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等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我们将探讨等腰三角形的性质和判定，并通过几个例子加深理解。
首先，我们来了解等腰三角形的定义。
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
根据这个定义，我们可以得出等腰三角形的第一个性质：等腰三角形的底角（底边对应的角）是相等的。
这是因为等腰三角形的两条边相等，所以它们对应的角也必须相等。
接下来，我们来探讨等腰三角形的第二个性质：等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线段）是对称轴。
这个性质可以通过几何推理来证明。
假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。
如果我们从顶点A向底边BC引一条垂直线段AD，我们可以证明BD = CD。
这是因为在等腰三角形中，高线将底边等分，所以BD = CD。
这也意味着高线AD是底边BC的中垂线，而中垂线是对称轴。
除了这些基本性质外，等腰三角形还有一些判定方法。
首先，我们可以通过边长判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。
如果一个三角形的两条边相等，那么它就是等腰三角形。
其次，我们可以通过角度判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。
如果一个三角形的两个角相等，那么它就是等腰三角形。
这两种判定方法可以互相验证，帮助我们确定一个三角形是否为等腰三角形。
让我们通过一个例子来加深对等腰三角形性质和判定的理解。
假设我们有一个三角形DEF，其中DE = DF。
我们可以通过边长判定法得出这个三角形是等腰三角形。
接下来，我们可以通过角度判定法验证这个结论。
如果我们发现角D和角E相等，那么我们可以确定这个三角形是等腰三角形。
通过计算角度，我们可以发现角D和角E的度数相等，所以我们可以得出结论：三角形DEF是等腰三角形。
在实际生活中，等腰三角形的性质和判定方法也有一些应用。
例如，在建筑设计中，等腰三角形的对称性可以用于设计对称美观的建筑物。
在工程测量中，等腰三角形的判定方法可以帮助工程师确定一个三角形的性质，从而更好地进行测量和计算。
等腰三角形的判定判定等腰三角形的基本方法：一是从定义入手，证明两条边相等；二是从角入手，证明一个三角形的两个角相等。
在实际的阶梯中，有些常用的技巧就是构造等腰三角形从而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。
2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。
3、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。
例题求解【例题1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF//AD。
则FC的长为________。
【例题2】如图，已知直角△ABC中，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有_____个。
【例题3】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.【例题4】两个全等的含有30°、60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．【例题5】如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，求证：CD=BD。
学力训练基础夯实1、如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的角平分线BE交AD 于E，连接EC；则∠AEC等于（2、如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D，E是BC上的两点，且∠B A D=∠D A E=∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（）3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC,则∠B：∠C的值是_______。
4、已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是________．5、如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN=（）6、如图所示，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系式______。
等腰三角形的判定至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
等腰三角形判定定理是：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
判定方法有：等腰三角形的认定等腰三角形的认定方法1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
4、存有两条角平分线或中线、或低成正比的三角形就是等腰三角形。
判定的方式：定义法：在同一三角形中，存有两条边成正比的三角形就是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
除了以上两种基本方法以外，除了如下认定的方式：1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形就是等腰三角形，且该角为顶角。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
似乎，以上三条定理就是“三线合一”的逆定理。
4、有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的分类：1、等腰直角三角形：有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。
它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。
2、等边三角形：就是三边都成正比的等腰三角形。
性质：1、等腰三角形的两个底角度数成正比（缩写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
3、等腰三角形的两底角的平分线成正比（两条腰上的中线成正比，两条腰上的高成正比）。
等腰三角形的五个判定一、等腰三角形的五个判定1、两条边相等：等腰三角形最典型的特点就是它的三条边长度都相等。
所以当我们有一个三角形，只需要找出它的三个边中有两个边长度相等的时候，就可以判定这个三角形为等腰三角形。
2、直角三角形：这个判定方式更为复杂，对于等腰三角形即解释为直角三角形，验证直角三角形充分必要条件是通过直角符号在三个角上标出一个直角，此时另外两边的斜边相等，即可判定这个三角形为等腰三角形。
3、边分两廓：另一种判定等腰三角形的方式也很常见，就是将一个等腰三角形从其中的一条边中间分成两块，然后另外两个边就会构成两个等边三角形，这种方式判定最为快捷。
4、两直角三角形：等腰三角形与两个直角三角形联系紧密，也就是一旦可以在等腰三角形中找到两个直角三角形，那么就可以判断这个三角形是等腰三角形。
5、其他外角相等：对于等腰三角形，可以判定它的其他外角是相等的，如果其他外角相等的话，那就可以判断这个三角形为等腰三角形。
二、等腰三角形的重要性等腰三角形既有美学价值又被广泛的应用于很多领域，它的出现让我们更加意识到规律性与美的存在，令我们对自然有更深刻的理解。
在运筹学中，等腰三角形被应用在路线规划中，不仅可以帮助人们快速计算出单位距离经过时间，还能帮助准确计算出距离，从而为物流事业或外出旅游带来便利。
此外，等腰三角形也是建筑工程中不可或缺的结构形式，能把结构力学中的重力集中起来支撑起桥梁和大楼，是以节省材料的形式帮助我们构筑物理环境的重要部分。
综上所述，可见等腰三角形的重要性不言而喻。
并且，由于各种判断等腰三角形的方法有了相应的技术支持，等腰三角形的应用在日益广泛，即使在精密的科技测量中也能。
《等腰三角形的判定》教学设计
重点与难点分析：
本节内容的重点是等腰三角形的判定定理.本定理是证明两条线段相等的重要定理，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，此定理为证明线段相等提供了又一种方法，这是本节的重点.推论1、2提供证明等边三角形的方法，推论3是直角三角形的一条重要性质，在直角三角形中找边和角的等量关系经常用到此推论.
本节内容的难点是性质与判定的区别。
等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候，经常混淆，帮助学生认识判定与性质的区别，这是本节的难点.另外本节的文字叙述题也是难点之一，和上节结合让学生逐步掌握解题的思路方法.由于知识点的增加，题目的复杂程度也提高，一定要学生真正理解定理和推论，才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用.
教法建议:
本节课教学方法主要是“以学生为主体的讨论探索法”。
在数学教学中要避免过多告诉学生现成结论。
提倡教师鼓励学生讨论解决问题的方法，引导他们探索数学的内在规律。
具体说明如下：（1）参与探索发现，领略知识形成过程
学生学习过互逆命题和互逆定理的概念，首先提出问题：等腰三角形性质定理的逆命题的什么？找一名学生口述完了，接下来问：此命题是否为真命？等同学们证明完了，找一名学生代表发言.最后找一名学生用文字口述定理的内容。
这样很自然就得到了等腰三角形的判定定理.这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，满打满算了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会。
（2）采用“类比”的学习方法，获取知识。
由性质定理的学习，我们得到了几个推论，自然想到：根据等腰三角形的判定定理，我们能得到哪些特殊的结论或者说哪些推论呢？这里先让学生发表意见，然后大家共同分析讨论，把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。
如果学生提到的不完整，教师可以做适当的点拨引导。
（3）总结，形成知识结构
为了使学生对本节课有一个完整的认识，便于今后的应用，教师提出如下问题，让学生思考回答：（1）怎样判定一个三角形是等腰三角形？有哪些定理依据？（2）怎样判定一个三角形是等边三角形？
一．教学目标：
1．使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论；
2．掌握等腰三角形判定定理的运用；
3．通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；
4．通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；
5．通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.
二．教学重点：等腰三角形的判定定理
三．教学难点：性质与判定的区别
四．教学用具：直尺，微机
五．教学方法：以学生为主体的讨论探索法
六．教学过程：
1、新课背景知识复习
（1）请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念
估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。
（2）等腰三角形的性质定理的内容是什么？并检验它的逆命题是否为真命题？
启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：
1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
(简称“等角对等边”)．
由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.
已知：如图，△abc中，∠b=∠c．
求证：ab=ac．
教师可引导学生分析：
联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以ab、ac为对应边的全等三角形．因为已知∠b=∠c，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从a点引起．再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠bac的平分线ad或作bc边上的高ad等证三角形全等的不同方法，从而推出ab=ac．
注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
（3）判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.
2．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
要让学生自己推证这两条推论．
小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义；②等腰三角形判定定理．
证明三角形是等边三角形的方法：①等边三角形定义；②推论1；③推论2．
3．应用举例
例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．分析:让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补；②它等于与它不相邻的两个内角的和．要证ab=ac，可先证明∠b=∠c，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠b、∠c与∠1、∠2的关系．
已知：∠cae是△abc的外角，∠1=∠2，ad∥bc．
求证：ab=ac．
证明：(略)由学生板演即可．
补充例题：(投影展示)
1.已知：如图，ab=ad，∠b=∠d．
求证：cb=cd．
分析：解具体问题时要突出边角转换环节，要证cb=cd，需构造一个以cb、cd为腰的等腰三角形，连结bd，需证∠cbd=∠cdb，但已知∠b=∠d，由ab=ad可证∠abd=∠adb，从而证得∠cdb=∠cbd，推出cb=cd．证明：连结bd，在中，（已知）
（等边对等角）
（已知）
即
（等教对等边）
小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系.
2．已知，在中，的平分线与的外角平分线交于d，过d作de//bc交ac与f，交ab于e，求证：ef=be-cf.
分析：对于三个线段间关系，尽量转化为等量关系，由于本题有两个角平分线和平行线，可以通过角找边的关系，be=de,df=cf即可证明结论.
证明：de//bc（已知）
，
be=de,同理df=cf.
ef=de-df
ef=be-cf
小结：
(1)等腰三角形判定定理及推论．
(2)等腰三角形和等边三角形的证法．
七．练习
教材p．75中1、2、3．
八．作业
教材p．83 中1．1)、2)、3)；2、3、4、5．。
