七年级数学图形与面积问题 整理

七年级上册数学几何题型解题技巧一、认识基本的几何形状在学习数学几何时，首先要认识基本的几何形状，包括点、线、面、角等。

点是没有大小和形状的，用字母来表示；线是由无数个点连在一起形成的，具有长度但没有宽度；面是由无数个线段围成的区域，有面积但没有体积；角是由两条射线共同起点组成，用角度来表示。

二、熟练掌握几何形状的性质1. 直线和线段的性质：直线没有起点和终点，延伸无限远；线段有起点和终点，长度是有限的。

2. 角的性质：锐角的度数小于90度，直角的度数是90度，钝角的度数大于90度，周角的度数是360度。

3. 四边形的性质：正方形的四条边相等且角为直角；长方形的对边相等且角为直角；菱形的对角线互相垂直且平分对角；平行四边形的对边相等且对角互补。

三、熟练掌握几何图形的计算方法1. 计算周长：周长是封闭图形的边界长度之和，可以通过将各边长度相加得到。

2. 计算面积：面积是封闭图形所覆盖的区域大小，可以通过公式计算，如矩形的面积为长乘以宽。

四、应用几何知识解决实际问题在学习数学几何时，应该注重将所学知识应用到实际问题的解决中。

通过计算地块的面积来确定需要购物的地砖数量；通过计算房间的周长来确定需要购物的踢脚线长度等。

通过以上几个方面的学习和掌握，我们能够更好地解决七年级上册数学几何题型的问题，提高解题的准确性和效率。

希望同学们能够努力学习，加强练习，掌握数学几何的基本知识，奠定良好的数学基础。

熟练掌握几何形状的性质是解决几何问题的关键。

在解题过程中，我们需要利用几何形状的性质来进行推理和计算。

在解决三角形的问题时，我们需要掌握三角形内角和的性质，即三角形内角和等于180度。

这样就能够利用已知角度推导出未知角度，从而解决问题。

对于平行线和相交线所形成的角度关系也需要有所了解，例如同位角相等、内错角互补等性质，这些都是解决复杂几何问题的利器。

除了几何形状的性质外，我们还需要掌握一些常见的几何定理和公式。

正方形的对角线相等，菱形的对角线垂直且平分对角，这些定理可以帮助我们判断图形的性质，进而解决相关问题。

第1页 共16页七年级数学几何图形初步难题精选（含解析答案）1. 美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是A. B. C. D2. 《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础.它是下列哪位数学家的著作( )A. 欧几里得B. 杨辉C. 费马D. 刘徽3.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，BD ⊥DC ，BD ＝DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N ，下列结论：①BH ＝DH ；②CH ＝(√2＋1)EH ；③S △ENH S △EBH ＝EHEC.其中正确的是( )A. ①②③B. 只有②③C. 只有②D. 只有③4. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是( )A. B. C. D.5. 如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图形是( )A. AB. BC. CD. D6. 图1所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图2的几何体,一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm.7. 如图1,图2,图3,用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”,我们称之为环形密铺,但图4,图5不是我们所说的环形密铺.请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形:.8. 如图，n＋1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形PnMnNnNn＋1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn＝________.9. 有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B，D重合，点C落在点C′处，得折痕EF；第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE，C′F重合，得折痕DG，再打开；第三步：如图③，进一步折叠，使AE，C′F均落在DG上，点A，C′落在点A′处，点E，F落在点E′处，得折痕MN，QP.第3页 共16页这样，就可以折出一个五边形DMNPQ .(1)请写出图①中一组相等的线段__________(写出一组即可)；(2)若这样折出的五边形DMNPQ (如图③)恰好是一个正五边形，当AB ＝a ，AD ＝b ，DM ＝m 时，有下列结论：①a 2－b 2＝2ab tan 18°； ②m ＝√a 2+b 2tan 18°；③b ＝m ＋a tan 18°； ④b ＝32m ＋m tan 18°其中，正确结论的序号是______(把你认为正确结论的序号都．填上). 10. 一个圆柱形的蛋糕，将它截三刀，能截出六块、七块或八块吗？若能，画出示意图；若不能，请说明理由.11. 图①的正方体切去一块，得到图②~⑤的几何体.(1)所得几何体各有多少个面?多少条棱?多少个顶点?(2)举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少? (3)若面数记为f ，棱数记为e ，顶点数记为v ，则f , v , e 应满足什么关系?12. 有一副直角三角板，其中一个三角板的内角是45°,45°,90°,另一个三角板的内角是30°,60°,90°.(1)将该副三角板按如图①所示方式放置，AB ⊥AD ，则∠CAE =________，BC 与AD 的位置关系是________；(2)在第1问的基础上，再拿一个内角为30°,60°,90°的直角三角板，按如图②所示方式放置，AC'边和AD 边部分重合，则AE 平分∠CAB′吗？请说明理由；(3)根据第1问和第2问的计算，请解决下列问题：如图③，∠BAG =90°，∠BAC =∠FAG =20°，将一个内角为45°,45°,90°的直角三角板的一直角边与AG 部分重合，锐角顶点与∠BAG 的顶点重合，AE 平分∠CAF 吗？请说明理由；(4)如果图③中的∠BAC =∠FAG =∠α(∠α是锐角)，其他条件不变，那么第3问中的结论还成立吗？只需回答成立或者不成立，不需要说明理由.13. 如图给出的正多边形的边长都是20 cm.请分别按下列要求设计一种剪拼方法(用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线表示，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明)(1)将图①中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；(2)将图②中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；(3)将图③中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等.14. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题.四面体长方体正八面体正十二面体(1)根据上面的多面体模型，补全表格：顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是________；(2)一个多面体的顶点数比面数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面的三角形的个数为x，八边形的个数为y，求x+y 的值.15. 在图中，对于四个平面图形①②③④，我们规定：如图形③，它的顶点为共5个，区域为△AED,△ABE,△BEC,△CED，共4个，边为AE,EC,DE,EB,AB,BC,CD,DA，共8条.①②③④(1)按此规定将图形①②④的顶点数、边数、区域数填入下列表格：第5页 共16页(2)观察上表，请你归纳上述平面图形的顶点数、边数、区域数之间的数量关系；(3)如果有一个平面图形满足第2问中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且从每一个顶点出发都有3条边，那么这个平面图形共有多少条边？16. 在多边形中，三角形是最基本的图形，而研究多边形一般是将多边形分割成三角形，那么一个八边形至少可以分割成多少个三角形？n 边形呢？17. 如图，P 是定长线段AB 上一点，C ,D 两点同时从P ,B 出发分别以1cm s ⁄和2 cm/s 的速度沿线段向左运动(C 在线段AP 处上，D 在线段BP 上).已知C ,D 运动到任一时刻时，总有PD =2AC .(1)线段AP 与线段AB 的数量关系是________；(2)若Q 是线段AB 上一点，且AQ -BQ =PQ ，求证：AP =PQ .(3)若C ,D 运动5秒，恰好有CD =12AB ，此时C 点停止运动，D 点在线段BP 上继续运动， M ,N 分别是CD , PD 的中点，问MN AB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MNAB的值. 18. 已知在同一平面内,∠AOB =90°,∠AOC =60°. (1)∠COB = ;(2)如果OD 平分∠BOC ,OE 平分∠AOC ,那么∠DOE 的度数为 ;(3)试问在第2问的条件下,如果将题目中∠AOC =60°改成∠AOC =2α(α<45°),其他条件不变,你能求出∠DOE 的度数吗?若能,请写出求解过程;若不能,请说明理由.19. 先阅读下面的材料,然后解答问题:在一条直线上有依次排列的n (n >1)台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P ,使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”到比较简单的情形:如图所示,如果直线上有2台机床甲、乙,很明显供应站P 设在A 1和A 2之间的任何地方都行,因为甲和乙到P 的距离之和等于A 1到A 2的距离.如图所示,如果直线上有3台机床甲、乙、丙,不难判断,供应站P 设在中间A 2处最合适,因为如果P设在A 2处,甲和丙到P 的距离之和恰好为A 1到A 3的距离,而如果把P 设在别处,例如D 处,那么甲和丙到P 的距离之和仍是A 1到A 3的距离,可是乙到P 的距离是从A 2到D 的这一段的长,这是多出来的,因此P 放在A 2处最合适.不难知道,如果直线上有4台机床,P 应设在第2台与第3台之间的任何地方;有5台机床,P 应设在第3台处.(1)有n (n >1)台机床时,P 应设在何处?(2)根据第1问的结论,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值.(3)变式:某公司员工分别住在离公路较近的A,B,C三个住宅区,其中A区有75人,B区有45人,C区有30人,A,B,C三区与公路的连接点分别为D,E,F,如图,且DE=100米,EF=200米,该公司的接送车打算在公路上只设一个停靠点,为使所有员工在公路上步行到停靠点的路程之和最小,那么停靠点的位置应设在.20. 如图,两个形状、大小完全相同的含有30°,60°角的三角尺如图①放置,PA,PB与直线MN重合,且三角尺PAC,三角尺PBD均可以绕点P逆时针旋转.(1)试说明:∠DPC=90°;(2)如图②,若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度,PF平分∠APD,PE平分∠CPD,求∠EPF;(3)如图③,若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速为3°/秒,同时三角尺PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速为2°/秒,在两个三角尺旋转过程中(PC转到与PM重合时,两三角尺都停止转动),以下两个结论:①∠CPD∠BPN为定值;②∠BPN+∠CPD为定值,请选出正确的结论,并说明理由.21. 已知线段AB=12,CD=6,线段CD在直线AB上运动(如图,A在B的左侧,C在D的左侧,且运动中D在B的右侧).(1)M,N分别是线段AC,BD的中点,若BC=4,求MN的长;(2)当线段CD运动到D点与B点重合时,P是线段AB的延长线上一点,下列两个结论:①PA+PBPC 是定值,②PA-PBPC是定值.其中有一个正确,请你选出正确的结论,并求出这个定值.22. 墙角处有由若干大小相同的小正方体堆成的如图所示的立体图形,如果你打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制),但希望搬完后从正面、上面、右面用平行光线照射时,在墙面及地面上的影子不变,那么你最多可以搬走多少个小正方体?23. 已知C为直线AB上任意一点，M,N分别为AC,BC的中点，试探究MN与AB之间的关系，并说明理由.24. 已知直线AB上有点O，OD,OC是从点O出发的两条射线，∠AOD=42°，∠BOC=34°，求∠AOD 与∠BOC的角平分线的夹角的度数.25. 如图，射线OM,ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，且∠AOB=90°.(1)求∠MON的度数；(2)当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数是否会发生变化？简单说明理由.26. 比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)：①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大.对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小.27. 如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.(1)求∠MON的度数；(2)若将题干中的∠AOB=90°改为∠AOB=α，其余条件不变，求∠MON的度数；(3)若将题干中的∠BOC=30°改为∠BOC=β(β为锐角)，其余条件不变，求∠MON的度数；(4)从前面的结果中，你能得出什么结论？28. 根据所给图形解答问题.第7页共16页(1)如图1，已知∠AOB=80°，OC是∠AOB的平分线，OD,OE分别平分∠COB，∠AOC，求∠DOE的度数；(2)如图2，在第1问中把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求∠DOE的度数；(3)如图3，在第1问中把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB外任意一条射线”，其他任何条件都不变，你能求出∠DOE的度数吗？说明理由.29. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的？在图上画出来，这样的最短路线有几条？参考答案1. 【答案】B【解析】由图的特征可知B选项符合题意2. 【答案】A【解析】由常识可知选A.3. 【答案】B【解析】过点H作HM⊥BC于M.∵CE平分∠BCD.∴DH＝HM.在Rt△BMH中BH＞HM∴BH＞DH.故①不正确②③正确故选B.4. 【答案】B【解析】实际动手做一下，就可知几何体表面展开图是B.5. 【答案】D【解析】相反操作顺序展开，再利用对称性作图，可得D正确.6. 【答案】3√2+3√6【解析】本题考查平面展开图及最短路径问题,难度较大.将图②的几何体表面展开,根据“两点之间线段最短”得出结果.如图所示,蚂蚁爬行的最短距离即线段AB的长度,∵BC=BD,AC=AD,∴AB垂直平分线段CD,设垂足为点E,∵△BCD是等腰直角三角形,∴CD=√BC2+BD2=第9页 共16页√62+62=6√2(cm),∴BE =12CD =3√2(cm),∵AD ,AC ,CD 均为正方形的对角线,∴AD =AC =CD =6√2,即△ACD 是等边三角形,∴AE =AD sin 60°=6√2×√32=3√6, ∴AB =BE +AE =3√2+3√6(cm),∴蚂蚁爬行的最短距离为(3√2+3√6)cm.7. 【答案】正十二边形(答案不唯一)【解析】本题考查平面图形的镶嵌问题,属于较难题.由题意知,符合环形密铺的条件是各正多边形的重心到所围成的图形的重心距离要相等,即正多边形的重心在一个圆上,图中的④,⑤明显的不符合,正六边形符合,则正十二边形也符合.8. 【答案】3√34－12n+1√34【解析】当上底为1，腰为1，下底为2时，高为√1−14＝√32，上底与下底的比为1∶2，∴S △1＝14S △AN 1M 1＝2×√32×23×14×12＝√312， S 1＝12(1＋2)√32－√312＝3√34－√312＝2√33，S 1＝3√34－12×1+1√34，同理，由相似，S 2＝3√34－12×2+1√34，…，以此类推，S n ＝3√34－12n+1√34. 9.(1) 【答案】AD ＝C ′D (答案不唯一，也可以是AE ＝C ′F 等)【解析】图①中，AD ＝C ′D ，AE ＝C ′F ，DE ＝BE ，C ′F ＝CF 等 (2) 【答案】①②③【解析】延长MN ，则M 、N 、B 在一条直线上，∴∠MBA ＝18°， ∴AM AB ＝AMa＝tan 18°，∴AM ＝a tan 18°，又AD ＝AM ＋MD ，∴b ＝m ＋a tan 18°，延长线BM 至M ′，使DM ＝DM ′，∠DM ′M ＝∠DMM ′＝72°， ∴∠M ′DB ＝90° ∴DM ＝DM ′＝BD tan18°＝√a 2+b 2tan18°＝m .∴AE ＝b tan 18°，DE ＝BE ＝a －b tan 18°，AD ＝b .∴b 2＋b 2tan 2 18°＝a 2－2ab tan 18°＋b 2tan 18°，∴2ab tan 18°＝a2－b2.故①②③正确10. 【答案】垂直、平行于底面各截一刀，第三刀刚好过前两个截面的交线，如图1，可以截出六块(方法不唯一)；垂直、平行于底面各截一刀，第三刀不过前两个截面的交线，如图2，可以截出七块；垂直于底面交叉截两刀，再平行于底面横截一刀，如图3，可以截出八块.11.(1) 【答案】题图②有7个面、15条棱、10个顶点，题图③有7个面、14条棱、9个顶点，题图④有7个面、13条棱、8个顶点，题图⑤有7个面、12条棱、7个顶点.(2) 【答案】例如：三棱锥被切去一块，如图所示，所得到的几何体有5个面、9条棱、6个顶点.(3) 【答案】由前两问可得到规律，f+v-e=2，所以f,v,e应满足的关系是f+v-e=2.12.(1) 【答案】15°；BC∥AD.(2) 【答案】AE平分∠CAB′，理由：易知∠EAB′=15°，由第1问知，∠CAE=15°，所以∠CAE=∠EAB′，所以AE平分∠CAB′.(3) 【答案】AE平分∠CAF，理由：因为∠GAE=45°，∠BAG=90°，所以∠BAE=45°，因为∠BAC=∠FAG=20°，所以∠CAE=25°，∠EAF=25°，即∠CAE=∠EAF，则AE平分∠CAF. (4) 【答案】成立.13.(1) 【答案】将图①中四个角上的4个小正方形剪下，拼成一个正方形，作为直四棱柱的一个底面.(2) 【答案】将图②中三个角上的3个四边形剪下，拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面.第11页 共16页(3) 【答案】将图③中五个角上的5个四边形剪下，拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面.14.(1) 【答案】6；6；V +F −E =2.(2) 【答案】12.(3) 【答案】这个多面体的面数为x +y ，棱数为24×32=36，根据V +F −E =2可得24+(x +y)−36=2，所以x +y =14. 15.(1) 【答案】①栏依次填入：4；6；3；②栏依次填入：6；9；4；④栏依次填入：10；15；6.(2) 【答案】顶点数+区域数-边数=1.(3) 【答案】设这个平面图形有n 个顶点.因为从每一个顶点出发都有3条边，所以它3n2有条边.根据上述数量关系，有n +9−3n 2=1，可得n =16.所以3n2=24，所以这个平面图形共有24条边.16. 【答案】(1)将八边形内一点与各个顶点相连，可把八边形分割成8个三角形(如图(1))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成n 个三角形；(2)从八边形边上一点出发，连接各个顶点，能分成7个三角形(如图(2))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成(n −1)个三角形；(3)将八边形的一个顶点与同它不相邻的各顶点相连可以分割成6个三角形(如图(3))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成(n −2)个三角形.综上所述，八边形至少可以分割成6个三角形，n 边形至少可以分割成(n −2)个三角形.17.(1) 【答案】 AB =3AP .(提示：因为PD =2AC,DB =2PC ，所以PB =PD +DB =2(AC +PC )=2AP ，AB = AP +PB ，所以AB =3AP )(2) 【答案】证明：如图，由题意得AQ>BQ，∴AQ=AP+PQ，又∵AQ−BQ=PQ，∴AQ=BQ+PQ，∴AP=BQ.由第1问得，AP=13AB，∴PQ=AB−AP−BQ=13AB.∴AP=PQ.(3) 【答案】MNAB的值不变.当C点恰好停止运动时，有CD=12AB，∴AC+BD=12AB，∴AP−PC+BD=12AB，又∵AP=13AB，当C点恰好停止运动时，PC=1×5=5cm，BD=2×5=10cm，∴13AB−5+10=12AB，∴AB=30cm.∵M是CD的中点，N是PD的中点，∴MN=CD−MC−ND=CD−12CD−12PD=12(CD−PD)=12CP=52(cm)，∴MNAB =112.18.(1) 【答案】150°或30°(2) 【答案】45°(3) 【答案】能求出∠DOE的度数.当OC在∠AOB内部时,如图①,因为∠AOB=90°,∠AOC=2α,所以∠BOC=90°-2α,因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=12∠BOC=45°-α,∠COE=12∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC+∠COE=(45°-α)+α=45°;当OC在∠AOB外部时,如图②,因为∠AOB=90°,∠AOC=2α,所以∠BOC=90°+2α,因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=12∠BOC=45°+α,∠COE=12∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC-∠COE=(45°+α)-α=45°.综上所述,∠DOE=45°.第13页 共16页19.(1) 【答案】当n 为奇数时,P 应设在第n+12台处;当n 为偶数时,P 应设在第n 2台和第(n 2+1)台之间的任何地方.(2) 【答案】根据绝对值的几何意义,求|x -1|+|x -2|+|x -3|+…+|x -617|的最小值就是在数轴上找出表示x 的点,使它到表示1,2,…,617各点的距离之和最小,根据问题(1)的结论知,当x =309时,原式的值最小.最小值是:|309-1|+|309-2|+|309-3|+…+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+…+|309-617|=308+307+306+…+1+1+2+…+308=308×309=95172. (3) 【答案】D 与E 两点之间(包括点D ,E )20.(1) 【答案】因为∠DPB =30°, ∠CPA =60°,所以∠DPC =180°-30°-60°=90°.(2) 【答案】设∠CPE =∠DPE =x ,∠CPF =y ,则∠APF =∠DPF =2x +y ,因为∠CPA =60°,所以y +2x +y =60°,所以x +y =30°,所以∠EPF =x +y =30°.(3) 【答案】①正确，②不正确.理由:设旋转时间为t 秒,则∠BPM =(2t )°,∠APN =(3t )°.所以∠BPN =180°-∠BPM =(180-2t )°,∠DPM =30°-∠BPM =(30-2t )°.所以∠CPD =180°-∠DPM -∠CPA -∠APN =(90-t )°,所以∠CPD ∠BPN =90-t 180-2t =12.21.(1) 【答案】如图①,因为M ,N 分别为线段AC ,BD 的中点,所以AM=12AC =12(AB +BC)=8,DN =12BD =12(CD +BC )=5,所以MN =AD -AM -DN =9;如图②,困为M ,N 分别为线段AC ,BD 的中点,所以AM =12AC =12(AB -BC )=4,DN =12BD =12(CD -BC )=1,所以MN =AD -AM -DN =9. (2) 【答案】①正确.因为PA+PB PC =(PC+AC)+(PC -CB)PC =2PC PC =2,所以PA+PBPC是定值2.22. 【答案】第1列最多可以搬走9个小正方体; 第2列最多可以搬走8个小正方体;第3列最多可以搬走3个小正方体;第4列最多可以搬走5个小正方体;第5列最多可以搬走2个小正方体,因为9+8+3+5+2=27(个),所以最多可以搬走27个小正方体.23. 【答案】因为M是线段AC的中点，所以CM=12AC.因为点N是线段BC的中点，所以CN=12BC.分以下三种情况：①当点C在线段AB上时，如图1，则有MN=CM+CN=12AC+12BC=12(AC+BC)=12AB；②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，则有MN=CM−CN=12AC−12BC=12(AC−BC)=12AB；③当点C在线段BA的延长线上时，如图3，则有MN=CN−CM=12BC−12AC=12(BC−AC)=12AB.综上所述，MN=12AB.24. 【答案】设∠AOD,∠BOC的角平分线分别为OE,OF.分两种情况讨论.①当射线OD和射线OC在直线AB的同侧时，由题意，得∠BOF=12∠BOC=17°，∠AOE=12∠AOD=21°，故∠EOF=180°−∠BOF−∠AOE=180°−17°−21°=142°；②当射线OD和射线OC在直线AB的异侧时，∠EOF=180°−∠AOE+∠BOF=180°−21°+17°=176°.综上所述，∠AOD与∠BOC的角平分线的夹角为142°或176°.25.(1) 【答案】因为∠NOC=12∠BOC，∠MOC=12∠AOC，所以∠MON=∠NOC+∠MOC=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12∠AOB=45°.(2) 【答案】由第1问知，∠NOC+∠MOC是个定值，所以当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数不会发生改变，恒为45°.26. 【答案】①测量∠ABC=45°，∠DEF=65°，所以∠ABC<∠DEF.②如图，使∠ABC的一边BC与∠DEF的一边EF、顶点B与E分别重合，BA落在∠DEF的内部，所以∠ABC<∠DEF.27.(1) 【答案】因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，又因为∠AOB=90°，∠BOC=30°所以∠MON=∠MOC−∠NOC=12∠AOC−12∠BOC=12(∠AOC−∠BOC)=12∠AOB=12×90°=45°.(2) 【答案】当∠AOB=α，其他条件不变时，∠MON=12∠AOB=12α.(3) 【答案】当∠BOC=β，其他条件不变时，∠MON=12∠AOB=12×90°=45°.(4) 【答案】∠MON总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关.28.(1) 【答案】因为∠AOB=80°，OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC=12∠AOB=40°. 因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC，所以∠COD=12∠BOC=20°，∠COE=12∠AOC=20°，所以∠DOE=∠COD+∠COE=40°.第15页共16页(2) 【答案】因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC，所以∠COD=12∠BOC，∠COE=12∠AOC，所以∠DOE=∠COD+∠COE=12(∠BOC+∠AOC)=12∠AOB=12×80°=40°.(3) 【答案】能.∠DOE=∠DOC−∠COE=12∠BOC−12∠AOC=12(∠BOC−∠AOC)=12∠AOB=12×80°=40°.29. 【答案】欲求从A点到B点的最短路线，在立体图形中难以解决，可以考虑把正方体展开成平面图形.如图所示.在两点之间，走线段最短，因而沿着从A到B的虚线(如上图)走路程最短.在正方体中，像这样的最短路线一共有六条，如图所示.。

25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.WFGEDCBA【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC BDEA【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCD A【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.F DB能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是______.F CB（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.DCB A（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.DOCBA（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC ⋅31，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍.A.2B. 3C. 4D.5DF CBEA6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A.c b a ab )(+-B. c b a ab )(--C.))((c b c a --D.))((c b c a +-cccc7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B. 100 C.50π D. 200CBD A（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A.29 B.27 C.310D ．815 ⅢⅡⅠCBDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.HGEDCF B A（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．RKP GF EC B A D（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQPB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A.8B.12C.16 D ．20F BGCHDE A7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A.48cm 2B.49cm 2C.50cm 2D ．51cm 2KGFEC B A D（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ). A.0 B.1 C.2 D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A.25B.30C.35 D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.GCBMAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△A BC 中，21===FA FB EC EA DB DC .求的面积△的面积△ABC GHI 的值. G IHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题25 图形面积的计算例1 196 提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则×BC ×h =24 故h=错误！未找到引用源。

七年级数学方程中面积问题，先观察图形找等量关系，再列方程求解
《七年级数学方程中面积问题，先观察图形找等量关系，再列方程求解》
一、面积问题的重要性
数学的面积问题是数学方程的基本内容，在七年级知识体系中，面积问题可以被正确理解、分析和解决，对对学生数学知识的理解和运用能力具有重要意义。

弄清面积问题的基本概念，从而求出几何图形的面积，有助于加深学生数学基础知识和综合能力的培养，为学生的进一步学习打下良好的基础。

二、观察图形找到等量关系
面积问题中的等量关系是比较复杂的，对几何图形不同形状的面积求解，必须根据实际情况，建立等量关系，才能求解出结果。

例如：某长方形ABCD的边长分别是a和b，面积S=ab，这就是一个等量关系，推出面积是两个边长乘积，也就是S=ab，求出此图形的面积。

另外，当给出的几何图形有上下对称轴时，面积可以通过反比例缩放的方法求解；当给出的几何图形有左右对称轴时，面积可以通过多边形定积法求解。

三、列等式求解面积问题
面积求解的核心步骤是列等式求解，要求学生在联系实际和抽象之间进行跳跃，将图形中的量形结合等量关系，正确的列出方程来求解面积问题。

在认知面积问题等量关系的基础上，学生可以根据图形中已知量的类型，写出正确的面积方程进行解决。

比如：三角形BCD的底边长是a，高是h，则三角形BCD的面积S=1/2 × a × h；圆C的半径是R，
则圆C的面积S=πR^2。

最后，关于面积问题，要求学生不仅要深入学习，掌握几何图形的面积定义及性质，而且要通过观察图形，加深学生对面积求解的理解，从而学会运用数学方程，列面积等式求解，正确解决面积问题，加深学习数学知识，为未来数学学习打下坚实的基础。

七年级第一学期期中练习之图形面积一、计算图形面积（一）正方形与长方形：1、如图,将一张边长为a cm 的正方形纸板的四角各剪去一个边长 为x cm 的小正方形,然后将它折成一个纸盒,求纸盒的容积.（纸板 的厚度忽略不计,结果用含有a 、x 的代数式表示） 答案：2)2(x a -2、如图,一张长方形硬纸片的长为12厘米,宽为10厘米,将它的 四角各剪下一个边长为x 厘米的正方形（阴影部分），然后沿虚 线将I 、II 、III 、IV 这四个部分折起,构成一个无盖的长方形 纸盒.这个纸盒的体积是多少? 答案：32444120x x x +-3、如图,将一块长方形的铁皮剪取去四个角就可以折成一个 长方体的无盖盒子,根据图中标注的数据,求这个盒子的底 面积.（单位:厘米） 答案：ac c b a 44222-+-4、小明在一个长为a 厘米，宽为b 厘米的长方形 纸板的四角各剪去一个边长为x 厘米小正方形， 折成无盖纸盒.求（1）无盖纸盒的表面积.（2）无盖纸盒的容积.（纸板厚度不计，结果用 含a ，b ，x 的代数式表示）.5、求图中阴影部分面积。

（单位：厘米）6、计算变压器矽钢芯片的一个面(如图所示)的面积(结果用含字母a 的代数式表示)xxaaxxa答案：222a7、学校操场的长为a 米,宽为b 米,由于扩建,长增加了m 米, 宽增加了n 米,求扩建以后操场的面积为多少平方米?答案：)(mn bm an ab +++平方米8、如图,在一块长方形的土地中修两条路(阴影部分),根据 图示所标注的数据,求空白部分的面积.(单位:米) 答案：ac c b a 2222-+-9、如图，长方形的长为a ，宽为b ，横向阴影部分为长 方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为c,则 空白部分的面积是 ( )．(A) ab －bc ＋ac －c 2 (B) ab －bc －ac ＋c 2(C) ab － ac －bc (D) ab － ac －bc －c 210、计算下图阴影图形的面积。

七年级上册数学第二单元知识点全面解析2024人教版一、引言七年级上册数学第二单元主要涉及有理数及其运算、整式的加减、一元一次方程、图形的认识、数据的收集与整理等内容。

这些知识点不仅是初中数学学习的基础，也是学生们在日常生活中常常会用到的数学知识。

本文将对这些知识点进行详细的归纳和解析，帮助学生们更好地理解和掌握。

二、有理数及其运算1. 有理数的概念有理数包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。

它们可以表示为分数的形式，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。

2. 有理数的分类有理数可以分为整数和分数。

整数包括正整数、负整数和零；分数包括正分数和负分数。

3. 有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

以下是各类运算的具体规则：加法：同号相加，取相同的符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，绝对值相减。

减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

乘法：同号相乘得正，异号相乘得负，绝对值相乘。

除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

4. 有理数的性质有理数具有以下性质：交换律：a + b = b + a；a × b = b × a结合律：a + (b + c) = (a + b) + c；a ×(b ×c) = (a ×b) × c分配律：a ×(b + c) = a × b + a × c三、整式的加减1. 整式的概念整式是由数字和字母通过加、减、乘、除（除法中除数不含字母）以及乘方运算组成的代数式。

整式包括单项式和多项式。

2. 单项式单项式是由数字和字母的乘积组成的代数式，如3a、-5xy²等。

单项式的系数是数字部分，次数是所有字母指数的和。

3. 多项式多项式是由几个单项式相加组成的代数式，如3a + 5b、-2x²+ 4x 7等。

多项式的项数是单项式的个数，最高次项的次数是多项式的次数。

(每日一练)人教版七年级数学几何图形初步基础知识点归纳总结单选题1、如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（）A．传B．国C．承D．基答案：D解析：正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答．解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则：“传”与“因”是相对面，“承”与“色”是相对面，“红”与“基”是相对面．故选：D．本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．2、下列说法：（1）在所有连结两点的线中，线段最短；（2）连接两点的线段叫做这两点的距离；（3）若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；（4）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（1）（2）（4）答案：B解析：根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的定义求解，线段的中点的定义，直线的性质对各小题分析判断即可得解．解：（1）在所有连结两点的线中，线段最短，故此说法正确；（2）连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，故此说法错误；（3）若线段AC=BC，则点C不一定是线段AB的中点，故此说法错误；（4）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，是因为两点确定一条直线，故此说法正确；综上所述，说法正确有（1）（4）．小提示：本题考查了线段的性质、两点间的距离的定义，线段的中点的定义，直线的性质等，是基础题，熟记各性质与概念是解题的关键．3、已知∠AOB=30°，如果用10倍的放大镜看，这个角的度数将（）A．缩小10倍B．不变C．扩大10倍D．扩大100倍答案：B解析：根据角是从同一点引出的两条射线组成的图形．它的大小与图形的大小无关，只与两条射线形成的夹角有关系，直接判断即可．解：角的大小只与角的两边张开的大小有关，放大镜没有改变顶点的位置和两条射线的方向，所以用10倍放大镜观察这个角还是30度．故选：B小提示：本题考查了角的概念．解题关键是掌握角的概念：从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角，明确角的大小只与角的两边张开的大小有关．填空题4、如图，①~④是几何体的展开图，其中能围成三棱柱的有________（填序号）．答案：②解析：依据展开图的特征，即可得到围成的几何体的类型．解：图①能围成圆锥；图②能围成三棱柱；图③能围成正方体；图④能围成四棱锥；所以答案是：②．小提示：本题主要考查了展开图折成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．5、如图所示的某种玩具是由两个正方体用胶水黏合而成的，它们的棱长分别为1dm和2dm, 为了美观，现要在其表面喷涂油漆，如果喷涂1dm2需用油漆5g，那么喷涂这个玩具共需油漆_________g．答案：140解析：根据题意先求出玩具的表面积，然后再求需要的油漆质量．解：玩具的表面积为：6×（2×2）+4×（1×1）=28平方分米，所以喷涂这个玩具共需油漆28×5=140克．所以答案是：140．小提示：本题主要考查了立体图形的视图问题．解题的关键是能把从不同的方向上看到的图形面积抽象出来（即利用视图的原理），从而求得总面积．解答题6、如图，已知线段AB=m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ=2AQ，CP=2BP．（1）如图1，点C在线段AB上，求PQ的长；（用含m的代数式表示）（2）如图2，若点C在点A左侧，同时点Р在线段AB上（不与端点重合），求2AP+CQ−2PQ的值．答案：（1）23m；（2）2AP+CQ−2PQ=0．解析：（1）根据已知AB=m(m为常数），CQ=2AQ，CP=2BP，以及线段的中点的定义解答；（2）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ−2PQ=0，即可得出2AP+CQ−2PQ 与1的大小关系．解：（1）∵CQ=2AQ，CP=2BP，∴CQ=23AC，CP=23BC，∵点C恰好在线段AB中点，∴AC=BC=12AB，∵AB=m(m为常数），∴PQ=CQ+CP=23AC+23BC=23×12AB+23×12AB=23AB=23m；（2）如图示：∵CQ=2AQ，∴2AP+CQ−2PQ=2AP+CQ−2(AP+AQ)=2AP+CQ−2AP−2AQ=CQ−2AQ=2AQ−2AQ=0，∴2AP+CQ−2PQ=0．小提示：本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．。

(名师选题)七年级数学上册第四章几何图形初步解题技巧总结单选题1、如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂，要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站P应建在AB与MN的交点处，这种故法用几何知识解释应是（）A．两点之间，线段最短B．射线只有一个端点C．两直线相交只有一个交点D．两点确定一条直线答案：A分析：根据两点之间线段最短即可求出答案．解：要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站P应建在AB与MN的交点处，这种做法用几何知识解释应是：两点之间，线段最短．故选：A．小提示：本题考查了线段的性质，解题的关键是正确理解两点之间线段最短．2、如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（）A．50°B．70°C．130°D．160°答案：C分析：根据互为补角的定义结合已知条件列方程求解即可．解：设这个角是x，则它的补角是：(180−x)，根据题意，得：x=2(180−x)+30，解得：x=130，即这个角的度数为130°．故选：C．小提示：此题考查了补角的知识，熟悉相关性质定义是解题的关键．3、用一个平面去截如图所示的立体图形，可以得到三角形截面的立体图形有( )A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B分析：根据截面与几何体的三个面相交，可得截面是三角形．解：用一个平面去截一个几何体，可以得到三角形的截面的几何体有：圆锥，长方体，三棱柱，故选：B．小提示：本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．4、在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（）A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．以上都不对答案：A分析：根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，故选：A．小提示：本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．5、下列换算中，正确的是（）A．23°12′36″=23.48°B．22.25°=22°15′C．18°18′30″=18.183°D．47.11°=47°7′36″答案：B分析：根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可．解：A、∵1°=60′，∴0.48°=28.8′，∵1′=60″，∴0.8′=48″，∴23.48°=23°28′48″，故A不符合题意；B、∵1°=60′，∴0.25°=15′，∴22.25°=22°15′，故B符合题意；C、∵1°=60′，∴0.183°=10.98′，∵1′=60″，∴0.98′=58.8″，∴18.183°=18°10′58.8″，故C不符合题意；D、∵1°=60′，∴0.11°=6.6′，∵1′=60″，∴0.6′=36″，∴47.11°=47°6′36″，故D不符合题意；故选：B．小提示：本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．6、下列有4种A，B，C三点的位置关系，则点C在射线AB上的是( )A．B．C．D．答案：D分析：根据与射线AB是否经过点C，逐一判断．A.点C在射线BA外，不符合题意；B.点C在射线AB外，不符合题意；C.点C在射线BA上，不符合题意；D.点C在射线AB上，符合题意．故选D．小提示：本题主要考查了点与射线的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握点与射线的两种位置关系．7、用一个底面为20cm×20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm答案：B分析：先求出长方体空铁盒的体积，再根据长方体容器倒出水的体积等于长方体空铁盒的体积，得到倒出水的体积，继而求得长方体容器中水下降的高度．=16×10×5=800cm3，解：∵V空铁盒∴倒出水的体积=800cm3，则长方体容器中水下降的高度=800=2cm．20×20故选B．小提示：本题是利用长方体的体积公式解决实际问题，分析出长方体容器倒出水的体积，等于长方体空铁盒的体积是本题的关键．8、在下列几何体中，四棱锥是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据常见几何体进行判断即可求解．解：A.是三棱柱，不符合题意B.是四棱锥，符合题意，C.是三棱锥，不符合题意，D.是长方形，不符合题意故选B小提示：本题考查了简单几何体的识别，牢记简单几何体的名称是解题的关键．9、如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，从其正面看，得到的平面图形是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据从正面看到的图形，对各选项进行判断即可．解：由题意知，立体图形的平面图形如下图所示，故选：A．小提示：本题考查了从不同方向看几何体．解题的关键在于正确的排列平面图形中的小正方形．10、七巧板是中国传统数学文化的重要载体．将一块正方形木板制成如图1所示的一副七巧板，小明选择该副七巧板中的若干块拼成了如图2所示的“帆船”图案，其中已经用上编号为①和③的两块，则拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是（）A．②⑥B．④⑥⑦C．⑤⑥⑦D．④⑤⑥答案：A分析：根据七巧板拼凑的方法及拼图的线条即可求解．解：图2中“帆”的部分由两块大三角形组成，即图1中的①③④，左侧船体是一块小三角形，即③，右侧船体由于帆有一些重合，但根据线条形状不难看出是一个平行四边形，即⑥⑦，所以拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是④、⑥和⑦，故B：A．小提示：本题考查了七巧板的运用，熟练掌握七巧板的拼凑方法是解题的关键．填空题11、已知A，B，C，D四点，任意三点都不在同一直线，以其中的任意两点为端点的线段有____________条．答案：6分析：由线段的定义，每一点与其它三点连接得到三条线段，由两点连线只能确定一条线段，即可求解．如图，由线段的定义，每一点与其它三点连接得到三条线段，由于两点连线只能确定一条线段，所以不同条=6，故这样的线段有6条．数是4×32所以答案是：6．小提示：本题复习线段的定义，已知的四个点中任意三个点都不共线，所以根据两点确定一条直线可知符合题意的线段共有6条，类似这种数线段或数角个数的题目，在数的时候要细心，做到不遗漏、不重复．12、已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB=2a+b，小明给出了五个步骤：①作一条射线AE；②则线段AB=2a+b；③在射线AE上作线段AC=a；④在射线DE上作线段DB=b；⑤在射线CE上作线段CD=a；你认为正确的顺序是__________．答案：①③⑤④②分析：先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b．解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，⑤在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b；∴正确的顺序是①③⑤④②所以答案是：①③⑤④②．小提示：本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．13、如图，已知点O在直线AB上，OC⊥OD，∠BOD：∠AOC＝3：2，那么∠BOD＝___度．答案：54分析：根据平角等于180°得到等式为：∠AOC+∠COD+∠DOB=180°，再由∠COD=90°，∠BOD：∠AOC＝3：2即可求解．解：∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，设∠BOD=3x，则∠AOC=2x，由题意知：2x+90°+3x=180°，解得：x=18°，∴∠BOD=3x=54°，所以答案是：54°．小提示：本题考查了平角的定义，属于基础题，计算过程中细心即可．14、如图，三边长分别为3cm,4cm,5cm的直角三角形，绕其斜边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为_____cm3．（结果保留π）π答案：485分析：过点B作BD⊥AC于点D，由题意可得绕直角三角形斜边所在直线旋转一周是由两个共底面的圆锥体所形成的几何体，进而可得BD=125cm，然后可得两个圆锥体的高分别为AD、CD，底面圆的半径为BD=125cm，最后根据圆锥体的体积计算公式求解即可．解：过点B作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意得：AB=4cm，BC=3cm，AC=5cm，∠ABC=90°，∴根据直角三角形ABC的面积可得：BD=AB⋅BCAC =125cm，∵绕直角三角形斜边所在直线旋转一周是由两个共底面的圆锥体所形成的几何体，∴两个圆锥体的高分别为AD、CD，底面圆的半径为BD=125cm，∴该几何体的体积为V=13πr2(AD+CD)=13×(125)2π×5=485πcm3；故答案为485π．小提示：本题主要考查几何图形，熟练掌握几种常见的几何体是解题的关键．15、一个棱柱有12个顶点，所有的侧棱长的和是48cm，则每条侧棱长是____ cm.答案：8分析：有12个顶点的棱柱是六棱柱.六棱柱有6条侧棱，知道侧棱长的和是48cm，除以6就得到了每条侧棱的长度了.解：根据棱柱的概念和定义，可知12个顶点的棱柱是六棱柱，即有6条侧棱，又因为所有侧棱长的和是48cm，所以每条侧棱长是48÷6=8cm．所以答案是：8．小提示：本题考查棱柱，在棱柱中，是几棱柱，它就有几个侧面，并且就有几条侧棱．解答题16、已知：如图，AB ＝18cm ，点M 是线段AB 的中点，点C 把线段MB 分成MC ：CB ＝2：1的两部分，求线段AC 的长．请补充完成下列解答：解：∵M 是线段AB 的中点，AB ＝18cm ，∴AM ＝MB ＝ AB ＝ cm ．∵MC ：CB ＝2：1，∴MC ＝ MB ＝ cm ．∴AC ＝AM ＋ ＝ ＋ ＝ cm ．答案：12，9，23，6，MC ，9，6，15 分析：根据中点的定义和线段和差填空即可．解：∵M 是线段AB 的中点，且AB ＝18cm ，∴AM ＝MB ＝12AB ＝9cm ．∵MC ：CB ＝2：1，∴MC ＝23MB ＝6cm ． ∵AC ＝AM +MC ＝9+6＝15cm ，所以答案是：12，9，23，6，MC ，9，6，15． 小提示：本题考查了线段的中点和线段的和差，解题关键是准确识图，弄清线段之间的数量关系．17、如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．（1）根据要求填写表格：（3）根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．答案：（1）7；9；14；6；8；12；7；10；15；（2）f＋v－e＝2；（3）2016分析：（1）根据图形数出即可．（2）根据（1）中结果得出f+v-e=2．（3）代入f+v-e=2求出即可．解：（1）图①，面数f=7，顶点数v=9，棱数e=14，图②，面数f=6，顶点数v=8，棱数e=12，图③，面数f=7，顶点数v=10，棱数e=15，所以答案是：7，9，14.6，8，12，7，10，15．（2）f+v-e=2．（3）∵v=2021，e=4035，f+v-e=2∴f+2021-4035=2，f=2016，即它的面数是2016．小提示：本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律．18、时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：(1)分针每分钟转了几度？(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°？(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？答案：(1)6°(2)22(3)23611分析：（1）根据分针一小时转一圈即360°，用360°除以60计算即得；（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，时针与分针转过的角度差是121°，列方程解答即可；（3）相对于12时整第二次所成的钝角第二次等于121°时，时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与121°之和是360°．（1）解：∵分针一小时转一圈即360°,∴分针每分钟转过的角度是：360°÷60=6° ,答：分针每分钟转了6度；（2）设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，∵时针一小时转动角度为：360°÷12=30°，时分针每分钟转过的角度是：30°÷60=0.5°；∵分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，∴时针与分针转过的角度差是121°，∴6x−0.5x=121，解得：x=22，答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；（3）设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于121°，则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于121°，因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与121°之和是360°，故列得方程：6(y+22)−0.5(y+22)+121=360，解得：6(y+22)−0.5(y+22)+121=360，，解得：y=23611答：经过236分钟两针所成的钝角会第二次等于121°．11小提示：本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的关键．选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果．。