第3章-2：分离紧可数性

拓扑学课程教学大纲【课程编码】JSZX0500【适用专业】数学与应用数学【课时】54课时【学分】3学分【课程性质、目标和要求】本课程是数学与应用数学专业的一门专业课。

它系统而完整地介绍了点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。

其主要任务是使学生获得拓扑学的基本思想与拓扑空间、连续映射、连通性、可数性、分离性、紧致性等方面的系统知识。

它既能从较高的观点总结一、二年级学过的有关概念、理论和方法，又能使学生抽象思维能力和逻辑论证能力得到进一步训练，为今后深入学习拓扑、几何、泛函等学科提供基础。

通过学习本课程，使学生理解拓扑学的一些基本概念，掌握拓扑学的基本理论和基本方法，并能运用这些基本概念、基本理论和基本方法解决拓扑学中的相关问题。

从而，有助于培养学生辨证唯物主义基本观点与学生抽象思维能力。

【教学时间安排】本课程计3学分，54学时, 学时分配如下：【教学内容要点】第一章集合论初步一、学习目的要求本章属预备知识，集合的概念与运算已经在数学分析课程中学过了，建议由学生自学。

关系与等价关系、映射、集族及其运算作为重点掌握的内容。

通过本章的学习，使学生正确理解关系与等价关系、映射、集族等基本概念，掌握单射、满射、一一映射的等价刻画及集族的基本运算，了解Cantor-Bernstein 定理、连续统假设及广义连续统假设。

二、主要教学内容1、集合的基本概念；2、集合的基本运算；3、关系；4、等价关系5、映射；6、集族及其运算；7、可数集，不可数集，基数；8、选择公理。

第二章拓扑空间与连续映射一、学习目的要求本章属于拓扑学的重要内容，通过本章的学习，使学生理解度量空间的概念，由度量导出的球邻域、开集，闭集、收敛性等概念，度量空间之间的连续映射概念及其等价描述；掌握拓扑空间的定义，由拓扑导出的邻域与邻域系，集合的聚点与闭包，内部与边界等概念，这些概念之间的联系；正确理解拓扑空间的基，以邻域系为基生成拓扑的方法，由闭包公理生成拓扑，子基概念及由子基生成拓扑的方法；拓扑空间的映射的连续性及其等价描述，同胚映射及同胚的概念。

munkres习题答案Munkres习题答案在数学领域中，Munkres的《拓扑学导论》是一本经典的教材，被广泛用于拓扑学的学习和教学。

这本书中的习题是学习者巩固知识和提高技能的重要部分。

然而，对于很多学习者来说，习题的答案并不总是容易找到。

本文将为大家提供一些Munkres习题的答案，帮助学习者更好地理解和掌握拓扑学的知识。

第一章：集合论与逻辑在第一章中，Munkres介绍了集合论和逻辑的基本概念。

他从集合的定义和运算开始，逐步引入了关系、函数和序关系等概念。

在习题中，学习者需要证明一些基本命题，例如集合的交、并、差等运算的性质，以及函数的单射、满射和双射等性质。

这些习题的答案可以通过直接应用定义和基本定理来得到。

第二章：拓扑空间第二章是Munkres的重点章节，介绍了拓扑空间的概念和性质。

在这一章中，学习者将学习到拓扑空间的定义、开集、闭集、连通性等重要概念。

习题中，学习者需要证明一些基本定理，例如开集的性质、闭包和内部的性质、连通集的性质等。

这些习题的答案需要学习者熟练掌握拓扑空间的定义和基本定理，并能够灵活运用这些知识。

第三章：连续函数在第三章中，Munkres介绍了连续函数的概念和性质。

他从实数集上的函数开始，引入了连续函数的定义和性质，并讨论了连续函数的运算和复合。

在习题中，学习者需要证明一些连续函数的性质，例如连续函数的保持开集和闭集的性质，以及连续函数的复合仍然是连续函数等。

这些习题的答案需要学习者对连续函数的定义和基本性质有深入的理解，并能够应用这些知识解决问题。

第四章：紧性第四章是Munkres的另一个重要章节，介绍了紧性的概念和性质。

在这一章中，学习者将学习到紧集的定义、紧性的等价刻画、紧集的性质等。

习题中，学习者需要证明一些紧集的性质，例如紧集的闭子集和有限并仍然是紧集等。

这些习题的答案需要学习者对紧集的定义和基本性质有充分的理解，并能够运用这些知识解决问题。

第五章：连通性与分离性在第五章中，Munkres介绍了连通性和分离性的概念和性质。

“微处理器系统原理与嵌入式系统设计”第三章习题解答3.1什么是冯·诺伊曼计算机结构？其运行的基本原理如何？冯.诺依曼计算机由运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备构成，采用二进制表示信息，以存储器为中心，按存储程序原理工作。

存储程序原理指编好的程序首先放入存储器，开始工作后，由控制器自动、高速依次从存储器中取出指令并执行。

3.2. 微处理器的体系结构可以分为几种？试分别说明各种体系结构的优缺点。

3.3 高级编程语言、汇编语言以及机器语言之间有哪些不同？机器语言是直接用二进制代码表达的计算机语言。

指令用“0”和“1”组成，并分成若干段，各段的编码表示不同的含义。

机器语言面向硬件，是唯一可以由硬件直接执行的语言。

汇编语言采用符号代替机器语言中的二进制码：用助记符(Mnemonic)代替操作码，用地址符号(Symbol)或标号(Label)代替地址码。

汇编语言与机器语言一一对应，因此不具有移植性，但更易于读写和理解。

汇编语言源程序需要汇编成机器语言才能交给硬件执行。

高级编程语言语法和结构更类似普通英文，且由于远离对硬件的直接操作，因此移植性较好。

高级语言源程序需要编译（或解释）成机器语言才能交给硬件执行。

3.5 什么是计算功能指令、数据传输指令以及控制流程指令？计算功能指令：对数据进行处理完成算术运算或逻辑运算等的指令。

数据传输指令：负责把数据、地址或立即数传送到寄存器、I/O端口或存储单元中，或者反方向传送的指令。

控制流程指令：用来控制程序执行流程的指令，有测试、转移、跳转等子类。

3.6 解释跳转、分支、调用以及中断所需进行的操作。

跳转：根据“跳转”指令指计算目的地址，修改程序指针。

分支：根据“分支”指令判断执行条件，计算跳转地址，修改程序指针。

调用：保存断点，根据“调用”指令计算子程序入口地址，修改程序指针，执行完毕后恢复断点。

中断：保护断点及现场，查找中断向量表以确定中断程序入口地址，修改程序指针，执行完毕后恢复现场及断点。

第3章多细胞动物的起源第1节从单细胞到多细胞一、知识点I、理论：一切高等动物虽然都是多细胞的，但其发展是不平衡的II、动物体复杂化的关键：对称体型和头部的形成III、两侧对称的意义：有利于动物活动；促使身体分为前后、左右、背腹IV、发展过程中3类动物：原生动物、中生动物、后生动物V、中生动物：一类小型的内寄主动物。

结构简单，分为菱形虫纲、直泳虫纲。

1、菱形虫纲：包括双胚虫、异胚虫。

无性生殖或有性生殖。

2、直泳虫纲：寄生在多种海生无脊椎动物体内。

成虫多雌雄异体，少数雌雄同体。

没有轴细胞。

VI、原始的多细胞动物：一般认为是中生动物，因为它和原声动物的纤毛虫类的亲缘关系比较近二、多细胞动物起源于单细胞动物的证据I、古生物学方面：古代动植物的遗体或残骸。

在最古老的地层中，化石种类是最简单的。

II、形态学方面：简单——>复杂；低等——>高等III、胚胎学方面：受精卵——>卵裂——>囊胚——>原肠胚第2节胚胎发育的重要阶段胚胎发育分为：受精与受精卵——卵裂——原肠胚的形成——中胚层及体腔的形成——胚层的分化I、受精与受精卵：精子与卵子结合为一个细胞称为受精卵II、卵裂：1、完全卵裂：多见于少黄卵。

a、等裂：海胆、文昌鱼；b、不等裂：海绵动物、蛙类。

2、不完全等裂：多见于多黄卵。

受精卵只在不含卵黄的部位进行分裂。

a、盘裂：乌贼、鸡卵；b、表面卵裂：昆虫卵III、囊胚的形成：囊胚：囊胚腔、囊胚层。

IV、原肠胚的形成：内陷、内移、内转、外包、分层。

最常见的是内陷和外包同时进行，分层和内移相伴而行V、中胚层及体腔的形成：端细胞法（裂体腔法）；体腔囊法：棘皮动物、毛鄂动物、半索动物、脊索动物VI、胚层的分化：动物体的器官都是由内、中、外胚层发育而来1、内胚层：分化为消化管的大部分上皮、肝、胰、呼吸器官、排泄和生殖器官的小部分2、中胚层：分化为肌肉、结缔组织、生殖和排泄器官的大部分3、外胚层：分化皮肤上皮、神经组织、感觉器官、消化管的两端第3节生物发生律与多细胞起源学说一、生物发生律赫克尔在《普通形态学》中说：生物发展可分为2个密切联系的部分：个体发育和系统发展。

x
1(x) y0 x0 f ( , y0 )d
x
x0 f ( , y0 ) d M (x x0 ) Mh b
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义,连续
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x0 x x0 h
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n (x) y0 b (3.1.10)
证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）
x
当 n =1 时, 1(x) y0 x0 f (, y0 )d

MLn1 n!
(x
x0 )n
成立，
x
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x
(
x0

x0 )n d

MLn (x (n 1)!
x0 ) n1

y0
'.............(3.1.4)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method

第三章 几种特殊类型的拓扑空间说明：本章是将教材中“可数性公理”和“分离性公理”两张内容合并在一起，并且将连通性内容放在后面讲，它们之间是独立的。

在前面讨论中已经看到，在度量空间中某些熟知的性质 在一般拓扑空间中看我能不存在，这说明：拓扑学借助度量空间中邻域概念作为公理时，它只概括了度量空间上的最基本性质，而不能概括全部性质，因此，人们提出了另外一些公理来弥补原有公理体系的不足。

本章介绍两个可数性公理和四个较常见的分离公理123,,T T T 和4T 公理。

§ 3-1 第一与第二可数公理基、局部基对于确定X 上的拓扑，以及验证映射的连续性等都有重要意义。

而基、局部基中成员越少，讨论就越方便。

所以，我们试图通过对基或局部基成员加以限制，形成一类较简单的空间。

定义1 若拓扑空间的基或局部基是可数集族，则分别称可数基和局部可数基。

解释：此处可数是指基或局部基中成员数目是可数的，不是指成员本身是可数集。

定义2 拓扑空间X 在它的每一点处都有可数局部基，则称X 为满足第一可数性公理的空间，简称为1C 空间。

定义3 如果拓扑空间X 有可数基，则称X 为满足第二可数性公理的空间，简称为2C 空间。

例1 （1C 空间的例子）结论：每个度量空间都是1C 空间（τ为度量诱导的拓扑）。

解释：因为，设(,)x X d ∈，记 1{(,)}x B x n N n =∈B （注：1(,)B x n为半径1n的球形邻域）则x B 为x 的邻域族。

设U 是x 的任一邻域（即，以x 为内点的集合），则存在0ε>，使得(,)B x U ε⊂。

因此，x B 为x 处的局部基，且是可数的集族。

即X 是1C 空间。

例2 （非1C 空间的例子）结论：设X 为不可数无穷集，{CC AA τ=是X 的可数子集}{}⋃∅ 为X 上的余可数拓扑，(,)C X τ为拓扑空间，则X 不满足1C 公理。

解释：首先，对于x 的每一邻域x U （即C τ中的开集），Cx U 是可数集。

是Ｓ Ｐ一紧空 间。
［—］ １ ２ 引入 了多种 模 糊紧性 。文 ［ ］ 一 般拓 扑空 ３将 间中的半 准开 集 与半 准 连续 推 广 到 了 一拓 扑 空
间。 ［ 文 ４—５ 在 一拓扑空 『 中引入 了 Ｓ ］ 白 Ｊ Ｐ一紧性与
定 义 １ ５４ 设 （ 是 一拓扑 空 间 ， ∈ ．【 Ｌ，
射， 若对 任意 Ａ ∈ Ｓ Ｃ Ｌ ） 有 ＩＡ）∈ Ｓ Ｃ Ｌ ） Ｐ （ ， 厂 （ Ｐ （’。
在本 文 中 ， 示 Ｆ格 （ ， 有逆 序 对 合 的完 表 即 具
全分 配格 ）Ｌ 示 上 的 Ｆ ｚｙ集 全 体 ， （ ）与 ， 表 ｕｚ Ｌ （ Ｌ ）分别 表示 Ｌ与 ∥ 中的所 有分 子之 集 。 Ａ ， 用 。
一
２ 可 数 Ｓ 一紧 集 的性 质 尸
定理２ １ 设厂（ ６ 一 （ ，） ． ：Ｌ ，） 丁 是半准闭的Ｌ
型 Ｚ ｄｈ函数 ， ＶＹ ａｅ 且 ∈Ｍ（ Ｌ）
一
表示 Ａ的 内部与 闭包 。 余未 声 明的概 念 与符号 其
定 义 １１ ． 设 （ 是 一拓扑 空 间 ， Ｌ， Ａ Ｅ∥
（Ｊ ， ， Ａ∈Ｌ ， ） 如果 Ａ对 的每个 可数 —Ｓ Ｃ远 域族 Ｐ
，
都有 有 限子族 ， 使 是 Ａ的 一 Ｐ 一Ｓ Ｃ远域
可数 Ｓ 一紧性 的概 念 ， Ｐ 并讨 论 ＿其 基本 性 质 。 文 ｒ 本 进 一步讨论 了可数 Ｓ Ｐ一紧子集 在 ， Ｚ ｄ ｈ 函数 Ｊ ａｅ 型 值
文章 编 号 ：０ ６— ４ ４ ２０ ）６— ５ ２— ２ １０ ０ ６ （０ ８ ０ ０ ５ ０
可 数 ． 一紧 集 的 性 质
陈 波
（ 西南大学 数学与统计学院 ， 重庆 ４０１ ） ０ ７ ５

嵌入在 6.6 中介绍 例 3.3.3 起不讲 习题课时 1
道路连通分支不讲 习题课时 1 定理 5.2.1 不讲
例 6.2.2 讲部分 不讲定理 6.3.1, 6.3.4 的证明
定理 6.6.1 讲部分 习题课时 3(含总复习) 定理 7.1.6 讲部分 引理 7.3.2 用分析中的结论
定理 7.6.8 不讲
4
第二章 拓扑空间与连续映射
本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两 个概念 : 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边 界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.
§ 2.1 度量空间与连续映射 在 R 上 , |x-y|表示点 x 与 y 之间的距离 . 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义 2.1.1 设 X 是一集合 , : X X R . 如果 满足正定性、 对称性和三角不等式, 则称 是X 的一个度量 . (X, )称为度量空间, (x, y)表示两点 x, y 之间的距离. 例 2.1.1 实数空间 R . (x,y)=|x-y|, R 的通常度量 . 例 2.1.2 n 维欧氏空间 R n=R R … R. 对于 x R n, 记 x=(xi). 定义 (x, y)= 平面或平面 . 例 2.1.3 Hilbert 空间 H. H={x=(x1 , x2 , … ) | xi R , i Z+; 称为 Hilbert 空间. 例 2.1.4 离散度量空间. 度量空间(X, )称为离散的 , 若 x X, δ x, 满足 (x, y)< δ x >0, 使得不存在 X 中的点 y x. 如 对集合 X, 按如下方式定义 : X X R 是 X 上的离散度量:

第三章搜索推理技术3-1什么是图搜索过程?其中，重排OPEN表意味着什么，重排的原则是什么?图搜索的一般过程如下：(1) 建立一个搜索图G(初始只含有起始节点S)，把S放到未扩展节点表中（OPEN表）中。

(2) 建立一个已扩展节点表（CLOSED表），其初始为空表。

(3) LOOP：若OPEN表是空表，则失败退出。

(4) 选择OPEN表上的第一个节点，把它从OPEN表移出并放进CLOSED表中。

称此节点为节点n，它是CLOSED表中节点的编号(5) 若n为一目标节点，则有解并成功退出。

此解是追踪图G中沿着指针从n到S这条路径而得到的(指针将在第7步中设置)(6) 扩展节点n，生成不是n的祖先的那些后继节点的集合M。

将M添入图G中。

(7) 对那些未曾在G中出现过的(既未曾在OPEN表上或CLOSED表上出现过的)M成员设置一个通向n的指针，并将它们加进OPEN表。

对已经在OPEN或CLOSED表上的每个M成员，确定是否需要更改通到n的指针方向。

对已在CLOSED表上的每个M成员，确定是否需要更改图G中通向它的每个后裔节点的指针方向。

(8) 按某一任意方式或按某个探试值，重排OPEN表。

(9) GO LOOP。

重排OPEN表意味着，在第(6)步中，将优先扩展哪个节点，不同的排序标准对应着不同的搜索策略。

重排的原则当视具体需求而定，不同的原则对应着不同的搜索策略，如果想尽快地找到一个解，则应当将最有可能达到目标节点的那些节点排在OPEN表的前面部分，如果想找到代价最小的解，则应当按代价从小到大的顺序重排OPEN表。

3-2 试举例比较各种搜索方法的效率。

宽度优先搜索(1) 把起始节点放到OPEN表中(如果该起始节点为一目标节点，则求得一个解答)。

(2) 如果OPEN是个空表，则没有解，失败退出；否则继续。

(3) 把第一个节点(节点n)从OPEN表移出，并把它放入CLOSED扩展节点表中。

(4) 扩展节点n。

第五章 有关可数性的公理① 几种可数性的关系定理 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。

证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，Β是它的一个可数基。

对于每一个x ∈X ，根据定理，x B ={B ∈B | x ∈B}是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族．于是 X 在点x 处有可数邻域基x B ．定理 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，B 是它的一个可数基．在B 中的每一个非空元素B 中任意取定一个点B x B ∈. 令D={∈B x B | B |}φ≠B这是一个可数集．由于X 中的每一个非空开集都能够表示为B 中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D 有非空的交，所以可数集D 是X 的一个稠密子集．定理 （Lindelöff 定理）任何一个满足第二可数性公理的空间都是 Lindelöff 空间．② 可数性的定义定义 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为2A 空间。

定义 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为1A 空间。

定义 设X 是一个拓扑空间，X D ⊂．如果X D =，则称D 是X 的一个稠密子集． 定义 设X 是一个拓扑空间，如果X 中有一个可数的稠密子集，则称X 是一个可分空间． 定义 设A 是一个集族，B 是一个集合．如果B A A ⊃⋃A∈则称集族A 是集合B 的一个覆并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B 的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A 是集合B 的一个覆盖．如果集族A 的一个子族A1也是集合B 的覆盖，则称集族A1是覆盖A （关于集合B ）的一个子覆盖．设X 是一个拓扑空间．如果由X 中开（闭）子集构成的集族A 是X 的子集B 的一个覆盖，则称集族A 是集合B 的一个开（闭）覆盖．定义 设X 是一个拓扑空间．如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindel öff 空间．③ 可数性与序列定理 设X 是一个拓扑空间．如果在x ∈X 处有一个可数邻域基，则在点x 处有一个可数邻域基{}+∈Zi i U 使得对于任何+∈Z i 有1+⊃i i U U ，即.........21⊃⊃⊃⊃i U U U定理 设X 是一个满足第一可数性公理的空间，X A ⊂.则点x ∈X 是集合A 的一个凝聚点的充分必要条件是在集合A －{x}中有一个序列收敛于x ．④ 性质 Ⅰ. 拓扑不变性定理 设X 和Y 是两个拓扑空间，f: X →Y 是一个满的连续开映射．如果X 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则y 也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．Ⅱ. 遗传性定理 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间．定理 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间。

第1章 绪论拓扑学起初叫形势分析学，是赖布尼茨1679年提出的名词．随后波兰学派和苏联学派分别对拓扑空间的基本性质，（如分离性，紧性，连通性等）做了系统的研究．1847年利斯廷提出拓扑学的概念，这是拓扑学发展的萌芽阶段． 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支．一个分支是偏重与代数方法来研究的，叫做代数拓扑学．另一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学．其中点集拓扑学是现代数学的重要分支,它是研究空间结构及空间图形在连续形变下保持不变的性质。

在本篇文章中主要针对点集拓扑中的可数性与分离性相关理论进行探讨．在第2章中主要针对第一第二可数性公理，Lindeloff 空间和可分空间相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等性质做了研究．在第3章中主要针对0T 、1T 、2T 、正则、正规、3T 、4T 、完全正规和完全正则空间的相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等拓扑性质做了研究．通过文章中对拓扑空间中这些问题的探讨，对我们了解拓扑空间中关于可数性与分离性公理的性质以及各空间的相互蕴涵关系有一定的帮助．第2章 可数性公理2.1 第一第二可数性公理ⅰ 可数性公理的相关定义定义 设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族．如果T 满足下列条件： ⑴ X ，∅∈T ；⑵ 若A ，B ∈T ，则A ∩B ∈T ；⑶ 若T ⊂T 1，则T ∈T ∈A A 1 ，则称T 是X 的一个拓扑．如果T 是集合X 的一个拓扑，则称偶对),(T X 是一个拓扑空间，或称X 是一个相对于拓扑T 而言的拓扑空间；本文中约定T 是一个拓扑则可称集合X 是一个拓扑空间．此外T 的每一个元素都叫做拓扑空间),(T X （或X ）中的一个开集． 定义 2.1.1 某拓扑空间的一个基或在某一点的一个领域基，如果是一个可数族，我们则分别简称之为一个可数基和一个可数领域基．定义 2.1.2 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间或简称为2A 空间．定义 2.1.3 拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质．定义 2.1.4 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为1A 空间．ⅱ 1A 、2A 相互蕴涵关系引理 2.1.3 设x 是一个拓扑空间x ∈X ,如果 是X 的一个基,则}{B x B x ∈∈= 是点x 的一个邻域基．定理2.1.4 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理． 证明:设X 是一个满足第二可数性公理的空间, 是它的一个可数基,对于每一个x ∈X,根据引理2.1.3}{B x B x ∈∈= 是点x 处的一个邻域基,它是 的一个子族所以是可数族,于是X 在点x 处有可数邻域基x ．定理 2.1.4的逆命题不成立.因为任何一个离散空间显然满足第一可数公理,由于离散空间的每一个单点子集都是开集,而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并,因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集.所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间．ⅲ 1A 、2A 拓扑性质定理 2.1.1 满足第二可数性公理的空间任何一个子空间是满足第二可数性公理的空间．证：设X 是一个满足第二可数性公理的空间， 是它的一个可数基．如果Y 是X 的一个子集，y ∈Y ，对于Y 中的任何一个开集U ，存在X 中的一个开集V 使得U ＝V ∩Y ；存在 的一个子族 1使得 1∈=B B V ．因此 1)(∈=B Y B U .由于上式中的每一个B ∩Y 是 ︱Y 中的一个元素，所以在上式中U 已经表示成了 ︱Y 中的某些元素之并了，因此 ︱Y 是Y 的一个基，它明显是一个可数族．定理2.1.6 满足第一可数性公理的空间的任何一个子空间是满足满足第一可数性公理的空间．证明: 设x 是一个满足第一可数性公理的空间, Y ⊂X 为X 的一个子空间,y 为Y 中任一点即y ∈Y .由于X 是满足第一可数性公理的空间,故y 处有可数邻域基ϑ如果U 是y 在Y 中的一个邻域,则存在y 在X 中的一个邻域V ,使得U =V ∩Y ,于是存在1V ∈y ϑ使得1V ⊂V .从而1V ∩Y 是y 在Y 中的一个邻域,并且1V ∩Y ⊂ V ∩Y =U .其中1V ∩Y ∈Y y ϑ,所以Y y ϑ是y 在Y 中的一个邻域基.明显Y y ϑ是一个可数族．定理2.1.2 设n X X X ,,,21 是n 个满足第二可数性公理的空间，则积空间n X X X ⨯⨯⨯ 21满足第二可数性公理．证：假设已知拓扑空间的某一个性质P 是一个拓扑不变性质．为了证明性质P 是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质P 的拓扑空间的积空间也是具有性质P 的拓扑空间．所以我们只要对于n ＝2的情形加以证明．设21X X 和都满足第二可数性公理的空间， 1和 2分别它们可数基，1 、2 分别为1X 、2X 的拓扑，令 如记积拓扑的定义中的积拓扑的那个基，为了证明}2,1,{~21=∈⨯=i B B B i i 是积空间21X X ⨯的一个基，只需证明 中的每一个元素均可以表示为 ~中的某些元素的并，为证此设21U U ⨯∈ ，其中Ui ∈i （i ＝1，2）．由于i 是i 的一个基，故对于每一个i ，存在i ⊂i ，使得i Bi i i B U ∈=．于是21U U ⨯＝（ i B B ∈11）×( 222∈B B )= 22,1121∈∈⨯B B B B = ∈⨯⨯2121B B B B 其中 =｛i B B B 21⨯∈i , i =1,2｝⊂ ~．所以集族 ~=｛i B B B 21⨯∈i , i =1,2｝是积空间21X X ⨯一个基,它明显是一个可数族.定理2.1.5设n X X X ,,,21 是n 个满足第一可数性公理的空间，则积空间n X X X ⨯⨯⨯ 21也满足第一可数性公理． 证明:我们只要证明n ＝2的情形.设x =（21,X X ）是积空间X =21X X ⨯的任意给定的一个点,因为21,X X 满足第一可数性公理,所以21,X X 处有可数邻域基21,x x ,因此}2,1,{~21=∈⨯=i x Bx B B i i 是x =（21,X X ）处的邻域基,由于21,x x 可数,因此 ~也可数.因此X = 21X X ⨯满足第一可数性公理．定理 设X 和Y 是两个拓扑空间, f :X →Y 是一个满的连续开映射,如果X 满足第二可数性公理,则Y 也满足第二可数性公理.证明:设X 满足第二可数性公理, 是它的一个可数基,由于f 是一个开映射,})({~ ∈=B B f 是Y 中开集构成的一个可数族.只需证明 ~是Y 的一个基.设U是Y 中的一个开集,则)(1U f-是X 中的一个开集.因此存在 ⊂1使得)(1U f -= 1∈B B .由于f 是一个满射.我们有U = 11)())((∈-=B B f U f f 即U 是B~中某些元素的并,所以B ~是Y 的一个基.定理 设X 和Y 是两个拓扑空间, f :X →Y 是一个满的连续开映射,如果X 满足第一可数性公理,则Y 也满足第一可数性公理.证明:设X 满足第一可数性公理,任意的x ∈X .故x 有可数领域基 ,由于f 是一个开映射, })({~ ∈=B B f 是Y 中开集构成的一个可数族.下面证明 ~是Y 的一个领域基.设U 是Y 中的一个领域,则)(1U f -是X 中的一个领域因为X 满足第一可数性公理,所以存在拓扑空间中的一个开集)(1V f-使得x ∈)(1V f -⊂)(1U f -.因为f 是一个满的连续开映射.所以有)())(())((11B f V f f U f f =⊃--,所以 ~为Y 的一个领域基.从以上几个定理我们可以看出拓扑空间满足第一可数性公理的空间或第二可数性公理的性质是可遗传的,是有限可积的,也是拓扑不变性质．ⅳ 1A 空间的一些其它性质定理2.1.7 设X 和Y 是两个拓扑空间,其中X 满足第一可数性公理, x ∈X ,则映射f :X →Y 在点x ∈X 处连续的充分必要条件是:如果X 中的序列｛1x ｝收敛于x ,则Y 中的序列｛)(1x f ｝收敛于)(1x f .证明:必要性 设f 在点x 处连续,｛1x ｝i Z +∈ 是X 中的一个收敛于1x 的序列.如果U 是)(x f 的一个邻域,则)(1U f-是X 的一个邻域,这时存在M ∈Z +使得i ＞M 时有1x ∈)(1U f -,从而)(1x f ∈U .充分性 假设映射f 不连续,即)(x f 有一个领域V ,使得)(1V f - 不是x 的领域,则x 的任何一个领域U 都不能包含在中,即对于x 的任何一个领域U ,包含关系U = )(1V f -不成立.也就是说)(U f ∩V '≠∅,由以上知, )(x f 有一个领域V 使得对于x 的任何一个领域U 有)(U f ∩V '≠∅.设+∈Z i i u }{是点x 处的一个可数领域基,满足条件:对于每一个i ∈Z +,1+⊂i i U U 选取∈i x i U 使得)(i x f ∈)(U f ∩V '即)(i x f ∉V ．明显的,序列｛i x ｝收敛于x ,然而序列｛)(i x f ｝在)(x f 的领域V 中却没有任何一个点,所以不收敛于)(x f ,这与反证假设矛盾.因此反证假设不成立,所以映射f 在点x 处连续.定理 2.1.8 设X 和Y 是两个拓扑空间,其中X 满足第一可数性公理,则映射f :X →Y 是一个连续映射的充分必要条件是:如果X 中的序列｛i x ｝收敛于x ∈X ,则Y 中的序列｛)(i x f ｝收敛于)(x f .证明:只需证明映射f 连续当且仅当对于每一点x ∈X ,映射f 在点x 处连续. 充分性 设对于每一点x ∈X , 映射f 在点x 处连续.如果U ⊂Y 是一个开集,则对于每一点x ∈)(1U f-.集合U 是)(x f ∈U 的一个领域.因此对于每一点x ∈)(1U f -,)(1U f -是x 的一个领域,因而)(1U f -是一个开集,所以f 连续. 必要性 设映射f 连续, x ∈X .如果U 是)(x f 的一个领域,则存在开集V 使得)(x f ∈V ⊂U ,于是x ∈)(1V f-⊂)(1U f -,其中)(1V f -是一个开集,从而)(1U f -是x 的一个邻域,这证明f 在点x 处连续.2.2 Lindeloff 空间ⅰ 定义定义2.2.1 设X 是一个Lindeloff 空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindeloff 空间.ⅱ 1A 、2A 与Lindeloff 空间的关系定理 2.2.1(Lindeloff 定理) 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff 空间.证明:设A V ∈=ααϑ}{是空间X 的任意一开覆盖, 是X 的可数基,因为每一个)(A V ∈αα是某些U ∈ 的并,所以存在 的子族)( ⊂''覆盖X ,对每一个U ∈ ',选取αV 使αV U ⊂,这样得到的子覆盖},{ '∈⊃='U U V V ααϑ是可数的.证完. 注:第一可数空间与Lindeloff 空间互不蕴涵.① 一个第一可数空间,它不是一个Lindeloff 空间.设X 为一个不可数集,在X 上取离散拓扑,则X 是第一可数空间,但它不是Lindeloff 空间.② 一个Lindeloff 空间,它不是第一可数空间.设X 为一个不可数集,在X 上取有限补拓扑,即X 的非空开集为X \C,其中C 为有限集.显然X 是Lindeloff 空间,然而, X 不是第一可数空间.事实上,假如在点x ∈X 存在可数的拓扑基,则必有含有点x 的可数的开集族x ,使x 的每个开领域包含某个B ∈x ,因此x B x B ∈=}{,从而得到X \}{x =x \ x B xB B ∈∈=(X\B).因为每个X \B 为有限集,故X \}{x 为一个至多可数集,这与X 为一个不可数集的条件发生矛盾.因此可知X 不是第一可数空间.ⅲ Lindeloff 拓扑性质令X =[0,1],以[0,1]及所有单点集{x }(x ≠0)为领域基生成X 上的一个拓扑.因X 的任一开覆盖必含有[0,1],故X 为一个Lindeloff 空间,但子空间(0,1]为不可数的离散空间,故它不是Lindeloff 空间.注：包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff 空间.这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖,这个开覆盖没有任何可数子覆盖.从上面例子我们可以看出Lindeloff 空间性质是不可遗传的,但它对于闭子空间却是可遗传的,下面我们证明:定理2.2.2 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间.证明:设Y 是Lindeloff 空间X 的一个闭子空间, Γ是子空间Y 的一个开覆盖则对于每一个Γ∈A 存在X 中的一个开集A Y U U A A = ,使得, }{}{Y A U A 'Γ∈ 于是是X 的一个开覆盖,它有一个可数子覆盖,设为}{},,{21Y U U A A ' .这时易见,},,,{21+∈=Z i Y A A A A i i 其中,便是Γ的一个关于可数子空间Y 的可数子覆盖.推论2.2.3 ⑴Lindeloff 空间的有限闭子空间的并为Lindeloff 空间;⑵Lindeloff 空间的任意闭子空间的交为Lindeloff 空间.证明:⑴设),2,1(n i y i =为Lindeloff 空间的闭子空间,则i y 为Lindeloff 空间, n i i y1=仍是Lindeloff 闭子空间.由定理2.2.2得 ni i y 1=也是Lindeloff 空间 ⑵设),2,1(n i y i =为Lindeloff 空间的闭子空间,则i y 为Lindeloff 空间,∞=1i iy 是闭集,因此, ∞=1i i y仍为Lindeloff 空间注: Lindeloff 空间不是有限可集的.设X 是实数集τ是所有半开区间[)}{,b x a x b a ≤≤=的族 为领域基的X 上的拓扑.设}{αU 是拓扑空间X 的任意一个开覆盖,于是,对每一个有理数X r ∈,存在r r U r U U ∈∈使得},{α,根据X 上的拓扑τ的定义,当r 走遍有理数集时,相应的r U 所组成的可数族就覆盖了拓扑空间X .故X 是Lindeloff 空间令Y =X ×X ,对每一点p =(x ,y ) ∈Y ,点p 的领域集为{),(ξp s },其中),(ξp s 是左下角为点p 并以ξ＞0为边的半开正方形.令L={(x , y )︱y =-x },则L 是Y 的闭子集.为证Y 不是Lindeloff 空间,我们只要证明Y 的闭子空间L 不是Lindeloff 空间即可,但这是显然的,因为集族 Lp p s ∈),(ξ是L 的一个开覆盖,而它没有可数的子覆盖.所以Y 不是Lindeloff 空间.定理 2.2.4 X 是Lindeloff 空间, f :x →y 是一个连续映射,则)(x f 也是Lindeloff 空间.证明:设β是y 的任意一个开覆盖,则})({1β∈=-B B f A 是Lindeloff 空间X 的开覆盖,因它有可数子覆盖,即β的可数子族β'使得})({1β'∈='-B B f A 覆盖X ,故β'是β的可数子覆盖,所以y 也是Lindeloff 空间.推论2.2.5 21X X ⨯是Lindeloff 空间,则21,X X 也是Lindeloff 空间.证明:定义映射i P : 21X X ⨯→i X （i =1，2），显然它是一个连续映射,又因为21X X ⨯是Lindeloff 空间,由定理2.2.4得1X 和2X 也是Lindeloff 空间.2.3 可分空间ⅰ 可分空间的相关定义定义2.3.1 设X 是一个拓扑空间，D ⊂X ，如果D 的闭包等于整个拓扑空间X ，即D =X ，则称D 是X 的一个稠密子集.定义 2.3.2 设X 是一个拓扑空间,如果X 中有一个可数稠密子集,则称X 是一个可分空间.ⅱ 2A 与可分空间的关系定理 2.3.1 满足第二可数性公理的空间都是可分空间.证明: 设ϑ是空间X 的可数基,对于每一个U ∈ϑ,任取点x ∈U ,则集},{ϑ∈∈=U U x x A 是可数集.下证集A 稠密于空间X ,A X -是一个开集,不能包含基ϑ中的任何非空元素,故是空集.在前面我们知道,包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间.同样包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分空间的.这是因为在这样一个拓扑空间中,任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间.注: 可分空间与Lindeloff 空间互不蕴涵.⑴ 设X 为一不可数集,并在X 上取可数补拓扑,则X 为一不可分的拓扑空间,由于X 的任一非空开集的补集是可数的,因而X 是Lindeloff 空间.⑵设X 为一不可数集,a ∈X ,我们规定X 的开集为空集∅以及含有点a 的任意子集.由于单点集{a }在X 中稠密.故X 是可分的,然而, X 显然不是Lindeloff 空间.ⅲ 可分空间的拓扑性质由于第二可数性公理是一个可遗传的性质,因此根据定理2.3.1我们可以得到以下推论:推论2.3.2 满足第二可数性公理的空间的子空间都是可分空间.定理2.3.3 可分空间的有限积空间仍为可分空间证明: 因为),,2,1(n i X i =是可分空间,存在i i X D ⊂,使得,i i X D =并且i D 是可数集.则n n X X X D D D D ⨯⨯⊂⨯⨯⨯=2121.又因为=D .2121n n X X X D D D ⨯⨯=⨯⨯⨯,而D 又是一个可数集,所以积空间n X X X ⨯⨯21是一个可分空间.定理2.3.4 可分空间的开子空间是可分空间证明: 设Y 为X 的一个开子空间, D 为Y 的一个子集即X D Y D ⊂⊂则,．因为X 为一个可分空间,所以X 中存在一个可数的稠密子集D ~,使得Y D Y D D ==则有 ~.因为D ~是可数集,则D 也是可数的,所以Y 是一个可分空间. 注: 存在某个可分空间的闭子空间,它不是可分的例如,设X 为一个不可数集,p ∈X ,令X 的开集为空集∅以及含有点p 的任意子集.易见单点集{p }在X 中稠密.因此, X 是可分的,又, X \{p }是X 的闭子空间.因X 不可数,故X \{p }不可分.例:设X 和Y 是两个拓扑空间, f :X →Y 是一个连续映射,证明如果X 是一个可分空间,则)(x f 也是可分的.证明: X 是一个可分空间,则存在X D X D =⊂使得,且D 是可数集,则)()(,)(11X f D fX D f =⊂--.因为f :X →Y 是一个连续映射,所以))(())((),())((11X f f D f f X f D f f =⊂--即)()(),()(X f D f X f D f =⊂所以)(D f 是)(x f 的一个稠密子集.又因为f 是连续的, D 是可数集,所以)(D f 也是一个可数集.ⅳ 可分空间的一些其它其它性质定理: 设X 是离散空间,X 是Lindeloff 空间 ⇔X 含可数多个点⇔X 是可分空间.证明:离散空间X 的每个子集是开集,所以若X 含有可数多个点则X 一定是Lindeloff 空间.反之,若X 是Lindeloff 空间,则所有单点集构成的X 的开覆盖有可数子覆盖,所以X 含有可数多个点.若X 含有可数多个点, X 显然是可分空间.反之,若X 是可分空间,则X 的一个可数子集的闭集是X ,因为离散空间任何子集的闭集时其本身,即X 的一个可数子集是X ,所以X 含可数多个点.定理2.3.5 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理证明: 设(X ,d )是一个可分的度量空间. D 是X 中的一个可数稠密子集.令},)1,({+∈∈=Z n D x nx B ,易见 是由X 中的开集构成的一个可数族.设y ∈X ,U 是y 的一个领域,则存在+∈Z k ,使得U ky B ⊂)1,(.由于D 是X 中的一个稠密子集,所以≠D k y B )21,( ∅,任意选取D ky B y )21,(~∈,如果)21,~(k y B x ∈,则有k y x d 21)~,(<,于是k y y d y x d y x d 1),~()~,(),(<+≤即)1,(k y B x ∈.因此,我们可以得到:U ky B k y B ⊂⊂)1,()21,~(.由于,~D y ∈所以.)21,~( ∈ky B 综合以上所说,我们证明了:对于任何y ∈X 和y 的任何一个领域U ,存在某一个 ∈)21,~(k y B 使得U ky B y ⊂∈)21,~(所以 是X 的一个基. 根据定理2.3.5及推论2.3.2可得到下面推论:推论2.3.6 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间.第3章 分离性公理3.1 0T , 1T , 2T 空间ⅰ 定义定义 3.1.1(0T 分离公理) 对拓扑空间X 的不同两点21,X X ,存在其中一点的领域不包含另外一点(例如1x 的领域)(1x U 使)(12x U x ∉).以上叙述称为0T 分离公理,满足0T 分离公理的拓扑空间称为0T 空间.定义 3.1.2(1T 分离公理) 对拓扑空间X 的不同两点21,X X ,存在点1x 的领域)(1x U 使)(12x U x ∉,点2x 的领域)(2x U 使)(21x U x ∉.以上叙述称为1T 分离公理,满足1T 分离公理的拓扑空间称为1T 空间.定义 3.1.3(2T 分离公理) 对拓扑空间X 的不同两点21,X X ,存在点1x 的领域)(1x U ,点2x 的领域U(x 2),使)()(21x U x U = ∅,以上叙述称为2T 分离公理或Hausdorff 公理,满足公理的空间称为2T 空间或Hausdorff 空间 ⅱ 0T , 1T , 2T 相互蕴涵关系我们由0T 、1T 空间的定义知道1T 空间当然是0T 空间，但反之不然，例如：设X ={a,b,c},规定X 的开集为∅,{a},{a,b},{a,c}和X ,则X 为一个拓扑空间.易见, X 是0T 空间.因为对于点c a ,而言,含点c 的开集必含点a ,所以X 不是1T 空间． 同样有定义可知2T 空间一定是1T 空间，反之不然，例如：设X 是一个包含着无限多各点的有限补空间,由于X 中的每一个有限子集都是闭集,所以它是一个1T 空间.然而在拓扑空间X 中任何两个非空的开集一定会有非空的交,这是因为X 中每一个非空开集都是X 中的有限子集的补集,而X 又是一个无限集的缘故.由此可见X 必然不是一个2T 空间．ⅲ 拓扑性质定理: 1T 空间的每一个子空间都是1T 空间 证明：设X 是一个1T 空间，Y 是X 的一个子空间.对于任意的x 、y Y ∈,y x ≠,因为Y 是X 的一个子空间,所以x 、y X ∈.由于X 是1T 空间,所以在X 中有x 的开领域U 使得y U ∉.令Y U U =~,则y U ~∈,则U ~是x 在Y 的一个开领域.所以Y也是一个1T 空间.定理: 2T 空间的每一个子空间都是2T 空间证明: 设X 是一个2T 空间, Y 是X 的一个子空间.设x 、y Y ∈,x ≠y .首先在X 中有x 的开集A 且1A Y A = 则1A y ∉,同理有y 的开集B ,使得B x ∉且1B Y B = 则x 1B ∉.由于X 是一个正则空间,所以1A 、B 分别在X 中有开领域U~和V ~,使得U ~∩V ~=∅.令U =U ~∩Y 和V =V ~∩Y ,它们分别是x 、y 在子空间Y 中的开领域,显然U ∩V =∅.定理:n X X X ⨯⨯21是Hausdorff 空间当且仅当每个拓扑空间},,2,1{n i X i =是Hausdorff 空间.证明:我们只需证明n =2的情形.设21X X ⨯是Hausdorff 空间,对于111,X x x ∈'为不同的两点.任取22X x ∈,则),(21x x ,),(21x x '为21X X ⨯的不同点,有不相交领域2121,U U U U '⨯'⨯.容易看出,1111,,x x U U ''是在1X 中的不相交领域,即1X 是Hausdorff 空间.同理2X 也是Hausdorff 空间.反之,设21,X X 都是Hausdorff 空间.),(),,(2121x x x x ''为21X X ⨯的两个不同点,不妨设1x ≠1x ',因为1X 是Hausdorff 空间,则有1X 的不相交开集11U U '和,使1x ∈1U , 1x '∈1U ',因此2221,X U X U ⨯⨯是),(21x x ,),(21x x ''的不相交领域,所以X 1×X 2是Hausdorff 空间.定理 设X 和Y 是两个拓扑空间, f :X →Y 是一个满的连续映射,如果X 是2T 空间,则Y 也是一个2T 空间.证明:设x ,y ∈Y ,x ≠y , U 、V 分别是点x 、y 处的一个开领域.因为f :X →Y 是一个满的连续的映射,所以在拓扑空间X 中有,)(1x f -和)(1y f -分别有开领域)(1U f -, )(1V f -,又因为X 是2T 空间,所以有)(1U f-∩)(1V f -=∅.因f 是满的连续映射,所以))(())((11V f f U ff -- = ∅即U ∩V =∅. 所以Y 也是一个2T 空间. 我们从这个定理可以看出2T 空间是一个拓扑不变的性质.与以上证法相似我们也容易证明0T 空间和1T 空间也是一个拓扑不变性质的.定理3.1.3 2T 空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点证明: 设{i x }是2T 空间中的一个序列,并且有1lim i i x y →∞=和2lim i i x y →∞=其中21y y ≠于是对于j =1,2,点j y 有一个开领域j V ,使得21V V =∅.故存在j N ＞0使得当j i j V x N i ∈≥时有.任意选取},m ax {21N N M >.可见21V V x M ∈,故21V V 非空,这是一个矛盾.定理3.1.1 下列论断等价:⑴X 是0T 空间;⑵ 对X 的不同两点21,X X ,或者}{21x x ∉,或者}{12x x ∉;⑶ 对X 的不同两点21,X X 具有不同的闭包}{,}{21x x .证明: ⑴⇒⑵ 设}{21x x ∉及}{12x x ∉同时成立,则1x 的任何领域包含1x ,不满足⑴.⑵⇒⑴ 设}{21x x ∉,则存在1x 的领域)(1x U 使}{12x x ∉⑵⇒⑶ 显然⑶⇒⑵ 设}{21x x ∉,}{12x x ∉同时成立,亦即}{}{,}{}{1221x x x x ⊂⊂,从而有}{}{}{221x x x =⊂，同理}{}{12x x ⊂,故有}{}{21x x ⊂,不满足(3).定理3.1.2 设X 是一个拓扑空间,则以下条件等价:⑴X 是一个1T 空间;⑵X 中每一个单点集都是闭集;⑶X 中每一个有限子集都是闭集.证明: ⑴⇒⑵ 设X x ∉,当X 是一个1T 空间时,对于任何y ∈X ,y ≠x ,点y 有一个领域U 使得U x ∉,即U ∩{x }=∅,因此}{x y ∉,从而}{}{x x =.这证明单点集{x }是一个闭集.⑵⇒⑶ 设},,,{21n x x x 是X 的一个有限子集.当⑵成立时,我们有, nn n x x x x x x x x x 212121}{}{}{},,,{==}{}{}{21n x x x =},,,{21n x x x =即},,,{21n x x x 是一个闭集. ⑶⇒⑴ 设x ,y ∈X ,x ≠y ,当⑶成立时,单点集{x }和{y }都是闭集.从而}{}{''y x 和分别是y 和x 的开领域,前者不包含x ,后者不包含y ,这就证明了X 是一个1T 空间.3.2 正则、正规、3T 、4T 空间ⅰ 相关定义定义 3.2.1 设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开领域,它们互补相交(即如果x ∈X 和X A ⊂是一个闭集,使得A x ∉,则存在x 的一个开领域U 和A 的一个开领域V 使得U ∩V =∅),则称拓扑空间X 是一个正则空间.定义3.2.2 设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何两个互不相交的闭集各有一个开领域并且这两个开领域互不相交(即如果A 、B ⊂X 都是闭集,则存在A 的一个开领域U 和B 的一个开领域V 使得U ∩V =∅),则称拓扑空间X 是一个正规空间.定义3.2.3 正则的1T 空间称为3T 空间,正规的1T 空间称为4T 空间.ⅱ 正则、正规、3T 、4T 空间关系我们由拓扑空间的定义可知4T 空间是3T 空间，但拓扑空间的正则性和正规性之间没有必然的蕴涵关系.如X ={1,2,3}取T ={∅,{1},{2},{1,2},{1,2,3}}则),(T X 是正规空间而非正则空间.但是我们不可能找到一个如此简单的正则而非正规的空间.定理 :设X 是有限集,若),(T X 是正则空间,那么),(T X 是正规空间.证明:设A ,B 是),(T X 的两个不相交的闭集,因为X 有限,所以可以设},,,{21n a a a A =,因为),(T X 是正则空间,所以对),,2,1(n i a i =和B ,有开集i U 、i V ,使i a ∈i U 、i i V B ⊂ ,且i U ∩i V =∅.令n U U U U 21=，n V V V V 21=,则U 、V 为开集,U A ⊂,V B ⊂且)()(2121n n V V V U U U V U = =)]([211n V V V U ∪…∪)]([21n n V V V U ⊂ )()(11n n V U V U = ∅,所以(X ,T )为正规空间.ⅲ 拓扑性质定理 正则空间的每一个子空间都是正则空间证明:设X 是一个正则空间,Y 是X 的一个子空间.设y ∈Y 和B 是Y 的一个闭集使得y ∉B ,首先,在X 中有一个闭集B ~使得B ~∩Y =B .因此y ∉B .由于X是一个正则空间,所以y 和B ~分别在X 中有开领域(对于拓扑空间X 而言)U ~和V ~使得U ~∩V ~=∅.令U =U ~∩Y 和V =V ~∩Y .它们分别是y 和B 在子空间Y 中开领域,显然U ∩V =∅.定理 正规空间的每一个闭子空间都是正规空间证明:设Y 是正规空间X 的一个闭子空间. A ,B 是子空间的闭集,则对于A 、B 也为X 中的闭集,所以存在X 中的一个开领域U ~、V ~,使得U ~∩V ~=∅,令U =U~∩Y , V =V ~∩Y 则U ∩V =∅所以Y 是一个正规空间.定理 4T 空间的每一个闭子空间都是4T 空间证明: 设Y 是4T 空间的一个闭子空间,m 、n 是闭子空间Y 中的任意点,其中m ≠n ,因为Y 是4T 空间的一个闭子空间,所以m 对于4T 空间有开领域U ~,使得U n ~∉.令Y U U ~=,则U n ∉,所以Y 是1T 空间.下证Y 为正规空间: A 、B 是子空间Y 的闭集.因为A 、B 也为4T 空间中的闭集,所以存在4T 空间的一个开领域A U ~、B V ~使得A U ~∩B V ~= ∅令A U =A U ~∩Y , B V =B V ~∩Y ,它们分别是A 、B 在闭子空间Y 中的开领域,则A U ∩B V = ∅,所以Y 为正规的.定理 设n X X X ,,,21 是1≥n 个正则空间,则积空间n X X X ⨯⨯⨯ 21也是正则空间.证明: 我们只需证明2=n 的情形.设2121),(X X x x x ⨯∈∈,集合U 是x 在21X X ⨯中的一个开领域,则有1x 在1X 中的一个开领域1U 和2x 在2X 中的一个开领域2U ,使得1U ×2U ⊂U .由于1X 和2X 都是正则空间.故1x 在1X 中有一个开领域1V 使11U V ⊂-, 2x 在2X 中有一个开领域2V 使得22U V ⊂-,于是1V ×2V 是x 在21X X ⨯中的一个开领域,并且U U U V V V V ⊂⨯⊂⨯=⨯--212121.这就证明了是一个正则空间.这个定理说明正则空间具有有限可积性质.我们也容易证明10,T T 空间也具有有限可积性质.定理： 设X 和Y 是两个拓扑空间,f ：X →Y 是满的连续映射，如果X 是一个正则空间，则Y 也是一个正则空间．证明：设Y y ∈,闭集Y A ⊂且A y ∉.因为f 是一个满的连续映射,则在X 中有X y f ∈-)(1,X A f ⊂-)(1.因为X 是一个正则空间,所以在X 中存在)(1y f -和)(1A f -的开领域U ~和V ~,使得U ~∩V ~=∅．因为f 是一个满的连续映射,所以在Y 中存在y 、A 的开领域U 、V ,使得U ∩V = ∅,所以Y 也是一个正则空间．定理： 设X 和Y 是两个拓扑空间, f ：X →Y 是满的连续映射,如果X 是一个正规空间，则Y 也是一个正规空间．证明：A 、B 是Y 中的两个闭集，由于f 是一个连续映射则)(1A f -和)(1B f -是X 中的两个闭集.由于X 是一个正规空间,则)(1A f -和)(1B f -分别存在一个开领域U ~和V ~.使得U ~∩V ~=∅,由于f 是满的连续映射,则在Y 中存在A 、B 的开领域U 、V 使得U ∩V =∅,所以Y 也是一个正规空间．ⅳ 正则、正规、3T 、4T 空间其它性质定理 3.2.1 设X 是一个拓扑空间,则X 是一个正则空间当且仅当对于任何点x ∈X 和x 的任何一个开领域U ,存在x 的一个开领域V 使得U V ⊂. 证明： 必要性 设X 是一个正则空间，如果x ∈X ,集合U 是x 的一个开领域,则U 的补集U '便是一个不包含点x 的闭集.于是x 和U '分别有开领域1U 和1V 使得1U ∩1V =∅.从而1U ⊂1V ',所以U U U V V U ⊂⊂'=⊂---1111即.充分性 设x ∈X 和A 是一个不包含x 的闭集.这时A 的补集A '是x 的一个开领域,根据定理中所陈述的条件可见,有x 的开领域U 使得A U '⊂.令V ='-U ,则有A ⊂U .所以V 是A 的一个开领域,并且易见U ∩V =∅,这证明X 是一个正则空间.引理3.2.2 拓扑空间X 为正则空间,当且仅当对X 中的任一点x 以及不含点x 的任一闭集B , x 、B 分别有开领域U 、V ,使得C(U )∩C(V )=∅.定理 3.2.3 拓扑空间X 为正则空间,当且仅当对X 中的任一点x 以及X 中不含点x 的任一闭集B , x 、B 分别有闭领域U 、V ,使得U ∩V =∅.证明: 必要性 设X 为正则空间,由引理 3.2.2的必要性知,对X 中任一点x以及X 中不含x 的任一闭集B , x 、B 分别有开领域1U 、1V ，使得C(1U )∩C(1V )=∅,令U = C(1U ),V = C(1V )则U 、V 分别为x 、B 的闭领域,且U ∩V =∅.充分性 设X 的任一x 以及不含x 的任一闭集B , x 、B 分别有闭领域U 、V ,使得U ∩V =∅,于是x ∈V V i B U U i ⊂⊂⊂)(,)(,故C(1U )∩C(1V )= ∅,根据引理3.2.2的充分性可知X 为正则空间.定理3.2.4 设X 是拓扑空间,则下列命题等价:⑴ X 为正规空间;⑵ 对于X 中的任意闭集A 和每个包含A 的开集U ,存在开集V 使得A ⊂V ⊂V ⊂U ;⑶ 对于X 中的任意两个互不相交的闭集A 、B ,存在开集U ,使得A ⊂U 及U ∩B =∅;⑷ 对于X 中的任意两个互不相交的闭集A 、B ,存在开集U ,使得A ⊂U ,B ⊂V 且U ∩V =∅.证明: ⑴⇒⑵ 由已知X 为正规空间, A 为闭集, U 为开集且A ⊂U ,则X -U 为闭集且(X -U )∩A =∅.由定义在X 中的开集V 、1V ,使得A ⊂V , X -U ⊂1V ,且V ∩1V = ∅,从而有V ⊂ X -1V 及X -1V ⊂U .因为X -1V 为闭集,则V ⊂X -1V ⊂U ,从而A ⊂V ⊂V ⊂U .⑵⇒⑶ 已知A 、B 为X 中的任意两个互不相交的闭集,因此X -B 为开集且A ⊂X -B ,由⑵则存在开集U ,使得A ⊂U ⊂U ⊂X －B ,从而U ∩B =∅. ⑶⇒⑷ 已知A 、B 为X 中的任意两个互不相交的闭集,由⑶知存在开集U ,使得A ⊂U 及U ∩B =∅,从而U 与B 为X 的两个互不相交的闭集,再由⑶知存在开集V ,使得B ⊂V 及U ∩V =∅.。

第三章 子空间， （有限）积空间和商空间
教学目的
介绍用已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种方法，使得拓扑空间中的一个给定
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陈冬梅： 《点集拓扑》课程教学大纲
的子集，有限个拓扑空间的笛卡儿积或一个拓扑空间中的商集都可以作为独立的拓 扑对象进行考察。
主要内容
第一节 子空间 第二节（有限）积空间 第三节 商空间系
3．题型与举例
深圳大学数学与计算科学学院
200× -200× 学年 课程 点集拓扑 年级 第× 学期 期末考试Ａ卷 姓名 成绩
一、判断题（每小题 2 分，共 20 分） （ （ （ （ （ ）1. 仿紧空间是度量空间。 ）2. 局部道路连通空间不一定是道路连通空间。 ）3. 度量空间 X 紧致的充要条件是 X 上的任意一个连续函数都是有界的。 ）4. 可分空间一定满足 C2 公理。 ）5. 紧度量空间的每一个开覆盖都有 Lebesgue 数。
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陈冬梅： 《点集拓扑》课程教学大纲
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为 54 学时，安排在第 学期，每周 3 学时，上课 18 周。具体分配 如下： 第一章 集合论初步 第二章 拓扑空间与连续映射 第三章 子空间，（有限）积空间和商空间 第四章 连通性 第五章 有关可数性的公里 第六章 分离性公里 第七章 紧致性 8 学时 10 学时 4 学时 8 学时 6 学时 8 学时 10 学时
陈冬梅： 《点集拓扑》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006 年 10 月重印版）
课程编号
课程名称
点集拓扑
课程类别
综合选修
教材名称
点集拓扑

离散数学第三章第一篇：离散数学第三章第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r 结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r 结论：p∧q 证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)⑤ 置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q 结论：s→r 证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s 结论：⌝p 证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第二篇：离散数学离散数学课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是[ B ]A．2 ∈A；B．1 ∈ A；C．5 ∈A；D．{2} ⊆ A。

1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是[ D ]A．C；B．A；C．B；D．Ø。

1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否成立？（1）N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S［不成立］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则-1 ∈S［不成立］1-4 设集合 A ={3，4}，B = {4，3} ∩ Ø，C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，2E = {x│x ∈R 并且 x-7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问哪两个集合之间可用等号表示？答：A = E；B = C；D = F1-5 用列元法表示下列集合（1）A = { x│x ∈N 且x2 ≤ 9 }（2）A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }答：（1）A = { 0，1，2，3 }；（2）A = { 1，2，3，4，……} = Z+；第二章二元关系2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：R = {〈x，y〉x，y ∈X 且x≤ y }求：(1)domR =?;(2)ranR =?;(3)R 的性质。

数学分析讲义目录第一册第1章集合与映射1.1 集合1.2 集合运算及几个逻辑符号1.3 映射1.4 映射的乘积(或复合)1.5 可数集1.6 习题1.7 补充教材一：关于自然数集合N1.8 补充教材二：基数的比较1.9 补充习题进一步阅读的参考文献第2章实数与复数2.1 实数的四则运算2.2 实数的大小次序2.3 实数域的完备性2.4 复数2.5 习题2.6 补充教材一：整数环z与有理数域Q的构筑2.7 补充教材二：实数域R的构筑进一步阅读的参考文献第3章极限3.1 序列的极限3.2 序列极限的存在条件3.3 级数3.4 正项级数收敛性的判别法3.5 幂级数3.6 函数的极限3.7 习题进一步阅读的参考文献第4章连续函数类和其他函数类4.1 连续函数的定义及其局部性质4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质4.3 单调连续函数及其反函数4.4 函数列的一致收敛性4.5 习题4.6 补充教材：半连续函数及阶梯函数进一步阅读的参考文献第5章一元微分学5.1 导数和微分5.2 导数与微分的运算规则5.3 可微函数的整体性质及其应用5.4 高阶导数，高阶微分及Taylor公式5.5 Taylor级数5.6 凸函数5.7 几个常用的不等式5.8 习题5.9 补充教材一：关于可微函数的整体性质5.10 补充教材二：一维线性振动的数学表述5.10.1 谐振子5.10.2 阻尼振动5.10.3 强迫振动进一步阅读的参考文献第6章一元函数的Riemann积分6.1 Riemann积分的定义6.2 Riemann积分的简单性质6.3 微积分学基本定理6.4 积分的计算6.5 有理函数的积分6.6 可以化为有理函数积分的积分6.6.1 R(x,根号(αx+β)/(γx+δ))的积分6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分6.6.3 R(sinx,cosx)的积分6.7 反常积分6.8 积分在几何学，力学与物理学中的应用6.8.1 定向区间的可加函数6.8.2 曲线的弧长6.8.3 功6.9 习题6.10 补充教材一：关于Newton—Leibniz公式成立的条件6.11 补充教材二：Stieltje8积分6.12 补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数6.12.1 一维的非线性振动的例：单摆的平面运动6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数6.13 补充教材四：上、下积分的定义进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第二册第7章点集拓扑初步7.1 拓扑空间7.2 连续映射7.3 度量空间7.4 拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商7.5 完备度量空间7.6 紧空间7.7 Stone-Weierstrass逼近定理7.8 连通空间7.9 习题7.10 补充教材：Urysohn引理进一步阅读的参考文献第8章多元微分学8.1 微分和导数8.2 中值定理8.3 方向导数和偏导数8.4 高阶偏导数与T aylor公式8.5 反函数定理与隐函数定理8.6 单位分解8.7 一次微分形式与线积分8.7.1 一次微分形式与它的回拉8.7.2 一次微分形式的线积分8.8 习题8.9 补充教材一：线性赋范空间上的微分学及变分法初步8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射8.9.2 连续重线性映射空间8.9.3 映射的微分8.9.4 有限增量定理8.9.5 映射的偏导数8.9.6 高阶导数8.9.7 Taylor公式8.9.8 变分法初步8.9.9 无限维空间的隐函数定理8.10 补充教材二：经典力学中的Hamilton原理8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献第9章测度9.1 可加集函数9.2 集函数的可数可加性9.3 外测度9.4 构造测度9.5 度量外测度9.6 Lebesgue不可测集的存在性9.7 习题进一步阅读的参考文献第10章积分10.1 可测函数10.2 积分的定义及其初等性质10.3 积分号与极限号的交换10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较10.5 Futfini-ronelli定理10.6 Jacobi矩阵与换元公式10.7 Lebesgue函数空间10.7.1 LP空间的定义10.7.2 LP空间的完备性10.7.3 Hanner不等式10.7.4 LP的对偶空间10.7.5 Radon-Nikodym定理10.7.6 Hilbert空间10.7.7 关于微积分学基本定理10.8 二次微分形式的面积分10.8.1 一次微分形式的外微分10.8.2 二次微分形式和平面的定向10.8.3 二次微分形式的回拉和积分10.8.4 三维空间的二次微分形式10.8.5 平面上的Green公式10.9 习题进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第三册第11章调和分析初步和相关课题11.1 Fourier级数11.2 Fourier变换的L1-理论11.3 Hermite函数11.4 Fourier变换的L2-理论11.5 习题11.6 补充教材一：局部紧度量空间上的积分理论11.6.1 C0(M)上的正线性泛函11.6.2 可积列空间L111.6.3 局部紧度量空间上的外测度11.6.4 列空间L1中的元素的实现11.6.5 l-可积集11.6.6 积分与正线性泛函的关系11.6.7 Radon泛函与Jordan分解定理11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理11.6.9 概率分布的特征函数11.7 补充教材二：广义函数的初步介绍11.7.1 广义函数的定义和例11.7.2 广义函数的运算11.7.3 广义函数的局部性质11.7.4 广义函数的Fourier变换11.7.5 广义函数在偏微分方程理论上的应用11.8 补充习题进一步阅读的参考文献第12章复分析初步12.1 两个微分算子和两个复值的一次微分形式12.2 全纯函数12.3 留数与Cauchy积分公式12.4 Taylor公式和奇点的性质12.5 多值映射和用回路积分计算定积分12.6 复平面上的Taylor级数和Laurent级数12.7 全纯函数与二元调和函数12.8 复平面上的Г函数12.9 习题进一步阅读的参考文献第13章欧氏空间中的微分流形13.1 欧氏空间中微分流形的定义13.2 构筑流形的两个方法13.3 切空间13.4 定向13.5 约束条件下的极值问题13.6 习题进一步阅读的参考文献第14章重线性代数14.1 向量与张量14.2 交替张量14.3 外积14.4 坐标变换14.5 习题进一步阅读的参考文献第15章微分形式15.1 Rn上的张量场与微分形式15.2 外微分算子15.3 外微分算子与经典场论中的三个微分算子15.4 回拉15.5 Poincare引理15.6 流形上的张量场15.7 Rn的开集上微分形式的积分15.8 习题进一步阅读的参考文献第16章欧氏空间中的流形上的积分16.1 流形的可定向与微分形式16.2 流形上微分形式的积分16.3 流形上函数的积分16.4 Gauss散度定理及它的应用16.5 调和函数16.6 习题16.7 补充教材一：Maxwell电磁理论初步介绍16.8 补充教材二：Hodge星算子16.9 补充教材三：Maxwell电磁理论的微分形式表示进一步阅读的参考文献结束语进一步阅读的参考文献参考文献关于以上所列参考文献的说明名词索引。

西⽠书课后习题——第三章3.1式3.2 f(x)=\omega ^{T}x+b中，\omega ^{T}和b有各⾃的意义，简单来说，\omega ^{T}决定学习得到模型(直线、平⾯)的⽅向，⽽b则决定截距，当学习得到的模型恰好经过原点时，可以不考虑偏置项b。

偏置项b实质上就是体现拟合模型整体上的浮动，可以看做是其它变量留下的偏差的线性修正，因此⼀般情况下是需要考虑偏置项的。

但如果对数据集进⾏了归⼀化处理，即对⽬标变量减去均值向量，此时就不需要考虑偏置项了。

3.2对区间[a,b]上定义的函数f(x)，若它对区间中任意两点x1，x2均有f(\frac{x1+x2}{2})\leq \frac{f(x1)+f(x2)}{2}，则称f(x)为区间[a,b]上的凸函数。

对于实数集上的函数，可通过⼆阶导数来判断：若⼆阶导数在区间上⾮负，则称为凸函数，在区间上恒⼤于零，则称为严格凸函数。

对于式3.18 y=\frac{1}{1+e^{-(\omega ^{T}x+b)}}，有\frac{dy}{d\omega ^{T}}=\frac{1}{(1+e^{-(\omega ^{T}x+b)})^{2}}e^{-(\omega ^{T}x+b)}(-x)=(-x)\frac{1}{1+e^{-(\omega ^{T}x+b)}}(1-\frac{1}{1+e^{-(\omega ^{T}x+b)}})=xy(y-1)=x(y^{2}-y)\frac{d}{d\omega ^{T}}(\frac{dy}{d\omega ^{T}})=x(2y-1)(\frac{dy}{d\omega ^{T}})=x^{2}y(2y-1)(y-1)其中，y的取值范围是(0,1)，不难看出⼆阶导有正有负，所以该函数⾮凸。

3.3对率回归即Logis regression西⽠集数据如图所⽰：将好⽠这⼀列变量⽤0/1变量代替，进⾏对率回归学习，python代码如下：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pdfrom sklearn import model_selectionfrom sklearn.linear_model import LogisticRegressionfrom sklearn import metricsdataset = pd.read_csv('/home/zwt/Desktop/watermelon3a.csv')#数据预处理X = dataset[['密度','含糖率']]Y = dataset['好⽠']good_melon = dataset[dataset['好⽠'] == 1]bad_melon = dataset[dataset['好⽠'] == 0]#画图f1 = plt.figure(1)plt.title('watermelon_3a')plt.xlabel('density')plt.ylabel('radio_sugar')plt.xlim(0,1)plt.ylim(0,1)plt.scatter(bad_melon['密度'],bad_melon['含糖率'],marker='o',color='r',s=100,label='bad')plt.scatter(good_melon['密度'],good_melon['含糖率'],marker='o',color='g',s=100,label='good')plt.legend(loc='upper right')#分割训练集和验证集X_train,X_test,Y_train,Y_test = model_selection.train_test_split(X,Y,test_size=0.5,random_state=0) #训练log_model = LogisticRegression()log_model.fit(X_train,Y_train)#验证Y_pred = log_model.predict(X_test)#汇总print(metrics.confusion_matrix(Y_test, Y_pred))print(metrics.classification_report(Y_test, Y_pred, target_names=['Bad','Good']))print(log_model.coef_)theta1, theta2 = log_model.coef_[0][0], log_model.coef_[0][1]X_pred = np.linspace(0,1,100)line_pred = theta1 + theta2 * X_predplt.plot(X_pred, line_pred)plt.show()View Codeimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pdfrom sklearn import model_selectionfrom sklearn.linear_model import LogisticRegressionfrom sklearn import metricsdataset = pd.read_csv('/home/zwt/Desktop/watermelon3a.csv')#数据预处理X = dataset[['密度','含糖率']]Y = dataset['好⽠']good_melon = dataset[dataset['好⽠'] == 1]bad_melon = dataset[dataset['好⽠'] == 0]#画图f1 = plt.figure(1)plt.title('watermelon_3a')plt.xlabel('density')plt.ylabel('radio_sugar')plt.xlim(0,1)plt.ylim(0,1)plt.scatter(bad_melon['密度'],bad_melon['含糖率'],marker='o',color='r',s=100,label='bad')plt.scatter(good_melon['密度'],good_melon['含糖率'],marker='o',color='g',s=100,label='good')plt.legend(loc='upper right')#分割训练集和验证集X_train,X_test,Y_train,Y_test = model_selection.train_test_split(X,Y,test_size=0.5,random_state=0) #训练log_model = LogisticRegression()log_model.fit(X_train,Y_train)#验证Y_pred = log_model.predict(X_test)#汇总print(metrics.confusion_matrix(Y_test, Y_pred))print(metrics.classification_report(Y_test, Y_pred))print(log_model.coef_)theta1, theta2 = log_model.coef_[0][0], log_model.coef_[0][1]X_pred = np.linspace(0,1,100)line_pred = theta1 + theta2 * X_predplt.plot(X_pred, line_pred)plt.show()View Code模型效果输出(查准率、查全率、预测效果评分)：precision recall f1-score supportBad 0.75 0.60 0.67 5Good 0.60 0.75 0.67 4micro avg 0.67 0.67 0.67 9macro avg 0.68 0.68 0.67 9weighted avg 0.68 0.67 0.67 9也可以输出验证集的实际结果和预测结果：密度含糖率 Y_test Y_pred1 0.774 0.376 1 16 0.481 0.149 1 08 0.666 0.091 0 09 0.243 0.267 0 113 0.657 0.198 0 04 0.556 0.215 1 12 0.634 0.264 1 114 0.360 0.370 0 110 0.245 0.057 0 03.4⾸先附上使⽤葡萄酒品质数据做的对率回归学习代码import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pdpd.set_option('display.max_rows',None)pd.set_option('max_colwidth',200)pd.set_option('expand_frame_repr', False)from sklearn import model_selectionfrom sklearn.linear_model import LogisticRegressionfrom sklearn import metricsdataset = pd.read_csv('/home/zwt/Desktop/winequality-red_new.csv')#数据预处理dataset['quality2'] = dataset['quality'].apply(lambda x: 0 if x < 5 else 1) #新加⼊⼆分类变量是否为好酒，基于原数据中quality的值，其⼤于等于5就定义为好酒，反之坏酒X = dataset[["fixed_acidity","volatile_acidity","citric_acid","residual_sugar","chlorides","free_sulfur_dioxide","total_sulfur_dioxide","density","pH","sulphates","alcohol"]] Y = dataset["quality2"]#分割训练集和验证集X_train,X_test,Y_train,Y_test = model_selection.train_test_split(X,Y,test_size=0.5,random_state=0)#训练log_model = LogisticRegression()log_model.fit(X_train,Y_train)#验证Y_pred = log_model.predict(X_test)#汇总print(metrics.confusion_matrix(Y_test, Y_pred))print(metrics.classification_report(Y_test, Y_pred))print(log_model.coef_)View Code其中，从UCI下载的数据集格式有问题，⽆法直接使⽤，先编写程序将格式调整完毕再使⽤数据fr = open('/home/zwt/Desktop/winequality-red.csv','r',encoding='utf-8')fw = open('/home/zwt/Desktop/winequality-red_new.csv','w',encoding='utf-8')f = fr.readlines()for line in f:line = line.replace(';',',')fw.write(line)fr.close()fw.close()View Code两种⽅法的错误率⽐较from sklearn.linear_model import LogisticRegressionfrom sklearn import model_selectionfrom sklearn.datasets import load_wine# 载⼊wine数据dataset = load_wine()#10次10折交叉验证法⽣成训练集和测试集def tenfolds():k = 0truth = 0while k < 10:kf = model_selection.KFold(n_splits=10, random_state=None, shuffle=True)for x_train_index, x_test_index in kf.split(dataset.data):x_train = dataset.data[x_train_index]y_train = dataset.target[x_train_index]x_test = dataset.data[x_test_index]y_test = dataset.target[x_test_index]# ⽤对率回归进⾏训练，拟合数据log_model = LogisticRegression()log_model.fit(x_train, y_train)# ⽤训练好的模型预测y_pred = log_model.predict(x_test)for i in range(len(x_test)): #这⾥和留⼀法不同，是因为10折交叉验证的验证集是len(dataset.target)/10，验证集的预测集也是，都是⼀个列表，是⼀串数字，⽽留⼀法是⼀个数字if y_pred[i] == y_test[i]:truth += 1k += 1# 计算精度accuracy = truth/(len(x_train)+len(x_test)) #accuracy = truth/len(dataset.target)print("⽤10次10折交叉验证对率回归的精度是：", accuracy)tenfolds()#留⼀法def leaveone():loo = model_selection.LeaveOneOut()i = 0true = 0while i < len(dataset.target):for x_train_index, x_test_index in loo.split(dataset.data):x_train = dataset.data[x_train_index]y_train = dataset.target[x_train_index]x_test = dataset.data[x_test_index]y_test = dataset.target[x_test_index]# ⽤对率回归进⾏训练，拟合数据log_model = LogisticRegression()log_model.fit(x_train, y_train)# ⽤训练好的模型预测y_pred = log_model.predict(x_test)if y_pred == y_test:true += 1i += 1# 计算精度accuracy = true / len(dataset.target)print("⽤留⼀法验证对率回归的精度是：", accuracy)leaveone()View Code3.5import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysisfrom sklearn import model_selectionfrom sklearn import metricsdataset = pd.read_csv('/home/zwt/Desktop/watermelon3a.csv')#数据预处理X = dataset[['密度','含糖率']]Y = dataset['好⽠']#分割训练集和验证集X_train,X_test,Y_train,Y_test = model_selection.train_test_split(X,Y,test_size=0.5,random_state=0) #训练LDA_model = LinearDiscriminantAnalysis()LDA_model.fit(X_train,Y_train)#验证Y_pred = LDA_model.predict(X_test)#汇总print(metrics.confusion_matrix(Y_test, Y_pred))print(metrics.classification_report(Y_test, Y_pred, target_names=['Bad','Good']))print(LDA_model.coef_)#画图good_melon = dataset[dataset['好⽠'] == 1]bad_melon = dataset[dataset['好⽠'] == 0]plt.scatter(bad_melon['密度'],bad_melon['含糖率'],marker='o',color='r',s=100,label='bad')plt.scatter(good_melon['密度'],good_melon['含糖率'],marker='o',color='g',s=100,label='good')View Codeimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdata = [[0.697, 0.460, 1],[0.774, 0.376, 1],[0.634, 0.264, 1],[0.608, 0.318, 1],[0.556, 0.215, 1],[0.403, 0.237, 1],[0.481, 0.149, 1],[0.437, 0.211, 1],[0.666, 0.091, 0],[0.243, 0.267, 0],[0.245, 0.057, 0],[0.343, 0.099, 0],[0.639, 0.161, 0],[0.657, 0.198, 0],[0.360, 0.370, 0],[0.593, 0.042, 0],[0.719, 0.103, 0]]#数据集按⽠好坏分类data = np.array([i[:-1] for i in data])X0 = np.array(data[:8])X1 = np.array(data[8:])#求正反例均值miu0 = np.mean(X0, axis=0).reshape((-1, 1))miu1 = np.mean(X1, axis=0).reshape((-1, 1))#求协⽅差cov0 = np.cov(X0, rowvar=False)cov1 = np.cov(X1, rowvar=False)#求出wS_w = np.mat(cov0 + cov1)Omiga = S_w.I * (miu0 - miu1)#画出点、直线plt.scatter(X0[:, 0], X0[:, 1], c='b', label='+', marker = '+')plt.scatter(X1[:, 0], X1[:, 1], c='r', label='-', marker = '_')plt.plot([0, 1], [0, -Omiga[0] / Omiga[1]], label='y')plt.xlabel('密度', fontproperties='SimHei', fontsize=15, color='green');plt.ylabel('含糖率', fontproperties='SimHei', fontsize=15, color='green');plt.title(r'LinearDiscriminantAnalysis', fontproperties='SimHei', fontsize=25);plt.legend()plt.show()View Code3.6对于⾮线性可分的数据，要想使⽤判别分析，⼀般思想是将其映射到更⾼维的空间上，使它在⾼维空间上线性可分进⼀步使⽤判别分析。

第三章 分离公理与可数公理 §3.1 分离性公理 §3.2 可数性公理 §3.3 Uryson引理与Tietze扩张定理 §3.4 公理的度量化
章节
第一章 集合论基础 §1.1 集合及其运算; §1.2 关系与映射 §1.3 序与集论公理; §1.4 序数与超限归纳法
结构
第1章 集本概念
章 节 结 构
第3章 分离性公 理与可数性公理
第4章 紧性与 广义紧性
第5章 拓扑空间 的运算
第十章 遗传覆盖性质 §10.1遗传可遮空间 §10.2遗传弱次亚紧与弱次亚紧 §10.3完全仿紧空间 §10.4完全次仿紧空间
第九章 用覆盖刻画的拓扑空间 §9.1 覆盖性质的基本概念 §9.2 σ-仿Lindelof空间的乘积性 §9.3 狭义拟仿紧的逆极限性质 §9.4 强次亚紧空间 §9.5 可膨胀空间类的逆极限与Tychonoff积 §9.6集体次正规空间的逆极限
第八章 基本群 §8.1 同伦映射与同伦等价空间 §8.2 同伦道路与基本群 §8.3 S1上的覆盖同伦与基本群 §8.4 基本群计算实例
第七章 完备度量空间 §7.1 度量空间的完备性 §7.2 度量空间的完备化 §7.3 紧度量空间
第五章 拓扑空间的运算 §5.1 和空间 §5.2 乘积空间 §5.3 商空间
第六章 连通性 §6.1 连通空间 §6.2 局部连通空间 §6.3 道路连通空间
第四章 紧性与广义紧性 §4.1 紧空间 §4.2 可数紧与列紧 §4.3 局部紧、仿紧与单点紧化
第二章 拓扑空间及其基本概念 §2.1 度量空间 §2.2 拓扑空间的概念与例子 §2.3 基本点集与子空间 §2.4 网与网收敛 §2.5 拓扑的比较、拓扑基与拓扑子基 §2.6 连续映射与同胚映射

*第三章消解原理3.1 斯柯伦标准形内容提要我们约定，本章只讨论不含自由变元的谓词公式(也称语句,sentences)，所说前束范式均指前束合取范式。

全称量词的消去是简单的。

因为约定只讨论语句，所以可将全称量词全部省去，把由此出现于公式中的“自由变元”均约定为全称量化的变元。

例如A(x)实指∀xA(x)。

存在量词的消去要复杂得多。

考虑∃xA(x)。

（1）当A(x)中除x外没有其它自由变元，那么，我们可以像在自然推理系统中所做那样，可引入A(e/x)，其中e为一新的个体常元，称e为斯柯伦（Skolem）常元，用A(e/x)代替∃xA(x),但这次我们不把A(e/x)看作假设,详见下文。

（2）当A中除x外还有其它自由变元y1,…,y n，那么∃xA(x, y1,…,y n) 来自于∀y1…∀y n∃xA(x, y1,…,y n)，其中“存在的x”本依赖于y1,…,y n的取值。

因此简单地用A(e/x, y1,…,y n)代替∃xA(x, y1,…,y n) 是不适当的，应当反映出x对y1,…,y n的依赖关系。

为此引入函数符号f，以A(f(y1,…,y n)/x, y1,…,y n) 代替∃xA(x, y1,…,y n)，它表示：对任意给定的y1,…,y n, 均可依对应关系f确定相应的x，使x, y1,…,y n满足A。

这里f是一个未知的确定的函数，因而应当用一个推理中尚未使用过的新函数符号，称为斯柯伦函数。

定理3.1（斯柯伦定理）对任意只含自由变元x, y1,…,y n的公式A(x, y1,…,y n)，∃xA(x, y1,…,y n)可满足，当且仅当A(f(y1,…,y n), y1,…,y n)可满足。

这里f为一新函数符号；当n = 0时，f为新常元。

定义3.1设公式A的前束范式为B。

C是利用斯柯伦常元和斯柯伦函数消去B中量词（称斯柯伦化）后所得的合取范式，那么称C为A的斯柯伦标准形（Skolem normal form）。