2018届高中数学苏教版(理科) 圆锥曲线与方程(解答题) 单元测试 Word版 含答案

[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．思考1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答案不是，是线段F1F2.2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答案是双曲线一支．题型一椭圆定义的应用例1在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.又BC ＝10，所以AB ＋AC ＝20，且20>BC ，所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B 、C ，焦距为10.反思与感悟 本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A 满足的条件．注意A 、B 、C 三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪训练1 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，动圆M 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心M 的轨迹是椭圆．证明 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )．∴圆心M 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．题型二 双曲线定义的应用例2 已知圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －2)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹．解 由已知得，圆C 1的圆心C 1(－2,0)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,0)，半径r 2＝3.设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆C 1相外切，所以MC 1＝r ＋1.①又因为动圆M 与圆C 2相外切，所以MC 2＝r ＋3.②②－①得MC 2－MC 1＝2，且2<C 1C 2＝4.所以动圆圆心M 的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．反思与感悟 设动圆半径为r ，利用动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得两个等式，相减后消去r ，得到点M 的关系式．注意到MC 2－MC 1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C 1与圆C 2相切于点(－1,0)，所以M 的轨迹不过(－1,0)．跟踪训练2 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝12sin A ，则顶点A 的轨迹是什么？。

第2章 圆锥曲线与方程章末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1.平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是________.考点 圆锥曲线几何性质 题点 离心率问题 答案 12解析 由题意可知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝1，由椭圆的离心率e ＝c a ＝12.2.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为__________.考点 圆锥曲线几何性质 题点 求双曲线渐近线方程 答案 y ＝±34x解析 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .3.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，则该双曲线的离心率为________.考点 圆锥曲线几何性质 题点 离心率问题 答案103解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则它的渐近线方程为y ＝±b a x ，故b a ＝13，因此离心率为e ＝1＋b 2a2＝1＋19＝103. 4.双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则a ＝________.考点 圆锥曲线方程 题点 焦点问题 答案22解析 双曲线x 2－y 2＝a 2的右焦点的坐标为(2a,0)，抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，从而2a ＝1，故a ＝22. 5.若双曲线的顶点为椭圆x 2＋y 22＝1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的标准方程为__________. 考点 圆锥曲线几何性质 题点 由离心率问题求曲线方程 答案y 22－x 22＝1 解析 由椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22，则双曲线的离心率为2，且双曲线的顶点为(0，±2)，故双曲线的标准方程为y 22－x 22＝1.6.双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是__________.考点 圆锥曲线几何性质 题点 离心率问题 答案 m >1 解析 由e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＝1＋m 1＝1＋m >2，得m >1.7.如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点.若F 1F 2＝F 1A ，则椭圆C 2的离心率是________.考点 圆锥曲线方程 题点 求离心率问题 答案 23解析 由题意知，F 1F 2＝F 1A ＝4. ∵F 1A －F 2A ＝2，∴F 2A ＝2， ∴F 1A ＋F 2A ＝6，又∵F 1F 2＝4， ∴椭圆C 2的离心率是46＝23.8.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线方程为______________. 考点 圆锥曲线几何性质 题点 求双曲线方程 答案x 24－y 23＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b ＝3a .①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7，② 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3， 所以双曲线方程为x 24－y 23＝1.9.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足PF 1∶F 1F 2∶PF 2＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率为________. 考点 圆锥曲线方程 题点 求离心率问题 答案 12或32解析 由题意可设PF 1＝4m ，F 1F 2＝3m ，PF 2＝2m .当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝PF 1＋PF 2＝4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝F 1F 2＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝12；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝PF 1－PF 2＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝F 1F 2＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 2m ＝32.故e ＝12或32.10.已知二次曲线x 23－k －y 2k ＝1(k <3，k ≠0)与x 25＋y 22＝1，则下列说法正确的是________.(填序号)①有不同的顶点；②有不同的准线；③有相同的焦点；④有相同的离心率. 考点 圆锥曲线方程 题点 几何性质判断 答案 ③解析 当0<k <3时，则0<3－k <3，∴x 23－k －y 2k＝1表示实轴为x 轴的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.∴两曲线有相同的焦点； 当k <0时，3－k >－k >0，∴x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆. a 2＝3－k ，b 2＝－k .∴a 2－b 2＝3＝c 2，与已知椭圆有相同的焦点.综上，二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1有相同的焦点.11.椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是________________. 考点 圆锥曲线定义 题点 圆锥曲线定义的运用 答案 (0,3)或(0，－3) 解析 ∵PF 1＋PF 2＝2a ＝10， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝25.当且仅当PF 1＝PF 2＝5时，取得最大值，此时P 点是短轴端点，即P 点坐标是(0,3)或(0，－3).12.已知点A (0,2)，B (2,0).若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________.考点 圆锥曲线定义 题点 圆锥曲线定义的运用 答案 4解析 由已知可得AB ＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点. 因此满足条件的C 点有4个.13.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________. 答案 53解析 椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为(1,0)，所以直线方程为y ＝2(x －1).联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2(x －1)，得3y 2＋2y －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1，y 2是3y 2＋2y －8＝0的两根， 所以y 1＝－2，y 2＝43.所以S △OAB ＝S △OFA ＋S △OFB ＝12OF ·|y 1－y 2|＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________. 考点 直线与圆锥曲线关系 题点 求离心率问题 答案 27－5解析 直线A 1B 2的方程为x －a ＋yb ＝1；直线B 1F 的方程为x c ＋y－b ＝1.二者联立解得T ⎝⎛⎭⎪⎫2ac a －c ，b (a ＋c )a －c ，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a －c ，b (a ＋c )2(a －c )在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，故c 2(a －c )2＋(a ＋c )24(a －c )2＝1，e 2＋10e －3＝0， 解得e ＝27－5或e ＝－27－5. 又0<e <1，∴e ＝27－5.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(14分)已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的标准方程. 考点 圆锥曲线几何性质 题点 求圆锥曲线方程 解 ①若焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，c ＝13.设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1，m ＝a －4.∵e 双e 椭＝73，易得a ＝7，m ＝3.∴b 2＝36，n 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 249＋y 236＝1，双曲线的标准方程为x 29－y 24＝1.②若焦点在y 轴上，同理可得椭圆的标准方程为x 236＋y 249＝1，双曲线的标准方程为y 29－x 24＝1.16.(14分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB ＝5.(1)求此抛物线方程；(2)若M (1,2)是抛物线上一点，求MA →·MB →的值. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 求抛物线方程和其他运算解 (1)因为焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， 所以直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得4x 2－6px ＋p 2＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p2，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝5p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)方程①化为x 2－3x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，直线l 的方程为y ＝2x －2， ∴MA →·MB →＝(x 1－1，y 1－2)(x 2－1，y 2－2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋(2x 1－4)(2x 2－4) ＝5x 1x 2－9(x 1＋x 2)＋17＝5－27＋17＝－5.17.(14分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的上顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值. 考点 圆锥曲线定义 题点 圆锥曲线定义的运用解 (1)∠F 1AF 2＝60°⇔a ＝2c ⇔e ＝c a ＝12.(2)设BF 2＝m ，则BF 1＝2a －m ，在△BF 1F 2中，BF 21＝BF 22＋F 1F 22－2BF 2·F 1F 2·cos120°⇔(2a －m )2＝m 2＋a 2＋am ⇔m ＝35a .△AF 1B 的面积为S ＝12F 1A ·BA ·sin60°⇔12×a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋35a ×32＝403⇔a ＝10， ∴c ＝5，b ＝5 3. 综上a ＝10，b ＝5 3.18.(16分)已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.(1)求与双曲线C 1有相同焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别与双曲线C 1的两条渐近线相交于A ，B 两点.当OA →·OB →＝3时，求实数m 的值.考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线位置关系的运用 解 (1)∵双曲线C 1：x 2－y 24＝1，∴焦点坐标为(5，0)，(－5，0).设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线C 2与双曲线C 1有相同焦点，且过点P (4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)双曲线C 1的两条渐近线为y ＝2x ，y ＝－2x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x ＋m ，可得x ＝m ，y ＝2m ，∴A (m,2m ). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝x ＋m ，可得x ＝－13m ，y ＝23m ，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13m ，23m .∴OA →·OB →＝－13m 2＋43m 2＝m 2.∵OA →·OB →＝3，∴m 2＝3，∴m ＝± 3.19.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值.考点 椭圆方程与几何性质题点 椭圆方程与几何性质的综合运用解 (1)A (a,0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2. 所以OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，AB →＝(－a ，b ).因为OM →·AB →＝－32b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b . 因为a 2＝b 2＋c 2，所以c ＝3b . 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32. (2)方法一 由a ＝2，得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m .设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2.直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14.方法二 由a ＝2，得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.设C (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0， 解得x ＝x 0(舍去)或x ＝2y 0. 所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0，12x 0.所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14.20.(16分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为x 28＋y 24＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围. 考点 椭圆方程与几何性质题点 椭圆方程与几何性质的综合运用解 (1)∵x 28＋y 24＝1，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴k OP ＝22，kF 2M ＝－2，kF 1M ＝24， ∴直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为y ＝24(x ＋2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2(x －2)，y ＝24(x ＋2)，解得x ＝65. ∴点M 的横坐标为65. (2)设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M )，∵F 1M →＝2MP →，∴F 1M →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－13c ，23y 0，F 2M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－43c ，23y 0， ∵PO ⊥F 2M ，OP →＝(x 0，y 0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－43c x 0＋23y 20＝0， 即x 20＋y 20＝2cx 0， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋y 20＝2cx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1， 消去y 0，得c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2)＝0，解得x 0＝a (a ＋c )c 或x 0＝a (a －c )c， ∵－a <x 0<a ，∴x 0＝a (a －c )c ∈(0，a )， ∴0<a 2－ac <ac ，解得e >12. 综上，椭圆离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.。

[学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.知识点一 圆锥曲线的统一方程在平面直角坐标系中，有定点F (c,0)，定直线l ：x ＝a 2c (a >0，c >0)，圆锥曲线上任意一点P (x ，y )，定义点P 到点F 的距离为PF ，点P 到直线l 的距离为d ，则称PF d ＝e (e 为离心率，且e ＝c a)为圆锥曲线的统一方程.0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线.知识点二 圆锥曲线的共同性质对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.题型一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________.答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2， ∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.反思与感悟 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用.一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的第一定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到椭圆的第二定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行.跟踪训练1 若双曲线y 264－x 236＝1上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是________.答案 325解析 由8d ＝108，得d ＝325. 题型二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小.解 设d 为M 到右准线的距离.∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)， 故MP ＋2MF ＝MP ＋d ≥PM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1). 反思与感悟 本例中，利用椭圆的第二定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决.一般地，像本例这样的问题，若“MF ”含有系数，则应考虑用第二定义求解；若不含有系数，则应考虑用第一定义求解.跟踪训练2 已知点A (3,2)，F (2,0)，在双曲线x 2－y 23＝1上是否存在一点P ，使P A ＋12PF 的值。

第2章 圆锥曲线与方程(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)，(3,0)，则椭圆方程为______________．2．当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是________________．3．方程mx ＋ny 2＝0与mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )表示曲线在同一坐标系中的示意图可能为______________________．4．短半轴长为2，离心率e ＝3的双曲线两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线于A 、B 两点，且AB ＝8，则△ABF 2的周长为________． 5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．6．若直线mx －ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________． 7.如图所示，若等腰直角三角形ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则直角三角形ABO 的面积是________．8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．9．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是________．10．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是_ ___________．11．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．12．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．13．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．14．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中所有正确命题的序号为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．16．(14分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．17.(14分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．18．(16分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求： (1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．19.(16分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在的直线方程．20．(16分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点． (1)写出C 的方程；（2）若OA →⊥OB →，求k 的值．第2章 圆锥曲线与方程(A)1.x 236＋y 227＝1 解析 已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)，(3,0)，则c ＝3，a ＝6，b 2＝36－9＝27，因此椭圆的方程为x 236＋y 227＝1.2．y 2＝32x 或x 2＝－12y解析 将直线方程化为(2x －4)a ＋3x ＋y ＋2＝0，可得定点P (2，－8)，再设抛物线方程即可． 3．④解析 由m >0，n >0知mx 2＋ny 2＝1表示的是椭圆的方程，又由mx ＋ny 2＝0，得y 2＝－mnx ，所以抛物线开口向左．4．16＋22解析 由于b ＝2，e ＝ca＝3，∴c ＝3a ，∴9a 2＝a 2＋4，∴a ＝22， 设AF 2>AF 1，BF 2>BF 1， 则由双曲线的定义知：AF 2－AF 1＝2，BF 2－BF 1＝2， ∴AF 2＋BF 2－AB ＝22， ∴AF 2＋BF 2＝8＋22， 则△ABF 2的周长为16＋2 2. 5.33解析 由题意知AF 1＝33F 1F 2，∴b 2a ＝33·2c ，即a 2－c 2＝233ac ，∴c 2＋233ac －a 2＝0，∴e 2＋233e －1＝0，解之得e ＝33(负值舍去)．6．2解析 由题意4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<4，点(m ，n )在以原点为圆心，2为半径的圆内，与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2.7．4p 2解析 由题意得∠xOA ＝∠xOB ＝45°，则可设点A (a ，a )，代入抛物线的方程得a ＝2p ，∴S △ABO ＝12×2a ×a ＝a 2＝4p 2.8.2＋1解析 ∵F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴A ⎝⎛⎭⎫p2，p . 又∵c ＝p2，即p ＝2c ，∴A (c,2c )．代入双曲线方程，化简， 得e 4－6e 2＋1＝0. ∵e >1，∴e ＝2＋1. 9．3解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412. 可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32，∴2|a |＝3. 10．x 2－y 29＝1解析 设双曲线方程为9x 2－y 2＝λ (λ>0)， 即x 2λ9－y 2λ＝1.∵a 2＋b 2＝c 2，∴λ9＋λ＝10，解得λ＝9. ∴双曲线方程为x 2－y 29＝1.11.32解析 由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos 30°＝ca，从而e ＝32.12．2x －y －15＝0解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为线段AB 的中点为P (8,1)， 所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2. 所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2.所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)， 代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0. 即2x －y －15＝0. 13.22解析 由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b⇒b ＝c ， 因此e ＝ca ＝c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22. 14．③④解析 ①错误，当k ＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k ＝52时，方程表示圆；验证可得③④正确．15．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 29＝1.∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2， 把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.16．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴ba＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.17．解 将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0(4k ＋8)2－16k 2>0，得k >－1且k ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0.解得：k ＝2或k ＝－1(舍去)． 由弦长公式得： AB ＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215. 18．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝65，①又PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝100，②①2－②得2PF 1·PF 2＝80，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝20.19．解 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则AB ＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ， 整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝ 1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．20．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.。

1．(2017·淮安月考)一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响．已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为________．答案 23解析 设此射手未命中目标的概率为p ，则1－p 4＝8081，所以p ＝13，故1－p ＝23.2．在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．答案 π4解析 依题意可行域为正方形，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为P ＝14π⎝⎛⎭⎫22222·22＝π4.3．红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，记事件“每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后”为事件A ，则事件A 发生的概率为________． 答案 18解析 红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，基本事件总数n ＝2×2×2＝8.每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后为事件A ， 则事件A 包含的基本事件个数m ＝1， ∴事件A 发生的概率P ＝m n ＝18.4．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________． 答案925解析 以(x ，y )为基本事件，可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个．若点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标法可知满足x ∈{－1,1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925.5.为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派________(填甲或乙)运动员合适．答案 甲解析 根据茎叶图，可得x 甲＝16×(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，x 乙＝16×(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.s 2甲＝16×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝1333， s 2乙＝16×[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝1393.因为x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲运动员的成绩比较稳定，选派甲运动员参赛比较合适.题型一 古典概型与几何概型例1 (1)(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．(2)若任意x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“和谐”集合，则在集合M ＝{－1,0，13，12，1,2,3,4}的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是________． 答案 (1)34 (2)117解析 (1)由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝⎛⎭⎫－341－(－1)＝34.(2)由题意，“和谐”集合中不含0和4，而2和12，3和13成对出现，1和－1可单独出现，故“和谐”集合分别为{1}，{－1}，{－1,1}，{2，12}，{3，13}，{1,3，13}，{1,2，12}，{－1,2，12}，{－1,3，13}，{3，13，2，12}，{2，12，1，－1}，{3，13，1，－1}，{1,3，13，2，12}，{－1,3，13，2，12}，{3，13，2，12，1，－1}，共15个，而集合M 的非空子集有28－1＝255个，故“和谐”集合的概率是P ＝15255＝117.思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．(1)(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4，记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12，f (－1)≤3为事件A ，则事件A 发生的概率为________． 答案 (1)56 (2)58解析 (1)基本事件共有36个．列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个．故所求概率为P ＝3036＝56.(2)⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤12，f (－1)≤3即为⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＋c ≤8，－b ＋c ≤2.作出0≤b ≤4,0≤c ≤4及⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8，－b ＋c ≤2表示的区域(图略)，由几何概型概率公式得所求概率为P ＝16－616＝58.题型二 求离散型随机变量的均值与方差例2 某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为1,2,3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1,5,10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．(1)求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的概率分布与均值；(2)若员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，则他中奖次数η的方差是多少？解 (1)由题意知甲抽奖一次，基本事件总数是C 310＝120，奖金ξ的可能取值是0,30,60,240， ∴P (ξ＝240)＝1120，P (ξ＝60)＝8120＝115，P (ξ＝30)＝7×2＋6×7120＝715，P (ξ＝0)＝1－1120－115－715＝1124.故ξ的概率分布为∴E (ξ)＝0×1124＋30×715＋60×115＋240×1120＝20.(2)由(1)可得乙抽奖一次中奖的概率是1－1124＝1324，四次抽奖是相互独立的，∴中奖次数η～B (4，1324)，∴V (η)＝4×1324×1124＝143144.思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．(2016·泰州模拟)为了参加市中学生运动会，某校从四支较强的班级篮球队A ，B ，C ，D 中选出12人组成校男子篮球队，队员来源如下表：队别 A B C D (1)从这12(2)比赛结束后，学校要评选出3名优秀队员(每一个队员等可能被评为优秀队员)，设其中来自A 队的人数为ξ，求随机变量ξ的概率分布和均值．解 (1)“从这12名队员中随机选出两名，两人来自同一个队”记作事件A ，则P (A )＝C 24＋C 23＋C 22＋C 23C 212＝1366. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.因为P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×1455＋1×2855＋2×1255＋3×155＝1.题型三 概率与统计的综合应用例3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的均值． 解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T 的概率分布为所以E (T )＝45 000×思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a 的值；(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解 (1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a ＋0.025＋0.010)＝1，解得a ＝0.03. (2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A ，B ；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C ，D ，E ，F .若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有(A ，B )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共7个，故所求概率P (M )＝715.1．(2016·陕西西北工业大学附中二模)甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下： 游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢． 游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球、2个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．(1)求游戏Ⅰ中甲赢的概率；(2)求游戏Ⅱ中乙赢的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，请说明理由．解 (1)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球的基本事件有5×5＝25(个)，其中甲赢有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(2,2)，(2,4)，(4,4)，(4,2)，共13个基本事件，∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为P ＝1325.(2)设4个白球为a ，b ，c ，d,2个红球为A ，B ，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球，基本事件有6×6＝36(个)，其中乙赢有(a ，A )，(b ，A )，(c ，A )，(d ，A )，(a ，B )，(b ，B )，(c ，B )，(d ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(A ，d )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(B ，d )，共16个基本事件，∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为P ′＝1636＝49.∵|1325－12|<|49－12|，∴游戏Ⅰ更公平． 2．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本平均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 解 (1)样本平均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4(名)优秀工人．(3)设事件A ：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.3．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解 (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个． 当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)， 所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)， 所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.4．(2016·南京、盐城、徐州联考)已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．(1)求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2)记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的概率分布和均值．解 (1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C 12·C 13·C 23＋C 22C 13C 11＝21种．(2)X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 22C 23C 25C 24＝310×6＝120，P (X ＝1)＝C 12C 13C 23＋C 22C 13C 11C 25C 24＝2×3×3＋310×6＝720， P (X ＝3)＝C 23C 13C 11C 25C 24＝3×3×110×6＝320，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝920.所以X 的概率分布为E (X )＝0×120＋1×720＋2×920＋3×320＝1710.5．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)； (2)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率． 解 (1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图如图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，乙成绩的稳定性更好，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．(2)设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ， 则|x －y |<0.8， 得x －0.8<y <0.8＋x ，如图，阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16，则P (|x －y |<0.8)＝P (x －0.8<y <0.8＋x ) ＝4.163×3＝104225. *6.一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生： (1)得60分的概率；(2)所得分数X 的概率分布和均值．解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ，“有一道题不理解题意”选对为事件C ， ∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)X 可能的取值为40,45,50,55,60. P (X ＝40)＝12×12×23×34＝18；P (X ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748； P (X ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748；P (X ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748； P (X ＝60)＝12×12×13×14＝148. 故X 的概率分布为 E (X )＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.。

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考点25 圆锥曲线的综合问题一、填空题1.（2016²重庆高考理科²Ｔ14）过抛物线x y 22=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点,若BF AF AB <=,1225,则=AF . 【解题指南】设出两点的坐标,根据焦点弦的性质进行求解. 【解析】由题意可设))(,(),,(212211x x y x B y x A <,直线AB 的方程为)21(-=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧-==)21(22x k y xy ,消去y 整理得04)2(2222=++-k x k x k 所以4121=x x ,又由焦点弦的性质可知,1225121=++=x x AB 联立解得311=x ,所以652131=+=AF . 【答案】652.（2016²重庆高考文科²Ｔ14）设P 为直线x aby 3=与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支的交点,1F 是左焦点,1PF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率=e .【解析】由题意可知点P 的横坐标为c -,代入双曲线的方程可得12222=-b y a c解得a b y 2±=,由条件可知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c P 2,,因为点P 在直线x a b y 3=上 所以)(32c a b a b -⨯=-,解得b c 3=,所以b a 22=,423==a c e【答案】423 二、解答题3.（2016²大纲版全国卷高考文科²Ｔ22）与（2016²大纲版全国卷高考理科² Ｔ21）相同已知抛物线2)1(:+=x y C 与圆:M )0()21()1(222>=-+-r r y x 有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l . （Ⅰ）求r ；（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离.【解题指南】解决本题要抓住公共点A 这个关键，设出切点坐标，对2)1(:+=x y C 进行求导，写出切线方程，利用圆的切线垂直经过切点的半径这一性质列出等量关系. 【解析】（Ⅰ）设)12,(0200++x x x A ，12)1(22++=+=x x x y ，y 2x 2'∴=+，则直线l 的斜率2201+=x k ，又圆:M )0()21()1(222>=-+-r r y x ，则)21,1(M ,则直线AM 的斜率1211200202--++=x x x k ，121-=⋅∴k k即112112)22(00200-=--++⋅+x x x x ，整理得03302030=++x x x ，0)33(0200=++x x x ，解得00=x 或033020=++x x而方程033020=++x x 无解，2000x 0,x 2x 11,∴=++=即切点)1,0(A25)121()01(22=-+-=r . （Ⅱ）设)12,(2++t t t 为C 上一点，则在该点处的切线方程为：))(1(2)12(2t x t t t y -+=++-，整理得1)1(22+-+=t x t y .若该直线与圆M 相切，则圆心到该切线的距离为25，21|2(t 1)1t 1|+⨯--+=， 化简得，0)64(22=--t t t . 解得00=t 或1021+=t 或1022-=t .抛物线C 在点2i i (t ,(t 1)(i 0,1,2)+=）处的切线分别为n m l ,,，其方程分别为12+=x y ①1)1(2211+-+=t x t y ②1)1(2222+-+=t x t y ③②-③得2221=+=t t x .将2=x 代入②得1-=y ，故)1,2(-D , 所以D 到l 的距离为556)1(2|1)1(22|22=-++--⨯=d . 4.（2016²重庆高考理科²Ｔ20）如图，设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为21,F F ,线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ,且21B AB ∆是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点,使22QB PB ⊥,求直线l 的方程.【解题指南】利用椭圆的定义和性质,可根据已知条件求出椭圆的离心率和标准方程.根据直线和椭圆的位置关系可求解直线l 的方程.【解析】(1)如图,设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，右焦点)0,(2c F .因为21B AB ∆是直角三角形,且21AB AB =，21AB B ∠为直角，从而2OB OA =，即2c b =，结合222b a c -=得2224b a b -=，故225b a =,224b c =，所以离心率552==a c e . 在21B AB Rt ∆中,21B B OA ⊥,故。

【母题来源一】 2016高考新课标1卷【母题原题】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 【母题来源二】 2016高考天津【母题原题】设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||cOF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．【母题1】已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，其短轴的下端点在抛物线24x y =的准线上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是直线:2l x =上的动点，F 为椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆2C 相交于,P Q 两点，与椭圆1C 相交于,A B 两点，如图所示.，求圆2C 的方程；②设2C 与四边形OAMB 的面积分别为12,S S ，若12S S λ=，求λ的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）①()()22112x y -+-=或()()22112x y -++=；②,⎫+∞⎪⎪⎭. 【解析】②当0t ≠，由①，知PQ 的方程为220x ty +-=,由2212220x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y ，得()222816820t xx t +-+-=,则()()()()22242164882840t t t t ∆=--+-=+>,21212221682,88t x x x x t t-∴+==++,2248t t +==+,考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系的应用. 【名师点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法的应用及推理、运算能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时熟记基本的公式是解答此类问题的基础.【母题2】已知椭圆：()222210y x a b a b +=>>，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且2F MN ∆的周长为4.（1）求椭圆方程；（2）与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点()()0,0P m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,A B 且AP PB λ= ,若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.【答案】（1）2221y x +=；（2）111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】考点：椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用．【名师点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线综合应用，着重考查了转化与化归的思想及推理、运算能力，其中直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重点题型，属于中档试题，本题的解答中直线与椭圆方程，得到关于x 的一元二次方程，根据AP PB λ= 和4OA OB OP λ+=的运算，再利用韦达定理即可求解实数m的取值范围．【母题3】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为18，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，过2F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若1F AB ∆的周长为8. （1）求椭圆方程；（2）若直线l 的斜率不为0，且它的中垂线与y 轴交于Q ，求Q 的纵坐标的范围； （3）是否在x 轴上存在点(,0)M m ，使得x 轴平分AMB ∠?若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）[；（3）存在，4m =.考点: 1、待定系数法求椭圆的标准方程、基本不等式求最值；2、解析几何中的存在性问题. 【名师点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、基本不等式求最值以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在（或者方程有解就存在，没解就不存在），注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.【母题4】如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，椭圆的长轴长为8，离心率为47.（1）求椭圆方程；（2）椭圆内接四边形ABCD 的对角线交于原点，且0)()(=-⋅+BC DC AD AB ，求四边形ABCD 周长的最大值与最小值.【答案】（1）191622=+y x ；（2）最大值是20，最小值是596.（2）由题意可设),(),,(2211y x B y x A ，则),(),,(2211y x D y x C ----，因为),,(1212y y x x AB --=),,(1212y y x x DC --=所以DC AB =，所以四边形ABCD 是平行四边形.因为考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【名师点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆位置关系的综合应用，其中直线与椭圆方程联立相交问题转化为联立方程组求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值是解答的关键，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归思想的应用，试题运算量与思维量较大，需要平时注意总结和积累，属于难题.【母题5】已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点⎛M ⎝，且其离心率为，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O，求实数λ的取值范围．【答案】（I ）2212x y +=；（II ；（III ）22λ-<<且0λ≠．考点：椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出Q 的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数λ的范围. 【母题6】已知抛物线2:2C y px =(0)p >，过焦点F 作动直线交C 于,A B 两点，过,A B 分别作圆22:()12p D x y -+=的两条切线，切点分别为,P Q ，若AB 垂直于x 轴时，114sin sin PAF QBF+=∠∠.（1）求抛物线方程；（2）若点H 也在曲线C 上，O 为坐标原点，且OA OB tOH +=，8HA HB -<，求实数t 的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.考点：抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.【名师点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，其中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，借助韦达定理和判别式，运算、化简是解答此类问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，同时助于向量的运算与化简，试题有一定的难度，属于难题.【母题7】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点.（1）若直线l 过焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，若F 是AB 的一个靠近点B 的三等分点，且点B 的横坐标为1，弦长9AB =时，求抛物线C 的方程；（2）在（1）的条件下，若M 是抛物线C 上位于曲线AOB （O 为坐标原点，不含端点,A B ）上的一点，求ABM ∆的最大面积.【答案】（1） 28y x =；（2）.由28y x =(0)y >，得y ='12y ==令'y =，得14x =.将14x =代入抛物线2:8C y x =中，得0)y y =>.所以当点M 的坐标为1(4时，ABM ∆的面积取得最大值，此时点M 1(4到直线:0AB y --=的距离是d ==||9AB ==，所以ABM ∆的最大面积是11||922S AB d =⋅=⨯=②当取点(1,B时，点(4,A -，同理，也验证ABM ∆的最大面积是S =； 综上，ABM ∆考点：抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系，考查了考生数形结合的思想和运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据抛物线的定义及弦AB 的长求得抛物线方程，进而得到,A B 两点的坐标，通过讨论分别求出,A B 取不同的点时，ABM ∆的最大面积，其中求ABM ∆面积的最大值时，通过运动与变化的观点及导数的几何意义求得是面积最大的点M 的坐标，这是本题的难点.【母题8】已知抛物线21:y 4C x =和()22C :20x py p =>的焦点分别为1212,,,F F C C 交于,O A 两点（O 为坐标原点）且12F F OA ⊥.（1）求抛物线2C 的方程；（2）过点O 的直线交1C 的下半部分与点M ，交2C 的左部分于点N ，点P 的坐标为()1,1--，求PMN ∆面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）8.考点：1、待定系数法求求抛物线标准方程；2、利用基本不等式求最值.【名师点晴】本题主要考查待定系数法求求抛物线标准方程和利用基本不等式求最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求PMN ∆面积的最小值.【母题9】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个焦点12,F F ，且椭圆过点(,，且A 是椭圆上位于第一象限的点，且12AF F ∆的面积12AF F S ∆=（1）求点A 的坐标；（2）过点()3,0B 的直线l 与椭圆E 相交与点,P Q ，直线,AP AQ 与x 轴相交与,M N 两点，点5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，则CM CN ⋅是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由．【答案】（1）()2,1A ；（2）14．（2）解法一：设直线l 的方程为：3x my =+，()()1122,,,P x y Q x y 直线AP 的方程为：()111122y y x x --=--，可得：1112,01y x M y ⎛⎫-⎪-⎝⎭，即()1123,01m y M y --⎛⎫⎪-⎝⎭直线AQ 的方程为：()221122y y x x --=--，可得：2222,01y x N y ⎛⎫-⎪-⎝⎭，即()2223,01m y M y --⎛⎫⎪-⎝⎭联立22326x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()222630m y my +++=，由()22361220m m ∆=-+>，可得21m >；12122263,22m y y y y m m+=-=++，()()12122323552121m y m y CM CN y y ----⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭解法二：设()()()()112234,,,,,0,,0P x y Q x y M x N x ，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为12,,k k k ，由()22326y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()222212121860k x k x k +-+-=，()()2221444121860k k k ∆=-+->，可得：21k <，21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+，()()12121212123131112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121225112424kx x k x x k x x x x -++++=-++()22222222221861225112444121221861222241212k k k k k k k k k k k k k-⋅-+⋅++-+++===----⋅+++，由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理4212x k =-，即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则121251511111222222CM CN k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212121212111111114242k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 121211211424k k k k -=+⨯+=，故CM CN ⋅为定值，该定值为14考点：椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系的应用．【名师点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的性质的应用、直线与圆锥曲线位置关系的应用，其中设直线l 的方程3x my =+，得出直线AP 和AQ 的方程，得到M 的坐标，联立方程组，利用根与系数的关系可得1212,y y y y +是解答问题的关键，着重考查了转化与化归思想及推理和运算能力，试题有一定的难度，属于难度．【母题10】已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点10,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,B A 两点，试问：在y 轴上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 2212x y +=；（2）存在一个定点()0,1T 满足条件.考点：1、待定系数法求椭圆标准方程；2、韦达定理及曲线过定点问题.【名师点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及韦达定理及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.。

【2017年高三数学优质试卷分项精品】专题八 圆锥曲线【文】一、选择题1. 【2016届湖北省八校高三二联】已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则 PF PA的最小值是（ ）A.14 B. 12 C. D. 【答案】C2. 【2016届邯郸市一中高三十研】已知直线1)y x =-与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，点(1,)M m -，若0MA MB =，则m =（ ）A B C ．12D ．0 【答案】B【解析】由21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得22(1)4y y =-220y --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124y y y y +==-，所以22212121212()254442y y y y y y x x +-+=+==，221212144y y x x =⨯=，1122(1,),(1,)MA x y m MB x y m =+-=+-，所以有2121212121212(1)(1)()()()1()MA MB x x y m y m x x x x y y m y y m ⋅=+++--=++++-++22251114(022m m m =++-+=+==，所以m = B. 3. 【2016届湖北省八校高三二联】已知圆C 方程为()()22210x y r r -+=>，若p ：13r ≤≤；q ：圆C 上至多有3个点到直线+30x =的距离为1，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A4. 【2016届邯郸市一中高三十研】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆：22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．22 D 【答案】C【解析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，即0kx y -=1=，解之得213k =，当双曲线的焦点在x 轴上时有221,3b a =即222222214,,33c b a c a e e a ==-∴===；当双曲线的焦点在y 轴上时有221,3a b =即22222223,4,2c b a c a e e a==-∴===，故选C.5. 【2016年安庆市高三二模】双曲线:C 22221x y a b-=（0a >,0b >）的一条渐近线方程为2y x =,则C 的离心率是（ ）A B C ．2 D 【答案】A 【解析】由已知2=ab,5)(12=+==a b a c e ,故选A.6. 【2016年江西省九江市三模】 已知直线l 经过圆042:22=--+y x y x C 的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为5，则直线l 的方程为（ ）A ．052=++y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．032=+-y x 【答案】C【解析】圆心)2,1(C ，∴2OC k =，OC =l OC ⊥，12l k =-∴直线l 的方程为)1(212--=-x y ，即052=-+y x .7. 【2016年江西省九江市三模】过双曲线),0,0(1:222222b a c b a b y a x C +=>>=-的左焦点F 作圆⊙4222c y x =+的切线，且点为E ，延长PE 交双曲线C 右支于点P ，若E 为PF 的中点，，则双曲线C 的离心率为（ ) A ．12+ B ．212+ C ．13+ D ．213+ 【答案】C【解析】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，依题意可得F P EO '∥，PF EO ⊥，则,3,c PF c F P =='∴c c a -=32，即13132+=-=e .8. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是（ ） AB ．12C ．1 D【答案】B【解析】椭圆的一个焦点为(1,0)，所求距离为12d ==．故选B ． 9. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()1,1-，则双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．2214x y -= C ．22199x y -= D ．22133x y -=【答案】C10. 【山西省榆林市高三第二次模拟】已知抛物线24y x =的准线与双曲线()222410y x b b-=>交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线离心率为（ ） ABC．83【答案】C2,b ==而12c a c e a =⇒==⇒===，选C. 11. 【2016届江西师大附中、鹰潭一中联考】 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为1-=x ，直线l 与抛物线C 相交于B A ,两点．若线段AB 的中点为)1,2(，则直线l 的方程为( )A ．32-=x yB ．52+-=x yC ．3+-=x yD ．1-=x y 【答案】A【解析】易知抛物线的方程为24y x =.设1122(,),(,),A x y B x y 则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,两式相减得：121212()()4()y y y y x x +-=-, 所以AB 的斜率1212124422y y k x x y y -====-+,从而直线AB 的方程为12(2)y x -=-,即23y x =-.故A 正确.12. 【2016年河南省八市重点高中质检】过点(3,1)作圆222(1)x y r -+=的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ）A ．250x y +-=B ．270x y +-=C ．250x y --=D ．270x y --= 【答案】B13. 【2016福建省厦门一中高三周测】已知抛物线2:8C y x =与直线(2)(0)y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =（ ）A ．13 BC ．23D【答案】B【解析】设抛物线2:8C y x =的准线为2l x =-：，直线(2)(0)y k x k =+>恒过定点20P -（，），如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF OB BF =∴=，，点B 的横坐标为1，∴点B 的坐标为10,k k k ±∴==>∴=（， 14. 【2016届河北省石家庄市高三二模】已知实数0>p ，直线0234=-+p y x 与抛物线px y 22=和圆4)2(222p y p x =+-从上到下的交点依次为DC B A ,,,，则BD AC 的值为（ ） A ．81 B ．165 C ．83D ．167 【答案】C15. 【2016届淮南市高三第二次模】“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意得，直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直，则3(21)0m m m +-=，解得0m =或1m =-，所以“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的充分不必要条件，故选A ．16. 【2016届淮南市高三第二次模】以双曲线2213x y -=的左右焦点为焦点，离心率为12的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211216x y +=B ．221128x y +=C ．2211612x y +=D ．221812x y +=【答案】C【解析】由题意得，双曲线的焦点坐标为12(2,0),(2,0)F F -，即2c =，又离心率为12，即12c a =，解得4a =，所以b ==，所以椭圆的方程为2211612x y +=，故选C ． 17. 【2016届淮南市高三第二次模】 过点(2,0)引直线l 与圆222x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆面积取最大值时，直线l 的斜率为 .【答案】33±18. 【2016年河南省商丘市高三三模】 已知抛物线x y 82=与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5=MF ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．035=±y x B ．053=±y x C ．054=±y x D ．045=±y x【答案】A【解析】依题意,抛物线焦点()2,0F ,设()00,M x y ,因为5MF =,所以0025,3x x +==,所以(3,M ±,代入2221x y a -=得2299241,25a a -==,所以令2220x y a -=,得双曲线的渐近线为xy a=±,即035=±y x . 二、填空题1. 【2016届湖北省八校高三二联】已知12,l l 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，且右焦点关于1l 的对称点在2l 上，则双曲线的离心率为 . 【答案】2【解析】由题意可知：12:,:b bl y x l y x a a==-，(,0)F c ，设F 关于直线1l 的对称点为00(,)P x y ，则0000001022by x a y b x c ay x cb a ⎧=-⎪⎪-⎪⨯=-⎨-⎪⎪++=⨯⎪⎩，消去00,x y 得22223,4,b a c a =∴=即2c a =，2c e a ==. 2. 【2016年安庆市高三二模】 已知抛物线:C 28x y =的焦点为F ,动点Q 在C 上,圆Q 的半径为1,过点F 的直线与圆Q 切于点P ,则FP FQ ⋅的最小值为 ． 【答案】 3【解析】12⋅r FQ FP .d d ,为点Q 到准线的距离,易知,3)(,2min =⋅∴=FQ FP .3. 【2016届河北省石家庄市高三二模】已知双曲线14222=+-m y m x 的一条渐近线方程为x y 3=，则实数m 的值为______.【答案】54【解析】因为双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线为x aby ±=，所以14222=+-m y m x 的渐近线为x m m y 24+±=，则有54324=⇒=+m m m . 4. 【2016年河南省八市重点高中质检】M 为抛物线28y x =上一点，过点M 作MN 垂直该抛物线的准线于点,N F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，若四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上，则该圆的面积为_______. 【答案】272π三、解答题1. 【2016届湖北省八校高三二联】定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M：(2212x y +=及点()A ，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W .（Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.k k 【答案】（Ⅰ）2213x y +=;（Ⅱ）13-.【解析】（Ⅰ）由分析知：点P在圆内且不为圆心，故PA PM AM +=>=, 所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆， ……………2分设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则22a a c c ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，所以21b =，故曲线W 的方程为22 1.3x y += ……………5分（Ⅱ）设111122(,)(0),(,)C x y x y E x y ≠,则11(,)D x y --,则直线CD 的斜率为11CD y k x =，又CE CD ⊥，所以直线CE 的斜率是11CE x k y =-，记11xk y -=，设直线CE 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222136330k x mkx m +++-=.∴122613mk x x k +=-+，∴121222()213my y k x x m k +=++=+，由题意知，12x x ≠， 所以1211121133y y y k x x k x +==-=+， ……………9分所以直线DE 的方程为1111()3y y y x x x +=+，令0y =，得12x x =，即1(2,0)F x . 可得121y k x =-. ……………11分 所以1213k k =-，即121=.3k k - ……………12分 2. 【2016届邯郸市一中高三十研】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(A ，，点12,F F 分别为其左右焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．【答案】(1) 2212x y +=;(2) .【解析】（1）由题意得：222c e a b c a ==-=，得,b c a ==，因为椭圆过点(A ，则221112c c +=，解得1c =，所以a =所以椭圆C 方程为：2212x y +=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠ 与24y x =联立得2222(24)0k x k x k -++=， 令1122(,),(,)M x y N x y ，则1212242,1x x x x k +=+=，244MN k==+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--， 将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令23344341222422(,),(,),,22k P x y Q x y x x x x k k -+==++，由弦长公式242PQ k ==+，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴四边形PMQN 的面积12S MN PQ ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分令21(1)t k t =+>，上式21)1S t ===+>-，所以S ≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分3. 【2016年安庆市高三二模】已知圆:M 220x y +-=的圆心是椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点,过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M 相切．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）椭圆C 上有两点()11,A x y 、()22,B x y ,OA 、OB 斜率之积为14-,求2212x x +的值． 【答案】 (Ⅰ) 1422=+y x ；（II ）4. 【解析】 (Ⅰ) 圆3)3(0322222=+-⇒=-+y x x y x 圆心坐标为)0,3(M ,3,322=-=∴b a c过椭圆C ：12222=+by a x 的左焦点)0,3(-F 和上顶点的直线的斜率显然大于0,可设直线l的方程为：)3(+=x k y ,因为直线l 与圆相切,,33,313032±=∴=++-∴k k k k 又0>k ∴直线l 的方程为：)3(33+=x y ,14:4,1222=+∴==∴y x C a b…… 6分4. 【2016年江西省九江市三模】如图所示，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，⊙222:b y x O =+，点A 是椭圆C 的左顶点直线AB 与⊙O 相切于点)1,1(-B . （1）求椭圆C 的方程；（2）若⊙O 的切线l 与椭圆C 相交于N M ,两点，求OMN ∆面积的取值范围.【答案】（1）12422=+y x ；（2）． 【解析】（1）∵)1,1(-B 在⊙222:b y x O =+上，∴2,22==b b .（2分）又AB 是⊙O 的切线，∴0,=⋅⊥OB AB OB AB ，即0)1,1()1,1(=+-⋅-a ，解得2=a .（4分）∴椭圆C 的方程为12422=+y x .（5分）（2）设直线m ty x l +=;，则2221222+=⇒=+t m t m .（6分）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422y x mty x ，消去x 得：042)2(222=-+++m tmy y t .（7分）设),(),,(2211y x N y x M ，则,24,222221221+-=+-=+t m y y t tm y y （8分）2)4(4)2(4112222222212+--++=-+=t m t m t ty y t MN]2,0(111421428241222222222∈+++=++=++-+=t t t t t m t t ，当且仅当0=t 时“=”成立.（10分） ∴]2,0(221∈⨯⨯=∆MN S OMN .（12分） 5. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】 如图，已知O 为原点，圆C 与y 轴相切于点()0,2T ，与x 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的右侧），且3MN =，椭圆()2222:10x y D a b a b +=>>过点，且焦距等于2ON ．（1）求圆C 和椭圆D 的方程；（2）若过点M 斜率不为零的直线l 与椭圆D 交于A B 、两点，求证：直线NA 与直线NB 的倾角互补．【答案】（1）圆22525:()(2)24C x y -+-=；椭圆22:143x yD +=；（2）证明见解析．（2）设直线l 的方程为()4y k x =-,由()221434x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222343264120k xk x k +-+-=， ①设()()1122,,,A x y B x y ,则22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++． 因为 121211AN BNy y k k x x +=+--()()()()()()()()12122112124441411111k x k x x x x x k x x x x ----+--=+=⋅---- ()()()12121225811kx x x x x x =⋅-++⎡⎤⎣⎦--，()()()2222122641216080113434k kk x x k k ⎡⎤-⎢⎥=⋅-+=--++⎢⎥⎣⎦， 所以AN BN k k =-． 当11x =或21x =时,12k =±,此时方程①,0∆=,不合题意.∴直线AN 与直线BN 的倾斜角互补．6. 【山西省榆林市高三第二次模拟】已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的短轴长为.圆E 的圆心在椭圆C 上，半径为2.直线1y k x =与直线2y k x =为圆E 的两条切线.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问：12k k 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】（1）221205x y +=（2）14-【解析】（1）由2b =b =c e a ==2234c a =，∵222a b c =+，∴22534a a -=，解得：2220,5ab ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴椭圆C 的标准方程为：221205x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为直线1y k x =与圆()()2200:4E x x y y -+-=相切，∴2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分整理得：()222010*******x k x y k y --+-=， 同理可得：()222020*******x k x y k y --+-=，所以，12,k k 为方程()22200004240x x x y x y --+-=的两个根…………………………8分∴20122044y k k x -=-，又∵()00,E x y 在椭圆22:1205x y C +=上，∴22005120x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………10分∴20201222005142041444x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，故12k k 是定值为14-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 7. 【2016届江西师大附中、鹰潭一中联考】 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，右顶点(2,0)A 。

第二章 圆锥曲线与方程(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)1．椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．解析：由已知2c ＝6，∴c ＝3，而c 2＝9，∴20－k ＝9或k －20＝9，∴k ＝11或k ＝29.答案：11或292．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.解析：由题意知，m <0，双曲线mx 2＋y 2＝1化为标准形式y 2－x 2－1＝1，故a 2＝1，b 2＝－1m，所以a ＝1，b ＝－1m，则由2－1m ＝2×2，解得答案：－1431，则该椭圆的离心率为________．>0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2b2a ＝ 2a 2c －c ＝1，即M (4，3)的双曲线方程为________． 解析：设方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，将M (4，3)代入方程得λ＝4，所以方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝15．已知双曲线3x 2－y 2＝9，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于________．解析：即求离心率，双曲线化为标准方程x 23－y 29＝1，可知a ＝3，c ＝a 2＋b 2＝3＋9＝23，e ＝c a ＝233＝2.答案：26．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，而抛物线y 2＝2px 的焦点为(p 2，0)，则p2＝2，故p ＝4.答案：47．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．解析：由题意得F (1,0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1·AF→＝－4，解得y 0＝±2，此时点A 的横坐标为y 204＝1，故点A 的坐标是(1答案：(1，±2)8．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的任意一点，又点Q PQ 的最大值为________．解析：设P 的坐标(x ，y )，则PQ 2＝x 2＋(y ＋4)4)2＝－916(y －649)2＋6259(－4≤y ≤4)， 当y ＝4时，PQ 2最大，此时PQ 最大，且PQ 的最大值为－16＋＋＝8. 答案：8 ．以双曲线x 9－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．．又因为点(5,0)到渐近线y ＝±43x 的距离为4，0.焦点到椭________．⎩⎪a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2 3 c ＝3，椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1 11．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，M (－2,0)，N (2,0)，则MN →＝(4,0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )；由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4x ＋2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理得y 2＝－8x .答案：y 2＝－8x12．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，则Q (－x ，y )，又设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0.于是BP →＝(x ，y －b )，PA →＝(a －x ，－y )，由BP →＝2PA →可得a ＝32x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0.又AB →＝(－a ，b )＝(－32x,3y )，由OQ →·AB →＝1可得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)13．抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，则m 的取值范围是____________．解析：法一：设两对称点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且AB 所在直线的方程可设为：y ＝－1mx ＋b ，代入y 2＝x ，得y 2＋my －mb ＝0， ∴y 1＋y 2＝－m ，且Δ＝m 2＋4mb ＞0.①设A 、B 的中点为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝－m2， 又A 、B 的中点在直线y ＝m (x －3)上，所以x 0＝52，又(x 0，y 0)在直线y ＝－1mx ＋b 上．∴b ＝y 0＋1m x 0＝－m 2＋52m，代入①并整理得：m 2＜10， ∴－10＜m ＜10，∴m 的取值范围是(－10，10)．法二：设两对称点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且A 、B 的中点为(x 0，y 0)，依题意，则有：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧y 21＝x 1 ①y 22＝x 2 ②y 1－y 2x 1－x 2＝－1m ③y 1＋y 2＝2y 0 ， ④x 1＋x 2＝2x 0 ⑤y 0＝m x 0－⑥y 20＜x 0⑦①－②得：(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝x 1－x 2，将③④代入上式得：y 0＝－m2，⑧将⑧代入⑥得：x 0＝52，⑨将⑧⑨代入⑦得⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 22＜52，∴m 2＜10，∴－10＜m ＜10. ∴m 的范围是(－10，10)． 答案：(－10，10)14．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0且a ≠b )的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题：①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝a 上； ②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝b 上； ③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④△PF 1F 2的内切圆必通过点(a,0)．其中真命题有________(写出所有真命题的代号)．解析：设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则PA ＝PB ，F 1A ＝F 1M ，F 2B ＝F 2M ，又点P 在双曲线右支上，所以PF 1－PF 2＝2a ，故F 1M －F 2M ＝2a ，而F 1M ＋F 2M ＝2c ，设M 点坐标为(x,0)，则由F 1M －F 2M ＝2a 可得(x ＋c )－(c －x )＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①④正确．答案：①④ 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m 时，水面宽8 m.(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程； (2)若水面上升1 m ，求水面宽度．解：(1)如图，以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由已知条件可知，点B 的坐标是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p ×(－4)，即p ＝2.所以，所求抛物线标准方程是x 2＝－4y .(2)若水面上升1 m ，则y ＝－3，代入x 2＝－4y ，得x 2＝－4×(－3)＝12，x ＝±23，所以这时水面宽为4 3 m.16．(本小题满分14分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解：(1)把椭圆方程化为标准形式为x 29＋y 24＝1，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)．故设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝59a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b 2＝2，故所求双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x ＝355，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则有p 2＝355，故p ＝655.所以抛物线的标准方程为y 2＝－1255x .17．(本小题满分14分)已知双曲线x 29－y 227＝1与点M (5,3)，F 为右焦点，试在双曲线上求一点P ，使PM ＋12PF 最小，并求出这个最小值．解：双曲线的右焦点F (6,0)，离心率e ＝2，右准线为l ：x ＝32.作MN ⊥l 于N ，交双曲线右支于P ，连结FP ，则PF ＝ePN ＝2PN ⇒PN ＝12PF .此时PM ＋12PF ＝PM ＋PN ＝MN ＝5－32＝72为最小值．在x29－y227＝1中，令y ＝3，x 2＝12⇒x ＝±23； 又∵x >0，∴取x ＝2 3.即当所求P 点的坐标为(23，3)时，PM ＋12PF 取最小值72.18．(本小题满分16分)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点N (－2，1)在椭圆上，线段NF 2与y 轴的交点M 满足NM →＋F 2M →＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．解：(1)由已知，点N (－2，1)在椭圆上，∴有2a 2＋1b2＝1，①又∵NM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上，∴M 为NF 2的中点，∴－2＋c ＝0，c ＝ 2.∴有a 2－b 2＝2，②由①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4，故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，即m ＋n ＝4.①又由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos π3＝F 1F 22，即m 2＋n 2－mn ＝(22)2.②由①2－②，得mn ＝83，∴S △F 1PF 2＝233.19．(本小题满分16分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N (3)以M 为圆心，MB 为半径作圆AK 与圆M 的位置关系．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为于是4＋p2＝5，∴p ＝2.(2)∵点A 的坐标是(4,4)MN ＝－4， 43x －＝－34x ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85 y ＝45，8(3)由题意得，圆M 的圆心是点(0,2)，半径为2.当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4，此时，直线AK 与圆M 相离，当m ≠4时，直线AK 的方程为y ＝44－m(x －m )，即为4x －(4－m )y －4m ＝0，圆心M (0,2)到直线AK 的距离d ＝|2m ＋8|16＋m －2， 令d >2，解得m >1.∴当m >1时，直线AK 与圆M 相离； 当m ＝1时，直线AK 与圆M 相切； 当m <1时，直线AK 与圆M 相交．20. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 解：由题设得A (－3,0)，B (3,0)，F (2,0)．(1)如图，设点P (x ，y )，则PF 2＝(x －2)2＋y 2， PB 2＝(x －3)2＋y 2.由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－(x －3)2－y 2＝4，化简得x ＝92.故所求点P 的轨迹为直线x ＝92.(2)如图，由x 1＝2，x 219＋y 215＝1及y 1＞0，得y 1＝53，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，从而直线AM 的方程为y ＝13x ＋1；由x 2＝13，x 229＋y 225＝1及y 2＜0，得y 2＝－209，则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－209，从而直线BN 的方程为y ＝56x －52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋1，y ＝56x －52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103.所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，103. (3)证明：如图，由题设知，直线AT 的方程为y ＝m 12(x ＋3)，直线BT 的方程为y ＝m6(x－3)．点M (x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝m 12x 1＋，x 219＋y215＝1，得x 1－x 1＋9＝－m 2122·x 1＋25.因为x 1≠－3，则x 1－39＝－m 2122·x 1＋35，解得x 1＝240－3m280＋m2， 从而得y 1＝40m80＋m2.点N (x 2，y 2)满足⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝m6x 2－，x 22＋y22＝1，解得x 2若x 1＝x 210，此时直线MN 的方程为x ＝1，。

专题八 圆锥曲线 测试卷一、填空题（14*5=70分）1．【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1) 2.x y -+=，当且仅当1m =时取等号，所以半径最大为r =22(1) 2.x y -+= 2. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=______．【答案】6【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===.3. 【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为______．【答案】43-或34-4. 【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 .【解析】设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以点P 到直线01=+-y x 的距离恒大于直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，因此c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -==5. 【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于______．【答案】9【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =6. 【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =______．【答案】【解析】7. 【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为______．【答案】191622=-y x 【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=8. 【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是______．【答案】（【解析】由题知12(F F ，220012x y -=，所以12MF MF ∙ =0000(,),)x y x y -∙- =2220003310x y y +-=-<，解得0y <<9. 【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是______．【答案】()24， 【解析】10. 【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F 作AF的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a ______．【答案】(1,0)(0,1)-【解析】由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()bc x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-11. 【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y= 的准线上，则双曲线的方程为______． 【答案】22143x y -=12. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为______．【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =13. 【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1, 2.2pp == 14. 【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .【答案】5.二、解答题（6*15=90分）15. 【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦．【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ⋅=-即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；16. 【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，4417. 【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =-或1y x =-+．【解析】从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()22231C 12k k k +P =+． 因为C 2P =AB，所以(())222223111212k k k k k++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．18. 【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点，且离心率为2．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线1x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点， 判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【答案】(Ⅰ)22142x y +=；(Ⅱ) G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,b caa b c ì=ïïï=íïï=+ïî解得2a b c ì=ïï=íïï=î 所以椭圆E 的方程为22142x y +=．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),GB (,).44x y x y =+=+由22221(m 2)y 230,142x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++，从而121212129955GA GB ()()(my )(my )4444x x y y y y =+++=+++22212122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y =+++=-+++ 22172016(m 2)m +=>+ 所以cos GA,GB 0,GA GB 狁>又，不共线，所以AGB Ð为锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．19. 【2015高考浙江，理19】已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．【答案】（1）m <或m >；（2）2.1(t m =∈，则2||2AB t =+，且O 到直线AB的距离为21t d +=，设AOB ∆的面积为()S t ，∴1()||22S t AB d =⋅=≤，当且仅当212t =时，等号成立，故AOB ∆. 20. 【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .( i )求OQOP 的值；（ii ）求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（I ）2214x y +=；（II ）( i )2；（ii）【解析】试题分析：（I ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b 的值，从而得到椭圆的方程；（II ）（i ）设()00,P x y ，OQOP λ= ，由题意知()00,Q x y λλ--，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定λ 的值; （ii ）（II ）由（I ）知椭圆E 的方程为221164x y +=, （i ）设()00,P x y ，OQOP λ= ，由题意知()00,Q x y λλ-- 因为220014x y +=, 又()()22001164x y λλ--+= ，即22200144x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以2λ= ，即2OQ OP = . （ii ）设()()1122,,,A x y B x y将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得()2221484160k x kmx m +++-= 由0∆> ，可得22416m k <+ …………………………① 则有21212228416,1414km m x x x x k k-+=-=++所以12x x -=因为直线y kx m =+与轴交点的坐标为()0,m所以OAB ∆的面积2212S m x x =⋅-===。