18届竞赛学案--神奇的圆锥曲线

七、平面解析几何（二）圆锥曲线一、高考考什么？[考试说明]5．掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质。

6．会解决直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系。

7．了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系。

8. 了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程。

[知识梳理]弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A（）、B（），则：＝＝通径：椭圆、双曲线，抛物线定义及基本量：椭圆双曲线抛物线定义基本量离心率抛物线：若的焦点弦为AB，，则：①②；③[全面解读]圆锥曲线是高中数学教学的核心内容之一，在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。

综观历年高考，试题中几乎考查了解析几何教学中的所有内容，重点考查了定义、位置关系、弦长、离心率、渐近线等问题，有较高的思维度和灵活性，通过一定量的计算，分析研究圆锥曲线的性质特点，充分考查解析几何的本质。

[难度系数] ★★★★☆二、高考怎么考？[原题解析][2004年]（4）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是( )A．y2=8-4x B．y2=4x-8 C．y2=16-4x D．y2=4x-16（9）若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx 的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ( )A． B． C． D．[2005年]（13）过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．[2008年]（12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=___________。

[2009年]（9）过双曲线（）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．[2010年]（8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A． B．C． D．（13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为________。

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测热点十一圆锥曲线的综合问题纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.求轨迹方程求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等.（1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.（2）讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.例1【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满足。

(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。

证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

【答案】(1) 。

(2)证明略。

【解析】（2）由题意知。

设,则，。

由得，又由（1）知，故。

所以，即。

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.例2【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.【答案】 (1) ；(2) .试题解析：（1）折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆的半径为，∴，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，∴，∴的轨迹的方程为.（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：，即，由，消去，得，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴，，设，，则，，，又，∴，∴，设，则，∴，，∵关于在单调递增，∴，∴的面积的取值范围是.2. 圆锥曲线与圆相结合的问题处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.例3【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为 .或直线的方程为，圆的方程为 .【解析】所以，解得或 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .3.定值定点问题（1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.（2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.例4【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.(1)求的取值范围；(2)设线段的中点分别为点，证明：直线过定点.【答案】(1) {k|k＜－2或0＜k＜} (2)见解析【解析】试题分析：（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立方程组，利用判别式求出的一个范围，另外直线的方程为与抛物线方程联立同样又得出的一个范围，两者求交集即得；（2）设，利用韦达定理可得即点坐标，用代替可得点坐标，计算出，得证结论．试题解析：（1）由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0，①由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，整理得y2＋4ky－8k＝0，由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．所以故k的取值范围为{k|k＜－2或0＜k＜}．（2）设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M(－，)．同理可得N(2k2＋2k，－2k)．直线MQ的斜率k MQ＝＝，直线NQ的斜率k NQ＝＝＝k MQ，所以直线MN过定点Q(2，0)．例5【2018届河南省商丘市高三上学期期末】在平面直角坐标系中，已知两点，，动点满足，线段的中垂线交线段于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求出点的轨迹的方程；（2）讨论直线的斜率，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得，利用根与系数关系表示，即可得到定值.试题解析：（Ⅰ）以题意可得：,，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，且所以，所以轨迹的方程为.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由，解得，设，.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得，依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，则，，又，，所以综上得：为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）4.最值、范围问题求解范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.例6【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .试题解析：（Ⅰ）依题意得解得∴椭圆的方程是（Ⅱ）设设线段中点为∵∴中点，直线斜率为由是以为底边的等腰三角形∴∴直线的垂直平分线方程为令得∵∴由∴四边形面积当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.5.探索性问题解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确. 其解题步骤为:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在;若无解则不存在.(3)得出结论.例7【2018届河北省石家庄市高三上学期期末】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（1）设的中点为，可得 ,当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即，所以，椭圆长轴长为；（2）先求得椭圆方程为，设直线AB方程为：，联立可得，设根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，当即时为定值.试题解析：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即所以，椭圆长轴长为6.（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：设由得恒成立设当即时为定值当直线AB斜率不存在时，不妨设当时，为定值综上：在X轴上存在定点，使得为定值【反思提升】1.高考涉及考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不在重复）确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”.在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.2.涉及求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式);(2)曲线上点的坐标的范围;(3)题目中给出的限制条件.其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围.3.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何的知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.4.存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.注意以下几点:(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.。

20182010圆锥曲线高考题全国卷真题汇总(word版可编辑修改)
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，
A
点为
>0
两点，若，则圆。

圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．考点一 圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1、如图所示，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．【变式探究】已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 考点二 定点、定值问题探究1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2、已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．【方法规律】1．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．【变式探究】如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为2 2.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．例3、已知焦距为22的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，直线y＝43与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．【方法规律】1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．【变式探究】已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在x 轴上的投影是Q ，且2P A →·PB →＝|PQ →|2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点．求证：直线E 1E 2恒过定点．考点三 圆锥曲线中的存在性问题存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论．例3、 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【方法规律】1．此类问题一般分为探究条件、探究结构两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，F 为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．1．(2017·全国卷Ⅱ)设点O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .2.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，3）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.3.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

知能专练（十八） 圆锥曲线中的热点问题一、选择题1．(2017·河北衡水中学模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆解析：选D 因为点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)，所以点P 是线段QF 1的中点．设P (x ，y )，由F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，得F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，又点Q 在椭圆C ：x 216＋y210＝1上，所以(2x ＋6)216＋(2y )210＝1，即⎝⎛⎭⎫x ＋6224＋y 252＝1，所以点P 的轨迹是椭圆，故选D.2.(2017·安徽六安一中模拟)如图，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的一点．若|PF 1|2|PF 2|＝8a ，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1,3]D ．[3，＋∞)解析：选C 设|PF 2|＝y ，则(y ＋2a )2＝8ay ⇒(y －2a )2＝0⇒y ＝2a ≥c －a ⇒e ＝ca ≤3，又因为e >1，可得e 的取值范围为(1,3]．4．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离|MM 1|min ＝3－1＝2.二、填空题5．已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|PA |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，所以P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x >1)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 29－y 24＝1的左、右焦点，P ，Q 为C 上的点，且满足条件：①线段PQ 的长度是虚轴长的2倍；②线段PQ 经过F 2，则△PQF 1的周长为________．若只满足条件②，则△PQF 1的周长的最小值为________．解析：由题意得a ＝3，b ＝2，c ＝13，|PQ |＝4b ＝8.由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|QF 1|－|QF 2|＝6，△PQF 1的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PF 2|＋|QF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2(|PF 2|＋|QF 2|)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2|PQ |＝6＋6＋2×8＝28.若只满足条件②，△PQF 1的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PF 2|＋|QF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2(|PF 2|＋|QF 2|)＝12＋2|PQ |，当PQ ⊥x 轴时弦|PQ |最短，令x ＝13，则有y 2＝4×⎝⎛⎭⎫139－1＝169，解得y ＝±43，此时|PQ |＝83，所以△PQF 1的周长的最小值为12＋2×83＝523. 答案：28523三、解答题7．(2017·浙东北三校模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离为217. (1)求椭圆C 的方程；(2)若O 为坐标原点，过点O 作两条相互垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求|AB |的最小值．解：(1)由题意得椭圆的离心率e ＝c a ＝12，右焦点为(c,0)，又右焦点到直线x a ＋yb ＝1的距离为217，所以|bc －ab |a 2＋b 2＝217，又a 2＝b 2＋c 2，故a ＝2，b ＝3，c ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 的斜率不存在时，x 2＝x 1，y 1＝－y 2，且y 21＝x 21，又x 214＋y 213＝1，解得|x 1|＝127＝2217，即点O 到直线AB 的距离为2217.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆的方程联立消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(k 2＋1)·4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0，整理得7m 2＝12(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离为|m |k 2＋1＝127＝2217. 因为OA ⊥OB ，所以|OA |2＋|OB |2＝|AB |2≥2|OA |·|OB |，当且仅当|OA |＝|OB |时取等号． 由2217·|AB |＝|OA |·|OB |≤|AB |22得|AB |≥2×2217＝4217，即|AB |的最小值为4217.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－2，0)，B (2，0)，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为－12.(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设过点F (1,0)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且|PM |＝|PN |，求点P 的纵坐标的取值范围．解：(1)设动点E 的坐标为(x ，y )，依题意可知y x ＋2·y x －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．所以动点E 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1并整理得，(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.设MN 的中点为Q ，则x Q ＝2k 22k 2＋1，y Q ＝k (x Q －1)＝－k2k 2＋1，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.由题意可知k ≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 22k 2＋1.令x ＝0，解得y P ＝k 2k 2＋1＝12k ＋1k.当k >0时，因为2k ＋1k ≥22，所以0<y P≤122＝24，当且仅当k ＝22时等号成立；当k <0时，因为2k ＋1k ≤－22，所以0>y P ≥－122＝－24，当且仅当k ＝－22时等号成立．综上所述，点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤－24，24. 9.(2017·杭州模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，直线l ：y ＝x ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2(其中O 为坐标原点)，且k 1·k 2＝－14.(1)求p 的值；(2)如图，已知点M (x 0，y 0)为圆：x 2＋y 2－y ＝0上异于O 点的动点，过点M 的直线m 交抛物线C 于E ，F 两点．若M 为线段EF 的中点，求|EF |的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝x ＋1代入抛物线C ：x 2＝2py ，得x 2－2px －2p ＝0，则x 1x 2＝－2p .所以k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝x 1x 24p 2＝－12p ＝－14，所以p ＝2.(2)设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，直线m ：y ＝k (x －x 0)＋y 0，与抛物线C ：x 2＝4y 联立，得x 2－4kx ＋4kx 0－4y 0＝0，(*)则x 3＋x 4＝4k ＝2x 0，所以k ＝12x 0.此时(*)式为x 2－2x 0x ＋2x 20－4y 0＝0，所以x 3·x 4＝2x 20－4y 0.所以|EF |＝1＋k 2·|x 3－x 4|＝1＋k 2·(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝1＋x 204·16y 0－4x 20＝(4＋x 20)·(4y 0－x 20).又x 20＋y 20－y 0＝0，所以|EF |＝(4＋y 0－y 20)·(3y 0＋y 20)≤(4＋y 0－y 20)＋(3y 0＋y 20)2＝2＋2y 0≤4(y 0≤1)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4＋y 0－y 20＝3y 0＋y 20，y 0＝1，即y 0＝1时取等号．所以|EF |的最大值为4.三、解答题10．(2017·宁波模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (－2,0)与点(1,1)．(1)求椭圆的方程；(2)过P 点作两条互相垂直的直线PA ，PB ，交椭圆于A ，B . ①证明：直线AB 经过定点； ②求△ABP 面积的最大值．解：(1)由题意得⎝ ⎛4a 2＋0b 2＝1，1a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝43，椭圆的方程为x 24＋3y 24＝1.(2)①证明：由对称性知，若存在定点，则必在x 轴上，当k PA ＝1时，l PA ：y ＝x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＋3y 2＝4， ∴x 2＋3(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x ＝－1. 以下验证：定点为(－1,0)，由题意知，直线PA ，PB 的斜率均存在，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．则x 2＋3k 2(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x A ＝2－6k 21＋3k 2，y A ＝4k 1＋3k 2，同理x B ＝2k 2－6k 2＋3，y B ＝－4kk 2＋3， 则y A x A ＋1＝4k 3－3k 2＝y Bx B ＋1，得证． ②由于直线不与x 轴平行，设直线AB 方程为x ＝ty －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋3y 24＝1，x ＝ty －1，∴(t 2＋3)y 2－2ty －3＝0， ∴y A ＋y B ＝2tt 2＋3，y A y B ＝－3t 2＋3，S △PAB ＝12×1×|y A －y B |＝12×(y A ＋y B )2－4y A y B＝12×4t 2＋12t 2＋36t 2＋3＝4t 2＋9t 2＋3， 令4t 2＋9＝λ∈[3，＋∞)，则t 2＝λ2－94，∴S △PAB ＝λλ2－94＋3＝4λλ2＋3＝4λ＋3≤44＝1，当且仅当λ＝3，即t ＝0时取等号．11.(2017·杭州模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率e ＝32，过点P (1,0)的直线交椭圆E 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线x ＝3于M ，N 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)以线段MN 为直径的圆是否过定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意，a ＝2，e ＝c a ＝32，则c ＝3，故b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)过定点．设直线BC 的方程为x ＝ty ＋1(t ∈R)，点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 2＋4y 2＝4得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋4，y 1·y 2＝－3t 2＋4，所以x 1x 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1) ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＝4－4t 2t 2＋4，x 1＋x 2＝(ty 1＋1)＋(ty 2＋1)＝t (y 1＋y 2)＋2＝8t 2＋4，又k AB ＝y 1x 1＋2，直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理，N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，假设过定点Q (m,0)，则QM ―→·QN ―→＝⎝⎛⎭⎫3－m ，5y 1x 1＋2·⎝⎛⎭⎫3－m ，5y 2x 2＋2＝(3－m )2＋25y 1y 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(3－m )2＋25y 1y 2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝(3－m )2－7536＝0，m ＝3－536或m ＝3＋536， 即定点为⎝⎛⎭⎫3－536，0或⎝⎛⎭⎫3＋536，0.12．(2017·台州模拟)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点P (1,0)作斜率为k 的直线l ，且直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .(1)设点A (0,2)，k ＝1，求△AMN 的面积；(2)设点B (t,0)，记直线BM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2.问是否存在实数t ，使得对于任意非零实数k ，(k 1＋k 2)·k 为定值？若存在，求出实数t 的值及该定值；若不存在，请说明理由．解：(1)当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x －1，得x ＝0或x ＝85，当x ＝0时，y ＝－1，当x ＝85时，y ＝35，不妨设N (0，－1)，M ⎝⎛⎭⎫85，35.所以|AN |＝3.所以S △AMN ＝12×3×85＝125.(2)由题意知，直线MN 的方程为y ＝k (x －1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.由k 1＝y 1x 1－t ，k 2＝y 2x 2－t ，得(k 1＋k 2)·k ＝k ⎝⎛⎭⎫y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1－t ＋x 2－1x 2－t＝k 2[(x 1－t )(x 2－1)＋(x 2－t )(x 1－1)](x 1－t )(x 2－t )＝k 2[2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ]x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＝k 2(2t －8)k 2(4－8t ＋4t 2)＋t 2－4. 若2t －8＝0，则t ＝4，(k 1＋k 2)·k ＝0为定值． 若2t －8≠0，则当t 2－4＝0，即t ＝±2时，(k 1＋k 2)·k ＝2t －84－8t ＋4t 2为定值．所以当t ＝4时，(k 1＋k 2)·k ＝0； 当t ＝2时，(k 1＋k 2)·k ＝－1； 当t ＝－2时，(k 1＋k 2)·k ＝－13.。

由正弦定理、近曹定律和小角度近似得AF } _ /?] _ sin 斤 r } _1 1sin （i]-“）A -斤 （也）-1n-\如亠丄(1) (2)R 、 n-\光线PF 】射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心C 2 一定在端面顶点3的左方，C Q B 等于球面的半径/?2,如图复解18-1-1. 仿照上面对左端球电占折射的关系可得亟+丄 R 2 n -(3) 乂有 BF]=L-AF]由（2）、（3）、（4）式并代入数值可得= 5 cm即右端为半径等于5 cm 的向外凸的球面.2.设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过q,②过A,如图复解18-1-2 所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M,即为左端球血対此无限远物点成的像 点.现在求M 点的位置。

在中(4) (5)sin （兀-右） sin sin （^ -（/）{） 乂 nsin0； = sin0]已知空，处均为小用度，则冇R\1）nAM°、处1-刁 第十八届全国屮学生物理竞赛复赛试题参考解答一、参考解答1. 对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的 光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复 解18-1-1所示，图中q 为左端球面的球心.(7)与(2)式比较可知，AM « AF X ,即M位于过片垂直于主光轴的平而上.上而已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线.容易看出，从M 射出C?的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线(包括光线①、②)从玻璃棒射出的平行光线的方向。

此方向与主光轴的夹角即为血，由图复18-1-2 nJ'得01 _ G片=A§_R1(9)~C^~BF\-R2III (2)、(3)式可得~BF{-R2 _ R2(10)二、参考解答1.已知在海平面处，大气压强p(0) = 101.3xl03 Pa .如图复解18-2-1,在z = 5000 m处, 大气压强为”(5000) = 53xlO3 Pa o(1)图复解18-2-1此处水沸腾时的饱和蒸气压"w应等于此值.由图复解18-2-2可知，对应的温度即沸点为t} =82 °C (2)达到此温度吋锅内水开始沸腾，温度不再升高，故在5000m高山上，若不加盖压力锅，锅内温度最高可达82°C.2.由图复解18-2-2可知，在Z = 120°C时，水的饱和蒸气压p w(120°) = 198xl03 Pa ,而在海平面处，大气压强；7(O) = lOlxlO3 Pa.可见压力阀的附加压强为p s = p w(120°)-p(0)= 198x1(P - 101.3x1()3= 96.7x103 Pa (3)在5000m高山上，大气压强与压力阀的附加压强之和为p'=+ “(5000) =96.7X103+53X103= 149.7x 1(? Pa (4)若在25时阀被顶起，贝眦时的几应等于P'，即Pw = P f⑸由图复解18-2-2可知4= 112 °C (6)此时锅内水开始沸腾，温度不再升高，故按正确方法使用此压力锅，在5000m高山上锅内水的温度最高可达112°C.P/103Paf [P r-^0)]/lO3Pa0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130El复解18223.在未按正确方法使用压力锅时，锅内有空气，设加压力阀时，内部水蒸汽已饱和.由图复解18-2-2可知，在/ = 27°C时，题中已给出水的饱和蒸气压仏(27。