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第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
;.;
1
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密 度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有 这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即 导数。
(e x ) e x .
;.;
17
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
;.;
6
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
t
s
y f (x)
N
CM
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
;.;
15
例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
.
;.;
16
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
重点 导数与微分的定义及几何解释
导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导
难点 导数的实质，用定义求导，链式法则
;.;
3
第一节 导数的概念
问题的提出 导数的定义 利用导数定义求导数 左、右导数
导数的几何意义与物理意义
可导与连续的关系
小结
;.;
4
一、引出导数概念的两个实例
即
y
x x0
f
(x0 )
lim y x0 x
;.;
8
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
;.;
9
y f (x) f (x0) x x x0
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
;.;
10
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
★ 如果函数 y f ( x)在开区间I内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I内可导.
;.;
11
★ 对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决 有关变化率的计算问题。
;.;
2
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步
深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快 慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微 小变化时，函数大体上变化多少。
★ 导数定义式中的△x必修连续地趋于零。
;.;
13
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解 f ( x) lim f ( x h) f ( x) lim C C 0.
h0
h
h0 h
即 (C ) 0.
;.;
14
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) c 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
;.;
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
5
2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: f ( x0 ) f ( x) . xx0
;.;
12
★ 函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映 了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导 无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的 函数。
T
两个问题的共性:
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
;.;
7
二、导数的定义
定义1 . 设函数