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第二章测量数据处理及测量误差分析测量数据处理及测量误差分析是科学实验中非常重要的一个环节，它涉及到对实验数据进行整理、处理以及对测量误差进行分析、评估的过程。
本章主要包括数据的整理、数据处理的常用方法、误差分析和误差处理方法等内容。
一、数据的整理在进行数据整理之前，首先要明确实验的目的和要求，明确需要获得的数据类型和数据量，有针对性地进行数据测量和记录。
数据整理主要包括：1.数据记录：将实验过程中获得的原始数据按照一定的格式记录下来，包括数据名称、数据值、测量单位等。
2.数据清洗：对记录下来的数据进行初步的筛选和清理，去除明显的异常值和错误数据，保留有效和可靠的数据。
同时，要注意将数据转换为适当的统计量，如平均值、中位数、标准差等。
二、数据处理常用方法数据处理是对记录下来的数据进行统计、分析和加工的过程，常用的数据处理方法有：1.统计分析：包括计算数据的平均值、中位数、众数等统计量，分析数据的分布特征，进行图表的绘制和描述。
2.走势分析：通过时间序列数据的走势分析，观察数据的变化规律，判断数据是否存在趋势性、周期性等特征。
3.相关分析：用于研究两组或多组数据之间的相关性，包括相关系数的计算和相关关系的绘图等。
4.假设检验：通过已知的数据样本对一些假设的合理性进行检验，判断假设是否成立并进行统计推断。
三、误差分析误差是指测量结果与真实值之间的差异，它是不可避免的，但可以通过分析和处理来减小误差的影响。
误差分为系统误差和随机误差两种。
1.系统误差：主要源于测量仪器、测量方法和实验设计的不确定性，它会导致测量结果的整体偏移，常常是可检测和可纠正的。
调整测量仪器的零点、校正仪器的偏差、改进实验设计等方法可以减小系统误差的影响。
2.随机误差：主要源于测量过程中的各种随机因素，如环境的变化、测量操作的不精确等。
随机误差是不可避免的，通过多次重复测量可以获得多组数据，然后进行数据的平均处理和统计分析，可以减小随机误差的影响。
电子测量技术第二章(一)填空题1、相对误差定义为测量值与真值的比值，通常用百分数表示。
2、绝对误差是指由测量所得到的真值与测量值之差。
3、测量误差就是测量结果与被测量____真值____的差别，通常可以分为__ 绝对误差_____和____相对误差___两种。
4、根据测量的性质和特点，可将测量误差分为随机误差、系统误差、粗大误差。
5、精密度用以表示随机误差的大小，准确度用以表示系统误差的大小，精确度用以表示系统误差与随机误差综合影响的大小。
6、可以用____系统误差_____来作为衡量测量是否正确的尺度，称为测量的准确度。
7、随机误差的大小，可以用测量值的___精密度___来衡量，其值越小，测量值越集中，测量的___密集度___越高。
8、误差的基本表示方法有_绝对误差_、_相对误差_和最大引用误差(满度误差)9、消弱系统误差的典型测量技术有零示法、替代法、补偿法、对照法、微差法和交叉读数法。
10、多次测量中随机误差具有___有界_____性、____对称____性和___抵偿_____性。
11、满度（引用）误差表示为绝对误差与满量程之比，是用量程满度值代替测量真值的相对误差。
12、测量仪器准确度等级一般分为7级，其中准确度最高的为_0.1_级，准确度最低的为_5.0_级。
13、1.5级100mA的电流表,引用相对误差为±1.5% ，在50mA点允许的最大绝对误差为___±1.5mA 。
14、为保证在测量80V电压时，误差≤±1%，应选用等于或优于0.5 级的100V量程的电压表。
15、___马利科夫_____判据是常用的判别累进性系差的方法。
16、____阿贝一赫梅特____判据是常用的判别周期性系差的方法。
三种，在工程上凡是要求计算测量结果的误差时，一般都要用__相对误差__。
17、对以下数据进行四舍五入处理，要求小数点后只保留2位。
4.850=__4.85__；200.4850000010=_____200.48___。
1、随机误差产生的原因（装环人）2、随机误差具有统计规律性对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。
单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。
抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。
3、算术平均值非X=X1+X2+...+XiVi(残余误差)=Xi-非X4、标准差（1）单次测量的标准差（δi）标准差=根号下（δi平方和/n）标准差的估计值=根号下（Vi平方和/n-1）（贝塞尔公式）评定单次测量不可靠的参数或然误差p=2/3标准差的估计值平均误差θ=4/5标准差的估计值（2）算术平均值的标准差标准差非x=标准差/根号下n或然误差R=2/3算术平均值标准差非x平均误差T=4/5标准差非x5、极差法Wn=Xmax-Xmino=Wn/dn6、最大误差法真值可代替o=|δi|/Kn真值未知o=|Vi|/Kn'7、权的确定方法:按测量的次数确定权8、单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。
9、系统误差产生的原因（装环方人）10、系统误差的特征（服从某一确定规律变化的误差）不变的系统误差线性变化的系统误差周期性变化的系统误差复杂规律变化的系统误差11、系统误差的发现方法实验对比法残余误差观察法残余误差校核法不同公式计算标准差比较法计算数据比较法秩和检验法t检验法12、系统误差的减小和消除（1）从产生误差的根源上消除系统误差（2）用修正方法消除系统误差（3）不变系统误差消除法（代替法抵消法交换法）（4）线性系统误差消除法（对称法）（5）周期性系统误差消除法（半周期法）13、粗大误差产生的原因测量人员的主观原因客观外界条件的原因14、防止与消除粗大误差的方法（1）设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除（2）加强测量者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作（3）保证测量条件的稳定（4）采用不等精度测量方法（5）互相之间进行校核的方法15、判别粗大误差的准则3o准则（莱以特准则）罗曼诺夫斯基准则格罗布斯准则狄克松准则计算题测量某电路电流共5次，测得数据（单位位mA）为168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 试求算术平均值及标准差或然误差和平均误差。
第二章 测量误差的计算基础
测量误差与概率统计学关系密切，下面介绍与测量误差有关的数学基础知识。
一、算术平均值
对某个被测量x 进行n 次测量，所得的n 个测量值(x i ，i=1，2，…，n)的代数和除以n 而得的商，称为算术平均值。
即如果有n 个测量值x 1，x 2，…，x n ，那么
式中：x —算术平均值；
n —测量次数；
x i —第i 个测量值。
对于不含系统误差的测量列在重复性条件或复现性条件下得出n 个观测结果x n ，随机变量x 的期望值μx 的最佳估计是n 次独立观测结果的算术平均值x (x 又称样本平均值)。
[例2—1) 在重复条件下对某被测量重复测量5次，测量值为0.3，0.4，0.7，0.5，0.9，求其算术平均值。
[解]
)(154321x x x x x n
x ++++= )9.05.07.04.03.0(5
1++++= =0.56(取0.6)
二、残余误差
(一)定义
测量列中的某个测得值(x i )和该测量列的算术平均值(x )之差为残余误差)(i υ，简称残差。
[例2—2] 在重复条件下对某被测量重复测量5次，测量值为：10.4，10.5，10.7，10.6，10.8。
求残余误差)(i υ。
[解] )8.106.107.105.104.10(5
1++++=x =10.6 1υ=10.4-10.6=-0.2； 2υ=10.5-10.6=-0.1；
3υ=10.7-10.6=+0.1； 4υ=10.6-10.6=0；
5υ=10.8-10.6=+0.2。
(二)应用
判断x ，i υ计算是否正确，可用∑i υ=0来判定（算术平均值特性之一，算术平均值的另一个特性是：∑2i
υ=最小）。
当x 计算修约结果产生修
约误差时，∑i υ≠0，此时应满足：
式中：n —测量次数； m —保留位数末位的以10为底幂的指数。
如在[例2—2]中：
0)2.0(0)1.0()1.0()2.0(54321=+++++-+-=++++=∑υυυυυυi 说明；x ，i υ的计算结果正确。
[例2-3] 在重复条件下，对某被测量重复测量7次，测量值为：10.4，
10.6，10.7，10.1，10.9，10.3，10.2。
试算x ，i υ的值。
[解]
x =(10.4+10.6+10.7+10.1+10.9+10.3+10.2)／7
=10.457
x =10.46(计算过程比测量结果多保留一位有效数字)
1υ=10.4-10.46=-0.06； 2υ=10.6-10.46=+0.14； 3υ=10.7-10.46=+0.24； 4υ=10.1-10.46=-0.36；
5υ=10.9-10.46=+0.44； 6υ=10.3-10.46=-0.16；
7υ=10.2-10.46=-0.26。
7654321υυυυυυυυ++++++=∑i
=(-0.06)+(+0.14)+(+0.24)+(-0.36)+(+0.44)+(-0.16)+(-0.26)
=-0.02≠0
计算结果不为0，判断x ，i υ计算有无错误?由于
035.0105.072
102=⨯⨯=⨯-m
n ∑i υ＜2
10m n ⨯ 说明x ，i υ的计算结果正确。
三、实验标准偏差
(一)定义
由统计知识可知，标准偏差计算公式为
∑∑-=∆∙=202
)(11x x n
n i i σ 但在一般情况下，x 0(真值)未知，所以不能进行计算。
我们从事的测量
大多为小样本的测量，因此用小样本测量理论来推断总体的特征，即用实验标准偏差来表示。
实验标准偏差是表征测量结果的分散性的量。
对同一被测量x i (在重复条件下)作n 次测量，其实验标准偏差可按下式计算：
式中：s —实验标准偏差，取正值；
n--测量次数(一般不小于6)。
说明：实验标准偏差计算公式又称为“贝塞尔公式”。
[例2—4] 用[例2—3]测量值计算
[解] ()()()()()()()[]
222222226.016.044.036.024.014.006.0171-+-+++-+++++--=s =0.287865709
S=0.29(取2位)
(二)实验标准偏差的其它计算方法
计算实验标准偏差除可采用公式法—贝塞尔公式计算外， 在测量结果接近于正态分布，测量次数n ≥6时，也可采用其他查表计算法(如最大残差法、最大误差法、极差法等)。
1．最大残差法
对某一被测量x i (在重复条件下)作n 次测量，测量结果为x l ，x 2，…，x n ，计算其残差v 1，v 2，…，v n 。
由|v i,max |可得s 的无偏估计。
则“最大残差法”计算实验标准偏差为
式中：c 1,n —残余误差系数，见表2—1；
V i,max —第i 个最大残余误差值。
表2—1 最大残差法系数c l ，n
[例2—5] 对[例2—3]测量值用最大残差法计算实验标准偏差。
[解) max ,,1i n c s υ∙==0.64×0.44=0.264≈0.26
与[例2-4]计算结果相差0.288-0.264=0.024。
2．最大误差法
对某一被测量x i (在重复条件下)作n 次测量，若已知[约定]真值为x 0，其误差为△l ，△2，…，△n 。
由|△i,max |可得s 的无偏估计为：
式中：n c ,2—最大误差系数，见表2—2；
|△i,max |—第i 个最大误差值。
〃
表2—2 最大误差法系数c 2，n ，
[例2-6] 测量某一电流表中的某点，已知输入标准信号为80mA ，重复进行5次测量，其测量结果为76，80，79，81，77mA 。
计算其实验标准偏差。
[解]
mA x x 48076011-=-=-=∆；
mA x x 08080022=-=-=∆；
mA x x 18079033-=-=-=∆；
mA x x 18081044+=-=-=∆；
mA x x 38077055-=-=-=∆；
max ,,2i n c s ∆∙==0.64×4=2.56≈2.6mA
3．极差法
对某一被测量x i (在重复条件下)作n 次测量，测量结果为x l ，x 2，…，x n ，测量列中最大测量值(x i,max )与最小测量值(x i,min )ω之差为
min ,max ,i i x x -=ω
因此，实验标准偏差为
式中：n c ,3—极差系数，见表2—3。
表2—3 极差系数n c ,3
[例2—7] 对[例2—2]测量值用极差法计算实验标准偏差。
[解]
()()172.04.108.1033.211min ,max ,,3=-⨯=-∙=i i n
x x c s
≈0.17
四、算术平均值实验标准偏差
在有限次测量情况下，测量值的算术平均值为被测量的最佳估计值。
算术平均值实验标准偏差为(推导过程略)：
从式(2—7)看出：x s ＜s 。
这是由于算术平均值取平均值的结果，使
得随机误差相互抵消，而且随着测量次数的增加，算术平均值的实验标准偏差远比单值实验标准偏差小。
因此，增加测量次数，可减少测量结果的分散性。
但无须无限增加测量次数来消除测量分散性。
从图2—1中看出，当n ＞10以后，随着n 的增加，x s 减少得相当缓慢。
因此在实际工作中，
一般以6≤n ≤20为宜，过多的重复测量，不仅会增大工作量，也难于保持测量条件的稳定，还会带来新的误差量。
图2—1
[例2—8) 对[例2—2]中测量值计算算术平均值实验标准偏差。
[解]
07.0071.0158.0511≈=⨯=∙=
s n s x。
