）的最大值为4e g =， ab ∴的最大值为4e ； （2）函数2()(1)(1)()(g x ax a axf x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，等价于方程22(1)(1)(1)ln ax ax a ax +=+++有两个不相等的实根，设1t ax =+，则等价于方程220lnt t at --= (0)t >有两个不同的解，即关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解， 设22()lnt t h t t -=，则2222()t lnt h t t --'=， 设2()22m t t lnt =--，由0t >可知()m t '=-， ()m t ∴在(0,)+∞上单调递减，又m （1）10=>，575()204164m ln =-<， ∴存在05(1,)4t ∈使得0()0m t =，即200220t lnt --=，∴20022lnt t +=， ∴当0(0,)t t ∈时，()0m t >，()0h t '>，函数()h t 单调递增；当0(t t ∈，)+∞时，()0m t <，()0h t '<，函数()h t 单调递减，∴函数()h t 的极大值为220000000022229()2(,0)10lnt t t h t t t t t --===-∈-， 要使得关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解，则0()a h t <， 当1a =-时，设2()2p t lnt t t =-+， 则2()21p t t t'=-+，可知()p t在上单调递增，在，)+∞上单调递减， 又p （1）0=，0p >，p （e ）220e e =-+<， ()p t ∴有两个不同的零点，符合题意，a ∴的最大整数值为1-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；（2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．【解答】解：（1）1:4cos()3C πρθ=-，即22cos sin ρρθθ=+，化为直角坐标方程为22(1)(4x y -+=把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a -=，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20a =经过圆心(1，解得2a =，故2C 的直角坐标方程为0x =．（2）由题意可得，当63ππα时，||4sin OA α=；||4cos()3OB πα=-；||4cos OC α=；||4sin()3OD πα=-， ∴设2()||||||||16sin cos 16cos()sin()8sin 28sin(2)12sin 2)3336f OA OB OC OD ππππαααααααααα=+=+--=--=+=+，当63ππα时，52266πππα+， 383sin(2)836πα+，故()f α的值域为[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-．（Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求【解答】解：（Ⅰ）1()42324x f x x ⎧<⎪⇔⎨⎪-+⎩或1124x x ⎧<⎪⎨⎪⎩或1324x x ⎧⎨-⎩， 解得223x -， 故不等式()4f x 的解集为2{|2}3x x -（Ⅱ）132,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=<⎨⎪-⎪⎪⎩，1()2min f x ∴=，即12m =， 又a ，b ，c R +∈且12a b c ++=，z 则2221a b c ++=，设x =yz =， 222x y xy +，2222121222xy x y a b a b +=+++=++，同理：2222yz a c ++，2222xz c a ++，2222222222228xy yz xz a b b c c a ∴++++++++++=，2222()222212121812x y z x y z xy yz xz a b c ∴++=+++++++++++=， 23x y z ∴++，即123，当且仅当16a b c ===时，取得最大值．。

2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2} 2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．33．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．47．在（2x）6的展开式中，常数项是（）A．﹣l60B．﹣20C．20D．1608．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），．则（）A．1B．C．2D．与α有关9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝；a n＝．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2}【分析】利用交集定义能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：D．2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．3【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可解：因为复数z＝i（2+i）＝﹣1+2i，所以|z|，故选：C．3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】函数y解析式提取变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．解：函数y＝sin2x+cos2x sin（2x），∵ω＝2，∴T＝π．故选：B．4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）【分析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣1）＝﹣2，从而得出点（﹣1，﹣2）在f（x）的图象上．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，∴f（﹣1）＝﹣2，∴（﹣1，﹣2）一定在函数f（x）的图象上．故选：B．5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．1【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．解：a，3，b，9，c成等比数列，则bc＝81，b2＝27，∴，∴log3b﹣log3c＝log31，故选：A．6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．4【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2＝2px的焦点坐标（，0），可得2，得p＝4．解：∵双曲线中a2＝3，b2＝1∴c2，得双曲线的右焦点为F（2，0）因此抛物线y2＝2px的焦点（，0）即F（2，0）∴2，即p＝4故选：D．7．在（2x）6的展开式中，常数项是（）A．﹣l60B．﹣20C．20D．160【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：展开式的通项公式为T r+1•（2x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3，故展开式的常数项为﹣8•160，故选：A．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），．则（）A．1B．C．2D．与α有关【分析】根据题意，求出向量、的坐标，进而可得的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．解：根据题意，A（cosα，sinα），．则（cosα，sinα），（cos（α），sin（α）），则有（cosα+cos（α），sinα+sin（α）），故||2＝[cosα+cos（α）]2+[sinα+sin（α）]2＝2+2cosαcos（α）+2sinαsin（α）＝2+2cos3，则||；故选：B．9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】a＞0，b＞0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2，可由ab≥1，得出a+b≥2．反之不成立．解：a＞0，b＞0，∴a+b≥2，若ab≥1，则a+b≥2．反之不成立，例如取a＝5，b．∴“ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．故选：A．10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30【分析】因为450＝2100，所以N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数．解：∵450＝2100，∴N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30.10＝30+0.10＝30+lg100.10≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于6．【分析】因为共线，即，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．解：若共线，即，∵，，∴1×m＝﹣2×（﹣3），∴m＝6．故答案为：6．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为1．【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离d1，故答案为：1．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：V．故答案为：．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝8；a n＝15n﹣7．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．利用通项公式即可得出．解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．∴a1＝8，a n＝8+15（n﹣1）＝15n﹣7．故答案为：8，15n﹣7．15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是①②④．【分析】①由x2≥0，得x2+1≥1，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由2x＞0，得2x+1＞1，由此得出结论；④由函数f（x）＝x2+cos x的奇偶性及单调性即可得出结论．解：①∵x2≥0，∴x2+1≥1，故值域为[1，+∞），符合题意；②y＝|x+1|+|x+2|≥|（x+1）﹣（x+2）|＝1，故值域为[1，+∞），符合题意；③∵2x＞0，∴2x+1＞1，故值域为（1，+∞），不合题意；④函数f（x）＝x2+cos x为偶函数，且f′（x）＝2x﹣sin x，f''（x）＝2﹣cos x＞0，故f′（x）在R上单调递增，又f′（0）＝0，故当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）单调递减，又f（0）＝1，故其值域为[1，+∞），符合题意．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为，由此作出判断；选②，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知△ABC是A为直角的三角形，进而求得面积为，此时S＞2不成立．解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下：当时，，所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3，则△ABC的面积，因为，所以S＞2成立．选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下：当时，，即，整理得，，所以，因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC 的面积，所以不成立．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．（Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人．（Ⅱ）X的可取值为0，1，2，，，．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；（Ⅲ）由，则，由．计算可得所求值．解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．因为∠AEG＝90°，所以GE⊥AE．因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E所以AE⊥平面EBHG．（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为2，由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE．所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间坐标系可得A（1，0，0），，G（0，0，1），．，设平面AGH的法向量为，所以，即．令x＝1，则．平面EBHG的法向量为．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）．（Ⅲ）由，则，所以．因为EF∥平面AGH，则．即1﹣2λ＝0．所以．19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合b＝1，求出a，得到椭圆方程．（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），求出AM，AN的方程，求出E的坐标，F的坐标，假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，得到，求出n，即可．说明存在点G坐标为满足条件．解：（Ⅰ）由题意得，b＝1，又a2＝b2+c2解得，所以椭圆方程为．（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），则直线AM的方程为，直线AN的方程为，则E点坐标为，F点坐标为．假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，即tan∠OGE＝tan∠OFG（也可以转化为斜率来求），即即|OG|2＝|OE||OF|，即所以，所以存在点G坐标为满足条件．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数得到g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1，通过a≤2时，当a＞2时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可．解：（Ⅰ）f'（x）＝（x﹣a+1）e x+1，由题意可知g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，所以g'（x）＝（x﹣a+2）e x，当x＞a﹣2时g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；当x＜a﹣2时g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，a﹣2）上单调递减，所以g（x）在x＝a﹣2处取得极小值，为g（a﹣2）＝﹣e a﹣2+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1当a≤2时f'（x）≥﹣e a﹣2+1＞0，所以f（x）在单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，即a≤2时f（x）＞0在（0，+∞）恒成立．当a＞2时f'（0）＝g（0）＝2﹣a＜0，又f'（a）＝g（a）＝e a+1＞0，又由于f'（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；在（0，a﹣2）上单调递减；所以在（0，a）上一定存在x0使得f'（x0）＝0，所以f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，所以f（x0）＜f（0）＝0，所以在（0，+∞）存在x0，使得f（x0）＜0，所以当a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立所以a的取值范围为（﹣∞，2]．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．【分析】（Ⅰ）由a0＝﹣2.6，代入可得a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣1.2，同理可得：a2，a3．（Ⅱ）由a0＞0，可得[a0]≥0，a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，可得a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，因此[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，可得[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，可得：[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，利用累加求和方法可得[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，得出矛盾，因此存在k∈一、选择题，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．（Ⅲ）当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，可得a k+1＝0，[a k+1]＝0，可得a i ＝0，∀i≥k，成立．当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，可得[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，可得数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，因此存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），转化为，令，即b i+1＝cb i，i≥m．经过讨论：当b m＝0时，得证．当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，进而证明结论．解：（Ⅰ）∵a0＝﹣2.6，∴a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2，同理可得：a2＝﹣1.6、a3＝﹣0.8．………………（Ⅱ）因a0＞0，则[a0]≥0，所以a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，所以[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，则[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．………………假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＜[a i]，则[a i+1]＜[a i]，∀i≥0，即[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，………………则[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，这与假设矛盾，所以[a i]＞0，∀i≥0不成立，………………即存在k∈N，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．………………（Ⅲ）证明：当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，所以a k+1＝0，所以[a k+1]＝0，所以a i＝0，∀i≥k，成立．………………当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；………………若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，则[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，所以数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，所以存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），则，令，即b i+1＝cb i，i≥m．当b m＝0时，则b i＝0，i≥m，则，得证．………………当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，因当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，所以|c|≤1，所以负整数c＝﹣1．………………∴，则令k＝m，满足当i≥k时，a i＝a i+2．综上，存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．………………。

南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．9．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长；（2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．ED B 1A 1C 1CBAB xy OPA M NlCB AD东北如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式．南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S = 故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________． 解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „2，解可得：a ，即a 的取值范围[；故答案为：[．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得PO =22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以9232PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当2PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =， 故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()10sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()2310cos 1sin ()A B A B -=--=， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点， 所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．ED B 1A 1C 1CBA（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点3(,5)4e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==， 联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)mm ≠±（， 则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， B xy O PAM NlCB AD东北故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=， 故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=，则点T λ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ； （2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功． 19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（1）xe x x x xf y )23()()(2+-=⋅=ϕ， 所以xe x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根， 故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， Ⅰ若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或， 当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-， 解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+， 由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-， 将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<， 又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分）等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0， 因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134，解得a 1＝12，d ＝12，于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4．（2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212}当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3kT k＝3，舍去；当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q ，所以T 3kT k ＝1＋q k ＋q 2k ，因为q ⅠN *且q ≠1，所以q ≥2， 因此T 3kT k ≥1＋2＋4＝7，于是T k ＝32，T 3k ＝212，因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去）， 从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q 得b 1＝32所以b n ＝3×2n－2（3）因为S n ＝n 2＋n4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ⅠN *当n ＝4k －1，k ⅠN *时，S n ＝k (4k －1)； 当n ＝4k ，k ⅠN *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }， 且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]， 所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12；当n 为偶数时，c n ＝n2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2；所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n2，n 为偶数．。

2020浙江省高三数学数学一模（带解析）一、选择题1.已知集合P={x|0≤x<1},Q={x|2≤x≤3} 记M=P∪Q ，则（）A. B. C. D.2.已知函数的定义域是（）A. B. C. D. R3.设不等式组，所表示的平面区域记为，则属于的点是（）A. B. C. D.4.已知函数则（）A. 1B.C. 3D.5.双曲线的渐近线是（）A. B.C. D.6.如图，在正方体中，直线与平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.7.若锐角满足，则（）A. B. C. D.8.在三棱锥中，若为的中点，则（）A. B.C. D.9.数列是公差不为零的等差数列，下列数列中，不构成等差数列的是（）A. B. C. D.10.不等式的解集是（）A. B. C. 2 D.11.用列表法将函数表示为，则（）A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数12.如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形，若大圆为正方形的外接圆，四个小圆圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是（）A. B.C. D.13.设为实数，则“ ”是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.在直角坐标系中，已知点，过的直线交轴于点，若直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则（）A. B. C. D.15.甲、乙几何体的三视图分别如图•图 所示，分别记它们的表面积为，体积为，则（）A. ,B. ,C. ,D. ,16.如图，设为椭圆=1（）的右焦点，过作轴的垂线交椭圆于点，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，若的面积是面积的倍，则该椭圆的离心率（）A. 或B. 或C. 或D. 或17.设a为实数，若函数f(x)=2x2−x+a 有零点，则函数y=f[f(x)]零点的个数是（）A. 1或3B. 2或3C. 2或4D. 3或418.如图，设矩形所在的平面与梯形所在平面交于，若，则下面二面角的平面角大小为定值的是（）A. B. C. D.二、填空题19.已知函数，则的最小正周期是________，的最大值是________.20.若平面向量满足则________.21.若中，已知则的取值范围是________.22.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是________.三、解答题23.在等差数列中，已知，，（Ⅰ）求的公差及通项；（Ⅱ）记，求数列的前项和.24.如图，已知抛物线与交于两点，是该抛物线上位于第一象限内的点.（Ⅰ）记直线的斜率分别为，求证为定值；（Ⅱ）过点作，垂足为，若关于轴的对称点恰好在直线上，求的面积.25.如图，在直角坐标系中，已知点直线，将分成两部分，记左侧部分的多边形为，设各边的平方和为，各边长的倒数和为 .（Ⅰ）求分别求函数和的解析式；（Ⅱ）是否存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.答案解析部分一、选择题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】A12.【答案】B13.【答案】A14.【答案】B15.【答案】B16.【答案】D17.【答案】C18.【答案】B二、填空题19.【答案】；320.【答案】-221.【答案】22.【答案】三、解答题23.【答案】解：（Ⅰ）因为，将，代入，解得公差d=1，解得数列的公差通项（Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项代入得由此可知是等比数列，其中首项，公比q=2.所以，数列的前n项和24.【答案】解：（Ⅰ）由题意得点A，B的坐标分别为A（-1,0），B（1,0）设点P是坐标为P ，且，则所以=2为定值。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1 B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年上海市静安区高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“三个实数a，b，c成等差数列”是“2b=a+c“的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.设x，y∈R，若复数是纯虚数，则点P（x，y）一定满足（）A. y=xB.C. y=-xD.3.若展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数等于（）A. 在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和B. 在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和C. 在1，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和D. 以上结论都不对4.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向，且塔顶的仰角为18°，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为（）A. 265米B. 279米C. 292米D. 306米二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.计算（1-0.9n）=______．6.在单位圆中，60°的圆心角所对的弧长为______．7.若直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°，则l1与l2的夹角为______．8.若直线l的一个法向量为=（2，1），则直线l的斜率k=______．9.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞．则7小时后，1个此种细胞将分裂为个______．10.设△ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2．现将△ABC（及其内部）绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为______．11.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1．则的值为______．12.三倍角的正切公式为tan3α=______．（用tanα表示）13.设集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为______．14.现将函数y=sec x，x∈（0，π）的反函数定义为反正割函数，记为：y=arcsec x．则arcsec（-4）=______．（请保留两位小数）15.设双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到坐标原点O的距离的最小值为______．16.设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，我们可以证明对数的运算性质如下：我们将⊗式称为证明的“关键步骤“．则证明（其中M＞0，r∈R）的“关键步骤”为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，在正六棱锥P-ABCDEF中，已知底边长为2，侧棱与底面所成角为60°．（1）求该六棱锥的体积V：（2）求证：PA⊥CE．18.请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同．（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．19.设{a n}是等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）设a1=40，a6=38，求S n的最大值；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，且对任意的n∈N*，都有T n≤20，求d的取值范围．20.已知抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0，焦点为F（1，1）．（1）求证：抛物线Γ上任意一点P的坐标（x，y）都满足方程x2-2xy+y2-8x-8y=0；（2）请指出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线Γ交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．21 现定义：设a是非零实常数，若对任意的x∈D，都有f（a-x）=f（a+x），则称函数y=f（x）为“关于a的偶型函数”．（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明；（2）设定义域为R的“关于a的偶型函数”y=f（x）在区间（-∞，a）上单调递增，求证：y=f（x）在区间（a，+∞）上单调递减；（3）设定义域为R的“关于的偶型函数”y=f（x）是奇函数，若n∈N*，请猜测f（n）的值，并用数学归纳法证明你的结论．2020年上海市静安区高考数学一模试卷答案和解析【答案】1. C2. B3. A4. C5. 16.7. 60°8. -29. 2710.11. -312.13. 72014. 1.8215.16. a=（a）r=M r．17. 解：（1）解：∵在正六棱锥P-ABCDEF中，底边长为2，侧棱与底面所成角为60°．连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O，则AO=DO=2，∠PAO=60°，∴PA=2AO=4，PO==2，S ABCDEF=6×（）=6，∴该六棱锥的体积V===12．（2）证明：连结CE，交AD于点O，连结PG，∵DE=CD，AE=AD，∴AD⊥CE，O是CE中点，∵PA=PC，∴PG⊥CE，∵PG∩AD=G，∴CE⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥CE．18. 解：（1）设∠BOC=α，（）；∴OB=cosα，BC=si nα；∵S=2OB•BC，∴S═2sinαcosα=sin2α；∴当时，即OB=时，矩形面积最大为1；（2）依题意可得：椭圆方程为：；设：点C坐标为（m，n）即：OB=m，BC=n；∴S=2OB•BC=2mn；∵点C为椭圆上的点；∴；∵；∴mn≤1，当且仅当=时取等号；∴S≤2；即矩形面积最大为2；当OB=时取等号；19. 解：（1）a1=40，a6=38，可得d==-，可得S n=40n-n（n-1）•=-（n-）2+，由n为正整数，可得n=100或101时，S n取得最大值2020；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，可得a n=1+（n-1）d，数列{b n}为首项为2，公比为2d的等比数列，若d=0，可得b n=2；d＞0，可得{b n}为递增数列，无最大值；当d＜0时，T n=＜，对任意的n∈N*，都有T n≤20，可得20≥，且d＜0，解得d≤log20.9．20. 解：（1）证明：抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0，焦点为F（1，1），抛物线Γ上任意一点P的坐标（x，y），由抛物线的定义可得|PF|=d（d为P到准线的距离），即为=，两边平方化简可得x2-2xy+y2-8x-8y=0；（2）抛物线关于y=x对称，顶点为（0，0），范围为x≥-1，y≥-1，由方程x2-2xy+y2-8x-8y=0，设抛物线上任一点（x，y）关于直线y=x对称的点为（y，x），满足原方程，则抛物线关于直线y=x对称；由直线y-1=x-1即y=x，联立x+y+2=0，解得x=y=-1，可得抛物线的顶点为（0，0）；由x=-1和x2-2xy+y2-8x-8y=0联立可得切点为（-1，3），同样由y=-1和x2-2xy+y2-8x-8y=0联立可得切点为（3，-1），可得抛物线的范围为x≥-1，y≥-1；（3）设垂直于x轴的直线为x=t，代入抛物线的方程x2-2xy+y2-8x-8y=0，可得t2-（2t+8）y+t2-8t=0，设A（t，y1），B（t，y2），可得y1+y2=2t+8，则AB的中点为（t，t+4），则AB的中点的轨迹方程为直线y=x+4．21. 解：（1）函数f（x）=cos（x-2）为“关于2的偶型函数”．理由：由f（2-x）=cos（2-x-2）=cos（-x）=cos x，f（2+x）=cos（2+x-2）=cos x，可得对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），故f（x）=cos（x-2）为“关于2的偶型函数”；（2）证明：设a＜x1＜x2，则-a＞-x1＞-x2，即有a＞2a-x1＞2a-x2，由对任意的x∈R，都有f（a-x）=f（a+x），即为f（x）=f（2a-x），y=f（x）在区间（-∞，a）上单调递增，可得f（2a-x1）＞f（2a-x2），即有f（x1）＞f（x2），可得y=f（x）在区间（a，+∞）上单调递减；（3）设定义域为R的“关于的偶型函数”，可得对任意的x∈R，都有f（-x）=f（+x），即为f（-x）=f（1+x），又f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），即有f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），可得f（x）为最小正周期为2的函数，由f（0）=0，可得f（1）=f（0）=0，f（2）=f（0）=0，猜想f（n）=0，n∈N*；证明：当n=1时，f（1）=f（0）=0成立，假设n=k，k∈N*时，f（k）=0，当n=k+1时，f（k+1）=f-（k）=-f（k）=0，可得n=k+1时，f（k+1）=0，综上可得f（n）=0，n∈N*．【解析】1. 解：若“a，b，c成等差数列”，则“2b=a+c”，即“a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的充分条件；若“2b=a+c”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的必要条件，综上可得：“a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的充要条件，故选：C．根据充要条件及等差数列的定义判断即可．本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键．2. 解：由=是纯虚数，∴，得x≠0，y=．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数可以看成一个因式取a，其余的两个因式是从5个因式中任意取．故选：A．直接利用二项式展开式的应用求出结果．本题考查的知识要点：二项式定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4. 解：如图所示，△ABC中，AB=1000，∠ACB=21°+39°=60°，∠ABC=90°-39°=51°；由正弦定理得，=，所以AC=；Rt△ACD中，∠CAD=18°，所以CD=AC•tan18°=×tan18°=×0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米．故选：C．根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．5. 解：（1-0.9n）=1-=1-0=1．故答案为：1．直接利用数列的极限的运算法则，求解即可．本题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查，基础题．6. 解：由弧长公式l=|α|r=×1=，故答案为：．由弧长公式即可算出结果．本题主要考查了弧长公式，是基础题．7. 解：直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°，所以直线l1和l2的夹角为180°-（152°-32°）=60°．故答案为：60°．直接利用角的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线的倾斜角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8. 解：根据题意，设直线l的斜率为k，则其方向向量为=（1，k），若直线l的一个法向量为=（2，1），则有•=2+k=0，解可得k=-2；故答案为：-2．根据题意，分析可得直线l的方向向量为（1，k），进而分析可得•=2+k=0，解可得k的值，即可得答案．本题考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题．9. 解：根据题意，7小时后，这种细胞总共分裂了7次，则经过7小时，1个此种细胞将分裂为个27个；故答案为：27根据题意，分析可得7小时后，这种细胞总共分裂了7次，由等比数列的通项分析可得答案．本题考查等比数列的应用，注意分析分裂的次数，属于基础题．10. 解：等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1；旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；所以几何体的体积为V=2××π×12=．故答案为：．由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积．本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题．11. 解：∵AB=2，AD=1，∴===1-4=-3．故答案为：-3．根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB=2，AD=1即可求出的值．本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．12. 解：tan3α=tan（α+2α）===．故答案为：．直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13. 解：因为集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，所以矩阵的个数为=720．故答案为：720．利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关，直接利用排列求解即可．本题考查排列的应用，判断矩阵中的元素变化，矩阵不相同是解题的关键．14. 解：∵y=sec x=，x∈（0，π），∴当y=-4时，cos x=-，x=π-arccos，由查表得arccos≈1.318∴x=π-1.318≈1.82．故答案为：1.82．计算题；三角函数的求值．本题考查反三角函数的运用，属基础题．15. 解：双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到坐标原点O的距离为c，所以c==≥，当且仅当a=时，取得最小值：．故答案为：．利用已知条件PF1⊥PF2，点P到坐标原点O的距离为c，转化求解c的最小值即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16. 解：设log a M r=b，∴a b=M r，∴r log a M=b，∴log a M=，∴a=a=（a）r=（a）r=a b=M r，∴关键步骤为：a=（a）r=M r．利用指数式与对数式的互化即可算出结果．本题主要考查了对数式与指数式的互化，是基础题．17. （1）连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O，则PA=2AO=4，由此能求出该六棱锥的体积．（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，推导出AD⊥CE，PG⊥CE，从而CE⊥平面PAD，由此能证明PA⊥CE．本题考查六棱锥的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18. （1）通过设出∠BOC=α，进而用α表示出OB，BC；最后表示出S利用三角函数即可求解；（2）通过设出点C的坐标（m，n），进而表示出OB=m，BC=n，S=2mn；再利用点C 为椭圆上的点，即满足其方程利用基本不等式求解即可；本题考查了基本不等式的运用，考查了学生的发散性思维，属于中档题．19. （1）运用等差数列的通项公式可得公差d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n}为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d=0，d＞0，d＜0，判断数列{b n}的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．20. （1）由抛物线的定义可得|PF|=d（d为P到准线的距离），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；（2）由抛物线的方程的特点，考虑点关于直线y=x的对称点的特征和对称轴与准线和抛物线的交点的关系，以及直线和抛物线相切的特点，可得所求范围；（3）设垂直于x轴的直线为x=t，代入抛物线的方程x2-2xy+y2-8x-8y=0，运用韦达定理和中点坐标公式，以及参数方程化为普通方程可得所求轨迹方程．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查轨迹方程的求法，以及方程思想和数形结合思想，运算能力和推理能力，属于中档题．21. （1）可取f（x）=cos（x-2），由新定义和诱导公式即可得到结论；（2）运用单调性的定义，结合新定义可得对任意的x∈R，都有f（a-x）=f（a+x），即为f（x）=f（2a-x），即可得证；（3）由新定义和奇函数的定义，可得f（x）为最小正周期为2的函数，计算猜想f（n）=0，n∈N*，由数学归纳法的步骤，注意由n=k到n=k+1，运用新定义和奇函数的定义，可得证明．本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性和单调性、周期性，以及数学归纳法的应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．123．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．148．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．i是虚数单位，复数=．10．在的二项展开式中，x2的系数为．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3，5}，∴∁U A={0，4}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}．故选A2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．12【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，结合图象可得，过点A（0，3）时有最大值为z=0+6=6，故选：C．3．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上【考点】程序框图．【分析】根据程序框图中的运算规律确定出所求函数解析式即可．【解答】解：根据题意得：程序框图输出的所有点都在函数y=2x﹣1的图象上，故选：D．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．否命题是即否定条件又否定结论；B．根据充分条件和必要条件的概念判定即可；C．存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论；D．且命题的概念判断即可．【解答】A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故错误；B．若a，b∈R，则“ab≠0”可推出a≠0且b≠0，但由a≠0推不出ab≠0，故是充分不必要条件，故正确；C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故错误；D．若“p且q”为假，则p，q不全是真命题，故错误．故选B．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点坐标和准线方程，双曲线的离心率，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，可得FF1=，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线的方程为x=﹣1，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的e==，由P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|PF|，可得|PF|+|PF1|的最小值为，当P，F，F1三点共线，可得最小值|FF1|==，即有c=，由c2=a2+b2，解得a=2，b=1，即有双曲线的方程为﹣x2=1．故选：B．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC=ab•sinC，再由余弦定理，结合6S=（a+b）2﹣c2，得出3sinC﹣2cosC=2，然后通过（3sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．【解答】解：△ABC中，∵S△ABC=ab•sinC，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，且6S=（a+b）2﹣c2，∴3absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得3sinC﹣2cosC=2，∴（3sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得5tan2C﹣12tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=，故选：C．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．14【考点】与圆有关的比例线段．【分析】圆中的性质相交弦定理、切割线定理应用．【解答】解：由相交弦定理得：AD•BD=CD•DT，即4×6=3×DT，解得DT=8设PB=x，PT=y因为PT为切线，所以DT⊥PT，在Rt△PDT中，PT2+DT2=PD2，即y2+64=（6+x）2①由切割线定理知，PT2=PB×PA，即y2=x×（x+10）②联立①②得，x=14故选：D8．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可．【解答】解：设f（x）=t，（t＞0）则由y=f[f（x）]﹣4m=0得f[f（x）]=4m，即f（t）=4m，则m（|t﹣2|+|t﹣4|）=4m，则|t﹣2|+|t﹣4|=4，得t=5，或t=1，若t=1，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=1，即|x﹣2|+|x﹣4|=，若t=5，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=5，即|x﹣2|+|x﹣4|=，设g（x）=|x﹣2|+|x﹣4|，（x≥0），∵函数f（x）是偶函数，∴要使函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则等价为当x≥0时，函数y=f[f（x）]﹣4m恰有2个零点，作出g（x）在[0，+∞）上的图象如图：①，即，即＜m＜，②，即，即0＜m＜，综上实数m的取值范围是，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i是虚数单位，复数=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将复数分母实数化，分子、分母同乘以（1+i），化简即可．【解答】解：===；故答案为：．10．在的二项展开式中，x2的系数为90．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，再由x的指数等于2求得r，则答案可求．【解答】解：由，得=，由，得r=2．∴x2的系数为．故答案为：90．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据积分的应用，求出区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：作出曲线对应的平面区域，则区域B是边长分别为1，2的矩形，则面积S B=2，区域A的面积S A=dx=lnx=ln3﹣ln1=ln3，则对应的概率P==，故答案为：12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，且球的半径是，正方体的棱长是3，∴几何体的体积V==故答案为：．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为[，2]．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出直线l与圆C的普通方程得出圆C的半径，利用点到直线的距离公式列出不等式解出a的范围．【解答】解：直线l的普通方程为2x+ay﹣a=0．∵ρ=2cos（θ+），∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为：x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆C的圆心为C（1，﹣1），圆C的半径r=．∵圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，∴圆心C到直线l的距离0≤d≤．即0≤≤．解得．故答案为：[，2]．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=[，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示，根据λ的范围求出的范围，即M的范围，根据基本不等式求出N的范围，得出M∩N．【解答】解：∵，∴0≤λ≤1．=．==（）=．==．∴=（）•（）=+=2λ．∴M==[0，2]．∵a＞b，ab=1，∴a﹣b＞0，==≥2=．∴N={x|x=，a＞b，ab=1}=[，+∞）．∴M∩N=[，2]．故答案为：．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=（1）由周期公式可得；（2）由x的范围和三角函数的最值可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x+cos2（x﹣）===（1）函数f（x）的最小正周期；（2）∵函数f（x）在单调递增，在单调递减，∵，∴．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少抽取到2道B类题的概率．（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，P（A）=．…（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，…，，，，，…∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4P…∴随机变量X的期望为：．…17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由等边三角形性质得出AO⊥EF，利用面面垂直的性质得出AO⊥平面EFCB，故AO⊥BE；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，则=（0，0，1）为平面AEF的一个法向量，求出平面ABE的法向量，则cos＜＞与二面角的余弦值相等或相反．（III）令|cos＜＞|=，列方程解出a．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，∴AO⊥BE．（Ⅱ）取CB的中点D，连接OD，则OD⊥EF，以O为原点，分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），E（a，0，0），F（﹣a，0，0），，，，∴，=（a，﹣a，0），设平面AEB的一个法向量，则，∴，令y=1，得=（，1，﹣1）．平面AEF的一个法向量为，∴=﹣1，||=，||=1，∴，由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角，∴二面角F﹣AE﹣B的余弦值为﹣．（Ⅲ），∴=4，||=，||=，∴cos＜，＞=，∴6a2﹣12a+16=10，解得a=1．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）运用分点坐标公式可得M的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到；（II）解法一、设出PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径，计算即可得到所求方程；解法二、设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得PQ的斜率，求得PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（I）∵A（a，0）B（0，b）点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|∴M，，∴，∴∴椭圆E的离心率e为；（II）解法一：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意，圆心C（﹣2，1）是线段PQ的中点，且．易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，代入（1）得（1+4k2）x2+8k（2k+1）x+4（2k+1）2﹣4b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由x1+x2=﹣4，得，解得．从而．于是，由，得，2b2﹣4=6，解得b2=5．故椭圆E的方程为．解法二：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意点P、Q关于圆C（﹣2，1）对称且，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，两式相减得﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，易知PQ不与x轴垂直，则x1≠x2，，∴PQ的斜率为，设其直线方程为，代入（1）得x2+4x+8﹣2b2=0∴x1+x2=﹣4．于是，由，得，2b2﹣4=6解得b2=5．故椭圆E的方程为．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由a2=16a4，结合数列是非单调数列求出等比数列的公比，可得等比数列的通项公式；（Ⅱ）由b n=，得，分n为奇偶数求出{b n}的最大值，代入|m﹣1|≥3b n，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）放缩得到，代入S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）可得2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．﹣1【解答】（Ⅰ）解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，∴，解得q=，∵数列是非单调数列，∴q=﹣，则；（Ⅱ）解：由b n=，得，当n为奇数时，；当n为偶数时，，且{b n}为减函数，∴，则|m﹣1|≥3b n=1，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）证明：∵===，∴S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）﹣1=．∴2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解答】（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．2020年7月21日。

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝．12．在（x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝，sin∠ABD＝．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数，令0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵，∴2＝（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（a﹣1）i，∴，即a＝1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线的一条渐近线y＝bx与直线y＝2x+1平行，可得b＝2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D1﹣BCD，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC＝4，BC＝3，DD1＝2∴三棱锥的体积是4×3×2＝4故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为2π；点M的初始位置坐标为，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（，）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（，y），y＞0，所以PA的中点M（，），所以k OM，因为y，所以0，所以k OM∈（0，]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x（t）∈（25，30），y（t）∈（0，50），此时二者总和x（t）+y（t）∈（25，80），由图象可知存在点x（t）＝10，y（t）＝100，x（t）+y（t）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝3．【分析】先求出（m﹣1，3），再由与共线，列方程能求出实数m．解：∵向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），∴（m﹣1，3），∵与共线，∴，解得实数m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x）6的展开式中常数项为160．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：在的展开式中的通项公式为T r+1•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则r，解得a＝1，r，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2．故答案为：（x﹣1）2+y2．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝2，sin∠ABD＝．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由，即，解得sin∠ABD．故答案为：2，．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是③④．【分析】可取a＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f（x）的值域，即可判断①；取a＝0，判断f（x）的单调性，即可判断②；考虑a＜0时，求得f（x）的值域，即可判断③；当a＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f（x）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a＝3，则f（x），当x＜0时，f（x）＝3（x+1）∈（﹣∞，3）；当x≥0时，f（x）＝2x﹣3+23﹣x≥22，当且仅当x＝3时，取得等号，故a＝3时，f（x）的值域为R，∀t∈R，f（x）＝t都有解，故①错误；对于②可取a＝0时，f（x），可得f（x）在R上单调递增，对∀t＞0，f（x）＝t至多一解，故②错误；对于③，当a＜0时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递减，可得f（x）＞a；又x≥0时，x﹣a＞0，即有2x﹣a＞1，可得2x﹣a+2a﹣x＞2，则f（x）的值域为（a，+∞），∀t＞0，f（x）＝t都有解，故③正确；对于④，当a＞2时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递增，可得f（x）＜a；当x≥0时，f （x）＝2x﹣a+2a﹣x≥2，当且仅当x＝a时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），（1，1，0），（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f（x），若满足①，利用最大值求出a的值，写出f（x）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f（x）＝1求得方程的解，根据方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足③，利用f（x）的图象过点，代入求出a的值，以下解法均相同．解：（Ⅰ）函数f（x）＝a sin（2x）﹣2cos2（x）＝a sin（2x）﹣cos（2x）﹣1＝a sin（2x）﹣sin（﹣2x）﹣1＝（a+1）sin（2x）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin（2x）﹣1；f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x）＝1，解得2x2kπ，k∈Z；即x kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为Tπ，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），所以X的分布列为X12P所以X的期望为E（X）＝0121；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c，bc＝2，求得b，再由a，b，c的关系可得a，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD|，|MN|，运用菱形和椭圆的对称性可得l1，l2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：（Ⅰ）因为四边形AF1BF2为正方形，且面积为2，所以b＝c，且•2c•2b＝2，解得b＝c＝1，a2＝2，所以椭圆的标准方程：y2＝1；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立可得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2＝0，由△＞0可得16k2m12﹣4（1+2k2）（2m12﹣2）＞0，化简可得2k2+1﹣m12＞0，①x1+x2，x1x2，|CD|•|x1﹣x2|•••，同理可得|MN|•，因为四边形CDMN为菱形，所以|CD|＝|MN|，所以m12＝m22，又因为m1≠m2，所以m1＝﹣m2，所以l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以且，（2x1，2y1），（2x2，2y2），因为四边形CDMN为菱形，可得•0，即x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）＝0，即（1+k2）x1x2+km1（x1+x2）+m12＝0，可得（1+k2）•km1•m12＝0，化简可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN的周长为l，则l＝4|CD|•4，当且仅当2+2k2＝1+4k2，即k2时等号成立，此时m12＝1，满足①，所以菱形CDMN的周长的最大值为4．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a两个不等的正根．令g（x），x＞0，g′（x），令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x，当x∈（0，）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：，T（2）为满足不等式（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，，∴，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。

2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x>1}，B={x|x≥1}，则(∁R A)∩B=()A. ⌀B. {1}C. RD. (1,+∞)2.双曲线x23−y2=1的焦点到渐近线距为()A. √32B. 1C. √3D. 23.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是()A. 4√3B. 8C. 4√33D. 834.若实数x，y满足不等式组{y≥0x−2y≤22x−y≥2，则x−3y()A. 有最大值−2，最小值−83B. 有最大值83，最小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值−2，无最大值5.在△ABC中，已知A=π4，则“sinA>sinB”是“△ABC是钝角三角形”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知a>0，且a≠1，若log a2>1，则y=x−a|x|的图象可能是()A. B.C. D.7.已知x1，x2，x3∈R，x1<x2<x3，设y1=x1+x22，y2=x2+x32，y3=x3+x12，z1=y1+y22，z2=y2+y32，z3=y3+y12，若随机变量X，Y，Z满足：P(X=x i)=P(Y=y i)=P(Z=z i)=13(i=1,2，3)，则()A. D(X)<D(Y)<D(Z)B. D(X)>D(Y)>D(Z)C. D(X)<D(Z)<D(Y)D. D(X)>D(Z)>D(Y)8.如图，三棱锥V−ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P−AC−B的平面角为β，则α+β不可能是()A. 3π4B. 2π3C. π2D. π39.如图，一系列椭圆C n：x2n+1+y2n=1(n∈N∗)，射线y=x(x≥0)与椭圆C n交于点P n，设a n=|P n P n+1|，则数列{a n}是()A. 递增数列B. 递减数列C. 先递减后递增数列D. 先递增后递减数列10.设a∈R，若x∈[1,e]时恒有(e−1)x⋅ln(x+ax)≤x2−x+a(其中e=2.71828……为自然对数的底数)，则恒有零点的是()A. y=x2+ax+1B. y=ax2+3x+1C. y=e x+a−1D. y=e x−a+1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 函数f(x)=−3sin(πx +2)的最小正周期为______，值域为______． 12. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z+i1+i =1−2i ，则z =______，|z|=______．13. 已知(1+x)6−(2+x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯…+a 5x 5+a 6x 6，则a 6=______，|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯…+|a 5|+|a 6|=______． 14. 已知函数f(x)={2x ,x <0log 2(x −a),x ≥0，若f(−1)=f (1)，则实数a =______；若y =f(x)存在最小值，则实数a 的取值范围为______． 15. 某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员(1男2女)和6名警察(4男2女)分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案．(用具体数字作答)16. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ ，满足|a |=|b ⃗ |=|c |=1，a ⋅b ⃗ =0，|c −d |=|b ⃗ ⋅c |，则a ⋅d的取值范围为______．17. 已知a ，b ∈R ，设函数f(x)=2|sinx +a|+|cos2x +sinx +b|的最大值为G(a,b)，则G(a,b)的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b =1，acosA=√3sinB ． (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)若a =2，求△ABC 的面积．19. 如图，四棱锥A −BCDE 中，底面BCDE 是正方形，∠ABC =90°，AC =2，BC =1，AE =√7． (Ⅰ)求证：BC ⊥AE ；(Ⅱ)求直线AD 与平面BCDE 所成角的正弦值．20. 已知数列{a n }是等比数列，a 1=2，且a 2，a 3+2，a 4成等差数列．数列{b n }满足：b 1+b 2√2+b3√3+⋯…+b n √n=n 2+n 2(n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (Ⅱ)求证：b 1−1a 1+2√2⋅a +3√3⋅a +⋯…+n √n⋅a <32．21. 如图，已知点O(0,0)，E(2,0)，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 为线段OE 中点．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点E 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN ⊥y 轴，求△ABN 面积的最小值．22. 已知函数f(x)=(x +1)e x −ax 2(x >0)．(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若函数f(x)有两个不同的零点x 1，x 2， (ⅰ)求实数a 的取值范围；(ⅰ)求证：1x 1+1x 2−1t0+1>1.(其中t 0为f(x)的极小值点)-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A={x|x>1}，B={x|x≥1}，∴∁R A={x|x≤1}，(∁R A)∩B={1}．故选：B．进行交集和补集的运算即可．本题考查了交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：双曲线x23−y21的渐近线y=±√33x，则焦点到渐近线的距离=|√33×2|1+(√33)2=2√332√33=1，一个点F(2,0)，近线方程为√33x+=0，选：B根据双曲线的方程求出啊、坐和近，点到直线的距离公式进行解即可．本题考查双曲线的性质，根据双线的定义求出焦坐渐近线方程以点到直线的距离公式是解决题的关键．3.答案：C解析：解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为S=22=4，高为ℎ=√22−12=√3；所以该四棱锥的体积是V=13Sℎ=13×4×√3=4√33．故选：C．根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．4.答案：C解析：解：画出不等式组{y ≥0x −2y ≤22x −y ≥2表示的平面区域，如图阴影所示；设z =x −3y ，则直线x −3y −z =0是一组平行线； 当直线过点A 时，z 有最大值，由{y =0x −2y =2，得A(2,0)；所以z 的最大值为x −3y =2−0=2，且z 无最小值． 故选：C ．画出不等式组表示的平面区域，设z =x −3y ，则直线x −3y −z =0是一组平行线，找出最优解，求出z 有最大值，且z 无最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题． 5.答案：A解析：解：A =π4，则“sinA >sinB ”，由正弦定理可得：a >b ⇔B <π4，C 为钝角，⇒“△ABC 是钝角三角形”，反之不成立．可能B 是钝角．∴A =π4，则“sinA >sinB ”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A ．A =π4，则“sinA >sinB ”，利用正弦定理可得：a >b ，A >B ，B <π4，C 为钝角．反之不成立．可能B 是钝角．本题考查了解三角形、正弦定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于一般题． 6.答案：D解析：【分析】本题考查对数函数的性质、函数的图象的确定，属基础题．先根据对数不等式求出a 的范围，然后利用特殊值验证找出图象． 【解答】解：∵log a 2>1， ∴a >1．结合图象f(1)=1−a <0，故排除B ，C ． 又∵f(−1)=−1−a <0，故排除A ．D 选项满足． 故选：D ． 7.答案：B解析：解：E(X)=13(x 1+x 2+x 3)， E(Y)=13(x 1+x 22+x 2+x 32+x 3+x 12)=13(x 1+x 2+x 3)=E(X)，x 1+x 22，x 2+x 32，x 3+x 12距E(Y)，x 1，x 2，x 3较近，所以D(X)>D(Y)， 同理D(Y)>D(Z)，故D ( X )>D(Y )>D(Z )， 故选：B ．计算可得E(X)=E(Y)，进而得到D(X)>D(Y)，同理D(Y)>D(Z)， 本题考查离散型随机变量的期望与方差的关系，属于中档题． 8.答案：D解析：解：如图，由题意，三棱锥V −ABC 为正三棱锥， 过P 作PE//AC ，则∠BPE 为直线PB 与直线AC 所成角为α，当P 无限靠近A 时，∠PBE 无限接近π3，但小于π3，则∠BPE =∠BEP =α>π3． 当棱锥的侧棱无限长，P 无限靠近V 时，α无限趋于π2但小于π2； 二面角P −AC −B 的平面角为β，即V −AC −B 的平面角为β， 由三棱锥存在，得β>0，随着棱长无限增大，β无限趋于π2． ∴α+β∈(π3,π)．则α+β不可能是π3．故选：D ．由题意，三棱锥V −ABC 为正三棱锥，过P 作PE//AC ，则∠BPE 为直线PB 与直线AC 所成角为α，二面角P −AC −B 的平面角为β，即V −AC −B 的平面角为β，然后利用运动思想分析两角的范围，可得α+β∈(π3,π)，则α+β不可能是π3，答案可求．本题考查空间中异面直线所成角与二面角，考查空间想象能力与思维能力，训练了“极限思想”的应用，是中档题． 9.答案：B解析：解：设y =x 的参数方程{x =√22t y =√22t (t >0)，代入x 2n+1+y 2n =1(n ∈N ∗)整理得 t =√2n(n+1)2n+1，∴t n+1=√2(n+1)(n+2)2n+3，∴a n =t n+1−t n =√2(n +1)(n +2)2n +3−√2n(n +1)2n +1要判断上式增大还是减小，只需研究2(n+1)(n+2)2n+3−2n(n+1)2n+1的值增大或减小即可．将上式通分得2(n+1)[(n+2)(2n+1)−n(2n+3)](2n+3)(2n+1)=4n 2+8n+44n 2+8n+3=1+14n 2+8n+3，显然随着n 的增大，a n 的逐渐减小． 故该数列是递减数列．故选：B ．取射线y =x 的参数方程{x =√22ty =√22t(t >0)，利用参数t 的几何意义表示出a n ，然后作差法判断其单调性．本题考查了数列与圆锥曲线的综合问题，同时考查了数列的函数特征，属于中档题． 10.答案：D解析：解：(e −1)x ⋅ln (x +ax )≤x 2−x +a 等价于(e −1)ln (x +ax )≤x +ax −1， 令t =x +ax >0，则(e −1)lnt ≤t −1，令g(t)=lnt −t−1e−1(t >0)，则g′(t)=1t −1e−1，令g′(t)=0，解得t =e ，∴函数g(t)在(0,e −1)单调递增，在(e −1,+∞)单调递减，注意到g(1)=g(e)=0， 作函数g(t)的图象如下，由图可知，g(t)≤0的解集为t ∈(0,1]∪[e,+∞)，当t ∈(0,1]时，0<x +ax ≤1，则{0<1+a ≤10<e +a e≤1，此时无解；当t ∈[e,+∞)时，x +ax ≥e ，则a ≥e24，对A ，取a ∈[e 24,2)时，y >0恒成立，不合题意；对B 、C ，取a →+∞时，y >0恒成立，不合题意；对D ，事实上，a ∈[e 24,+∞)，必有a −1>0，因此y =e x −a +1必有零点．故选：D．原式变形可得(e−1)ln(x+ax )≤x+ax−1，构造t=x+ax>0，可得(e−1)lnt≤t−1，再构造g(t)=lnt−t−1e−1(t>0)，利用导数可知，满足g(t)≤0的t∈(0,1]∪[e,+∞)，结合x∈[1,e]，可知a≥e24，由此再逐项判断即可得出结论．本题考查函数与导数的综合运用，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化简变形能力及运算能力，属于较难题目．11.答案：2 [−3,3]解析：解：由题意最小正周期T=2ππ=2．因为sin(πx+2)∈[−1,1]，所以−3sin(πx+2)∈[−3,3]，故值域为[−3,3]．故答案为：2，[−3,3]．利用周期计算公式和y=sinx的值域直接计算即可．本题考查了正弦型三角函数的周期、值域的求法，属于基础题．12.答案：3−2i√13解析：解：∵z+i1+i=1−2i，∴z+i=(1−2i)(1+i)=3−i．∴z=3−2i．|z|=√32+(−2)2=√13．故答案为：3−2i，√13利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．本题主要考查了复数的加减法、乘法运算以及模的计算公式．属于基础题．13.答案：0 665解析：解：因为(1+x)6−(2+x)6=a0+a1x+a2x2+⋯…+a5x5+a6x6，令x=1可得：a0+a1+a2+⋯…+a5+a6=26−36=−665．所以：a6=∁66−∁66=0；∵a0=∁60−26⋅∁60=−63；a1=∁61−25∁61=−186；a2x2+=∁62−24∁62=−225；……a5=∁65−2⋅∁65=−6；a6=∁66−20⋅∁66=0；故|a0|+|a1|+|a2|+⋯…+|a5|+|a6|=−a0−a1−a2−⋯…−a5−a6=665．故答案为：0，665．根据其特点可知a6为x6的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令x=1即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14.答案：1−√2 [−1,0)解析：解：(1)∵f(−1)=f (1)， ∴2−1=log 2(1−a)， ∴1−a =212，∴a =1−√2．(2)易知x <0时，f(x)=2x ∈(0,1)；又x ≥0时，f(x)=log 2(x −a)递增，故f(x)≥f(0)=log 2(−a)， 要使函数f(x)存在最小值，只需{−a >0log 2(−a)≤0，解得：−1≤a <0．故答案为：1−√2，[−1,0)．(1)根据题意列出关于a 的方程即可；(2)在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于基础题．15.答案：324解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性， 将9人分成3组，有A 33×C 62C 42C 22A 33种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有C 42C 42种，则有A 33×C 62C 42C 22A 33−C 42C 42=90−36=54种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有A 33=6种情况，则有54×6=324种不同的分配方案； 故答案为：324．根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，注意先分好组，再进行排列，属于基础题． 16.答案：[−√2,√2]解析：解；由题，设a =(1,0),b ⃗ =(0,1),c =(cosθ,sinθ),d=(x,y)． ∵|c −d |=|b ⃗ ⋅c |，∴(x −cosθ)2+(y −sinθ)2=sin 2θ.①． 又∵a⋅d =x ． 根据①中圆的几何意义，a ⋅d 的取值范围即：cosθ+sinθ=√2sin (θ+π4)， ∴a ⋅d的取值范围为[−√2,√2]. 故答案为：[−√2,√2]．根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．本题考查了平面向量的线性运算与坐标运算，考查了学生转化的思想以及分析问题，解决问题的能力，属于中档难度题目．17.答案：4916解析：【分析】本题考查绝对值函数最大值中的最小值求解，考查分类讨论思想及转化思想，充分理解绝对值的几何意义，并掌握|a|+|b|=max{|a +b|,|a −b|}是解题的关键，属于较难题目．换元t =sinx ∈[−1,1]，可知G(a,b =max{|−2t 2+3t +2a +b +1|,|2t 2+t +2a −b −1|}， 分G(a,b)=|−2t 2+3t +2a +b +1|及G(a,b)=|2t 2+t +2a −b −1|讨论，利用绝对值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得G(a,b)的最小值．【解答】 解：设t =sinx ∈[−1,1]，则f(x)=2|sinx +a|+|1−2sin 2x +sinx +b|=|2t +2a|+|−2t 2+t +b +1|=max{|−2t 2+3t +2a +b +1|,|2t 2+t +2a −b −1|}， ∴G(a,b)=max{|−2t 2+3t +2a +b +1|，|2t 2+t +2a −b −1|}，当G(a,b)=|−2t 2+3t +2a +b +1|时，令g(t)=−2t 2+3t +2a +b +1，t ∈[−1,1]，则此时g(t)max =g(−34),g(t)min =g(−1)， 故G(a,b)=|g(t)|≥|g(−1)|+|g(34)|2=|2a+b−4|+|2a+b+178|2≥|−4−178|2=4916，由a ，b ∈R 可知，等号能成立；当G(a,b)=|2t 2+t +2a −b −1|时，令ℎ(t)=2t 2+t +2a −b −1，t ∈[−1,1]，则此时ℎ(t)min =ℎ(−14),ℎ(t)max =ℎ(1)， 故G(a,b)=|ℎ(t)|≥|ℎ(−14)|+|ℎ(1)|2=|2a−b−98|+|2a−b+2|2≥|−98−2|2=2516，由a ，b ∈R 可知，等号能成立；综上，G(a,b)的最小值为4916． 故答案为：4916．18.答案：解：(Ⅰ)∵a cosA =√3sinB ⇒asinB =√3cosA ，∵a sinA=b sinB⇒asinB =bsinA ；∵b =1；所以：√3cosA =sinA ⇒tanA =√3⇒A =π3.(三角形内角) (Ⅱ)因为a 2=b 2+c−22bccosA ⇒c 2−c −3=0⇒c =1+√132；(负值舍)；∴S △ABC =12bcsinA =√3+√398．解析：(Ⅰ)由已知结合正弦定理求得A 的正切值，即可求得结论； (Ⅱ)由余弦定理求得边c ，进而求得其面积．本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，是对基本知识的综合考查．19.答案：(I)证明：∵BC ⊥AB ，BC ⊥BE ，AB ∩BE =B ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ．(II)解：过点B 作平面ABC 的垂线Bz ，则BA ，BC ，Bz 两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A(√3,0，0)，C(0,1，0)，设E(x,y ，z).则BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|BE|=1，|EA|=√7.可得：y =0，x 2+z 2=1，(x −√3)2+z 2=7．z >0，解得E(−√32,0，12).由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0，12).得D(−√32,1，12).∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32，1，12). 设平面BCDE 的法向量为：n ⃗ =(a,b ，c)，则n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：−√32x +12z =0=y ， 可得：n⃗ =(1,0，√3). ∴cos <AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√32×2√2=−√68． ∴直线AD 与平面BCDE 所成角的正弦值为√68．解析：(I)由BC ⊥AB ，BC ⊥BE ，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．(II)过点B 作平面ABC 的垂线Bz ，则BA ，BC ，Bz 两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A(√3,0，0)，C(0,1，0)，设E(x,y ，z).可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， |BE|=1，|EA|=√7.z >0，解得E.由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0，12).得D 坐标．设平面BCDE 的法向量为：n ⃗ =(a,b ，c)，则n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：n ⃗ ，利用向量夹角公式即可得出． 本题考查了线面垂直的判定定理与性质定理、法向量的性质及其应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=2q ，a 3=2q 2，a 4=2q 3， 由a 2，a 3+2，a 4成等差数列，得2(a 3+2)=a 2+a 4，即2(2q 2+2)=2q +2q 3，即(q −1)(q 2+1)=0，解得q =2，所以a n =2n ． 当n =1时，b 1=1，当n ≥2时，b 1+2√2+3√3+⋯+n √n=n 2+n 2，b 1+2√2+3√3+⋯+n√n−1=(n−1)2+(n−1)2，作差得n√ n =n ，所以，b n =n √n(n ≥2)，当n =1时，b 1=1×√1=1也成立，所以b n =n √n ，综上，a n =2n ，b n =n √n ． (Ⅱ)因为当n ≥2时，n √na =√n−1√n×2n<√n √n×2n =n 2n，所以，b 1−1a 1+b 2−1√2a +b 3−1√3a +⋯+b n −1√ na <222+323+⋯+n2 n ，设T n =222+323+⋯+n2 n ，则12T n =223+324+⋯+n2n+1，两式相减得，12T n=222+(123+⋯+12n )−n 2n+1=12+123(1−12n−1)1−12−n 2n+1=12+14(1−12n−2)−n 2n+1=34−n+22n+1，所以T n =32−n+22n+1，所以T n <32．所以b 1−1a 1+2√2⋅a 3√3⋅a +⋯…n √n⋅a <32．解析：(Ⅰ)由递推公式可以求出通项公式a n =2n ，b n =n √n ．(Ⅱ)采用缩放的方法证明当n =1和n ≥2时成立，采用缩放的方法证明． 本题考查根据递推公式求出数列前几项进而求出通项公式，还有根据缩放的方法证明不等式成立．属于较难题．21.答案：解：(Ⅰ)由已知得焦点F 的坐标为(1,0)， ∴p =2，∴抛物线C 的方程为：y 2=4x ；(Ⅱ)设直线AB 的方程为：x =my +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，联立方程{x =my +2y 2=4x ，消去x 得：y 2−4my −8=0，∴△=16m 2+32>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8， 设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，联立方程{y −y 1=k(x −x 1)y 2=4x ，消去x 得：y 2−4k y +4k y 1−4x 1=0，由相切得：△=16k 2−4(4k y 1−4x 1)=0，∴1k 2−1k y 1+x 1=0， 又x 1=y 124，∴1k 2−1k y 1+y 124=0，∴(1k −y 12)2=0，∴k =2y 1，∴直线l 的方程为：2x −y 1y +2x 1=0， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x 0=3x 1+x 24，y 0=3y 1+y 24， 将y 0=3y 1+y 24代入直线l 方程，解得x N =y 12+y 1y 28=y 12−88，所以S △ABN =12|x 0−x N |×|y 1−y 2|=12|3x 1+x 24−y 12−88|×|y 1−y 2| =|y 12+y 22+1632|×|y 1−y 2|=|y 1−y 2|332=|y 1+8y 1|332，又|y 1+8y 1|≥4√2，所以S △ABN ≥4√2，当且仅当y 1=±2√2时，取到等号，所以△ABN 面积的最小值为4√2．解析：(Ⅰ)由已知得焦点F(1,0)，所以p =2，从而求出抛物线C 的方程；(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，与抛物线方程联立，利用△=0求得k =2y 1，所以直线l 的方程为：2x −y 1y +2x 1=0，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得点M 的坐标，进而求出点N 的坐标，所以S △ABN =12|x 0−x N |×|y 1−y 2|设直线AB 的方程为：x =my +2，与抛物线方程联立，设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，利用韦达定理代入S △ABN ，利用基本不等式即可求出△ABN 面积的最小值．本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由f(x)=(x +1)e x −ax 2，得f′(x)=x(x+2xe x −2a)，设g(x)=x+2x⋅e x ，(x >0)；则g′(x)=x 2+2x−2x 2⋅e x ；由g′(x)≥0，解得x ≥√3−1，所以g(x)在(0,√3−1)上单调递减，在(√3−1,+∞)上单调递增， 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，f′(x)≥0，所以2a ≤g(√3−1)=(2+√3)⋅e √3−1； 所以，实数a 的取值范围是：(−∞,(2+√3)⋅e√3−12].(Ⅱ)(i)因为函数f(x)有两个不同的零点，f(x)不单调，所以a >(2+√3)⋅e√3−12．因此f′(x)=0有两个根，设为t 1，t 0，且0<t 1<√3−1<t 0，所以f(x)在(0,t 1)上单调递增，在(t 1,t 0)上单调递减，在(t 0,+∞)上单调递增；又f(t 1)>f(0)=1，f(x)=(x +1)e x −ax 2=a(e x −x 2)+(x +1−a)⋅e x ，当x 充分大时，f(x)取值为正，因此要使得f(x)有两个不同的零点，则必须有f(t 0)<0，即(t 0+1)e t 0−a ⋅t 02<0； 又因为f′(t 0)=(t 0+2)e t 0−2at 0=0； 所以：(t 0+2)e t 0−t 02⋅(t 0+2)e t 0<0，解得t 0>√2，所以a >12g(√2)=1+√22⋅e √2；因此当函数f(x)有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是(1+√22⋅e √2,+∞)．(ⅰ)先证明不等式，若x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，则√x 1x 2<x 2−x1lnx 2−lnx 1<x 1+x 22．证明：不妨设x 2>x 1>0，即证2(x 2x 1−1)x 2x 1+1<lnx 2x 1<x 2x 1−1√x 2x1，设t =x 2x 1>1.g(t)=lnt −√t，ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1，只需证g(t)<0且ℎ(t)>0； 因为g′(t)=√t−1)22t √t<0，ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以g(t)在(1,+∞)上单调递减，ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增， 所以g(t)<g(1)=0，ℎ(t)>ℎ(1)=0，从而不等式得证．再证原命题1x 1+1x 2−1t0+1>1．由{f(x 1)=0f(x 2)=0得{(x 1+1)e x 1−ax 12=0(x 2+1)e x 2−ax 22=0； 所以(x 1+1)e x 1x 12=(x 2+1)e x 2x 22，两边取对数得：2(lnx 2−lnx 1)−[ln (x 2+1)−ln (x 1+1)]=x 2−x 1；即2(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1−ln (x 2+1)−ln (x 1+1)(x 2+1)−(x1+1)=1． 因为2(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1−ln (x 2+1)−ln (x 1+1)(x 2+1)−(x 1+1)<√x x 2(x 1+1)+(x 2+1)，所以1+2x1+x 2+2<√x x <1x 1+1x 2，因此，要证1x 1+1x 2−1t0+1>1．只需证x 1+x 2<2t 0；因为f(x)在(t 0,+∞)上单调递增，0<x 1<t 0<x 2，所以只需证f(x 2)<f(2t 0−x 2)， 只需证f(x 1)<f(2t 0−x 1)，即证f(t 0+x)<f(t 0−x)，其中x ∈(−t 0,0)； 设r(x)=f(t 0+x)−f(t 0−x)，−t 0<x <0，只需证r(x)<0； 计算得r′(x)=(x +t 0+2)e t 0+x +(−x +t 0+2)e t 0−x −4at 0； r″(x)=e t 0−x [(x +t 0+3)e 2x +(x −t 0−3)]．由y =(x +t 0+3)e 2x +(x −t 0−3)在(−t 0,0)上单调递增， 得y <(t 0+3)e 0+(0−t 0−3)=0，所以r″(x)<0；即r′(x)在(−t 0,0)上单调递减， 所以：r′(x)>r′(0)=2f′(t 0)=0；即r(x)在(−t 0,0)上单调递增，所以r(x)<r(0)=0成立，即原命题得证．解析：(Ⅰ)先求其导函数，转化为f′(x)≥0，即求g(x)=x+2x⋅e x −2a 的最小值即可；(Ⅱ)(ⅰ)结合第一问的结论得f(x)不单调，故a >(2+√3)⋅e√3−12；设f′(x)=0有两个根，设为t 1，t 0，且0<t 1<√3−1<t 0，可得原函数的单调性，把问题转化为f(t 0)<0，即可求解结论．(ⅰ)转化为先证明不等式，若x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，则√x 1x 2<x 2−x1lnx 2−lnx 1<x 1+x 22.再把原结论成立转化为证x 1+x 2<2t 0；构造函数r(x)=f(t 0+x)−f(t 0−x)一步步推其成立即可．本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。