等腰三角形的判定方法

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为“藏传佛教的八大神山之首。”我们到达梅里雪山的时候是在早晨，结束了几天的地下生活，到了梅里雪山脚下，阳光刺的我睁不 开眼睛，过了一会终于适应了。阳光明媚，山上的雪被阳光照得熠熠生辉，极蓝与极白相交辉映，看着这样的风景好像心也被洗干净 了，空气里都满是雪的味道。我现在终于体会到什么是壮观，在大自然的面前人类是多么的渺小。巍峨的雪山直插云霄，真是雾笼云 遮缥缈中，浑然浩气贯苍穹。山神说拉着我的手，我啊了一声，有点不好意思，脸红的发烫，感觉都红到耳根了。山神看着我说： “想什么呢，拉着我，我们飞上去，这样会节省不少时间。”这是要是有一条地缝，不管多小，我都要挤进去。可等了半天，山神也 没什么动静，他的手依旧如此冰凉。我以为他还在酝酿，只见他眉头紧皱，我说怎么了，我们怎么还在这里。山神说：“在这里，我 居然不能使用法术，我的法术好像被什么禁锢了一样，没法使出来。”我心想这座山这么厉害，居然连山神的法力都被禁锢了，看来， 我们凶多吉少了，真是壮士一去兮不复返啊。我说：“这样啊，那我们还是走吧，万一在这里挂掉了，我还好，你可怎么办啊，多不 划算啊。”我边说边往回走。山神说：“来都来了，再说了，怕什么，这是神山，不会有什么妖怪的。看来，我们只有爬上去了”。 这里有十三座峰，主峰卡瓦格博峰海拔高达6740米，看着主峰，我咽了口唾沫，心想这次不死也要退层皮了。我们修整了一会开始爬 山，我们就一直走，也无心欣赏身边的风景了，山很陡峭，有几次险些摔倒下去，我们一直提心吊胆地走了一天，到傍晚的时候终于 到达了雪线，我们又继续往前走，天也渐渐暗下来了，想想开始露出来，星星离我们很近，温度逐渐降低，风越来越大，尽管穿着很 厚很厚地冬衣，依然感觉很冷，只要一张口，风吹着雪就直往喉咙里灌，山神怕我摔倒后爬不起来，就一直拉着我走，满眼的白色， 一直看着白色突然头一阵眩晕，一不小心就跌了个狗**。山神连忙把我扶起来。山神还是一身玄色衣服，他无论在什么样的恶劣条件 都是这样，丝毫不受影响。走到后来就是他拖着我走了，他怕我失去意识，就一直不停的跟我说话。我们又走了一夜，到第二天中午， 我们来到了一个山洼里，这的山洼很奇怪，它很宽很大，周围长满了野花和野草，还能看到很多蝴蝶，一条清澈的小溪从旁边流过， 这里这的是一处世外桃源啊，想不到大山之中还能有这样的地方不受风雪的侵扰。山神的眼睛很尖，一下就看到了被草掩埋的相机， 拿起来一看，这是尼康FM3A上面的金属机身已经长锈了，相机更新速度很快，现在已经停产了，我们也不能评这个就判断时间，万一 他是胶卷相机的忠实用户呢，这也说不定，随后我们又找到

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C
求证： AB=AC
A
B
D
C
例：如图，∠EAC是△ABC的外角， AD平分∠EAC，且AD∥BC. 求证：AB=AC
E
A
D
B
C
如果AB=AC，AD∥BC，那么 AD平分∠EAC吗？
E
A
D
B

C
练 习
证明：等边三角形的每个角都 等于 60 0 证明：线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等。
B
C
例：如图1，等边△ABC中，D是AB上的一动点， 以CD为一边向上作等边△EDC，连AE，
求证：AE∥BC
（2）如图2，将（1）中等边△ABC改为以BC为 底边的等腰三角形所作△EDC改为相似于△ABC， 请问：是否仍有AE∥BC？证明你的结论。
A D B E D C A
E
B
图1
C
图2
如图，点C为线段AB上的一点△ACM，△CBN 是等边三角形线段AN、CM相交于点E，线段 BM、CN相交于点F。（1）求证：AN=BM （2）△CEF是等边三角形
900 ， （3）将△ACM绕点C逆时针方向旋转
在图2中补出符合条件的的图形，并判断（1） （2）两题的结论是否仍然成立，证明你的结论。
M N E A C F B M A C N
B
等腰三角形的性质和判断
定理：等腰三角形的两个底角相等 （“等边对等角”）
你能用几种方法证明？
定理：等腰三角形的两个底角相等 （“等边对等角”）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C
A
B
D
C
定理：等腰三角形的顶角 平分线、 底边上的中线和高是同一条直线。 （三线合一）

等腰三角形的判定判定等腰三角形的基本方法：一是从定义入手，证明两条边相等；二是从角入手，证明一个三角形的两个角相等。

在实际的阶梯中，有些常用的技巧就是构造等腰三角形从而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。

2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。

3、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。

例题求解【例题1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF//AD。

则FC的长为________。

【例题2】如图，已知直角△ABC中，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有_____个。

【例题3】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.【例题4】两个全等的含有30°、60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．【例题5】如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，求证：CD=BD。

学力训练基础夯实1、如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的角平分线BE交AD 于E，连接EC；则∠AEC等于（2、如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D，E是BC上的两点，且∠B A D=∠D A E=∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（）3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC,则∠B：∠C的值是_______。

4、已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是________．5、如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN=（）6、如图所示，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系式______。

A
图中有哪些角相等?
∠ B= ∠ C.
B
在三角形中等边C中， ∠ B= ∠ C， AB=AC 成立吗？
探索思考
1，作一个三角形，有两个角 相等，这两个角所对的边是否
相等？
A
分析: 在ΔABC中, ∠B=∠C作∠BAC
的平分线交BC于D, 则
12
∠ 1=∠2, 又∠B=∠C, 由三角形
内角和的性质得∠ADB=∠ADC, B D C
沿直线
AD折叠∠ADB=∠ADC ,
∠1= ∠2, 所以射线DB与射线DC重合, 射线AB与射线
AC重合, 从而点B与点C重合, 因此AB=AC
等腰三角形有以下的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三 角形.
简单地说；在同一个三角形中，
2.4等腰三角形的判定定理
复习引入
等腰三角形有哪些特征呢？ 1.等腰三角形的两腰相等.
2.等腰三角形的两个底角相等, （简称“等边对等角”）.
3.等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线和底边上的高互 B 相重合.（简称“三线合一”）
4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴 是底边的中垂线.
A C
1.如图:ΔABC中,已知AB=AC,
A
D
B
C
练习5
2.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，两底角的 平分线BE和CD相交于 点O，那么△OBC是什 D 么三角形？ 为什么？
B
A
E O
C
小结
名称 图 形
等
腰
三
角
A
形
概念
性质与边角关系
判定
有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形

求证： AB=AC
A
B
D
C
方法一：作BC边上的高AD 方法二：作∠A的角平分线AD
方法三：“作BC边上的中线AD”可行吗？ 不行!
归纳总结
在△ABC中， ∵ ∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC= AB ( 等角对等边 ) B
A
C
如果一个三角形有两个角相等，
那么 那么这个三角形是等腰三角形 这两个角所对的边也相等。 简写成 “等角对等边”
∴ ∠1= ∠2=90° 在⊿ABD和⊿ACD中， B ∠B=∠C， ∠1=∠2 AD=AD ∴ ⊿ABD≌ ⊿ACD（ AAS ） ∴AB=AC（ 全等三角形的对应边相等 ）
即：⊿ABC是等腰三角形
1 2 D
C
已知：⊿ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC： 证明：作∠BAC的平分线AD ∴ ∠1=∠2 在⊿ABD和⊿ACD中， ∠B=∠C ∠1=∠2 AD=AD B
D
C
考考大家：
• 例：已知等腰三角形的底边为a，底边上的 高的长为b，求作这个等腰三角形.
M
a
b
A
B 作法：（1）作线段BC，使BC=a； D （2）作BC的垂直平分线MN，交BC于D N ； （3）在MN上截取DA=h,得A点； （4）连结AB、AC，则△ABC即为所求等 腰三角形。
C
练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，E、F是垂足，DE＝DF，求证：AB＝AC.
1 2
C B
∵∠1=∠2 （已知） ∴ DC=BC （等角对等边）
错，因为∠1和∠2 不是同一个三角形的内角。
例1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 外角 平分线 平行于
三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 三角形的一边 ∥

36°
D
2 1
36 72° °
答： ∠1= 72°, ∠2= 36°
△ABC、 △ABD、 △BDC是等腰三角形。 、 B
（2）
C
例：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测 量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的 方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向
前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河
2. 已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.
求证:BD=CE.
证明: ∵∠1=∠2（已知）
∴AD=AE（在同一个三角形中，等 角对等边） ∵DE∥BC（已知） ∴∠1=∠B，∠2=∠C ∴∠B=∠C B D 1
A
2 E
C
∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边） ∴AB－AD=AE－AC
即 BD=CE
D
B
H
C F E
3:如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD//BC，则 △ ABC是等腰三角形吗？说明你的理由。
证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）
E
∵ ∠1=∠2， ∴∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边）
B
1 A 2 D
C
△ODE的周长=BC=16
O D E C
B
名 图 形 称 等 腰 三 角 形
A
概念
性
质
判 定 两边相等
有两边 两腰相等
相等的
三角形
B C
等边对等角 等角对等边 三线合一
是等腰
三角形
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
2.已知：△ABC中，AB=AC，D是AB上一点， 延长AC至点E，使CE=BD，连结DE交BC于F。 A 求证：DF=EF

等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

等腰三角形知识点一:等腰三角形的性质——等边对等角等腰三角形的两个底角 .例1：（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30oB ．40oC ．45oD ．36o同步检测一：1.在△ABC 中，AB ＝AC ，①若∠A ＝70°，则∠B ＝ °，∠C ＝ °②若∠B ＝40°，则∠A ＝ °2.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）Ａ．50° Ｂ．80° Ｃ．50°或80° Ｄ．40°或65°知识点二：等腰三角形的性质——三线合一等腰三角形的 、 、 互相重合。

例2：如图，在△ABC 中，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：AB ＝AC同步检测二：1.在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∠B ＝70°，BC ＝10㎝，则BD ＝ ，∠BAD ＝ °A B CD E F知识点三：等腰三角形的判定——等角对等边在△ABC 中，如果∠A ＝∠B ，则有 ＝例3：如图，已知BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC 交AB 于E ，求证：△BED 是等腰三角形．1.在△ABC 中∠A ＝50°，∠B ＝80°，BC ＝10㎝，则AB ＝ ㎝ 【证明题典例】例4:已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，AB ∥CD ，OA=OB ，求证：OC=OD例5:求证：等腰三角形两腰上的中线相等.例6:在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE∥BC，分别交AB 、AC 于点D 、E ．求证：DE=BD+EC ．A B C DE随堂检测：1、已知ABC ∆中，AB AC =．36A ∠=︒，则C ∠______．2、若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒3、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ；4、已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( )A ．4.8cmB ．9.6cmC ．2.4cmD ．1.2cm 5、如图，若已知36A ∠=︒，72C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，若已知 4AD =cm ， （5题图)则BC ＝ cm ．6、如图，等腰ABC △中，底边BC a =，36A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，则图中等腰三角形共有（ ）个．A ．3B ．4C ．5D ．67、如图，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD ＝3㎝，则CD ＝ ㎝（6题图) （7题图) (8题图)8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ， ∠B ＝30°，EF 垂直平分AB 如CF ＝8，则BF ＝ ．9、如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于点O ，且OB=OC ，请说明AB=AC 的理由.（9题图)10、（1）已知：OD 平分∠AOB ，EO=E D.请说明：ED ∥OB.（2）已知：ED ∥O B ，EO=ED.请说明：OD 平分∠AOB. (10题图）11、已知：如图所示，在△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°，AC 与BD 相交于点O ，AC=DB ．求证：△OBC 为A B D CE D C BAA B CO等腰三角形．12、（1）已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E 、F ，且DE=DF ．求证：△ABC 是等腰三角形．（2）求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．【课后作业】1．在△ABC 中，AB=AC,BD 是角平分线，如果∠A=40 o ，那么∠BDC= .2. 在△ABC 中，点D 在CB 上，且AB=AD=CD,∠C=25 o ,那么∠BA C= .3.下列说法正确的是（ ）A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.顶角相等的两个等腰三角形全等 (2题图)C.等腰三角形一边不可是另一边的两倍D.等腰三角形的两个底角相等4、如图，在△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过Ｆ作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9， 则线段DE 的长为（ ）.(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 65.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，且EF ∥BC ，若EF 交AD 于M ，EF=12，则DM = .(5题图) (6题图)6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝20o ，AD ＝AE ，则∠EDC= ．7.已知：如图，△ABC 的两条高BE 、CD 相交于点O ，且OB=OC ，求证：△ABC 是等腰三角形．E D C BA。

⑶过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，
G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH， 过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式 是否成立？若成立，请证明：
已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.
求证:BD=CE.
证明: ∵∠1=∠2（已知）
∴AD=AE（等角对等边） ∵DE∥BC（已知） ∴∠1=∠B，∠2=∠C ∴∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边） ∴AB－AD=AE－AC B D 1
A
2 E
C
即 BD=CE
例3、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合 的部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 2 解：重合部分是等腰三角形。 理由：由ABDC是矩形知 AD∥BC A ∴∠ 3= ∠ 2 由沿对角线折叠知 1 ∠1=∠3 B 3 ∴ ∠ 1= ∠ 2 ∴ BF=DF（等角对等边）
3、注意：该方法不能直接使用，只能提供一种证等腰 的基本思想，要运用必须予以证明。
1、已知:如图,AD交BC于点O, AB∥CD,OA=OB. 求证:OC=OD
证明:
∵OA=OB(已知) ∴∠A=∠B(等边对等角）
∵AB∥CD(已知) C
A O
B
D
∴∠C= A=∠D. D,∠B=∠C(两直线平行,内错 角相等) ∴OC=OD(等角对等边）
C 110° 20° 50°
A
B
比较本题和练习册P37 7的不同之处。
1、对∠A进行讨论
2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
C
20° 20°
C
65° 65° 50° 35°
C
110° 35°
A C
20° 20°
BA C
50°

等腰三角形判定方法
等腰三角形是指至少两边长度相等的三角形。

判定一个三角形是否为等腰三角形可以使用以下方法：
1. 比较边长：测量三条边的长度，如果有两条边的长度相等，则三角形为等腰三角形。

2. 角度判断：如果一个三角形有两个角相等，则它是一个等腰三角形。

3. 等腰线段：在三角形中找出两个等长的边，通过比较三角形的边长，寻找等腰线段。

4. 高度比较：通过三角形的高度也可以判断是否为等腰三角形，如果有两个等长的边，则它的高度也相等。

使用上述方法中的任意一种都可以判定一个三角形是否为等腰三角形。

复习回顾
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，

等腰三角形的性质与判定【知识梳理】1．等腰三角形的概念：有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个 相等，也能够说成 ．． (3)等腰三角形是 图形．3．等腰三角形的判定：(1)有 相等的三角形是等腰三角形． (2)假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ．【例题讲解】例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两局部，求这个三角形的腰长及底边长．例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ．例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：∠BAC =2∠DBC ．例5 相关等腰三角形的基本图形．（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否准确？（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ． （3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．总结：图3是相关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有协助的．相关的题组练习．（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ．（2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相对应的线段和差关系如何?推广①当过△ABC 的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d ）．推广②当过△ABC 的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e ）．（5）如图6，若BD ，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，作DF ∥AC 交BC 于F ．求证：BC 的长等于△DEF 的周长．【课后巩固】1．在△ABC 中，AB =AC ，若∠B =56º，则DCBAED CBADCB A 3334∠C =__________．2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3． 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和（2x－6）cm ，且周长为17cm ，则第三边的长为________．4． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，若∠CAD =25°，则∠ABE = ，若BC =6，则CD = ．5．△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =36°，D ．E 是BC 上的点，∠BAD =∠DAE =∠EAC ，则图中等腰三角形有______个6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长CB 到D ，使BD =AB ，延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AD ．AE ，则∠DAE =_______．EDCB A8．如下列图，△MNP 中，∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG =NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是 ．9．△ABC 中，∠C =∠B ，D ．E 分别是AB ．AC上的点，•AE =•2cm ，•且DE •∥BC ，•则AD =______10．如图，∠AOB 是一个钢架且∠AOB =10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管______根．11．如图△ABC 中，AB =AC ，AD 、BE 是△ABC 的高，它们相交于H ，且AE=BE ． 求证：AH =2BD ． 12．△ABC 为非等腰三角形，分别以AB 、AC 为 向△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角 形ACE ，且∠DAB =∠EAC =90°． 求证：（1）BE =CD ；（2）BE ⊥CD ．13．如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =． 求证：BD CE = 14．如图，AB AC =，30BAD ∠=，且AD AE =．求EDC ∠的度数．15.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD BA ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，交BC 于E ，求证：CEF ∆是等腰三角形．16．Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，O 为 AB 中点，若点M ．N 分别在线段AB ．AC 上移 动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．17.已知：如图，△ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于M ，MD ＝ME ，求证：△ABC 是等腰三角形．18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数． E D C B AP QM N G 35E M DCB A36。

思考 2:
下例各说法对吗？为什么？
等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等.
A A A M Q C B
E
B
● ●
D
●● ●●
N C B
P
C
A D ∴∠ADB=∠DBC ∵ BD平分∠ABC
B
B
∴∠ABD=∠DBC
C
∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD
小 结
名称 图 等
腰 三 角 形 B D
形
概 念 性质与边角关系
识
别
A
1.如果AB=AC, 1.两腰相等， 则△ABC是等腰 即AB=AC 有两边 三角形。 相等的 三角形 2.等边对等角,即 2.等角对等边, 即∵ ∠B=∠C 是等腰 ∵AB=AC, ∴ AB=AC。 三角形。 ∴∠B=∠C。 C 3.顶角的平分线、 底边上的中线和高 三线合一。 4.是轴对称图形.
B
D
E
A
3、如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB。
求证：OC=OD。
C 4、已知：如图，CD是等腰直角三 角形ABC斜边上的高，找出图中有 哪些等腰直角三角形。 等腰直角三角形有： △ABC ， A D △ACD ，△BCD。 5、已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。 证明：∵ AD ∥BC 求证：AB=AD
思考：如图，位于海上A、B两处的两艘救生船 接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果 这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时 赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
O
A
B
1、如图，∠A=36°，∠DBC=36°， ∠C=72°。分别计算∠1、∠2的度数， 并说明图中有哪些等腰三角形。 ∠1=72°，∠2=36° 等腰三角形有：△ABC，△ABD， △BCD。 2、如图，把一张矩形的纸沿对角线 C 折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？

等腰三角形的判定
请你说说等腰三角形的性质有哪些？
1.等腰三角形两底角相等(等边对等角).
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合(三线合一)。
已知：ΔOAB中，∠A=∠B， 证:OA=OB.
证明：过O点作OC⊥AB， 垂足为C. 在ΔOAC和ΔOBC中， ∠A=∠B ∠OCA= ∠OCB=90° OC=OC ∴ ΔOAC ≌ΔOBC(AAS) ∴ OA=OB
小结与作业
•
• •
这节课学习的主要内容？
你有哪些收获？ 作业：教科书第56页5、10题。
A
解：∠ABC =180°－∠A－∠C =180°－36°－72°= 72° ∴ ∠2 =∠ABC－∠DBC = 72°－36°= 36° ∴∠1 =∠A＋∠2 = 36°＋36°=72°
D2 1BC等腰三角形有： △ ABC , △ ABD , △ BCD
3.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等 腰三角形吗？为什么？
B 即△ABC、△ ABD、 △ ADE、 △ ADC、 △ AEC、 △ ABE。
共有6个。
D
E
C
思考题 如图,线段AB的端点B在直线 l 上(AB与直线 l 不 垂直)，请在直线 l 上另找一点C,使ΔABC为等腰 三角形，这样的点能找几个？你能说出它们的画 法吗？ A
l
C1 C3 C2 B C4
B
C
练习 1.如图,在ΔABC中,O是∠ABC和∠ACB角平分线的交 点,过O点作BC的平行线分别与AB和AC交于M和N. （1）图中有没有等腰三角形？有几个？
（2）线段BM、CN与MN的长度有什么关系？
A
M
1
3
O

等腰三角形的判定(尺 规作)
目录 CONTENT
• 等腰三角形的定义与性质 • 等腰三角形的判定方法 • 等腰三角形的尺规作图 • 等腰三角形的实际应用 • 等腰三角形尺规作图的注意事项
01
等腰三角形的定义与性质
等腰三角形的定义
总结词
等腰三角形是两边长度相等的三 角形。
详细描述
等腰三角形是两边长度相等的三 角形，即两个腰的长度相等，底 边与两腰之间的夹角相等。
等腰三角形的性质
总结词
等腰三角形具有轴对称性、两腰之间 的角相等、底边上的高等性质。
详细描述
等腰三角形具有轴对称性，即沿底边 中垂线对折后能够完全重合；两腰之 间的角相等，即两个底角相等；底边 上的高相等，即两个腰上的高相等。
等腰三角形与直角三角形的关系
总结词
等腰三角形可以是直角三角形，但直角三角形不一定是等腰 三角形。
详细描述
当等腰三角形的顶角为直角时，该三角形即为直角三角形； 但直角三角形不一定具备等腰三角形的性质，除非其两腰长 度相等。
02
等腰三角形的判定方法
边相等判定法
总结词
通过比较三角形的两边长度，判断是否为等腰三角形。
详细描述
如果一个三角形的两边长度相等，则这个三角形是等腰三角形。这是等腰三角 形最基本的判定方法。
注意作图步骤的逻辑性
理解作图原理
在开始作图之前，应充分理解等 腰三角形的性质和判定原理，确 保作图的每一步都有明确的逻辑
依据。
遵循作图步骤
按照规定的步骤进行作图，不要跳 过或更改任何步骤，以免影响作图 的逻辑性和准确性。
检查作图过程
在完成作图后，应仔细检查作图过 程，确保每一步都符合逻辑和原理， 及时发现并纠正错误。

在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）平行四边形的判定1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形5、两组对角分别相等的四边形为平行四边形矩形的判定1、三个角是直角的四边形叫做矩形。

2、对角线相等且互相平分的四边形是矩形3、有一个角是直角的平行四边形是矩形。

4、长方形和正方形都是矩形。

5、平行四边形的定义在矩形上仍然适用菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四边相等的四边形是菱形3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、对角线垂直平分的四边形是菱形正方形的判定1：对角线相等的菱形是正方形。

2：有一个角为直角的菱形是正方形。

3：对角线互相垂直的矩形是正方形。

4：一组邻边相等的矩形是正方形。

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

等腰梯形的判定1、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

2、一组对边平行且不等，另一组对边相等且不平行的四边形是等腰梯形。

3、对角线相等且能形成两个等腰三角形的四边形是等腰梯形。

4、对角互补的梯形是等腰梯形。

5.对角线相等的梯形是等腰梯形。

等腰三角形判定华师大版在数学的奇妙世界里，等腰三角形是一个重要且常见的几何图形。

对于如何判定一个三角形是否为等腰三角形，华师大版教材为我们提供了清晰且实用的方法。

首先，我们来明确一下等腰三角形的定义。

等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边则称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

那么，如何判定一个三角形是等腰三角形呢？方法一：定义法。

如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

这是最直接也是最基础的判定方法。

比如，在三角形 ABC 中，如果 AB ＝ AC，那么三角形 ABC 就是等腰三角形。

方法二：等角对等边。

如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

这个判定方法在解决一些较为复杂的几何问题时经常用到。

假设在三角形 ABC 中，角 B ＝角 C，那么可以得出 AB ＝AC，从而判定三角形 ABC 是等腰三角形。

为了更好地理解和运用这些判定方法，我们来看一些具体的例子。

例 1：已知在三角形 ABC 中，角 A ＝ 70 度，角 B ＝ 70 度，判断三角形 ABC 的类型。

因为角 B ＝角 C ＝ 70 度，根据“等角对等边”的判定方法，角 B 和角 C 所对的边 AC 和 AB 相等，所以三角形 ABC 是等腰三角形。

例 2：在三角形 DEF 中，DE ＝ 5cm，DF ＝ 3cm，EF ＝ 5cm，判断三角形 DEF 的类型。

因为 DE ＝ EF ＝ 5cm，即三角形中有两条边相等，所以根据定义法，三角形 DEF 是等腰三角形。

接下来，我们通过做一些练习题来巩固对等腰三角形判定方法的掌握。

练习 1：一个三角形的内角分别为 30 度、75 度、75 度，判断这个三角形是否为等腰三角形。

因为 75 度＝ 75 度，所以根据等角对等边，这个三角形是等腰三角形。

练习 2：在三角形 MNO 中，MN ＝ 8cm，MO ＝ 6cm，NO ＝ 8cm，判断三角形 MNO 的类型。

3.如图所示，已知∠AOB=40°, OM平分∠AOB，MA⊥OA于A， MB
∵△OAM≌△OBM, ∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=70°, ∴∠MAB=180°-90°-70°=20°.
巩固等腰三角形的核心内容——"等边 对等角"与"等角对等边"
学会运用所学知识解决实际问题
掌握等腰三角形的判定方法
理解等腰三角形的判定方法与等腰 三角形的性质定理的关系
利用等腰三角形的知识和经验主动 进行探索性思考
等腰三角形的判定方法
有两边相等的三角形是等腰三角形； 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等.(简写成"等角对等边")
等腰三角形的判定是学习完等腰三 角形性质之后的内容，该定理与等 腰三角形的性质定理互为逆定理， 是在同一个三角形中边角相等转换 的重要依据，是判定等腰三角形和 证明线段相等的重要方法.
1.求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一 边，那么这个三角形是等腰三角形。
利用两直线平行，同位角相 等;两直线平行，内错角相 等.可利用如图所示的三角 形进行证明。
证明:∵被外角平分线平分的两角相等， ∴∠1=∠2. ∵三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一 边， ∴∠2=∠3，∠1=∠4， ∴∠3=∠4， ∴三角形是等腰三角形.
2.已知:如图所示，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC， 且∠E=∠B，DE=DC，求证:AB=AC.
根据在△ABC中， D为BC上的一点， AD平分∠EDC，且 ∠E=∠B，DE=DC，求证△AED≌△ACD，然后利用等量代换 即可求得结论。
证明:∵AD平分∠EDC，∴∠ADE=∠ADC. ∵ DE=DC， ∴ △AED≌△ACD，∴∠C=∠E， ∵∠E=∠B，∴∠C=∠B, ∴AB=AC.