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而当 x 趋于 0时 , 平均变化率就趋于函数 化率 , 瞬时变化率刻画的是函
数在一点处变化的快慢
分析推导
设函数 y f ( x ), 当自变量 x 从 x 0 变到 x1时 , 函数值从 f ( x 0 ) 变到 f ( x1 ), 函数值 y 关于 :x 的平均变化率为 这个值称为 当 x 趋于 x 时 ,
lim
x1 x 0
.
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
x 0
lim
f ( x0 x ) f ( x0 ) x
lim
f x
x 0
,
我们称它为函数
y f ( x )在 x x 0
x x0
处的导数 , 记作 f ( x 0 )或 y f ( x 0 ) lim
x 0
,即 :
f ( x0 x ) f ( x0 ) x
例题讲解
例1一条水管中流过的水量 f ( 2 ), 并解释它的实际意义 y (单位 : m )时间 x (单位 : s )
3
的函数 y f ( x ) 3 x .求函数 y f ( x ) 在 x 2 处的导数 .
3 x x
当 x 趋于 2时 , 即 x 趋于 0 , 平均变化率趋于
3, 所以
导数 f ( 2 ) 表示当 x 2 s 时水量的瞬时变化率 的瞬时速度 .也就是如果水管中的水 时速度流动的话
, 即水流
以 x 2 s 时的瞬 3m .
3
, 每经过 1s , 水管中流过的水量为
例 2 一名食品加工厂的工人 生产的食品数量
1 0
y
f ( x1 ) 平均变化率的极限 . ) f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x0 x . x x1 x 0 x 个固 y f ( x ) 在 x 0点的瞬时变
当 x1趋于 x 0时 , x 趋于 0时 , 如果平均变化率趋于一 定的值 , 那么这个值就是函数 化率 .
我们用它来刻画函数值
对于一般函数 y f ( x ), 在自变量 x 从 x 0 变到 x1的 过程中 , 若设 x x1 x 0 , 则函数的平均变化率是 y x f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0 f ( x0 x ) f ( x0 ) x . 在 x 0点的瞬时变 . :
1h 的时候 ,
其生产速度 (即工作效率 )为 4 kg / h.也就是说 , 如果保持这一生产速度 4 kg 的食品 . , 那么他每时可以生产
f ( 3 ) 3 . 5 表示该工人上班后工作
3 h 的时候 ,
其生产速度为 3 . 5 kg / h .也就是说 , 如果保持这 一生产速度 , 那么他每时可以生产 3 . 5 kg 的食品 .
上班后开始连续工作
,
y (单位 : kg )是其工作时间 x (单位 : h )
的函数 y f ( x ).假设函数 y f ( x ) 在 x 1和 x 3处 的导数分别为 : f (1) 4 和 f ( 3 ) 3 . 5, 试解释它们 的实际意义 .
解 : f (1) 4 表示该工人上班后工作
解 : 当 x 从 2 变到 2 x 时 , 函数值从 3 2 变 到 3 ( 2 x ), 函数值 y 关于 x 的平均变化率为 f (2 x ) f (2) x f ( 2 ) 3 m / s .
3
: 3 ( m / s ).
3
ห้องสมุดไป่ตู้
3( 2 x ) 3 2 x
化 x 2 x1称作自变量的改变量 以表示为函
,
记作 x , 函数值的变化 f ( x 2 ) f ( x1 ), 称作函数值的改 变量 , 记作 y .这样 , 函数的平均变化率就可 数值的改变量与自变量 y x f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1 . 在区间 [ x1 , x 2 ]上变化的快慢 . 的改变量之比 , 即 :
解 : f (10 ) 1 . 5 表示服药后 10 min 时 , 血液中药物 浓度上升的速度为 1 .5 g /( mL min), 也就是说 , 如
果保持这一速度 , 每经过 1分钟时间 , 血液中的药 物浓度将上升 1 . 5 g / mL .
f (100 ) 0 . 6 表示服药后 100 min 时 , 血液中药物浓 度下降的速度为 0 . 6 g /( mL min), 也就是说 , 如果保 持这一速度 , 每经过 1分钟时间 , 血液中的药物浓度 将下降 0 . 6 g / mL .
在数学中 , 称瞬时变化率为函数 f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0
y f ( x ) 在点 x 0点 f ( x0 x ) f ( x0 ) x
的导数 , 通常用符号 f ( x 0 ) 表示 , 记作 : f ( x 0 ) lim
x1 x 0
例 3服药后 , 人体血液中的药物浓度
y (单位 :
g / mL )是时间 t (单位 : min) 的函数 y f ( t ),
假设函数 y f ( t ) 在 t 10 和 t 100 处的导 数分别为 f (10 ) 1 . 5 和 f (100 ) 0 . 6 , 试解 释它们的实际意义 .
新课程 新思想 新理念
什么是平均变化率?什么是瞬时变化率?
对一般的函数 y f ( x ) 来说 , 当自变 量 x 从 x1变为 x 2时 , 函数值从 f ( x1 ) 变为 f ( x 2 ), 它的平均变化率为 f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1 . :
通常我们把自变量的变
课堂练习
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？ 解：取一小段时间：［3,3+△t] 1 9 2－ △Ｓ= g(3+△t) g
△Ｓ V = △t
2
物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= 2 gt2,
g 2
2
(6+△t)
解：取一小段时间：［3,3+△t] △Ｓ=
1 2
g(3+△t)2－
9 2
g
△Ｓ V = △t
g 2
(6+△t)
当△t
0时，v
3g =29.4
１．平均速度 ２．平均变化率 ３．导数
瞬时速度； 瞬时变化率；
f(x0+△x)－f(x0) lim f’(x0)= △x 0 △x
