应用随机过程3-泊松过程
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随机过程第三章-泊松过程
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则
随机过程——泊松过程(习题讲解)
n 0 k 1
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
应用随机过程第三章Poisson_过程
t s t
(u)du的Poisson分布，即
ｎ ［m(t+s)-m(t)] Ｐ(N(t+s)-N(t)=ｎ)＝ exp{[ m(t+s)-m(t)]} ｎ！
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi，i 1,2， ...}是一列独立且同分布的随机变量， {N(t),t 0}是Poisson过程，且N(t),t 0}与{Yi， i 1,2， ...}独立.记 X(t)= Yi ,
这定理说明，由于Poisson过程具有平稳独立增量 性，从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下， 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”，即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题：自然地，我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形？
定理 3.4
设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则时间相继发 生时刻T1，T2，...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为 n! f(t1,t2 ,..., tn )= n , t 0 t1 t2 ... tn .
i 1 N(t)
我们就称{X(t)，t 0}为复合Poisson过程.
注：复合Poisson过程未必是计数过程；但当Y i = c(常数)，i= 1, 2，...，可化为Poisson过程.
例：考虑一保险公司：它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)}，每次的索赔额Yi是独立同分布的，且与 其发生时刻无关，那么该公司在[0,t]内的总索赔额 X(t)= Yi
注意 定理3.2的逆命题亦为真，且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义（即定义3.3），希 望同学们务必记住.
(u)du的Poisson分布，即
ｎ ［m(t+s)-m(t)] Ｐ(N(t+s)-N(t)=ｎ)＝ exp{[ m(t+s)-m(t)]} ｎ！
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi，i 1,2， ...}是一列独立且同分布的随机变量， {N(t),t 0}是Poisson过程，且N(t),t 0}与{Yi， i 1,2， ...}独立.记 X(t)= Yi ,
这定理说明，由于Poisson过程具有平稳独立增量 性，从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下， 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”，即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题：自然地，我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形？
定理 3.4
设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则时间相继发 生时刻T1，T2，...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为 n! f(t1,t2 ,..., tn )= n , t 0 t1 t2 ... tn .
i 1 N(t)
我们就称{X(t)，t 0}为复合Poisson过程.
注：复合Poisson过程未必是计数过程；但当Y i = c(常数)，i= 1, 2，...，可化为Poisson过程.
例：考虑一保险公司：它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)}，每次的索赔额Yi是独立同分布的，且与 其发生时刻无关，那么该公司在[0,t]内的总索赔额 X(t)= Yi
注意 定理3.2的逆命题亦为真，且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义（即定义3.3），希 望同学们务必记住.
随机过程第三章 泊松过程 ppt课件
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记T n 为
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
随机过程第三章复习题及其解答泊松过程
第3章测验题解答一、填空题1.设}0),({≥t t X 是参数为λ>0的泊松过程对任意的),0[,+∞∈s t ，且t s <，则均值函数为__t λ____；相关函数为__s st λλ+2______。
答案：均值函数为：t X t X E t X E t m X λ=-==)]0()([)]([)(相关函数为：)]}()()()[({)]()([),(s X s X t X s X E t X s X E t s R X +-== 2)]([)]()()][0()([s X E s X t X X s X E +--=2)]}([{)]([)]()([)]0()([s X E s X D s X t X E X s X E ++--=2)()(s s s t s λλλλ++-=)1(2+=+=t s s st λλλλ2. 设}0),({≥t t X 是具有参数λ的泊松过程，}1,{≥n T n 是对应的时间间隔序列，则随机变量,...)2,1(=n T n 独立同分布服从___________。
答案：均值为λ/1的指数分布3.设}0,{≥n W n 是与泊松过程}0),({≥t t X 对应的一个等待时间序列，则n W 服从________，概率密度为______________。
答案：参数为n 与λ的Γ分布)!1(1)(0{)(---=n n t t en W t f λλλ<≥t t4.泊松过程的定义：称计数过程(){},0t ≥X t 为具有参数0λ>的泊松过程，若它满足下列条件：()100;X =（）;()(2)X t 是独立、平稳增量过程； ()(3)X t 满足下列两式：)(}1)()({h t t X h t X P ολ+==-+)(}2)()({h t X h t X P ο=≥-+5 .设}0),({≥t t X 是参数为λ>0的泊松过程对任意的),0[,+∞∈s t ，且t s <，方差函数为______；协方差函数为__________。
随机过程第三章 泊松过程
解：用一个泊松过程来描述。设 8 点为 0 时刻，则 9 点为 1 时刻，参数 ＝10 ，则由定
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
(解答)《随机过程》第三章习题
义随机过程 Z (t) X (t) Y (t), t 0 ，且令： pn (t) P{Z (t) n}。
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；
（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!
lim
h0
Pt
2
h 2
S2
t2
h 2 ,t5 h2
h 2
S5
t5
h
2
5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；
（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!
lim
h0
Pt
2
h 2
S2
t2
h 2 ,t5 h2
h 2
S5
t5
h
2
5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
随机过程-3泊松过程定义1
时，近似效果颇佳，当n≥100,np≤10时，效
果更好。
区间内到达次数：
• 考虑一个固定的长度为t的时间区间，将它分成n 个小区间，每个小区间的长度为δ， t 0
n
• 假定：任意一个小区间内有两次或更多次到达的概率 是非常小的,可以忽略不计.
• 不同的时间段到达的状况又是相互独立的. • 每个小区间内到达一次的概率与区间长度成正比,大
• Байду номын сангаас P{X=1,Y=0}+ P{X=0,Y=1}
11 e 1 20 e 2 10 e 1 21 e 2
1!
0!
0!
1!
(1 2 )e (1 2 )
• P{Z=2}=P{X+Y=2}
• = P{X=2,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=0,Y=2}
P(1,1)= 0.2e 0.2=0.164
• 又假设一天都没有检查电子邮件，那么一 封电子邮件都没有的概率是多少？我们再 次使用泊松分布来计算，即：
P(0,24) e 0.224 0.0083
• 另一方面，我们也可以这样想：在一天24 小时里都没有收到信息，那么连续24个1个 小时都没有收到信息。而后者24个事件是 相互独立，而且每个事件发生概率是
n
Cnk
pnk (1
pn )nk
(t )k k!
e t ,k
0,1,2,...
Possion分布的可加性
• 例3 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1和2的泊松分布, 求Z=X+Y的概率分布。
•解
P{ X i} 1i e1 , i 0,1,...
i!
3.泊松过程
n!
由条件（2）有：
PX t s X s n PX t X 0 n
PX t n Pn t 即：PX t s X s n t n et ，n 1, 2,
n!
证毕
3.2 泊松过程的基本性质
一、数字特征
1.设X t ,t 0是泊松过程，对任意的
t, s 0, ,且s t,有:
d dt
et
Pn
t
et
Pn1
t
(*)
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
n
1时，d dt
et P1 t
et P0 t et et
et P1 t t C P1 t t Cet
P1 0 PX 0 1 0 C 0
P1 t tet
设n
1时结论成立，即Pn1
t
t
n1
et
n 1!
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
定义3.1 称随机过程N t ,t 0为计数过程，
若N t 表示到时刻 t 为止已发生“事件A”的 总数，且N t 满足下列条件：
(1)N t 0;
(2)N t取正整数值； (3)若s t,则N s N t;
(4)当s t时，N t N s等于区间
为具有参数 0的泊松过程，若它满足下列条件：
（1）X 0 0; (2) X t 是独立增量过程；
（3）在任一长度为t的区间s,t+s中，事件A发生
的次数 X t+s X s服从参数为t 的泊松分布，
即对任意 s,t 0，有
PX t+s X s n et t n , n 0,1, .
n!
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”，“到达一次呼唤”，“维 修一台”
由条件（2）有：
PX t s X s n PX t X 0 n
PX t n Pn t 即：PX t s X s n t n et ，n 1, 2,
n!
证毕
3.2 泊松过程的基本性质
一、数字特征
1.设X t ,t 0是泊松过程，对任意的
t, s 0, ,且s t,有:
d dt
et
Pn
t
et
Pn1
t
(*)
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
n
1时，d dt
et P1 t
et P0 t et et
et P1 t t C P1 t t Cet
P1 0 PX 0 1 0 C 0
P1 t tet
设n
1时结论成立，即Pn1
t
t
n1
et
n 1!
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
定义3.1 称随机过程N t ,t 0为计数过程，
若N t 表示到时刻 t 为止已发生“事件A”的 总数，且N t 满足下列条件：
(1)N t 0;
(2)N t取正整数值； (3)若s t,则N s N t;
(4)当s t时，N t N s等于区间
为具有参数 0的泊松过程，若它满足下列条件：
（1）X 0 0; (2) X t 是独立增量过程；
（3）在任一长度为t的区间s,t+s中，事件A发生
的次数 X t+s X s服从参数为t 的泊松分布，
即对任意 s,t 0，有
PX t+s X s n et t n , n 0,1, .
n!
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”，“到达一次呼唤”，“维 修一台”
随机过程Ch3泊松过程ppt课件
et Pn1(t)
2020/6/14
15
(3) 当 n 1时 ，
d dt
et P1 (t )
et P0 (t )
etet
P1 (t ) ( t C )et
由 于 P（1 0） P N (0) 1 0
所 以 C 0， P1 (t ) tet
2020/6/14
16
(4)用数学归纳法证明
注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[N(t)]t 并称
速率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
2020/6/14
8
说明
要确定计数过程是Poisson过程，必须证明 它满足三个条件。（条件3很难验证）
为此给出一个与Poisson过程等价的定义
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程，
若ts,则BX(s,t)t,从 而
BX(s,t)misn,t()
泊松过程的特征函数为
gX (u) E eiuX(t) eiunP X(t) n
n0
eiunet (t)n et (teiu)n
n0
n!
n0 n!
et expteiu expt(eiu 1)
2020/6/14
等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量
T1
T2 T3
0 W1 W2 W3
Tn t
Wn-1 Wn
时间间隔Tn的分布
设{X(t), t0}是参数为的泊松过程，
{Tn,n1}是相应第n次事件A发生的时间 间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布
的均值为1/的指数分布
2020/6/14
25
证 (1)n=1
令Pn (t) P N (t) n P N (t) N (0) n,则
随机过程的分支过程和泊松过程
随机过程的分支过程和泊松过程随机过程，指的是随时间而变化的一系列随机事件的集合。
随机过程的数学模型可以用随机变量的集合来描述。
其中，分支过程（branching process）和泊松过程（Poisson process）是随机过程中比较经典并且应用广泛的两种模型。
一、分支过程分支过程最早出现在爱尔兰数学家戈尔登的研究中。
他在研究人口增长的过程中发现，如果假设每个人在他的有生之年内可以产生若干个子女，那么就可以把人口增长的过程看作是一个分支过程。
分支过程是一类离散时间的随机过程，可以描述由一个个独立的、概率相同的“父代”产生的“子代”数目的随机变化过程。
具体来说，在分支过程中，每个父代独立地产生一个随机整数，表示它将会产生的子代数目。
每个子代的产生也是独立的，并且都遵循与父代相同的分布。
这个过程一直持续下去，一直到所有的后代都无法再产生新的子代为止。
对于一个分支过程，我们可以定义一个生成函数G(x)，表示从一个父代生成的所有子代的数目的概率分布。
对于一个父代可以生成k个后代的概率为pk，则G(x)可以表示为：G(x) = p0 + p1x + p2x2 + ... + pnxn其中，pn表示最后一代后代数目为n的概率。
我们可以根据这个生成函数来计算分支过程的很多性质，如在每个时刻，所有后代的数目的期望、方差和协方差等等。
二、泊松过程泊松过程是一个连续时间的随机过程，它具有无记忆性（memorylessness）和独立增量（independent increments）的性质，这使得它成为了极其重要的一种数学模型。
在泊松过程中，事件发生的时间无规律，但是平均每单位时间内事件发生的次数是固定的。
具体来说，对于一个泊松过程，我们定义一个速率参数λ，表示在单位时间内事件发生的平均次数。
我们假设事件是独立发生的，并且事件发生的时间间隔服从指数分布。
这样，我们就可以用泊松分布来描述在任意时间段内事件发生的次数。
随机过程 计算与应用 泊松过程3
E[Nt ]= kP(Nt =k) k 0
=
[m(t )]k k
e[m(t )]
k 0
k!
=m(t)e[m(t)] [m(t)]k1
k1 (k 1)!
=m(t)
例4.2.5 设非齐次泊松过程N {Nt ,t 0}的均值函数m(t)满足 m() : lim m(t) ,定义函数m(t)的时间逆函数为
复合泊松过程也可以由随机游动和泊松过程的表示.
例4.3.1 设随机变量Yn(n=1,2,…)存在数学期望 EYn和方差 2 DYn，
试计算复合泊松过程的均值函数、方差函数
和相关函数.
Nt
解 mX (t) E[Xt ] E[ Yn ] n1 Nt E[E( Yn Nt )] n1
Yn与Nt独立
则N {M (t) , t 0}是强度为(t)的非齐次泊松过程.
例4.3.3 设随机变量列{k ,k=1,2,L }独立同服从0-1分布， 且 P(k 1) p 0, P(k 0) 1 p,
参数为的泊松分布N与上述0-1随机序列独立.现对t 0,
定义
Mt SNt Lt Nt Mt
注意到随机变量族{Mu ,Lu:u s}由{Nu：u s,1,L ,Ns }决定，
因此， A与{Mu ,Lu:u s}独立.
( ) E[eT ], 0
已经证明：当 a E[1] 时，保险公司最终会破产. 盈余过程的样本轨道
非齐次泊松过程 定义4.2.1 设计数过程N= {Nt,t≥0} 是一个独立增量 过程，(t)是[0,+) [0,+)的函数，如果
P(Nt
- Ns
k) [m(t) m(s)]k k!
盈余。则
保险公司在t>0的盈余为 Xt x at SNt
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。
此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。
随机数学第3讲 第三章泊松过程(1)zhang
定理3.3 参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0},事件A第
n 次出现的等待时间服从Γ分布,其概率密度为：
f Wn
(t)
=
⎪⎨⎧λe−λt ⎪⎩0,
(λt)n−1 (n −1)!
,
t ≥ 0; t<0
注：在排队论中称Wn 服从爱尔朗分布。
证 因Wn是事件A 第 n次出现的等待时间,故
Fwn (t) = P{Wn ≤ t}= P{N (t) ≥ n}
k!
称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程.
注 由（3）可知，齐次泊松过程也是平稳增量过程.
特别有 N(t) ～P(λt).
因为
E[N (t + s) − N (s)] = λt =λ
t
t
所以λ又称为齐次泊松过程的速率或强度.
由于定义3.2的条件3很难检验，所以用这个 定义识别一个过程是不是泊松过程就变得困 难。
解： 每次损伤初始为Dk，经时间t 后衰减为 Dke－αt，t≥0 (α>0);
则在t 时刻的总损伤可表示为
∑ D(t ) = N (t) Dke−α(t −Wk )
k =1
其中Wk 是第k 次受震动的时刻，需求E[D( t )].
4
由全期望公式来计算期望.
∑ ∑ E[D(t)]
=
N (t )
E[
pn−1(t)
=
λ(λt)n−1 (n −1)!
⇒
eλt Pn (t ) =
(λt )n (n)!
+
C
利用初始条件 Pn (0) = 0,可证得
Pn (t ) =
(λ t )n (n )!
e −λt
应用随机过程第3章习题简答
Yk )]}
E ( N ( s)) E (Y12 ) E ( N 2 ( s) N ( s))( EY1 ) 2 E ( N ( s)) E ( N (t ) N ( s))( EY1 ) 2 E ( N ( s)) E (Y12 ) [ E ( N ( s)) E ( N (t )) E ( N ( s))]( EY1 ) 2
n
T 1 nT 2 2
1 1 1 进而 E ( X ) E[ E ( X | N (T ))] E[ N (T )T ] ( T ) E ( N (T )) T 2 。 2 2 2
11. 假设题 10 中在时刻 T 前的某个时刻 s 增加一般汽车，证明如果 s = T/2，那 么在时刻 T 前到达车站的所有乘客的平均总等待时间最小。
利用特征函数证明2个事件到达的时刻所以它服从参数为设某电话总机在t分钟内接到呼叫的次数分钟材 P16 习题 2，4,5,10,11,13,15,17,21
4. 计算泊松过程前三个事件到达时刻 S1,S2,S3 的联合分布。 解：设事件到达的时间间隔为 { X n , n 0} ，则有 X n 独立同分布于参数为λ的 指数分布，进而， ( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合分布函数为：
2. 设 {Ni (t ), t 0}(i 1, 2,
, n) 是速率分别为 i (i 1, 2,
,n )的相互独立的泊
松过程。记 T 为全部 n 个过程中第 1 个事件到达的时刻。 （1）求 T 的分布； （2）证明： {N (t ) N i (t ), t 0} 是速率为 i 的泊松分布；
i 1 i 1 n n
（3）计算，当 N (t ) 1 时，事件属于过程 {N1 (t ), t 0} 的概率。 利用特征函数证明（2） （1）T 是泊松过程 {N (t ) N i (t ), t 0} 的第 1 个事件到达的时刻，所以它
随机过程Ch3-possion过程
由均值函数知，单位时间内事件A发生的平均数为。 称为过程的速率或强度。
3.2 泊松过程的性质
RX ( s, t ) E[ X ( s ) X (t )] E[ X ( s )( X (t ) X ( s ) X ( s ))] E[ X ( s )( X (t ) X ( s ))] E[( X ( s )) 2 ] E[( X ( s ))] E[( X (t ) X ( s ))] D[ X ( s )] E[ X ( s )]） （
3.2 泊松过程的性质
则
P W k(1) W1( 2 )
D
y
y=x D x
f ( x , y )dxdy
(1) k
f(x, y)为W 与 W1( 2 ) 的联合概率密度 由于X1(t)与X2(t)独立，故
f ( x , y ) fW (1 ) ( x ) fW ( 2 ) ( y )
Wn-2 Wn-1
Wn
FTn (t ) P Tn t 1 P Tn t 1 e t
3.2 泊松过程的性质
•等待时间Wn的分布 定理3.3设{X(t), t 0}是参数为的泊松过程， {Wn, n 1}是相应等待时间序列， 则Wn服从参数为n与的分布， 概率密度为
t (t ) n 1 ,t 0 e fW n ( t ) (n 1)! 0 , t 0
3.2 泊松过程的性质
证 Wn Ti (n 1) ，Ti为时间间隔
i 1
n
T1 0
T2
Tn W2 Wn-1 Wn t
j
Wn t X (t ) n
• 定义3.2：称计数过程{X(t)，t 0 }是泊 松过程，如果X(t)满足 (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的 次数服从参数t> 0(参数> 0)的泊松分 布，即对任意s, t 0，有 n t ( t ) P X (t s ) X ( s ) n e , n! n 0,1, 2,
应用随机过程3-泊松过程
第3章 泊松过程
3.1 Poisson过程 3.2 与Poisson过程相联系的若干分布 3.3 Poisson过程的推广
2010-9-2
理学院 施三支
3.1 泊松过程
1．计数过程 定义3.1.1 如果用 X (t ) 表示 [0，t]内某一特定事件发生的次数，则
随机过程{ X (t ) ， t 0 }称为一个计数过程。 且满足：
2010-9-2 理学院 施三支
到达时间的条件分布
定理3.2.3 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A 发生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于 n个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布，即
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n ) t 其它 0,
/小时的泊松过 顾客到达某 商店服从 参数 4 人 程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一 位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。
2010-9-2
理学院 施三支
3.2 与Poisson过程相联系的若干分布
1．到达时间间隔Tn和等待时间Wi的分布 定义3.2.1
设 { X (t ) ， t 0 } 为 泊 松 过 程 ，
P { X ( t h ) X ( t ) 2} o ( h )
非齐次泊松过程的均值和方差函数为:
m X (t ) D X (t )
2010-9-2 理学院 施三支
t
0
(s) d s
非齐次泊松过程的分布
定理3.3.1 设{ X (t) , t 0 }为具有均值函数 m ( t ) 的非齐次泊松过程，令 N * (t ) X (m 1 (t )) ，则有
3.1 Poisson过程 3.2 与Poisson过程相联系的若干分布 3.3 Poisson过程的推广
2010-9-2
理学院 施三支
3.1 泊松过程
1．计数过程 定义3.1.1 如果用 X (t ) 表示 [0，t]内某一特定事件发生的次数，则
随机过程{ X (t ) ， t 0 }称为一个计数过程。 且满足：
2010-9-2 理学院 施三支
到达时间的条件分布
定理3.2.3 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A 发生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于 n个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布，即
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n ) t 其它 0,
/小时的泊松过 顾客到达某 商店服从 参数 4 人 程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一 位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。
2010-9-2
理学院 施三支
3.2 与Poisson过程相联系的若干分布
1．到达时间间隔Tn和等待时间Wi的分布 定义3.2.1
设 { X (t ) ， t 0 } 为 泊 松 过 程 ，
P { X ( t h ) X ( t ) 2} o ( h )
非齐次泊松过程的均值和方差函数为:
m X (t ) D X (t )
2010-9-2 理学院 施三支
t
0
(s) d s
非齐次泊松过程的分布
定理3.3.1 设{ X (t) , t 0 }为具有均值函数 m ( t ) 的非齐次泊松过程，令 N * (t ) X (m 1 (t )) ，则有
随机过程3.3 泊 松 过 程(一)
(1)
平稳 增量
P0(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0,N(t+h)－N(t)=0｝
= P{N(t)=0} P{ N(t+h) － N(t)=0}
=P0(t)[1－λh+o(h)]
增量 独立
P0
(t
h) h
P0
(t
)
P0
(t
)
o(h) h
电子科技大学
令h 0, 得
§3.3 泊 松 过 程(一)
dP0 (t dt
)
P0 (t )
P0(0) 1, (条件(1) N (0) 0)
解得 p0 (t) et , t 0.
2o 当n≥1, 根据全概率公式有
pn (t h) pn (t) p0 (h) pn1(t) p1(h)
P{N (t ) 2} pk (t ) o(t ),
k2
其中λ＞0.
电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一)
定义3.3.2 设计数过程{N( t ), t≥0} 满足： (1) N(0)=0; (2) 是平稳独立增量过程； (3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0；
Ti Wi1 Wi
定理3设.3{.2Tn, n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t),
t≥0}的时间间隔序列则，{Tn, n≥1}相互独立同服
从指数分布，
且E{T}=1/λ.
证 (1) 因 {T1>t }={(0, t )内事件A不出现}
P{T1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
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t
0
(s) d s
P{ X (t s) X (t ) n} [ (u )du]n
t t s
n!
exp{ (u )du}, n 0,1,2,
t
t s
[ m (t )] n exp{ m (t )}, 或 P{ X (t ) n} n!
且{N*(t)}是一个强度为1的泊松过程。
2010-9-2
理学院 施三支
定理3.2.2
设{ X (t ) ， t 0 }为泊松过程，则等待时间
Wn （ n 1 ）服从 ( n, ) 分布， 其概率密度为
f (t ) e
t
(t ) n1 ，t 0 (n 1)!
2010-9-2
理学院 施三支
2 事件到达时间的条件分布
第3章 泊松过程
3.1 Poisson过程 3.2 与Poisson过程相联系的若干分布 3.3 Poisson过程的推广
2010-9-2
理学院 施三支
3.1 泊松过程
1．计数过程 定义3.1.1 如果用 X (t ) 表示 [0，t]内某一特定事件发生的次数，则
随机过程{ X (t ) ， t 0 }称为一个计数过程。 且满足：
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} 分布函数： P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} s0 0, P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, P{ X (t ) 1} st P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} 分布密度： P{ X (t ) 1} 1 / t , 0 s t se s e ( t s ) s fW1 X ( t ) 1 ( s ) t 其它 te t 0,
定理3.2.1 设 { X (t ), t
0} 为参数 ( 0) 的泊松过程，
则到达时间间隔序列T1，T2， 是相互独立的随机变量序列，
且都有相同的均值为 1/ 的指数分布。
2010-9-2
理学院 施三支
例3.2.1 甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路 汽车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1辆 （乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试问可乘坐 甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的 概率分布及其期望。
2010-9-2 理学院 施三支
到达时间的条件分布
定理3.2.3 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A 发生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于 n个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布，即
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n ) t 其它 0,
X (t ) 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数，
Wi （ i 1,2, ）表示事件第 i 次发生的等待时间，
则称 { Wn ， n 1 }为等待时间序列。
以 Tn （ n 1）表示第 n 1 次发生到第 n 次发生之间的
时间间隔， 则称 { Tn ， n 1 }为到达时间间隔序列。 W3 W1 W2 T1 T2 T3 2010-9-2 理学院 施三支
2010-9-2
理学院 施三支
复合泊松过程的性质
定理3.3.2 设 X (t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 k
k 1 N (t )
(1) { X (t) , t 0 } 是独立增量过程; (2) 若 E[Y12 ] ，则
E [ X (t )] tE [Y1 ],
2010-9-2
理学院 施三支
例3.2.2 设在 [ 0 , t ] 内事件 A 已经发生 n 次，且 0 < s < t，对 于0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件 A 发生 k 次的概率。
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
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3.3 Poisson过程的推广
一、 非齐次泊松过程
定义3.3.1 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有强度函数 (t) 的非 齐次泊松过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) P { X ( t h ) X ( t ) 1} ( t ) h o ( h )
X (t) 为具有参数 的泊松过程。
理学院 施三支
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注意
从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[ X (t )] t
并称
为此过程的
发生率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
2010-9-2
理学院 施三支
说明
要确定计数过程是泊松过程，必须证明它 满足三个条件：
条件（1）只是说明事件的计数是从时刻 t 0 开始
/小时的泊松过 顾客到达某 商店服从 参数 4 人 程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一 位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。
2010-9-2
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3.2 与Poisson过程相联系的若干分布
1．到达时间间隔Tn和等待时间Wi的分布 定义3.2.1
设 { X (t ) ， t 0 } 为 泊 松 过 程 ，
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注
如果在不相交的时间区间中发生的事件个 数是独立的，则称计数过程有独立增量。 若在任一时间区间中发生的事件个数的分 布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有 平稳增量。
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2．泊松过程 定义3.1.2 设随机过程{ X (t ) ， t 0 }是一个计数过程，满足
P { X ( t h ) X ( t ) 2} o ( h )
非齐次泊松过程的均值和方差函数为:
m X (t ) D X (t )
2010-9-2 理学院 施三支
t
0
(s) d s
非齐次泊松过程的分布
定理3.3.1 设{ X (t) , t 0 }为具有均值函数 m ( t ) 的非齐次泊松过程，令 N * (t ) X (m 1 (t )) ，则有
(1) X (0) 0 ；
(2) 独立增量过程；
(3)任一长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为
即对一切 s, t 0 ，有 t ( 0 )的泊松分布，
( t ) k t P{ X (t s ) X ( s ) k} e k!
则称
k 0,1,2,
D[ X (t )] tE [Y12 ]
2010保险公司接到的索赔次数服从强度为
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次/月的泊松过程，每次理赔数均服从 2000,10000 上的均匀分布，则一年中保险公司平均赔付总额是 多少？ 单位：元
作业：1. P43 1,4,5,7,11* 2. 写本章小结
2010-9-2
理学院 施三支
（1） X (t ) 0 ；
（2） X (t ) 是整数值；
（3）对任意两个时刻 0 t1 t 2 ，有 X (t1 ) X (t 2 ) ； （4）对任意两个时刻 0 t1 t 2 ， X (t 2 ) X (t1 ) ，
等于在区间 (t1 , t 2 ] 中发生的事件的个数。
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n 0， 1,2，
例3.3.1 设{ X (t) , t 0 }是具有跳跃强度
( t ) 0 . 5 (1 cos t )
的非齐次泊松过程。求 E[X(t)] 和 D[X(t)]。
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例3.3.2 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘 客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性 增加， 8 时达到 1400 人 / 时； 8 时至 18 时保持平均到达率不 变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定 乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求 12 时至 14 时有 2000 人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人 数的数学期望。
（2）过程有平稳与独立增量；
（3） P{ X ( h) 1} h ( h ) ；
（4） P{ X ( h) 2} ( h) ；
其中 ( h) 表示当 h 0 时对 h 的高阶无穷小，
则称
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X (t ) 为具有参数 的泊松过程。
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例3.1.1
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二、复合泊松过程
定义3.3.2 设{ N (t) , t 0 }是强度为 的泊松过程， { Yk , k =1, 2, … }是一列独立同分布随机变量，且 与{ N (t) , t 0 }独立，令
N (t ) k 1
X (t ) Yk , t 0
则称{ X (t) , t 0 }为复合泊松过程。
条件（2）通常可从对过程的了解的情况去直接验证
然而全然不清楚如何去确定条件（3）是否满足
为此给出一个与泊松过程等价的定义
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定义3.1.2’ 设随机过程{
X (t ) ， t 0 }是一个计数过程，
参数为 （ 0 ） ， 满足
（1） X ( 0) 0 ；