应用随机过程(第三章)

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=〔其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑〕令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑那么 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰22201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 那么211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰〕2、〔1〕 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有一样的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 〔1〕设X 服从(,)p b Γ分布，那么10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ 〔2〕'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 假设(,)i i X p b Γ 1,2i = 那么121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

竭诚为您提供优质文档/双击可除应用随机过程学习心得篇一：随机过程知识点总结第一章：考试范围1.3,1.41、计算指数分布的矩母函数.2、计算标准正态分布x~n(0,1)的矩母函数.3、计算标准正态分布x~n(0,1)的特征函数.第二章：1.随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数2.宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理3.独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件1、设随机过程Z(t)?x?Yt，t??.若已知二维随机变量(x,Y)的协方差矩阵为??12??，求Z(t)的协方差函数.?22?2、设有随机过程{x(t),t?T}和常数a，Y(t)?x(t?a)?x(t)，t?T，计算Y(t)的自相关函数（用Rx(s,t)表示）.3、设x(t)?Z1cos?t?Z2sin?t，其中Z1,Z2~n(0,?2)是独立同分布的随机变量，?为实数，证明x(t)是宽平稳过程.4、设有随机过程Z(t)?xsint?Ycost，其中x和Y是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明Z(t)是宽平稳过程.第三章：1.泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算2.与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算3.复合泊松过程和条件泊松过程的定义1、设{n(t),t?0}是参数??3的poisson过程，计算：(1).p{n(1)?3}；(2).p{n(1)?1,n(3)?3}；(3).p{n(1)?2n(1)?1}.2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数.假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.(1)．试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；(2).在已知t时刻有50人到达的条件下，试求其中恰有30位女性的概率，平均有多少个女性顾客？3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的poisson过程，已知商店9：00开门，试求：(1).在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2).若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

3. 正态过程的可加性；
9. 维纳过程的平移不变性；
15. 泊松过程的可加性；泊松过程与复合泊松过程；
16. 泊松过程的两个二项分布；
19. 23. 泊松过程的分解；
21. 一些正态过程的性质，P45例题14；
方法：
8,
10,
13,14，
19，
21，
3,4,5,6 维纳过程的几个不变性；
对于齐次Poisson 过程，有
(){}t
s t N s P =
=≤11τ 即在()1=t N 的条件下，1τ为[]t ,0上的均匀分布。

更一般的，有如下定理， 定理：设(){}0,≥t t N 为强度λ的齐次Poisson 过程，在()n t N =的条件下，n 个到达时刻n τττ<<< 21和n 个相互独立同[]t ,0上均匀分布的随机变量n U U U ,,,21 的顺序统计量()()()n U U U <<< 21有相同分布。

即在()n t N =的条件下，()n τττ,,,21 的联合概率密度为：
()⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<≤=其他0
0!,,,2121t u u u t n u u u f n n n
方法：
2
19
20。

一、 随机过程简介随机过程这一学科最早起源于对物理学的研究，如吉布斯（美国物理化学家、数学物理学家）、玻尔兹曼（奥地利物理学家）、庞加莱（法国数学家）等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳(Wiener ，美国数学家，控制论的创始人)、莱维(Levy ，法国数学家)等人对布朗运动的开创性工作。

1907年前后，马尔可夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。

1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。

随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。

1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。

1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

一般认为，随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫（K olmogorov ）和杜布(Doob)奠定的。

第一章随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。

例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。

令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。

为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。

例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。

以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。

随机过程作业和答案第三章第三章马尔科夫过程1、将⼀颗筛⼦扔多次。

记X n 为第n 次扔正⾯出现的点数，问{X(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出⼀步转移概率矩阵。

⼜记Y n 为前n 次扔出正⾯出现点数的总和，问{Y(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出⼀步转移概率矩阵。

解：1)由已知可得，每次扔筛⼦正⾯出现的点数与以前的状态⽆关。

故X(n)是马尔科夫链。

E={1,2,3,4,5,6} ,其⼀步转移概率为:P ij = P ij =P{X(n+1)=j ∣X(n)=i }=1/6 (i=1,2,…,6,j=1,2,…,6) ∴转移矩阵为2)由已知可得，每前n 次扔正⾯出现点数的总和是相互独⽴的。

即每次n 次扔正⾯出现点数的总和与以前状态⽆关，故Y(n)为马尔科夫链。

其⼀步转移概率为其中2、⼀个质点在直线上做随机游动，⼀步向右的概率为p , (0解：由已知可得, 其⼀步转移概率如下：故⼀步转移概率为3、做⼀系列独⽴的贝努⾥试验，其中每⼀次出现“成功”的概率为p ( 0解：由已知得：故为马尔科夫链，其⼀步转移概率为616161616161616161616161616161616161P6,,2,1,6/1,,8,7,,0)1,( i i i j i j i i i j ij n n P 或)1(6,,2,1;6,,2,1, n n n j n n n n i ,,2,1,0 E )(0,1;)0(0,1)1,1(0,,1,,2,1101,1, j P P j P P i i j P q P P P x j j ij i i i i ⽽时，当 1000000 0000000001Pp q p q p qm m m m m m i n X l n X i n X i n X i n X l n X P )(0)()(,,)(,)(0)(2211mm m m m m in X k l n X i n X i n X i n X k l n X P )()()(,,)(,)()(22114、在⼀个罐⼦中放⼊50个红球和50个蓝球。