湖北仙桃中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

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(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（） A 23B 3C 2D ．25．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（）A ．16B ．8C ．4D ．26．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（） A ．2B ．3C ．32D ．527．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（）A ．8B ．4C ．83D ．438．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（） A ．910+B ．926+C ．712612+ D ．832612+ 9．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（）A ．2B ．4C ．5D ．611．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（） A ．5B ．3C ．2D12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（）A ．12B．2C ．13D二、填空题13．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.15．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.16．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.18．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.19．已知点1F ，2F 为椭圆22122:1x y C a b +=（0a b >>）和双曲线22222:1x y C a b -=''（0a '>，0b '>）的公共焦点，点P 为两曲线的一个交点，且满足01290F PF ∠=，设椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221211e e +=___________． 20．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果AF BF =，那么AKF ∆的面积是______.三、解答题21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B 且左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，在点P 的运动过程中，有且只有6个位置使得12PF F 为直角三角形，且12PF F 的内切圆半径的最大值为22-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，记MN 的中点为Q ，求点A 到直线BQ 的距离的最大值.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B ，离心率为32，且直线AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.23．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．24．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:43C x y =的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若2OM ON ⋅=-. 求直线l 的方程；25．已知离心率22e =的椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且423AB =，求直线l 的方程. 26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由32c e a ==，得2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+，∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程．【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =，则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =，所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===，因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3y x，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，所以>0∆，且3是方程的根，所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意，综上，a 的取值范围为[)1,1-，故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题4．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =，即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得e =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方6．A解析：A 【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=，所以122PF c a =-，设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.7．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则b =，所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.8．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A My y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+，故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 9．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b，所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确；对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以1118021802180AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确；对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-，又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ，因为2211222y y p pp ，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确；对于④，不妨设(002A x px ，则002AT px k =，则直线002:x AT x x p =-，代入抛物线方程化简得0202220x px py p +=-，则0020228x p ppx ⎛∆=- -=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.10．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.11．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率．【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==．故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22221212220x x y y a b --+=，因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以231c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.14．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：102【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+，由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =，故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=，即()242240a ++=，整理得2280a a +-=，解得2a =.故双曲线C 的离心率为10c a =. 10【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆解析：3【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以32r =-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.16．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-，所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆，所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计解析：6【分析】由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13||||22CF AB p ==，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用13ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.【详解】解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3||2CF p =，||||AB AF =.AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，13||||22CF AB p ∴==，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得52A x p =，代入可取5A y p =，1113535332ACE ABC S S p p ∆∆∴===，解得6p =．故答案为:6．【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.18．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的解析：4+61【分析】设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．【详解】解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，(5,0)，由双曲线的定义，得12||||26MF MF a -==，又A 是圆22(6)4x y +-=上的点，圆的圆心为(0,6)C ，半径为2，由图可知，22||||||CM MF CF +≥，12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=则1||||MF MA +的最小值为4+61 故答案为：4+61 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题．19．2【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得再结合离心率公式求解即可【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点点分别为左右交点由椭圆定义有由双曲线定义有则即又则即所以即2故答案为：2【点睛】本题考查了椭圆及解析：2 【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得2'2a a +22c =，再结合离心率公式求解即可. 【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点，点1F ，2F 分别为左、右交点，由椭圆定义有122PF PF a +=，由双曲线定义有'122PFPF a -=，则212()PF PF +212()PF PF +-=22122()PF PF +2'24()a a =+，即2212PF PF +2'22()a a =+，又01290F PF ∠=，则222124PF PF c +=，即2'2a a +22c =，所以2'2222a a c c +=，即221211e e +=2，故答案为：2. 【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.20．【分析】计算得到故为正三角形计算面积得到答案【详解】抛物线的焦点准线为l ：由抛物线的定义可得由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得即有为正三角形由F 到l 的距离为则的面积是故答案为：【点睛】本题解析：【分析】计算得到AF AK =，FK AF =，故AKF ∆为正三角形，4AK =，计算面积得到答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为l ：1x =-，由抛物线的定义可得AF AK =，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得FK AF =，即有AKF ∆为正三角形，由F 到l 的距离为2d =，则4AK =，AKF ∆16=.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，确定AKF ∆为正三角形是解题的关键.三、解答题21．(1) 22142x y += (2) 47【分析】（1）由条件得出当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为直角三角形，则b c =，当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值，则22cbR a c==-+22222c a b a c =-=-，可求出椭圆方程. （2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+ ,与椭圆方程联立得出韦达定理，由1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=---，结合韦达定理可得n 的值，从而得出点Q 的坐标，进而求出直线BQ 的方程，由点到直线的距离公式可得出答案【详解】点P 为椭圆C 上的动点，当1PF x ⊥或2PF x ⊥时，12PF F △为直角三角形. 此时满足条件的点P 有4个，根据满足条件的点P 有6个. 则满足条件的点P 的另2个位置位于椭圆C 的上下顶点处.当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为等腰直角三角形，即b c =12PF F △的内切圆半径我为R ，则()12121211222PF F P Sc y F F PF PF R ==++ 即()P c y a c R =+，所以Pc y R a c=+ 当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值.所以2cb R a c ==+，即22c a c=+22222c a b a c =-=-，即a =解得2,a b =，所以椭圆C 的标准方程为：22142x y +=（2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+由22142x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222240m y mny n +++-=所以212122224,,22mn n y y y y m m --+=⋅=++据条件直线BM ，BN 的斜率存在，由条件可得1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=--- 即1212122y y my n my n ⋅=-+-+-，即()()()2212121222y y m y y m n y y n -=+-++-所以()()()()2212121220m y y m n y y n ++-++-=则()()()2222242122022n mn m m n n m m --++-+-=++化简可得()()2320n n --=，即23n =或2n = 当2n =时，直线MN 过点B ，不满足条件.所以 23n =，则()12222243232m m y y m m -⨯-+==++ 由MN 的中点为Q ，则()2232Q my m -=+所以()()2222433232Q m x m m m -=⨯+=++所以()()222232434232BQm m m k m m -+==+-+所以直线BQ 的方程为()2234m y x m =-+，即()23420m y mx m +-+= 所以点()2,0A -到直线BQ 的距离为d ==47=≤=当且仅当22169mm=,即243m=时取等号.所以点()2,0A-到直线BQ的距离的最大值为47【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的几何性质和椭圆中的定点问题以及点到直线的距离的最值问题，解答本题的关键是由1212122BM BNy yk kx x⋅=⋅=---结合韦达定理得出n的值，进一步得出点Q的坐标()2232Qmym-=+，234BQmkm=+，得出直线BQ的方程为()2234my xm=-+，属于难题.22．（1）2214xy+=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得==,a b的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y<<从而可表示出直线PA的方程，然后求出点M的坐标，得到BM的值，同理可得到AN的值，进而可求得四边形ABNM的面积，得到结论【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab+=，所以⎧=⎪=2a=，1b=，所以椭圆C的方程为2214xy+=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y<<+=.因为()()2,0,0,1A B，所以直线PA的方程为()22yy xx=--，令x=，得022M y y x =--，从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.23．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析．【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围.(3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的. 【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=，故圆心()11M ，，半径R = 圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =<所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ，设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E，)F ，设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+，整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，，())()2222x x y x y =⋅+-=+-()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩，由此得2102y ≤<，所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．故直线MA 的方程为()11y k x -=-，直线MB 的方程为()11y k x -=--，由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()()222121120k x k k x k ++-+--=，因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k kx k -∴+=+ 可得22211A k k x k --=+，同理可得：22211B k k x k +-=+，所以B AAB B Ay y k x x -=-()()3232222222222421111114212111B A MNB Ak k k k k k kk k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++，所以直线AB 和MN 一定平行．【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点： (1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断； (2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.24．（1）22143x y +=；（2）1)y x -或1)y x =-.【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得b =.（2）先验证直线斜率不存在时的可求，然后当直线斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由12122OM ON x x y y ⋅=+=-，将韦达定理代入可得答案. 【详解】解：（1）由题意得，抛物线2:C x =的焦点为 ∴椭圆的一个顶点为，∴b =又∵12c e a ==, 222231114b e a a =-=-=，所以2a =∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由题意可知，直线l 与椭圆必相交，①当直线斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，则331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则9124OM ON ⋅=-≠-，所以不合题意， ②当直线斜率存在时，设直线l 为(1)y k x =-且1122(,),(,)M x y N x y .由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ∴221222228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++. ∴[]21212121212()1OM ON x x y y x x kx x x x ⋅=+=+-++2222222224124128512(1)234343434k k k k k k k k k----=+-+==-++++. ∴22k =∴k =0∆>∴直线l的方程为1)y x =-或1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆与直线的位置关系，解得本题的关键是联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理得到221222228412,3434k k x x x x k k -+=⋅=++，由[]21212121212()1OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++，然后将韦达定理代入，属于中档题.25．（1）2212x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.【分析】（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后代入弦长公式12AB x =-可求得参数m 值得直线方程．【详解】（1）由题意知，1c =，c e a ==，∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简，得2234220x mx m ++-=.由已知得，()2221612228240m m m ∆=--=-+>，即23m <，∴m <<1243m x x +=-，212223m x x -=.∴213AB x =-==，解得1m =±，符合题意，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(有答案解析)

一、选择题1．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．1[,1)2B ．C ．D ． ⎛ ⎝⎦2．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D 两点，直线AB 交l 于G点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CFDF②直线AB 的倾斜角为π4或3π4 ③F 是AG 的中点④AFC △为等边三角形其中所有正确结论的编号是（） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④3．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（）A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=4．已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于A B 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（）A B C ．14D ．47．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为（） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =8．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．69．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．ABC 1D 10．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PF F △与12QF F 的面积之比为（）A ．2B 1C 1D ．2+11．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）. A ．13B ．12C ．2D ．312．12,F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积是（）A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题13．12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________14．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.15．设A 是双曲线()22210x y a a-=>上在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原点O 的对称点为B ，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2a 的取值范围是______.16．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为_______.17．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.18．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.19．已知点M 抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，则MA MF +的最小值________．20．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2212x y -=相交于A ，B 两点.若ABF ∆为直角三角形，则抛物线的准线方程为________.三、解答题21．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=；（Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）22．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2〉求OM ON ⋅的值（其中О为坐标原点）；（3）求OMNS的最小值.23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(03，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程. 24．已知椭圆C ：22221bx y a +=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上的任意一点，已知12PF PF →→⋅的最大值为3，最小值为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点(M 、N 不是左、右顶点)，点D (-6，4)关于直线6y x =+的对称点为A ，且以MN 为直径的圆过点A ，问直线是否过定点，如果过定点，求出该定点坐标；如果不过定点，请说明理由.25．已知圆22:4O x y +=和定点1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且经过点21,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P （点P 在第一象限），过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =，且||FA a ==，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：12e ≥或12e -≤，又01e <<故112e ≤<，故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.2．D解析：D 【分析】由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．【详解】解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =，则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠，则2AFC BFD CFO DFO CFD π∠+∠=∠+∠=∠=，CF DF ∴⊥，故①正确；设AB 所在直线方程为()2p y k x =-，联立2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22222(2)04k p k x k p p x -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2124p x x =，又3AF FB =，∴123()22p px x +=+，即123x x p =+，联立2121243p x x x x p⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12px =-（舍)或132x p =，则13y p =，即3(,3)2A p p ，则333122FA Pk p p ==-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为23π，故②错误．由3(,3)2A p p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．3．A解析：A 【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=， F 22bc bcb ca b ==+ ，因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =，故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由直线2y kx =+恒过(0,2)点，将问题转化为点(0,2)在椭圆2219x y m+=上或椭圆内，可得选项. 【详解】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x y m +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠.故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <（舍去）或1e >+故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a<.6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b=∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有2y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．8．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解．【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c =.设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=，由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=．所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．9．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2231aPF =-，2122131sin 3022(31)aPF a F F c c -====-， ∴2(31)a c =-，31==+ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．10．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F 的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+-△△故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.11．C解析：C 【分析】设点)P m ，将22()0OP OF F P+⋅=坐标化运算，可求出m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案；【详解】1a =，2b =，∴c =1(F ，2F，设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===，故选：C. 【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.12．B解析：B 【分析】先求出双曲线的a,b,c ，再利用12Rt PF F 中三边关系求出128PF PF =，再由直角三角形面积公式即得结果. 【详解】由2214x y -=-得标准方程为2214x y -=得221,4a b ==，2145c ∴=+=c ∴= 故12Rt PF F 中，()222212121212121222=2F F PF PF PF PFPF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩128PF PF ∴=所以12118422S PF PF =⋅=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质，考查了直角三角形的边长关系和面积公式，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简1 【分析】由题意知12124,F P PF F F +==1243F PPF =‖，由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解. 【详解】因为12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，所以12124,F P PF F F +==则由余弦定理得，2221212122cos60F F F P PF F P PF ︒=+-‖，()2121212122cos 602F P PF F P PF F P PF ︒=+--，即1212163F PPF =-‖，所以1243F PPF =‖，故12PF F ∆的面积121sin 602S F P PF ︒=⋅‖设12F PF ∆的内切圆半径为r ，则12121|)(4122(F P PF F F r r S +⋅=+⋅==+|，解得1r =-1 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.14．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB 方程为3)4y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 15．【分析】设双曲线的左焦点为设则由已知条件可得进而得从而得而所以可得再由可求得结果【详解】设双曲线的左焦点为设则因为点关于原点的对称点为且所以所以所以即所以因为所以所以因为所以所以所以所以所以故答案为解析：1,1⎤-⎥⎣⎦【分析】设双曲线的左焦点为'F ，设',AF m AF n ==，则2n m a -=，由已知条件可得2224m n c +=，进而得2222()21mn c a b =-==，从而得12AOFS=，而21sin 22AOFSc θ=，所以可得211sin 2a θ=-，再由,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得结果【详解】设双曲线的左焦点为'F ，设',AF m AF n ==，则2n m a -=，因为点A 关于原点O 的对称点为B ，且AF BF ⊥，ABF θ∠=所以'OA OB OF OF c =====2AOF θ∠=所以22()24m n mn c -+=，即2222()21mn c a b =-==，所以12AOFS =，因为21sin 22AOFSc θ=，所以21sin 2c θ=，所以211sin 2a θ=-，因为,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以632,ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 22θ≤≤12sin 2θ≤≤，1111sin 2θ≤-≤211a ≤≤，故答案为：1,1⎤⎥⎣⎦【点睛】此题考查双曲线定义的应用，考查三角形面积公式的应用，考查了三角函数，属于中档题16．【分析】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出由此能求出的最小值【详解】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由双曲线的定义由解析：22+ 【分析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出2222a m c +=，由此能求出2212e e +的最小值．【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义12||||2PF PF m -=，由椭圆定义12||||2PF PF a +=，可得1PF m a =+，2PF a m =-，又123F PF π∠=，2221212||?4PF PF PF PF c +-=，可得222()()()()4m a a m m a a m c ++--+-=，即222234a m c c+=，可得2212134e e +=，则222212122212113()()4e e e e e e +=++ 2221221231(13)4e e e e =+++1(424+=当且仅当21e =，上式取得等号，可得2212e e +．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．17．【分析】设点将直线的方程与抛物线的方程联立求得点的坐标进而可得出的坐标由此可计算得出梯形的面积【详解】设点并设点在第一象限由图象可知联立消去得解得或所以点因此梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查抛解析：48【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，1196x y =⎧∴⎨=⎩或2212x y =⎧⎨=-⎩，所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，因此，梯形APQB 的面积为()()10284822AP BQ PQ S +⋅+⨯===.故答案为：48. 【点睛】本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形，即在椭圆中有1221122222PF PF aPF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---，由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.19．3【分析】由题得抛物线的准线方程为过点作于根据抛物线的定义将问题转化为的最小值根据点在圆上判断出当三点共线时有最小值进而求得答案【详解】由题得抛物线的准线方程为过点作于又所以因为点在圆上且半径为故当解析：3 【分析】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，根据抛物线的定义将问题转化为MA MN +的最小值，根据点A 在圆C 上，判断出当、、C N M 三点共线时，MA MN +有最小值，进而求得答案. 【详解】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，又MN MF =，所以=MA MF MA MN ++，因为点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，且()3,1C ，半径为1r =，故当、、C N M 三点共线时，()min413MA MN CN r +=-=-=，所以MA MF +的最小值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与定义，与圆有关的最值问题，考查了学生的转化与化归的思想.20．【分析】先求出准线方程为代入双曲线方程可得AB 的坐标再由为直角三角形设中点为则即进而求解【详解】由题可知准线方程为因为与双曲线相交于AB 则为为因为为直角三角形由双曲线的对称性可得设中点为则即解得即所解析：1y =-【分析】先求出准线方程为2py =-,代入双曲线方程可得A ,B 的坐标,再由ABF ∆为直角三角形,设AB 中点为C ,则CE AC =,即222p p =+进而求解. 【详解】由题可知准线方程为2p y =-,因为与双曲线2212x y -=相交于A ,B ,则A为2p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,B为2p ⎫-⎪⎪⎭, 因为ABF ∆为直角三角形,由双曲线的对称性可得90AFB ∠=︒,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =解得24p =,即2p =, 所以准线方程为1y =-,故答案为:1y =- 【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥. 【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立，若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=，整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而2000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ．联立2x ty n y x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-．由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-+2n >-+ 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.22．（1）24y x =；（2）3-；（3）2. 【分析】（1）设()()1122,,,M x y N x y ，抛物线()220y px p =>的焦点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 的方程为2px my =+,然后与抛物线方程联立，由韦达定理可得答案. (2)由1212OM ON x x y y ⋅=+可得答案. (3)由2112111222OMNOFNOFMSSSOF y OF y y y =+=⨯+⨯=-可得答案. 【详解】（1）设()()1122,,,M x y N x y ，抛物线()220y px p =>的焦点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭设直线MN 的方程为2px my =+由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩ ，得2220y mpy p --=所以122y y mp +=，2124y y p =-=-，所以2p =所以抛物线的方程为：24y x =(2) 由（1）124y y =-，221212144y y x x =⨯=1212143OM ON x x y y ⋅=+=-=-（3）由（1）有124y y m +=，124y y =- 因为2112111222OMN OFN OFM S S S OF y OF y y y =+=⨯+⨯=- ()2212121141616222y y y y m =+-=+≥ （当0m =时取得等号）【点睛】关键点睛：本题考查抛物线过焦点的弦的性质，考查与抛物线有关的三角形面积的最值问题，解答本题的关键是由2112111222OMN OFN OFM S S S OF y OF y y y =+=⨯+⨯=-，再转化为韦达定理124y y m +=，124y y =-的关系，从而求出最值，属于中档题.23．（1）22143x y +=；（2）1323y x =-+或1323y x =--. 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB ，再根据||53||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知222312b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，b 3，c ＝1， ∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离5d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴===. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||4AB CD =1=，解得3m =±，满足(*). ∴直线l的方程为12y x =-或12y x =-. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键. 24．（1）22143x y +=；（2）2(7-，0). 【分析】（1）由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，则1||PF 的范围[a c -，]a c +，由数量积及1||PF 的范围可得数量积的最值，由题意可得a ，c 的值，由a ，b ，c 之间的关系求出b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设M ，N 的坐标，直线MN 的方程与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，由题意求出A 的坐标，由以MN 为直径的圆过点A ，可得·0AM AN =，着力可得m ，k 的关系，进而可得直线恒过定点．【详解】（1）因为P 是椭圆任意一点，所以12||||2PF PF a +=，且1a c PF a c -+，所以222121212121·cos (||4)2y PF PF PF PF F PF PF PF c ==∠=+- 2222221111[||(2)4]()22PF a PF c PF a a c =+--=-+-，当1PF a =时，y 有最小值222a c -，当1PF a c =-或a c +时，y 有最大值22a c -，由题意可得2222322a c a c ⎧-=⎨-=⎩，解得21c =，24a =，所以2223b ac =-=，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将直线y kx m =+与椭圆联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得222(34)84120k x kmx m +++-=，∆2222644(34)(412)0k m k m =-+->，可得2234m k <+，122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，2222222222221212122222412834312()34343434k m k k m m m k m k y y k x x km x x m k k k k -+-=+++=-+=++++，因为点(6,4)D -关于直线6y x =+的对称点为A ，设(,)A x y ，则46622416y x y x +-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得：2x =-，0y =，所以(2,0)A -，即椭圆的左顶点，因为以MN 为直径的圆过点A ，所以·0AN AM =，所以1(2x +，12)?(2y x +，2)0y =，整理可得：1212122()40x x x x y y ++++=，所以2222224121631240343434m km m k k k k---++=+++，整理可得：2271640m km k -+=，可得27m k =或2m k =都满足判别式大于0，若27m k =时，直线l 的方程为：2()7y k x =+，则直线恒过定点2(7-，0)；若2m k =时，直线l 的方程为：(2)y k x =+，则直线恒过定点(2,0)-．为左顶点（舍去）.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定点定值问题，解决本题的关键点是将以MN 为直径的圆过点A ，转化为向量·0AN AM =，再利用坐标代入计算，考查了学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．25．（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【详解】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA '的中点，C 为AP 中点，所以2A P OC '= 所以2222242PA PA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+===＞，所以动点P 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=; （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，（11x ≠且21x ≠）．由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=，依题意()()()2222Δ3244364120k k k =--⋅+⋅->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为()()()()()1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦+=+=+=------()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--，所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OAP OAQ ∠∠=．因为OA PQ ⊥，所以AP AQ =．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．26．（1）2212x y +=；（2）是定值，2 . 【分析】（1）根据条件列出关于a,b,c 方程组求解得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设出P 的坐标()00,x y ，利用椭圆上某点处的切线方程公式求出切线方程，利用平行线的关系得出直线 l 的方程，与直线PF 的方程联立，求得Q 的坐标，利用两点间距离公式求得PQ 关于00,x y 的表达式，并利用P 的坐标满足椭圆方程，消元并化简得到常数值.【详解】解：（1）由题意知2222222112211c aa ab b a bc ⎧=⎪⎪⎪⎧⎪=⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()00,,P x y 直线l 的方程为0022x x y y +=过原点O 且与l 平行的直线l '的方程为0020x x y y +=椭圆C 的右焦点()1,0F ，由00y 0x 1y 0x 1--=--整理得到直线PF 的方程为0001)0(y y x x y ---=，联立20000000000(1)02,2022y x x y y y x y Q x x y y x x ---=⎛⎫⎧⇒-⎨ ⎪+=--⎩⎝⎭∴PQ ===== 【点睛】本题考查根据离心率和定点确定求的标准方程，椭圆与直线相交所得弦长问题和定值问题，属中档题，涉及椭圆上某点处的切线方程，弦长公式，运算化简能力，注意：曲线22Ax By C +=上()00,P x y 处的切线l 的方程为00Ax x By y C +=。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =2．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．533．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．1[,1)2B ．2[,1)2C ．51[,1)2D ． 2⎛ ⎝⎦4．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±5．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（） A ．23B ．2C ．34D ．36．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（）A ．22B 2C 3D 37．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．ABC 1D 8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（）A ．9B ．9C ．7112+D ．83129．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．y x =D ．y =10．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（）A ．12-B ．2 C ．3D 111．如图所示，12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积2b 的值为( )A ．3B ．23C ．33D ．4312．抛物线224y x x =-的焦点坐标是( ) A ．F (0，18) B ．F (1，－158) C ．F (0，－158) D ．(1，18) 二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线22:4C x y x y +=+就是其中之一.曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：20x y ++=； ②曲线C 与圆228x y +=有2个交点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12； ④曲线C 恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确的是：________.(填写所有正确结论的编号)15．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.16．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.17．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 的直线与C 的左支交于M 、N 两点，若12MF F △是以1MF 为底边的等腰三角形，且1123MF NF =，则双曲线C 的离心率是________．18．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：则2C 的虚轴长为______.19．动圆M 与圆221:(1)1C x y ++=外切，与圆222:(1)25C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是__________.20．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，右焦点为F ，原点O 到直线BF 的距离为1||2OF . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点，若||MN 的最大值为2，求椭圆C 的方程.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,1P ，且离心率为2，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．（1）求椭圆C 的方程;（2）若APB ∠的角平分线与x 轴垂直，求PM 长度的最小值．23．点P 为椭圆()222210,0x y a b a b+=>>在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线by x a=-于,Q R ，交y 轴，x 轴于,M N 两点，记OMQ 与ONR 的面积分别为12,S S .（1）若P 坐标为2⎭，且点P 与点R 关于x 轴对称，试求椭圆的标准方程; （2）当2ab =时，试求2212S S +的最小值.24．如图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，222:O x y b +=，点A 是椭圆C的左顶点，直线AB 与O 相切于点()1,1B -．（1）求椭圆C 的方程；（2）若O 的切线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求OMN 面积的取值范围．25．如图，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为32，过抛物线2C ：24x by =焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连接,NO MO 并延长分别交1C 于,A B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △，OAB S ，设λ=OMNOABS S .（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设ON ，OM 所在直线的斜率为,OM ON k k ，求证OM ON k k ⋅为定值；（3）求λ的取值范围.26．已知：椭圆221164x y +=，求：（1）以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程．【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =，则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =，所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===，因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．2．D解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==. 故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．3．C解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得. 【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =，且||FA a ==，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：e ≥e ≤01e <<1e ≤<，故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥，取线段2PF 的中点N ，连接1NF ，由于1122PF F F c ==，则122,NF PF NP NF ⊥=，由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==，则2NP b ==，即有24PF b =，由双曲线的定义可得212PF PF a -=，即422b c a -=，即2,2b c a c b a =+=-，所以()2222b a a b -=+，化简得2434,34,3b b ab b a a ===，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.5．B解析：B 【分析】联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值．【详解】设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，所以124y y t +=，12022y y y t +==，2021x t =+，即()221,2E t t +，所以EG 的方程为()2221y t t x t -=---.令0y =，得223x t =+，因此()2||21FG t =+.又12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1||||2FG AB =，从而2m =. 故选：B 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．6．D解析：D 【分析】利用1F PQ 为等边三角形可得21222b PF PF a==，利用椭圆定义得,,a b c 的方程，消去b 后可得()22232a c a -=，从而可得离心率.【详解】不妨设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，左右焦点为12,F F ，设P 在第一象限，则()2,0F c .令x c =，则22221c y a b +=，解得2P b y a =，故22bPF a=，1F PQ 为等边三角形，则1PF PQ =，即21222b PF PF a==，由椭圆定义得122PF PF a +=，故232b a a⨯=，即()22232a c a -=，故213e =，解得3e =故选：D. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．7．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．8．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+，故选：B.结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 9．C解析：C 【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b ，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c = 渐近线方程为by x a=±，其中一条为0bx ay -=，1==，1b =，∴a = ∴渐近线方程为y x =．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b ．解题时要注意椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ．两者不能混淆．10．D解析：D 【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos232ME EF c c π==⨯=，2sin33MF c c π==，∴(31)2MF ME c a +=+=， ∴23131c e a ===-+．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．11．B解析：B 【分析】由2POF 32334c =.c 把(3P 代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得即可得出．【详解】解：2POF 3233= 解得2c =．(3P ∴代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得：223b = 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解．【详解】已知抛物线方程为22(1)2y x =--，即21(1)(2)2x y -=+，它的图象是由抛物线212x y =向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，抛物线212x y =中122p =，14p =，焦点坐标为1(0,)8，011+=，115288-=-，因此所求焦点坐标为15(1,)8-，故选：B ．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB 方程为3)4y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．②③【分析】求出点结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标即可判断②；在曲线上取点由可判断③；求出整点即可判断④【详解】对于①曲线令则；令则；所以点所以直线AB 的方程为：即故①错误；对于②解析：②③ 【分析】求出点()2,0A ，()0,2B ，结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标，即可判断②；在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，由ADEFG S 可判断③；求出整点即可判断④.【详解】对于①，曲线22:4C xy x y +=+，令0x =，则2y =±；令0y =，则2x =±；所以点()2,0A ，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：221x y+=即20x y +-=，故①错误；对于②，由222248x y x y x y ⎧+=+⎨+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以曲线C 与圆228x y +=有2个交点()2,2，()2,2-，故②正确；对于③，在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，顺次连接各点，如图，则12442122ADEFG S =⨯+⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；对于④，曲线经过的整点有：()2,0±，()0,2±，()2,2±，有6个，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了曲线与方程的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题.15．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形，即在椭圆中有1221122222PF PF aPF a c PF F F c⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---，由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.16．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-，所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆，所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y +=【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【详解】取的中点P 连接由题可知且所以又则在中在中得又所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解涉及双曲线定义的应用考查计算能力属于中等题解析：75【详解】取1F M 的中点P ，连接2PF ，由题可知212=MF F F ，且1132MF NF =，所以22MF c =，MP c a =-，1F P c a =-．又1132MF NF =，则()13NF c a =-，23NF c a =-．在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()2222342c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，2251270c ac a -+=，()()750a c a c --=．又1e >，所以75e =．故答案为：75.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方解析：4【分析】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b -=中求解即可. 【详解】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上, 则点()4,2-和点(-在双曲线上,设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.19．【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆然后根据相关的两求出椭圆的方程【详解】解：设动圆的圆心为：半径为动圆与圆外切与圆内切因此该动圆是以原点为中心焦点在轴上的椭圆且解得∴椭圆的方程为：故解析：22198x y【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程．【详解】解：设动圆的圆心为：(,)M x y ，半径为R ，动圆与圆221:(1)1M x y ++=外切，与圆222:(1)25M x y -+=内切， 12||||156MM MM R R ∴+=++-=， 1212||||||MM MM M M +>，因此该动圆是以原点为中心，焦点在x 轴上的椭圆，且26a =，1c =，解得3a =， ∴2228b a c =-=，∴椭圆的方程为：22198x y ，故答案为：22198x y ．【点睛】本题主要考查椭圆的方程及圆与圆的位置关系，属于中档题．20．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的解析：4+61【分析】设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．【详解】解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，(5,0)，由双曲线的定义，得12||||26MF MF a -==，又A 是圆22(6)4x y +-=上的点，圆的圆心为(0,6)C ，半径为2，由图可知，22||||||CM MF CF +≥，12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=则1||||MF MA +的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题．三、解答题21．2214x y +=【分析】（1）根据条件在OBF 中，由等面积法可得点O 到直线BF 的距离，从而建立方程求出,a b 关系，得出离心率.(2) 设:l x my n =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由弦长公式得到弦长，求出其最值，根据条件得到答案. 【详解】（1）由条件可得()0,B b ，(),0F c ，设点O 到直线BF 的距离为d 在OBF中，有BF a ==，则d BF ON OF ⨯=⨯,即bc d a= 所以12bc d c a ==，所以12b a =所以e ==== (2)由直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点,所以直线l 的斜率不为0. 设:l x my n =+，所以b =，所以()2221n b m =+由（1）可得224a b =，则椭圆方程化为：22244x y b +=设()()1122,,,M x y N x y ，由22244x my nx y b =+⎧⎨+=⎩，得()22224240m y mny n b +++-=所以2212122224,44mn n b y y y y m m --+==++ 所以AB ===1t =≥，则221m t =-所以2AB b t t=≤+，当且仅当t =m =时取得等号. 由||MN 的最大值为2，则22b =，所以1b =所以当||MN 的最大值为2时，椭圆方程为：2214xy +=【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和根据弦长的最值求椭圆方程，解答本题的关键是先由弦长公式得出弦长AB =1t =≥，利用换元利用均值不等式求出其最值，属于中档题.22．（1）22182x y +=；（2【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率c a =,a b ，得出椭圆方程；（2）可得0PA PB k k +=，设出直线PA 方程，联立直线与椭圆，可得点A 坐标，同理得出点B 坐标，即可求出中点M 坐标，可判断M 在直线20x y +=上，即可求出最小值. 【详解】解：（1）因为椭圆经过点P且离心率为2所以2222211,a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩其中222a b c =+，解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆方程为22182x y +=．（2）因为APB ∠的角平分线与x 轴垂直，所以0PA PB k k +=．设直线PA 的斜率为()0k k ≠，则直线PA 的方程为：()21y k x =-+，设()()1122,,,A x y B x y ，由()2221,1,82y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩得()()22214812161640k x k k x k k ++-+--=．则21216164214k k x k--⨯=+，所以21288214k k x k --=+，代入得21244114k k y k--+=+．即2222882441,1414k k k k A k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，同理可得2222882441,1414k k k k B k k ⎛⎫+--++ ⎪++⎝⎭．所以22228241,1414k k M k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭．则M 在直线20x y +=上，所以PM 的最小值为P 到直线20x y +=的距离．即5d ==，此时63,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内，所以PM 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）2214x y +=；（2）12. 【分析】（1）根据题中条件，得到222112a b +=，求出R ⎭，根据点P 与点R 关于x 轴对称，得到2a b =，进而可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）先设()P m n ,，根据题中条件，得到M ，N ，R ，Q 的坐标，由三角形面积公式，得到44442222214a n b m S b S a ++=，根据2ab =，22221m n a b+=，结合基本不等式，即可求出2212S S +的最小值.【详解】（1）因为点P ⎭为椭圆()222210,0x y a b a b +=>>上任意一点，则222112a b+=；由x b y x a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得x y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即a R -⎫⎪⎪⎭，又点P 与点R 关于x轴对称，所以0=，则2a b =，由2222112a ba b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意，设()P m n ,，其中0m >，0n >，则()0,M n ，(),0N m ，由x m b y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得x mbm y a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即,bm R m a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由y n b y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得y nan x b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即,an Q n b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以211222OMQQ n an an S SOM x b b===⋅=，221222ONRR m bm bm S S ON y a a===⋅=，则2424422124442222444a n b m b m a a b b S S a n +=++=，因为2ab =，22221m n a b +=，则2222221b m a n a b+=，即22224b m a n +=，所以444444442222444444422121632232a n a n ab m b m b m b m n a n a b S n m S +++++≥+=+=()22222442222441323222a nb m a n a b m b n m++===+，当且仅当22222a n b m ==时，取得最小值12. 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中的三角形面积最值问题时，一般需要根据题中条件，利用三角形面积公式，表示出三角形的面积，再结合函数的性质或基本不等式，即可求出面积的最值.（有时需要利用导数的方法求解最值）24．（1）22142x y +=；（2）(OMN S ∈△. 【分析】（1）由点()1,1B -在O 上可得22b =，然后由OB AB ⊥可求出a ；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时利用弦长公式表示出MN 并求出其范围即可. 【详解】（1）由直线AB 与O 相切于点()1,1B -，可知点()1,1B -在O 上，则22b =，又点(),0A a -，且OB AB ⊥，则10101101a--⨯=----+，解得2a =，故所求椭圆方程为22142x y +=．（2）若切线斜率存在，设切线为0kx y m -+=，其中0k ≠，切线l 与椭圆C 交点()11,M x y ，()22,N x y ，则圆心到直线l的距离d ==()2221m k ∴=+，联立方程220142kx y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k -+=+，21222421-=+m x x k()0,2MN ====，当切线斜率不存在时，此时2MN =，故O 的切线l 与椭圆C 相交弦长取值范围为(]0,2，又12OMN S d MN =⋅⋅=△，可得(OMN S ∈△．【点睛】关键点睛：在解决圆锥曲线中的面积问题时，要善于观察图形的特点，怎么表示出面积是解题的关键.25．（1）曲线1C 的方程为2214x y +=，曲线2C 的方程为24x y =；（2）证明见解析；（3）[)2,+∞. 【分析】（1）根据抛物线的定义，以及双曲线的离心率公式可求出答案；（2）设直线MN 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，设11,)Mx y （，()2,2N x y ，根据韦达定理可得答案；（3）根据弦长公式求出|OM |，|ON |，|OA |，|OB |的长，再根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出λ的取值范围．【详解】（1）由抛物线定义可得7,4M c b ⎛⎫--⎪⎝⎭， M 在抛物线24x by =上，∴2744c b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2274c b b =-①又由c a =223c b =将上式代入①，得277b b =解得1,b =∴2c a =∴=，所以曲线1C 的方程为2214x y +=，曲线2C 的方程为24x y =；（2）设直线MN 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2440x kx --=，设11,)Mx y （，()22,N x y ，则124x x =-，设221212121221111144164ON OMx xy y kkx x x x x x =⋅=⋅==-；（3）设,ON OM k k m m '==，则有14m m'=-，② 设直线ON 的方程为(0)y mx m =>，由24y mxx y=⎧⎨=⎩，解得4N x m =，所以4N ON ==由②可知，用14m -代替m，可得M OM ==，由2214y mx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得A x =，所以A OA == 用14m-代替m，可得B OB ==所以=OMNOABON OMSS OA OBλ⋅====⋅1222mm=+≥，当且仅当1m=时等号成立.所以λ的取值范围为[)2,+∞.【点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．26．（1）240x y--=；（2）181717y x x⎛⎫=--<<⎪⎪⎝⎭.【分析】（1）设弦的端点()11,A x y，()22,B x y，可得：22111164x y+=，22221164x y+=，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（2）设直线方程为：2y x m=+，弦的端点坐标及中点(),M x y，与椭圆方程联立化为：2217164160x mx m++-=，由0>，化为：268m<，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出.【详解】（1）设弦的端点()11,A x y，()22,B x y，可得：22111164x y+=，22221164x y+=，相减可得：12121212()()()()164x x x x y y y y+-+-+=，把1222x x+=，1212y y+=-，1212y ykx x-=-代入可得：12k=．∴以()2,1P-为中点的弦所在直线的方程为：()1122y x+=-，化为：240x y--=．（2）设直线方程为：2y x m=+，弦的端点()11,A x y，()22,B x y，中点(),M x y．联立2221164y x mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为2217164160x mx m++-=，()22256684160m m=-->，化为：268m<，∴1216227m x x x +=-=，化为： 882171717m m m x y m ⎛⎫=-=⨯-+= ⎪⎝⎭，．得x <<，∴18y x x ⎛=-<< ⎝⎭【点睛】关键点点睛：（1）涉及直线与圆锥曲线相交中点弦问题时，利用点差法；（2）由直线与椭圆的位置关系得出m 的范围.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)(3)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．1[,1)2B ．C ．D ． ⎛ ⎝⎦3．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为（）A B ．2C 2D ．34．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △内切圆的半径大于12，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭5．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为（） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（）A ．8B ．4 C．D．7．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF，则离心率e 的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C．1,2⎛ ⎝⎭D．⎫+∞⎪⎪⎝⎭8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（） A．7y x =±B．y = C．5y x =±D．y =9．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（） A．⎛ ⎝⎦B．2]C．1⎤⎥⎝⎦D．1]10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A．[2 B． C．1] D．1,1)11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 CD12．双曲线2214x y -=的离心率为（）ABCD二、填空题13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________. 14．已知抛物线2:4E x y =，过点(2,1)P -作E 的两条切线，切点分别为,A B ，则AB =________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为ab的直线l 与双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有13PM MF =，则双曲线的渐近线方程为________．16．已知双曲线2219x y m -=(m ∈R ， m ≠0)的离心率为2，则m 的值为_________17．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12+=x E y ，直线10x y +-=与椭圆E 交于A ，B 两点，则△AOB 的外接圆圆心的坐标为______．18．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______.19．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：则2C 的虚轴长为______.20．椭圆22143x y +=上一点A 到左焦点的距离为52，则A 点到右准线的距离为________．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF FB λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值． 22．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆C 经过点21,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.23．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为23-，求实数λ的值.24．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点（1）求椭圆的标准方程（2）当直线l 的斜率为12时，求弦长AB 的值. 25．已知圆22:(2)5C x y +-=，直线:10l mx y -+=. （1）判定直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由；（2）若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.26．我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1，且点⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）经过点11,28P ⎛⎫-⎪⎝⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点，求直线AB 的斜率；（3）若直线l 与（2）中的直线AB 平行，且与椭圆交于M ，N 两点，试求MON △（O 为坐标原点）面积的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②，①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+，∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．C解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =，且22||FA b c a =+=，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：51e -≥51e --≤01e << 511e -≤<，故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.3．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)0到双曲线C 的渐近线223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点)0到双曲线C==2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以==ce a故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．4．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径)r a c =-，然后根据r >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又r >故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则2c a ≥，从而11212e ≤<．故选：C5．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．6．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则b =，所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.7．D解析：D 【分析】设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0bk a<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k a<<， 2231kca k+，所以222222343a b k c a a =<-，即2247c a >，解得：72e > 故选：D . 【点睛】本题考查双曲线求离心率，属于中档题.方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系；（2）解出斜率k 与,a b 的关系；（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围；（4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.8．C解析：C 【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b ，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c = 渐近线方程为by x a=±，其中一条为0bx ay -=，1==，1b =，∴a = ∴渐近线方程为y x =．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b ．解题时要注意椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ．两者不能混淆．9．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围，进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由113QF PF ≥1mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-；令=+m n t n m ，令3m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()222422c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解属于中档题 10．A解析：A【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==. 【详解】如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形，又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥，所以平行四边形'AFBF 为矩形，所以'2AB FF c ==，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b+=，令m t n =，得2212t c t b+=，又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2m t n=∈，所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2225123c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是25⎣⎦，故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．D解析：D【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果.【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MH OF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，ab MH c =，即M 点纵坐标为ab c，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b a a c ，222422c a a a c ，223c a =，3==c e a，故选：D .【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题. 12．C解析：C【解析】双曲线2214x y -=中，222222254,1,5,c a b c a b e a ==∴=+=∴==本题选择C 选项.二、填空题13．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：102 【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥. 因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+，由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =，故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=，即()242240a ++=，整理得2280a a +-=，解得2a =.故双曲线C 的离心率为102c a =. 10本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．8【分析】设切线方程为即代入利用判别式为0求出两条切线的斜率进一步求出两个切点坐标利用两点间的距离公式可求得结果【详解】切线的斜率显然存在设切线方程为即联立消去得所以即则或设切线的斜率分别为则将代入解析：8【分析】设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，代入24x y =，利用判别式为0，求出两条切线的斜率，进一步求出两个切点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】切线的斜率显然存在，设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，联立2214y kx k x y=--⎧⎨=⎩消去y 得24840x kx k -++=，所以2(4)4(84)0k k ∆=--+=，即2210--=k k ，则1k =1k = 设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，1122(,),(,)A x y B x y ，则11k =21k =，将11k =24840x kx k -++=得24(18(140x x -++=，即2(20x -+=，得2x =-12x =-2211(244x y -===3-(2A --，同理可得(2B ++，所以||AB =8=. 故答案为：8.【点睛】本题考查了直线与抛物线相切的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题. 15．【分析】根据题意求出点M 的坐标再根据求出点P 的坐标将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出进而求出双曲线的渐近线方程【详解】设双曲线的左焦点为所以直线l 的方程为：由直线l 与其中一条渐近线交于点M 且有可知解解析：43y x =±【分析】根据题意求出点M 的坐标，再根据13PM MF =求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出b a，进而求出双曲线的渐近线方程.设双曲线的左焦点为(),0c -，所以直线l 的方程为：()a y x c b =+，由直线l 与其中一条渐近线交于点M ，且有1PM=3MF ，可知()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程可得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点M 、P 分别作x 轴垂线，垂足为A 、B因为13PM MF =，所以1114AF BF =，14AM BP =，不妨设04,ab P x c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则204c x a c c +-=，解得2043a x c c=-，所以2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()222210,0x y a b a b -=>>，即()2222244310,0a ab c c c a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=>>，整理可得22925c a =，即()222925a b a +=，解得22169b a =，43b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故答案为：43y x =±【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，此题要求有较高的计算能力，属于中档题. 16．27【分析】根据双曲线标准方程知结合离心率为2及常数关系即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程知：∵双曲线的离心率为2∴而∴故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线利用双曲线的离心率标准方程中常数的等解析：27根据双曲线标准方程知29a =，20b m =>，结合离心率为2及常数关系222c a b =+即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程，知：29a =，20b m =>∵双曲线的离心率为2 ∴2c a=，而222c a b =+ ∴27m =故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线，利用双曲线的离心率、标准方程中常数的等量关系222c a b =+求参数值17．【分析】首先联立方程求得设圆心坐标利用其到△三个顶点的距离相等列出等量关系式求得结果【详解】联立方程可得：设圆心坐标则得：故答案为：【点睛】该题考查的是有关圆的问题涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点解析：51,62⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】首先联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，求得()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，利用其到△AOB 三个顶点的距离相等，列出等量关系式，求得结果.【详解】联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，则()22222241133x y x y x y ⎛⎫-++=+=+- ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，得：56x =，12y =，故答案为：51,62⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点，三角形外接圆的圆心的求法，属于简单题目.18．【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得（负的舍去）故答案为:【点睛】本题考查椭圆的1.【分析】由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，可得2b y a=±=±，不妨设2(,)b P c a ，由2(,)b P c a 在直线2y x =上，可得22b c a=，即为2222a c b ac -==，由c e a=可得2210e e +-=，解得1e =（负的舍去）.故答案为1.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率. 19．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方解析：4【分析】由焦点均在x 轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b-=中求解即可. 【详解】由焦点均在x 轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上, 设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =,故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.20．3【分析】先由椭圆的第一定义求出点到右焦点的距离再由第二定义求出点到右准线的距离【详解】由椭圆的第一定义得点到右焦点的距离等于离心率所以由椭圆的第二定义得即故点到右准线的距离故答案为：【点睛】本题考解析：3【分析】先由椭圆的第一定义求出点P 到右焦点的距离，再由第二定义求出点P 到右准线的距离d .【详解】由椭圆的第一定义得点P 到右焦点的距离等于53422-=，离心率12e =，所以，由椭圆的第二定义得3122d =，即3d =，故点P 到右准线的距离3d =.故答案为：3【点睛】本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质，属于基础题.三、解答题21．（1）22143x y +=；（2）6. 【分析】（1）根据椭圆的离心率为12e =，可得2234b a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得221914a b+=，解出22,a b 可得答案. （2）设直线1:1l x my =-，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出1QF 的长度，得出直线2l 的方程为：11x y m=--与直线1x =求出点P 坐标，得出1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最值.【详解】（1）由题意，得222221149141b e a a b⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：224,3a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）由（1）可得()11,0F -,若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为：1x =-与直线1x =无交点，不满足条件.设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠ 设()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得：()2234690m y my +--=， 12122269,3434m y y y y m m +==-++，因为11AF F B QA QBλλ⎧=⎨=⎩，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩ 则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=- 所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m==-+．于是1FQ =．直线2l 的方程为：11x y m =-- 联立111x y m x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得(12)P m -，，所以1PF =．所以()12113111362PQF m S FQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当1m =±时，()1min 6PQF S=．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出1201223y y y y y m==-+，进而求出点的坐标，得到1QF 的长度，从而表示出三角形的面积，属于中档题.22．（1）2212x y +=（2）一定经过定点，定点为(0,3).【分析】（1）根据离心率求出2212b a =，代入1,2M ⎛ ⎝⎭可得22a =，从而可得椭圆方程；（2）设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为14k，联立直线与椭圆方程求出B 、C 的坐标，求出直线BC 的方程，令0x =，得3y =，由此可得答案. 【详解】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由2c e a ==得2c =，所以2222221122b a c a a a =-=-=，所以222221x y a a +=，因为椭圆C经过点1,2M ⎛ ⎝⎭，所以2212121aa⨯+=，得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由椭圆的方程得(0,1)A ，设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为14k，所以直线AB 、AC 的方程分别为：1y kx =+，114y x k=+，联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22(12)40k x kx ++=，解得0x =或2412k x k =-+，所以2412Bk x k =-+，221212B k y k -=+，所以222412(,)1212k k B k k --++，同理可得222881(,)1881k k C k k --++，所以22222281128112841812BCk k k k k k k k k ---++==-+++2412k k +，所以直线BC 的方程为：222212414()12212k k ky x k k k-+-=+++，令0x =，得3y =，所以直线BC 一定经过一定点(0,3). 【点睛】关键点点睛：求出直线BC 的斜率和方程是解题关键. 23．（1）答案见解析；（2）12λ=. 【分析】（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可. 【详解】解：（1）()2,PA x y =---，()2,PB x y =--又22PHy =所以由2||PA PB PH λ⋅=⋅得()()22,2,x y x y y λ---⋅--= 则22(1)4x y λ+-=当1λ=时，C 是两条平行直线；当0λ=时，C 是圆；当01λ<<时，C 是椭圆；当1λ>时，C 是双曲线 .（2）2222(2)4(1)40(1)4y x x x x y λλλλ=+⎧⇒-+--=⎨+-=⎩ 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122004(1)41(0)232x x λλλλ⎧⎪-≠⎪∆>⎨⎪-⎪+==-⇒=∆>-⎩【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．24．（1）2215x y +=（2【分析】（1）根据顶点坐标得到1b =，根据离心率c e a ==，结合222a b c =+得到25a =，则可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆，利用弦长公式可求得结果. 【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则1b =，5c a =，所以22221a b c ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，解得25a =，所以椭圆的标准方程为2215x y +=.（2）由（1）知(2,0)F ，则直线:l 1(2)2y x =-，联立221(2)215y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得22009x x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12209x x +=，120x x =，所以||AB ==209==. 【点睛】结论点睛：斜率为k 的直线l 与圆锥曲线交于11(,)A x y 、22(,)B x y两点，则弦长||AB =25．（1）直线l 与圆C 相交；答案见解析；（2）223124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.【分析】（1）易知直线:10l mx y -+=经过定点()0,1D ，而点D 在圆C 内部，即可得证；（2）根据题意设中点M 的坐标为(),x y ，由直线和圆相交的性质可得AB CM ⊥，在RT CDM 中，由勾股定理得222CM DM CD +=，带入坐标即可得解.【详解】（1）证明：∵直线:10l mx y -+=经过定点()0,1D ，点D 到圆心()0,2的距离等于1故定点()0,1在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.（2）设中点M 的坐标为(),x y ，则由直线和圆相交的性质可得AB CM ⊥. 由于定点()0,1D 、圆心C 、点M 构成直角三角形，由勾股定理得222CM DM CD +=， ∴22222(2)(1)(21)x y x y +-++-=-，2222640x y y +-+=，即223124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 此圆在圆22:(2)5C x y +-=的内部，故点M 的轨迹方程为：223124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线过定点问题，同时考查了求轨迹方程，有一定的计算量，属于中档题. 本题涉及的题型和方法有：（1）直线过定点，直线过定点是常考题型，在给出含参直线方程时要注意直线有过定点的可能；（2）直接法求轨迹方程，这类问题的方法是：利用所给条件直接列方程，整理即为所求.26．（1）2214x y +=；（2）1；（3）1．【分析】（1）利用正焦弦长公式以及点⎛ ⎝⎭在椭圆上列方程可解得结果；（2）利用点差法可求得结果；（3）利用弦长公式求出||MN ，点到直线的距离公式求出点O 到直线l 的距离，根据面积公式求出MON △的面积，根据基本不等式求出最大值即可得解. 【详解】（1）根据题意，221b a=，所以22a b =，则椭圆方程22221x y a b +=转化为22221x y a a+=，又点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以21312a a+=，即22320a a --=，由于0a >，故解得2a =，则21b =，故所求椭圆方程为2214x y +=；（2）由（1）得椭圆的方程为2214x y +=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，因为点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为线段AB 的中点，则1212122128x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，即1212114x x y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，由于点A 、B 在椭圆上，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两个等式相减得()2222121204x x y y -+-=，即()()()()1212121204x x x x y y y y +-++-=，即()()121211044x x y y ---=，所以直线AB 的斜率为12121AB y y k x x -==-；（3）由（2）设直线:l y x t =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立直线：:l y x t =+与椭圆方程2214xy +=得2258440x tx t ++-=，令()22(8)45440t t ∆=-⨯->，得t <<又3485t x x +=-，234445t x x -=，所以||5MN ===，又点O 到直线l 的距离d =， ()222512||1252MONt t SMN d -+==⨯=，当且仅当225t t -=，即t =t =t =t =t < 所以MON △面积的最大值为1．【点睛】关键点点睛：求出MON △面积关于t 的函数关系式是解题关键.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．已知离心率2e =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O A 、两点.若AOF ∆的面积为1，则实数a 的值为（）A ．1B C ．2D ．42．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A ．1BC ．2D ．4+3．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（）A ．8+B ．8C ．16D ．164．已知椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，过右焦点F 且倾斜角为4π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线2a x c=和AB 于点P 和M ，若3||4||AB PM =，则椭圆C 的离心率为（）A B C D 5．过原点O 的直线交双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）于A ，C 两点，A 在第一象限，12,F F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若222,23OA OF CF BF ==，则双曲线E 的离心率为（）A ．5B C D 6．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D 7．点A 、B 分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线65x my =+与椭圆相交于P 、Q两点，记直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，则21221k k +的最小值为（） A ．14B ．12C ．2D ．48．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（） A ．2B ．3C ．32D ．529．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（） A ．910+B ．926+C ．712612+ D ．832612+ 10．如图所示，12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为3的正三角形，则2b 的值为( )A 3B ．23C ．33D ．4311．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若260AF B ∠=︒，2ABF 23a ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（） A ．5B ．3C ．2D ．6二、填空题13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______. 14．如图，过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），分别过,A B 作抛物线的切线，设两切线的交点为M ，则M 的坐标为__________.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线:(10)l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.16．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为_______.17．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为 ________. 18．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4，且在双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为______.19．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 的直线与C 的左支交于M 、N 两点，若12MF F △是以1MF 为底边的等腰三角形，且1123MF NF =，则双曲线C 的离心率是________． 20．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2212x y -=相交于A ，B 两点.若ABF ∆为直角三角形，则抛物线的准线方程为________.三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF FB λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值． 22．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆C 经过点21,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.23．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2〉求OM ON ⋅的值（其中О为坐标原点）；（3）求OMNS的最小值.24．如图，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线11:2l y x =+与C 相切．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过F 的直线2l 交C 于M ，N 两点（M 在x 轴上方），若MF FN =3，求直线2l 的方程．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为23（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值. 26．已知抛物线y 2=2px (p >0)上的点T (3，t )到焦点F 的距离为4. （1）求t ，p 的值；（2）设抛物线的准线与x 轴的交点为M ，是否存在过点M 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，使得直线AF 与直线OB 垂直？若存在，求出△AFB 的面积，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，所以FA OA ⊥，则FA b =，OA a =，AOF ∆的面积为1，可得1 12ab =，双曲线的离心率e =222225 4c a b a a +==，即12b a=，解得1b =，2a =，故选C. 点睛：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查了计算能力；利用双曲线的离心率求出渐近线方程，利用三角形中直径所对的圆周角为直角，可求得直角三角形AOF ∆的面积1 12ab =，结合离心率以及恒等式222c a b =+即可得到关于,,a b c 方程组求出a 即可；2．A解析：A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =，不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．A解析：A 【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：221167x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值. 【详解】定圆()221:31C x y ++=，圆心()13,0C -，半径为1()222349C x y -+=:，圆心()23,0C ，半径为7.动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，设动圆半径为r ，则1212121,786CC r CC r CC CC C C =+=-⇒+=>= 所以动点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>> 所以4a = ，2229c a b =-= ，则其方程为：221167x y +=由椭圆的定义可得12228CC CC CC a =-=- 所以128CM CC CM CC =+-+当2,,C C M 三点不共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+<=+ 当2,,C C M 三点共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+≤=+ 综上有182CM CC +≤+（当2,,C C M 三点共线且2CM CC >时取等号）故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即12228CC CC CC a =-=-，将所求问题转化为128CM CC CM CC =+-+，再分2,,C C M三点是否共线讨论，属于中档题.4．B解析：B 【分析】联立直线AB 与椭圆方程，表示出弦长AB ，求出中点M 的横坐标，即可表示出PM 的长，利用已知等量关系即可求出离心率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，易得直线AB 的方程为y x c =-，联立直线与椭圆方程22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222222220a b x a cx a c b +-+-=，则212222a cx x a b +=+，()2221222a cb x x a b -=+，2224ab AB a b ∴==+， 212222M x x a cx a b +==+，直线PM 的斜率为1-，P MPM x x c a b ∴=-=+ 3||4||AB PM =，即222434aba b c a b ⨯=++，解得3c e a ==. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.5．D解析：D 【分析】根据题意得1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，13AF m =，再结合双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，故在1Rt FAB 中由勾股定理得1514m a =，在12Rt F AF △中结合勾股定理和1514m a =，得222553c a =，进而得答案..【详解】设1F 为双曲线E 的左焦点，连接112,,AFBF CF ，取2AF 的中点M ，由2=OA OF ，得OM AB ⊥，又O 为12F F 的中点，故1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，由1211||||||22OM AF CF ==得13AF m =. 根据双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，在1Rt F AB 中，有()()()22235222=m m a m a -++，化简得1514m a =，在12Rt F AF △中，有()()()2223322m m a c +-=，结合1514m a =，得222553c a =，所以53e = 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，解题的关键在于根据已知得1F A AB ⊥，同时注意到该题构成了焦点三角形，故借助定义，利用三角形的边角关系即可222553c a =，进而求解.考查运算求解能力，是中档题.6．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.7．B解析：B 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出12k k 的值，利用基本不等式可求得21221k k +的最小值. 【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，联立226544x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 并整理得()22126440525m y my ++-=，由韦达定理可得()1221254y y m +=-+，()12264254y y m =-+，设直线AQ 的斜率为k ，则222y k x =+，2222y k x =-，所以，()222222222222212244444y y y y k k x x x y ⋅=⋅===-+----，214k k ∴=-，而()12121212121212121625616162252555y y y y y y k k m x x m y y y y my my ⋅=⋅==++⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22222642541641922561625254254m m m m m -+==---+++，因此，222112211162k k k k +=+≥==，当且仅当18k =±时，等号成立，因此，21221k k +的最小值为12. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求得214AQ k k =-，进而利用韦达定理法求得1AQ k k ⋅为定值，再结合基本不等式求得最值.8．A解析：A 【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=，所以122PF c a =-，设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.9．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，BM ==所以ABM的周长为：2511944AB AM BM ++=++=+ 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 10．B解析：B 【分析】由2POF 32334c =.c 把(3P 代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得即可得出．【详解】解：2POF 3233= 解得2c =．(3P ∴代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得：223b = 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．D解析：D结合双曲线的定义、2ABF 的面积、余弦定理列方程，化简求得ba，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】连接11,AF BF ，根据双曲线的对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，由于260AF B ∠=︒，所以12120F AF ∠=︒，212ABF AF F SS=，12AF BF =，设12,AF n AF m ==，结合双曲线的定义有2m n a -=，所以()2222222cos1201sin12032m n a c m n mn mn a⎧-=⎪⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩，即2222244m n a c m n mn mn a -=⎧⎪=++⎨⎪=⎩，由()22m n a -=得22222224,12m n mn a m n a +-=+=，所以22416,2c a c a ==，而222c a b =+，所以2224,3ba ab a=+=，所以双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题.12．A【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率．【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==．故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上解析：222【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．【详解】解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =，可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，可得22222202242a b c c a =+=-，即：22112a c =，所以双曲线的离心率为：222e =．故答案为：222．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．14．【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程由求得所在直线倾斜角得到斜率写出所在直线方程联立准线方程与抛物线方程求得的坐标可求利用导数求斜率写出直线的方程再求两直线的交点则的坐标可求【详解】解：由抛物解析：31,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程，由3AF FB =求得AB 所在直线倾斜角，得到斜率，写出AB 所在直线方程，联立准线方程与抛物线方程，求得A 、B 的坐标可求，利用导数求斜率，写出直线AM 、BM 的方程，再求两直线的交点，则M 的坐标可求．【详解】解：由抛物线2:4C y x =，得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-．由题意设AB 所在直线的倾斜角为θ，由3AF FB =，得2231cos 1cos θθ=-+，即1cos 2θ=．tan 3θ∴=．则AB 所在直线方程为3(1)y x =-．联立23(1)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=．解得：13x =或3x =，因为点A 在x 轴上方所以(3,23)A ，123,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭由2y x =，得1y x'=， 2y x =-得1y x'=-∴313|33x y ='==，131|313x y ='=-=-，即AM 、BM 所在直线的斜率分别为33、3-． 3:23(3)3AM y x ∴-=-，231:3()33BM y x +=-- 所以323(3)32313()33y x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩解得1233x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩M ∴的坐标为23(1,)3-．故答案为：23(1,)3-．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．15．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：102【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+，由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =，故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=，即()242240a ++=，整理得2280a a +-=，解得2a =.故双曲线C 的离心率为10c a =. 10【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出由此能求出的最小值【详解】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由双曲线的定义由【分析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出2222a m c +=，由此能求出2212e e +的最小值．【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义12||||2PF PF m -=，由椭圆定义12||||2PF PF a +=，可得1PF m a =+，2PF a m =-，又123F PF π∠=，2221212||?4PF PF PF PF c +-=，可得222()()()()4m a a m m a a m c ++--+-=，得22234a m c +=，即222234a m c c+=，可得2212134e e +=，则222212122212113()()4e e e e e e +=++ 2221221231(13)4e e e e =+++1(424+=当且仅当21e =，上式取得等号，可得2212e e +．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．17．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PMPAM PA=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（）A ．3B C D ．22．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（） A ．23B ．2C ．34D ．33．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为，则线段AB 的长度的取值范围是（）A ．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D ．4．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（）A ．4B ．15C ．14D ．45．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（）A ．12 B C 1 D 16．已知圆2221:(0)C x y b b +=>与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．(D ．)+∞7．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（）A B C ．2D 8．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．A ．12BC 1D 9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（）A ．9B ．9C ．7112+D ．831210．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A B ．C D 11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（）A ．5B ．3C ．2D12．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在xM 在C 上，且12MF MF ⊥，M C 的方程为（）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ､B 两点，直线2l 与C 交于D ､E 两点，则4AB DE +的最小值为________.14．若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是__________．15．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.17．已知双曲线C ：22193x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ､N .若OMN 为直角三角形，则||MN =________. 18．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为 ________. 19．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．20．椭圆22143x y +=上一点A 到左焦点的距离为52，则A 点到右准线的距离为________．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF FB λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值． 22．已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，点()2,Q m 在抛物线E 上，且3QF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点()2,0P 且斜率为()0k k >的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点横坐标为4，求ABO 的面积. 23．已知圆1C 的方程为()()2220213x y -+-=，椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，2C 21C 与2C 相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆1C 的直径，求直线AB 的方程和椭圆2C 的方程．24．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，焦距为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 的上顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点，若4tan 3∠=PNM ，求直线1l 的方程．附：多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t ．25．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.点()4,3P ，记直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程.26．如图，已知椭圆22:143x y Γ+=，斜率为k 的直线l 与椭圆Γ交于,A B 两点，过线段AB 的中点M 作AB 的垂线交y 轴于点C .（1）设直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若1k =，直线l 经过椭圆Γ的左焦点，求1211k k +的值；（2）若23AB =23,14k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OMC 面积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by xc a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =，即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =3 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.2．B解析：B 【分析】联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值．【详解】设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，所以124y y t +=，12022y y y t +==，2021x t =+，即()221,2E t t +，所以EG 的方程为()2221y t t x t -=---.令0y =，得223x t =+，因此()2||21FG t =+.又12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1||||2FG AB =，从而2m =. 故选：B 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．3．C解析：C 【分析】由题可求得212122ABF AF F BF F SSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=,2a =，a AB c ∴=，2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8ac⋅∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2aAB c=可求解. 4．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得15b a =. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以15b a = 所以22411515c b e a a ==+=，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.5．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P+=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=，故2322c c a +=，即)31c a =，故离心率31231c e a ===+.故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率c e a=；（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.6．B解析：B 【分析】根据题意，若过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则2OP b =，则只需在双曲线上存在一点到坐标原点额距离为2b ，设点(),P x y ，则利用22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解求出离心率e 的取值范围.【详解】如图所示，设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆2221:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b ==，设点(),P x y ，则22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解，整理得22223c x b a =有解，即22223a b x c=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得6c e a =≥. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.7．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k ta b a b-=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+，所以2222PA PB t n t n t nk k k m k m k m-+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率2213c b e a a==+= 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．8．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．9．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A My y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+，故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 10．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||22OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．11．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率．【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==．故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．C解析：C 【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．36【分析】设直线的方程为联立方程组分别求得和结合基本不等式即可求得的最小值得到答案【详解】由题抛物线的焦点准线方程为设直线的方程为联立方程组则设可得由抛物线的定义可得由可将上式中的换为可得则当且仅解析：36 【分析】设直线1l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，分别求得244AB k=+和244DE k =+，结合基本不等式，即可求得4AB DE +的最小值，得到答案. 【详解】由题，抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，设直线1l 的方程为()1y k x =-，0k ≠，联立方程组()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，则()2222420k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12242x x k+=+，由抛物线的定义可得1224||24AB x x k =++=+，由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k-，可得2||44DE k =+，则221420442036AB DE k k ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当k =，上式取得等号，则4AB DE +的最小值为36. 故答案为：36. 【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF p x =+或2PF p y =+. 14．8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得解析：8 【解析】2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-28y x =的准线是直线2,x =-所以23-+=8.m =15．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.16．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题解析：23+ 【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3Mc x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.17．【分析】先由题意得到渐近线方程为：右焦点或分别讨论两种情况求出两点间距离即可得出结果【详解】因为双曲线的渐近线方程为：右焦点因此渐近线夹角为即因为为直角三角形所以或当时可得所以所在直线方程为：由解得解析：【分析】先由题意，得到渐近线方程为：y x =，右焦点()F ，OM MN ⊥或ON MN ⊥，分别讨论OM MN ⊥，ON MN ⊥两种情况，求出两点间距离，即可得出结果. 【详解】因为双曲线22193x y -=的渐近线方程为：3y x =±，右焦点()F ，因此渐近线夹角为60，即60MON ∠=，因为OMN 为直角三角形，所以OM MN ⊥或ON MN ⊥，当OM MN ⊥时，可得MN k =MN 所在直线方程为：y x =-，由y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以MN ==；当ON MN ⊥时，可得MN k =MN所在直线方程为：y x =-，由y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以MN ==综上，MN =故答案为：【点睛】本题主要考查直线与双曲线的简单应用，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.18．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线解析：2【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PMPAM PA=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(有答案解析)

一、选择题1．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（）A ．12B 1C D 2．已知椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，过右焦点F 且倾斜角为4π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线2a x c=和AB 于点P 和M ，若3||4||AB PM =，则椭圆C 的离心率为（）A B C D 3．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D 4．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．ABC 1D 5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB p =（） A ．1B ．32C ．2D ．36．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（） A ．23- B ．21- C ．21+D ．23+7．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF 的距离为3a ，则离心率e 的取值范围是（）A ．51,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．5,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．71,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．7,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭8．无论θ为何值，方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线不可能为（）A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆9．如图所示，12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为3的正三角形，则2b 的值为( )A 3B ．23C ．33D ．4310．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若260AF B ∠=︒，2ABF 23a ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线22:4C x y x y +=+就是其中之一.曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：20x y ++=； ②曲线C 与圆228x y +=有2个交点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12； ④曲线C 恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确的是：________.(填写所有正确结论的编号)16．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），则以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为____________.17．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.18．双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交曲线C 右支于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，若3PQ ＝14PF ，则C 的离心率等于________．19．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③C 在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.20．动圆M 与圆221:(1)1C x y ++=外切，与圆222:(1)25C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是__________.三、解答题21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，一条准线方程为x （1）求椭圆C 的方程；（2）设,G H 为椭圆上的两个动点，G 在第一象限，O 为坐标原点，若OG OH ⊥，GOH 的面积为5，求OG 的斜率. 22．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别是(2,0)-，(2,0)，直线AQ ，BQ 相交于点Q ，且它们的斜率之积是34-. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,0)P -的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，且4PAM PON S S =△△. ①求直线l 的方程；②求直线l 被轨迹C 截得的弦长.23．已知椭圆22221x y a b+= (a >b >0)的右焦点为F 2(3，0)，离心率为e .（1）若e ＝2，求椭圆的方程；（2）设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2<e ≤2，求k 的取值范围. 24．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-．（1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左､右顶点，AB =2e =.F 是右焦点，过F 点任作直线l 交椭圆于M ，N 两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线AM 与直线BN 的交点P 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.26．已知抛物线：()()()222:2,2,0,2,00C y x M a N a a =->，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于,B C ，点,D E 满足(),01CE CN ND NB λλλ==<<（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记BCQ △与DEN 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ， 2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PFF F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-. 故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．B解析：B 【分析】联立直线AB 与椭圆方程，表示出弦长AB ，求出中点M 的横坐标，即可表示出PM 的长，利用已知等量关系即可求出离心率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，易得直线AB 的方程为y x c =-，联立直线与椭圆方程22221y x cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222222220a b x a cx a c b +-+-=，则212222a cx x a b +=+，()2221222a cb x x a b -=+，()222222222222224114a c b a c ab AB a b a b a b -⎛⎫∴=+-⋅= ⎪+++⎝⎭，212222M x x a cx a b +==+，直线PM 的斜率为1-，P MPM x x c a b ∴=-=+3||4||AB PM =，即222434aba b c a b ⨯=++，解得3c e a ==. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.3．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.4．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PFPF =，∴1230PF F ∠=，又212PFPF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．5．C解析：C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB p 的值．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2p x =-，故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =，即2212b a+=，则3b a =， A ，B 两点的纵坐标分别是32=±py ，又AOB 的面积为3，可得1··3322=p p ，得2p =，故选：C ．【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．6．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.7．D解析：D 【分析】设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0bk a<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b ka<<，，所以222222343a b k c a a =<-，即2247c a >，解得：e >故选：D . 【点睛】本题考查双曲线求离心率，属于中档题.方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系；（2）解出斜率k 与,a b 的关系；（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围；（4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.8．B解析：B 【分析】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=时，方程表示直线；当10cos 3θ<<或1cos 13θ<≤时，方程表示椭圆；当1cos 3θ=时，方程表示圆；当1cos 0θ-≤<时，方程表示双曲线. 【详解】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=，即2k πθπ=+，k Z ∈时，方程化为1x =±，表示两条直线；当10cos 3θ<<时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在y 轴上的椭圆；当1cos 3θ=时，方程化为221x y +=表示圆；当1cos 13θ<≤时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在x 轴上的椭圆；当1cos 0θ-≤<时，方程化为22113cos y x θ-=-表示焦点在x 轴上的双曲线. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线的判断，解题关键是判断3cos θ的符号以及与1的大小关系的判断，按照五种情况分类讨论即可得解.9．B解析：B 【分析】由2POF2=.c把(P 代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得即可得出．【详解】解：2POF2= 解得2c =．(P ∴代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得：2b = 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C的半径最小值为11225O l d -==，圆C面积的最小值为2455ππ⎛= ⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．D解析：D 【分析】结合双曲线的定义、2ABF 的面积、余弦定理列方程，化简求得ba，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】连接11,AF BF ，根据双曲线的对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，由于260AF B ∠=︒，所以12120F AF ∠=︒，212ABF AF F SS=，12AF BF =，设12,AF n AF m ==，结合双曲线的定义有2m n a -=，所以()2222222cos1201sin1202m n a c m n mn mn ⎧-=⎪⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩，即2222244m n a c m n mn mn a -=⎧⎪=++⎨⎪=⎩，由()22m n a -=得22222224,12m n mn a m n a +-=+=，所以22416,2c a c a ==，而222c a b =+，所以2224,ba ab a=+=所以双曲线的渐近线方程为y =. 故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】由题得2222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB 方程为3)4y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．②③【分析】求出点结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标即可判断②；在曲线上取点由可判断③；求出整点即可判断④【详解】对于①曲线令则；令则；所以点所以直线AB 的方程为：即故①错误；对于②解析：②③ 【分析】求出点()2,0A ，()0,2B ，结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标，即可判断②；在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，由ADEFG S 可判断③；求出整点即可判断④. 【详解】对于①，曲线22:4C xy x y +=+，令0x =，则2y =±；令0y =，则2x =±；所以点()2,0A ，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：221x y+=即20x y +-=，故①错误；对于②，由222248x y x y x y ⎧+=+⎨+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以曲线C 与圆228x y +=有2个交点()2,2，()2,2-，故②正确；对于③，在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，顺次连接各点，如图，则12442122ADEFG S =⨯+⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；对于④，曲线经过的整点有：()2,0±，()0,2±，()2,2±，有6个，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了曲线与方程的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题.16．【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置再联立方程得到其坐标即可【详解】如图所示取AB 中点M 分别过ABM 作准线的垂线垂足依次为CDN 则AC//MN//CDMN 是梯形ABDC 中位线根据抛物线定义得即N 在解析：23⎛- ⎝⎭【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置，再联立方程得到其坐标即可.【详解】如图所示，取AB 中点M ，分别过A ，B ，M 作准线的垂线，垂足依次为C ，D ，N ，则AC //MN //CD ，MN 是梯形ABDC 中位线，根据抛物线定义得，2AB AF BF AC BD MN =+=+=，即N 在以AB 为直径的圆上，即N 即是以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点，易见直线AB 不平行x 轴，方程可设为1x my =+，设()()1122,,,A x y B x y联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，又依题意3AF FB =（点A 在x 轴上方），故1120,3y y y >=-，解得122323,y y ==，故33m =-.易见N 点坐标为121,2y y +⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()1,2m -，即公共点的坐标为23⎛- ⎝⎭. 故答案为：23⎛- ⎝⎭. 【点睛】本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.17．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆解析：333【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(12121232S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为3P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以32r =-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.18．【分析】设则再利用双曲线的定义可得分别在中利用勾股定理即可获解【详解】如图设由＝可得由双曲线定义有所以又所以因为所以即①②由②解得代入①得即所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法解题关键【分析】设||4(0)PQ t t =>，则13PF t =，再利用双曲线的定义可得232PF t a =-，1||4QF t a =+，分别在12PF F △，1PFQ 中利用勾股定理即可获解. 【详解】如图，设||4(0)PQ t t =>，由3PQ ＝14PF 可得13PF t =，由双曲线定义，有12||||2PF PF a -=，所以232PF t a =-，21||||2QF PQ PF t a =-=+，又12||||2QF QF a -=，所以1||4QF t a =+，因为1PQ PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=，22211||||||PF PQ QF +=，即222(3)(32)4t t a c +-=①，222(3)(4)(4)t t t a +=+②，由②解得t a =，代入①，得222(3)(32)4a a a c +-=，即22104a c =，所以2c e a ===【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题关键是建立关于,,a b c 的方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.19．①②【分析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得故②正确；联立得四个交点满足条件的最小正方形是以为中点边长为2的正方形故③不正确【详解】对于①将代入得成立故曲线关于直线对称故①正确；对于②因为所以所解析：①② 【分析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①221x y +≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y=±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确. 【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤221x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y =±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点22(,22A ，22()22B -，22(22C --，22(22D -，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在2C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确.故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.20．【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆然后根据相关的两求出椭圆的方程【详解】解：设动圆的圆心为：半径为动圆与圆外切与圆内切因此该动圆是以原点为中心焦点在轴上的椭圆且解得∴椭圆的方程为：故解析：22198x y【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程．【详解】解：设动圆的圆心为：(,)M x y ，半径为R ，动圆与圆221:(1)1M x y ++=外切，与圆222:(1)25M x y -+=内切， 12||||156MM MM R R ∴+=++-=， 1212||||||MM MM M M +>，因此该动圆是以原点为中心，焦点在x 轴上的椭圆，且26a =，1c =，解得3a =， ∴2228b a c =-=，∴椭圆的方程为：22198x y ，故答案为：22198x y ．【点睛】本题主要考查椭圆的方程及圆与圆的位置关系，属于中档题．三、解答题21．（1）22193x y += （2）k =k =【分析】（1）由离心率可得c a =2a c ，结合222b a c =-可得答案.（2）设直线OG 的方程为y kx =，则0k >，可得出点G 的坐标，求出OG 的长度，由OG OH ⊥，则1OHk k=-，从而可得OH 的长度,由12GOHS OH OG =⨯⨯=建立方程可得答案. 【详解】（1）由离心率c e a ==，一条准线方程为x =2a c两式相乘可得23c a a a c ⨯===，所以c则222963b a c =-=-=所以椭圆C 的方程为：22193x y +=（2）由G 在第一象限，设直线OG 的方程为y kx =，则0k >由22193y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22931x k =+，则222931k y k =+所以OG == 由OG OH ⊥，则1OHk k =-，所以OH ==所以2119225GOHSOH OG =⨯⨯=⨯=化简得4231030k k -+=，解得23k =或213k =所以直线OG 的斜率为k =k =【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据三角形面积求直线斜率，解答本题的关键是设出直线OG 的方程为y kx=，表示出OG =OH =的长度，由12GOHSOH OG =⨯⨯=建立方程，属于中档题. 22．（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）①4)y x =+；. 【分析】（1）表示出直线AQ ，BQ 的斜率，然后计算即可.（2）①根据4PAM PON S S =△△可得12M N y y =，假设点,M N 坐标，然后代入椭圆方程，可得点,M N 坐标，进一步得到斜率，最后可得方程. ② 根据①利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）设(,)(2)Q x y x ≠±，由题意，34AQ BQ k k ⋅=-所以3224y y x x ⋅=-+-，化简得22143x y +=，所以点Q 的轨迹C 的方程是221(2)43x y x +=≠±.（2）①因为2OP AP =，且4PAM PON S S =△△，所以12M N y y =，所以点M 为PN 的中点，设00(,)M x y ，则00(42,2)N x y +所以22002200143(24)(2)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，所以0074x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1(274M N ⎛ ⎝⎭-或1(,,274M N ⎛ ⎝⎭- 所以直线l的斜率为k =，所以直线l的方程为4)y x =+②002N M MN x x x =-=+-=【点睛】思路点睛：第（1）问在于计算出直线的斜率，然后直接计算；第（2）问关键在于得到12M N y y =，同时熟记弦长公式. 23．（1）221123x y +=；（2）(,)-∞⋃+∞【分析】(1) 根据右焦点为F 2(3，0)，以及c a =a ，b ，c 即可. (2)联立22221y kxx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，根据M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，且坐标原点O 在以MN为直径的圆上，易得OM ⊥ON ，则四边形OMF 2N 为矩形，从而AF 2⊥BF 2，然后由22F A F B ⋅=0，结合韦达定理求解.【详解】(1)由题意得c ＝3，c a =所以a =又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为221123x y +=.(2)由22221y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝22222a b b a k-+ ，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为矩形，所以AF 2⊥BF 2.因为2F A =(x 1－3，y 1)，2F B = (x 2－3，y 2)，所以22F A F B ⋅= (x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即()222222(9)190(9)a a k a k a --++=+-，将其整理为k 2＝4242188118a a a a -+-+ ＝－1－428118a a -.因为2<e≤2，所以a12≤a 2<18. 所以k 2≥18，即k∈(,)-∞⋃+∞ 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是由O 在以MN 为直径的圆上，即OM ⊥ON ，得到四边形OMF 2N 为矩形，推出AF 2⊥BF 2，结合韦达定理得出斜率k 与离心率e 的关系. 24．（1）24y x =；（2）2. 【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p=，则2p =，因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=，则124y y k+=，1284y y k =-.因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PB y k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴，所以()()122244PAPBPA PB y y PF PF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212884424244y y y y k k-+++++===，所以MF NF ⋅的值为2. 【点睛】思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理.25．（1）2212x y +=；（2）直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【分析】（1）根据题中条件，求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到12y y +，12y y ，表示出直线AM 和BN 的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果. 【详解】（1）2AB=2a ∴=a =设焦距为2c ，离心率2e =2c a ∴=，1c ∴=， 2221b a c ∴=-=因此所求的椭圆方程为2212x y +=（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222210m y my ++-=， 12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+，直线AM方程是y x =+，直线BN方程是y x =，由y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-+--⎡⎤ ⎪ ⎪-++--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭21312mm y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-+++⎣⎦=⎡⎤-+++⎣⎦((()(213121m m y⎡⎤-+-+++=()221121m m y⎡⎤--++=(213==+3=+2x = 此直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上. 【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于根据点P 为两直线交点，联立两直线方程，结合直线MN 与椭P 横坐标为定值，即可求解. 26．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）由已知先求出,B C ，设(),D x y ，结合题干得ND NB λ=，NE NC λ=，结合向量关系求得,D E 点坐标，利用点斜式得DE l 方程，联立DE l 与抛物线即可求证；（2）结合三角形面积公式得112BCQ S S BC h ==⋅△，212DEN D E S S NG y y ==⋅-△，由（1）的结论可得h ，由直线DE l 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ,从而得到NG ,12,S S 作比即可求解.【详解】()1易知()()222,2,2,2B a a C a a -，设(),D x y ，由ND NB λ=，可得()()222,4,2x a y a a λ+=，故有()()242,2D a a λλ-，同理()()224,(1)2E a a λλ--，于是直线DE 的方程是()()()2124242y a x a aλλλ-=---，即()224288)2(x ay a λλλ=-+--①与抛物线方程联立，得到()()22210y a λ--=，此方程有两个相等的根：221()y a λ=-代入①，得()22221x a λ=-，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()()22221,221Q aa λλ--()()()2321112421622BCQ Q S S BC h a a x a λλ==⋅=⋅-=-△ 设直线DE 与x 轴交于()()22282,0G a a λλ--，于是()()223221182822DEN D E S S NG y y a a a λλλλ==⋅-=⋅-=-⋅△ 故有122S S =【点睛】方法点睛：本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：（1）涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于()x y 的一元二次方程，即证0∆=；（2）对于三角形面积问题,较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法，如本题中的DEN S △.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)(4)

一、选择题1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（）A ．BC ．13-D ．132．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（） A ．0B ．12C ．1D ．23．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（）A ．3B C D ．24．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为（）A B ．2C 2D 5．过抛物线24y x =焦点F ，斜率为k （0k >）的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF BF =，则k =（）A B ．2C ．2D ．16．过原点O 的直线交双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）于A ，C 两点，A 在第一象限，12,F F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若222,23OA OF CF BF ==，则双曲线E 的离心率为（）A ．5B ．4C ．5D ．57．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D8．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为（）A ．22+1164x y =B ．22+1416x y =C ．22148x y -=D ．22184x y -=9．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）． A ．312+ B ．622+ C ．31+ D ．62+10．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．91611．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A 3B ．23C ．33D ．43312．已知点P 是椭圆22:110064x y C +=上一点，M ，N 分别是圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=上的点，那么||||PM PN +的最小值为（）A ．15B ．16C ．17D ．18二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．已知抛物线24y x = 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______．15．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为_______.16．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______． 17．曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()21aa >的点的轨.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则122PF PF a +<；④若点P 在曲线C 上，则12FPF △的面积212S a ≤.其中，所有正确的序号是______.18．点(,)P x y 是曲线22:143x y C +=上一个动点，则2x 的取值范围为______．19．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为 ________. 20．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于两点P ，Q ，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为______.三、解答题21．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>1C 的一个短轴端点恰好是抛物线2C ：24x y =的焦点F . （1）求椭圆1C 的方程；（2）过点F 的直线交抛物线2C 于,M N 两点，连接NO ，MO ，线段NO ，MO 的延长线分别交椭圆1C 于A ，B 两点，记OMN 与OAB 的面积分别为OMN S △､OAB S，设OMNOAB SSλ=-，求λ的取值范围.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B 且左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，在点P 的运动过程中，有且只有6个位置使得12PF F 为直角三角形，且12PF F 的内切圆半径的最大值为22-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，记MN 的中点为Q ，求点A 到直线BQ 的距离的最大值.23．已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点()1,0M -，()1,0N 距离的比3PM PN=．（1）若点P 的纵坐标为2，求点P 的横坐标；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程．24．已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P . （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标；（2）设直线2l 过点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，且与抛物线C 交于（异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.25．如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点，过点A 的直线l 交抛物线22(0)x py p =>于,B C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证:点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l '交椭圆于,M N 两点.问：p 为何值时，BMN △的面积最大？并求面积的最大值.26．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率；（2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-,123m =⇒=-，故选C.2．C解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ．解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义， ∴y p +1=2，解得y p =1．故选C ．考点：抛物线的简单性质．3．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bcy a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =，即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =3 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)30，到双曲线C 的渐近线2223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点)0到双曲线C==2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以==ce a故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．5．A解析：A 【分析】将直线方程代入抛物线可得212224k x x k++=，121=x x ，由3AF BF =可得1232x x =+，联立方程即可解出k .【详解】由题可得()1,0F ，则直线方程为()1y k x =-，将直线代入抛物线可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212224k x x k++=，121=x x ，由抛物线定义可得121,1AF x BF x =+=+，3AF BF =，则1232x x =+，结合212224k x x k++=可得1222312,x x k k =+=，代入121=x x ，则223121k k⎛⎫+⋅=⎪⎝⎭，由0k >，可解得k = 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.6．D解析：D 【分析】根据题意得1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，13AF m =，再结合双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，故在1Rt FAB 中由勾股定理得1514m a =，在12Rt F AF △中结合勾股定理和1514m a =，得222553c a =，进而得答案..【详解】设1F 为双曲线E 的左焦点，连接112,,AFBF CF ，取2AF 的中点M ，由2=OA OF ，得OM AB ⊥，又O 为12F F 的中点，故1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，由1211||||||22OM AF CF ==得13AF m =. 根据双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，在1Rt F AB 中，有()()()22235222=m m a m a -++，化简得1514m a =，在12Rt F AF △中，有()()()2223322m m a c +-=，结合1514m a =，得222553c a =，所以53e = 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，解题的关键在于根据已知得1F A AB ⊥，同时注意到该题构成了焦点三角形，故借助定义，利用三角形的边角关系即可222553c a =，进而求解.考查运算求解能力，是中档题.7．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.8．B解析：B 【分析】由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，c =可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，点(,)P x y到点1F的距离与到点2(0,F -的距离之和为定值8，并且128F F >=，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为c =22216124b a c =-=-=，所以点P 的轨迹方程为22+=1416x y .故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .9．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．10．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.11．D解析：D设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440y ky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||3k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||223OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．12．C解析：C 【分析】由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可．【详解】解：如图，椭圆22:110064x y C +=的10a =，8b =，所以6c =，圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，则当M ，N 为如图所示位置时，||||PM PN +的最小值为2(21)17a -+=．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB 方程为3)4y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．【解析】由抛物线定义得即这点的坐标为解析：(4,4)±【解析】由抛物线定义得215,4444x x y y +=∴=∴=⨯⇒=± ,即这点的坐标为()4,4±15．【分析】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出由此能求出的最小值【详解】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由双曲线的定义由【分析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出2222a m c +=，由此能求出2212e e +的最小值．【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义12||||2PF PF m -=，由椭圆定义12||||2PF PF a +=，可得1PF m a =+，2PF a m =-，又123F PF π∠=，2221212||?4PF PF PF PF c +-=，可得222()()()()4m a a m m a a m c ++--+-=，得22234a m c +=，即222234a m c c+=，可得2212134e e +=，则222212122212113()()4e e e e e e +=++ 2221221231(13)4e e e e =+++ 123(423)42++=，当且仅当213e e =，上式取得等号，可得2212e e +的最小值为223+．故答案为：223+．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．16．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析：32【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义：2231PF a =-=，在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=，274c ∴=，则22279444b a c =-=-=，所以，32b =. 故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.17．②④【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数利用直接法设动点坐标为及可得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】解：对于①由题意设动点坐标为则利用题意及两点间的距离公式的得解析：②④ 【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >，利用直接法，设动点坐标为(,)x y ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】解：对于①，由题意设动点坐标为(,)x y ，则利用题意及两点间的距离公式的得：22224[(1)][(1)]x y x y a ++-+=，将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②，把方程中的x 被x -代换，y 被y - 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，故②正确；对于③，221y x =--，224211y x a ∴+=--，P ∴到原点的距离不，当P 在y 轴时取等号，此时12PF PF a ==，122PF PF a +=故③错误；对于④，由题意知点P 在曲线C 上，则△12F PF 的面积12122F PF Sy y =⨯⨯=，由①知221y x =--或221y x =--t ，则2424t a x -=，24442211(2)4444t a a a y t t -∴=--+=--+，1222212F PF S y a ∴=，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．18．【分析】可设则其中可得的取值范围【详解】由点是曲线上一个动点可设则其中又则故答案为：【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用辅助角公式三角函数的值域属于中档题解析：[5,5]-【分析】可设2cos ,x y θθ==，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，可得2x 的取值范围. 【详解】由点(,)P x y 是曲线22:143x yC +=上一个动点，可设2cos ,x y θθ==，[0,2)θπ∈，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，又5sin()θα+[5,5]∈-，则2x [5,5]∈-. 故答案为：[5,5]-. 【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用，辅助角公式，三角函数的值域，属于中档题.19．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线解析：2【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PMPAM PA=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞4．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D 两点，直线AB 交l 于G点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CFDF②直线AB 的倾斜角为π4或3π4 ③F 是AG 的中点④AFC △为等边三角形其中所有正确结论的编号是（） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④5．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（） A ．(2,)+∞B ．2)C ．(3,)+∞D ．3)6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =.若直线1PF与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（） A ．43B ．53C ．2D ．38．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．49．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（）A ．设,AB 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；B ．过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；D ．双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点.10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A ．25[,]23B ．5[,1)3C ．2[,31]2- D ．[31,1)-11．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（） A ．3 B ．233C ．433D ．212．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,6，则该双曲线的离心率为（） A ．2B ．2C ．3D ．3二、填空题13．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ､B 两点，直线2l 与C 交于D ､E 两点，则4AB DE +的最小值为________.14．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.15．已知双曲线2219x y m-=(m ∈R ， m ≠0)的离心率为2，则m 的值为_________16．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线22:4C x y x y +=+就是其中之一.曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：20x y ++=； ②曲线C 与圆228x y +=有2个交点；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12； ④曲线C 恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确的是：________.(填写所有正确结论的编号)17．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.18．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，当a 取最大值时，双曲线C 的方程为________.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.20．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，过点(0,2)P 的直线依次交抛物线和准线l 于点,,A B C ，且满足2AP PB =，则BCF 与ACF 的面积的比值为________.三、解答题21．已知长轴长为2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点P ⎛ ⎝⎭,点F 是椭圆C 的右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在x 轴上的定点D ,使得过点D 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，设E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.22．已知椭圆C ：22194x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆于A ，B 两点.（1）求1AF B △的周长；（2）椭圆C 上是否存在点P ，使得点P 到直线m ：2100x y +-=的距离最大？若存在，求出最大距离；若不存在，说明理由.23．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．24．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，焦距为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 的上顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点，若4tan 3∠=PNM ，求直线1l 的方程．附：多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t ．25．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(,0)F c -，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离等于a ．（1）求双曲线C 的离心率；（2）若c =(2,1)P -的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点，试求直线l 的方程．26．已知双曲线C 过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程．【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =，则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =，所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===，因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3y x，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，所以>0∆，且3是方程的根，所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意，综上，a 的取值范围为[)1,1-，故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题4．D解析：D 【分析】由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．【详解】解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =，则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠，则2AFC BFD CFO DFO CFD π∠+∠=∠+∠=∠=，CF DF ∴⊥，故①正确；设AB 所在直线方程为()2p y k x =-，联立2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22222(2)04k p k x k p p x -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2124p x x =，又3AF FB =，∴123()22p px x +=+，即123x x p =+，联立2121243p x x x x p⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12px =-（舍)或132x p =，则13y p =，即3(,3)2A p p ，则333122FA Pk p p ==-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为23π，故②错误．由3(,3)2A p p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．5．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，222()a m c n =++，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得2e >.故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 7．B解析：B 【分析】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，根据三角形中位线性质可求得2AF ；结合双曲线定义可求得1AF ，在12Rt AF F △中利用勾股定理可构造关于,a c 的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果. 【详解】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，连接2,OB AF ，212PF F F =，A 为1PF 中点，21AF PF ∴⊥，圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，1OB PF ∴⊥且OB a =，2//OB AF ∴，又O 为12F F 中点，222AF OB a ∴==；由双曲线定义知：122PF PF a -=，即112122PFF F PF c a -=-=， 1112AF PF a c ∴==+，又122F F c =，21AF PF ⊥， 2222112AF AF F F ∴+=，即()22244a a c c ++=，整理可得：223250c ac a --=，即23250e e --=，解得：53e =或1e =-（舍去）， ∴双曲线的离心率为53.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题，解题关键是能够在直角三角形中，利用勾股定理构造出关于,a c 的齐次方程，进而配凑出关于离心率的方程.8．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b，所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确；对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以1118021802180AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确；对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-，又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ，因为2211222y y p pp ，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确；对于④，不妨设(002A x px ，则002AT px k =，则直线002:x AT x x p =-，代入抛物线方程化简得0202220x px py p +=-，则0020228x p ppx ⎛∆=- -=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.9．C解析：C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断；②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案；【详解】①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确； ②∵()12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；④由双曲线221925x y -=可得c ，其焦点(，同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,，因此没有相同的焦点，错误；综上可知：其中真命题的序号为 ③．故选：C ．【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题．10．A解析：A 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由221c b e a a==-求解. 【详解】如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形，又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥，所以平行四边形'AFBF 为矩形，所以'2AB FF c ==，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=，又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈，所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22251c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是25⎣⎦，故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=，则22444c a -=，所以a = 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..12．A解析：A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，将点代入即可得ba=得离心率. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =过第一象限，所以点在渐近线b y x a =b a =，所以ba=所以2c e a ==．故选：A 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.二、填空题13．36【分析】设直线的方程为联立方程组分别求得和结合基本不等式即可求得的最小值得到答案【详解】由题抛物线的焦点准线方程为设直线的方程为联立方程组则设可得由抛物线的定义可得由可将上式中的换为可得则当且仅解析：36【分析】设直线1l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，分别求得244AB k=+和244DE k =+，结合基本不等式，即可求得4AB DE +的最小值，得到答案. 【详解】由题，抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，设直线1l 的方程为()1y k x =-，0k ≠，联立方程组()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，则()2222420k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12242x x k +=+，由抛物线的定义可得1224||24AB x x k =++=+，由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k-，可得2||44DE k =+，则221420442036AB DE k k ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当k =，上式取得等号，则4AB DE +的最小值为36. 故答案为：36. 【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF p x =+或2PF p y =+. 14．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB 方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 15．27【分析】根据双曲线标准方程知结合离心率为2及常数关系即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程知：∵双曲线的离心率为2∴而∴故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线利用双曲线的离心率标准方程中常数的等解析：27 【分析】根据双曲线标准方程知29a =，20b m =>，结合离心率为2及常数关系222c a b =+即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程，知：29a =，20b m => ∵双曲线的离心率为2∴2ca=，而222c a b =+ ∴27m =故答案为：27 【点睛】本题考查了双曲线，利用双曲线的离心率、标准方程中常数的等量关系222c a b =+求参数值16．②③【分析】求出点结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标即可判断②；在曲线上取点由可判断③；求出整点即可判断④【详解】对于①曲线令则；令则；所以点所以直线AB 的方程为：即故①错误；对于②解析：②③ 【分析】求出点()2,0A ，()0,2B ，结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标，即可判断②；在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，由ADEFG S 可判断③；求出整点即可判断④. 【详解】对于①，曲线22:4C xy x y +=+，令0x =，则2y =±；令0y =，则2x =±；所以点()2,0A ，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：221x y+=即20x y +-=，故①错误；对于②，由222248x y x y x y ⎧+=+⎨+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以曲线C 与圆228x y +=有2个交点()2,2，()2,2-，故②正确；对于③，在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，顺次连接各点，如图，则12442122ADEFG S =⨯+⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；对于④，曲线经过的整点有：()2,0±，()0,2±，()2,2±，有6个，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了曲线与方程的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题.17．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆解析：333【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(12121232S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为3P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以3r =.故答案为：3 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.18．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得a 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<，当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b c b ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.20．【分析】设出的坐标及过点的直线的方程联立抛物线方程与过点的直线的方程利用根与系数的关系及得到的坐标通过三角形面积公式将与的面积之比转化为边长之比进而通过三角形相似解决问题即可【详解】解：设不妨设由题解析：25【分析】设出,A B 的坐标及过点P 的直线的方程，联立抛物线方程与过点P 的直线的方程，利用根与系数的关系及2AP PB =得到,A B 的坐标，通过三角形面积公式，将BCF 与ACF 的面积之比转化为边长之比，进而通过三角形相似解决问题即可. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设12x x <，由题意得直线AB 的斜率存在，设过点(0,2)P 的直线方程为2y kx =+.联立方程得22,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩整理得2480x kx --=，则128x x =-.由2AP PB =得，122x x =-，∴124,2,x x =-⎧⎨=⎩∴124,1.y y =⎧⎨=⎩过点,A B 向准线l 作垂线，垂足分别为,M N ，则211sin 122115sin 2BCF ACFCB CF BCF SCB BN y SCA AM y CA CF BCF ⋅⋅∠+=====+⋅⋅∠. 故答案为：25【点睛】本题主要考查抛物线的定义、几何性质，三角形面积的计算等，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力.试题通过考查直线与拋物线的位置关系、平面向量、三角形的面积，体现了数学运算、直观想象等核心素养.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）存在，(2,0)D .【分析】（1）题意说明a =P 的坐标代入22x ＋22y b ＝1，可得b ，即得椭圆方程；（2）设存在定点D 满足条件．设(,0)D t ，直线l 方程为x my t =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ,则22(,)E x y -，将直线l 代入椭圆方程得y 的二次方程，判别式大于0，应用韦达定理得1212,y y y y +，A ，F ，E 三点共线即,FE FA 共线，由向量共线得一等式，代入1212,y y y y +可求得t ．【详解】解(1)因为2a =，所以a =(1,2P 代入22221x y a b +=，得1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(2) 存在点(2,0)D 满足条件.设(,0)D t ，直线l 方程为x my t =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ,则22(,)E x y -联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222(2)220m y mty t +++-= 12222mt y y m ∴+=-+，212222t y y m -=+且0∆>，由,,A F E 三点共线，得2112(1)(1)0x y x y -+-=，所以12122(1)()0my y t y y +-+=，所以222222(1)()022t mtm t m m -⋅+-⋅-=++解得2t =.所以存在定点(2,0)D 满足条件．【点睛】方法点晴：解法中体现了“设而不求”的思想，即设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程得y 的二次方程（判别式大于0），应用韦达定理得1212,y y y y +，代入题中另外的条件求解． 22．（1）12；（2）存在；. 【分析】（1）根据椭圆方程可得长轴长，利用椭圆定义可求得结果；（2）假设存在点P ，则点P 为平行于直线m 的直线与椭圆C 的切点，假设切线方程为20x y p ++=，与椭圆方程联立后利用0∆=可求得切线方程，利用平行直线间距离公式可求得结果. 【详解】（1）由椭圆C ：22194x y +=可知，椭圆的长轴长26a =，由椭圆的定义可知，1226AF AF A +==，1226BF BF a +==，又∵直线l 过焦点2F 交椭圆与A ，B 两点.1AF B ∴的周长为：()()11221112126612AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF ++=+++=+++=+=.（2）假设椭圆C 上存在点P ，使得点P 到直线m ：2100x y +-=的距离最大，则点P 为平行于直线m 的直线与椭圆C 的切点.设与直线l ：2100x y +-=平行且与椭圆C 相切的直线n 方程为：20x y p ++=.联立2220194x y p x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22251891440x px p ++-=，∵直线20x y p ++=与椭圆C 相切，∴()()221810091440p p ∆=--=，解得：5p =±.当5p =时，直线n 与椭圆C 的切点到直线m 的距离最大，且此最大距离也是直线n 与直线m 之间的距离，此时直线n 的方程为250x y ++=，直线m ：2100x y +-=与直线n ：250x y ++=的距离d ==∴椭圆C 上存在点P ，使得点P 到直线m ：2100x y +-=的距离最大，最大距离为.【点睛】方法点睛：本题考查椭圆上的点到直线距离的最值问题的求解，求解此类问题的基本方法是假设与已知直线平行的椭圆切线方程，将切线方程与椭圆方程联立，利用0∆=可求得切线方程，利用平行直线间距离公式可求得所求最值.23．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析．【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围.(3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的. 【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=，故圆心()11M ，，半径R =圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =<所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ，设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E ，)F ，设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+，整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，，())()2222x x y x y =⋅+-=+-()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩，由此得2102y ≤<，所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．故直线MA 的方程为()11y k x -=-，直线MB 的方程为()11y k x -=--，由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()()222121120k x k k x k ++-+--=，因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k kx k -∴+=+可得22211A k k x k --=+，同理可得：22211B k k x k +-=+，所以B AAB B Ay y k x x -=-()()3232222222222421111114212111B A MNB Ak k k k k k kk k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++，所以直线AB 和MN 一定平行．【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点： (1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断； (2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.24．（1）2212x y +=；（2）21y x =-+或21y x =+.【分析】（1）结合焦距和离心率求得a ，c ，再计算b ，即得方程；（2）先判断直线斜率存在且不为零，先设斜率写直线方程，联立直线与椭圆求得弦长PM ，根据垂直设另一条直线，同理可求PN ，直角三角形利用比例关系求得斜率，即得结果. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得22c =，可得1c =，又由椭圆的离心率为2，可得2c a =，代入1c =，可得a =故1b ==，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）依题意知直线1l ，2l 斜率存在且不为零，由点P 的坐标为()0,1，设直线PM 的方程为1y kx =+，。

北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题1．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）A ．221325y x +=B ．221325x y +=C ．221369y x +=D ．221369x y +=2．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25 3．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（）A ．4B ．15C ．14D ．44．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（） A ．1B ．2C ．3D ．45．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为（） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =6．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（）A ．4B C ．D ．27．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB p =（）A ．1B ．32C ．2D ．39．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±10．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||3||3QF PF ≥，则离心率的取值范围为（）A ．610,2⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．(0,62]-C ．2,312⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D ．(0,31]- 11．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 C ．2D ．3二、填空题13．若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是__________．14．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线22:4C x y x y +=+就是其中之一.曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：20x y ++=； ②曲线C 与圆228x y +=有2个交点；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12； ④曲线C 恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确的是：________.(填写所有正确结论的编号)15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.16．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．17．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S △△△成立，则λ的值为__________.18．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.19．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2212x y -=相交于A ，B 两点.若ABF ∆为直角三角形，则抛物线的准线方程为________.20．已知圆22:4440C x y x y +--+=，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长为________________．三、解答题21．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为23-，求实数λ的值. 22．点P 为椭圆()222210,0x y a b a b+=>>在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线by x a=-于,Q R ，交y 轴，x 轴于,M N 两点，记OMQ 与ONR 的面积分别为12,S S .（1）若P 坐标为⎭，且点P 与点R 关于x 轴对称，试求椭圆的标准方程; （2）当2ab =时，试求2212S S +的最小值.23．已知圆2219:24E x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于两点M ，N ，且(0)MN OA λλ=≠. （1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程.24．如图，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线11:2l y x =+与C 相切．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过F 的直线2l 交C 于M ，N 两点（M 在x 轴上方），若MF FN =3，求直线2l 的方程．25．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹，已知点M 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离比为2. （1）求动点M 轨迹C 的方程；（2）过点A 斜率为12-的直线l 与曲线C 交于 E 、F 两点，求△OEF 面积. 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且经过点2A ⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P （点P 在第一象限），过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【解析】设椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>联立方程：2222143130y x a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，整理得：()222222216910416990b a x b x b a b +---=,设()11M x y ，，()22N x y ，，则1212x x +=，即2221042169b b a=+，化简得：224a b =，又2227a b -=，易得：22369a b ⎧=⎨=⎩，∴此椭圆的方程是221369y x +=故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.2．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,a c =设(),P x y ，则2127·1616k PF PF x ==-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.3．B解析：B由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.4．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 5．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．6．A解析：A 【分析】由已知求得直线l 的方程，与抛物线的方程联立，设1122(,),(,),A x y B x y 得出根与系数的关系1212 4.y y y y +==-再表示三角形的面积1211||2OABOAFOFBSSSy y =+=⨯⨯-，代入计算可得选项．【详解】由2:4C y x =得(1,0)F ，所以直线l的方程为1)y x=-，即1x =+，联立得241y xx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，化简得240.y --=，设1122(,),(,),A x y B x y 则12124.y y y y +==-，所以12111||422OABOAFOFBSSSy y =+=⨯⨯-===，故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，将所求的目标转化到交点的坐标上去.7．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解．【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=，由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=．所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．8．C解析：C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB p 的值．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-，故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =2=，则b a =A ，B 两点的纵坐标分别是=y又AOB=，得2p =，故选：C ．【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．9．C解析：C 【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b ，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c = 渐近线方程为by x a=±，其中一条为0bx ay -=，1==，1b=，∴a=∴渐近线方程为y x=．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b．解题时要注意椭圆中222a b c=+，双曲线中222+=a b c．两者不能混淆．10．C解析：C【分析】根据2||2PQ OF=，可得四边形12PFQF为矩形，设12,PF n PF m==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m nn ma c=+-，再分析18mtn m=+的取值范围，进而求得()222422ca c<≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m==，由210,0x y>>，知m n<，因为()()1111,,,P x y Q x y--，在椭圆C上，222PQ OP OF==，所以，四边形12PFQF为矩形，12=QF PF；由11QFPF≥，可得13mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c+=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n ma c+==+-；令=+m ntn m，令mvn⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t vv⎛=+∈⎝⎦，即()2224232ca c<≤-，所以，()22222a c c a c-<≤-，所以，()222113e e e-<≤-，所以，2142e<≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解属于中档题11．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为11225O l d -==，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.12．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，3==ce a，故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.二、填空题13．8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得解析：8 【解析】2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-9m -28y x =的准线是直线2,x =-所以239m -+=-8.m =14．②③【分析】求出点结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标即可判断②；在曲线上取点由可判断③；求出整点即可判断④【详解】对于①曲线令则；令则；所以点所以直线AB 的方程为：即故①错误；对于②解析：②③ 【分析】求出点()2,0A ，()0,2B ，结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标，即可判断②；在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，由ADEFG S 可判断③；求出整点即可判断④. 【详解】对于①，曲线22:4C xy x y +=+，令0x =，则2y =±；令0y =，则2x =±；所以点()2,0A ，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：221x y+=即20x y +-=，故①错误；对于②，由222248x y x y x y ⎧+=+⎨+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以曲线C 与圆228x y +=有2个交点()2,2，()2,2-，故②正确；对于③，在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，顺次连接各点，如图，则12442122ADEFG S =⨯+⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；对于④，曲线经过的整点有：()2,0±，()0,2±，()2,2±，有6个，故④错误. 故答案为：②③.本题考查了曲线与方程的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题.15．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题解析：23+ 【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则23e =，由1e >，则23e +=.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.16．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===，故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.17．【分析】根据Ⅰ为的内心及可得再由双曲线的定义得两式联立求解【详解】由Ⅰ为的内心及得即又由双曲线的定义得则故故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的定义和三角形内切圆的应用还考查了数形结合的思想和运算求【分析】根据Ⅰ为12PF F △的内心及1212IPF IPF IF F S S S △△△，可得1212||PF PF F F λ=+，再由双曲线的定义得122PF PF a -=，两式联立求解. 【详解】由Ⅰ为12PF F △的内心及1212IPF IPF IF F S S S △△△，得1212||PF PF F F λ=+，即1212PF PF F F λ-=，又由双曲线的定义得122PF PF a -=，则22a c λ=⨯，故a c λ==【点睛】本题主要考查双曲线的定义和三角形内切圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.18．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-，所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆，所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】先求出准线方程为代入双曲线方程可得AB 的坐标再由为直角三角形设中点为则即进而求解【详解】由题可知准线方程为因为与双曲线相交于AB 则为为因为为直角三角形由双曲线的对称性可得设中点为则即解得即所解析：1y =-【分析】先求出准线方程为2py =-,代入双曲线方程可得A ,B 的坐标,再由ABF ∆为直角三角形,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =进而求解. 【详解】由题可知准线方程为2p y =-,因为与双曲线2212x y -=相交于A ,B ,则A为2p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,B为2p ⎫-⎪⎪⎭, 因为ABF ∆为直角三角形,由双曲线的对称性可得90AFB ∠=︒,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =解得24p =,即2p =, 所以准线方程为1y =-, 故答案为:1y =- 【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.20．【分析】根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标求出直线联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解【详解】圆所以抛物线过点即其焦点为则直线联立直线与抛物线方程：整理得直线设其两根为弦长所以被抛物线截得解析：258【分析】根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标，求出直线42:33CF y x =-，联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解. 【详解】圆22:4440C x y x y +--+=，所以()2,2C ，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，即44,1p p ==，其焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2041322CF k -==-则直线42:33CF y x =-，联立直线与抛物线方程：242332y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得281720x x -+=，直线217640∆=->，设其两根为12,x x 弦长121725188x x p ++=+= 所以被抛物线截得的弦长为258. 故答案为：258【点睛】此题考查根据抛物线经过的点求抛物线方程和焦点坐标，根据直线与抛物线形成弦长公式求解弦长，关键在于熟练掌握直线与抛物线问题常见处理办法.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）12λ=. 【分析】（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可. 【详解】解：（1）()2,PA x y =---，()2,PB x y =--又22PHy =所以由2||PA PB PH λ⋅=⋅得()()22,2,x y x y y λ---⋅--= 则22(1)4x y λ+-=当1λ=时，C 是两条平行直线；当0λ=时，C 是圆；当01λ<<时，C 是椭圆；当1λ>时，C 是双曲线 .（2）2222(2)4(1)40(1)4y x x x x y λλλλ=+⎧⇒-+--=⎨+-=⎩ 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122004(1)41(0)232x x λλλλ⎧⎪-≠⎪∆>⎨⎪-⎪+==-⇒=∆>-⎩【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2214x y +=；（2）12.【分析】（1）根据题中条件，得到222112a b +=，求出R ⎭，根据点P 与点R 关于x 轴对称，得到2a b =，进而可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）先设()P m n ,，根据题中条件，得到M ，N ，R ，Q 的坐标，由三角形面积公式，得到44442222214a n b m S b S a ++=，根据2ab =，22221m n a b+=，结合基本不等式，即可求出2212S S +的最小值.【详解】（1）因为点2P ⎭为椭圆()222210,0x y a b a b +=>>上任意一点，则222112a b+=；由x b y xa ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即R ⎭，又点P 与点R 关于x轴对称，所以02a -+=，则2a b =，由2222112a ba b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意，设()P m n ,，其中0m >，0n >，则()0,M n ，(),0N m ，由x m b y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得x mbm y a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即,bm R m a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由y n b y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得y nan x b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即,an Q n b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以211222OMQQ n an an S SOM x b b===⋅=，221222ONRR m bm bm S S ON y a a===⋅=，则2424422124442222444a n b m b m a a b b S S a n +=++=，因为2ab =，22221m n a b +=，则2222221b m a n a b+=，即22224b m a n +=，所以444444442222444444422121632232a n a n ab m b m b m b m n a n a b S n m S +++++≥+=+=()22222442222441323222a nb m a n a b m b n m++===+，当且仅当22222a n b m ==时，取得最小值12. 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中的三角形面积最值问题时，一般需要根据题中条件，利用三角形面积公式，表示出三角形的面积，再结合函数的性质或基本不等式，即可求出面积的最值.（有时需要利用导数的方法求解最值）23．（1）22142x y +=；（2）20x +=或20x -=.【分析】（1）由题可先求出焦点坐标得出c ，由点1F ，E ，A 共线，可得21AF =，1||3AF =，则可求出a ，即可得出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理求出弦长，得出面积，即可求出最值，得出此时的直线方程. 【详解】(1)由2219()24x y +-=，令0y =得x =1(F ∴，2F ∴由点1F ，E ，A 共线，知E 为1AF 中点，则221AF OE ==，1||3AF =，242a a ∴=⇒=，∴2222b a c =-=，所求椭圆方程为：22142x y +=；(2)可知)A,由(MN OA λλ==，可得直线l 的斜率为2，设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)M x y ，22(,)N xy ，由22142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2220x m +-=，由()22Δ)420m =-->，得22m-<<，12x x +=，2122x x m=-，12||MN x ∴=-==，又点A 到直线l 的距离为||d m =，∴1||||2AMNSMN d m ==)2242m m-+=≤=，当且仅当224m m-=，即m=时，等号成立，综上，直线l的方程为2y x=+2y x=.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y，，()22B x y，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x+形式；（5）代入韦达定理求解.24．（1）22y x=；（2）630x--=【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为0求出p的值，从而可得答案；（2）设21:2l x my=+，联立2212y xx my⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2210y my--=，利用韦达定理以及平面向量的线性运算列方程组求解m的值即可.【详解】（1）联立222212y pxy py py x⎧=⎪⇒=-⎨=+⎪⎩，可得220y py p-+=，因为直线11:2l y x=+与2:2(0)C y px p=>相切所以24401p p p=-=⇒=，抛物线方程为22y x=，（2）由（1）可知1,02F⎛⎫⎪⎝⎭，设21:2l x my=+，联立2212y xx my⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2210y my--=，设()()11221,,,,0M x y N x y y>，结合MF FN=3，可得12121212,3y y y y m m y y =-⎧⎪+=⇒=⎨⎪=-⎩，21:2l x y =+，即630x --=. 【点睛】求抛物线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于p 的方程，解出p ，从而写出抛物线的标准方程．解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．25．（1）228120x y x +-+=；（2. 【分析】（1）设(,)M x y ，由已知得 ||2||OM AM =，由两点的距离公式可得= ，化简可得动点M 轨迹C 的方程；（2）根据直线的点斜式方程可得方程()1:032l y x -=--，由点到直线的距离公式求得圆圆心()40，到直线l 的距离和原点到直线 l 的距离，根据三角形的面积公式可求得答案. 【详解】（1）设(,)M x y ，则 ||2||2||||OM OM AM AM =⇒=，= ，所以动点M 轨迹C 的方程为228120x y x +-+=；（2）直线()1:032l y x -=--，即230x y +-=，又圆22(4)4x y -+=，圆心()40，到直线l，所以2EF == l所以12OEF S ∆==. 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，以及运用几何法求圆的弦长，属于中档题.求点的轨迹方程的常用方法之一：直译法——“四步一回头”，四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(),x y ；（2）写出适合条件的点M 的集合(){}|P P M P M =；（3）将()P M “翻译”成代数方程(),0f x y =；（4）化简代数方程(),0f x y =为最简形式.一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程.26．（1）2212x y +=；（2）是定值，2 . 【分析】（1）根据条件列出关于a,b,c 方程组求解得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设出P 的坐标()00,x y ，利用椭圆上某点处的切线方程公式求出切线方程，利用平行线的关系得出直线 l 的方程，与直线PF 的方程联立，求得Q 的坐标，利用两点间距离公式求得PQ 关于00,x y 的表达式，并利用P 的坐标满足椭圆方程，消元并化简得到常数值.【详解】解：（1）由题意知2222222112211c aa ab b a bc ⎧=⎪⎪⎪⎧⎪=⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()00,,P x y 直线l 的方程为0022x x y y +=过原点O 且与l 平行的直线l '的方程为0020x x y y +=椭圆C 的右焦点()1,0F ，由00y 0x 1y 0x 1--=--整理得到直线PF 的方程为0001)0(y y x x y ---=，联立20000000000(1)02,2022y x x y y y x y Q x x y y x x ---=⎛⎫⎧⇒-⎨ ⎪+=--⎩⎝⎭∴2222000000000022222222y x y y x PQ x y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=== 【点睛】本题考查根据离心率和定点确定求的标准方程，椭圆与直线相交所得弦长问题和定值问题，属中档题，涉及椭圆上某点处的切线方程，弦长公式，运算化简能力，注意：曲线22Ax By C +=上()00,P x y 处的切线l 的方程为00Ax x By y C +=。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(答案解析)(4)

一、选择题1．已知离心率为3的椭圆()2211x y m m +=>的左､右顶点分别为A ，B ，点P 为该椭圆上一点，且P 在第一象限，直线AP 与直线4x =交于点C ，直线BP 与直线4x =交于点D ，若83CD =，则直线AP 的斜率为（） A ．16或120 B ．121C ．16或121D ．13或1202．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．533．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（） A ．25B ．45C ．15D ．234．过抛物线24y x =焦点F ，斜率为k （0k >）的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF BF =，则k =（）A B ．2C ．2D ．15．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直6．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25 7．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（）A ．12B ．32C ．43D ．98．已知圆2221:(0)C x y b b +=>与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．(D ．)+∞9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB p =（） A ．1B ．32C ．2D ．310．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（）A ．12-B ．2 C D 111．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（）A ．2B ．4C ．5D ．612．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A ．2B C ．3D 二、填空题13．已知抛物线2:4E x y =，过点(2,1)P -作E 的两条切线，切点分别为,A B ，则AB =________．14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为ab的直线l 与双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有13PM MF =，则双曲线的渐近线方程为________．15．已知双曲线2219x y m-=(m ∈R ， m ≠0)的离心率为2，则m 的值为_________16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12, F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________．18．已知抛物线C ：24y x =，点N 在C 上，点()(),00M a a ->，若点M ，N 关于直线)1y x =-对称，则a =_____.19．点(,)P x y 是曲线22:143x yC +=上一个动点，则2x 的取值范围为______．20．曲线412x x y y -=上的点到直线y 的距离的最大值是________．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，右焦点为F ，原点O 到直线BF 的距离为1||2OF . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点，若||MN 的最大值为2，求椭圆C 的方程.22．已知圆1C 的方程为()()2220213x y -+-=，椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，2C 的离心率为2，如果1C 与2C 相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆1C 的直径，求直线AB 的方程和椭圆2C 的方程．23．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F 2b =，其中A 为左顶点，O 为坐标原点．（1）求椭圆离心率e 的值；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线相切，圆心C 在直线1x =上，且//OC AP ，求椭圆方程．24．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点()0,3P x 为抛物线C 上一点，且4PF =，过点(),0A a 作抛物线C 的切线AN （斜率不为0），设切点为N ．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求证：以FN 为直径的圆过点A ．25．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.26．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||AB CD =，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由离心率求出9m =，设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---，设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k ，直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可表示出CD ，然后列方程可求出k 的值【详解】由e ==，得9m =. 设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---. 设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k .直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以18793CD k k =+=，解得13k =(舍去)或121.故选：B. 【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题2．D解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==. 故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．3．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)22132y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则y = 所以MQF 的周长最小时，点Q的坐标为54⎛- ⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则QE QF +=614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】将直线方程代入抛物线可得212224k x x k++=，121=x x ，由3AF BF =可得1232x x =+，联立方程即可解出k .【详解】由题可得()1,0F ，则直线方程为()1y k x =-，将直线代入抛物线可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212224k x x k++=，121=x x ，由抛物线定义可得121,1AF x BF x =+=+，3AF BF =，则1232x x =+，结合212224k x x k++=可得1222312,x x k k =+=，代入121=x x ，则223121k k⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，由0k >，可解得k = 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.5．A解析：A 【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y pp ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到2210100222020*******y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题. 6．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,a c =设(),P x y ，则2127·1616k PF PF x ==-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.7．C解析：C 【分析】本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将11m n+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为双曲线221x y m n-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，所以743m n ，则()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 142233m n n m，当且仅当m n =时取等号，故11m n+的最小值为43，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.8．B解析：B 【分析】根据题意，若过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则2OP b =，则只需在双曲线上存在一点到坐标原点额距离为2b ，设点(),P x y ，则利用22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解求出离心率e 的取值范围.【详解】如图所示，设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆2221:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b ==，设点(),P x y ，则22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解，整理得22223c x b a =有解，即22223a b x c=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得62c e a =≥. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.9．C解析：C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB 3p 的值．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-，故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =2212b a+=，则3b a = A ，B 两点的纵坐标分别是3=py 又AOB 3 1··3322=p ，得2p =，故选：C ．【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．10．D解析：D 【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos232ME EF c c π==⨯=，2sin33MF c c π==，∴(31)2MF ME c a +=+=， ∴23131c e a ===-+．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．11．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.12．A解析：A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，将点代入即可得ba=得离心率. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =过第一象限，所以点在渐近线b y x a =b a =，所以ba=所以2c e a ==．故选：A 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.二、填空题13．8【分析】设切线方程为即代入利用判别式为0求出两条切线的斜率进一步求出两个切点坐标利用两点间的距离公式可求得结果【详解】切线的斜率显然存在设切线方程为即联立消去得所以即则或设切线的斜率分别为则将代入解析：8 【分析】设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，代入24x y =，利用判别式为0，求出两条切线的斜率，进一步求出两个切点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】切线的斜率显然存在，设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，联立2214y kx k x y=--⎧⎨=⎩消去y 得24840x kx k -++=，所以2(4)4(84)0k k ∆=--+=，即2210--=k k ，则1k =1k = 设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，1122(,),(,)A x y B x y ，则11k =21k =，将112k =-代入24840x kx k -++=得24(12)8(12)40x x --+-+=，即2(222)0x -+=，得222x =-，即1222x =-，所以2211(222)44x y -===322-，所以(222,322)A --，同理可得(222,322)B ++，所以22||(222222)(322322)AB =---+---8=.故答案为：8. 【点睛】本题考查了直线与抛物线相切的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.14．【分析】根据题意求出点M 的坐标再根据求出点P 的坐标将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出进而求出双曲线的渐近线方程【详解】设双曲线的左焦点为所以直线l 的方程为：由直线l 与其中一条渐近线交于点M 且有可知解解析：43y x =±【分析】根据题意求出点M 的坐标，再根据13PM MF =求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出ba，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线的左焦点为(),0c -，所以直线l 的方程为：()ay x c b=+，由直线l 与其中一条渐近线交于点M ，且有1PM=3MF ，可知()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程可得2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，过点M 、P 分别作x 轴垂线，垂足为A 、B 因为13PM MF =，所以1114AF BF =，14AM BP =，不妨设04,ab P x c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则204c x a c c +-=，解得2043a x c c=-，所以2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()222210,0x y a b a b -=>>，即()2222244310,0a ab c c c a b a b⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=>>，整理可得22925c a =，即()222925a b a +=，解得22169b a =，43b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故答案为：43y x =± 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.15．27【分析】根据双曲线标准方程知结合离心率为2及常数关系即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程知：∵双曲线的离心率为2∴而∴故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线利用双曲线的离心率标准方程中常数的等解析：27 【分析】根据双曲线标准方程知29a =，20b m =>，结合离心率为2及常数关系222c a b =+即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程，知：29a =，20b m => ∵双曲线的离心率为2∴2ca=，而222c a b =+ ∴27m = 故答案为：27 【点睛】本题考查了双曲线，利用双曲线的离心率、标准方程中常数的等量关系222c a b =+求参数值16．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.故答案为：23+ 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.17．【分析】首先得点则这样和的面积可表示出来从而可得点坐标代入直线方程得到的等式变形后可求得离心率【详解】由图像可知点则由则则则由则则点由点M 在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率解【分析】首先得点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cSa=，这样12MF F △和2MPF 的面积可表示出来，从而可得M 点坐标，代入直线方程2y x =得到,,a b c 的等式，变形后可求得离心率．【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cSa=，由1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =．故答案为：23+. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的齐次式，本题中利用12MF F △和2MPF 的面积得出M 点坐标，从而得到要找的等式．18．3【分析】设MN 关于直线对称等价于MN 中点在直线上且MN 与直线斜率相乘为联立方程可用表示再利用在抛物线上将点代入抛物线方程即可求出【详解】设因为点MN 关于直线对称所以中点在直线上且与直线垂直则中点为解析：3 【分析】设()00,N x y ，M ，N 关于直线)1y x =-对称等价于MN 中点在直线上，且MN 与直线斜率相乘为1-，联立方程，可用a 表示00,x y ，再利用()00,N x y 在抛物线上，将点代入抛物线方程，即可求出a . 【详解】设()00,N x y ，因为点M ，N 关于直线)1y x =-对称，所以MN 中点在直线上，且MN 与直线垂直，则MN 中点为00,22x a y ， 003122y x a，且MN 与直线垂直，0031y x a，联立方程可得00333,22a a x y ，点N 在抛物线上，2333422a a ，解得3a =或73a =-（舍去），3a ∴=.故答案为：3 【点睛】本题考查点与点关于直线的对称问题，知道中点在直线上且两点间连线与直线垂直是解决问题的关键.19．【分析】可设则其中可得的取值范围【详解】由点是曲线上一个动点可设则其中又则故答案为：【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用辅助角公式三角函数的值域属于中档题解析：[5,5]-【分析】可设2cos ,x y θθ==，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，可得2x 的取值范围. 【详解】由点(,)P x y 是曲线22:143x y C +=上一个动点，可设2cos ,x y θθ==，[0,2)θπ∈，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，又5sin()θα+[5,5]∈-，则2x [5,5]∈-. 故答案为：[5,5]-. 【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用，辅助角公式，三角函数的值域，属于中档题.20．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的解析：3【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可. 【详解】解：曲线412x x y y -=表示的方程等价于以下方程，()()()22222210,02410,02410,042x y x y x y x y y x x y ⎧-=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()2210,042y x x y -=<<渐近线方程，所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆()2210,024x y x y +=≥<上的点到直线2y x 的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简得：2242240x mx m ++-=，令()22=81640m m ∆--=，解得22m =-所以切线为：222y x -故两平行线222y x =-2y x =之间的距离为022263d +==所以曲线412x x y y -=上的点到直线y =的距离的最大值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.三、解答题21．2214x y +=【分析】（1）根据条件在OBF 中，由等面积法可得点O 到直线BF 的距离，从而建立方程求出,a b 关系，得出离心率.(2) 设:l x my n =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由弦长公式得到弦长，求出其最值，根据条件得到答案. 【详解】（1）由条件可得()0,B b ，(),0F c ，设点O 到直线BF 的距离为d 在OBF中，有BF a ==，则d BF ON OF ⨯=⨯,即bc d a= 所以12bc d c a ==，所以12b a =所以2e ====(2)由直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点,所以直线l 的斜率不为0. 设:l x my n =+，所以b =，所以()2221n b m =+由（1）可得224a b =，则椭圆方程化为：22244x y b += 设()()1122,,,M x y N x y ，由22244x my n x y b=+⎧⎨+=⎩，得()22224240m y mny n b +++-= 所以2212122224,44mn n b y y y y m m --+==++ 所以AB ===1t =≥，则221m t =-所以2AB b t t=≤+，当且仅当t =m =时取得等号. 由||MN 的最大值为2，则22b =，所以1b =所以当||MN 的最大值为2时，椭圆方程为：2214xy +=【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和根据弦长的最值求椭圆方程，解答本题的关键是先由弦长公式得出弦长AB =1t =≥，利用换元利用均值不等式求出其最值，属于中档题.22．直线AB 的方程为3y x =-+，椭圆2C 的方程为221168x y+=.【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，再将直线AB 的方程与圆的方程联立，求出交点A 、B的坐标，再将交点A 坐标代入椭圆2C 的方程，可求得c 的值，进而可得出椭圆2C 的方程. 【详解】因为椭圆2C的离心率为2c e a ==，则a =，b c ∴==，所以，椭圆2C 的方程为222212x y c c+=，即22222y c x +=.设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于AB 为圆1C 的直径，则AB 的中点为()12,1C . 若直线AB 的斜率不存在，则AB 的中点在x 轴上，不合乎题意.由已知可得12122212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得121242x x y y +=⎧⎨+=⎩. 由于A 、B 两点都在椭圆2C 上，则22211222222222x y c x y c⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()2222121220x x y y -+-=，可得2212221212y y x x -=--，所以，11212121212121122AB OC y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=⋅=--+-，1AB k ∴=-，所以，直线AB 的方程为()12y x -=--，即3y x =-+，联立()()22320213y x x y =-+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得1121x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或2221x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即点2A ⎛- ⎝⎭、2B ⎛+ ⎝⎭，将点A 的坐标代入椭圆2C的方程可得222222116c ⎛⎛=+= ⎝⎭⎝⎭，则28c =. 因此，椭圆2C 的方程为221168x y +=.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.23．（1）12；（2）22413y x +=．【分析】（1）由已知等式结合222a b c =+可得离心率ca；（2）由（1）可得椭圆方程为2222143x y c c+=，写出直线l 方程，与椭圆方程联立可求得交点P 坐标，由//OC AP ，求得C 点坐标，这样由圆与x 轴相切得半径，再由圆与直线l 相切，可求得c ，从而得椭圆方程．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c由2222b a b c ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得12c e a == （2）由（1）知2,a c b ==故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意(),0F c -，则直线l 的方程为()34y x c =+点P 的坐标满足()222214334x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简得到2276130x cx c +-=解得1=x c 或2137cx =-(舍) 代入到l 的方程解得132y c =，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭由圆心C 在直线1x =上，可设()1,C t因为(),2,0OC AP A c -∥，故3212ct c c=+，可得12t=因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为12R = 又由圆C 与l相切，圆心到直线的距离12d =，可得12c =所以，1,a b ==椭圆的方程为22413y x +=．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，求椭圆方程，只要知道关于,,a b c 的齐次等式即可求得离心率，用参数c 写出椭圆方程和直线方程，求出交点P 的坐标，从而可得圆心坐标，利用直线与圆相切是解题关键． 24．（1）24x y =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由4PF =，利用焦半径公式可求出p 的值，从而可得抛物线C 的标准方程；（2）设切线AN 的方程为()y k x a =-，0k ≠，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为零可得a k =，求得切点2(2,)N a a ，由0AF AN ⋅=即可判定以FN 为直径的圆过点A ．【详解】（1）因为()0,3P x 为抛物线上一点，所以PF 的长等于P 到抛物线准线2py =-的距离，即||3422P p pPF y =+=+=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为：24x y =．（2）直线斜率不存在时，直线x a =不是抛物线的切线，所以可设切线AN 的方程为：()y k x a =-， 0k ≠，联立直线与抛物线方程得24()x yy k x a ⎧=⎨=-⎩，消去y 可得2440x kx ka -+=，因为直线与抛物线相切，∴216160ka ka ∆=-=，解得a k =．224402x ax a x a -+=⇒=，所以切点()22,N a a ，(0,1)F ，(,0)A a ，∴(,1)AF a =-，()2,AN a a =，∴220AF AN a a ⋅=-+=．∴90FAN ∠=︒，以FN 为直径的圆过点A ．【点睛】方法点睛：解得与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.25．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2. 【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可. 【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=，所以212236k x x k++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k +同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时 2222333636122MNkk k k k k k k +-==++--所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=--即29()12k y x k -=--，所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.26．（1）22143x y +=；（2）123y x =-+或123y x =--. 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，bc ＝1，∴椭圆的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||2m <||CD ∴===设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||4AB CD =1，解得m =，满足(*). ∴直线l的方程为123y x =-+或123y x =--. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.。

北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(答案解析)

一、选择题1．已知离心率为3的椭圆()2211x y m m +=>的左､右顶点分别为A ，B ，点P 为该椭圆上一点，且P 在第一象限，直线AP 与直线4x =交于点C ，直线BP 与直线4x =交于点D ，若83CD =，则直线AP 的斜率为（） A ．16或120 B ．121C ．16或121D ．13或1202．已知椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，过右焦点F 且倾斜角为4π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线2a x c=和AB 于点P 和M ，若3||4||AB PM =，则椭圆C 的离心率为（）A ．5B ．3C D ．23．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（） A ．1B ．2C ．3D ．44．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（）A B C D 5．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（）A ．4B C ．D ．26．设抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为端点的射线与抛物线相交于A ，与抛物线的准线相交于B ，若4FB FA =，则FA FB ⋅=（） A ．9B ．8C ．6D ．47．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．ABC 1D 8．无论θ为何值，方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线不可能为（） A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆9．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A ．45π B ．34π C ．(6π-D ．54π 10．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M 、N 分别是两圆：()2241x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1211．12,F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积是（）A ．2B ．4C ．8D ．1612．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足0FA FB FC ++=，则111AB BC CAk k k ++= ( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．2p二、填空题13．若ABC ∆的两个顶点坐标()4,0A -、()4,0B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 轨迹方程为 _____________14．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =______.15．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），则以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为____________.16．曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()21aa >的点的轨.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则122PF PF a +<；④若点P 在曲线C 上，则12FPF △的面积212S a ≤.其中，所有正确的序号是______. 17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，过点(0,2)P 的直线依次交抛物线和准线l 于点,,A B C ，且满足2AP PB =，则BCF 与ACF 的面积的比值为________.18．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过C 上一点A 作C 的准线l 的垂线，垂足为B ，连接FB 交x 轴于点D ，若||5AF =，则||AD =_________．19．动圆M 与圆221:(1)1C x y ++=外切，与圆222:(1)25C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是__________.20．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．三、解答题21．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 22．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点()0,3P x 为抛物线C 上一点，且4PF =，过点(),0A a 作抛物线C 的切线AN （斜率不为0），设切点为N ．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求证：以FN 为直径的圆过点A ．23．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别是(2,0)-，(2,0)，直线AQ ，BQ 相交于点Q ，且它们的斜率之积是34-. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,0)P -的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，且4PAM PON S S =△△. ①求直线l 的方程；②求直线l 被轨迹C 截得的弦长.24．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的一个顶点坐标为()2,0-线y x m =-+交椭圆于不同的两点A 、B . （1）求椭圆M 的方程；（2）设点()2,2C -，是否存在实数m ，使得ABC 的面积为1？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.25．如图，已知抛物线22(0)y px p =>上一点(4,)(0)M a a >到抛物线焦点F 的距离为5．（1）求抛物线的方程及实数a 的值；（2）过点M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，若MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，且123k k +=，求证：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标．26．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程；（2）求证：||||AB DF 为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由离心率求出9m =，设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---，设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k ，直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可表示出CD ，然后列方程可求出k 的值【详解】由3e ==，得9m =. 设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---. 设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k .直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以18793CD k k =+=，解得13k =(舍去)或121.故选：B. 【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题2．B解析：B 【分析】联立直线AB 与椭圆方程，表示出弦长AB ，求出中点M 的横坐标，即可表示出PM 的长，利用已知等量关系即可求出离心率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，易得直线AB 的方程为y x c =-，联立直线与椭圆方程22221y x cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222222220a b x a cx a c b +-+-=，则212222a cx x a b +=+，()2221222a cb x x a b -=+，2224ab AB a b ∴==+，212222M x x a cx a b +==+，直线PM 的斜率为1-， ()()2222222211P Ma b PM x x c a b ∴=+-⋅-=+， 3||4||AB PM =，即()222222242234ab a b a b c a b ⨯=⨯++，解得223c e a ==. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.3．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 4．D解析：D 【分析】利用1F PQ 为等边三角形可得21222b PF PF a==，利用椭圆定义得,,a b c 的方程，消去b 后可得()22232a c a -=，从而可得离心率.【详解】不妨设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，左右焦点为12,F F ，设P 在第一象限，则()2,0F c .令x c =，则22221c y a b +=，解得2P b y a =，故22bPF a=，1F PQ 为等边三角形，则1PF PQ =，即21222b PF PF a==，由椭圆定义得122PF PF a +=，故232b a a⨯=，即()22232a c a -=，故213e =，解得3e =故选：D. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．5．A解析：A 【分析】由已知求得直线l 的方程，与抛物线的方程联立，设1122(,),(,),A x y B x y 得出根与系数的关系1212 4.y y y y +==-再表示三角形的面积1211||2OABOAFOFBSSSy y =+=⨯⨯-，代入计算可得选项．【详解】由2:4C y x =得(1,0)F ，所以直线l 的方程为1)y x =-，即1x =+，联立得2431y xx y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，化简得24340.y y --=，设1122(,),(,),A x y B x y 则121243, 4.y y y y +==-，所以221212121111||()4(43)164222OABOAFOFBSSSy y y y y y =+=⨯⨯-=+-=⨯+=，故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，将所求的目标转化到交点的坐标上去.6．A解析：A 【分析】根据平行关系可证明N 点，A 点分别是线段BF ，NF 的中点，再根据比列关系求A 点横坐标即可求解. 【详解】设FB 交y 轴于N 点，如图，由准线与y 轴平行，且O 为中点，所以N 是BF 中点，因为4FB FA =，所以A 是NF 的中点，设A 的横坐标为m ,则由抛物线的定义,||||(1)1AF AC m m ==--=+，由AC 与x 轴平行，可得1342m +=，解得12m = ∴334622FA FB ==⨯=，， ∴⋅=FA FB |FA ||FB |=9，故选：A 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义及平行关系，建立比列关系求出||AF 的长，是解题的关键所在，属于中档题.7．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．8．B解析：B 【分析】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=时，方程表示直线；当10cos 3θ<<或1cos 13θ<≤时，方程表示椭圆；当1cos 3θ=时，方程表示圆；当1cos 0θ-≤<时，方程表示双曲线. 【详解】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=，即2k πθπ=+，k Z ∈时，方程化为1x =±，表示两条直线；当10cos 3θ<<时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在y 轴上的椭圆；当1cos 3θ=时，方程化为221x y +=表示圆；当1cos 13θ<≤时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在x 轴上的椭圆；当1cos 0θ-≤<时，方程化为22113cos y x θ-=-表示焦点在x 轴上的双曲线. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线的判断，解题关键是判断3cos θ的符号以及与1的大小关系的判断，按照五种情况分类讨论即可得解.9．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C的半径最小值为11225O l d -==，圆C面积的最小值为2455ππ⎛= ⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.10．C解析：C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可. 【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为()()4,0,4,0A B -，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知210PA PB a +==，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最小，最小值为28PA PB R +-=；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最大，最大值为212PA PB R ++=．故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.11．B解析：B 【分析】先求出双曲线的a,b,c ，再利用12Rt PF F 中三边关系求出128PF PF =，再由直角三角形面积公式即得结果. 【详解】由2214x y -=-得标准方程为2214x y -=得221,4a b ==，2145c ∴=+=5c ∴= 故12Rt PF F 中，()222212121212121222=225F F PF PF PF PFPF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩128PF PF ∴=所以12118422S PF PF =⋅=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质，考查了直角三角形的边长关系和面积公式，属于中档题.12．A解析：A 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y . ∵抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ∴(,0)2p F ∵0FA FB FC ++= ∴112233(,)(,)(,)(0,0)222p p px y x y x y -+-+-= ∴1230y y y ++=∵2221212121211()122AB y y x x y y p k y y y y p--+===--，同理可知3212BC y y k p +=，3112CA y y k p +=. ∴3231123212()11102222AB BC CA y y y y y y y y y k k k p p p p+++++++=++== 故选A.二、填空题13．【分析】根据三角形的周长为定值得到点到两个定点的距离之和等于定值即点的轨迹是椭圆椭圆的焦点在轴上写出椭圆方程去掉不合题意的点【详解】的两个顶点坐标周长为点到两个定点的距离之和等于定值点的轨迹是以为焦解析：221259x y +=(0)y ≠【分析】根据三角形的周长为定值，，得到点C 到两个定点的距离之和等于定值，即点C 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在x 轴上，写出椭圆方程，去掉不合题意的点【详解】ABC ∆的两个顶点坐标()40A -，、()40B ，，周长为18 810AB BC AC ∴=+=，108>，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆 210283a c b ==∴=，，∴椭圆的标准方程是221259x y += ()0y ≠故答案为221259x y += ()0y ≠【点睛】本题主要考查了轨迹方程，椭圆的标准方程，解题的关键是掌握椭圆的定义及其求法．14．【分析】化双曲线方程为标准方程求得的值依题意列方程解方程求得的值【详解】双曲线方程化为标准方程得故依题意可知即解得【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程考查双曲线的虚轴和实轴考查运算求解能力属于基础题解析：1-4【分析】化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故11,a b m ==-，依题意可知2b a =，即12m-=，解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.15．【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置再联立方程得到其坐标即可【详解】如图所示取AB 中点M 分别过ABM 作准线的垂线垂足依次为CDN 则AC//MN//CDMN 是梯形ABDC 中位线根据抛物线定义得即N 在解析：231,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置，再联立方程得到其坐标即可. 【详解】如图所示，取AB 中点M ，分别过A ，B ，M 作准线的垂线，垂足依次为C ，D ，N ，则AC //MN //CD ，MN 是梯形ABDC 中位线，根据抛物线定义得，2AB AF BF AC BD MN =+=+=，即N 在以AB 为直径的圆上，即N 即是以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点，易见直线AB 不平行x 轴，方程可设为1x my =+，设()()1122,,,A x y B x y联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，又依题意3AF FB =（点A 在x 轴上方），故1120,3y y y >=-，解得12y y ==，故m =易见N 点坐标为121,2y y +⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()1,2m -，即公共点的坐标为⎛- ⎝⎭.故答案为：⎛- ⎝⎭. 【点睛】本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.16．②④【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数利用直接法设动点坐标为及可得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】解：对于①由题意设动点坐标为则利用题意及两点间的距离公式的得解析：②④ 【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >，利用直接法，设动点坐标为(,)x y ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】解：对于①，由题意设动点坐标为(,)x y ，则利用题意及两点间的距离公式的得：22224[(1)][(1)]x y x y a ++-+=，将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②，把方程中的x 被x -代换，y 被y - 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，故②正确；对于③，221y x =--，224211y x a ∴+=--，P ∴到原点的距离不，当P 在y 轴时取等号，此时12PF PF a ==，122PF PF a +=故③错误；对于④，由题意知点P 在曲线C 上，则△12F PF 的面积12122F PF Sy y =⨯⨯=，由①知221y x =--或221y x =--t ，则2424t a x -=，24442211(2)4444t a a a y t t -∴=--+=--+，1222212F PF S y a ∴=，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．17．【分析】设出的坐标及过点的直线的方程联立抛物线方程与过点的直线的方程利用根与系数的关系及得到的坐标通过三角形面积公式将与的面积之比转化为边长之比进而通过三角形相似解决问题即可【详解】解：设不妨设由题解析：25【分析】设出,A B 的坐标及过点P 的直线的方程，联立抛物线方程与过点P 的直线的方程，利用根与系数的关系及2AP PB =得到,A B 的坐标，通过三角形面积公式，将BCF 与ACF 的面积之比转化为边长之比，进而通过三角形相似解决问题即可. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设12x x <，由题意得直线AB 的斜率存在，设过点(0,2)P 的直线方程为2y kx =+.联立方程得22,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩整理得2480x kx --=，则128x x =-.由2AP PB =得，122x x =-，∴124,2,x x =-⎧⎨=⎩∴124,1.y y =⎧⎨=⎩过点,A B 向准线l 作垂线，垂足分别为,M N ，则211sin 122115sin 2BCF ACFCB CF BCF SCB BN y SCA AM y CA CF BCF ⋅⋅∠+=====+⋅⋅∠.故答案为：25【点睛】本题主要考查抛物线的定义、几何性质，三角形面积的计算等，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力.试题通过考查直线与拋物线的位置关系、平面向量、三角形的面积，体现了数学运算、直观想象等核心素养.18．【分析】设根据利用抛物线的定义得到解得代入中得到AB 的坐标直线的方程令得D 的坐标用两点间的距离公式求解【详解】设因为所以得代入中得当时则直线为令得所以当时同理得故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的解析：【分析】设()00,A x y ，根据||5AF =，利用抛物线的定义得到0||15AB y =+=，解得04y =，代入24x y =中，得到A ，B 的坐标，直线BF 的方程，令0y =，得D 的坐标，用两点间的距离公式求解. 【详解】设()00,A x y ，因为||5AF =，所以0||15AB y =+=，得04y =，代入24x y =中，得04x =±，当(4,4)A 时，(4,1)B -，则直线BF 为112y x =-+，令0y =，得(2,0)D ，所以||AD =当(4,4)A -时，同理得||AD =故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆然后根据相关的两求出椭圆的方程【详解】解：设动圆的圆心为：半径为动圆与圆外切与圆内切因此该动圆是以原点为中心焦点在轴上的椭圆且解得∴椭圆的方程为：故解析：22198x y【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程．【详解】解：设动圆的圆心为：(,)M x y ，半径为R ，动圆与圆221:(1)1M x y ++=外切，与圆222:(1)25M x y -+=内切， 12||||156MM MM R R ∴+=++-=， 1212||||||MM MM M M +>，因此该动圆是以原点为中心，焦点在x 轴上的椭圆，且26a =，1c =，解得3a =， ∴2228b a c =-=，∴椭圆的方程为：22198x y ，故答案为：22198x y ．【点睛】本题主要考查椭圆的方程及圆与圆的位置关系，属于中档题．20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y，根据条件得出0m <<，分别求出P Q ，的纵坐标，由条件可得12PF yFQ y =可得答案. （2）由()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PB k k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++，可得答案. 【详解】解：（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩ ()225430250m y my ⇒-++=由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505*********m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，205m ⇒<<由点P 在x 轴上方，则()()2212223020130201,254254m m m m y y m m --+-++==--()()222230201321123342230201321PF m m m m m FQ m m m m --+++==-⇒=⇒==--++--+ ∴直线l 方程为23226204x y x y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y 则()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PBk k k ==,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值由（1）可知1223054my y m -+-=，1222554y y m =- ()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++ ()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值．【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求直线方程和考查定值问题，解答本题的关键是先得出()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PB k k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，属于中档题. 22．（1）24x y =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由4PF =，利用焦半径公式可求出p 的值，从而可得抛物线C 的标准方程；（2）设切线AN 的方程为()y k x a =-，0k ≠，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为零可得a k =，求得切点2(2,)N a a ，由0AF AN ⋅=即可判定以FN 为直径的圆过点A ．【详解】（1）因为()0,3P x 为抛物线上一点，所以PF 的长等于P 到抛物线准线2py =-的距离，即||3422P p pPF y =+=+=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为：24x y =．（2）直线斜率不存在时，直线x a =不是抛物线的切线，所以可设切线AN 的方程为：()y k x a =-， 0k ≠，联立直线与抛物线方程得24()x yy k x a ⎧=⎨=-⎩，消去y 可得2440x kx ka -+=，因为直线与抛物线相切，∴216160ka ka ∆=-=，解得a k =．224402x ax a x a -+=⇒=，所以切点()22,N a a ，(0,1)F ，(,0)A a ，∴(,1)AF a =-，()2,AN a a =，∴220AF AN a a ⋅=-+=．∴90FAN ∠=︒，以FN 为直径的圆过点A ．【点睛】方法点睛：解得与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.23．（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）①4)y x =+；②8. 【分析】（1）表示出直线AQ ，BQ 的斜率，然后计算即可.（2）①根据4PAM PON S S =△△可得12M N y y =，假设点,M N 坐标，然后代入椭圆方程，可得点,M N 坐标，进一步得到斜率，最后可得方程. ② 根据①利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）设(,)(2)Q x y x ≠±，由题意，34AQ BQ k k ⋅=-所以3224y y x x ⋅=-+-，化简得22143x y +=，所以点Q 的轨迹C 的方程是221(2)43x y x +=≠±.（2）①因为2OP AP =，且4PAM PON S S =△△，所以12M N y y =，所以点M 为PN 的中点，设00(,)M x y ，则00(42,2)N x y +所以22002200143(24)(2)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，所以0074x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1(,,27484M N ⎛ ⎝⎭-或1(,,27484M N ⎛-- ⎝⎭- 所以直线l的斜率为k =，所以直线l的方程为4)y x =+②002N M MN x x x =-=+-=【点睛】思路点睛：第（1）问在于计算出直线的斜率，然后直接计算；第（2）问关键在于得到12M N y y =，同时熟记弦长公式. 24．（1）2214x y +=；（2）存在，且=m 【分析】（1）由已知条件求出a 的值，结合离心率可求得c 的值，再由a 、b 、c 的关系可求得b 的值，由此可求得椭圆M 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出AB ，求出点C 到直线AB 的距离d ，利用三角形的面积公式可得出关于实数m 的等式，解出m 的值，并验证是否满足0∆>，由此可得出结论.【详解】（1）由于椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个顶点坐标为()2,0-，则2a =，又因为该椭圆的离心率为c a =c =1b ∴=，因此，椭圆M 的方程为2214x y +=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得2258440x mx m -+-=， ()()2226445441650m m m ∆=-⨯⨯-=->，解得m << 由韦达定理可得1285m x x +=，212445m x x -=，由弦长公式可得12AB x x =-===，点C 到直线AB的距离为d =，所以，ABC的面积为11122ABC S AB d =⋅===△，整理可得42420250m m -+=，即()22250m -=，可得252m =，满足0∆>.因此，存在=m ABC 的面积为1. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.25．（1）24y x =；4a =；（2）证明见解析；定点48,33⎛⎫-⎪⎝⎭．【分析】（1）由抛物线的定义可得求出2p =，再代入4x =可求出a ；（2）将()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线可得1212124y y k x x y y -==-+，由123k k +=可得()121281633y y y y =-+-，即可得出定点. 【详解】（1）由题意，452p MF =+=，故2p =，24y x =；令4x =，可得4y =±，故4a =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 斜率为k ，联立方程21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得22121244y y x x -=-，即1212124y y k x x y y -==-+，故直线AB 方程为()21111244y y y k x x x y y ⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，即1212124y y y x y y y y =-++；1144MA k k y ==+，2244MB k k y ==+， ∴121244344MA MB k k k k y y +=+=+=++，即()121281633y y y y =-+-；因此，直线AB 为12121212444833y y y x x y y y y y y ⎛⎫=-=++ ⎪+++⎝⎭经过定点48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线中直线过定点问题，解题的关键是得出直线斜率124k y y =+，由123k k +=得出()121281633y y y y =-+-. 26．（1）0y --=；（2）证明见解析.【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y t y y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =- 因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --=（2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴ 22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(答案解析)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（）A ．BC ．13-D ．133．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞4．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[42，，则线段AB 的长度的取值范围是（）A ．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D ．5．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（） A ．1B ．2C ．3D ．47．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（）A ．2B ．3C D 8．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．69．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（）A ．2B ．4C ．5D ．610．如图所示，12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为3的正三角形，则2b 的值为( )A 3B ．23C ．33D ．4311．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 C 2D 312．在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为 A 6B ．2 C 5D 3二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.15．双曲线221(0)x y mn m n-=≠的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m n ⋅的值为___________16．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S.若梯形PRQS 的面积为12，则p 的值为____________.17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________．18．已知抛物线C ：24y x =，点N 在C 上，点()(),00M a a ->，若点M ，N 关于直线)1y x =-对称，则a =_____.19．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若存在过原点的直线交椭圆于,A B两点，且AF BF ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是__________三、解答题21．点P 为椭圆()222210,0x y a b a b+=>>在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线by x a=-于,Q R ，交y 轴，x 轴于,M N 两点，记OMQ 与ONR 的面积分别为12,S S .（1）若P 坐标为⎭，且点P 与点R 关于x 轴对称，试求椭圆的标准方程; （2）当2ab =时，试求2212S S +的最小值.22．已知圆22:12O x y +=，P 为圆O 上的动点，点M 在x 轴上，且M 与P 的横坐标相等，且()21PN NM =-，点N 的轨迹记为C .（1）求C 的方程；（2）设()2,2A ，()4,0B ，过B 的直线（斜率不为±1）与C 交于,D E 两点，试问直线AD 与AE 的斜率之和∑是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求∑的取值范围.23．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 24．我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1，且点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）经过点11,28P ⎛⎫-⎪⎝⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点，求直线AB 的斜率；（3）若直线l 与（2）中的直线AB 平行，且与椭圆交于M ，N 两点，试求MON △（O 为坐标原点）面积的最大值．25．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线2x y +=相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211a b+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足3633e ≤≤，求椭圆长轴长的取值范围． 26．如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点，过点A 的直线l 交抛物线22(0)x py p =>于,B C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证:点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l '交椭圆于,M N 两点.问：p 为何值时，BMN △的面积最大？并求面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由2c e a ==，得2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-,123m =⇒=-，故选C.3．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.4．C解析：C 【分析】由题可求得2121222ABF AF F BF F SSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=,2a =，a AB c ∴=，2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8ac⋅∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2aAB c=可求解. 5．A解析：A 【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y p p ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到2210100222020*******y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题. 6．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 7．D解析：D 【分析】利用1F PQ 为等边三角形可得21222b PF PF a==，利用椭圆定义得,,a b c 的方程，消去b 后可得()22232a c a -=，从而可得离心率.【详解】不妨设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，左右焦点为12,F F ，设P 在第一象限，则()2,0F c .令x c =，则22221c y a b +=，解得2P b y a =，故22bPF a=，1F PQ 为等边三角形，则1PF PQ =，即21222b PF PF a==，由椭圆定义得122PF PF a +=，故232b a a⨯=，即()22232a c a -=，故213e =，解得3e =故选：D. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．8．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解．【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=，由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=．所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．9．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.10．B解析：B 【分析】由2POF 24c =.c 把(P 代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得即可得出．【详解】解：2POF2= 解得2c =．(P ∴代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得：2b = 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，3==ce a，故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.12．C解析：C 【分析】运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|PF 1|2 =|F 1F 2|2，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围．【详解】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线. 因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥.又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =，所以122,4PF a PF a ==.在△F 1PF 2中，21PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，代入得()()()222242a a c +=，所以225c a =，即e =故选C. 【点睛】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题.根据各个边长关系，判断出21PF PF ⊥，再根据勾股定理求出离心率.二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--，又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a==⋅-，由()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()()1212ln ,ln 22k k fk f k ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立；则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知：可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =，所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=，所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合，所以224TF a ==，所以圆的半径为2243tan 23AF B r MT TF ∠===. 故答案为：433.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．【分析】由题即可求得对的正负分类即可表示出再利用双曲线离心率为2列方程即可求得问题得解【详解】由题可得：抛物线的焦点坐标为所以双曲线中方程表示双曲线所以同号当同正时则解得：则此时当同负时则解得：则此解析：316【分析】由题即可求得1c =，对,m n 的正负分类，即可表示出22,a b ，再利用双曲线离心率为2列方程，即可求得,m n ，问题得解．【详解】由题可得：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，所以双曲线中1c =方程()2210x y mn m n -=≠表示双曲线所以,m n 同号.当,m n 同正时，54a b =-，则2c e a m===，解得：14m =则222314n b c a m ==-=-=，此时1334416m n ⋅=⨯=. 当,m n 同负时，22,a n b m =-=-，则2c ea ===，解得：14n =- 则222314m b c a n -==-=+=，此时1334416m n ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 综上所述：316m n ⋅= 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，还考查了双曲线的简单性质及分类思想，考查双曲线标准方程的,,a b c 的识别，考查计算能力，属于中档题．16．【分析】求出过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程然后与抛抛物线联立利用根与系数的关系与三角形的面积转化求解即可【详解】解：由题意可知直线方程为代入抛物线方程可得设可得所以因为过抛物线的焦点作倾斜角为的【分析】求出过抛物线的焦点且倾斜角为45︒的直线方程，然后与抛抛物线联立，利用根与系数的关系与三角形的面积转化求解即可【详解】解：由题意可知直线方程为2p y x =-，代入抛物线方程，可得22304p x px -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得212123,4p x x p x x +==，所以12x x -===，因为过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S ，且梯形PRQS 的面积为12，所以()2121122x x -=，可得218122p ⨯=，解得p【点睛】此题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题17．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==．因为直线l 的斜率是3，则12sin 10PF F ∠=，12cos 10PF F ∠=．因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos 5PF F F PF F =∠=，21212sin 5PF F F PF F =∠=，则212PF PF a -==，故双曲线C 的离心率为c a =【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．3【分析】设MN 关于直线对称等价于MN 中点在直线上且MN 与直线斜率相乘为联立方程可用表示再利用在抛物线上将点代入抛物线方程即可求出【详解】设因为点MN 关于直线对称所以中点在直线上且与直线垂直则中点为解析：3 【分析】设()00,N x y ，M ，N 关于直线)1y x =-对称等价于MN 中点在直线上，且MN 与直线斜率相乘为1-，联立方程，可用a 表示00,x y ，再利用()00,N x y 在抛物线上，将点代入抛物线方程，即可求出a . 【详解】设()00,N x y ，因为点M ，N 关于直线)1y x =-对称，所以MN 中点在直线上，且MN 与直线垂直，则MN 中点为00,22x a y ， 003122y x a，且MN 与直线垂直，0031y x a，联立方程可得00333,22a a x y ，点N 在抛物线上，2333422a a ，解得3a =或73a =-（舍去），3a ∴=.故答案为：3 【点睛】本题考查点与点关于直线的对称问题，知道中点在直线上且两点间连线与直线垂直是解决问题的关键.19．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小，当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.20．【分析】根据可知为直角三角形再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知即求椭圆上存在一点满足再列式求解即可【详解】由题为直角三角形故故原题转化为椭圆上存在一点满足又椭圆上的点到原点距离的最小值为解析：[,1)2【分析】根据AF BF ⊥可知ABF 为直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知即求椭圆上存在一点A 满足OA c =再列式求解即可. 【详解】由题, ABF 为直角三角形,故OA c =.故原题转化为椭圆上存在一点A 满足OA c =.又椭圆上的点到原点距离的最小值为短半轴长b ,故b c ≤.故222222212c b c a c c a ≤⇒-≤⇒≥.故离心率e ∈.故答案为：【点睛】本题主要考查了离心率范围的求解,需要根据题意确定基本量之间的关系,进而列式求解离心率满足的不等式即可.属于中档题.三、解答题21．（1）2214x y +=；（2）12.【分析】（1）根据题中条件，得到222112a b +=，求出R ⎭，根据点P 与点R 关于x 轴对称，得到2a b =，进而可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）先设()P m n ,，根据题中条件，得到M ，N ，R ，Q 的坐标，由三角形面积公式，得到44442222214a n b m S b S a ++=，根据2ab =，22221m n a b+=，结合基本不等式，即可求出2212S S +的最小值.【详解】（1）因为点P ⎭为椭圆()222210,0x ya b a b +=>>上任意一点，则222112a b +=；由x b y xa ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即R ⎭，又点P 与点R 关于x轴对称，所以0=，则2a b =，由2222112a bab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意，设()P m n ,，其中0m >，0n >，则()0,M n ，(),0N m ，由x m b y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得x mbm y a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即,bm R m a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由y n b y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得y nan x b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即,an Q n b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以211222OMQQ n an an S SOM x b b===⋅=，221222ONRR m bm bm S S ON y a a===⋅=，则2424422124442222444a n b m b m a a b b S S a n +=++=，因为2ab =，22221m n a b +=，则2222221b m a n a b+=，即22224b m a n +=，所以444444442222444444422121632232a n a n ab m b m b m b m n a n a b S n m S +++++≥+=+=()22222442222441323222a nb m a n a b m b n m++===+，当且仅当22222a n b m ==时，取得最小值12. 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中的三角形面积最值问题时，一般需要根据题中条件，利用三角形面积公式，表示出三角形的面积，再结合函数的性质或基本不等式，即可求出面积的最值.（有时需要利用导数的方法求解最值）22．（1）221126x y +=；（2）不是定值；()33,464,,22⎛⎫⎛⎫-∞---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）设(),N x y，()00,P x y ，利用()21PN NM =-，根据向量的坐标运算可得00x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入圆O 方程可得C 的方程；（2）设()():41DE y k x k =-≠±，()11,D x y ，()22,E x y ，将DE 方程代入椭圆方程可得韦达定理的形式，利用0∆>可得k 的取值范围，将AD AE k k +整理为121kk --，根据k 的范围可求得∑的取值范围. 【详解】（1）设(),N x y ，()00,P x y ，则()0,0M x ，()21PN NM =-，2PM PN NM NM ∴=+=，又()00,PM y =-，()0,NM x x y=--，由2PM NM =得：))00x x y y -=-=-，则00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，点P 在圆22:12O x y +=上，)2212x ∴+=，即221126x y +=， C ∴的方程为221126x y +=.（2）依题意，设()11,D x y ，()22,E x y ，过点B 的直线DE 斜率必存在，可设直线DE 的方程为()()41y k x k =-≠±，由()2241126y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2222211632120k x k x k +-+-=，其中()()()4222256421321216320k k k k∆=-+-=->，解得：k <<， ()611,11,2k ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21221621k x x k ∴+=+，2122321221k x x k -=+，()()121212124242222222AD AE k x k x y y k k x x x x ------∴+=+=+----()()()()121222122122k x k k x k x x --+--+=+--()121122122k k x x ⎛⎫=-++ ⎪--⎝⎭()()()121212422124x x k k x x x x +-=-+⋅-++()22222216421221321216242121k k k k k k k k -+=-+⋅--⋅+++()()2221642112221881k k kk k k k -+-=-+⋅=--. ()66,11,11,22k ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121332,464,,1122k k k -⎛⎫⎛⎫∴=--∈-∞---+∞ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，AD AE k k ∴+不是定值，且∑的取值范围是()33,464,,22⎛⎫⎛⎫-∞---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值、取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式； ④化简所得函数式，消元可得定值或利用函数值域的求解方法求得取值范围. 23．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程. (2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=，抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx mk x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩，12222km x x k -+=，2122m x x k=,则122y y k +=，122m y y k =，又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=，()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =，所以直线的方程为()21y m x =+，即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.24．（1）2214x y +=；（2）1；（3）1．【分析】（1）利用正焦弦长公式以及点⎛ ⎝⎭在椭圆上列方程可解得结果；（2）利用点差法可求得结果；（3）利用弦长公式求出||MN ，点到直线的距离公式求出点O 到直线l 的距离，根据面积公式求出MON △的面积，根据基本不等式求出最大值即可得解. 【详解】（1）根据题意，221b a=，所以22a b =，则椭圆方程22221x y a b +=转化为22221x y a a+=，又点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以21312a a+=，即22320a a --=，由于0a >，故解得2a =，则21b =，故所求椭圆方程为2214x y +=；（2）由（1）得椭圆的方程为2214x y +=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，因为点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为线段AB 的中点，则1212122128x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，即1212114x x y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，由于点A 、B 在椭圆上，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两个等式相减得()2222121204x x y y -+-=，即()()()()1212121204x x x x y y y y +-++-=，即()()121211044x x y y ---=，所以直线AB 的斜率为12121AB y y k x x -==-；（3）由（2）设直线:l y x t =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立直线：:l y x t =+与椭圆方程2214xy +=得2258440x tx t ++-=，令()22(8)45440t t ∆=-⨯->，得t <<又3485t x x +=-，234445t x x -=，所以||5MN ===，又点O 到直线l的距离d =， ()222512||1252MONt t SMN d -+==⨯=，当且仅当225t t -=，即t =t =t =t =t < 所以MON △面积的最大值为1．【点睛】关键点点睛：求出MON △面积关于t 的函数关系式是解题关键.25．（1）12，（2）⎡⎣ 【分析】（1）根据题意，联立直线与椭圆的方程，可得222222()4(4)0a b x a x a b +-+-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，又由OP OQ ⊥，得12120x x y y +=，化简可得1212(2)(2)0x x x x +--=，由根与系数的关系分析可得2222222(4)420a b a a b a b--+=++，化简即可得答案；（2）由离心率公式可得2212133b a ≤-≤，即221233b a ≤≤，又由（1）知22222a b a =-，所以22222b a a =-，化简变形即可得答案【详解】解：（1）由222212x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得222222()4(4)0a b x a x a b +-+-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则222121222224(4),a a b x x x x a b a b -+==++，因为OP OQ ⊥，所以12120x x y y +=，所以1212(2)(2)0x x x x +--=，化简得1212()20x x x x --+=，所以2222222(4)420a b a a b a b --+=++，化简得221112a b +=，（2）根据题意得，222221c b e a a==-，e ≤≤，所以2212133b a ≤-≤，所以221233b a ≤≤，又由（1）得，22222a b a =-，所以22222b a a =-，所以2122323a ≤≤-，解得258a ≤≤，a ≤2a ≤≤所以长轴长的取值范围为⎡⎣【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由e ≤≤，得221233b a ≤≤，而由221112a b +=得22222a b a =-，从而可得2122323a ≤≤-，进而可得结果 26．（1）证明见解析；（2）当914p =时，面积最大值为4. 【分析】（1）由题意可得：()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程，整理得24t p =，计算可得点C 的纵坐标值为12，从而得证；（2）由题意可得：BMNAMN S S=，求得直线l 的斜率，可求得直线l '的斜率和方程，不妨记3m t=-，则:2l y mx '=+，代入椭圆方程并整理得()2221860m x mx +++=，设()11,M x y ，()22,N x y ，求得MN 的值和点A 到直线l '的距离d =据三角形的面积公式和基本不等式可求BMN △的面积的最大值，即可求解. 【详解】（1）易知()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得222224t t p p p -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得24t p =，∴42142C p p y p -==，故点C 的纵坐标为定值. （2）∵点C 是AB 的中点，BMNAMN SS=，设直线l 的斜率为k ，则11322k t t -==，所以直线l '的斜率为3k t'=-，∴直线l '的方程为1322t y x t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即32y x t=-+，不妨记3m t=-，则:2l y mx '=+，代入椭圆方程并整理得()2221860m x mx +++=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12122286,2121m x x x x m m +=-=++12|MN x x -= 点A 到直线l '的距离d =所以12AMNSN d M =≤=⋅===时取等号，解得272m =，所以229187t m ==，从而29414t p ==故当914p =时，BMN △的面积最大. 【点睛】关键点点睛：设出2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭结合()0,1A -，可得222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭利用点C 在抛物线上可求出24t p =，利用其计算224t pp-的值；第二问关键是根据倾斜角互补可得直线l '与直线l的斜率互为相反数，直线l '的方程为32y x t=-+，利用弦长公式和点到直线距离公式，三角形面积公式将BMN △的面积表示出来，最关键的是利用基本不等式求最值，这是难点也是易考点.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．532．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）A ．221325y x +=B ．221325x y +=C ．221369y x +=D ．221369x y +=3．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC ．2D 4．已知椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，过右焦点F 且倾斜角为4π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线2a x c=和AB 于点P 和M ，若3||4||AB PM =，则椭圆C 的离心率为（）A B ．3C D ．25．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若260AF B ∠<，则双曲线的离心率的范围是（）A ．B ．)+∞C ．⎛ ⎝D ．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D 7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（）A ．9B ．9C ．7112+D ．83128．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）. A ．13B ．12C ．2D ．39．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=10．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（）A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭ D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．抛物线224y x x =-的焦点坐标是( ) A ．F (0，18) B ．F (1，－158) C ．F (0，－158) D ．(1，18) 12．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（）A B ．3C ．3D ．2二、填空题13．点()8,1P 平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.14．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.15．双曲线()222:103x y C a a -=>的一条渐近线的倾斜角为60，1F 、2F 为左、右焦点，若直线2x =与双曲线C 交于点P ，则12PF F △的周长为____________.16．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），则以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为____________.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22(,)22M a b ，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，且2BFO BFMS S∆=，则椭圆C 的离心率为________18．动点P 在曲线221y x =+上运动，则点P 与定点(0,1)M -连线的中点N 的轨迹方程为_______．19．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．20．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于两点P ，Q ，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为______.三、解答题21．如图，设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点.（1）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P ，2P ，3P ，4P ，求1234PP P P +的值；（2）若直线m 与抛物线相交于M ，N 两点，且与圆相切，切点D 在劣弧AB 上，求MF NF +的取值范围.22．过椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B △的周长为8，椭圆的离心率为32．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．23．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线1y x =+交于A 、B 两点，若||8AB =，求抛物线的方程．24．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.点()4,3P ，记直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为23（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值.26．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程；（2）求证：||||AB DF 为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==.故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．2．C解析：C 【解析】设椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>联立方程：2222143130y x a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，整理得：()222222216910416990b a x b x b a b +---=,设()11M x y ，，()22N x y ，，则1212x x +=，即2221042169b b a=+，化简得：224a b =，又2227a b -=，易得：22369a b ⎧=⎨=⎩，∴此椭圆的方程是221369y x +=故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.3．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4,∴a=2b.设b=k,则∴e=c a. 4．B解析：B 【分析】联立直线AB 与椭圆方程，表示出弦长AB ，求出中点M 的横坐标，即可表示出PM 的长，利用已知等量关系即可求出离心率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，易得直线AB 的方程为y x c =-，联立直线与椭圆方程22221y x cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222222220a b x a cx a c b +-+-=，则212222a cx x a b +=+，()2221222a cb x x a b -=+，2224ab AB a b ∴==+， 212222M x x a cx a b +==+，直线PM 的斜率为1-， ()2222P Mb PM x xc a b ∴=-=+， 3||4||AB PM =，即()2222222434abb a bc a b ⨯=⨯++，解得c e a ==. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.5．A解析：A 【分析】求出||AB ，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得2330e --<，再结合1e >可解得结果. 【详解】因为1(,0)F c -，由22221x c x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2b y a =±，所以22||b AB a =，因为260AF B ∠<，所以212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<，所以223b ac <，所以2223c a ac -<，所以2123e e -<，即2330e --<，解得e <<1e >，所以1e < 故选：A 【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得所要的不等式.6．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.7．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，BM ==所以ABM的周长为：2511944AB AM BM ++=++=+ 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 8．C解析：C 【分析】设点2(1)4m P m +，，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出455m =±，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案；【详解】1a =，2b=，∴5c =1(5F -，，2(5F ，，设点2(1)4m P m +，，∴222222()(15)(15)150444m m m OP OF F P m m m +⋅=+⋅+=+-+=，，， ∴2165m =，45m =，则3545(P ±，221354580504555PF ⎛⎫⎛⎫=--+±== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===，故选：C. 【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.9．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.10．B解析：B 【分析】当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=，然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A B M，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭，所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+，所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为AB ===k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．11．B解析：B 【分析】右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解．【详解】已知抛物线方程为22(1)2y x =--，即21(1)(2)2x y -=+，它的图象是由抛物线212x y =向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，抛物线212x y =中122p =，14p =，焦点坐标为1(0,)8，011+=，115288-=-，因此所求焦点坐标为15(1,)8-，故选：B ．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．12．B解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=，则22444c a -=，所以a = 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..二、填空题13．【分析】设弦的两端点分别为A （x1y1）B （x2y2）由AB 的中点是P （81）知x1+x2＝16y1+y2＝2利用点差法能求出这条弦所在的直线方程【详解】设弦的两个端点分别为则两式相减得因为线段的中解析：2150x y --=【分析】设弦的两端点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由AB 的中点是P （8，1），知x 1+x 2＝16，y 1+y 2＝2，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程．【详解】设弦的两个端点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，则221144x y -=，222244x y -=，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +--+-=，因为线段AB 的中点为()8,1P ，所以1216x x +=，122y y +=，所以()1212121224y y x xx x y y -+==-+，所以直线AB 的方程为()128y x -=-代入2244x y -=满足0∆>，即直线方程为2150x y --=.故答案为：2150x y --=. 【点睛】本题考查弦的中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．14．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.15．【分析】根据题意求得的值假设点为第一象限内的点求出点的坐标求得以及进而可求得的周长【详解】由于双曲线的一条渐近线的倾斜角为则可得所以双曲线的焦距为设点为第一象限内的点联立解得易知因此的周长为故答案为解析：12【分析】根据题意求得a 的值，假设点P 为第一象限内的点，求出点P 的坐标，求得1PF 、2PF 以及12F F ，进而可求得12PF F △的周长. 【详解】由于双曲线()222:103x y C a a -=>的一条渐近线的倾斜角为60，则3tan 603a== 可得1a =，所以，双曲线C 的焦距为212234F F a =+=，设点P 为第一象限内的点，联立22213x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，0y >，解得23x y =⎧⎨=⎩，易知()12,0F -、()22,0F ，()2212235PF ∴=++=，()2222233PF =-+=，因此，12PF F △的周长为121253412PF PF F F ++=++=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查双曲线焦点三角形周长的计算，同时也考查了利用双曲线渐近线的倾斜角求参数，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置再联立方程得到其坐标即可【详解】如图所示取AB 中点M 分别过ABM 作准线的垂线垂足依次为CDN 则AC//MN//CDMN 是梯形ABDC 中位线根据抛物线定义得即N 在解析：231,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置，再联立方程得到其坐标即可. 【详解】如图所示，取AB 中点M ，分别过A ，B ，M 作准线的垂线，垂足依次为C ，D ，N ，则AC //MN //CD ，MN 是梯形ABDC 中位线，根据抛物线定义得，2AB AF BF AC BD MN =+=+=，即N 在以AB 为直径的圆上，即N 即是以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点，易见直线AB 不平行x 轴，方程可设为1x my =+，设()()1122,,,A x y B x y 联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，又依题意3AF FB =（点A 在x 轴上方），故1120,3y y y >=-，解得122323,y y ==，故3m =易见N 点坐标为121,2y y +⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()1,2m -，即公共点的坐标为⎛- ⎝⎭.故答案为：1,3⎛- ⎝⎭.【点睛】本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.17．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解解析：2【分析】由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x yc b+=，即0bx cy cb +-=，所以M 到直线BF的距离|12|(2bc b a d a+--==因为||BF a =，所以12||[1)]24BFMS BF d b a c ==-，而12BFOSbc =，因为2BFOBFMSS=，所以122[1)]24bc b a c =-，整理可得：[1)]c a c =-，整理可得a =，解得2e = 故答案为：2【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．【分析】设得到代入曲线整理得到答案【详解】设则即代入曲线得到即故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生的计算能力和转化能力确定坐标的关系是解题的关键解析：24y x =【分析】设(),N x y ，()00,P x y ，得到00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线整理得到答案.【详解】设(),N x y ，()00,P x y ，则00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即00221x x y y =⎧⎨=+⎩，代入曲线得到()221221y x +=⋅+，即24y x =. 故答案为：24y x =. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定,N P 坐标的关系是解题的关键.19．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===，故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.20．【分析】由几何关系得出为正三角形结合椭圆的定义得出轴利用椭圆方程得出结合直角三角形的边角关系得出再解方程即可得出答案【详解】为正三角形则由椭圆的定义可知则即轴设点由解得即在中即解得故答案为：【点睛】【分析】由几何关系得出1PFQ 为正三角形，结合椭圆的定义，得出PQ x ⊥轴，利用椭圆方程得出22b PF a=222ac =，再解方程220e +=，即可得出答案.【详解】1160,||F PQ PF PQ ︒∠==1PFQ 为正三角形，则11||PF PQ FQ == 由椭圆的定义可知，2112||2,2PF PF a QF QF a +=+= 则1212PF PF PF QF +=+，即22PF QF =PQ x ∴⊥轴设点()00,,0P c y y >，由220222221y c a ba b c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得20b y a =，即22b PF a = 在12F PF ∆中，222211tan 2F F F PF c PF ab∠==⋅=22ac =222ac =220e +=，解得e =【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率，考查数形结合思想及运算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）123452PP P P +=2）432,22⎡⎤⎣⎦. 【分析】（1）由题意可得直线l 的方程为1y x =+,设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y ，则可得()()123424132PP P P x x x x +=+-+⎤⎦，然后分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组，消元后利用根与系数的关系，可得结果；（2）将圆的方程和抛物线方程联立方程组可求出A ，B 两点的坐标，设()00,D x y ，则切线00:12m x x y y +=，直线方程式与抛物线方程式联立方程组，消元后，再由根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-，而0223y ≤≤而可求出M N y y +的范围，进而可得MF NF +的取值范围. 【详解】解：由题意，()0,1F ，直线l 的方程为1y x =+设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y ，则)12212PP x x =-，)34432P P x x =-，∴)()()12342413241322PP P P x x x x x x x x +=+--=+-+⎤⎦故分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组：22112y x x y =+⎧⎨+=⎩；214y x x y=+⎧⎨=⎩，分别消去y ，整理得：222110x x +-=；2440x x --= ∴131x x +=-，244x x +=，∴123452PP P P +=（2）由222124x y x y ⎧+=⎨=⎩解得：()22,2A -，()22,2B ，设()00,D x y ，则220012x y +=；切线00:12m x x y y +=，其中02y ≤≤；设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩，消去x ，整理得： ()2220004241440y y x y y -++=，∴22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-∵02y ≤≤∴20M N y y ⎡⎤+∈⎣⎦∵2M N MF NF y y +=++，∴MF NF +的取值范围为2,22⎡⎤⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，第2问解题的关键是将切线方程与抛物线方程联立方程组002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩，进而利用根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-，再利用抛物线的定义可求得MF NF +的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题22．（1）2214x y +=；（2）存在圆心在原点的圆2245x y +=满足条件．【分析】（1）先利用椭圆定义得到48a =，结合离心率求得参数a ，c ，再解得b ，即得到方程；（2）先假设圆存在，设方程)(22201x y r r +=<<，讨论直线PQ 斜率存在时与椭圆有两个交点满足题意，结合直线PQ 是圆的切线，解得半径，再验证斜率不存在该圆也满足题意，即得结果. 【详解】解：（1）结合椭圆的定义可知，1AF B △的周长为4a，故48a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为)(22201x y r r +=<<，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得)(222148440k x ktx t +++-=．设)(11,P x y ，)(22,Q x y ，则())()(2228414440kt kt∆=-+->，即2214<+t k ，122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+．① ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=．又11y kx t =+，22y kx t =+．∴)()(12120x x kx t kx t +++=，即)()(22121210k x x kt x x t ++++=．②将①代入②得)()(2222222144801414k t k t t kk+--+=++，即)(2224115t k k =+<+． ∵直线PQ 与圆222x y r +=相切，∴圆心()0,0到直线y kx t =+的距离d 等于半径r ，即)(0,1r d ====， ∴存在圆2245x y +=满足条件．当直线PQ 的斜率不存在时，圆2245x y +=也满足条件．综上所述，存在圆心在原点的圆2245x y +=使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求与直线相关的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.23．28y x =或24y x =-．【分析】设出抛物线方程为22y ax ，交点1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式列方程求得a 后可得抛物线方程．【详解】设抛物线方程为22y ax ，1122(,),(,)A x y B x y ，由221y ax y x ⎧=⎨=+⎩，得2(22)10x a x +-+=，2(22)40a ∆=-->，解得2a >或0a <． 1222x x a +=-，121=x x ，128AB x x =-==，解得4a =或2a =-．所以抛物线方程为28y x =或24y x =-．【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线标准方程，解题方法是设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设抛物线方程为22y ax ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得弦长．24．（1）22142x y +=；（2）10x y --=.【分析】（1）已知条件得2b c ==，再求得a ，可得椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率为0时，12k k 的值，当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，计算12k k ，化为m 的函数，然后换元，设41t m =+，求出12k k 的最大值，及m 的值得直线方程．【详解】（1）由已知得2b c ==.又2224a b c =+=，所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； ②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将1x my =+代入22142x y+=，整理得22(2)230m y my ++-=.则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+. 又111x my =+，221x my =+，所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y my my --=-- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++=2232546m m m ++=+23414812m m +=++. 令41t m =+，则122324225t k k t t ⋅=+-+32254()2t t=++-1≤所以当且仅当5t =，即1m =时，取等号. 由①②得，直线l 的方程为10x y --=.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的最值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，然后代入12k k ，化为m 的函数，用换元法求得最值．25．（1）2214x y +=；（2）证明见解析；（3）3.【分析】（1）由题知1b =，2a c -=222a b c =+即可得椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 为12y x m =+，直线与椭圆联立化简得212122,22x x m x x m +=-=-，进而0MP NQ k k =+；（3）当直线AB 斜率不存在时，22||||23b AB CD a a+=+=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB为y kx =，直线CD为1y x k =-+2245||||54174AB CD k k+=-++，再结合基本不等式即可得答案. 【详解】（1）因为短轴为2，所以22,1b b ==，又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为a c -，所以2a c -= 又因为222a b c =+，解得2,1,a b c ===所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设直线l 为12y x m =+，与2214x y +=联立得：222220x mx m ++-=设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则212122,22x x m x x m +=-=- 所以()12121212122111(1)222222MP NQx m x m x x m x x m k k x x x x x ++-+-+-++=+=--22222(1)(2)220222m m x m m m x -+---+==--，所以MP 与NQ 的斜率之和为定值0；（3）当直线AB 斜率不存在时，2225b AB CD a a+=+=当直线AB 斜率存在时，设直线AB为y kx =，直线CD为1y x k =-+得()2222411240k x x k +-+-=，所以23434212441k x x x x k -+==+，所以()224141AB k k +==+，同理()2241||4k CD k +=+，所以()()2222224141445||||5414417k AB CD k k k kk +++=+=-++++因为22448k k +≥=，所以1635AB CD +≥>，当且仅当1k =±时取等号，所以AB CD +的最小值为3. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于巧设点的坐标，结合韦达定理，设而不求，达到求解目标，化简运算；同时还要注意再设直线方程时，需要考虑斜率存在与否，做到周密解答. 26．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y >< 由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y ty y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =-因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --= （2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题。

湖北仙桃中学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试题(含答案解析)

一、填空题1．已知A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，若直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值为__________.2．已知双曲线22:221(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过原点O 作斜率3的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为__________． 3．已知动圆M 过定点()30A -,，并且内切于定圆()22:364B x y -+=，则动圆圆心M 的轨迹方程._______4．椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为________.5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于P ，Q 两点．若60PAQ ∠=︒，且3PO OQ =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为_________．6．已知圆的方程为224x y +=，若抛物线过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________.7．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________．8．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，P 是椭圆上一点(异于左､右顶点)2为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是________.9．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线C ：24y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k ⋅的值为______.10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：210x -=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为__________.12．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 13．已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点坐标分别为()()0,2,0,2-，且过点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆的标准方程为____________. 二、解答题14．已知()()()22:3400,q :112x y p m a m a a m m--<>+=--．（1）若q 表示双曲线，求实数m 的取值范围；（2）若q 表示焦点在y 轴上的椭圆，且q ⌝是p ⌝中的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 是椭圆C 上的两个动点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，证明：直线AB l 与以原点为圆心的某个定圆相切，并求这个定圆.16．已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -.（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.17．（1）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且双曲线经过点)P .求双曲线方程.（2）若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，求线段AB 的中点坐标；18．已知点(3,0)M -，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点N 在直线PQ 上，且满足0MP PN ⋅=，12PN PQ =．（1）当P 点在y 轴上移动时，求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,0T 作一直线交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOT 的面积是BOT 面积的2倍，求弦长AB ．19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆C 过点33,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭，离心率12e =，点P 在椭圆C 上，延长1PF 与椭圆C 交于点Q ，点R 是2PF 的中点．（1）求椭圆C 的方程．（2）若点O 是坐标原点，记1QF O 与1PF R 的面积之和为S ，试求S 的最大值．20．已知抛物线C 的准线方程为14x =-.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点(,0)P t 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证：t 为常数，并求出此常数.21．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为22（1）求椭圆的标准方程.（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆交于另一点B ，且AOB 的面积是AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程.22．已知椭圆22:1126y x Γ+=，F 是Γ的下焦点，过点()0,6R 的直线l 交Γ于M 、N 两点，（1）求F 的坐标和椭圆Γ的焦距；（2）求MNF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程；（3）在y 轴上是否存在定点S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立?若存在，求出定点S 的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求m 的值.24．（1）点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线25:4l x =的距离的比是常数45，求M 的轨迹方程；（2）经过两点(3,A --，(7)B --，求双曲线标准方程．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)，一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围． 26．已知曲线()()222240.a x by b a b R Γ--+-=∈：，下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.①若42a b ==，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及x y 、的取值范围；②若32a b ==，，写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；③若3a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两点都不在曲线Γ上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】设则利用直线倾斜角及两角差的正切可得在上有解该分式方程可转化为一元二次方程利用判别式可得的不等式从而可求离心率的最大值【详解】设右焦点为则故因为直线上存在点P 使得故在上有解即在上有解所以即故【分析】设()2,P c t ，则利用直线,AP OP 倾斜角及两角差的正切可得()2122att c c a =++在R 上有解，该分式方程可转化为一元二次方程，利用判别式可得,a c 的不等式，从而可求离心率的最大值. 【详解】设()2,P c t ，右焦点为F ，则tan 2t PAO c a ∠=+，tan 2tPOF c∠=，故()()2222tan 22122t tat c c a APO t t c c a c c a -+∠==++++，因为直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，故()2122att c c a =++在R 上有解即()2220t at c c a -++=在R 上有解，所以()2820a c c a -+≥即216810e e +-≤，故104e <≤... 【点睛】方法点睛：离心率的取值范围的计算，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组，有时也可以根据题设条件构建关于,,a b c 的等量关系，可根据方程有解得到基本量的不等式．2．【分析】由题意知结合已知条件可证明利用可计算在中利用余弦定理可计算出由即可求得离心率【详解】由题意知直线的斜率为所以所以又因为所以所以即可得在中由余弦定理可得解得：故双曲线的离心率为故答案为：【点睛【分析】由题意知123FOA π∠=，结合已知条件可证明112FOA F AF ，利用11112F O F AF A F F =可计算1F A =，在12F AF中，利用余弦定理可计算出22AF c =，由 121222F F c e a AF AF ==-即可求得离心率. 【详解】由题意知直线OA23AOF π∠=，所以123FOA π∠=，又因为1223F AF π∠=，121AFO F F A ∠=∠，所以112FOA F AF ，所以11112F O F A F A F F =，即112F cc A F A =可得1F A =，在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅，解得：2AF =，故双曲线的离心率为1212222F F c e a AF AF ====-，故答案为：2. 【点睛】123FOA π∠=，结合1223F AF π∠=可得112FOA F AF，即可求出1F A =，在12F AF 中，再利用余弦定理，可求出2AF ，由双曲线的定义可计算122a AF AF =-，121222F F c e a AF AF ==-即可. 3．【分析】由圆的标准方程有圆心为半径为8根据圆内切于定圆且过定点即有即知轨迹为椭圆写出轨迹方程即可【详解】由圆方程知：圆的圆心为半径为8∵圆过定点且内切于圆若设圆的圆心为∴由题意知：而故可知在以为焦点解析：221167x y += 【分析】由圆的标准方程有圆心为(3,0)B ，半径为8，根据圆M 内切于定圆B 且过定点()30A -,，即有||||8AM BM +=，||6AB =即知M 轨迹为椭圆，写出轨迹方程即可.【详解】由圆方程知：圆B 的圆心为(3,0)B ，半径为8，∵圆M 过定点()30A -,且内切于圆B ，若设圆M 的圆心为(,)M x y ， ∴由题意知：||||8AM BM +=，而||6AB =，故可知M 在以,A B 为焦点的椭圆上，∴2224,c 3,b 7a a c ===-=，即圆心M 的轨迹方程：221167x y +=.【点睛】关键点点睛：根据动圆过定点且与另一圆内切，即两圆圆心的距离加上动圆到定点的距离为定值，又两圆心距离为定值，即可知动圆圆心轨迹.4．【分析】由题意画出图形利用等面积法可得关于的等式结合隐含条件即可求得椭圆的离心率【详解】解：如图所示过点作则由题意可得即又由可得整理可得因为所以解得因为所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆的几何性质考解析：51- 【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率. 【详解】解：如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，由题意可得，22221122OB OA A B OM ⋅=⋅，即22a b a b c ⋅=+，又由222a b c =+可得，()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，因为c e a =，所以42310e e -+=，解得235e -=，因为01e <<，所以51e -=. 51-. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.5．【分析】设由已知得由双曲线的渐近线的斜率可求得ab 的关系从而求得双曲线的离心率【详解】取PQ 的中点为B 因为所以为正三角形设则所以故答案为：【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时将提供的双曲线的几 13【分析】设OQ m =，由已知得2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，由双曲线的渐近线的斜率可求得a ,b 的关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】取PQ 的中点为B ，因为060PAQ ∠=，3PO OQ =，所以PAQ △为正三角形，设OQ m =,则2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，所以23231313PQ m bk c a e a===⇒=⇒=. 故答案为：13.【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．6．【分析】根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和；而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍即所以焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程【详解】解：设抛物线焦解析：22143x y +=(0)y ≠ 【分析】根据题意可知：焦点到A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和；而距离之和为A 和B 的中点O 到准线的距离的二倍，即24r =，所以焦点的轨迹方程C 是以A 和B 为焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点F 的轨迹方程. 【详解】解：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线1AA ，1BB ，1OO ，则|有11124AA BB OO +==；由抛物线定义得11AA BB FA FB +=+，4FA FB ∴+=，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，∴ 抛物线的焦点轨迹方程22143x y +=(0)y ≠.故答案为：22143x y +=(0)y ≠.【点睛】关键点点睛：抛物线方程中，抛物线上的点到焦点F 的距离等于到准线的距离，牢记它对解题非常有益．7．15【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题然后求解最值即可【详解】由椭圆方程可得：由椭圆的定义可得：则的最大值为15故答案为：15【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等价转化的数学思解析：15 【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】由椭圆方程可得：5,4,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-，由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()1222||||210||101015PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=+=，则1||PM PF +的最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【分析】根据三角形等面积公式得到再转化为关于的齐次不等式求离心率的取值范围【详解】的面积关系可得：即即整理为：两边同时除以得且解得：故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围求椭圆离心解析：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】根据三角形等面积公式得到()11222222P a c c c y bc +⋅=⋅⋅≤，再转化为关于,a c 的齐次不等式，求离心率的取值范围. 【详解】12PF F △的面积关系可得：()11222222P a c c y bc +⋅=⋅⋅≤，即))22a c c bc a cb +≤⇒+≤，即()()222222a c b a c+≤=-，整理为：22320c ac a +-≤ ，两边同时除以2a ，得23210e e +-≤且01e <<，解得：103e <≤. 故答案为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.9．－2【分析】可先设由斜率的定义表示出结合抛物线方程进行坐标代换全部代换成关于纵坐标的表达式通过即可求解【详解】设则同理∵∴得∴又∴故答案为－2【点睛】本题考查抛物线的几何性质设而不求方法的具体应用运解析：－2 【分析】可先设()11,A x y ，()22,B x y ，由斜率的定义表示出AB k ，PA k ，PB k ，结合抛物线方程进行坐标代换，全部代换成关于纵坐标的表达式，通过0PA PB k k +=即可求解【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则212122212112444AB y y y y k y y x x y y --===-+-.1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理242PB k y =+. ∵0PA PB k k +=，∴1244022y y +=++，得124y y +=-. ∴414AB k ==--. 又221OP k ==，∴122AB OP k k ⋅=-⨯=-.故答案为－2 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，设而不求方法的具体应用，运算能力，属于中档题10．【分析】先求出再求出和最后建立方程求即可【详解】解：由题意联立方程组解得或因为P 在x 轴上方所以因为抛物线C 的方程为所以所以因为所以解得：故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系抛物线的几何性解析：5+【分析】先求出(5P +、(526,Q -、(1,0)F，再求出(4PF =---和(4FQ =-，最后建立方程求λ即可.【详解】解：由题意联立方程组2410y x x ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，解得5x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因为P 在x轴上方，所以(5P +、(5Q -, 因为抛物线C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，所以(426,PF =---，(4FQ =-因为PFFQ λ=，所以(4(4λ---=-，解得：5λ==+，故答案为：5+【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题11．【分析】过点作轴垂直为由三角形相似得到点的坐标代入椭圆方程变形求椭圆的离心率【详解】设过点作轴垂直为代入椭圆方程得解得：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质重点考查数形结合分析问题的能力本题的关键是【分析】过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，由三角形相似得到点C 的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率. 【详解】()1,0F c -，()2,0F c 设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，122Rt AF F Rt CDF ,22112212DF F C CD AF F F AF ∴===， 22,2b C c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222222222441144c b c a c a a a a -+=⇒+=，解得：55c e a ==.5【点睛】本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点C 的坐标，属于中档题型.12．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和 2【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用221b e a=+即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理Bam x b ka =-，联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩， N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k-+=+--，整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.13．【分析】由题意可设椭圆方程为且利用椭圆定义及两点间的距离公式求得结合隐含条件求得则可求出椭圆方程【详解】解：由题意可设椭圆方程为且由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点距离之和等于得则则椭圆方程为：故答案为解析：221106y x +=【分析】由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得a ，结合隐含条件求得b ，则可求出椭圆方程．【详解】解：由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，由椭圆的定义，椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于2a ．2a ∴==得a =b ==则椭圆方程为：221106y x +=．故答案为：221106y x +=.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了利用椭圆定义求椭圆的标准方程，属于基础题．二、解答题14．（1）()()–,12,∞+∞；（2）13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据曲线方程，列式()()120m m --<，求m 的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，m 的取值范围，根据命题的等价性转化为p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()()120m m --<，得1m <或2m >，即()()–,12,m ∈∞⋃+∞（2）命题p ∶由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．命题q ∶22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则102021m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得312m <<，因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，则31342a a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤，故实数a 的取值范围为：13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．15．（1）22143x y +=；（2）证明见解析；22127x y +=.【分析】（1）根据条件得出221914a b +=且12c a =，解出,a b 即可得出方程；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆，由OA OB ⊥得0OA OB ⋅=，由此可得=. 【详解】（1）由椭圆经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率12e =得： 221914a b +=且12c a =. 解得2a =，1c =，b =所以椭圆C ：22143x y +=.（2）当直线AB l 的斜率不存在时，设直线为x m =，则由OA OB ⊥可得(),A m m ±，代入椭圆得22143m m +=，解得2127m =，则与直线AB l相切且圆心为原点的圆的半径为m =，即圆的方程为22127x y +=；当斜率存在时，设直线AB l 的方程为：y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得到：()()222348430k x kbx b +++-=.所以122834kbx x k +=-+，()21224334b x x k-=+. 因为OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，又因为11y kx b =+，22y kx b =+，故()()12121212x x y y x x kx b kx b +=+++()()22121210k x x kb x x b =++++=，将122834km x x k +=-+，()21224334b x x k -=+代入上式，得到： ()()2222222413803434k b k b b k k+--+=++，去掉分母得：()()()2222224138340k b k b b k +--++=，去括号得：22712120b k --=，=又因为与直线AB l相切且圆心为原点的圆的半径r ===所以该圆方程为22127x y +=，综上，定圆方程为22127x y +=. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.16．（1）221164x y +=；（2）4k =±. 【分析】（1）由离心率e =2a b =，再求出直线1:B x a A y b -=，从而得5d ==，解方程组可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，再将直线()10y kx k =+≠与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得2234214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，可得20M M x ky k ++=，从而可求出k 的值【详解】解：（1）因为2c a =，222a c b -=，所以2a b =. 因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离5d ==，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>.设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+，因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，所以21M My k x +⋅=-，所以20M M x ky k ++=.即224201414k kk k k-++=++. 又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将EF 的中点(),M M M x y 坐标用含k 的式子表示，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，得20M M x ky k ++=，将点M 的坐标代入可求出k 的值，考查计算能力，属于中档题17．（1）2231143y x -=；（2）()4,2. 【分析】（1）由渐近线方程设双曲线方程为()22094x y λλ-=≠，代入点P 的坐标可得双曲线方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理和中点坐标公式可得．【详解】（1）由双曲线的渐近线方程23y x =±，可设双曲线方程为()22094x y λλ-=≠.∵双曲线过点)P ，∴6494λ-=，13λ=-，故所求双曲线方程为2231143y x -=.（2）由224x y y x-=⎧⎨=⎩得2840x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则128x x +=，121244y y x x +=+-=，故线段AB 的中点坐标为()4,2. 【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线方程，考查弦中点坐标．已知双曲线的渐近线方程为0mx ny ±=，则双曲线方程可设为2222m x n y λ-=，代入其他条件求得λ即可得，这种方法不需要考虑双曲线的焦点所在轴． 18．（1）()2302y x x =>；（2）2. 【分析】（1）设(),N x y ，由已知向量的数量关系及位置关系得()()3,2,0y x y ⋅-=，即可知N 的轨迹C 的方程；（2）由直线与抛物线相交关系，令直线AB 的方程为：2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，应用根与系数关系有12120323y y m y y ∆>⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，结合已知条件、弦长公式即可求AB .【详解】（1）设点(),N x y ，由12PN PQ =，得()0,2P y ，(2,0)Q x ，由0MP PN ⋅=得()()3,2,0y x y ⋅-=，所以232y x =．又因为点Q 在x 轴的正半轴上， ∴()2302y x x =>．（2）设直线AB 的方程为：2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2232x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去x 得：22360y my --=，故12120323y y m y y ∆>⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，又AOT 的面积是BOT 面积的2倍，得122y y =-，联立方程解得223m =，由弦长公式可得：12AB y y =-=．【点睛】关键点点睛：（1）由向量的数量关系，应用向量的坐标表示求动点轨迹方程.（2）根据直线与抛物线相交，设直线方程2x my =+并联立抛物线方程，得到12y y +、12y y 结合已知求参数m ，根据弦长公式求弦长.19．（1）22143x y +=；（2）32．【分析】（1）由椭圆上的点、离心率和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）根据平行关系进行转化可知PQOS S=，在直线斜率不存在时易求得结果；当直线斜率存在时，利用弦长公式和点到直线距离公式分别求得三角形的底和高，进而得到S =，利用函数值域求解方法可求得S 的取值范围；综合两种情况可得结果.【详解】（1）由22 222 331412a ba b ccea⎧+=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎩得：2a=，3b=，1c=，∴椭圆C的方程为22143x y+=．（2）连接OR，PO，,O R分别为122,F F PF的中点，1//OR PF∴，1PF R∴与1PF O同底等高，11PF R PF OS S∴=，11QF O PF E PQOS S S S∴=+=．①当直线PQ的斜率不存在时，其方程为1x=-，此时133312222PQOS⎡⎤⎛⎫=⨯⨯--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；②当直线PQ的斜率存在时，设其方程为：()1y k x=+，设()11,P x y，()22,Q x y，显然直线PQ不与x轴重合，即0k≠；联立()221143y k xx y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()22223484120k x k x k+++-=，()214410k∆=+>，则2122834kx xk+=-+，212241234kx xk-=+，()()222121212212111434kPQ k x k x x x xk+∴=+-=++-=+，又点O到直线PQ的距离21kdk=+12S PQ d ⋅∴==()2343,a k =+∈+∞，则S == ()3,a ∈+∞，110,3a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()23210,1a a ∴--+∈，30,2S ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭；综上所述：30,2S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则S 的最大值为32．【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中与三角形面积有关的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出三角形面积，将面积转化为关于变量的函数的形式； ④利用函数值域的求解方法可求得所求面积的取值范围或最值. 20．（1）2y x =；（2）证明见解析，1,0t t ==. 【分析】（1）由准线方程为14x =- 求得12p =，得解抛物线C 的方程（2）设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），联解后，利用原点O 落在以AB 为直径的圆上得0OA OB ⋅= 得到12120x x y y +=得解【详解】（1）由准线方程为14x =-可设抛物线C 的方程22(0)y px p =>求得12p =故所求的抛物线C 的方程为：2y x =（2）依题意可设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），设1122(,),(,)A x y B x y由2x my t y x=+⎧⎨=⎩得：2y my t =+ 依题意可知0∆>，且12y y t =-原点O 落在以AB 为直径的圆上令0OA OB ⋅=即()22212121212t 0x x y y y y y y t +=+=--=解得：1,0t t ==即t 为常数，∴ 原题得证【点睛】本题利用0OA OB ⋅=得到12120x x y y +=是解题关键.21．（1）22142x y +=；（2）220x y ±+=.【分析】（1）根据条件得到22c b a ==222a b c =+计算出22,a b 的值，由此求解出椭圆的标准方程；（2）根据条件分析出M 点位置，设出M 点坐标并根据位置关系表示出B 点坐标，结合圆的方程和椭圆方程求解出M 点坐标，则直线AB 的方程可求. 【详解】（1）根据条件可知：2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为：22142x y +=；（2）因为AOB 的面积是AOM 的面积的2倍，所以M 为AB 的中点，设()00,M x y ，又()2,0A -，所以()0022,2B x y +，因为M 在圆上且B 在椭圆上，所以有()()220220089222142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，所以200918160x x --=且0x ≤≤ 解得：023x =-，所以023y =±，所以()20132223AB k -==---或()2132223AB k --==----，所以()1:22AB l y x =±+，即220x y ±+=. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能通过面积关系分析出M 点的位置（此处涉及转化思想），然后利用坐标运算求解出点M 的坐标，从而求解出直线方程.22．（1）(0,F，焦距为2c =2）MNF直线l的方程为6y =+；（3）存在定点()0,2S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立．【分析】（1）利用椭圆方程求出a ，b ，然后求解c ，即可得到结果．（2）设直线:6l y kx =+，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．（3）由（2）得122122kx x k -+=+，122242x x k =+，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线l 的斜率不存在时，直线l 也过定点(0,2)S ，即可．【详解】（1）椭圆22:1126y x Γ+=，可得a =b，所以c =(0,F，焦距为2c =；（2）由题意得直线l 的斜率存在，设直线:6l y kx =+，由2211266y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22212240k x kx +++=，所以()()2221449624840k k k ∆=-+=->，故240k ->，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122122kx x k -+=+，122242x x k =+，所以12MN x =-=====(或用MN = 点F 到直线l的距离d =所以162MNFS MN d =⋅==△，令0t =>，则))216666MNF tS t t t==++△，所以6MNF S ≤=△，当且仅当k =时取等号，所以MNFl 的方程为6y =+；（3）当直线l 的斜率存在时，由（2）得122122kx x k -+=+，122242x x k =+，因为RSM RSN π∠+∠=，所以0MS NS k k +=，即12120y t y tx x --+=，所以()()21120x y t x y t -+-=，所以()()2112660x kx t x kx t +-++-=，所以()()1212260kx x t x x +-+=，所以()()2222412122620222k kkt t k k k -+-=-=+++，因为0k ≠，所以2t =，所以()0,2S ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 也过定点()0,2S ，故y 轴上存在定点()0,2S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将RSM RSN π∠+∠=恒成立转化为0MS NS k k +=，利用两点连线斜率的坐标公式以及根与系数的关系，求出定点，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．23．（1）2212x y +=；（2）5±.【分析】（1）根据条件解关于,a c 的方程组即可得结果；（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理，可求得中点坐标，代入圆方程解得m 的值. 【详解】（1）由题意，得2221c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，线段EF 的中点为()00,M x y ．联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，2234220x mx m ++-= 120223x x m x +==-，003m y x m =+=，即2,33m m M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()22443220m m m ∆=-⨯⨯->⇒<．又因为点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m =，满足题意．【点睛】关键点睛：本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程，解题的关键是熟悉中点坐标公式，本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，求出中点坐标，再将其代入圆中求解，考查了学生的基本分析转化求解能力，属中档题.24．（1）221259x y +=；（2）2212575y x -=【分析】（145||4x =-，化简即可求得其方程；（2）设双曲线的方程为221(0)mx ny mn -=>，代入A ，B 的坐标，解方程即可得到所求双曲线的方程；【详解】（1）因为点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线25:4l x =的距离的比是常数4545||4x =-．将上式两边平方，并化简，得22925225x y +=．即221259x y +=．（2设双曲线的方程为221(0)mx ny mn -=>，将点A ，B 坐标代入可得9281m n -=，且72491m n -=，求得175m =-，125n =-． ∴双曲线的标准方程为2212575y x -=．【点睛】求轨迹方程的常见方法：定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等，解题时应根据题设条件灵活应用.25．（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）(4,．【分析】（Ⅰ）依题意2a =，c =222a c b -=求解b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A ，B 横纵坐标的和与积，进一步求得AB 的垂直平分线方程，求得Q 的坐标，由两点间的距离公式求得||PQ ，由弦长公式求得||AB ，作比后求得||||AB PQ 的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）由题意得2a =，c =因为222a c b -=，即2222b -=，所以1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．（Ⅱ）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+， 121222(2)14ky y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k-++，所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++．于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14kk+，又点(1,0)P ，所以22223111414k k PQ k k+=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +===++ 因为0k ≠，所以221331k <-<+．所以||||AB PQ的取值范围为(4,．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(答案解析)(2)

一、选择题1．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）A ．221325y x +=B ．221325x y +=C ．221369y x +=D ．221369x y +=2．双曲线222:19x y C b-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（）A ．89B ．83C ．149D ．1433．已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠ 4．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定5．过原点O 的直线交双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）于A ，C 两点，A 在第一象限，12,F F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若222,23OA OF CF BF ==，则双曲线E 的离心率为（）A ．5B ．4C ．5D ．56．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D 7．设抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为端点的射线与抛物线相交于A ，与抛物线的准线相交于B ，若4FB FA =，则FA FB ⋅=（） A ．9B ．8C ．6D ．48．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（）A B C ．2 D 9．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．A ．12B ．2C 1D 10．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（）A ．9B ．9C ．7112+D ．831211．12,F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积是（）A ．2B ．4C ．8D ．1612．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率2，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12二、填空题13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.15．已知抛物线24y x = 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______． 16．曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()21aa >的点的轨.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则122PF PF a +<；④若点P 在曲线C 上，则12FPF △的面积212S a ≤.其中，所有正确的序号是______. 17．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.18．已知双曲线C ：22193x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ､N .若OMN 为直角三角形，则||MN =________. 19．某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0.1米）20．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为________. 三、解答题21．已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线上一点P 使得1290F PF ∠=，求12F PF △的面积.22．已知()1,0F c -是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点，离心率5e =，2c a b =+.（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点()1,1A 且被A 点平分的弦所在直线的方程.23．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．24．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别是(2,0)-，(2,0)，直线AQ ，BQ 相交于点Q ，且它们的斜率之积是34-. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,0)P -的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，且4PAM PON S S =△△. ①求直线l 的方程；②求直线l 被轨迹C 截得的弦长.25．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程. 26．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线2x =-的焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(2,1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>联立方程：2222143130y x a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，整理得：()222222216910416990b a x b x b a b +---=,设()11M x y ，，()22N x y ，，则1212x x +=，即2221042169b b a=+，化简得：224a b =，又2227a b -=，易得：22369a b ⎧=⎨=⎩，∴此椭圆的方程是221369y x +=故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.2．C解析：C 【分析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求．【详解】如图，由22219x y b-=，得229c b =+，29c b =+．设1||PF m =，2||PF n =，由题意，6m n -=，若2229n c b ==+26629m n b =+=++则2266922m n c b ++=++，解得b ∈∅；若2229m c b ==+26296n m b =-=+．则2269622m n c b ++=+=，解得21159b =． ∴222115196999c a b =+=+=，143c =． 1414339c e a ∴===．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．3．D解析：D 【分析】由直线2y kx =+恒过(0,2)点，将问题转化为点(0,2)在椭圆2219x ym+=上或椭圆内，可得选项. 【详解】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x ym +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.5．D解析：D 【分析】根据题意得1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，13AF m =，再结合双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，故在1Rt FAB 中由勾股定理得1514m a =，在12Rt F AF △中结合勾股定理和1514m a =，得222553c a =，进而得答案..【详解】设1F 为双曲线E 的左焦点，连接112,,AFBF CF ，取2AF 的中点M ，由2=OA OF ，得OM AB ⊥，又O 为12F F 的中点，故1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，由1211||||||22OM AF CF ==得13AF m =.根据双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，在1Rt F AB 中，有()()()22235222=m m a m a -++，化简得1514m a =，在12Rt F AF △中，有()()()2223322m m a c +-=，结合1514m a =，得222553c a =，所以5e =. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，解题的关键在于根据已知得1F A AB ⊥，同时注意到该题构成了焦点三角形，故借助定义，利用三角形的边角关系即可222553c a =，进而求解.考查运算求解能力，是中档题.6．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：222111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.7．A解析：A 【分析】根据平行关系可证明N 点，A 点分别是线段BF ，NF 的中点，再根据比列关系求A 点横坐标即可求解. 【详解】设FB 交y 轴于N 点，如图，由准线与y 轴平行，且O 为中点，所以N 是BF 中点，因为4FB FA =，所以A 是NF 的中点，设A 的横坐标为m ,则由抛物线的定义,||||(1)1AF AC m m ==--=+，由AC 与x 轴平行，可得1342m +=，解得12m = ∴334622FA FB ==⨯=，， ∴⋅=FA FB |FA ||FB |=9，故选：A 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义及平行关系，建立比列关系求出||AF 的长，是解题的关键所在，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k ta b a b-=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+，所以2222PA PB t n t n t n k k k m k m k m -+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率c e a === 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．9．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．10．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A My y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，BM ==所以ABM的周长为：2511944AB AM BM ++=++=+ 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 11．B解析：B 【分析】先求出双曲线的a,b,c ，再利用12Rt PF F 中三边关系求出128PF PF =，再由直角三角形面积公式即得结果. 【详解】由2214x y -=-得标准方程为2214x y -=得221,4a b ==，2145c ∴=+=5c ∴= 故12Rt PF F 中，()222212121212121222=225F F PF PF PF PFPF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩128PF PF ∴=所以12118422S PF PF =⋅=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质，考查了直角三角形的边长关系和面积公式，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M 到y 轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的解析：【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，再表达出M 的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则利用中点坐标公式知1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =，所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．15．【解析】由抛物线定义得即这点的坐标为解析：(4,4)±【解析】由抛物线定义得215,4444x x y y +=∴=∴=⨯⇒=± ,即这点的坐标为()4,4±16．②④【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数利用直接法设动点坐标为及可得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】解：对于①由题意设动点坐标为则利用题意及两点间的距离公式的得解析：②④ 【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >，利用直接法，设动点坐标为(,)x y ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】解：对于①，由题意设动点坐标为(,)x y，则利用题意及两点间的距离公式的得：22224[(1)][(1)]x y x y a++-+=，将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②，把方程中的x被x-代换，y被y-代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，故②正确；对于③，221y x=--，224211y x a∴+=--，P∴到原点的距离不，当P在y轴时取等号，此时12PF PF a==，122PF PF a+=故③错误；对于④，由题意知点P在曲线C上，则△12F PF 的面积12122F PFS y y=⨯⨯=，由①知221y x=--或221y x=--t，则2424t ax-=，24442211(2)4444t a a ay t t-∴=--+=--+，1222212F PFS y a∴=，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．17．【分析】由于P为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P为1C与2C在第一象限的交点，112PF F F=，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m=-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案.【详解】设椭圆1C：()222210x ya ba b+=>>与双曲线2C：()222210,0x ym nm n-=>>，因为P为1C与2C在第一象限的交点，112PF F F=，所以焦点三角形12PF F是以2PF为底边的等腰三角形，即在椭圆中有1221122222PF PF aPF a cPF F F c⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m=-②，由①②可知，2a c m=-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---，由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.18．【分析】先由题意得到渐近线方程为：右焦点或分别讨论两种情况求出两点间距离即可得出结果【详解】因为双曲线的渐近线方程为：右焦点因此渐近线夹角为即因为为直角三角形所以或当时可得所以所在直线方程为：由解得解析：【分析】先由题意，得到渐近线方程为：y x =，右焦点()F ，OM MN ⊥或ON MN ⊥，分别讨论OM MN ⊥，ON MN ⊥两种情况，求出两点间距离，即可得出结果. 【详解】因为双曲线22193x y -=的渐近线方程为：y =，右焦点()F ，因此渐近线夹角为60，即60MON ∠=，因为OMN 为直角三角形，所以OM MN ⊥或ON MN ⊥，当OM MN ⊥时，可得MN k =MN所在直线方程为：y x =-，由y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以MN ==；当ON MN ⊥时，可得MN k =MN所在直线方程为：y x =-，由y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以223333333322MN ⎛⎫⎛⎫=-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；综上，33MN =. 故答案为：33. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的简单应用，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.19．【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程根据抛物线上的点确定方程再通过求出点的坐标即可得到答案【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为由题知：抛物线过所以解得即抛物线方程为当时所以桥洞顶解析：2.6【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，根据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为2y ax c =+，由题知：抛物线过(6,2)D ，(8,0)B .所以362640a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得114327a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 即抛物线方程为2132147y x =-+. 当0x =时，327y =. 所以桥洞顶部距水面高度约为32182 2.677-=≈米. 故答案为：2.6 【点睛】本题主要考查抛物线的应用，同时考查了待定系数法求方程，属于中档题.20．【分析】由双曲线的方程的左右焦点分别为为双曲线上的一点为双曲线的渐近线上的一点且都位于第一象限且可知为的三等分点设将坐标用表示并代入双曲线方程即可得到离心率的值【详解】由双曲线的方程的左右焦点分别为2【分析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，可知P 为2QF 的三等分点，设()11,P x y ，将坐标用,,a b c 表示，并代入双曲线方程，即可得到离心率的值. 【详解】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥，点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(),Q a b ，()2,0F c ，设()11,P x y ，则()()11112,,x a y b c x y --=--，解得123a c x +=，123b y =，即22,33a c b P +⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2224199a c a +-=，解得2c e a ==，2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，转化为a ，c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e （e 的取值范围）.三、解答题 21．16【分析】求出a 、b 、c ，利用双曲线的定义和勾股定理可求得12PF PF ⋅，进而可求得12F PF △的面积.由双曲线方程221916x y -=，可知3a =，4b =，5c =.由双曲线的定义，得1226PF PF a -==，将此式两边平方，得221212236PF PF PF PF +-⋅=，221212362PF PF PF PF ∴+=+⋅.又1290F PF ∠=，由勾股定理可得2212122100PF PF F F +==，12362100PF PF ∴+⋅=，12·32PF PF ∴=，121211321622F PF SPF PF ∴=⋅=⨯=. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用双曲线的定义结合勾股定理求得12PF PF ⋅的值，再结合三角形的面积公式求解，对于焦点三角形面积的问题，一般利用定义结合余弦定理求解.22．（1）22194x y +=；（2）49130.x y +-=【分析】（1）由已知建立关于,,a b c 的方程，解之可求得椭圆C 的方程；（2）设弦的端点为112212(,),(,)()P x y Q x y x x ≠，运用点差法求得直线的斜率，由直线的点斜式方程可求得所求的直线方程. 【详解】（1）因为222c a b a b =+=-，所以1a b -=，又c e a ==，所以2259c a =，所以23b a =，解得3,2a b ==，所以椭圆C 的方程为：22194x y +=；（2）设弦的端点为112212(,),(,)()P x y Q x y x x ≠，中点(1,1)A ，则12122,2,x y x y +=+=，由于点P 、Q 在椭圆上，所以221122221?941?94x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得211221214()49()9y y x x x x y y -+=-=--+，即49PQ k =-，因此所求的直线方程为4()911y x --=-，即49130.x y +-=方法点睛：在解决直线与椭圆相交时的中点弦的问题时，常运用点差法求得直线的斜率，得以求出中点弦的直线方程.23．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析．【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围.(3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的. 【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=，故圆心()11M ，，半径R =圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =<所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ，设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E ，)F ，设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+，整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，，())()2222x x y x y =⋅+-=+-()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩，由此得2102y ≤<，所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．故直线MA 的方程为()11y k x -=-，直线MB 的方程为()11y k x -=--，由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()()222121120k x k k x k ++-+--=，因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k k x k -∴+=+ 可得22211A k k x k --=+，同理可得：22211B k k x k +-=+，所以B A AB B Ay y k x x -=- ()()3232222222222421111114212111B A MN B A k k k k k k k k k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++，所以直线AB 和MN 一定平行．【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点：(1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断；(2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.24．（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）①4)y x =+；. 【分析】（1）表示出直线AQ ，BQ 的斜率，然后计算即可.（2）①根据4PAM PON S S =△△可得12M N y y =，假设点,M N 坐标，然后代入椭圆方程，可得点,M N 坐标，进一步得到斜率，最后可得方程. ② 根据①利用弦长公式计算即可.【详解】（1）设(,)(2)Q x y x ≠±，由题意，34AQ BQ k k ⋅=- 所以3224y y x x ⋅=-+-，化简得22143x y +=，所以点Q 的轨迹C 的方程是221(2)43x y x +=≠±. （2）①因为2OP AP =，且4PAM PON S S =△△，所以12M N y y =，所以点M 为PN 的中点，设00(,)M x y ，则00(42,2)N x y + 所以22002200143(24)(2)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，所以00748x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，则1(,,27484M N ⎛ ⎝⎭-或1(,,27484M N ⎛-- ⎝⎭- 所以直线l的斜率为k =，所以直线l的方程为4)y x =+②0028N M MN x x x =-=+-=. 【点睛】思路点睛：第（1）问在于计算出直线的斜率，然后直接计算；第（2）问关键在于得到12M N y y =，同时熟记弦长公式. 25．（1）22143x y +=；（2）12y x =-或12y x =-- 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||4AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，bc ＝1， ∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴=== 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||4AB CD =1，解得3m =±，满足(*). ∴直线l的方程为123y x =-+或123y x =--. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键. 26．（1）22143x y +=；（2）122y x =-+，3(1,)2M . 【分析】（1）由抛物线2x =-的焦点为(0，得b =12c a =，从而可求出a ，得椭圆方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用0∆=可求解．【详解】（1）由抛物线2x =-的焦点为(0，，它是椭圆的一个顶点，则b =又12c e a ==，所以22214a b a -=，解得2a =． ∴椭圆方程为22143x y +=；（2）过(2,1)P 斜率不存在的直线为2x =，是椭圆的切线，此时切点为(2,0)M ．此时不满足M 在第一象限.过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-，由221431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得222(34)8(12)161680k x k k k k ++-+--=，∴222264(12)4(34)(16168)96(21)0k k k k k k ∆=--+--=-+=，12k =-，此时121x x ==，1232y y ==，即3(1,)2M ．直线方程为11(2)2y x -=--，即122y x =-+．切线方程为122y x =-+，切点3(1,)2M ．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的切线，解答本题的关键是分切线的斜率存在和不存在进行讨论，过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-,由方程联立，其0∆=求解,属于中档题.。

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一、选择题1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（） A ．0B ．12C ．1D ．22．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC D 3．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．11212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭5．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D6．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为（）A ．22+1164x y =B ．22+1416x y =C ．22148x y -=D ．22184x y -=7．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．A ．12B ．622+ C ．31+ D ．62+8．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=9．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．91610．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34πC ．(65)π-D ．54π11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 C 2D 312．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________． 17．曲线412x x y y -=上的点到直线y =的距离的最大值是________．18．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.19．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______. 20．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：则2C 的虚轴长为______.三、解答题21．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为23-，求实数λ的值. 22．抛物线Γ的方程为22y px =（0p >）， ()1,2A 是Γ上的一点．（1）求p 的值，并求A 点处的切线方程；（2）不过点A 且斜率为1-的直线交抛物线Γ于P 、Q 两点．证明：直线PA 、 QA 的倾斜角互补．23．如图，设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点.（1）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P ，2P ，3P ，4P ，求1234PP P P +的值；（2）若直线m 与抛物线相交于M ，N 两点，且与圆相切，切点D 在劣弧AB 上，求MF NF +的取值范围.24．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，过点(03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长；（2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为23.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值.26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||AB =AFB △的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ．解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义， ∴y p +1=2，解得y p =1．故选C ．考点：抛物线的简单性质．2．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a .3．A解析：A 【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y pp ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径)r a c =-，然后根据12r a >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又r > 故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则2c a ≥，从而11212e ≤<．故选：C 5．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a === 3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 6．B解析：B 【分析】由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，c =，由此可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，点(,)P x y到点1F的距离与到点2(0,F -的距离之和为定值8，并且128F F >=，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为c =，所以22216124b a c =-=-=，所以点P 的轨迹方程为22+=1416x y .故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .7．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．8．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.9．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C的半径最小值为11225O l d -==，圆C面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b aa c ，222422ca a a c ，223c a =，3==ce a，故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.12．A解析：A【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=，两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ，即143OD AB k k =-，同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-，又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-，故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--，又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a ==⋅-，由()ln 2x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，得()()1212ln ,ln 22k k f k f k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立；则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFBOFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =，所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．16．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF 和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==．因为直线l 的斜率是3，则12sin PF F ∠=，12cos PF F ∠=．因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos PF F F PF F =∠=，21212sin PF F F PF F =∠=，则2125PF PF a -==，故双曲线C的离心率为2c a =．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可. 【详解】解：曲线412x x y y -=表示的方程等价于以下方程，()()()22222210,02410,02410,042x y x y xy x y y x x y ⎧-=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()2210,042y x x y -=<<渐近线方程，所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆()2210,024x y x y +=≥<上的点到直线2y x =的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简得：2242240x mx m ++-=，令()22=81640m m ∆--=，解得22m =-所以切线为：22y x =- 故两平行线22y x =-2y x =之间的距离为0222633d +==. 所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =26. 26. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.18．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形，即在椭圆中有1221122222PF PF a PF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---，由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.19．【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得（负的舍去）故答案为:【点睛】本题考查椭圆的1. 【分析】由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，可得2b y a =±=±，不妨设2(,)b P c a ，由2(,)b P c a 在直线2y x =上，可得22b c a=，即为2222a c b ac -==，由ce a=可得2210e e +-=，解得1e =（负的舍去）. 故答案为1. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率.20．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方解析：4【分析】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b -=中求解即可. 【详解】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上, 则点()4,2-和点(-在双曲线上,设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a ba b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）12λ=. 【分析】（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可. 【详解】解：（1）()2,PA x y =---，()2,PB x y =--又22PHy =所以由2||PA PB PH λ⋅=⋅得()()22,2,x y x y y λ---⋅--= 则22(1)4x y λ+-=当1λ=时，C 是两条平行直线；当0λ=时，C 是圆；当01λ<<时，C 是椭圆；当1λ>时，C 是双曲线 .（2）2222(2)4(1)40(1)4y x x x x y λλλλ=+⎧⇒-+--=⎨+-=⎩ 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122004(1)41(0)232x x λλλλ⎧⎪-≠⎪∆>⎨⎪-⎪+==-⇒=∆>-⎩【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2p =，1y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）将()1,2A 代入可求得p ，设出切线方程，联立切线与抛物线方程，利用0∆=可求；（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，与抛物线方程联立，根据0PA QA k k +=可证明. 【详解】解：（1）将()1,2A 代入22y px =，可得2p =，由题意知，所求切线斜率显然存在，且不为0，设切线方程为()21y k x -=-，与24y x =联立得()2204k y y k -+-=（0k ≠），由()120k k ∆=--=得1k =．所以，所求切线方程为1y x =+．（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，代入24y x =得：240y y m +-=．由16160m ∆=+>，得1m >-．又∵直线PQ 不过点A ，∴3m ≠，∴1m >-，且3m ≠．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124y y +=-，124y y m =-，()()()()22122112121211121222441111PA QA y y y y y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=----()()()121441684201m m x x +-++==-，所以，直线PA 、PQ 的斜率角互补．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）1234PP P P +=2）2,22⎡⎤⎣⎦. 【分析】（1）由题意可得直线l 的方程为1y x =+,设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y，则可得()()12342413PP P P x x x x +=+-+⎤⎦，然后分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组，消元后利用根与系数的关系，可得结果；（2）将圆的方程和抛物线方程联立方程组可求出A ，B 两点的坐标，设()00,D x y ，则切线00:12m x x y y +=，直线方程式与抛物线方程式联立方程组，消元后，再由根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-，而02y ≤≤而可求出M N y y +的范围，进而可得MF NF +的取值范围. 【详解】解：由题意，()0,1F ，直线l 的方程为1y x =+设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y，则)1221PP x x -，)3443P P x x =-，∴)()()123424132413PP P P x x x x x x x x +=+--=+-+⎤⎦故分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组：22112y x x y =+⎧⎨+=⎩；214y x x y=+⎧⎨=⎩，分别消去y ，整理得：222110x x +-=；2440x x --= ∴131x x +=-，244x x +=，∴1234PP P P +=（2）由222124x y x y⎧+=⎨=⎩解得：()2A -，()2B ，设()00,D x y ，则220012x y +=；切线00:12m x x y y +=，其中02y ≤≤；设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩，消去x ，整理得： ()2220004241440y y x y y -++=，∴22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-∵02y ≤≤∴M N y y ⎡⎤+∈⎣⎦∵2M N MF NF y y +=++，∴MF NF +的取值范围为2,22⎡⎤⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，第2问解题的关键是将切线方程与抛物线方程联立方程组002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩，进而利用根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-，再利用抛物线的定义可求得MF NF +的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 24．（12【分析】（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时根据()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+-=-=，解得：y =7-， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1212,A x x y y ++，所以()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=- 也即()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 32d =；综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为32.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到22443m k =+，属于中档题.25．（1）2214x y +=；（2）证明见解析；（3）3.【分析】（1）由题知1b =，23a c -=-222a b c =+即可得椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 为12y x m =+，直线与椭圆联立化简得212122,22x x m x x m +=-=-，进而0MP NQ k k =+；（3）当直线AB 斜率不存在时，22||||23b AB CD a a+=+=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 为3y kx k =-，直线CD 为13y x k =-，进而得2245||||54174AB CD k k+=-++，再结合基本不等式即可得答案. 【详解】（1）因为短轴为2，所以22,1b b ==，又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为a c -，所以23a c -=-，又因为222a b c =+，解得2,1,a b c ===所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设直线l 为12y x m =+，与2214x y +=联立得：222220x mx m ++-=设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则212122,22x x m x x m +=-=- 所以()12121212122111(1)222222MP NQx m x m x x m x x m k k x x x x x ++-+-+-++=+=--22222(1)(2)220222m m x m m m x -+---+==--，所以MP 与NQ 的斜率之和为定值0；（3）当直线AB 斜率不存在时，2225b AB CD a a+=+=当直线AB 斜率存在时，设直线AB为y kx =-，直线CD为1y x k k=-+，得()2222411240k x x k +-+-=，所以223434221244141,k x x x x k k -+==++，所以()224141AB k k +==+，同理()2241||4k CD k +=+，所以()()2222224141445||||5414417k AB CD k k k kk +++=+=-++++因为22448k k +≥=，所以1635AB CD +≥>，当且仅当1k =±时取等号，所以AB CD +的最小值为3. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于巧设点的坐标，结合韦达定理，设而不求，达到求解目标，化简运算；同时还要注意再设直线方程时，需要考虑斜率存在与否，做到周密解答.26．（1）||AB =12t；（2）7+ 【分析】（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长．【详解】（1）224y x ty x=+⎧⎨=⎩，整理得()224410x t x t +-+=，则2212212163216161632044144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩， AB===，其中12t；（2）由||AB ==4t =-，经检验，此时16320t ∆=->，所以1215x x t +=-=，由抛物线的定义，有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=，又||AB =，所以AFB△的周长为7+ 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。

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