(江苏专用)2020年高考数学二轮复习 专题14圆锥曲线学案

画川高级中学高三 数学（体艺） 学案复习课题：圆锥曲线1〖导 学 过 程〗一、复习目标：掌握圆锥曲线的相关知识，能解决基础的相关问题二．知识整理：三、小题练习1. 直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______2. 双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______3. 已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____4. 短轴长为5，离心率32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________总结：四、典型例题例1设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7求这个椭圆方程【变式】：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆与点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .例2. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，12,F F 分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，123F PF π∠=，且12PF F ∆的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．五、课堂练习1. 已知短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程 ．2椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e=_________3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为。

9.4 直线与圆锥曲线重点集结1.直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线的地点关系可分为：订交、相切、相离．办理问题的常用方法,是将曲线方程与直线方程联立 ,由所得方程组的解的个数来决定 . 2.其余综合问题(1) 求参数的取值范围问题：主假如依据题中所给条件 ,成立起目标函数关系式或不等式 (组 ),而后经过求函数的值域或解不等式组获得参数的范围． (2) 定值或定点问题主要有两种解决方法：(1) 先猜后证 ,即从特点下手 ,估量出定值或定点来 ,再证明这个定值或定点与变量没关即可．(2) 直接推理与运算 ,消去变量 ,进而获得定值或定点来 .基础自测1.抛物线 y 2＝ 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分订交于点 A ， AK ⊥ l ，垂足为 K ，则△ AKF 的面积是 ________．2.假如直线 y ＝ kx － 1 与双曲线 x 2－ y 2＝ 1 没有公共点，则 k 的取值范围是 ____________．3.椭圆x22＋ y＝ 1 的一个焦点为 F 1，点 P 在椭圆上，假如线段PF 1 的中点 M 在 y 轴上，12 3那么点 M 的纵坐标是 ________．4.过点 0，－ 1的直线 l 与抛物线 y ＝－ x 2交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，则 → → 2 OA ·OB 的值为 ______.5.经过抛物线 y 2＝ 4x 焦点的直线l 交抛物线于 A 、B 两点，且 AB ＝ 8，则直线 l 的倾斜角的大小为 ________.考点研究【例 1】已知椭圆3C 经过点 A(1, ),两个焦点为 ( 1,0),(1,0) ．2(1)求椭圆 C 的方程；(2)E 、F 是椭圆 C 上的两个动点 ,假如直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数 ,证明直线 EF 的斜率为定值 ,并求出这个定值．【例 2】椭圆 C：x223，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.2＋y2＝ 1(a>b>0)的离心率为a b2(1) 求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 的左、右极点分别为 A，B，点 P 是直线点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证：直线x＝ 1 上的动点，直线MN 经过必定点 .PA 与椭圆的另一交22F1，【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x＋y＝ 1(a＞ b＞ 0)的左、右焦点分别为a2b2F 2，焦距为 2，一条准线方程为x＝ 2.P 为椭圆 C 上一点，直线PF 1交椭圆 C 于另一点 Q.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 P 的坐标为 (0， b)，求过 P， Q， F 2三点的圆的方程；→→1， 2→ →(3) 若F 1P＝λQF 1，且λ∈2，求 OP·OQ 的最大值 .热门研习1.若动圆的圆心在抛物线x 2=12y 上 ,圆与直线 y+3=0 相切 ,则此圆恒过定点 __________.2.抛物线 y=x 2 的一条切线与直线2x y+4=0 平行 ,则此切线方程为 ______________________.x 2 y 23. 若双曲线 2m + m 4 =1 的一条渐近线与直线 2x2y 3=0 垂直 , 则双曲线的离心变成____________.4.设抛物线 y 2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点 ,PA ⊥ l,A 为垂足 ,若直线 AF 的斜率为3,则 PF=_________ . x 2 y 25.过椭圆 C:a 2+b 2 =1(a>b>0)的左极点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 B,且点 B 在 x 轴上的1 <k< 1 射影恰巧为右焦点 ,若 ,则椭圆的离心率的范围为 _________ .3 22 y 2 → → → → 6. 设 F 1,F 2 分别是双曲线x9 =1 的左右焦点,若点P 在双曲线上,PF 1 PF 2 =0, 则| PF 1 +PF 2|=_________ .x 2 y 22,若抛物线 C 2:x 2=2py(p>0)的焦点到双曲线C 1 的7.已知双曲线 C 1 : 2b 2=1(a>b>0)C 1:的离心率为a渐近线的距离为 2,则抛物线 C 2 的方程为 _________ .x 2 y 28.若椭圆 4 + 2 =1 的一条弦恰巧被点 P(1,1)均分 ,则此弦所在的直线方程为_________ .x 2 y 2 a 29.设点 P 在椭圆 a 2+b 2=1(a>b>0)上 ,直线 l 的方程为 x= c ,且点 F 的坐标为 ( c,0),作 PQ ⊥ l,于点Q,若 P,F,Q 三点组成一个等腰直角三角形,则离心率为 _________ .x 2 y 210.椭圆 C: a 2+b 2=1(a>0,b>0)的左焦点为 F,右极点为 A,动点 M 为右准线上一点(异于右准线与 x2 9轴的交点 ),设线段 FM 交椭圆 C 于点 P,已知椭圆C 的离心率为 3,点 M 的横坐标为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程 .(2)设直线 PA 斜率为 k ,直线 MA 的斜率为 k,求 k k的取值范围 .121 211.如图，已知椭圆 C：x2＋y2＝ 1(a>1)的上极点为 A，右焦点为 F ，直线 AF 与圆 M： x2＋ y2 a2－6x－ 2y＋ 7＝ 0 相切 .(1) 求椭圆 C 的方程；→→(2) 若可是点 A 的动直线 l 与椭圆 C 订交于 P、Q 两点，且 AP·AQ＝ 0，求证：直线 l 过定点，并求出该定点 N 的坐标 .x212.如图 :设点 P 是椭圆 E: 4 ＋y2＝1上的随意一点(不一样于左、右极点A,B).(1)若椭圆 E 的右焦点为F,上极点为C,求以 F 为圆心且与直线AC 相切的圆的半径;10(2)设直线 PA,PB 分别交直线l:x= 3于点 M， N，求证： PN⊥ BM.。

【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高三数学《圆锥曲线》复习教案，希望能给大家带来帮助!90题突破高中数学圆锥曲线1.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。

(1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程;(2)(理)连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明;否则说明理由。

(文)若为x轴上一点,求证:2.如图所示，已知圆定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。

(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足的取值范围。

3.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且⑴求椭圆C的离心率;⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.4.设椭圆的离心率为e=(1)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.(2)求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M(2， )处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1OQ2.5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(- ，0)和F2( ，0)的距离之和为4.(1)求曲线的方程;(2)设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点)，求直线的方程.6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B.过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n).(Ⅰ)当m+n0时，求椭圆离心率的范围;(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切?证明你的结论.7.有如下结论：圆上一点处的切线方程为，类比也有结论：椭圆处的切线方程为，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.(1)求证：直线AB恒过一定点;(2)当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积8.已知点P(4，4)，圆C：与椭圆E：有一个公共点A(3，1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围.9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。

2022江苏高考数学二轮复习教学案（祥解）--圆锥曲线（含轨迹问题）本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B 级考点，其余差不多上A 级考点，但高考必考．在明白得定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，专门是圆锥曲线中的离心率运算(含范畴)．要能准确建模(方程或不等式)．1. 把握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；把握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．1. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．2.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．3.双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范畴是________．【例1】 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1) 求椭圆G 的方程； (2) 求△PAB 的面积． 【例2】 直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．【例3】 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若只是定点，请说明理由．【例4】 (2011·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：(x －1)2＋y 2＝16与点A(－1,0)，P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M 、N ，连结QM 、QN ，分别交直线x ＝t(t 为常数，且t ≠2)于点E 、F ，设E 、F 的纵坐标分别为y 1、y 2，求y 1·y 2的值(用t 表示)．1. (2011·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为__________．2.(2010·全国)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D 点，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．3.(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好通过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．4.(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范畴为________．5.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k.(1) 当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2) 当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3) 对任意k>0，求证：PA ⊥PB.6.(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2. (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求出F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．(2011·苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1) 求证：A 、C 、T 三点共线；(2) 假如BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求现在椭圆的方程和P 点坐标．(1) 证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0.(1分)AT ：x a 2c＋y b ＝1 ②，BF ：x c ＋y －b ＝1 ③，(3分) 联立①②③解得：交点C ⎝⎛⎭⎫2a 2ca 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得(4分)⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋(a 2－c 2)2(a 2＋c 2)2＝1，(5分)满足①式，则C 点在椭圆上，A 、C 、T 三点共线．(6分) (2) 解：过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，△OBF ∽△ECF.∵BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得⎝⎛⎭⎫43c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32b 2＝1，∴ a 2＝2c 2，b 2＝c 2.(7分)设P(x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2.(8分)现在C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC ＝12·2c·4c 3＝43c 2，(9分) 直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c|5＝x 0＋2y 0－2c5， S △APC ＝12d·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c ＝x 0＋2y 0－2c 3·c.(10分) 只需求x 0＋2y 0的最大值．(解法1)∵ (x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)(11分)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2，∴ x 0＋2y 0≤6c.(12分)当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c.(13分)(解法2)令x 0＋2y 0＝t ，代入x 2＋2y 20＝2c 2得(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0.(11分)Δ＝(－4t)2－24(t 2－2c 2)≥0，得t ≤6c.(12分) 当t ＝6c ，代入原方程解得：x 0＝y 0＝63c.(13分)∴ 四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23，(14分) ∴ c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，(15分)现在椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.(16分)第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)1. 已知方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范畴是________，若该方程表示双曲线，则m 的取值范畴是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞)2. 点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 1 ，F 2为椭圆的焦点，假如∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为________．【答案】 633. 已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．【答案】 x ＝－14. 设P 点在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则|PQ|的最大值是________．【答案】 1＋362 解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，因此只要求|CQ|的最大值．设Q(x ，y)，∴ |CQ|＝x 2＋(y －2)2＝9(1－y 2)＋(y －2)2＝－8y 2－4y ＋13， ∵ －1≤y ≤1，∴ 当y ＝－14时，|CQ|max ＝272＝362，∴ |PQ|max ＝1＋362.5. (2011·南京二模)如图，椭圆C ：x 216＋y 24＝1的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB 是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点． (1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S(不同于B)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．(1) 证明：由题意得A(4,0)，B(0,2)，D(0，－2)，E(2,0)，P(4,1)． 因此直线DE 的方程为y ＝x －2， 直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝165，y ＝65，因此直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫165，65.因为⎝⎛⎭⎫165216＋⎝⎛⎭⎫6524＝1，因此点⎝⎛⎭⎫165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上． 即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上． (2) 解：直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16k 11＋4k 21，y ＝2－8k 211＋4k 21，因此点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21. 因为k 1k 2＝－14，因此直线BS 的斜率k 2＝－14k 1， 直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－14k 1x ＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16k 11＋4k 21，y ＝8k 21－21＋4k 21.因此点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21. (若写成“同理可得点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21”也能够) 因此R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O.6. (2011·扬州三模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24 (c 是椭圆的半焦距)相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N.(1) 若椭圆C 通过两点⎝⎛⎭⎫1，423、⎝⎛⎭⎫332，1，求椭圆C 的方程；(2) 当c 为定值时，求证：直线MN 通过一定点E ，并求OP →·OE →的值(O 是坐标原点)； (3) 若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范畴． 解：(1) 令椭圆mx 2＋ny 2＝1，其中m ＝1a 2，n ＝1b 2，得⎩⎨⎧m ＋329n ＝1，274m ＋n ＝1，因此m ＝19，n ＝14， 即椭圆为x 29＋y 24＝1. (2) 直线AB ：x －a ＋yb ＝1，设点P(x 0，y 0)，则OP 的中点为⎝⎛⎭⎫x 02，y 02，因此点O 、M 、P 、N 所在的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝x 20＋y 24，化简为x 2－x 0x ＋y 2－y 0y ＝0，与圆x 2＋y 2＝c 24作差，即有直线MN ：x 0x ＋y 0y ＝c 24. 因为点P(x 0，y 0)在直线AB 上，因此x 0－a ＋y 0b ＝1，因此x 0⎝⎛⎭⎫x ＋b a y ＋⎝⎛⎭⎫by －c 24＝0，因此⎩⎨⎧x ＋ba y ＝0，by －c24＝0，得x ＝－c 24a ，y ＝c 24b ，故定点E ⎝⎛⎭⎫－c 24a ，c 24b ，OP →·OE →＝⎝⎛⎭⎫x0，b a x 0＋b ·⎝⎛⎭⎫－c 24a ，c 24b ＝c 24.(3) 直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24(c 是椭圆的半焦距)相离， 则ab a 2＋b 2＞c2，即4a 2b 2＞c 2(a 2＋b 2)，4a 2(a 2－c 2)＞c 2(2a 2－c 2)，得e 4－6e 2＋4＞0.因为0＜e ＜1，因此0＜e 2＜3－ 5.①连结ON 、OM 、OP ，若存在点P 使△PMN 为正三角形，则在Rt △OPN 中，OP ＝2ON＝2r ＝c ，因此aba 2＋b 2≤c ，a 2b 2≤c 2(a 2＋b 2)，a 2(a 2－c 2)≤c 2(2a 2－c 2)，得e 4－3e 2＋1≤0. 因为0＜e ＜1，因此3－52≤e 2＜1.②由①②，得3－52≤e 2＜3－5，因此5－12≤e ＜10－22. 基础训练1. 3或2532. 32 3. 26＋44. [2－1,1) 解析：∵ PF 1PF 2＝e, ∴ PF 1＝ePF 2＝e(2a －PF 1)，PF 1＝2ae1＋e ，又a －c ≤PF 1≤a ＋c ，∴ a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，a(1－e)≤2ae 1＋e ≤a(1＋e)，1－e ≤2e1＋e ≤1＋e ，解得e ≥2－1.又0＜e ＜1, ∴ 2－1≤e ＜1.例题选讲例1 解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 因此椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，因此PE ⊥AB.因此PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.现在方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.因此y 1＝－1，y 2＝2. 因此|AB|＝3 2.现在，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，因此△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92. 例2 解：(1) 由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3. 因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，因此812＋1b 2＝1，解得b ＝3， 故所求椭圆方程为x 212＋y 23＝1.(2) 如图设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F(3,0)．由AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2，① 又A 、B 在椭圆C 上，因此⎩⎨⎧(－3x 2＋12)212＋(－3y 2)23＝1，x 2212＋y223＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝103，y 2＝23.因此B ⎝⎛⎭⎫103，23，代入①得A 点坐标为(2，－2)．因为OA →·AB →＝0，因此OA ⊥AB. 因此过O 、A 、B 三点的圆确实是以OB 为直径的圆， 其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.变式训练 已知点P(4,4)，圆C ：(x －m)2＋y 2＝5(m<3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1) 求m 的值与椭圆E 的方程；(2) 设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范畴．解：(1) 点A 坐标代入圆C 方程，得(3－m)2＋1＝5.∵ m ＜3，∴ m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝5.设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0.∵ 直线PF 1与圆C 相切，∴ |k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去． 当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴ c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0). 2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2.椭圆E 的方程为：x 218＋y 22＝1.(2) AP →＝(1,3)，设Q(x ，y)，AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵ x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y)2＝18，而x 2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴ －3≤xy ≤3. 则(x ＋3y)2＝x 2＋(3y)2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范畴是[0,36]. x ＋3y 的取值范畴是[－6,6]．∴ AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范畴是[－12,0]. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)例3 解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 方程为y ＝x ＋2， 代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0， 解之得x 1＝－2，x 2＝－65，∴ M ⎝⎛⎭⎫－65，45.(2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1， 化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵ 此方程有一根为－2，∴ x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0.∵ k MP ＝y Mx M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可运算得k PN ＝5k4－4k 2.∴ 直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0.变式训练 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其焦点在圆x 2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆的方程；(2) 设A 、B 、M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cosθOA →＋sinθOB →.① 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； ② 求OA 2＋OB 2.(1) 解：依题意，得c ＝1.因此a ＝2，b ＝1.因此所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2) ①证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②.又设M(x ，y)，因OM →＝cosθOA →＋sinθOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cosθ＋x 2sinθ，y ＝y 1cosθ＋y 2sinθ. 因M 在椭圆上，故(x 1cosθ＋x 2sinθ)22＋(y 1cosθ＋y 2sinθ)2＝1. 整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cosθsinθ＝1.将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得x 1x 22＋y 1y 2＝0. 因此k OA k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．② 解：(y 1y 2)2＝⎝⎛⎭⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1. 又⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2.因此OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3.例4 解：(1) 连结RA ，由题意得RA ＝RP ，RP ＋RB ＝4， 因此RA ＋RB ＝4＞AB ＝2，由椭圆定义，得点R 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2) 设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，－y 0)，QM 、QN 的斜率分别为k QM 、k QN ， 则k QM ＝y 0x 0－2，k NQ ＝y 0x 0＋2，因此直线QM 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线QN 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x －2)． 令x ＝t(t ≠2)，则y 1＝y 0x 0－2(t －2)，y 2＝y 0x 0＋2(t －2)，又(x 0，y 0)在椭圆x 204＋y 203＝1上，因此y 20＝3－34x 20.因此y 1·y 2＝y 20x 20－4(t －2)2＝⎝⎛⎭⎫3－34x 20(t －2)2x 20－4＝－34(t －2)2，其中t 为常数且t ≠2.高考回忆1. x 29－y 227＝1 解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y 2λ＝1.因此c 2＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，因此λ＝27.因此双曲线的方程x 29－y 227＝1.2. 33 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，设D(x 2，y 2)，B(0，b)，C(c,0)，BF →＝(c ，－b)，FD →＝(x 2－c ，y 2)⎩⎨⎧x 2＝32c ，y 2＝－b 2.∴ 1a 2·94c 2＋1b 2·b 24＝1，∴ 94e 2＝34，∴ e ＝33.3. x 25＋y 24＝1 解析：作图可知一个切点为(1,0)，因此椭圆c ＝1.分析可知直线AB 为圆x 2＋y 2＝1与以⎝⎛⎭⎫1，12为圆心，12为半径的圆的公共弦．由(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝14与x 2＋y 2＝1相减得直线AB 方程为：2x ＋y －2＝0.令x ＝0，解得y ＝2，∴ b ＝2，又c ＝1，∴ a 2＝5，故所求椭圆方程为：x 25＋y 24＝1.4. (1，2) 解析：由题可知A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ，c －a 2c <ab c ，∴ b<a ，∴ c 2－a 2<a 2，∴ c a <2，即1<e< 2.5. 解：(1) 由题意知M(－2,0)，N(0，－2)，M 、N 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22， 直线PA 平分线段MN ，又直线PA 通过原点，因此k ＝22.(2) 直线PA ：y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋2y 2＝4，得P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43，C ⎝⎛⎭⎫23，0，AB 方程：y －43＝x －23－23－23，即：x －y －23＝0，因此点P 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－232＝223.(3) (解法1)由题意设P(x 0，y 0)，A(－x 0，－y 0)，B(x 1，y 1)，则C(x 0,0)，∵ A 、C 、B 三点共线，∴ k AC ＝k AB ，y 02x 0＝y 1＋y 0x 1＋x 0，又因为点P 、B 在椭圆上，∴ x 204＋y 202＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1＝－x 0＋x 12(y 0＋y 1)，∴ k PA k PB ＝y 0x 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x 0＋x 12(y 0＋y 1)＝－(y 1＋y 0)(x 0＋x 1)(x 1＋x 0)(y 0＋y 1)＝－1，∴ PA ⊥PB.(解法2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点T(x 0，y 0)，则P(－x 1，－y 1)，C(－x 1,0)，∵ A 、C 、B 三点共线，∴ y 2x 2＋x 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 12x 1＝k AB ，又因为点A 、B 在椭圆上，∴ x 224＋y 222＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：y 0x 0＝－12k AB ，∴ k OT k PA ＝y 0x 0·y 1x 1＝－12k AB ×2k AB ＝－1，∵ OT ∥PB ，∴ PA ⊥PB. (解法3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21＋2k 2，－2k 1＋2k 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，0， k AC ＝2k1＋2k 241＋2k 2＝k 2，直线AC ：y ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 1＋2k 2，代入x 24＋y 22＝1得到⎝⎛⎭⎫1＋k 22x 2－2k 21＋2k 2x －4＋6k 21＋2k 2＝0，解得x B ＝4＋6k 2(2＋k 2)1＋2k 2，k PB ＝y B －y P x B －x P ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x B－21＋2k 2x B －21＋2k 2＝－4k 4k 2＝－1k .∴ k PA ·k PB ＝k·⎝⎛⎭⎫－1k ＝－1，∴ PA ⊥PB. 点评：本题要紧考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式，直线的垂直关系的判定．另外还考查了解方程组，共线、点在曲线上的问题．字母运算的运算求解能力， 考查推理论证能力．(1)(2)属容易题；(3)是考查学生灵活运用、数学综合解题能力，属难题．6. 解：(1) 由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2) 设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得 (x ，y)＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，因此x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，因此x 2＋2y 2＝20.因此P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．。

圆锥曲线计算技巧（2）--直线过圆锥曲线上一已知点1、 设椭圆22413y x +=的右顶点为A ，直线:1l x =-上两点P,Q 关于x 轴对称，直线AP与椭圆相交于点B （点B 异于点A ），直线BQ 与x 轴交于点D 。

若APD ∆的面积为2求直线AP 的方程。

2、 已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F 。

设过点(9,)T m 的直线,TA TB 与椭圆分别交于点M ，N ，其中0m >。

求证：直线MN 必过x 轴上一定点（其坐标与m 无关）。

3、 已知椭圆2222154x y c c+=的上顶点为B ，左焦点为F 。

设直线BF 与椭圆交于点P （点P 异于点B ），过点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （点Q 异于点B ），直线PQ 与y 轴交于点M ，||||PM MQ λ=。

（1） 求λ的值；（2） 若||sin 9PM BQP ∠=，求椭圆的方程。

4、 已知椭圆2222143x y c c+=的右顶点为A ，左焦点为F ，点E 的坐标为(0,)c 。

设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 之间的距离为c ，四边形PQNM 面积为3c 。

（1） 求直线FP 的斜率；（2） 求椭圆的方程。

5、 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆短轴长为4，离心率为5。

（1） 求椭圆方程；（2） 设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若||||ON OF =，且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率。

6、 点P(0,-1)是椭圆221:14x C y +=的一个顶点，圆222:4C x y +=。

12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 与圆2C 交于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D 。

圆锥曲线的综合问题★知识梳理★1.直线与圆锥曲线C 的位置关系：将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)交点个数：①当 a ＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。

(2) 弦长公式： 2.对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。

3.求动点轨迹方程：①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。

★重难点突破★重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题1：已知点1F 为椭圆15922=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为 . 点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将||1PF 转化为||2PF ，结合图形，||||6||||21PF PA PF PA -+=+，当2F A P 、、共线时最小，最小值为2-6★热点考点题型探析★考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题[例1 ] 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线28yx =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (－2 , 0)，于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+，4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=联立222228,(48)40.(2),y x k x k x k y k x ⎧=⇒+-+=⎨=+⎩ 其判别式为2242(48)1664640k k k ∆=--=-+≥，可解得 11k -≤≤，应选C.【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对∆进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论【新题导练】1. （09摸底）已知将圆228x y +=上的每一点的纵坐标压缩到原来的12,对应的横坐标不变,得到曲线C ；设)1,2(M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点. (1)求曲线C 的方程；(2)求m 的取值范围.[解析]（1）设圆上的动点为)','('y x P 压缩后对应的点为),(y x P ，则⎩⎨⎧==yy xx 2''，代入圆的方程得曲线C 的方程：12822=+y x （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m,又21=OMK , ∴直线l 的方程为m x y +=21. 由221,2 1.82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 得 222240x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，∴22(2)4(24)0,m m ∆=--> 解得220m m -<<≠且.∴m 的取值范围是2002m m -<<<<或. 题型2：与弦中点有关的问题[例2]（08韶关调研）已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程; (Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设(,)M x y ， 因为2AM BMk k ⋅=-,:()22221x y x +=≠±(Ⅱ) 设1122(,),(,)C x y D x y 当直线l ⊥x 轴时,l 的方程为12x =,则11(),(,2222C D ,它的中点不是N ,不合题意 设直线l 的方程为11()2y k x -=-将1122(,),(,)C x y D x y 代入()22221x y x +=≠±得 221122x y +=…………(1) 222222x y += (2)(1)－(2)整理得:12121212122()12()212y y x x k x x y y ⨯-+==-=-=--+⨯直线l 的方程为111()22y x -=--即所求直线l 的方程为230x y +-= 解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11(,(,2222C D , 其中点不是N ,不合题意.故设直线l 的方程为11()2y k x -=-, 将其代入()22221x y x +=≠±化简得222(2)2(1)(1)2022k k k x k x ++-+--=由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ⎧--+-->⎪⎪⎪-⎪+=-⎨+⎪⎪--⎪⋅=⎪+⎩,又由已知N 为线段CD 的中点,得122(1)222kk x x k -+=-+12=,解得12k =-,将12k =-代入(1)式中可知满足条件.此时直线l 的方程为111()22y x -=--,即所求直线l 的方程为230x y +-=【名师指引】通过将C 、D 的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ 的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁 【新题导练】2.椭圆141622=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程。

2019-2020学年高考数学总复习（圆锥曲线综合）教学案 苏教版【知识与方法】1、若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个2、抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个3、斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为 ( )A ．2B.455C.4105D.81054、已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 ( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 25、已知对∀k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是6、已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA |>|FB |，则|FA |与|FB |的比值等于________．7、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率e 的最大值为________． 【理解与应用】8、已知动圆过定点(2,0)，且与直线x ＝－2相切． (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点(0,2)，并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足OP ·OQ ＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．9、如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M 点的坐标为(2，－2p )时，|AB |＝410.求此时抛物线的方程；10、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．华侨城中学2011年高考数学总复习教学案（教师版）复习内容：圆锥曲线综合【知识与方法】1、若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 解析：由直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点得4m 2＋n2>2，m 2＋n 2<4，点(m ，n )表示的区域在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2个．答案：B 2、抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个解析：由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆． 答案：C3、斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为 ( )A ．2B.455C.4105D.8105解析：设椭圆截直线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5＝425 5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.答案：C 4、已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 ( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1，得AB 的中点M (－12，－12＋b )，又M (－12，－12＋b )在直线x ＋y ＝0上可求出b ＝1，∴x 2＋x －2＝0，则|AB |＝1＋12(－1)2－4×(－2)＝3 2.答案：C5、已知对∀k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5) 解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点，只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴1m≤1，又m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.答案：C6、已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA |>|FB |，则|FA |与|FB |的比值等于________．解析：F (1,0)，∴直线AB 的方程为y ＝x －1.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x⇒x 2－6x ＋1＝0⇒x ＝3±2 2.∵|FA |>|FB |，由抛物线定义知A 点的横坐标为3＋22，B 点的横坐标为3－2 2.|FA ||FB |＝x A ＋1x B ＋1＝4＋224－22＝2＋22－2＝6＋422＝3＋2 2.答案：3＋2 2 7、已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率e 的最大值为________．解析：设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，∴cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2. ∵cos θ∈[－1,1)，∴1＜e ≤53.答案：538、已知动圆过定点(2,0)，且与直线x ＝－2相切． (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点(0,2)，并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足OP ·OQ ＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)如图，设M 为动圆圆心，F (2，0)，过点M 作直线x ＝－2的垂线，垂足为N ，由题意知：|MF |＝|MN |，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线， 所以动圆圆心轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题可设直线l 的方程为x ＝k (y －2)(k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k (y －2)y 2＝8x，得y 2－8ky ＋16k ＝0，Δ＝(－8k )2－4×16k >0，解得k <0或k >1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝16k ，由OP ·OQ ＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即k 2(y 1－2)(y 2－2)＋y 1y 2＝0，整理得：(k 2＋1)y 1y 2－2k 2(y 1＋y 2)＋4k 2＝0，代入得16k (k 2＋1)－2k 2·8k ＋4k 2＝0，即16k ＋4k 2＝0， 解得k ＝－4或k ＝0(舍去)，所以直线l 存在，其方程为x ＋4y －8＝0.9、如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M 点的坐标为(2，－2p )时，|AB |＝410.求此时抛物线的方程；解答：(1)证明：由题意设A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )，x 1<x 2，M (x 0，－2p )．由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，得y ′＝x p ，所以k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p.直线MA 的方程为y ＋2p ＝x 1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p (x －x 0)．所以x 212p ＋2p ＝x 1p(x 1－x 0) ①x 222p ＋2p x 2p (x 2－x 0)．②由①、②得x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x 1＋x 22，即2x 0＝x 1＋x 2. 所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．(2)由(1)知，当x 0＝2时，将其代入①、②并整理得：x 21－4x 1－4p 2＝0，x 22－4x 2－4p 2＝0， 所以x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2，又k AB ＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 1＋x 22p ＝x 0p ，所以k AB ＝2p.由弦长公式得|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4p216＋16p 2.又|AB |＝410，所以p ＝1或p ＝2，因此所求抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y . 10、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值． 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63，a ＝3，∴b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.②当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知|m |1＋k2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0) ≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝ 3.综上所述，|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值：S max ＝12×|AB |max ×32＝32.11、直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 不同两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是________．解析：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－4(k ＋2)]2－4×k 2×4＞0，x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝2×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2.答案： 212、倾斜角为π4的直线交椭圆x 24＋y 2＝1于A 、B 两点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．解析：设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 214＋y 21＝1，①x 224＋y 22＝1，②①－②得14(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③又直线AB 的斜率k ＝tan π4＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 1－y 2＝x 1－x 2.④由中点坐标公式得x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，即x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .⑤把④⑤代入到③中得x ＝－4y ，∴直线方程为x ＋4y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＋4y ＝0，得x 2＝165.∴x 1＝－455，x 2＝455.∴点M 的轨迹方程为x ＋4y ＝0(－455<x <455)．答案：x ＋4y ＝0(－455<x <455)。

第2章 圆锥曲线与方程1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 椭圆双曲线抛物线几何 条件 与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准 方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px (p >0)图形顶点 坐标 (±a,0) (0，±b ) (±a,0)(0,0)对称轴 x 轴，长轴长2a ； y 轴，短轴长2bx 轴，实轴长2a ； y 轴，虚轴长2bx 轴 焦点 坐标 (±c,0)c ＝a 2－b 2(±c,0)c ＝a 2＋b 2 (p2，0) 离心率 0<e <1，e ＝c ae >1，e ＝cae ＝1 准线 x ＝±a 2cx ＝±a 2cx ＝－p 2渐近 线y ＝±b ax(1)曲线与方程：如果曲线C 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．(2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e ；当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆；当e >1时，圆锥曲线是双曲线；当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．3．直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，与圆锥曲线D 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，fx ，y ＝0，可得(消去y )ax 2＋bx ＋c ＝0(*)．(1)当a ≠0时，若关于x 的方程(*)的判别式Δ>0，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有交点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切．(2)当a ＝0时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个交点． 1．数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单．例1 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________． 答案 (1,3] 解析 如图所示，由PF 1＝2PF 2知P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ， 又PF 1＝2PF 2， ∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos∠F 1PF 2<1，∴－1≤54－e24<1，由e >1，解得1<e ≤3.跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若AF ，BF ，CF 成等差数列，则下列说法正确的是________． ①x 1，x 2，x 3成等差数列 ②y 1，y 2，y 3成等差数列 ③x 1，x 3，x 2成等差数列 ④y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 ①解析 如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知： AF ＝AA ′，BF ＝BB ′，CF ＝CC ′.∵2BF ＝AF ＋CF ， ∴2BB ′＝AA ′＋CC ′.又∵AA ′＝x 1＋p 2，BB ′＝x 2＋p 2，CC ′＝x 3＋p2，∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.2．分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论．例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±34x ，求此双曲线的离心率．解 当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得b a ＝34，∵c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋b2a 2＝1＋b 2a 2＝2516，∴双曲线的离心率e ＝54；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝53.故双曲线的离心率为54或53.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝63. 解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知得a ＝2b .①∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b2＝1.②由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. (2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3.又c a ＝63，∴c ＝ 6. ∴b 2＝a 2－c 2＝3.此时椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3.又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.3．函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口．用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器．我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位．在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．例3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a . 直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.又AB ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b，∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b .②将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， 且直线AB 的斜率k ＝－1， ∴AB ＝k 2＋1x 1－x 22＝k 2＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b .∵AB ＝22， ∴2·4b 2－4a ＋b b －1a ＋b ＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b.∵OC 的斜率为22， ∴a b ＝22，将其代入①式得，a ＝13，b ＝23. ∴所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1.跟踪训练3 若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________.答案 3解析 由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532(a >0)，得a ＝3.4．化归与转化思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想．一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式．转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性．例4 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA ＋MF 取最小值时，点M 的坐标为________． 答案 (12，－2)解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知MF ＝ME . 当点M 在抛物线上移动时，MF ＋MA 的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时，A ，M ，E 共线，此时ME ＋MA 最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ，得x ＝12，∴M (12，－2)．跟踪训练4 已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． (1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当AM ＝AN 时，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0， 化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1.得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又AM ＝AN ，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ⅱ)当k ＝0时，AM ＝AN ，∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1)．1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点．2．圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查．3．虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线．考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是填空题，也可以是解答题．4．考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程．5．对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．。