工程塑性理论应力应变关系共99页文档

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3、如果從初始狀態先加純剪應力通過 屈服點B到達D點，這時的應力和應變見表 5.1的第3行。
4、如同樣經後繼屈服軌跡裏面的任意 路線變載到F點，則應力應變見表5.1第4行。
5、如果從初始狀態沿真線OF`F到達F 點，則應力和應變見表5.1第5行，這時主軸 重合。
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上述的第1、3、5種加載路線就是簡單加載。 由表中可看出，同樣的一種應力狀態σf、τf，由於 加載路線不同，就有好幾種應變狀態（如C、D點 應變）；同樣，一種應變狀態（如εc），也可有 幾種應力狀態（如C、F點應力），而且應力應變 主軸不一定重合。從上述簡單的例子中，我們可 以看到，離開加載路線來建立應力與全量塑性應 變之間的普遍關係是不可能的。因此，一般情況 下只能建立起應力和應變增量之間的關係爭然後 根據具體的加載路線，具休分析。另一方面，我 們從上述例子中也看到，在簡單加載的條件下， 應力和應變的主軸重合，而且它們之間有對應關 係，因此可以建立全量理論。
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另一方面，從工程角度來看，對於一 些繁雜的問題，那怕是能給出定性結果也 很可貴，具體的定量問題可以從實驗中進 一步探索（由於如摩擦條件等數學模型還 未給出，要精確計算也很難辦到）。鑒於 壓力加工理論中關於成形規律闡述上存在 的一些問題，吸取了增量理論及全量理論 的共同點，提出了應力應變順序對應規律， 並使該規律的闡述逐漸簡明和便於應用。 現簡述如下：
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5.2增量理論（流動理論） 一、列維-密席斯方程 二、普朗特-勞斯方程
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一、列維-密席斯方程
列維-密席斯方程適用條件：
（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增 量為零，塑性應變增量就是總應變增量；
（2）材料符合密席斯屈服準則，即 s

主偏应力分量表示
J2
1 2 2 2 ( S1 S 2 S 3 ) 2
简单拉伸问题
1 , 2 3 0
J2 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 1 2 6 3


定义等效应力
3J 2
1 I 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6
I2
1 1 2 2 2 eij eij (e1 e2 e3 ) 2 2
简单拉伸问题
1 , 2 3
I2 1 3 2 2 2 2 [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 6 4
i j ij i i jj
xy 1 i 2 j ij 2 11 21 x 12 22 y 13 13 z
11 22 xy 12 21 yx 12 23 yz
m
0
ij m ij eij
应变张量的不变量 主应变：
1 , 2 , 3
I1 x y z
2 2 2 I 2 x y y z z x xy yz zx
2 2 2 I 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy
pij...l pij...lii jj ...ll
二阶张量
pij pijii jj
pi piii
一阶张量
应力是二阶张量
ij ijii jj
r rr ri rj ij
rx rx x ry ry y rx ry xy ry rx yx

x y y z z x 2G x y y z z x
二、弹性变形的特征（续）
?
1
2
2G 2
( 1
2
)2
(
2
)2
3
(
3
1)2
(1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
3G
E
与比较得量E＝3G，这是由于在等效应变的定义式中，系数的选择已经考 虑到材料是不可压缩的，泊松比ν取值为0.5的缘故。
二、弹性变形的特征（续2）
?
弹性变形的特征：
1．弹性变形可以分解为形状变化部份和体积变化部份。形状变化 只和偏应力有关；体积变化只和球应力有关；
2．弹性变形时，全量应变和全量应力之间存在一一对应的关系。 即知道应力可以求得应变；反过来，求得应变也可以求得应力；
3．平均应力与体积应变成正比； 4．应力偏张量与应变偏张量成正比； 5．应力主方向与应变主方向重合； 6．等效应力与等效应变成正比。Biblioteka 二、弹性变形的特征?
C) 等效应变与等效应力
展开广义胡克定律： x 2Gex 3K m , y 2Gey 3K m , z 2Gez 3K m ,
xy 2Gexy
yz
2Geyz
zx 2Gezx
x y 2G(ex ey ) 2G( x y ) y z 2G( y z ) z x 2G( z x )
式中： ( )
②汉基理论
ij sij
( 3 p 1 ) 2 2G
三、弹塑性问题全量理论的基本方程组（续）
?
4．边界条件 a) 在力边界上满足应力边界条件
ij n j Ti0
b) 在位移边界上满足位移边界条件
ui

冲压工艺与模具设计
塑性变形时应力应变的关系
1.2.3 塑性变形应力应变的关系
物体在弹性变形时，应力不应变之间的关系是线性的、一 一对应的，弹性变形是可以恢复的，不加载历史无关； 塑性变形时应力应变关系是非线性的、丌可逆的、应力应 变丌能简单叠加。
塑性加工理论中通常考虑用增量理论来建立起每一瞬间的应变增量 不相应应力的关系。其表达为：
2）在平面变形时，ε2=０，根据体积丌变规律，可推导出
2 1 3 2
3)平板毛坯胀形时，其应力状态是两向等拉，厚向应力很小，可视为 零。即有σ1＝σ2＞0，σ3＝０，属平面应力状态。可得出ε1＝ε2＝－ 0.5ε3，
4）当毛坯变形区三向受压(0＞σ1＞σ2＞σ3）时，可知在最大压应力 σ3(绝对值最大)方向上的变形一定是压缩变形，而在最小压应力σ1（ 绝对值最小)方向上的变形必为伸长变形。
d1 d2 d2 d3 d3 d1 1 2 2 3 3 1
塑性变形时应变增量正比于应力偏量表示：
d1 d2 d3 1 m 2 m 3 m
增量理论在计算上引起的困难很大，尤其材料有冷作硬化时，计算 就更复杂了。为了简化计算，在简单加载情况下(各应力分量都按同 一比例增加)，可用全量理论进行求解。
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
或
1 2 3 Βιβλιοθήκη m 2 m 3 m注意使用范围：非简单加载，大变形问题丌宜使用
推论：1）在球应力状态，有σ1=σ2=σ3=σm，ε1=ε2=ε3=0。说明 在球应力状态下，毛坯丌产生塑性变形，仅有弹性变形存在；
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我所认识的应力和应变之间的关系在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。

在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。

对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。

所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。

这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。

各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。

2.体积应力与体积应变成比例。

3.应力强度与应变强度成比例。

4.应力偏量与应变偏量成比例。

工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。

在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()21E G μ=+。

屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。

习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。

对于加载过程如图1OA: 比例阶段；线性弹性阶段AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。

在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。

如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变eε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。

通常将塑性变形时的应力应变关系称为本 构关系，其数学表达式称为本构方程，也叫 做物理方程。
7.3.1 弹性应力应变关系
广义虎克定律：
x
1 E
x
y
z
,
y
1 E
y
z
x ,
z
1 E
z
x
y
,
xy
yx
xy
2G
yz
zy
yz
Hale Waihona Puke 2Gzxxz
zx
2G
式中：E—拉压弹性模量；ν—泊松比；
d xy xyd
d
yz
y
z
d
d zx
zx
d
代入以下公式
1
2
x y
2
y z
2
z x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
d 2
3 2
3
d x d y
2
d y d z
2
d z d x
2
6
d
2 xy
d
2 yz
1 E
z
x
y
,
xy
yx
xy
2G
yz
zy
yz
2G
zx
xz
zx
2G
1
2
x y
2
y z
2
z x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
2 3
x y
2
y z
2
z x

1 x y E 1 y z y z E 1 z x z x E
x y
1 x y , 2G 1 y z , 2G 1 z x , 2G
xy yx yz zy zx xz


1 2
2 d 3 2 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
2 2 2
d
2 2 2 d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d zx x
xy yx
xy
式中：E—拉压弹性模量；ν—泊松比； G—剪切弹性模量。
E G 21
式中：E—拉压弹性模量；ν—泊松比； G—剪切弹性模量。
1 x x y z , E ＋ ＋ 1 y y z x , E ＋ ＋ 1 z z x y , E
3 ij ij 2
7.3.2 塑性应力应变关系
7.3.2.1 增量理论 7.3.2.2 全量理论 7.3.2.3 应力应变顺序对应规律
◆弹性应力应变关系的特点：
◇应力应变的关系是线性的，并可用虎克 定律来描述； ◇应变可由应力唯一确定。
◆塑性应力与应变的关系的特点：
◇是非线性的 ◇应变不能由应力唯一确定，而是与变形 历史有关。
1 xy 2G 1 yz 2G 1 zx 2G
1 x y E 1 y z y z E 1 z x z x E
x y
1 x y , 2G 1 y z , 2G 1 z x , 2G

外力：有效力、无效力
在镦粗和轧制中，压力为有效力； 在轧制中，摩擦力也是有效力，而在镦粗中，摩擦力为无效力。
内力与应力：
1. 变形物体的平衡条件具有微分性质：不仅有作用于整个物体上外力的 平衡条件，而且需要物体每个无穷小单元也处于平衡。
2. 应力：内力的强度，即单位面积上的内力。 3. 应力状态：物体内部出现应力。 4. 变形区与外区（刚端）
1 应力与应变
1.1应力
1.1.1应力的基本概念 1.1.2点应力状态 1.1.3应力坐标变换
1.1.1应力的基本概念
变形时作用于物体上的力： 体积力(质量力)、表面力(外力)
体积力则是作用于工件每一质点上的力， 如重力、磁力、惯性力等。 (在成形过程中一般可忽略)
表面力即作用于工件表面的力 ，它有集中载荷和分布载荷之分，一般 由加工设备和模具提供。
注意：在主剪平面上，存在着正应力，其值分别为：
(σ1＋σ3)/2、(σ2＋σ3)/2、 (σ1+σ2)/2
1.4应力张量的分解
1.4.1八面体面和八面体应力 1.4.2球应力分量和偏差应力分量 1.4.3主应力图与主偏差应力图
1.4.1八面体面和八面体应力
5. 全应力等概念
5. 全应力等概念：
微小面素：ΔF
全应力：
lim P
F 0 F
正应力（垂直应力、法线应力）：
limN
F0 F
切应力（切线应力、剪应力）：
lim T
F0 F
对图1.3(b)而言：
应力状态：
力
对图1.3(c)而言：
应力
=σcosθ
式(1.1)
应力状态的表示方法与所考察的面的位置有关：即使物体的 总的力学状态相同，若所考察的面的位置发生变化，应力状态的

A 中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成
体积分。
S Fiui dS S ( ijui )n j dS V ( jiui ), j dV
上式代入外力功增量
A ( fi ji, j )ui dV jiui, j dV ijijdV WdVU
弹性主轴
x3 为弹性主轴或材料主轴， 并取另一坐标系 x’i
， 且 x’1
= x1， x’2=x2， x’3=-x3。
4
在两个坐标下，弹性关系保持不变，则[C]中元素减少为 13 个独立系数。
Qi’j
x’1 = x1 x’2=x2 x’3=-x3
代入
x1
1 0 0 1
x2
0 0 0 -1
x3
0
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
2
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
得
x ' x1 ， x ' x 2
1
3 1
，
x ' x3
3
，
x ' x ' x1 x 2
1 2
x ' x ' x3 x1 ， x ' x ' x3 x 2
3 2
应变分量具有相同关系式。
[C]
为对称矩阵
[C]= [C]T。
最后 Eijkl 的独立系数为 21 个——材料为各向异性线弹性材料。 *对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生 剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可简化 [C] 中系数。 2.2 具有一个弹性对称面的材料 若物体内各点都有这样一个平面， 对此平面对称方向其弹性性质相同，则 称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面 的方向称为弹性主轴。 如取弹性对称面为 x1 —x2 面， x1 x3’ x2 x3

1
弹性力学的基本方程
一、平衡方程 应力分量满足平衡方程：
x yx zx X 0
x y z
xy y zy Y 0
(1.67)
x y z
xz yz z Z 0
x y z
ij, j Fi 0
二、几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
xy
120
1 4
x
+
3 4
y
3 4
xy
x y
190 10-6 130 10-6
xy 577 10-6
1,2
x
y
2
（ x - y
2
）2 +（ xy
2
）2 =30 10-6
330 10-6
1=360 10-6，2 =-300 10-6
2
0
=
arctan(
xy x -
y
)
61。
0
0
30.5。 120.5。
(1.82)
应变与位移的关系→本构关系
材料力学中： x
E x
x
1 E
x
y
z
1 E
x
广义虎克定律： ①正应力→正应变，与剪应变无关
②剪应力→剪应变，与正应变无关
例：贴三角形应变花。
0 =190 10-6，60 =200 10-6，120 =300 10-6， 材料常数：E=206.8109 N / m2, 0.3。
2 y
z 2
2 z
y2
2 yz
yz
0
2 z
x2

2 zx
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
e
2 3
x y
2
y z
2
z x
2

6

2 xy

2 yz


2 zx
2 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
x
y

,
xy

3 2
e e
xy

y z

3 2
e e

yz

zx

3 2
e e
zx


与粘性流体的牛顿公式相似，故称为塑性流动方 程。Levy-Mises方程实际上是塑性流动方程的增量 形式。若不考虑应变速率对材料性能的影响，二者 是一致的。

1 2G

ij
x

1 2G
x
m

1 2G

x


x
y
3

z


1 3G


x
1 2
y
z

E 3G
x

1 E

x
1 2
y
塑性应力应变关系
1 弹性应力应变关系 2 塑性应力应变关系 3 等效应力—等效应变曲线的单一性 4 等效应力—等效应变曲线的简化模型
塑性力学的基本方程与弹性力学基本方 程的差别主要表现在应力应变关系上。
塑性变形时，应力不仅与应变有关，还 与变形历史、材料微观结构有关。
通常将塑性变形时的应力应变关系称为 本构关系，其数学表达式称为本构方程，也 叫做物理方程。

x
1 2
y z
;
xy xy
y
2
3
y
1 2
z
x ;
yz yz
z
2 3
z
1 2
x y
;
zx zx
例3-10 塑性应力应 变关系应用
受内压薄壁圆筒屈服，
半径r ，内压p，材料屈服应力S ，求应变增量各分量的比值 。
p 0;
p2r 2t
pr ; t
z
p r2 2r t
d ?
dx d y
2
x y
2 d 2
d y dz
2
y z
2 d 2
d z d x 2 z x 2 d 2
6d xy2 6 xy2d 2 6d yz2 6 yz2d 2 6d zx2 6 zx2d 2
dx dy
2
d y dz
2
dz dx
2 6 d xy2 d yz2 d zx2
2 yz
2 zx
1 E
2 1
x y
2
y z
2
z x
2 6
2 xy
2 yz
2 zx
i
1
2 1
x y
2
y z
2
z x
2 6
2 xy
2 yz
2 zx
应变强度
i
2
3
1
Ei
弹性变形时应力应变关系的特点
应力与应变成线性关系，是一一对应的关系；
弹性变形是可逆的，加载与卸载的规律完全相同；
材料是理想刚塑性材料，即 diej 0 ，dij dijp ；
材料符合密席斯屈服准则，即 S ；
每一加载瞬间，应力主轴与应变增量主轴重合； 塑性变形时体积不变，即dx dy dz d1 d2 d3 0 和 dij dij； 应变增量与应力偏量成正比（列维－密席斯方程）。

塑性应力应变关系
存在一个屈服条件 有一个加载条件 有一个强化模型 流动法则
1 屈服条件
f ( ij ,Y1,,Yn ) 0
Y1,….,Yn依赖于材料的当前状态，为硬化 参量，可以是标量，也可以是张量，如累 积塑性变形，累积塑性功等。上式决定应 力空间中的一曲面，称为后继屈服面。当 式中硬化参量都为零时，叫初始屈服面。 以下考虑只有一个硬化参数情况，即
[Cep] [C p C]
K

4 3
G

K 2G 3
K 4G
K 2G 3
K 2G
0 0
0 0
0


0
sx2
[C]

3
3 K 4G
3
0 G
0

0


Cp


3G

2 y



对称
G


G

sxsy sxsz
d ij

1 2G
dsij

1 9K
d kkij

3sij
2H 'e
d e
此式的逆关系存在，见后面的矩阵表达式
H‘的确定
H'
d e d p

Ep
1 11 E p Et E
为塑性模量，与累积塑性变形有关 由此式，可由图1－5（a)求塑性模量
用矩阵表示
1、总应变分解 2、弹性应变增量与应力增量关系 3、塑性应变增量由流动法则确定
deij

1 2G
dsij
dsij
(3)
上式两边同乘以sij并求和有

iii) 单向压缩：1 2 0,3 0,则 1.
只由P1、P2、P3三点的相对位置决定而与 - 坐标原点
的选择无关，故 是描述应力偏张量的一个特征值。
综上所述，OO’表示了一点应力状态的球张量部分；而以
O’为坐标原点的三向Mohr圆（由 max 和所确定）则表示
了应力的偏张量部分。 第21页/共33页
写法： 采用张量下标记号的应力写法
把坐标轴x、y、z分别 用x1、x2、x3表示， 或简记为xj (j=1,2,3),
11 12 21 22 31 32
第2页/共33页
13
2
3
ij
ji ,
33
(3 2)
(3) 斜截面上的应力与应力张量的关系
在xj坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面。
N是单位向量，其方向作弦为 l1, l2, l3,
则这个面上的应力向量SN的三个分量与应力张量 i之j 间的关系
sN1 11 SN 2 21
12 22
13 23
l1 l2
SN3 31 32 33 l3
x3 N
采用张量下标记号，可简写成
SNi = ijl j (3 - 3)
1,
P3P1 2
1
3
2
2.
O P3
3
M P2 P1
2 1
1、2、3 ——称为主剪应力
图 3-3
max ——最大剪应力
第18页/共33页
2.Lode应力参数
[分析]
由图3-4可见，若在已知应力状态上
叠加一个静水压力，其效果仅使三
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离 O P3 O M P2 P1
21
22 m