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应用随机过程第3章Poisson过程下

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第三章泊松(Poisson)过程.

第三章泊松(Poisson)过程.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.

第三章泊松过程

第三章泊松过程

定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )

随机过程第三章-泊松过程

随机过程第三章-泊松过程

N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则

随机过程——泊松过程(习题讲解)

随机过程——泊松过程(习题讲解)
n 0 k 1
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t


1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)

t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )

第三章 泊松过程

第三章 泊松过程

第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即

(解答)《随机过程》第三章习题

(解答)《随机过程》第三章习题
义随机过程 Z (t) X (t) Y (t), t 0 ，且令： pn (t) P{Z (t) n}。
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；

（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!

lim
h0
Pt
2

h 2

S2

t2

h 2 ,t5 h2

h 2

S5

t5

h
2


5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更

随机过程 第3章 泊松过程


泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有


3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,

第三章 Poisson过程


由Posisson过程定义，N (t + s) − N ( s) 分布不依赖于s，Poisson过 Posisson过程定义 过程定义， 分布不依赖于s Poisson过 程是平稳过程。 程是平稳过程。 E[ N (t )] = λt , λ 为单位时间内发生事件的平均次数，称为 为单位时间内发生事件的平均次数， Poisson过程的强度或速率 Poisson过程的强度或速率。 过程的强度或速率。
金融随机方法
3
何林： 何林：helinmail@
Poisson过程 Poisson过程
Poisson过程 Poisson过程
Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的。 Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的。 过程是以法国数学家泊松的名字命名的 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数， 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数， 使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠） 使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间 区间的事件数，这两个随机变量是独立的。 区间的事件数，这两个随机变量是独立的。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。 泊松过程是Lévy过程 过程（ process）中最有名的过程之一。 泊松过程是Lévy过程（Lévy process）中最有名的过程之一。时 间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子 过程的例子。 间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
(4 ×12) n −4×12 P{N (12) − N (0) = n} = e , n! E[ N (12) − N (0)] = 4 × 12 = 48.

随机过程中的泊松过程分析

随机过程中的泊松过程分析随机过程是概率论与统计学中的重要概念，它描述了一系列随机变量随时间的变化规律。

而泊松过程是一类常见的随机过程，它具有许多重要的应用，如通信网络、金融市场等。

本文将对泊松过程进行分析，探讨其性质和应用。

一、泊松过程的定义和特性泊松过程是一种连续时间的随机过程，它满足以下两个重要特性：1. 独立增量性：泊松过程在不同时间段内的增量是相互独立的。

也就是说，如果在某个时间段内发生了若干事件，那么这些事件对于其他时间段内事件的发生没有影响。

2. 平稳性：泊松过程的事件发生率在任意时间段内是恒定的。

也就是说，泊松过程的事件发生是均匀分布的，不受时间段的长短影响。

二、泊松过程的数学表示泊松过程可以用数学公式来表示，一般采用随机变量N(t)来表示时间t内事件的数量。

泊松过程的数学表示如下：P(N(t) = n) = (λt)^n * e^(-λt) / n!其中，λ是事件发生率，t是时间段的长度，e是自然对数的底数。

三、泊松过程的应用泊松过程在许多领域都有广泛的应用，以下列举几个典型的例子。

1. 通信网络：在通信网络中，泊松过程可以用来模拟数据包的到达和发送情况。

通过对泊松过程的分析，可以评估网络的负载情况，优化网络资源的分配。

2. 金融市场：在金融市场中，泊松过程可以用来模拟股票价格的变动。

通过对泊松过程的分析，可以预测股票价格的波动情况，帮助投资者进行决策。

3. 生物学：在生物学研究中，泊松过程可以用来模拟细胞的分裂和死亡情况。

通过对泊松过程的分析，可以研究细胞生命周期的规律，探索生物系统的运作机制。

四、泊松过程的扩展除了基本的泊松过程，还有一些对泊松过程进行扩展的模型，如非齐次泊松过程、超过程等。

这些扩展模型可以更好地描述实际情况中的随机性和不确定性。

非齐次泊松过程是指事件发生率随时间变化的泊松过程。

在实际应用中，事件发生率往往不是恒定的，而是随时间变化的。

非齐次泊松过程可以更准确地描述这种情况。

应用随机过程(第三章)解析

被记录下来的事件总数，则 M t,t 0
是一个强度为λp的Poisson过程。
PM t m
PM t m Nt n m PNt n m
n0
Cmmn pm 1 p
e n t mn t
m n !
n0
et
pt m 1 p t n
m!n!
n0
et
pt m
m!
1 p t n
E
E
N t
t
i 1
Ti
N
N t 是强度为3的Poisson过程
PN
4
N
0
n
12n n!
e
12
PN
4
N
0
9
129 9!
e12
例3.2.2
• 假定某天文台观测到的流星流是一个 Poisson过程，以往资料统计，平均每小时 观察到3颗流星，试求上午8：00 ～12：00 期间，该天文台没有观测到流星的概率？
N t 是强度为3的Poisson过程
PNt h Nt 2 oh
定理3.1.1 满足上述条件(1) ′ ～(4) ′的计数过程
Nt,t 0 是Poisson过程。
反过来Poisson过程一定满足这四个条件。
例3.1.3
事件A的发生形成强度为λ的poisson过
程Nt,t 0 ，如果每次事件发生时以概率
p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t
n
Tn X i
i 1
Xi独立且服从相 同的指数分布
指数分布分n=1的Γ分布，且具有可 加性。定理得证。
证明2 Nt n Tn t
PTn t PNt n
et
t j
j!
jn
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› 在实践中，非齐次Poisson过程也是比较常用的。例 如在考虑设备的故障率时，由于设备使用年限的变化， 出故障的可能性会随之变化；放射性物质的衰变速度， 会因各种外部条件的变化而随之不同;昆虫产卵的平均 数量随年龄和季节而变化等.在这样的情况下，再用齐 次Poisson过程来描述就不合适了，于是改用非齐次 的Poisson过程来处理.
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3.2 非时齐泊松过程
第3章 Poisson过程（下）
2016-2017学年第2学期 统计与信息学院 张建新
2017/4/12
第3章 Poisson过程（下）
› 3.1 泊松过程
– 模型与定义
– 与泊松过程有关的分布
› 3.2 非时齐泊松过程
› 3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
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› 当Poisson过程的强度入不再是常数，而与时间t有关 时，Poisson过程被推广为非齐次（或非时齐） Poisson过程。 › 一般来说，非齐次Poisson过程是不具备平稳增量的。
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 条件泊松过程
› 在实际应用中，泊松过程的速率常常会有变化，因 而在贝叶斯统计分析中，将速率作为随机变量处理。
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 条件泊松过程
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 条件泊松过程应用举例