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s s (t0 t ) s (t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
或 y | x x , 即
0
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
f (x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
同理可得 f ' 6 5.
请同学们自己完成具体 运算过程 .
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为 3 与5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以 3 C / h的速 率下降; 在6h附近, 原油温度大约以 50 C / h的速率上升 . 一般地, f ' x0 反映了原油温度在时刻 x 0附近的变化 情况.
y f ( x0 x) f ( x0 ) 2. 求平均变化率 ; x y x 3. 求值 f ( x0 ) lim . x 0 x
一差、二比、三极限
三．典例分析
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求 质点在t=3的瞬时速度.
y f 2 x f 2 , 和 f 6. 根据导数的定义 x x 2 x 2 72 x 15 22 7 2 15 x
'
4 x x 2 7x x 3, x y ' 所以, f 2 lim lim x 3 3, x 0 x x 0
一．创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
二．新课讲授ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．瞬时速度
在高台跳水运动中 , 运动员在不同时刻的速 度 是不同的. 我们把物体在某一时刻 的速度称为 瞬时速度(ins tan eous velociy ).运动员的平均速 度不一定能反映他 她 在某时刻的瞬时速度. 那么, 如何求运动员的瞬时速 度呢 ? 比如 , t 2 时的瞬时速度是多少 ? 我们先考察t 2 附近的情况. 在 t 2 之前或之后, 任意取一个时刻 2 t , t是时间的改变量 , 可以是 正值, 也可以是负值 , 但不为0.当t 0时,2 t在2 之前;当t 0时,2 t在2之后.计算区间2 t ,2
和区间2,2 t 内平均速度v, 可以得到如下表格 .
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
Δt趋近于0时,平均 h(t ) 4.9t 6.5t 当 10
2
速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
0
1 2 s gt 例3 物体作自由落体运动,运动方程为： 2
其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
分析:
1 s s (t0 t ) s (t0 ) 2 g t g (t ) 2 2
v 13.149
当△t =0.001时, v 13.1049
△t = 0.00001,
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
v 13.099951
v 13.100049
……
v 13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049
例 2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原 油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f x x 2 7 x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f ' 2
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时,
……
我们发现,当t趋近于0 时, 即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一 个确定的值 13.1. 从物理的角度看 , 时间间隔| t | 无限变小时, 平均
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限. t
速度v就无限趋近于 t 2时的瞬时速度 .因此, 运动 员在t 2时的瞬时速度是 13.1m / s. h2 t h2 为了表述方便 , 我们用lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值 13.1".
1. f ( x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ( x0 )与x的具体取值无关。
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1. 求函数的改变量
y f ( x0 x) f ( x0 );
