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§6－3 误差传播定律当对某量进行了一系列的观测后，观测值的精度可用中误差来衡量。
但在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。
例如，水准测量中，在一测站上测得后、前视读数分别为a 、b ，则高差h =a -b ，这时高差h 就是直接观测值a 、b 的函数。
当a 、b 存在误差时，h 也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。
本节就以下四种常见的函数来讨论误差传播的情况。
一、倍数函数设有函数kx Z =（6-7）式中k 为常数，x 为直接观测值，其中误差为m x ，现在求观测值函数Z 的中误差m Z 。
设x 和Z 的真误差分别为Δx 和ΔZ ，由（6-7）式知它们之间的关系为ΔZ =k Δx 若对x 共观测了n 次，则ii x Z k ∆=∆ （i =1,2,…,n ）将上式两端平方后相加，并除以n ，得[][]n k n2x22Z∆=∆（6-8）按中误差定义可知[]n m 2Z2Z ∆=[]n m 2x2x∆=所以（6-8）式可写成2x 22z m k m =或x z km m =（6-9）即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数）。
【例】 用水平视距公式D =k ·l 求平距，已知观测视距间隔的中误差m l =±1cm ，k =100，则平距的中误差m D =100·m l =±1 m 。
二、和差函数设有函数y x z ±=（6-10）式中x 、y 为独立观测值，它们的中误差分别为m x 和m y ，设真误差分别为Δx 和Δy ，由（6-10）式可得yx z ∆±∆=∆若对x 、y 均观测了n 次，则 ),,2,1(n i ii i y x z =∆±∆=∆将上式两端平方后相加，并除以n 得[][][][]n2n n n yx2y2x2z∆∆±∆+∆=∆上式[]y x ∆∆中各项均为偶然误差。
测量误差的计算一、基本计算1、观测值中误差的计算设在相同条件下对某量进行了n 次观测，得一组观测值L 1、L 2、……Ln ，x 为观测值的算术平均值， i v 表示观测值改正数，即11L x v -=22L x v -=．．．．．．n n L x v -=则中误差 []1-±=n vv m2、相对中误差的计算所谓相对中误差(简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D ）之比，并将分子化为1表示：K =||/1||m D D m = 3、算术平均值及其中误差计算设对某量进行n 次等精度观测，观测值为i L (i =1、2……n )， 其算术平均值为x ： []nL n L L L x n =+++=......21 算术平均值中误差m x nm m x ±= (其中m 为观测值的中误差) 4、观测值函数中误差计算观测值的倍数函数、和差函数、线性函数的中误差计算如下表所列。
二、举例例1：对某段距离进行了六次等精度测量，观测值列于表(5-3)，试求算术平均值及其中误差、相对误差和观测值中误差。
表5-3 距离测量成果计算表(1) 计算算术平均值x[]360.3486==L x (2)计算观测值改正数i vx L v i -=1 (i =1、2……n )本例计算[v ]=0，说明检核通过。
再计算各i v 之平方，得[vv ]=238。
（注：检核：计算[v ]，看其是否为0。
如果由于凑整误差使算得的[v ]为一微小数值，也应视为计算无误。
）(3)计算观测值中误差[]1-±=n vv m =9.616238±=-±mm (4)计算算术平均值中误差n m m x ±= =8.269.6±=±mm (5)计算算术平均值的相对中误差12440010028.0/36.3481||/1===x m x K 注：因本例为距离测量，所以需进行相对误差的计算，否则，该项计算免去。
如何进行测绘数据的差值计算测绘数据的差值计算在工程测量和地理信息系统等领域中具有重要作用。
它可以帮助我们准确测量地表高程、测量物体之间的距离，并为地质勘探、城市规划等提供可靠依据。
本文将探讨如何进行测绘数据的差值计算。
一、差值计算的基础概念差值计算主要是指通过对测量数据进行处理，计算出待测点与已知点之间的差值。
一般可以分为两种情况：一是对待测点的坐标进行差值计算，用以确定其在已知点坐标基础上的位置关系；二是对待测数据的属性进行差值计算，以得到未测量点的属性值。
差值计算可以通过插值方法、拟合方法等多种方式实现。
二、插值法的应用插值法是一种常用的差值计算方法，它可以根据已知点的数值推算出未知点的数值。
在测绘中，常用的插值方法有最近邻法、反距离权重法、克里金法等。
最近邻法是指将待测点的数值设置为其最近邻已知点的数值。
这种方法的特点是简单易行，但对待测点周围情况变化较剧烈的区域处理效果较差。
反距离权重法是指通过待测点与已知点之间的距离来确定权重，进而计算出待测点的数值。
该方法适用于待测点周围存在多个已知点的情况，能够更好地反映出待测点的实际情况。
克里金法是一种基于变异函数的插值方法，其主要思想是根据已知点之间的空间相关性，通过克里金方程来计算待测点的数值。
克里金法在实际应用中被广泛使用，具有较高的精度和可靠性。
三、拟合方法的应用除了插值法，拟合方法也是常用的差值计算方式之一。
拟合方法是指通过已知点的数值拟合出一个数学模型，进而计算出待测点的数值。
常见的拟合方法有多项式拟合、样条函数拟合等。
多项式拟合是通过多项式函数逼近已知点的数值，然后计算待测点的数值。
多项式拟合的优点是计算简单，但在数据量大、曲线曲率变化较大的情况下，可能出现过拟合或欠拟合的问题。
样条函数拟合是一种将已知点之间连续曲线分段逼近的方法。
它通过将已知点之间的空间区域划分成若干段，利用多项式函数逼近每一段的数值，再将各段连接起来，计算出待测点的数值。
实验报告误差分析在科学研究和实验中，误差是难免的。
任何测量都有其局限性，因此分析误差对于评估实验结果的可靠性至关重要。
本文将探讨实验报告误差的分析方法和意义，帮助读者更好地理解误差的概念和如何正确处理。
一、误差的概念和分类误差指测量结果与真实值之间的差异。
根据误差产生的原因，可以将其分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于仪器本身的不准确性、实验条件的不稳定性或者操作者的技术问题等导致的。
系统误差具有一定的规律性，因此这种误差一般是可预测和可纠正的。
例如，在实验测量温度时，如果温度计未经校准或者环境温度波动较大，就会产生系统性的偏差。
随机误差，也称为偶然误差，是由于不可控制的因素引起的。
这种误差在重复测量中可能出现不同的结果，由于无法找到明确的原因，只能通过多次测量来进行统计处理。
例如，在实验中由于环境的微小变化，会导致许多小的干扰，这些干扰会在不同测量中产生随机误差。
二、误差的分析方法1. 重复测量法重复测量法是最常用的误差分析方法之一。
通过多次测量同一物理量，然后计算其平均值和标准差。
平均值表示测量结果的集中性，而标准差则反映了数据分散程度，从而评估误差的大小。
通过多次测量可以获得更可靠的结果，并减小随机误差的影响。
2. 误差传递法误差传递法用于计算多个变量的函数时的误差分析。
当一个物理量通过一系列测量和计算得到另一个物理量时，误差也会传递过程中积累。
通过对每个参量的误差进行定量分析，可以计算出最终结果的误差范围。
这种方法特别适用于复杂的实验设计和数据处理。
3. 不确定度评定法不确定度评定法是一种综合考虑多种误差贡献的分析方法。
它通过分析测量过程中各种误差来源，并使用统计学和数理方法，对结果的不确定性进行定量分析。
每个误差来源都被分配一个权重，以反映其贡献度。
不确定度评定法能够更全面地描述实验结果的可靠性，并为进一步的数据处理提供基础。
三、误差分析的意义正确的误差分析对于实验结果的有效性和可靠性具有重要影响。
讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
原题目：讨论数值分析第五版中的误差分析方法
数值分析是解决实际问题中的数学方法，但由于测量仪器的不确定性、四舍五入误差、截断误差等因素造成了误差。
本文将讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
误差主要分为绝对误差和相对误差。
- 绝对误差表示为 $E_a = |x - x_0|$
- 相对误差表示为 $E_r = |x - x_0|/|x_0|$
而数值分析中的误差主要分为舍入误差和截断误差：
- 舍入误差：计算时需要将无限小数缩小，所得的有限小数即为舍入误差。
- 截断误差：数值分析方法需要将所选的计算公式在某些地方进行近似，所得结果与精确解之差即为截断误差。
在实际数值分析中，误差的控制非常重要，因为误差可能会对
最终的计算结果产生很大影响。
数值分析中有很多减小误差的方法，比如增加小数位数、选择合适的计算公式和算法等等。
在实际应用中，要注意以下事项：
- 尽量避免使用不同原理的仪器测量或者使用测量范围不同的
仪器测量。
- 合理判断和控制误差对计算结果的影响。
- 遵循科学测量的要求，确保测量结果真实可靠，如果实验数
据存在异常，应根据科学理论和实验规律分析异常产生的原因，选
择合适的方法处理。
因此，在数值分析中，通过合理分析误差因素的影响，在实验
设计、计算方法选择等方面坚持精益求精，不断提高数值分析水平，是获取精确结果的重要途径。
第五章 测量误差及测量平差§5.1 测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异，说明观测中存在误差。
观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。
X l i i -=∆ （i =1、2、……、n ） X 为真值。
二、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。
三、测量误差产生的原因1.测量仪器因素2.观测者的因素3.外界条件的因素测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。
等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。
非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。
四、测量误差的分类1.系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。
其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
2.偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定，表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。
偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶然误差影响了观测结果的精确性。
五、减少测量误差的措施对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。
§5.2 偶然误差的特性一、精度的含义1.准确度准确度是指在对某一个量的多次观测中，观测值对该量真值的偏离程度。
2.精密度精密度是指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。
3.精度精度也就是精确度，是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称，表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。
数学中的数值计算学习数值方法和误差分析数学中的数值计算：学习数值方法和误差分析数学是一门精确的科学，它被广泛应用于各个领域。
在实际问题中，我们经常需要对大量的数据进行计算和分析。
然而，由于计算机和测量设备的限制，我们无法得到完全精确的结果。
因此，数值计算成为了解决实际问题的重要工具。
本文将介绍数值计算中的数值方法和误差分析。
一、数值方法数值方法是一种使用数值近似解来解决数学问题的方法。
它通过将连续的数学问题转化为离散的数值问题，然后使用计算机进行近似计算。
数值方法包括插值、数值积分、常微分方程的数值解等等。
1. 插值插值是通过已知数据点的函数值，推导其他点的函数值。
最简单的插值方法是线性插值，即通过已知数据点的直线来逼近未知点的函数值。
更高阶的插值方法包括二次插值、三次插值等等。
插值方法在图像处理、数据拟合等领域有着广泛的应用。
2. 数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的定积分。
常见的数值积分方法包括梯形法则和辛普森法则。
梯形法规则将定积分的区间划分为若干小梯形，通过计算这些小梯形的面积之和来近似定积分的值。
辛普森法则则是通过将函数曲线划分为若干小曲线段，通过计算这些小曲线段的面积之和来近似定积分的值。
数值积分广泛应用于工程领域中对曲线、曲面面积的计算。
3. 常微分方程的数值解常微分方程是一类描述自然现象中变化规律的方程。
常微分方程的数值解通过数值方法来近似求解。
常见的数值解法有欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法。
数值解法在物理学、化学等领域中有着广泛的应用。
二、误差分析在数值计算中，由于测量误差、截断误差和舍入误差等因素的存在，得到的近似解与真实解之间会存在误差。
因此，对误差进行分析和估计是数值计算中不可或缺的一环。
误差可以分为绝对误差和相对误差。
绝对误差是近似解与真实解之间的差值，而相对误差则是绝对误差与真实解之间的比值。
误差分析的目的是确定近似解的可靠性，即近似解与真实解之间的误差范围。
