72紧致性与分离性公理

第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。

尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。

我们先回忆一下度量空间紧性〔列紧性〕概念〔在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质〕。

§4-1 度量空间(,)X d 中紧性〔简单复习〕定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。

如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的； 如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。

注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。

●下面的结论是显然的〔由于都是过去的知识，所以不加证明的给出〕 〔1〕 有限子集总是列紧的。

〔2〕 列紧空间是完备的〔但，完备空间未必是列紧的〕。

〔3〕 假设A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。

〔4〕 在一般度量空间中，〔3〕成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则 A 列紧 ⇒ A 是闭集。

〔5〕 列紧的度量空间必是可分的。

●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。

人们找出了一种非序列刻画的方式。

定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。

是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃，则称为A 在X中的开覆盖；假设中只有有限个子集，称为有限开覆盖；假设X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间〔有的书成为紧空间〕 ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。

即列紧空间⇔紧致空间〔这在泛函分析书中都有介绍〕。

§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。

但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。

所以，最早人们认为[,]a b 上这个特性取决于[,]a b 上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。

§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质．定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A是一个紧致子集，x∈．对于每一个y∈A，由于X是一个Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域和y的一个开邻域．集族{|y∈A}明显是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 {}，覆盖A．令，它们分别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个i=1，2，…，n有：所以推论7.2.2 Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．证明设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集．对于任何x∈X，如果x A，则根据定理7.2.1可见x不是A的凝聚点．因此凡A的凝聚点都在A中，从而A是一个闭集．推论7.2.2 结合定理7.1.5可见：推论7.2.3 在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集．为了加强读者对定理7.1.5，推论7.2.2和推论7.2.3中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集推论7.2.4 每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间．证明设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得U∩V=．这就证明了X是一个正则空间．定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A和B是X的两个无交的紧致子集．对于任何x∈A，根据定理7.2.1，点x和集合B分别有开邻域．集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为{ }，覆盖A．令由于对于每一个i＝1，2，…，n有∩V=，所以U∩V=．由于Hausdorff空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理7.2.5立即有：推论7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是的，这个结论也可以根据推论7.2.4和定理6.4.3直接推出．根据这个推论联系着表6.1并且留意到每一个紧致空间都是Lindeloff空间这一事实，我们可有图表7.1．从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单．图表7.1：紧致空间中的分离性公理定理7.2.7 设X是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得．证明设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域．对于任何x∈A，点x有一个开邻域使得集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有有限子族，设为{ }，覆盖A．令，它是A的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是Lindeloff空间，所以它明显地蕴涵于定理6.4.3中．然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2．3．在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．证明设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理 7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2）．这证明f是一个闭映射．因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：推论7.2.9 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚．作业:P192 1.2.。

第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。

尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。

我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。

§4-1 度量空间(,)X d 中紧性（简单复习）定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。

如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的； 如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。

注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。

●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出） （1） 有限子集总是列紧的。

（2） 列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。

（3） 若A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。

（4） 在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则 A 列紧 ⇒ A 是闭集。

（5） 列紧的度量空间必是可分的。

●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。

人们找出了一种非序列刻画的方式。

定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。

U 是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃U，则称U 为A 在X中的开覆盖；若U 中只有有限个子集，称U 为有限开覆盖；若X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间（有的书成为紧空间） ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。

即列紧空间⇔紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。

§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。

但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。

§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质．定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A是一个紧致子集，x∈．对于每一个y∈A，由于X是一个Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域和y的一个开邻域．集族{|y∈A}明显是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 {}，覆盖A．令，它们分别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个i=1，2，…，n有：所以推论7.2.2 Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．证明设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集．对于任何x∈X，如果x A，则根据定理7.2.1可见x不是A的凝聚点．因此凡A的凝聚点都在A中，从而A是一个闭集．推论7.2.2 结合定理7.1.5可见：推论7.2.3 在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集．为了加强读者对定理7.1.5，推论7.2.2和推论7.2.3中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集推论7.2.4 每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间．证明设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得U∩V=．这就证明了X是一个正则空间．定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A和B是X的两个无交的紧致子集．对于任何x∈A，根据定理7.2.1，点x和集合B分别有开邻域．集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为{ }，覆盖A．令由于对于每一个i＝1，2，…，n有∩V=，所以U∩V=．由于Hausdorff空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理7.2.5立即有：推论7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是的，这个结论也可以根据推论7.2.4和定理6.4.3直接推出．根据这个推论联系着表6.1并且留意到每一个紧致空间都是Lindeloff空间这一事实，我们可有图表7.1．从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单．图表7.1：紧致空间中的分离性公理定理7.2.7 设X是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得．证明设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域．对于任何x∈A，点x有一个开邻域使得集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有有限子族，设为{ }，覆盖A．令，它是A的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是Lindeloff空间，所以它明显地蕴涵于定理6.4.3中．然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2．3．在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．证明设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理 7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2）．这证明f是一个闭映射．因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：推论7.2.9 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚．作业:P192 1.2.。

第四章紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。

尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。

我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）§4-1度量空间（X,d）中紧性（简单复习）定义1设A是（X,d）的一个子集。

如果A中任一无穷点列有子列收敛于X中的一点，则称A是相对列紧的；如果A中每个收敛子列的极限点都属于A，则称A是列紧的；如果（X,d）本身是列紧的，则称为列紧空间。

注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。

•下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）（1）有限子集总是列紧的。

（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。

（3）若A是（X,d）的列紧子集，则A是（X,d）的有界闭集。

（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果（X,d）是列紧空间，则A列紧A是闭集。

（5）列紧的度量空间必是可分的。

•进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。

人们找出了一种非序列刻画的方式。

U U A，则称U为A在X 定义2设A是（X,d）的一个子集。

U是X的一族开集，满足U U中的开覆盖；若U中只有有限个子集，称U为有限开覆盖；若X本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X为紧致空间（有的书成为紧空间）★理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。

即列紧空间紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。

§4-2拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间［a,b］具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。

但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。

所以，最早人们认为［a,b］上这个特性取决于［a,b］上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。

后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。

拓扑学教案12§4-3 紧致性与分离公理（Hausdorff 空间的紧致子集）本节讨论紧致空间和2T 公理共同作用下得到的拓扑空间性质。

定理8 设A 是Hausdorff 空间X 的紧致子集，若x A ∉，则x 与A 有不相交的邻域。

证明： 对于y A ∀∈，则y x ≠。

由于X 是2T 空间，则有x 和y 的开邻域,y y U V (注：下标均为y ，表示这两个邻域与y 的选择有关)，且y y U V ⋂=∅。

当y 取遍A 时，有{}y V y A ∈构成A 的开覆盖。

又由于A 是紧致子集，故存在有限子覆盖，设为12{,,,}n y y y V V V 。

令 12n y y y V V V V =⋃⋃⋃ 12n y y y U U U U =⋃⋃⋃则V 是A 的开邻域，U 是x 的开邻域。

又，对于任意(1,2,,)i y V i n =均有i y U V ⋂=∅。

所以，U V ⋂=∅。

证毕。

定理9 Hausdorff 空间的不相交紧致子集有不相交的邻域。

证明方法与定理8 雷同，证略。

它的意义如右图所示。

由定理8和定理9，可以得到如下的推论。

推论1 Hausdorff 空间的每一紧致子集都是闭集。

注释：因为x A ∉，则x A ∉（闭包），所以x 不是A 的聚点，即A 是含有聚点的集合，故A 是闭集。

推论2 紧致的Hausdorff 空间的子集为闭集 ⇔ 它是紧致子集。

注释：根据推论1得到⇐；由定理3“紧致空间的闭子集是紧致子集”得到⇒。

★ 于是，有如下关系：紧致空间： 闭集 ⇒ 紧致子集Hausdorff 空间： 闭集 ⇐ 紧致子集紧致Hausdorff 空间： 闭集 ⇔ 紧致子集另外，由定理9，我们得到如下结论。

推论3 每一紧致的Hausdorff 空间都是4T 空间。

注释：根据紧致Hausdorff 空间的紧致子集是闭集，且闭集也是紧致集。

则由定理9，有不相交邻域，则是4T 空间。

拓扑学中的紧致性判定准则推导思路探讨方向拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间形状和连续变形的属性。

其中，紧致性是拓扑学中一个重要的概念，它描述了空间的局部紧凑程度。

本文将探讨在拓扑学中紧致性的判定准则以及其推导思路的方向。

I. 概述在拓扑学中，紧致性是一个极其重要的概念。

一个空间称为紧致的，如果对于其每一个开覆盖都存在有限子覆盖。

直观上讲，紧致性可以理解为“没有脱离”的性质，即一个紧致空间可以被有限个开集所覆盖。

II. 紧致性的判定准则在拓扑学中，紧致性的判定准则有多种，其中一些比较常见和有用的准则如下：1. 有限性判定准则若一个空间有有限子覆盖，则该空间为紧致的。

这是紧致性最直观和简单的判定准则之一。

2. 连续映射保紧性准则若一个连续映射将一个紧致空间映射到另一个空间上，则映射结果空间也是紧致的。

3. 极限点紧致性准则若一个空间的任意无穷子集都有收敛于该空间的极限点，则该空间是紧致的。

4. 有界闭集紧致性准则在度量空间中，若一个集合既是有界闭集，那么它是紧致的。

III. 推导思路的方向推导紧致性判定准则的思路通常可以从以下几个方面进行探讨：1. 对于特殊类型的空间，如度量空间、赋范空间等，探讨其紧致性的判定准则。

2. 探讨紧致性与其他拓扑性质之间的关系，以及利用这种关系来判定紧致性。

3. 探讨紧致性的性质和特征，并据此推导紧致性的判定准则。

4. 定义并研究拓扑学中的一些重要定理，如紧致性与连续映射的关系等。

IV. 结论本文探讨了拓扑学中紧致性的判定准则以及其推导思路的方向。

紧致性作为拓扑学中一个重要的概念，可以通过有限性判定准则、连续映射保紧性准则、极限点紧致性准则以及有界闭集紧致性准则等方式进行判定。

推导紧致性判定准则的思路可以从特殊类型的空间、与其他拓扑性质的关系、紧致性的性质和特征等方面展开探讨。

通过深入研究和理解这些准则和思路，我们可以更好地理解和应用拓扑学中的紧致性概念。

拓扑学中的紧致性判定准则推导思路探讨在拓扑学中，紧致性是一个重要的概念，它描述了一个拓扑空间的紧致性质。

为了确定一个拓扑空间是否紧致，人们提出了许多判定准则。

本文将探讨这些判定准则的推导思路。

一、紧致性的定义在开始讨论紧致性判定准则之前，我们先来回顾一下紧致性的定义。

一个拓扑空间被称为是紧致的，如果它的任意开覆盖都有有限子覆盖。

二、紧致性的判定准则之一：Heine-Borel定理Heine-Borel定理是最早被提出来用于判定一个拓扑空间是否紧致的定理。

它断言：欧几里德空间中的一个子集是紧致的，当且仅当它是闭的有界集合。

证明思路：1. 如果一个子集是紧致的，即在任意开覆盖下存在有限子覆盖。

假设存在一个闭的有界集合，不是紧致的，我们来推导一个矛盾。

2. 由于该子集不是紧致的，那么存在某个开覆盖下没有有限子覆盖。

注意到闭集的补集是开集，所以该开覆盖存在一个有限子集的并集是整个闭有界集合的补集。

3. 然而，由于闭有界集合是有界的，这个和全集相补的开集覆盖中每个开集也是有界的，因此它们的有限并集也是有界的，这就导致了一个矛盾。

三、紧致性的判定准则之二：Lebesgue数引理Lebesgue数引理是另一个常用的判定准则，它指出：如果一个拓扑空间中的任意一族开集存在一个数epsilon，使得每个开集都可以容纳一个直径小于epsilon的闭球，那么这个拓扑空间是紧致的。

证明思路：1. 假设一个拓扑空间中的任意一族开集，它们的直径都小于等于epsilon，而没有有限子覆盖。

我们来推导一个矛盾。

2. 由于这些开集没有有限子覆盖，那么每个开集都无法被其他的开集所完全覆盖。

3. 那么，我们可以分别从每个开集中选择一个点，由于这些开集都是开的，所以这些点构成的集合也是开的。

4. 继续考虑这些点的闭包，由于它们都包含在原始开集中，所以闭包也在原始开集内。

5. 而根据题设条件，这些闭包都可以容纳直径小于epsilon的闭球，所以我们可以构造一个这样的直径小于epsilon的闭球覆盖。

第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。

尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。

我们先回忆一下度量空间紧性〔列紧性〕概念〔在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质〕。

§4-1 度量空间(,)X d 中紧性〔简单复习〕定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。

如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的； 如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。

注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。

●下面的结论是显然的〔由于都是过去的知识，所以不加证明的给出〕 〔1〕 有限子集总是列紧的。

〔2〕 列紧空间是完备的〔但，完备空间未必是列紧的〕。

〔3〕 假设A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。

〔4〕 在一般度量空间中，〔3〕成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则 A 列紧 ⇒ A 是闭集。

〔5〕 列紧的度量空间必是可分的。

●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。

人们找出了一种非序列刻画的方式。

定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。

是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃，则称为A 在X中的开覆盖；假设中只有有限个子集，称为有限开覆盖；假设X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间〔有的书成为紧空间〕 ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。

即列紧空间⇔紧致空间〔这在泛函分析书中都有介绍〕。

§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。

但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。

所以，最早人们认为[,]a b 上这个特性取决于[,]a b 上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。

第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。

尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。

我们先回忆一下度量空间紧性〔列紧性〕概念〔在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质〕。

§4-1 度量空间(,)X d 中紧性〔简单复习〕定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。

如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的； 如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。

注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。

●下面的结论是显然的〔由于都是过去的知识，所以不加证明的给出〕 〔1〕 有限子集总是列紧的。

〔2〕 列紧空间是完备的〔但，完备空间未必是列紧的〕。

〔3〕 假设A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。

〔4〕 在一般度量空间中，〔3〕成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则 A 列紧 ⇒ A 是闭集。

〔5〕 列紧的度量空间必是可分的。

●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。

人们找出了一种非序列刻画的方式。

定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。

是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃，则称为A 在X中的开覆盖；假设中只有有限个子集，称为有限开覆盖；假设X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间〔有的书成为紧空间〕 ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。

即列紧空间⇔紧致空间〔这在泛函分析书中都有介绍〕。

§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。

但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。

所以，最早人们认为[,]a b 上这个特性取决于[,]a b 上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。