高数导数的概念PPT课件
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高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件
求 f 0
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
导数的概念-课件-导数的概念
导数的计算 练习
通过计算导数的练 习，我们可以巩固 导数的基本计算方 法。
导数与几何 问题的练习
通过几何问题的练 习，我们可以将导 数与图形之间的关 系运用到实际问题 中。
导数与极值 的练习
通过极值问题的练 习，我们可以运用 导数的概念来解决 优化问题。
导数与凹凸 性的练习
通过凹凸性问题的 练习，我们可以运 用导数的凹凸性判 定方法来分析函数 图像。
2 作用
导数用于研究函数的局部特性、极值、凹凸性和切线斜率等。
3 符号与表示方法
导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示，其中f为函数，x为自变量。
导数的定义
导数的定义涉及函数的极限，几何和物理意义的理解。通过导数的定义，我们能够深入了解导数的本质 和作用。
函数的极限与导数 的定义
通过极限的概念，导数的定 义表达了函数在某一点的切 线斜率的极限值。
总结
导数作为数学的重要概念，具有广泛的应用前景和未来发展趋势。通过深入理解导数的概念和应用，我 们能够提升数学思维和问题解决能力。
参考文献
计算数学导论，陈红，2019 导数在现代物理中的应用，张立，2020 从函数到导数，王海，2018
导数的概念-课件-导数的 概念
导数的概念课件将带领我们深入探索导数的世界。我们将了解导数的定义、 计算方法和应用，以及导数在几何和物理中的意义。
什么是导数
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的极小变化量与自变量的极小变化量之间的关系。 导数帮助我们理解函数的变化规律。
1 定义
导数是函数变化率的极限，衡量了函数在某一点上的变化速度。
导数的几何意义
导数代表了函数图像在某一 点的切线斜率，可以帮助我 们理解函数的曲线特征。
高中数学-导数的概念课件
15
(1)求函数 y＝ x在点 x＝1 处的导数；
(2)求函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． [解析] (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1 1＋Δx＋1.
liΔmx→0 1＋1Δx＋1＝12，所以 y′|x＝1＝12.
(2)y′|x＝x0
＝liΔmx→0
(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x20＋ax0＋b) Δx
f[x0＋(－k)]－f(x0) －k
＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选 A.
35
• 二、填空题 • 4． 自由 落体运 动在 t＝ 4s的 瞬 时速度 是
________． • [答案] 39.2m/s
[解析] s＝12gt2
ΔΔst＝12g(t＋ΔΔt)t2－12gt2＝gt＋12g·Δt
16
＝liΔmx→0
x20＋2x0Δx＋(Δx)2＋ax0＋aΔx＋b－x20－ax0－b Δx
＝liΔmx→0
2x0Δx＋aΔx＋(Δx)2 Δx
＝liΔmx→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
17
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
21
已知 f′(x0)＝A，则 liΔmx→0 f(x0－2ΔΔxx)－f(x0)＝____.
[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
• [答案] －2A
22
[例 4] 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：
(1)求函数 y＝ x在点 x＝1 处的导数；
(2)求函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． [解析] (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1 1＋Δx＋1.
liΔmx→0 1＋1Δx＋1＝12，所以 y′|x＝1＝12.
(2)y′|x＝x0
＝liΔmx→0
(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x20＋ax0＋b) Δx
f[x0＋(－k)]－f(x0) －k
＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选 A.
35
• 二、填空题 • 4． 自由 落体运 动在 t＝ 4s的 瞬 时速度 是
________． • [答案] 39.2m/s
[解析] s＝12gt2
ΔΔst＝12g(t＋ΔΔt)t2－12gt2＝gt＋12g·Δt
16
＝liΔmx→0
x20＋2x0Δx＋(Δx)2＋ax0＋aΔx＋b－x20－ax0－b Δx
＝liΔmx→0
2x0Δx＋aΔx＋(Δx)2 Δx
＝liΔmx→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
17
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
21
已知 f′(x0)＝A，则 liΔmx→0 f(x0－2ΔΔxx)－f(x0)＝____.
[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
• [答案] －2A
22
[例 4] 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：
《高数四导数与微分》课件
以通过对弦的长度进行微分得到。
微分在近似计算中的应用
泰勒级数展开
微分可以用来将一个复杂的函数 展开成泰勒级数，从而可以用简 单的多项式来近似复杂的函数。 这在近似计算中非常有用。
误差估计
通过微分，可以估计函数值近似 值的误差大小。例如，在求函数 在某一点的近似值时，可以通过 微分来估计误差的大小。
常数函数的导数
对于常数函数y=c，其导 数为dy/dx=0。
幂函数的导数
对于函数y=x^n，其导数 为dy/dx=nx^(n-1)。
指数函数的导数
对于函数y=a^x，其导数 为dy/dx=a^x*ln(a)。
对数函数的导数
对于函数y=log_a(x)，其 导数为dy/dx=(1/x*ln(a)) 。
复合函数的导数
01 复合函数求导法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
02 链式法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
03 幂函数的链式法则
对于幂函数u=g(x)=x^n，其导数为 du/dx=nx^(n-1)。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，即函 数图像上某一点处的切线与x轴正方向 的夹角的正切值。
详细描述
对于可导函数f(x)，其在任意点x处的 导数f'(x)表示函数图像上该点处的切 线斜率。具体来说，当函数在某点x处 可导时，该点的切线斜率即为f'(x)。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率，如速度、加速度等。
THANKS
感谢观看
03
《数学导数概念》课件
《数学导数概念》PPT课 件
欢迎来到《数学导数概念》的PPT课件。让我们一起探索导数的基本概念、 计算方法、应用和扩展，以及学习建议。
导数的基本概念
1
几何意义
2
探索导数在几何中的含义和应用。
3
定义
了解导数的数学定义和概念。
物理意义
了解导数在物理问题中的作用和解释。
导数的计算方法
基本公式
掌握导数的基本计算公式和规则。
隐函数求导
2
学习如何对隐函数进行求导。
3
参数方程求导
掌握对参数方程进行求导的技巧。
总结
1 概念回顾
回顾导数的基本概念和定义。
2 重点归纳
总结导数的计算方法和应用。
3 学习建议
给出一些建议，如何更好地学习和理解导数的概念。
四则运算法则
学习导数的四则运算法则。
常见函数的导数公式
了解常用函数的导数计算方式。
导数的应用
极值问题
探索导数在寻找函数最大值和 最小值中的应用。
函数图像的绘制方法
了解如何使用导数来绘制函数 的图像。
物理问题中的应用
探索导数在物理问题求解中的 应用。
导数的扩展
1
高阶导数
深入了ห้องสมุดไป่ตู้高阶导数的概念和计算方法。
欢迎来到《数学导数概念》的PPT课件。让我们一起探索导数的基本概念、 计算方法、应用和扩展，以及学习建议。
导数的基本概念
1
几何意义
2
探索导数在几何中的含义和应用。
3
定义
了解导数的数学定义和概念。
物理意义
了解导数在物理问题中的作用和解释。
导数的计算方法
基本公式
掌握导数的基本计算公式和规则。
隐函数求导
2
学习如何对隐函数进行求导。
3
参数方程求导
掌握对参数方程进行求导的技巧。
总结
1 概念回顾
回顾导数的基本概念和定义。
2 重点归纳
总结导数的计算方法和应用。
3 学习建议
给出一些建议，如何更好地学习和理解导数的概念。
四则运算法则
学习导数的四则运算法则。
常见函数的导数公式
了解常用函数的导数计算方式。
导数的应用
极值问题
探索导数在寻找函数最大值和 最小值中的应用。
函数图像的绘制方法
了解如何使用导数来绘制函数 的图像。
物理问题中的应用
探索导数在物理问题求解中的 应用。
导数的扩展
1
高阶导数
深入了ห้องสมุดไป่ตู้高阶导数的概念和计算方法。
高中数学《导数的概念》公开课优秀课件
高中数学《导数的概念》公开课优秀课件标题：高中数学《导数的概念》公开课优秀课件尊敬的各位老师，大家好！今天我们将一起学习高中数学中一个非常重要的概念——导数的概念。
这个概念在微积分学中占据了重要的地位，对于我们理解函数的变化率，以及在科学、工程、经济和计算机科学等领域都有广泛的应用。
一、导数的定义首先，让我们来看看导数的定义。
假设有一个函数f(x)，在某一点x0的附近取一系列的点，这些点的横坐标是x0+Δx。
那么，函数f(x)在点x0的导数就是这一系列点的纵坐标f(x0+Δx)与横坐标之商的极限，记作f'(x0)。
二、导数的几何意义从几何意义上来看，导数表示函数在某一点处的切线的斜率。
当我们把函数在x0附近的点沿着横坐标逐渐移动时，该点的纵坐标会相应地变化，这个变化率就是导数。
三、导数的应用导数的应用非常广泛，它可以用来解决很多实际问题。
例如，在物理学中，导数被用来描述物体的运动学和动力学问题，如速度和加速度；在经济学中，导数被用来分析成本、收益和价格的变化；在计算机科学中，导数被用来研究图像处理和人工智能的问题。
四、导数的计算导数的计算有很多方法，其中最常见的方法是使用导数的定义。
我们可以根据定义来推导出一些基本的导数公式，如常数函数的导数为0，幂函数的导数与其指数有关，三角函数的导数与其角度有关等。
五、总结与复习今天我们学习了导数的概念和计算方法。
导数是微积分学的基础，它描述了函数在某一点处的变化率。
通过学习导数的定义和基本公式，我们可以解决很多实际问题。
六、作业与扩展阅读为了加深对导数概念的理解，请大家完成以下作业：1、复习并熟练掌握导数的基本定义和公式；2、自行寻找并解决一到两个与导数相关的问题（可以从物理、经济或计算机科学等领域寻找）。
同时，我推荐大家阅读《微积分的概念》这本书，作者是著名的数学家Richard Courant。
这本书对微积分的概念有深入且生动的解释，对于我们深入理解导数的概念非常有帮助。
高中数学导数的概念 PPT课件 图文
导数的定义:
从函数lyim=f(xf )(在x0x=x0x处) 的f瞬( x时0 )变化lim率是f: ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y f ( x)在x x0
处的导数 , 记作 f ( x0 )或y xx0 ,即 :
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
数值的改变量与自变的量改变量之比,即:
y f (x2) f (x1) .
x
x2 x1
我们用它来刻画函数在值区间[x1, x2]上变化的快慢.
对于一般函y数 f (x),在自变量 x从x0变到x1的
过程中,若设x x1 x0,则函数的平均变化:率是
y f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0).
x) x
f
(x0 )
例题讲解
例 1一条水管中流 y(单 过位 :m 的 3)时 水间 x(量 单位 :s) 的函y数 f(x)3x.求函y数 f(x)在x2处的导数 f(2)并 , 解释它的. 实际意义
解:当x从2变到2x时,函数值3从2变
到3(2x),函数值 y关于x的平均变化率 : 为
例2一名食品加工厂的上工班人后开始连续, 工作 生产的食品数 y(单 量位:kg)是其工作时x(间 单位:h) 的函数 y f (x).假设函y数 f (x)在x1和x3处 的导数分别: f为(1) 4和f (3) 3.5,试解释它们 的实际意. 义
如 其 解 4kg:果 生 的 f (保 产 1食) 持 速 品.4(表 这 度 即示 一 工该 生 作工 产 效,人 速 )那 率 为上 4度 么kg班 他/h后 .每 也1工 h时 就的作 可 是时以 说 ,候, 生一 其 产 f(3生 生 )3产 产 .5表 速 速 ,那 示 3.度 度 5么 k该 g为 /他 h工 .也每 人 就时 上 是可 ,如 班 说 33h.以 5的 果 k后g的 生 时 保 工食 产 ,候 持 作 .品 这
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
THANKS
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பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
高数导数概念ppt课件
f (t ) t
s
3
曲线
在 M 点处的切线
y
y f ( x)
N
T
割线 M N 的极限位置 M T (当 时)
切线 MT 的斜率
C M O x0x来自x lim tan
f ( x) f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan x x0 f ( x) f ( x0 ) k lim x x0 x x0
曲线 C : y f ( x) 在 M 点处的切线斜率
y
y f ( x)
N
T
f ( x0 )
C M O x0
x
x
7
若极限
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
不存在, 就说函数在点 x0 不可导.
Δy lim , 也称 若Δ x 0 Δ x
解:
xn an f ( x) f (a) lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
x a
9
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
x 1
h
1 x
lim
ln e
即
1 (ln x) x
12
在 x = 0 不可导. f (0 h) f (0) h 1 , h 0 证: h 1 , h 0 h f (0 h) f (0) lim 不存在 , h 0 h f ( x0 h) f ( x0 h) . 例6. 设 存在, 求极限 lim h 0 2h
即
的导数. 记作: y x x0 ; f ( x0 ) ; d y ; dx x x0 y y x x0 f ( x0 ) lim x 0 x
高中数学导数的概念课件
优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数 的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制 定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求 解微分方程、积分方程等，通过 求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边 缘检测、图像滤波等，通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤 波器设计、信号降噪等，通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出，用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值 ，从而确定函数的最值。
高三数学导数概念PPT课件
事实上，导数也可以用下式表示：
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)
在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处
不可导.
第11页/共30页
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
O
x
x
表明：y 就是割线的斜率. x
第1页/共30页
请看当 点Q沿 着曲线 逐渐向 点P接 近时,割 线PQ 绕着点 P逐渐 转动的 情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
第2页/共30页
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
x
x
x
y lim y lim x x x lim
1
x x0
x0
x
x0 x x x
1. 2x
第16页/共30页
例2：利用导数的定义求函数y | x | ( x 0)的导数.
解 ： y | x |,当x 0时, y x,则 y ( x x) x
x
x
y 1, lim 1;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,
则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处
无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,
可以有多个,甚至可以无第穷3页多/共个30页.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k lim f (x0 x) f (x0 )
导数的概念及应用ppt课件
20，求它在该区间上的最小值．
第五页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
变式新题型1：
已知 f(x ) a x 3 6 a 2 x b ,x [ 1 ,2 ]
的最大值为3，最小值为 29，求 a , b 的值。
第六页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
热点题型2: 函数的极值
已知函数 f(x)a3xb2x3x 在 x1
（Ⅰ）求函数
的解析式；
的x集合； 高考考纲透析：（理科）
（Ⅱ）求函数
的单调区间.
M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
已知函数
的图象经过点（0,1），且在 处的切线方程是
第十一页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
（2）求函数 y f (x) 在区间[1, 2 ] 上的最 (3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；
（1）求 y f (x)的解析式；
（2）求 y f (x)的单调递增区间。
第十一页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
热点题型4: 分类讨论在导数中应用
已知aR，函数 f(x)x2|xa|。
（1）当 a 2 时，求使 f (x) x成立的 已知
，求函数
的单调区间。
会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
处取得极值.（1）讨论 f (1和) f (是1)函数
f (x)的极大值还是极小值；（2）过点
A(0, 16)作曲线 y f(x的) 切线，求此切线方程.
第七页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
变式新题型2：
已知 f(x)x3a2xb x和c g(x)x23x2
若y f (x在) 点 x1处有极值，且曲线 y f(x)
第九页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
第五页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
变式新题型1：
已知 f(x ) a x 3 6 a 2 x b ,x [ 1 ,2 ]
的最大值为3，最小值为 29，求 a , b 的值。
第六页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
热点题型2: 函数的极值
已知函数 f(x)a3xb2x3x 在 x1
（Ⅰ）求函数
的解析式；
的x集合； 高考考纲透析：（理科）
（Ⅱ）求函数
的单调区间.
M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
已知函数
的图象经过点（0,1），且在 处的切线方程是
第十一页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
（2）求函数 y f (x) 在区间[1, 2 ] 上的最 (3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；
（1）求 y f (x)的解析式；
（2）求 y f (x)的单调递增区间。
第十一页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
热点题型4: 分类讨论在导数中应用
已知aR，函数 f(x)x2|xa|。
（1）当 a 2 时，求使 f (x) x成立的 已知
，求函数
的单调区间。
会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
处取得极值.（1）讨论 f (1和) f (是1)函数
f (x)的极大值还是极小值；（2）过点
A(0, 16)作曲线 y f(x的) 切线，求此切线方程.
第七页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
变式新题型2：
已知 f(x)x3a2xb x和c g(x)x23x2
若y f (x在) 点 x1处有极值，且曲线 y f(x)
第九页，编辑于星期五：十三点 二十五分。
导数的定义学习精品PPT课件
(5) y x( 0)
解 (x ) lim (x h) x
h0
h
[(1 h) 1]x
lim x
h0
h
h lim x x x1
h0 h
(x ) x1. ( R)
特别地 (xn ) nxn1.
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
x
x
y lim y .
x0 x
(1) y f (x) C(C为常数)
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C C h0 h
0.
即 (C) 0.
(2) f (x) sin x, 并求(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
x0 ),f (x0 )
0
例8 求y sinx在x 处的切线方程和法线方 程.
3.可导与连续的关系
定理3.1 y f(x)在x0可导 f ( x)在x0连续,反之未必.
证
设函数
y
f
(
x)在点
x0可导,
lim
x0
x
f (x0 )
lim y lim y x 0
x0
x0 x
函数 f ( x)在点 x0连续 .
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x
几何意义:
f (x0 )表示y f (x)在x0处切线的斜率.
物理意义:
s(x0 )表示物体在x0处的瞬时速度.
从变化的观点看: f (x0 )表示函数在x0处的变化率.
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o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0Leabharlann 6瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
t
s
y f (x)
N
CM
T
两个问题的共性:
o x0 x x
17
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
log a
e.
即
(log a
x)
1 x
log a
e
1. x ln a
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: f ( x0 ) f ( x) . xx0
12
★ 函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映 了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导 无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的 函数。 ★ 导数定义式中的△x必修连续地趋于零。
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x0
说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
9
y f (x) f (x0 ) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
.
16
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决 有关变化率的计算问题。
2
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快 慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微 小变化时，函数大体上变化多少。
重点 导数与微分的定义及几何解释
导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导
难点 导数的实质，用定义求导，链式法则
3
第一节 导数的概念
问题的提出 导数的定义 利用导数定义求导数 左、右导数
导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系 小结
4
一、引出导数概念的两个实例
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 线密度
是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限
题
化 率
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 问
7
二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
h0
h
h0 h
即 (C ) 0.
14
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
5
2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 的斜率
13
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解 f ( x) lim f ( x h) f ( x) lim C C 0.
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0 ) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f (x0 )
lim y x0 x
8
其它形式
f
( x0 )
4
4
2. 2
15
例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
第二章
导数思想最早由法国
数学家 Ferma 在研究
导数与微分 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
1
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度， 比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在 数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。
10
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I内可导.
11
★ 对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.