高三数学二轮专题复习测试十《圆锥曲线与方程》新人教版

2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程高效测评 新人教A 版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知曲线C 的方程为x 3＋x ＋y －1＝0，则下列各点中在曲线C 上的点是( ) A ．(0,0) B ．(－1,3) C ．(1,1)D ．(－1,1)解析： 点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )上⇔f (x 0，y 0)＝0. 答案： B2．“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解，故选B.答案： B3．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析： 设P (x ，y )，∵k PA ＋k PB ＝－1， ∴y －0x －－＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)． 答案： B4．方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线是( )解析： 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4或x 2＋y 2＝4.其中当x ＋y －1＝0时，需x 2＋y 2－4有意义，即x 2＋y 2≥4，此时它表示直线x ＋y －1＝0上不在圆x 2＋y 2＝4内的部分及圆x 2＋y 2＝4.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________． 解析： 将点P 的坐标(2，－3)代入曲线方程， 可得22－a ·(－3)2＝1，解得a ＝13.答案： 136．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是____________．解析： 设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1. 又M 为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋x 02，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2(2x )2＋1， 即y ＝4x 2. 答案： y ＝4x 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．指出方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？解析： 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0或者x －3－1＝0，也就是2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.8．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．解析： (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.∴m 的值为2或－185.9．(10分)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析： 方法一(直接法)： 如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得 |OQ |2＋|QC |2＝|OC |2， 即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法二(定义法)：如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法三(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2xy 1＝2y，又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点).。

2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元测试新人教B 版选修一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3B.32C.83D.232已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则此双曲线的( )A ．焦距为10B ．实轴与虚轴分别为8和6C ．离心率是54或53D ．离心率不确定3P 是椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 的中点的轨迹方程为( )A.4x 29＋y 25＝1B.x 29＋4y 25＝1 C.x 29＋y 220＝1 D.x 236＋y 25＝1 4与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝8x (x ＞0)或y ＝0(x ＜0)C ．y 2＝8x 或y ＝0D ．y 2＝8x (x ≠0)5已知点A 为双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )A.33 B.332C ．3 3D ．63 6双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 1|、|AF 2|的等差中项，则|BF 1|等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．87设A 、B ∈R ，A ≠B ，且A ·B ≠0，则方程Bx －y ＋A ＝0和方程Ax 2－By 2＝AB 在同一坐标系下的图象大致是图中的( )8设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( )A.45B.23C.47D.129已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(72，4)，则|P A |＋|PM |的最小值为( )A.72 B ．4 C.92D ．5 10双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|＝2c ，P 为双曲线上一点，PF 1⊥PF 2，则P 到实轴的距离等于( )A.b 2cB.a 2cC.b 2aD.c 2a二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为________． 12若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为5－12，则双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的离心率是________．13直线l ：x －y ＋1＝0和椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.14已知双曲线x 24－y 2＝1的虚轴的上端点为B ，过点B 引直线l 与双曲线的左支有两个不同的交点，则直线l 的斜率的取值范围是________．15以下命题：①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等．②过点(x 0，y 0)与圆x 2＋y 2＝r 2相切的直线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ④抛物线上任意一点M 到焦点的距离等于点M 到其准线的距离． 其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共4个小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(9分)动点P (x ，y )到定点A (2,0)与到定直线l ：x ＝4的距离之和为6，求点P 的轨迹． 17(10分)已知双曲线的方程是x 29－y 216＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．18(10分)设抛物线y 2＝4px (p ＞0)的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点．(1)求线段AB 中点的轨迹方程；(2)若线段AB 的垂直平分线交对称轴于N (x 0,0)，求证：x 0＞3p . 19(11分)已知椭圆C 1的方程x 24＋y 2＝1.(1)F 1，F 2为C 1的左右焦点，求椭圆上满足PF 1→·PF 2→＝0的点P 的轨迹方程C 2； (2)若过曲线C 2内一点P 0(－1,1)作弦AB ，当弦AB 被点P 0平分时，求直线AB 的方程； (3)双曲线C 3的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 3的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 3恒有两个不同的交点M 和N ，且OM →·ON →＞2(其中O 为原点)．求k 的取值范围．参考答案1解析：a ＝2，c ＝2－m ，c a ＝2－m 2＝12，所以2－m ＝22.又m ＞0，所以m ＝32.所以选B.答案：B2解析：由双曲线渐近线方程y ＝±34x ，所以b a ＝43或b a ＝34.e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋ba2＝54或53.所以选C. 答案：C3解析：用代入法，设P (x 1，y 1)，中点(x ，y )，则x 1＝x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程即得． 答案：B4解析：设圆心(x ，y )(x ≠0)，则x －22＋y 2＝2＋|x |，化简得y 2＝4x ＋4|x |，当x ＞0时，y 2＝8x ；当x ＜0时，y ＝0.答案：B5解析：由双曲线关于x 轴对称，可知BC ⊥x 轴． 设△ABC 边长为a ，则B 点坐标(32a －1，a2)， 代入双曲线方程，得(3a 2－1)2－a 24＝1，得a ＝23或a ＝0(舍去)．所以S △ABC ＝34(23)2＝3 3. 答案：C6解析：由题意，b ＝2，a ＝22，c ＝23，由|AB |是|AF 1|、|AF 2|的等差中项及双曲线的定义得|BF 1|＝a . 答案：C 7解析：方程Ax 2－By 2＝AB可变为x 2B －y 2A＝1，令x ＝0，直线可变为y ＝A .结合A 、B 、C 选项可知A ＜0，故不选C.令y ＝0，直线可变为x ＝－A B ，由选项A 可知－A B ＜0，则AB ＞0，与A 图矛盾．对于D ，A ＞0，x 2B －y 2A ＝1表示焦点在x 轴的双曲线，故与D 矛盾．所以选B项．答案：B8解析：由|BF |＝2小于点M 到准线的距离(3＋12)知点B 在A 、C 之间，由抛物线的定义知点B 的横坐标为32，代入得y 2＝3，则B (32，－3)〔另一种可能是(32，3)〕，那么此时直线AC 的方程为y －0－3－0＝x －332－3，即y ＝2x －32－3，把y ＝2x －32－3代入y 2＝2x ，可得2x 2－7x ＋6＝0，可得x ＝2，则有y ＝2，即A (2,2)，那么S △BCF ∶S △ACF ＝BC ∶AC ＝(32＋12)∶(2＋12)＝4∶5. 答案：A9解析：设抛物线焦点为F ，连结AF ，AF 与抛物线的交点P 为所求P 点，此时|P A |＋|PM |＝|P A |＋|PF |－12≥|AF |－12＝92.答案：C10解析：由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2.∴点P 到实轴的距离为|PF 1||PF 2||F 1F 2|＝b 2c.答案：A 11答案：2212解析：e 1＝5－12＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2，b 2a 2＝5－12，双曲线的离心率e 2＝a 2＋b 2b 2＝a 2b 2＋1＝25－1＋1＝5＋12＋1＝6＋254＝5＋12. 答案：5＋1213解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 24＋y 23＝1可得7x 2＋8x －8＝0， 所以x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87.由弦长公式可得 |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋12·－872－4×－87＝247. 答案：24714解析：因为B (0,1)，设过点B 的直线l ：y ＝kx ＋1，与x 24－y 2＝1联立，消去y 得(14－k 2)x 2－2kx －2＝0.当14－k 2＝0，即k ＝±12，有一个交点； 当14－k 2≠0时，若有两个不同的交点，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋814－k 2＞0，2k 2－14＞0，2k 14－k2＜0，得12＜k ＜22. 综上所述得k 的取值范围为12＜k ＜22.答案：(12，22)15解析：①中斜率不一定存在；②点(x 0，y 0)不一定在圆上；③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段．答案：④16分析：应用直接法求点P 的轨迹方程即可．解：作PQ ⊥l ，垂足为Q ，则P 点的轨迹就是集合{P ||P A |＋|PQ |＝6}， 即x －22＋y 2＋|x －4|＝6.当x ≥4时，方程为y 2＝－16(x －6)(x ≤6)； 当x ＜4时，方程为y 2＝8x (x ≥0)． 故P 点的轨迹为两条抛物线弧y 2＝8x (0≤x ＜4)和y 2＝－16(x －6)(4≤x ≤6)．17分析：由双曲线方程可求其右顶点坐标，从而求出抛物线的焦参数p . 解：∵双曲线x 29－y 216＝1的右顶点坐标是(3,0)，∴p2＝3，且抛物线的焦点在x 轴的正半轴上． ∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y 2＝12x 和x ＝－3.18分析：应用点斜式设出l 的方程，借助于中点坐标公式及根与系数的关系求得AB 中点的轨迹方程．将x 用k 表示出来，通过k 的范围求得x 0的范围．解：(1)抛物线y 2＝4px (p ＞0)的准线为x ＝－p∴M(－p,0)．设l：y＝k(x＋p)(k≠0)，代入y2＝4px，得k2x2＋2(k2－2)px＋k2p2＝0，由Δ＝4(k2－2)2p2－4k4p2＞0得－1＜k＜1(k≠0)，设线段AB 的中点为Q (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22＝2k2－1p ，y ＝kx ＋p ＝2p k，消去k ，得y 2＝2p (x ＋p )(x ＞p )，这就是所求的轨迹方程．(2)由(1)知线段AB 的中点Q ((2k 2－1)p ，2p k )，线段AB 的垂直平分线方程为y －2p k ＝－1k [x－(2k 2－1)p ]，令y ＝0得x 0＝(2k2＋1)p ，因为0＜k 2＜1，所以x 0＞3p . 19解：(1)设点P (x ，y )，由x 24＋y 2＝1，知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由PF 1→·PF 2→＝0得所求轨迹方程为x 2＋y 2＝3. (2)当弦AB 被点P 0平分时，OP 0⊥AB ， ∵kOP 0＝－1，∴k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. (3)设双曲线C 3的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3.再由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝1. 故C 3的方程为x 23－y 2＝1.将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝62k2＋361－3k 2＝361－k 2＞0.解得k 2≠13且k 2＜1.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1·x 2＝－91－3k2.由OM →·ON →＞2， 得x 1x 2＋y 1y 2＞2，而x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，可编辑修改精品文档 解此不等式，得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，且k ≠13，故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． .。

高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是 （ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 2．（汇编年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B ．22C ．2D ．23．2 ．（汇编年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率为52,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±4．(汇编全国2理)设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(22)，B ．(25)，C ．(25)，D ．(25)，5．（汇编浙江文数）（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣=7a ,则该双曲线的渐近线方程为（ ）（A ）x ±3y=0 （B ）3x ±y=0（C ）x ±2y =0 （D ）2x ±y=06．（汇编全国2文）12．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ ） A ．10B ．210C ．5D ．257．（汇编全国文9）中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ）A ．3422y x +＝1 B ．4322y x +＝1C ．42x ＋y 2＝1 D ．x 2＋42y ＝18．（汇编全国3理7）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A. 5B. 5C.52D.549．（汇编福建理）设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于（ ）．A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或3210．若过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点，则这样的直线l 共有 条． [答]( ) A 1 B 2 C 3 D 4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率是______．12．设双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =,则此双曲线离心率的最大值为 ▲ ．13．已知抛物线)0(22>=p px y 上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a 的值为14．设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为_______.15．在平面直角坐标系xoy 中，P 是椭圆221259x y +=上的一点，F 是椭圆的左焦点，且()1,2OQ OP OF =+4OQ =,则点P 到该椭圆左准线的距离为 5216．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为14。

2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2.2 双曲线方程及性质的应用高效测评 新人教A 版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．过点(0,1)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点的直线共有( ) A ．0条 B ．2条 C ．4条D ．6条解析： 由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx ＋1代入双曲线方程得(1－k 2)x 2－2kx －2＝0当1－k 2＝0时，方程组有一解，直线与双曲线仅有一个公共点． 当1－k 2≠0，Δ＝4k 2－4(1－k 2)×(－2)＝0.即k ＝±2时，方程组有一解，直线与双曲线仅有一个公共点． 综上，有4条直线满足题意． 答案： C2．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的曲线只可能是( )解析： ax －y ＋b ＝0可化为y ＝ax ＋b ，bx 2＋ay 2＝ab 可化为x 2a ＋y 2b＝1.若ab >0，则A 中曲线错误，B 中曲线不存在． 若ab <0，则D 中曲线错误，故选C. 答案： C3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D ．x 25－y 24＝1解析： 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1，故选B.答案： B4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1 D ．x 26－y 23＝1解析： ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3ba 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.② 由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是________．解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝6，y ＝kx ＋2，x 2－(kx ＋2)2＝6，(1－k 2)x 2－4kx －10＝0有两个不同的正根．则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝40－24k 2>0，x 1＋x 2＝4k 21－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，得－153<k <－1. 答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 6．已知双曲线x 2a －y 2b＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析： 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a －y 2b＝1，x ＋y －1＝0，则(b －a )x 2＋2ax －a －ab ＝0. 所以x 1＋x 2＝－2a b －a ，x 1x 2＝－a －abb －a， y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2，根据OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即1－(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0， 因此1＋2a b －a ＋2×－a －ab b －a＝0， 化简得b －a ab ＝2，即1a －1b＝2. 答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．直线y ＝kx ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，当k 为何值时，A ，B 在双曲线的同一支上？当k 为何值时，A ，B 分别在双曲线的两支上？解析： 把y ＝kx ＋1代入3x 2－y 2＝1，整理， 得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，要使直线与双曲线有两个交点，则需满足：k ≠±3，且Δ＝24－4k 2＞0.由Δ＞0，解得－6＜k ＜6， 所以当－6＜k ＜6，且k ≠±3时，一元二次方程有两解，直线与双曲线有两个交点． 若A ，B 在双曲线的同一支上，须x 1x 2＝2k 2－3＞0， 解得k ＜－3或k ＞3；若A ，B 分别在双曲线的两支上，须x 1x 2＝2k 2－3＜0， 解得－3＜k ＜ 3.所以，当－6＜k ＜－3或3＜k ＜6时，A ，B 两点在同一支上；当－3＜k ＜3时，A ，B 两点在双曲线的两支上．8．经过点M (2,2)作直线l 交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，且M 为AB 中点．(1)求直线l 的方程； (2)求线段AB 的长．解析： (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程得x 21－y 214＝1，x 22－y 224＝1，两式相减得x 21－x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－y 224＝0，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－14(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵M 为AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4， ∴4(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴l 的方程为y －2＝4(x －2)， 即y ＝4x －6.(2)将y ＝4x －6代入到x 2－y 24＝1中得3x 2－12x ＋10＝0，故x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103，∴|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝23102.9．(10分)已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1,2)．(1)求过点P (1,2)的直线l 的斜率的取值范围，使l 与C 有两个交点． (2)若Q (1,1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在．解析： (1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1，与双曲线C 只有一个交点． 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k )x －k 2＋4k －6＝0.①(ⅰ)当2－k 2＝0，即k ＝±2时，方程①有一个根，l 与C 只有一个交点． (ⅱ)当2－k 2≠0，即k ≠±2时，Δ＝[2(k 2－2k )]2－4(2－k 2)(－k 2＋4k －6)＝16(3－2k )，当Δ>0，即k <32时，又k ≠±2，故当k <－2或－2<k <2或2<k <32时，方程①有两个不等实根，l 与C 有两个交点．(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2x 21－y 21＝2,2x 22－y 22＝2，两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2) 又∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴2(x 1－x 2)＝y 1－y 2， 即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 由(1)可知直线AB 与双曲线C 无交点， 所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在．。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程学业分层测评 新人教A 版选修2-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．x 2＝－2y【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B.【答案】 B2．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x【解析】 因为双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x .【答案】 A3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2D ．2 3【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由b a＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】 由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C. 【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】 抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】 化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上，∴准线方程为y ＝－18.【答案】 y ＝－18三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1. 两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0），即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二 由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2D.322＋1 【解析】 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A. 【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cos θ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C.【答案】 C3．如图2­4­1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2­4­1【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)． 则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m.【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】 (1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ，得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23， 因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89，于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.。

2.1 曲线与方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4,0)和(－1,0) B ．(4,0)和(－2,0) C ．(4,0)和(1,0)D ．(4,0)和(2,0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)． 【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＋y ＝4B ．2x ＋y ＝4C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )【导学号：15460023】A ．一个点与一条直线B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆 【解析】 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C.【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________． 【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线8．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．【解析】 由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2­1­1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2­1­1【解】 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 连接PO 1，O 1M ，PO 2，O 2N . 由已知|PM |＝2|PN |，得 |PM |2＝2|PN |2，又在Rt △PO 1M 中，|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2， 在Rt △PO 2N 中，|PN |2＝|PO 2|2－|NO 2|2， 即得|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 化简得(x －6)2＋y 2＝33.因此所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.10．△ABC 的三边长分别为|AC |＝3，|BC |＝4，|AB |＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．【解】因为|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，所以∠ACB ＝90°.以C 为原点O ，CB ，CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC |＝3，|BC |＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )， 由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|PA |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22， 当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0)B ．y ＝－43x (0≤x ≤4)C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4)D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】 注意到|AB |＝5，则满足到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．已知动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )【导学号：15460024】A ．y 2＝4x B ．y 2＝－12(x －4)C ．y 2＝4x (x ≥3)或y 2＝－12(x －4)(x <3) D ．y 2＝4x (x ≤3)或y 2＝－12(x －4)(x >3) 【解析】 设P (x ，y )，由题意得x －2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】 设动点P (x ，y )， 依题意|PA |＝2|PB |， ∴x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4， 方程表示半径为2的圆， 因此图形的面积S ＝π·22＝4π. 【答案】 4π4．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)， ∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB ＝－1， 而k PA ＝4－02－2x ＝21－x(x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y1， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |. 而|PM |＝x －2＋y －2，|AB |＝x2＋y 2，∴2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。

第二章 圆锥曲线与方程(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2013·西安高二检测)双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．2 6 C ．2 3D ．4 3【解析】 方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，∴a 2＝3，b 2＝9.∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 【答案】 D2．(2013·荆州高二检测)对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为(0，116)C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为(0，116)【解析】 抛物线可化为x 2＝14y ，故开口向上，焦点为(0，116)．【答案】 B3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2n ＝1的离心率为12，则n ＝( )A. 3B.32C.23D.83【解析】 依题意，a ＝2，b ＝n ， ∴c 2＝a 2－b 2＝2－n ， 又e ＝12，∴c 2a 2＝2－n 2＝14，∴n ＝32. 【答案】 B4．(2013·石家庄高二检测)设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a ＞0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．椭圆或线段D ．不存在【解析】 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6，故当|PF 1|＋|PF 2|＝6时，动点P 表示线段F 1F 2，当|PF 1|＋|PF 2|＞6时，动点P 表示以F 1、F 2为焦点的椭圆．【答案】 C5．(2013·长沙高二检测)已知抛物线C 1：y ＝2x 2的图象与抛物线C 2的图象关于直线y ＝－x 对称，则抛物线C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18B ．x ＝12C ．x ＝18D ．x ＝－12【解析】 抛物线C 1：y ＝2x 2关于直线y ＝－x 对称的C 2的表达式为－x ＝2(－y )2，即y 2＝－12x ，其准线方程为x ＝18.【答案】 C6．已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32D.1＋52【解析】 ∵FB →·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2得，e 2－1－e ＝0，∴e ＝1＋52.【答案】 D7．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋2y 2＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0，因为直线与椭圆有公共点，故Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，∴k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C8．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【解析】 如图S △F 1AB ＝12|OF 1|·|y A －y B |≤12c ·2b＝12×3×2×4＝12. 【答案】 B9．(2013·临沂高二检测)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8【解析】 设椭圆上任意一点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－34x 20，O (0,0)，F (－1,0)，则OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵|x 0|≤2，∴当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6. 【答案】 C10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与双曲线交于M ，N 两点，且MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程为( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 【解析】 由c ＝7，得a 2＋b 2＝7. ∵焦点为F (7，0)，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1， ①并设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)． 将y ＝x －1代入①并整理得 (7－2a 2)x 2＋2a 2x －a 2(8－a 2)＝0， ∴x 1＋x 2＝－2a27－2a2，由已知得－2a 27－2a 2＝－43，解得a 2＝2，得双曲线方程为x 22－y 25＝1.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)11．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝xy 1＝2y ，将x 1，y 1代入到x 21＋y 21＝1，有x2＋4y 2＝1.【答案】 x 2＋4y 2＝112．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点F 1，F 2，过点F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为P ，则|PF 2|＝________.【解析】 不妨设F 1(－3，0)，则|PF 1|＝|y P |＝12.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 2|＝4－12＝72.【答案】 7213．(2013·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．【解析】 设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≥0，a 2－a ≥0，1－2a 2－4a 2－a ＞0，解得a ≥1.【答案】 [1，＋∞)14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x 23＋y 22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线方程是x ＝－18；④双曲线y 249－x 225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中不正确的是________．(填序号)【解析】 ①表示的图形是一个点(1,0)，②e ＝33，④渐近线方程为y ＝±75x ，③正确． 【答案】 ①②④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆C 的方程．【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意， 得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝ 2. 从而b 2＝a 2－c 2＝1.因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.16．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．【解】 (1)|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，①由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.②由①②得c ＝6，∴b ＝8.17．(本小题满分12分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解】 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝32x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t x 216＋y 212＝1得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0，因为直线l 与椭圆有公共点，所以有Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤43，另一方面，由直线OA 与l 的距离为4可得：|t |94＋1＝4，从而t ＝±213， 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．18．(本小题满分14分)(2012·江西高考)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )，满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．【解】 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )， MB →＝(2－x,1－y )，得|MA →＋MB →|＝－2x2＋2－2y2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y .由已知得－2x2＋2－2y2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .(2)直线PA ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，且与y 轴的交点为F (0，－x 204)， 分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204，故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12×(1－x 204)×2＝4－x 204，而S △QAB ＝12×4×(1－x 204)＝4－x 22.则S △QABS △PDE＝2，即△QAB 与△PDE 的面积之比为2.。

高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编年高考山东卷（文））抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．163 B ．83 C ．332 D ．334 2．(汇编全国2文)（9）已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )（A ）53 （B ）43 （C ）54 （D ）323．1 ．（汇编大纲理）已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点,点P 在C上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= （ ）A ．14B ．35 C ．34D ．45答案C 【解析】4．(汇编辽宁文)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的（ ） Ａ．离心率相等 Ｂ．焦距相等 Ｃ．焦点相同 Ｄ．准线相同5．(汇编全国I 理（汇编）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为（ ）A ．32B ．62C ．3D ．66．（汇编江苏卷）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) ( A )1617 ( B ) 1615 ( C ) 87 ( D ) 0 7．（汇编山东理）13.已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( ) (A) ①③ (B) ②④ (C) ①②③ (D) ②③8．（汇编年高考上海）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在9．(汇编湖北理)已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ） A ．59 B ．3 C ．779 D ．4910．已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A ．x ＝±y 215B ．y ＝±x 215 C ．x ＝±y 43D ．y ＝±x 43（汇编北京文，10）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．若17222=-y x ，点),(y x P 到点)0,3(-的距离为23，则点P 到点)0,3(的距离为12． 双曲线08222=+-y x 的焦点坐标为13．若关于y x ,的方程11122=--+k y k x 表示的曲线为焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为 ▲14．已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点。

第三章 圆锥曲线方程本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．4【答案】C【解析】：抛物线21:4E y x =，即24x y =，则24p =，所以2p =， 所以抛物线的焦点到其准线的距离为2p =.故选：C2．已知椭圆C ：2212516x y +=的左右焦点分别为F 1、F 2，过左焦点F 1，作直线交椭圆C 于A 、B 两点，则三角形ABF 2的周长为（ ） A ．10 B ．15C ．20D ．25【答案】C【解析】由题意椭圆的长轴为210a =，由椭圆定义知11222,2AF F B a AF BF a +=+= ∴2221122420ABF l AB AF BF AF F B AF BF a =++=+++==故选：C 3．以下几个命题中，其中真命题的序号为（ ）∴过点(0,1)P 且与抛物线24y x =有一个公共点的直线有且只有两条； ∴双曲线22:14x C y -=的渐近线方程为12y x =±；∴在平面内，到定点(2,1)的距离与到定直线34100x y +-=的距离相等的点的轨迹是抛物线； ∴双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点．A ．∴∴B ．∴∴C ．∴∴D ．∴∴【答案】D【解析】解：对∴：过点(0,1)P 且与抛物线24y x =有一个公共点的直线共有3条，其中有两条直线与抛物线相切，有一条与对称轴平行，故命题∴是假命题；对∴：双曲线22:14x C y -=的渐近线方程为12a y x xb =±=±，故命题∴是真命题； 对∴：因为在平面内，点(2,1)在直线34100x y +-=上，所以到定点(2,1)的距离与到定直线34100x y +-=的距离相等的点的轨迹过定点(2,1)垂直于直线34100x y +-=的直线，不是抛物线，故命题∴是假命题；对∴：因为双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=的焦点都是()，所以有共同的焦点，故命题∴是真命题；故选：D.4．已知点F 为抛物线212x y =的焦点，A 为抛物线的准线与y 轴的交点，点B 为抛物线上一动点，当AB FB取得最大值时，点B 恰好在以A ，F 为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A1 B1 CD【答案】A【解析】设点(),B x y ，()0,3-A ，()0,3F ,其中212x y =AB FB==当0y =时，1AB FB=；当0y >时，AB FB=因为0y >，96612y y ++≥=，当9y y =，即3y =时，等号成立，当9612y y ++=时，AB FB3y =；根据椭圆的定义可知2a)61==，即)31a =，椭圆的离心率1ce a === 故选：A.5．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点M 是C上点（不在坐标轴上），点N 是2OF 的中点，若MN 平分12F MF ∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为O 是12F F 的中点，N 是2OF 的中点，所以123NF NF =， 因为MN 平分12F MF ∠，所以12MF MF =123NF NF =，因为122MF MF a +=，所以132aMF =，22a MF =，由32a a c a c -<<+（或2a a c a c -<<+），得椭圆C 的离心率12c e a =>，又1e <，所以椭圆C 的离心率的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ．6．已知方程22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，则E 表示的曲线形状是（ ） A ．若13m <<，则E 表示椭圆 B ．若E 表示双曲线，则1m <或3m > C ．若E 表示双曲线，则焦距是定值 D ．若E，则53m =【答案】B【解析】由题意得，当13m <<时，22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，即22131x ym m +=--，要表示椭圆，需满足301031m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13m <<且2m ≠， 故A 错误；若E 表示双曲线，则(1)(3)m m --不能为0，故22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--化为22131x y m m +=--， 则(1)(3)0m m --<，即1m <或3m >，故B 正确；由B 的分析知，1m <时，23142c m m m =-+-=- ，此时c 不确定，故焦距不是定值，C 错误； 若EA 的分析知，13m <<且2m ≠， 当31m m ->-时，12m <<，此时2223,1,42a m b m c m =-=-=- ， 则42132m m -=-，解得53m = ， 当31m m -<-时，23m <<，此时2221,3,24a m b m c m =-=-=- ，则24112m m -=-，解得73m = ，故D 错误，故选：B 7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“222+=勾股弦”.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，直线y =交双曲线左、右两支于,A B 两点，若12,AF AF 恰好是12R t F AF 的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ） A1 BC ．2D1【答案】A 【解析】如图所示由题意可知，根据双曲线的定义知，O 是12F F的中点且122F F c =.在12R t F AF 中，O 是12F F 的中点， 所以OA OF OF c ===12，因为直线y =的斜率为k =2120AOF ∠=︒， 所以118012060AOF ∠=︒-︒=︒. 所以1F AO 是等边三角形，AF c =1. 在12R t F AF 中，AF ==2.由双曲线的定义，得 )AF AF c c a -=-==2112，所以双曲线的离心率为e ca====1.故选：A. 8．已知点P 是椭圆24x +2y =1上的动点（点P 不在坐标轴上），12F F 、为椭圆的左，右焦点，O 为坐标原点；若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M 丄MP ，则丨OM 丨的取值范围为（ ） A ．（0 B ．（0，2） C ．（l ，2）D ．2）【答案】A【解析】如下图，延长2PF 、1F M 相交于点N ，连接OM ，因为1F M MP ⊥，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，所以，1PN PF =，则点M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点，所以，2212111222OM F N PN PF PF PF ==-=-，设点00(,)P x y ，由已知可得2a =，1b =，c则022x -<<且00x ≠，且有2200114y x =-，10022PF x =+=+，故21042PF PF =-=，所以，(12012OM PF PF =-=∈.故选：A. 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知椭圆22:162x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，椭圆的上顶点和右顶点分别为A ，B ．若P ，Q 两点都在椭圆C 上，且P ，Q 关于坐标原点对称，则（ ）A ．|PQ |B ．11||||PF QF +为定值C ．椭圆上不存在点M ，使得12MF MF ⊥D ．若点P 在第一象限，则四边形APBQ 面积的最大值为【答案】BD 【解析】如图所示：A. |PQ|的最大值为长轴长26，故错误；B. 易知12PFQF是平行四边形，则21PF QF=，因为12PF PF+=11PF QF+=故正确；C.因为1tan1cF AOb∠==>，所以142F AOππ<∠<，则122F AFππ<∠<，故椭圆上存在点M，使得12MF MF⊥，故错误；D.直线AB所在直线方程为：y x=，即0x，设)Pθθ，则点P到直线AB的距离为d=)max12d=，同理点Q到直线AB的最大值为)max12d'=，所以四边形APBQ面积的最大值为()max max max1122S AB d d'=⋅+=⋅=.故选：BD10．已知椭圆22143x y+=的左､右焦点分别为1F，2F，过点1F的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（）A．2ABF的周长为8B．椭圆的长轴长为2C．22AF BF+的最大值为5D．2ABF面积最大值为3【答案】ACD【解析】解：由题可知，在椭圆22143x y+=中，2,1a b c===，2ABF的周长为221148AF AF BF BF a+++==,故A项正确；椭圆的长轴长为24a=，故B项错误；因为228AF BF AB+=-，当且仅当12AB F F⊥时，AB最小，代入1x=-，解得32y=±，故3AB=，所以22AF BF+的最大值为5，故C项正确；根据椭圆的性质可得，当且仅当12AB F F⊥时，2ABF面积最大，故12132S AB F F=⋅=,故D项正确.故选：ACD.11．已知椭圆M：2212520x y +=的左右焦点分别为12F F 、，左右顶点分别为12A A 、，P 是椭圆上异于12A A 、的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．12PF F △周长为10 B ．12PF F △面积最大值为10 C ．存在点P 满足：1290F PF ︒∠=D ．若12PF F △面积为P 横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,25,5a b c ===，1(5,0)F -，2(5,0)F ，短轴一个端点2(0,25)B ，由题知12210PF PF a +==，故12PF F △周长为10+A 错误； 利用椭圆的性质可知12PF F △面积最大值为1102⨯=，故B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，故C 错误； 因为121212PF F P P S F F y y ===△4P y =， 则21612520P x +=，P x =D 正确．故选：BD ． 12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为1A 、2A ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的一点，则（ ）A ．若双曲线C 为等轴双曲线，则直线1PA 的斜率与直线2PA 的斜率之积为1B ．若双曲线C 为等轴双曲线，且12123A PA PA A ∠=∠，则12π10PA A ∠=C ．若P 为焦点1F 关于双曲线C 的渐近线的对称点，则CD ．延长2PF 交双曲线右支于点Q ，设12PF F △与12QF F 的内切圆半径分别为1r 、2r ，则()212r r c a ⋅=-【答案】ABD【解析】由题意知，()()()()1212,0,,0,,0,,0A a A a F c F c --，设(),P m n ，对于A ，若双曲线C 为等轴双曲线，则222:C x y a -=， 则222m n a -=，又12,PA PA n n k k m a m a ==+-，则122221PA PA n n n k k m a m a m a ⋅=⋅==+--，A 正确；对于B ，设12PA A θ∠=，则1223,4A PA PA x θθ∠=∠=，由A 选项知121PA PA k k ⋅=，即tan tan 41θθ⋅=，又()40,θπ∈，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故42πθθ+=，解得10πθ=，即12π10PA A ∠=，B 正确；对于C ，易得双曲线的渐近线方程为by x a=-，若P 为焦点1F 关于双曲线C 的渐近线的对称点，则有122n b m c a n b m c a ⎧⎛⎫⋅-=- ⎪⎪⎪+⎝⎭⎨-⎪=-⋅⎪⎩，解得222b a m c abn c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2222:10,0x y C a b a b -=>>可得42242223b a b a a c --=，即4224430a a b b +-=，解得224a b =，则C C 错误；对于D ，设12PF F △的内切圆与1212,,PF PF F F 分别切于1,,S D T 三点，由切线长定理知111221,,PS PD FS FT F T F D ===，则12121FT F T FS F D -=-()1211122F S PS F D PD PF PF a =+-+=-=，又122FT F T c +=，可得2F T c a =-， 则(),0T a 和2A 重合，即12PF F △的内切圆圆心1C 的横坐标为a ，同理可得12QF F 的内切圆圆心2C 横坐标也为a ，则12C C x ⊥轴，且1212C C r r =+，作22C D PQ ⊥于2D ，则2D 即为切点，作211C G C D ⊥于G ，则222C D r =，111112C G C D GD r r =-=-，()2212212222C G D D D F D F TF c a ==+==-，在12C C G 中，可得2221212C C C G C G =+，即()()()22212122r r r r c a ⎡⎤+=-+-⎣⎦，整理得()212r r c a ⋅=-，D 正确.故选：ABD.三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若225AF F B =，则双曲线C 的离心率e 为______．【解析】由题意，双曲线C 的渐近线为by x a=±，若过2F 的直线l 与直线b y x a =-垂直，垂足为A ，直线l 与直线by x a=交于B ，()2,0F c ， 因为225AF F B =，所以2F 在A ，B 之间，如图所示，直线l 的方程为()ay x c b=-， 由()a y x c b b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由()ay x c bb y x a⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22222,a c abc B a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由225AF F B =，可得22225abc abc a b a b -=+-，所以222251a b a b =+-，所以2223b a =，所以双曲线C 的离心率e ==．同理，过2F 的直线l 与直线b y x a =垂直时，双曲线C 的离心率e =综上所述，双曲线C 的离心率e 14．已知1F ，2F 是双曲线C ：()2210,0436x ya b -=>>的左、右焦点，M ，N 是C 上关于原点对称的两点，且12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是______． 【答案】72【解析】由()2210,0436x y a b -=>>可知224,40a c == ， 因为M ，N 是C 上关于原点对称的两点，且12MN F F =，所以四边形12MF NF 为矩形，设1MF m =，2MF n =，由双曲线的定义可得12||24MF MF m n a -=-==，所以22m n +-216mn =，又因为222212124160MF MF F F c +===， 所以22160m n +=，所以72mn =，所以四边形12MF NF 的面积1272S MF MF mn ===, 故答案为：7215．设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B两点，则22AF BF +的最小值为______．【答案】22【解析】根据双曲线2211612x y -=，得4a =，b =由双曲线的定义可得：2128AF AF a ==－ ∴， 2128BF BF a ==－ ∴，∴+∴可得：()221116AF BF AF BF ++=－，由于过双曲线的左焦点1F 的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，可得11AF BF AB +=，即有()22112216AF BF AF BF AF BF AB ++=+=－－． 则2216BF AF AB +=+，当AB 是双曲线的通径时AB 最小， 故22222121616224b BF AF a ⨯+≥+=+=.故答案为：2216．已知双曲线)(2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右焦点2F 到一条渐，则其离心率的值是______；若点P 是双曲线C 上一点，满足1212PF PF =，128PF PF +=，则双曲线C 的方程为______．【答案】 32##1.522145x y -= 【解析】双曲线的渐近线方程为by x a =±，即0ay bx ±=，焦点到渐近线的距离d 为bcd b c =====，又222+=a b c ，2222225944a a a a c ⎫+=+==⎪⎪⎝⎭， 22294c e a ∴==，1()e ∈+∞,，∴32e =.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为2a ，即122PF PF a -=， ∴()()2111222224841216PF PF PFPF PF PF -=-⨯-=+=，即22(2)416a a ==，解得：24a =，由22294c e a ==，解得：29c ∴=,25b =.∴双曲线C 的方程为22145x y -=.故答案为：32；22145x y -=.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为12F F ，，线段12OF OF ，的中点分别为12B B ，，且12AB B 是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过1B 作直线交椭圆于P Q ，两点，使22PB QB ⊥，求2PB Q 的面积．【答案】(1)22215204x y +=，【解析】（1）设椭圆的方程为()222221(0)0x y a b F c a b+=>>，，，12AB B 是的直角三角形，12AB AB =，12B AB ∴∠为直角，从而2OA OB =，即2cb =，222222254c a b a b c b =∴==－，，，c e a ∴==12AB B 中，21212122c OA B B S B B OA b b ⊥∴==⋅=，，22244520S b a b =∴=∴==，， ，∴椭圆标准方程为221204x y +=； （2）由（1）知()()122020B B －，，，，由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为2x my =－，代入椭圆方程，消元可得()2254160m y my +=－－∴，设()()1122P x y Q x y ，，，，12122241655m y y y y m m -∴+==++， ，()()21122222B P x y B Q x y =-=-，，， ，()()222121221664225m B P B Q x x y y m -∴⋅=--+=-+ ，22220PB QB B P B Q ⊥∴⋅=， ，221664025m m m -∴-=∴=±+， ，当2m =±时，∴可化为298160y y ±=－，12y y ∴==－，2PB Q ∴的面积121211422S B B y y ==⨯=－18（12分）已知P 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，12PF PF +=(1)求椭圆的标准方程；(2)过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，求1AF C △面积的最大值 【答案】(1)22184x y +=【解析】(1)由P 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F ，2F分别是椭圆的左、右焦点，12PF PF +=2a =，所以a =又c e a ==，则2c a ==，所以，2224b a c =-=， 故椭圆的标准方程为22184x y +=；(2)由题意可知过1F 的直线l 斜率存在且0k ≠，可设其方程为()()20y k x k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,C x y -，由()222184y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128880k x k x k +++-=，则212221228128812k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以11212221122222AF CABCBF CSSSy x x y x =-=---- ()()21222122y x x x y x =----=+()()2122k x x =++()()2221212288812122424k x x x x k k k k k ⎛⎫⎛⎫=+++=+--++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+2444111222k k k k k k--===≤=+++当且仅当k =时，等号成立. 所以，1AF C △.19 （12分） 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A，且2FA =，F 到C 的渐近线的距离为1，过点()4,0B 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点. (1)求双曲线C 的标准方程.(2)若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2214x y -= (2)是定值，148-【解析】（1）由题意得2FA a c =+=(c,0)F ，渐近线方程为by x a=±，则(c,0)F 到1bcb c===，又因为222c a b =+，所以2a =，1b =，c =双曲线C 的标准方程为2214x y -=.（2）设直线l ：4x my =+，22m -<<，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程组224,1,4x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2248120my my -++=，所以12284my y m +=--，122124y y m =-.因为直线AP 的方程为()1122y y x x =++，所以M 的坐标为1120,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理可得N 的坐标为2220,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.因为()1111122422y x y k x +==--+，()2222222422y x y k x +==--+，所以()()()()()121212122121212124224664636y y y y y y k k x x my my m y y m y y ===++++⎡⎤+++⎣⎦222222221231412483614448124843644m m m m m m m m -===--+-⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭，即12k k 为定值148-. 20．（12分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与抛物线()2:20E y px p =>有共同的焦点F ，双曲线C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且5AF BF OF +=（O 为坐标原点）．(1)求双曲线C 的离心率．(2)过F 的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M ，N 两点，MN 的垂直平分线交x 轴于P ，证明：PF MN =． 【答案】(1)2(2)证明见解析【解析】(1)：根据题意， A ，B 关于x 轴对称，5AF BF OF += 所以54AF BF p ==． 设A 的横坐标为A x ，则2A pAF x =+，所以34A x p =，所以3,4A p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以，由双曲线的定义知22p a =，解得4p a =．因为2p c =，所以双曲线C 的离心率2ce a==． (2)证明：由（1）知222224c a b a a+==，223b a =，()2,0F a ， 所以双曲线C 的方程为22233x y a -=． 设直线MN 的方程为()20x ky a k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，00(,)P x y ，联立方程组222332x y a x ky a ⎧-=⎨=+⎩，得()222311290k y aky a -++=，则1221213ak y y k +=-，2122931a y y k =-．因为()121224413a x x k y y a k +=++=-，()()()2212122342213a k x x ky a ky a k+⋅=++=-， 因为过F 的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M ，N 两点，所以1212Δ000x x x x >⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得k ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭所以MN 的中点坐标为2226,1313a ak k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭． 因为MN 的垂直平分线的方程为22621313ak a y k x k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭， 所以P 的坐标为28,013a k ⎛⎫⎪-⎝⎭，所以()22261821313a k aPF a k k+=-=--． 因为()226113a k MN k +-， 所以PF MN =．21．（12分）如图，点A 是抛物线24y x =上的动点，过点()2,1M 的直线AM 与抛物线交于另一点B .(1)若M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；(2)已知点()4,0P ，求四边形AOBP 面积的最小值. 【答案】(1)23y x =-(2)【解析】(1)设直线AB 的方程：x my n =+ 由M 在直线AB 上，则有：2m n +=设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2,1M 是AB 的中点可得：12212y y +=⨯=联立24y xx my n ⎧=⎨=+⎩整理可得：2440y my n --= 根据韦达定理可得：1242y y m +== 解得：12m =根据2m n +=可得：32n =则直线的方程为：23y x =- (2)设直线AB 的方程：x my n =+ 因为M 在直线AB 上，则有：2m n +=设()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y xx my n ⎧=⎨=+⎩ 整理可得：2440y my n --=根据韦达定理可得：12124448y y my y n m +=⎧⎨=-=-⎩()()()2212121222+1616432162m m y y y y y m y m -=-+=-=+-当12m =时，m 1in 2|=|y y -则四边形AOBP面积的最小值为：12min 11422OAPB S OP y y =⋅-=⨯⨯=22．（12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点()0,4P x 是抛物线C 上一点，6PF =． (1)求抛物线C 的方程；(2)过()0,4Q 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求证：2211||||AQ BQ +为定值． 【答案】(1)28x y =(2)证明见解析【解析】(1)：因为点()0,4P x 在抛物线2:2C x py =上，且6PF =， 由抛物线的定义可得462pPF =+=，解得4p =， 所以抛物线的方程为28x y =.(2)：设直线l 的斜率为k ，可得直线l 的方程为4y kx =+，联立方程组248y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得28320x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得2(8)4(32)0k ∆=-⨯->且12128,32x x k x x +==-，由222222222211221122111111||||(4)(4)(44)(44)AQ BQ x y x y x kx x kx +=+=++-+-++-++- 22212121222222222121212()21111(1)(1)1()1()x x x x x x k x k x k x x k x x ++-=+=⋅=⋅++++222221(8)2(32)1111(32)11616k k k k -⨯-+=⋅=⋅=+-+.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程期末复习检测题解析几何初步新人教A 版选修11 《解析几何初步》一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是 （ ）.A 相离.B 相交 .C 外切 .D 内切2 ．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 （ ）A ．1B ．13-C ．23- D ．2-3．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为 （ ）Ａ．4± Ｂ．± Ｃ．2± Ｄ． 4．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支5．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．[33-D ．(,)33-6．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．1D ． 7．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为（ ）A ．1B ．5C ．D ．3+8．已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （ ） A ． 2- B ．1- C ．1D ．49．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（ ）A ．35r <<B ．46r <<C ．4r >D ．5r >10. “m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) A .充分必要条件 B .充分而不必要条件 C .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11．已知直线1:sin 10l x y θ+-=，2:2sin 10l x y θ++=，若12//l l ，则θ= ．12．若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值范围是 ．14．已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：（A ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（C ）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切; （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切.其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分12分）已知一条直线经过两条直线0432:1=--y x l 和0113:2=-+y x l 的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程16．（本小题满分14分）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为5，求该圆的方程．17.（本小题满分14分）设M 是圆22680x y x y +--=上的动点，O 是原点，N 是射线OM 上的点，若150||||=⋅ON OM ，求点N 的轨迹方程。

2021-2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程阶段通关训练含解析新人教A版一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知抛物线y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为( )A.(1,0)B.C. D.(0,1)【解析】选C.因为过(1,4),所以a=2,标准方程为x2=y,焦点坐标为.2.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,则|PF1|·|PF2|有( )A.最大值16B.最小值16C.最大值4D.最小值4【解析】选A.由椭圆的定义知a=4,|PF1|+|PF2|=2a=2×4=8.由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,所以|PF1|·|PF2|有最大值16.3.(xx·郑州高二检测)如果点P(2,y0)在以点F为焦点的抛物线y2=4x上,则|PF|= ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 C.根据抛物线的定义,点P到点F的距离等于点P到其准线x=-1的距离d=|2-(-1)|=3.【补偿训练】若动圆圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( )A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)【解析】选B.由抛物线y2=8x,得到准线方程x+2=0,焦点坐标为(2,0),因为动圆圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,所以动圆必经过点(2,0).4.过双曲线x2-y2=8的右焦点F2有一条弦PQ,|PQ|=7,F1是左焦点,那么△F1PQ的周长为( )A.28B.14-8C.14+8D.8【解析】选C.△F1PQ的周长为|QF1|+|PF1|+|PQ|,因为|PF1|-|PF2|=2a=4,|QF1|-|QF2|=2a=4,所以△F1PQ的周长为4+4+2×7=14+8.5.(xx·襄阳高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-3)2+y2=9相交于A,B 两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为( )A.8B.2C.3D.【解析】选C.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,因为圆心为(3,0),半径为3,由|AB|=2,可知圆心到直线AB的距离为2,于是=2,解得b2=8a2,于是c==3a,所以e==3.【补偿训练】1.(xx·龙岩高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线的离心率为( )A. B.2 C. D.3【解析】选B.易知双曲线的渐近线方程为y=±x,因为渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,所以=1,整理得:=3.所以双曲线的离心率为e===2.2.(xx·西安高二检测)已知椭圆x2+ky2=3k(k>0)的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该椭圆的离心率是.【解析】由题知抛物线的焦点为F(3,0),椭圆的方程为+=1,所以3k-3=9,所以k=4,所以离心率e==.答案:【方法技巧】离心率求解策略(1)利用圆锥曲线方程:设法求出圆锥曲线的方程,再依方程求出a,b,c,进而求出离心率.(2)借助题目中的等量关系:充分利用已知条件中等量关系求出a,b,c的等量关系,再对其等量关系进行变形,从而求出a,c的关系.(3)巧用圆锥曲线中的线段关系:圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边形等平面图形,掌握各平面图形自身特点,能快速找到对应的等量关系,如直径所对角为直角.6.设P,Q分别为圆x2+=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A.5B.+C.7+D.6【解析】选D.圆心M(0,6),设椭圆上的点为Q(x,y),则===,当y=-∈[-1,1]时,=5.所以=5+=6.二、填空题(每小题5分,共20分)7.椭圆的两个焦点为F1,F2,短轴的一个端点为A,且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为.【解析】由已知得∠AF1F2=30°,故cos30°=,从而e=.答案:8.已知双曲线-=1的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且=c,则双曲线的渐近线方程为.【解析】由题意知==b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,即,代入双曲线方程为-=1,得=2,所以==1,所以渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【补偿训练】若双曲线的渐近线方程为y=±x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的标准方程是.【解析】由双曲线的渐近线方程为y=±x,知=,它的一个焦点是(,0),知a2+b2=10,因此a=3,b=1,故双曲线的方程是-y2=1.答案:-y2=19.(xx·池州高二检测)以下三个关于圆锥曲线的命题中:①双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点;②在平面内,设A,B为两个定点,P为动点,且|PA|+|PB|=k,其中常数k为正实数,则动点P 的轨迹为椭圆;③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.其中真命题的序号为.【解析】①正确,双曲线-=1与椭圆有相同的焦点(±5,0);②不正确,根据椭圆的定义,当k>|AB|时是椭圆;③正确,方程2x2-5x+2=0的两根为或2,可分别作为椭圆和双曲线的离心率.答案:①③10.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则值为.【解析】联立椭圆方程与直线方程,得ax2+b(1-x)2=1,即(a+b)x2-2bx+b-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,则y1+y2=1-x1+1-x2=2-=,所以AB中点的坐标为,AB中点与原点连线的斜率k===.答案:三、解答题(共4小题,共50分)11.(12分)(xx·长沙高二检测)已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4,-4).(1)求抛物线的方程.(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A,B,若|AB|=8,求直线l的方程. 【解析】(1)由已知可设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),而点M(4,-4)在抛物线上,则(-4)2=8p,所以p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),若直线l垂直于x轴,则A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,与题设不符;若直线l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=k(x-1),再设A(x1,y1),B(x2,y2),由⇒k2x2-2(k2+2)x+k2=0,于是则|AB|===,令=8,解得k=±1,从而,所求直线l的方程为y=±(x-1).12.(12分)直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若线段AB中点的横坐标等于2,求弦AB 的长.【解析】将y=kx-2代入y2=8x中变形整理得:k2x2-(4k+8)x+4=0,由得k>-1且k≠0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得:x1+x2==4⇒k2=k+2⇒k2-k-2=0.解得:k=2或k=-1(舍去),由弦长公式得:|AB|=·=×=2.13.(13分)(xx·福州高二检测)设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线方程.【解题指南】根据AO⊥BO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5及勾股定理求得p.【解析】因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,所以直线BO的斜率为-,即方程为y=-x,把直线y=2x代入抛物线方程解得A点坐标为,把直线y=-x代入抛物线方程解得B点坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以+p2+64p2+16p2=25×13,所以p2=4,因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.14.(13分)(xx·西安高二检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA 与l的距离等于?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解题指南】(1)将点代入易求方程.(2)假设存在,根据条件求出直线,注意验证.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.由直线OA到l的距离d=,可得=,解得t=±1.又因为-1∉,1∈,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.【补偿训练】(xx·泉州高二检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆W:+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为,过点A的直线与椭圆W 交于另一点C.(1)求椭圆W的标准方程.(2)当AC的斜率为时,求线段AC的长.(3)设D是AC的中点,且以AB为直径的圆恰过点D,求直线AC的斜率.【解析】(1)由=,设a=3k(k>0),则c=k,b2=3k2,所以椭圆W的方程为+=1,把x=k代入椭圆方程,解得y=±k,于是2k=,即k=,所以椭圆W的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知A(0,-1),直线AC的方程为y=x-1.由得2x2-3x=0,解得x=或x=0(舍),所以点C的坐标为,所以|AC|==.(3)依题意,设直线AC的方程为y=k1x-1,k1≠0.由得(3+1)x2-6k1x=0,解得x=或x=0(舍),所以点C的横坐标为,设点D的坐标为(x0,y0),则x0=,y0=k1x0-1=,因为以AB为直径的圆恰过点D,所以|OD|=1,即+=1.整理得=,所以k1=±.【能力挑战题】(xx·全国乙卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1), P3,P4中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C的方程.(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明: l过定点.【解析】(1)根据椭圆对称性,必过P3,P4,又P4横坐标为1,椭圆必不过P1,所以过P2,P3,P4三点,将P2,P3代入椭圆方程得解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为:+y2=1.(2)①当斜率不存在时,设l:x=m,A,B,+=+==-1,得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设l:y=kx+b,A,B,联立整理得x2+8kbx+4b2-4=0,x1+x2=,x1·x2=,则+=+====-1,又b≠1,⇒b=-2k-1,此时Δ=-64k,存在k使得Δ>0成立,所以直线l的方程为y=kx-2k-1,当x=2时,y=-1,所以l过定点.7%a25298 62D2 拒25575 63E7 揧$q22450 57B2 垲/ 30040 7558 畘34952 8888 袈22003 55F3 嗳40672 9EE0 黠35930 8C5A 豚。