第一部分高等代数第五章二次型第二节标准形课件

n
a
i , j 1
ij
xi x j
ann xn2
f ( x1 , x2 ,
, xn ) ax111 (xa1211x1a
a112xx2 2 aa1n1nxx1 xn )n
12 x
2
x
x

a
x
aa2 n2 nxx2 nx)n
ax21
(
a
x

a
x
2222 2 2
2 221 1 1
可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形．
如果要把 f = 2y12 + y22 + y32 化为规范形，令
y1 1 / 2 z1

y2 z 2
y z
2
2
可得 f 的规范形：f = z12 + z22 + z32
例 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
2 3

1 3 , 则Q是正交矩阵。

2 3
例
2
2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 x1 ax 2 4 x1 x 2 4 x 2 x 3
经正交变换 x Q y 化为标准形 f y12 by2 2 4 y 3 2
求 a,b;
解 二次型的矩阵为
2 2 0
ann xn2
2an1, n xn 1 xn
称为二次型．
例如： f ( x , y ) x 2 4 xy 5 y 2

2
2
都是二次型。
f ( x , y , z ) 2 x y xz yz

x1 x2 x3 2
去掉配方后多出来的项
x22 x32 2x2 x3 2x22 5x32 6x2 x3
x1
x2
x3
2
x2 2
4
x2 3
4x2
x3
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
1 3
1 2 3,
2 3
2 5
2 1 5 ,
0
2 45
3 4 45 .
5
45
1 3
得正交矩阵
P 2 3
2 3
于是所求正交变换为
2 5 15
0
2 45
4 45 5 45
且有
x1 x2 x3
1 2 2
3 3 3
2 5 15
0
f 9 y12 18 y22 18 y32 .
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 2 y2
x3 0 0 1 y3
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
y12 y22 .
所用变换矩阵为
1
C
0
1 1
1
2
,
C 1 0
0 0 1
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
将
2
,
正交化：
3
取2
2
3
3
2,3 2,2
2,
对于实对称阵不同特征值的特征向量正交，
即得正交向量组 1 1 (1 2,1,1)T,

从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2

解 二次型的矩阵
0 1 1 1
A
1 1 1
0 1 1
1 0 1
1
1 0
1 1 1
1 1 1 1
1 E A
1 1
1 1 ( 1)1
1
11
1 1
1
1 1 1
1 1 1
15
第15页/共33页
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1
(
1 1)
E
1 A
11
1,2 ,,n , 记C (1,2 ,,n ) ;
5. 作 正 交 变 换X CY , 则 得 f 的 标 准 形
f 1 y12 n yn2 .
10
第10页/共33页
例3
用正交变换将二次型
f 17x12 14x22 14x32 4x1 x2 4x1x3 8x2 x3
化为标准形，并求所作的正交变换。
再配方，得
f 2( y1 y3 )2 2( y2 2 y3 )2 6 y32 ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
即
y1 1 0 1 z1 y2 0 1 2 z2
y3
0
0
1
z3
,
1
1
1
2
1
00
,3
0
1 0
, 4
第17页100/共3,3页
17
1
1
1
2
1 0 0
,
3
0 1 0
,
4
0 0 1
,
正交化，
1 1 1

定义:复数域C上的n元二次齐次函数
f ( x1, x2 , , xn )
n j1
n i 1
aij
xi
x
j
其中 aij a ji ,称为C上n元Hermite型.
注: Hermite型是二次型的推广.
Hermite型矩阵_2
n元Hermite型 f ( x1, x2, , xn ) X ' AX
定理: A=A, B=B∈Cn×n，则A合同于B
r(A) = r(B)
定理: A=A, B=B∈Rn×n ，则A合同于B
A与B有相同的秩与符号差 A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数 A与B有相同的正惯性指数和秩 A与B有相同的符号差和秩
注 1 : C上n阶对称阵，按合同关系分类共有n+1类
Hermite型矩阵_4
定理:设A是一个Hermite阵,则必存在一个可 逆阵C∈Cn×n,使 CAC为对角阵且主对角线元 素是实数.
定理:设 f (x1, …, xn) 是Hermite型, 则存在非 退化线性替换X=CY,使
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y1 y1 d2 y2 y2 dn yn yn
二次型的标准型
引理:设0≠A’=A∈Kn×n,则必存在可逆阵C, 使C’AC的第(1,1)元素不等于0.
定理:设A’=A∈Kn×n,则存在可逆阵C∈Kn×n, 使C’AC为对角阵.
定理:设 f (x1…xn) 是K上n元二次型, 则存在 非退化线性替换X=CY,使
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
定理中称r为f (x1…xn)的秩, p为f (x1…xn)的 正惯性指数, q = r－p称为f (x1…xn)的负惯性 指数, s = p－q称为f (x1…xn)的符号差.

an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx

2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院再令Fra bibliotekz1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
y3 z3
即,
y1 1
y2 y3
0 0
0 1 0
1 z1
0 1
z2 z3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2z12 2z22 2z32 8z2z3
1 0
1 0
0 1
2 0 2 情形1)
2020/9/20§5.2
0 2 标2准形4
04 数学与计算科学学院
1 0 1
令
C2
0 0
1 0
0 1
,
1 0 0 2 0 2 1 0 1
A2
C2 A1C2
0 1
1 0
0 1
0 2
2 4
4 0
0 0
1 0
0 1
2 0 0
0 0
2 4
4 2
情形1)
1 0 0
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互 换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
z3
c32
y2
c33
y3
zn
cn2 y2
cn3 y3
c2n yn c3n yn cnn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32
dnzn2
于是，非退化线性替换
z1 y1

f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ; f 叫做对称矩阵 A的二次型;
对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
1 2 0 x1
f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 2 2 3 x2 .
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例4
二次型 f x12 ax22 x32 2bx1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
经过正交变换
x1 x2
P
y1 y2
化成了标准形
x3 y3
4. 将特征向量1, 2 , ,n正交化,单位化,得
P1 , P2 , , Pn ,记C P1 , P2 , , Pn ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.

2
解之 x1 2x2 2x3 其基础解系 1 1
0
先将1,2 正交化。
2
2 0
1
1 1,
2
2
2 , 1,
1 1
1
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
1 5
2
单位化
p1
1
2 1 ,
5 0
2
p2
1 35
4, 5
24
当 1 7 时解 7E AX 0
为标准形, 并求出所作的可逆线性变换.
解 x1 y1 y2
令
x2 y1 y2
x3
y3
f (x1, x2, x3) 2 y12 2 y22 4 y1y3 4 y2 y3
2( y12 2y1y3 y32 ) 2y22 4y2 y3 2y32
2( y1 y3)2 2( y2 y3)2
2 1
0 2
0 2 0
(2) 求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的
特征向量。
2 2 0
E A 2 1 2 2 1 4
0 2
1 2 2 1 3 4
17
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
1
P1
3
1 2
2
1
P2
3
2 1
1

P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
为 x1, x2,, xn 的标准二次型（二次型的标准形）
可见 f 为对角形。
注：由（1）可见，每一项中变量的方次之和均为2。
如：
f
x12
x1x2
3x2 3

顺序主子式全大于零。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。

则2 a ij x i x j a ij x i x j a ji x j x i ,
于是
f a11 x a12 x1 x 2 a1n x1 x n
2 1
a 21 x 2 x1 a 22 x a 2 n x 2 x n
2 2
... an1 xn x1 an 2 xn x2 ann x
5.1.
二次型及其矩阵表示
5.1.1 二次型的定义及表示
系数在数域P中,含有n个未知量的二次齐次多项式
f x1 , x2 , , xn
2 a11 x1 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 x n 2 a22 x2 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
拉格朗日配方法若二次型含有的平方项则先把含有的乘积项集中然后配方再对其余的变量同样进行直到都配成平方项为止经过非退化线若二次型中不含有平方项但是则先作可逆线性替换化二次型为含有平方项的二次型然后再按1中方法配方
第5章
二次型
5.1 5.2 5.3 5.4
二次型及其矩阵表示 二次型的标准形 惯性定理和规范形 实二次型的正定性
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 x i 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性 替换，就得到标准形； 2. 若二次型中不含有平方项，但是 a ij 0 ( i j ),则先作可逆线性替换 x i yi y j k 1,2,, n且k i , j x j yi y j x y k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方。
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3

bij xi x j
j2
i2 j2
nn
n
nn
这里，
bij xi x j a111( a1 j x j )2
aij xi x j
i2 j2
j2
i2 j2
是一个. x2 , x3 ,L , xn 的n－1元二次型.

y1 x1
n
a111a1 j x j
又 B (CAC ) CAC CAC B
即，B为对称矩阵.
Y BY g( y1, y2 ,..., yn )是一个 y1, y2 ,L , yn 二次型.
三、矩阵的合同
1、定义：设 A, B Pnn，若存在可逆矩阵
C Pnn , 使 B CAC ，则称A与B合同. 注: 1）合同具有
j 1
j 1
j 1
n
n
nn
( xi aij x j )
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
注
1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B. （这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn下，二次型 f ( x1, x2,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
c12 y2 L LLLL cn2 y2 L

L
c1n yn L cnn yn
③
称为由 x1, x2 ,L , xn到y1, y2 ,L , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.

阵表示
一、二次型定义
一个系数在数域P中的 含有n个变量 定义1 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + + 2a1n x1 xn +
2 a22 x2 + 2a23 x2 x3 + + 2a2 n x2 xn + + 2 a n −1 , n −1 x n − 1 + 2a n − 1 , n x n − 1 x n + 2 ann xn
a1n a2 n ann
(n 元)二次型
一一对应
(n 阶)对称矩阵
7
二次型及其矩阵表示
则f = X T AX 二次型的矩阵表示
a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2 n x2 f ( x1 , x2 ,, xn ) = ( x1 , x2 ,, xn ) a a a x n1 n 2 nn n
第五章 二次型
5
二次型及其矩阵表示
f ( x1 , x2 ,, xn ) = x1 (a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn ) + + xn (an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn )
i =1 j =1 n n
也即 f = X T AX 经过可逆线性变换 X = CY 化成
2 2 2 f = d1 y1 + d 2 y2 + + d n yn

③
称为由 x1, x2 ,L, xn到y1, y2 ,L, yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 θ
y
.
y′
x′
θ
0
x
即变换
⎧x =
⎨ ⎩
y
=
x′ cosθ − y′ sinθ x′ sinθ + y′ cosθ
aij xi x j
i =1
1≤i< j≤n
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有 f ( x1, x2 ,L, xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + LL + a1n x1 xn
+ a21 x2 x1 + a22 x22 + L + a2n x2 xn
⇒ B′ = (C′AC )′ = C′A′C = C′AC = B
2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与
原二次型矩阵是合同的.
进而，有: 若A′ = A, B′ = B,
二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY
⇔ A与B合同.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 证明：矩阵A与B合同，其中
⎛ λ1
f = ax2 + 2bxy + cy2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
{x = x′cosθ − y′sinθ y = x′cosθ + y′sinθ
f = a′x′2 + c′y′2

5
(3) 合同具有传递性 （ A1 = C1/AC1，A2 = C2/A1C2 → A2 = C2/ (C1/AC1)C2 = (C1C2)/A(C1C2) ）.
二 次 型
8) 线性替换X = CY下 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY, 因B = C/AC,
故： X = CY为可逆线性替换时，二次型 X/AX 与 Y/BY的矩阵合同; → 为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；
8
高 等 代 数
*2
性质：
4) 若C可逆，则X = CY是可逆线性替换，且Y = C－1X也是可逆的线 性替换；
5) f (x1, x2, …, xn) = X/AX 是 P 上的 n 元二次型，经线性替换 X = CY 化成 f (x1, x2, …, xn) = Y/BY ，则 B = C/AC . 证明： f (x1, x2, …, xn) = X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/ BY. 由于 B/ = (C/AC)/ = C/A/C// = C/AC = B → Y/BY 是 P 上 n 元二次 型，且 B = C/AC 成立. □
2019/2/20 课件 5
二 次 型
*3 性质：
高 1) 在二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX中，矩阵A为对称矩阵； 等 2）把一阶矩阵A = (a)看成数a, 则一元二次型 代 f (x) = a11x12 = (x1)/(a11)(x1) = X/AX； 数 3) 数域P上， f (x , x , …, x ) 与n阶对称矩阵一一对应.

y
y/
x x / c o s y / s in / / y x s in y cos

为标准型, 转化为 求可逆阵C , 使得 C T AC 为对角阵.
d1 d2 T C AC = B = 为对角阵, 化二次型 d n
注 此时
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二次型的标准形
一、用配方法化二次型成标准形
例 化二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3 为标准形, 并求所用的变换矩阵. 含x1的平方项 含有x1的项配方 解 去掉配方后多出的项
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二次型的标准形
注 (1)正交变换法化的标准型系数是A 的特征值, 而 配方法则与它无关. (2)使用不同的方法, 所得到的标准形可能不相同 (标准型不唯一). (3)标准形中含有的项数必定相同, 项数等于所给 二次型的秩. 且其中所含的正项的个数(负项的个数) 是固定的, 称为二次型的正(负)惯性指数.
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二次型的标准形
注 对对称阵A, 求可逆阵 C 使 CT AC = Λ 为对角阵. 设 C = P1 P2 Ps 为初等矩阵之积.而C T = PsT P2T P1T ,
T (i , j ) = E (i , j ) E C AC = P P P AP1 P2 Ps = Λ . 1 0 0 1 0 0 注 三种初等矩阵: 0 0 1 A 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 ← 第 i 行 0 1 E (i , j ) = ← 第 j 行 1 0
= ( x1 + 2 x2 )2 − 3( x2 + x3 )2 y1 = x1 + 2 x2 若令 y2 = x2 + x3 , y =x 3 3

x2 x3
1 0
1 0
0 1
y2 y3
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
z2 z3
1 1 0 1 0 1 1 0 0 w1 1 1 3 w1
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
2 1
w2 w3
1 0
1 0
1 1
w2 w3
即
x1 w1 w2 3w3 x2 w1 w2 w3
1 1
2 0
0
1 1 0
0
1
2
1 2
1
2
0
0 4
2
1 1 1
2 0 0
2 0 0
2 0 0
0 0
2 4
4 2
r3+2r2
0 0
2 0
4 6
0 2 0 0 0 6
－2c2 1 1 1
1 0
1 0
1 1
1 1 1 c3+2c2 1 1 3
1 0
1 0
1 1
1 0
1 0
11
x1 x2
y1 y1
y2 y2
x3 y3
即,
x1 1
x2 x3
1 0
1 1 0
0 y1
10
y2 y3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2( y1 y2 )( y1 y2 ) 6( y1 y2 ) y3 2( y1 y2 ) y3
2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 2( y1 y3 )2 2 y32 2 y22 8 y2 y3