高等代数第五章自测题答案

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北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题5.1

习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCDAB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+ 设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b()2.,1().211221().2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证3.,,1().3221()3321(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++ 设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OM OA OB OC OD =+++2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,112211().22DE DA AE BA ACBA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB ADAB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()cos cos .|||||||||||,.a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB ADAB AC AB AC a AC βααβαβ+++===== 与都是锐角故 22222(2)||()()||||2||||.ACAC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+2222222222222222228.()()||||.()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().=++-=+++-=+++--=-+ 给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .。

长沙理工大学高等数学练习册第五章定积分答案

习题5.1略习题5.2—5.3（A ）一计算下列定积分1．⎰203cos sin πxdx x解：原式2342011cos cos cos 44xd x x ππ=-=-=⎰2．⎰-a dx x a x 0222解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2π=t原式⎰⋅⋅=2022cos cos sin πtdt a t a t a()⎰⎰-==2420244c o s 182s i n 4ππdt t a tdt a 42044164sin 41828a t a a πππ=-=3．⎰+31221xxdx解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为4π，3π原式θθθθππd tg ⎰=3422sec sec()⎰-=342s i n s i n ππθθd3322-=4．⎰--1145xxdx解：令u x =-45，则24145u x -=，udu dx 21-= 当1-=x ，1时，1,3=u 原式()61581132=-=⎰du u 5．⎰+411x dx解：令t x =，tdt dx 2=当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=⎰⎰⎰2121211212t dt dt t tdt ()[]32ln 221ln 22121+=+-=t t6．⎰--14311x dx解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43=x 时0,21=u 原式2ln 21111212210021-=-+-=--=⎰⎰du u u du u u7．⎰+21ln 1e xx dx解：原式()⎰⎰++=+=2211ln 1ln 11ln ln 11e e x d xx d x232ln 1221-=+=e x8．⎰-++02222x x dx解：原式()()⎰--+=++=0222111x arctg x dx()24411πππ=+=--=a r c t g a r c t g9．dx x ⎰+π2cos 1解：原式⎰⎰==ππ2cos 2cos 2dx x dx x()⎰⎰-+=πππ220c o s 2c o s 2dx x xdx22s i n s i n 2220=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππx x 10．dx x x ⎰-ππsin 4解：∵x x sin 4为奇函数∴⎰-=ππ0sin 4xdx x11．dx x ⎰-224cos 4ππ解：原式()⎰⎰=⋅=222204cos 22cos 24ππdx x xdx()()⎰⎰++=+=2022022cos 2cos 2122cos 12ππdx x x dx x()⎰⎰+++=220204cos 12cos 22πππdx x xdx x⎰+++=202044cos 4122sin 2ππππx xd x πππ234sin 412320=+=x12．⎰-++55242312sin dx x x xx 解：∵12sin 2423++x x xx 为奇函数 ∴012sin 552423=++⎰-dx x x xx13．⎰342sin ππdx x x解：原式⎰-=34ππxdctgx⎰+-=3434ππππc t g x d xx c t g x 34s i nln 9341πππx +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 22ln 23ln 9341-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 23ln 219341+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 14．⎰41ln dx xx解：原式⎰=41ln 2x xd⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4141ln ln 2x d x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4112ln 42dx x x⎰--=412122ln 8dx x42ln 8-= 15．⎰10xarctgxdx解：原式⎰=10221arctgxdx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰1022102121dx x x arctgx x ⎰⎰++-=10210121218x dx dx π101021218a r c t g xx +-=π214-=π16．⎰202cos πxdx e x解：原式⎰=202sin πx d e x⎰⋅-=2022022s i n s i nππdx e x x e x x⎰+=202c o s2ππx d e e x ⎰⋅-+=2022022c o s 2c o s 2πππdx e x x e e x x⎰--=202c o s 42ππx d x e e x故()251cos 202-=⎰ππe xdx e x 17．()dx x x ⎰π2sin 解：原式()⎰⎰-==ππ2222cos 1sin dx xx dx x x ⎰⎰-=ππ02022c o s2121x d x x dx x ⎰-=ππ0232s i n 4161x d x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--=⎰πππ002322s i n 2s i n 416x d x x x x⎰-=ππ032c o s 416x xd 462c o s 2c o s 4163003πππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰x d x x x 18．()dx x e⎰1ln sin解：原式()()⎰⋅-=eedx xx x x x 111ln cos ln sin()⎰-=edx x e 1ln cos 1sin()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=⎰e e dx x x x x x e 111ln sin ln cos 1sin()⎰-+-=edx x e e 1ln sin 11cos 1sin故()()11cos 1sin 2ln sin 1+-=⎰edx x e19．⎰--243cos cos ππdx x x解：原式()⎰--=242cos 1cos ππdx x x()⎰⎰+-=-2004s i n c o s s i n c o s ππx d xx dx x x ()()2230423c o s 32c o s 32ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-x x 32344-=20．⎰+4sin 1sin πdx xx解：原式()⎰--=42sin 1sin 1sin πdx xx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4022c o s s i n πdx x tg x x ()⎰⎰---=402421s e c c o s c o s ππdx x xx d ()242c o s 14040-+=--=πππx t g x x 21．dx xxx ⎰+π02cos 1sin解：令t x -=2π，则原式⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2222cos 12sin 2πππππdt t t t ⎰-+-+-=2222s i n 1c o s s i n 1c o s2πππdt t t t t t ()4s i n s i n 1c o s 220202πππππ==+=⎰t a r c t g dt t t 22．⎰-+2111lndx xxx 解：原式⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=2102211ln x d x x ()()()⎰--+--⋅+-⋅--+=210222102111111211ln 2dx x x x x x x x x x ⎰-+=210221l n 3l n 81dx x x ⎰⎰-++=210221013ln 81x dxdx21011ln 21213ln 81+-++=x x3ln 8321-=(B)一解答1．求由0cos 0=+⎰⎰xyt tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

高等代数-第5章习题及解答

习题 5.1解答A ⊆B A B =A A B =B 1. 设，证明：，.ααααααα∀∈A ⊆B ∈B ∴∈A B⊆A BAB ⊆AB =A∀∈A B ∈∈B A ⊆B ∈BA B ⊆B B ⊆A BAB =B证 A ，由，得即得证A 又A 故，则A 或但，因此无论那一种情形都有此即，但所以(B C C 2. :1)A =A B A 证明）（）（）；(((((((x x x x x x x x x x x x x x ∀∈∈∈∈∈∈∈⊆∈∈∈∈∈∈∈证 A （B C ），则A 且（B C ）在后一情形,B 或C, 于是AB 或AC 所以AB)AC ）由此得A （B C ）A B)AC ）反之,若A B)A C ）,则AB 或AC在前一情形,A,B,因此B C 故A B C ）在后一情(((((((x x x x ∈∈∈∈⊆形,A,C, 因此BC也得A BC ）故A B)AC ）AB C ）于是AB C ）=AB)AC ）C C 2A B =A B A .）（）（）（）x x x x x x x x x x x ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∴⊆⊆ 证若A （B C ），则A 或者BC在前一情形AB 且A C因而（A B ）（AC ）在后一情形B ，C ，因而AB 且AC即（A B ）（A C ） A （B C ）（A B ）（A C ）同理可证（A B ）（AC ）A （BC ）故A （BC ）=（AB ）（AC ）3:|,:|a b a b b f a bc d c d a ⨯⎛⎫⎛⎫→→+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22 、问：法则g 是否为Q 到Q 的映射？单射还是双射？22(((a f f Q g g g ⨯⎛⎫⎛⎫∀∈∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴解当取0时在中没有象,所以不是映射；a 0a 0 a Q,有)=a,但000012121212)=3=)，而00420042g 是满射不是单射.2()(),:()|()[]f x f x f x f x Q x φϕ'→→4. 问：满足：|是否为的变换？单射还是双射？φφφ'∈∴∀∈Φ解 (f(x))=f (x)Q[x] 是变换;又f(x)Q[x],有((x))=f(x),而22(())()(())(())()()f x f x f x f x f x f x φφφϕϕϕϕϕΦ∈'≠∴∀∈=∈∴∀∈=-=-≠∴⎰x(x)=f(x)dx Q[x],又 (f(x))=(f(x)+1)=f (x),而f(x)f(x)+1是满射不是单射.又f(x)Q[x],Q[x]是变换,又f(x)Q[x],但f(x)并且-f(x)没有原象,既不是单射又不是满射.{}|01y y y A B ≤<5. 设是一切非负实数构成的集合,又=是实数且:|1x f x x→A B + 证明：是到的一个双射.()(),1,,1,111a ba b f a f b a ba b f yy y yyy fy y y f f ∀∈=+∴=∴∀∈≤≤∴≥-⎛⎫∴∈= ⎪--⎝⎭∴ 证 A,==1+ 是A 到B 的一个单射. B 00,A,且使得是A 到B 的满射.综上所述得，是A 到B 的一个双射.{},:11,21,32,42;1223,4,1f g A →→→→→→→→6. 设=1,2,3,4规定 :,34.,f g fg gf fg gf A 1) 说明都是的变换;2) 求和,问和是否相等?(),():11,22,32,41:12,22,33,43.f x Ag x Af g fg gf g gf ∀∈∈∈∴→→→→→→→→≠证明 (1)x A,与都是由A 到A 的映射, 从而都是A 的变换. (2)所以f,,:::A B C f A B g B C gf A C g →→→7.证明是三个非空集合,是满射，，但是单射，证明是单射.1212121212,(),()()()()()f a a f a f a f a f a f a a f a f a ∈∴∃∈==⇒=⇒==∴12121212证明：设b ,b B,且g(b )=g(b )因是满射,A,使得b b 即有g()=g()g 是单射即b b g 是单射习题 5.2解答1. 检验以下集合对所规定的代数运算是否作成数域上F 的线性空间.{}{}{}{}()|,()|,()|0,()|0n n n ij n ij i j a i j a 1) S=A M F A =A T=A M F A =-A U=A M F 时 L=A M F 时'∈'∈∈>=∈<=∴解S ，T ，U ，L 分别对称矩阵、反对称矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，所以S 、T 、U 、L 都非空，又根据其相应性质知，S 、T 、U 、L 中的元素关于矩阵的加法与F 中的数与矩阵的乘法都封闭，S 、T 、U 、L 都作成数域F 上的线性空间。

高等代数第五章

3
问题的引入:
解析几何中中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f ax 2bxy cy
2 2
2
选择适当角度 θ ,逆时针旋转坐标轴

x x cos y sin y x cos y sin
x 2 cy 2 f a
(标准方程)
4
代数观点下
二次齐次多项式
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 an3 xn x3 a x
2 nn n
9
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
7
二、二次型的表示方法
1．用和号表示对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
事实上，
f ( x1 , x2 ,..., xn ) X AX
Y (C AC )Y
a33 x3 2a3 n x3 xn
2

高等代数答案5

解
(1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一); (3) 不是(不满足向量空间定义中的(8)).
4. 在向量空间中，证明， (1) a(－α)=－aα=(－a) α ,
91
α2, α3}线性表示. 解 k1α1+k2α2+k3α3
92
k1, k2 , k3 ∈ F.
⎧ k1 + k 2 + k3 = 0 ⎪ 设 k1α1+k2α2+k3α3=0, 则有 ⎨ 2k2 + 2k3 = 0 , ⎪ 3k3 = 0 ⎩
习题五
1. 设 V 是数域 F 上向量空间，假如 V 至少含有一个非零向量α，问 V 中的向量是有限多还是无限多？有没有 n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间？解无限多；不存在 n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间(因为如果 F 上一个向量空间 V 含有至少两个向量, 那么 V 至少含有一个非零向量α , 因此 V 中含有α , 2α , 3α , 4α , …,这无穷多个向量互不相等,因此 V 中必然含有无穷多个向量). 2. 设 V 是数域 F 上的向量空间，V 中的元素称为向量，这里的向量和平面解析几何中的向量 α ，空间解析几何中的向量 β 有什么区别？解这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项式,矩阵等,不单纯指平面中的向量. 3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域 F 上的向量空间. （1）集合：全体 n 阶实对称矩阵；F：实数域；运算：矩阵的加法和数量乘法；（2）集合：实数域 F 上全体二维行向量；运算： ) (a1, b1) + (a2, b2)＝(a1＋a2, 0) ) k • (a1, b1)＝(ka1, 0) （3）集合：实数域上全体二维行向量；运算： ) (a1, b1) + (a2, b2)＝(a1＋a2, b1＋b2)

高等数学第五章课后习题答案

班级姓名学号1 第五章定积分1．证明定积分性质：òò=b abadxx f kdx x kf )()(（k 是常数）. 证：òåòå=D =D ==®=®banii ban ii x kf x kf x f k x f k)()(lim )(lim )(1010x x l l 2．估计下列积分值：（1）dxx )sin 1(4542ò+p p解：令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘得驻点：,,221p p==x x 由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====p p p pf f f f ，得2)(max ,1)(min ==x f x f 由性质，得pp p p2)(454££òdx x f （2）ò333arctan xdxx 解：令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，p p33)(max ,36)(min ==\x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-££-\òp pxdx x ，即pp32a r c t a n 9333££òx d x x班级班级姓名姓名学号学号3．比较下列积分值的大小：．比较下列积分值的大小：（1）dx x ò12与dxx ò13解：当10££x 时，有23x x £，且23x x -不恒等于0，0312>-\òdx x x ）（，即，即 dxx dxx òò>1212。

（2）ò6pxdx 与ò6sin pxdx解：当60p££x 时，有x x £sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-\òdx x x ）（，即，即 dx x dx x òò>1010sin 。

高等数学课后习题及参考答案(第五章)

高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111xx xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x xxdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx;解34343434342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t tx dxx te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。

高等数学第五章习题附答案

利用定积分定义计算由抛物线y=x 2 , 两直线x =a,x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积. 题型：计算题答案：第一步: 在区间[a,b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a, b]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[xi -1, xi] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i n a b a x i i -+==ξ, 作和 n ab i n a b a x f S n i i i n i n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i n a b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-=]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=nn n a b n n a b a a a b . 第三步: 令l =max {∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==n i i i b a x f dx x f S 10)(lim )(ξl]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b na b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：7利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b);题型：计算题答案：取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ)(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：6利用定积分定义计算下列积分: dx e x ⎰10. 题型：计算题答案：取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点ni x i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：6利用定积分的几何意义说明下列等式 1210=⎰xdx ;题型：证明题答案：⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1. 分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式41102π=-⎰dx x ;题型：证明题答案：⎰-1021dx x )表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2+y2=1的面积的41: 414112102ππ=⋅⋅=-⎰dx x .分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式 ⎰-=ππ0sin xdx ;.题型：证明题答案：由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 ⎰-=ππ0sin xdx . 分数：12难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .题型：证明题答案： ⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积.因为cos x 为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：5水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9×8h (kN/m2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P. 题型：计算题答案：建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆Pi =9.8x il ×∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛). 分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：7证明定积分性质 (1)⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1. 题型：证明题答案：(1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i n i i i ba dxx f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξl l (2)a b a b x x dx n i i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010l l l 分数：8难度：5估计下列各积分的值: ⎰+412)1(dx x 1); 题型：计算题答案：因为当1£x £4时, 2£x2+1£17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即51)1(6412£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰+ππ4542)sin 1(dx x题型：计算题答案：因为当ππ454££x 时, 1£1+sin2x £2, 所以)445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰331arctan xdx x ;题型：计算题答案：先求函数f(x)=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m.21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331££x 时, f '(x)>0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间]3 ,31[上单调增加. 于是 3631arctan31)31(π===f m ,33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-££-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ££⎰xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰-022dx e xx .题型：计算题答案：先求函数xxe xf -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m.)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x . 比较f(0)=1, f(2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅££-⎰--e dx e e x x ,即 41022222---££-⎰e dx dx e e xx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上f(x)³0, 且0)(=⎰ba dx x f ,则在[a, b]上f(x)º0; (2)若在[a, b]上, f(x)³0, 且f(x)≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a, b]上, f(x)£g(x), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[a b]上f(x)ºg(x). 题型：证明题答案：(1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)>0. 根据f(x)在[a , b]上的连续性, 在[a , b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a , b]上的最大值. 再由连续性,存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-³³++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a .这与条件0)(=⎰badx x f 相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)º0. (2)证法一因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-³³badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二因为f(x)³0, 所以0)(³⎰b a dx x f .假如)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰badx x f ,根据结论(1), f(x)º0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在[a, b]上F(x)³0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba ba ba ba dx x f dx x g dx x f x g dx x F , 由结论(1), 在[a, b]上F(x)º0, 即f(x)ºg(x).分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：7根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？ (2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？(4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？(5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？题型：计算题答案：(1)因为当0£x £1时, x2³x3, 所以⎰⎰³103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x2>x3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1£x £2时, x2£x3, 所以⎰⎰£213212dx x dx x . 又因为当1<x £2时, x2<x3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x . (3)因为当1£x £2时, 0£ln x <1, ln x ³(ln x)2, 所以⎰⎰³21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x £2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x)2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0£x £1时, x ³ln(1+x), 所以⎰⎰+³1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x £1时, x >ln(1+x), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx . (5)设f(x)=ex -1-x , 则当0£x £1时f '(x) =ex -1>0, f(x)=ex -1-x 是单调增加的. 因此当0£x £1时, f(x)³f(0)=0, 即ex ³1+x , 所以⎰⎰+³1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x £1时, ex >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：6 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5 求由⎰⎰=+xyttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y, 于是y ex dx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt t dx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π.题型：计算题答案：(1)dxdudt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令421221x x x u +=⋅+=. (2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d)()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ分数：15所属所属知识点：微积分的计算难度：6⎰+-adx x x 02)13(;题型：计算题答案：a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+2142)1(dx x x ; 题型：计算题答案：852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题答案：94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+= 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题答案：66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4⎰--212121x dx ; 题型：计算题答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4⎰+ax a dx 3022; 题型：计算题答案：aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰-124x dx ; 题型：计算题答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x x x ⎰-+++012241133; 题型：计算题答案：13012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=分数：5所属所属知识点：微积分的计算 . 难度：5⎰---+211e xdx ; 题型：计算题答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4⎰42tan πθθd ;题型：计算题答案：4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 2111)(2x x x x x f . 题型：计算题答案：38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：6设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx .(4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx 分数：20所属所属知识点：微积分的计算设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k 分数：15所属知识点：微积分的计算难度：6求下列极限: (1)xdtt xx ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题答案：(1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)222222022)(2lim)(limx xt x t x xt x t x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→22222202lim2limxxt x x x xt x xe dte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x .所属知识点：变上限积分函数难度：6设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性.题型：计算题答案：当0£x £1时,302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(221102-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ. 因此⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x)在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续. 分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：7设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(00+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x xx -=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算难度：7设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa-=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f a x --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内 0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：8试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数. 题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 e y y ' +cos x =0, 于是 y exdx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点.分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dxd ;题型：计算题答案：(1)42022021221112x x x u dxdu dt t du d u x dt t dx d u x +=⋅+=⋅+=+⎰⎰令. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数: ⎰+32411x x dt tdx d ;题型：计算题答案：⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx xx +++-=.分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数:⎰xx dt t dxd cos sin 2)cos(π题型：计算题答案：⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dxd dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ =-cos(πsin 2x)(sin x)'+ cos(πcos 2x)( cos x)' =-cos x ×cos(πsin 2x)-sin x ×cos(πcos 2x) =-cos x ×cos(πsin2x)- sin x ×cos(π-πsin2x) =-cos x ×cos(πsin2x)+ sin x ×cos(πsin2x) =(sin x -cos x)cos(πsin2x) 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+-adx x x02)13(;题型：计算题答案： a a a x x x dx x x aa+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+2142)1(dx x x ;题型：计算题答案： 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx xx 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题答案： 6145)421432()921932(|)2132()()1(22322394223942194=+-+=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题答案： 66331arctan3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰xxdx分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰--212121xdx ;题型：计算题答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰xx dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+axa dx 3022;题型：计算题答案：aa a a x a x a dxa a30arctan 13arctan 1arctan1303022π=-==+⎰. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰-124xdx ;题型：计算题答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin41012π=-==-⎰x x dx . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x x x ⎰-+++012241133;题型：计算题答案：41)1arctan()1(|)arctan ()113(11333013012201224π+=----=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰---+211e x dx ;题型：计算题答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰402tanπθθd ;题型：计算题答案：4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x =-cos x|π0+cos x|ππ2=-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 211 1)(2x x x x x f .题型：计算题答案：38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5设k 为正整数. 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2). (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 分数：20所属所属知识点：微积分的计算难度：6设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 分数：15所属所属知识点：微积分的计算难度：6求下列极限: (1)xdt t x x ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题答案：(1)11cos lim cos lim 2002==→→⎰x xdtt x xx .(2)2222222222002002000022002lim2lim)(2lim)(limx xt x x xxt x x xt xt x xt xt x xedt e xee dt e xedt e dt e dttedt e ⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→=⋅='⋅=⎰--=+-=-+-=-=ππππππππ0cos 1cos 1)(cos 1cos 1|cos 1sin k k k k k k k k kx k kxdx2212lim22lim2020222=+=+=→→x ex ee x x x x x .分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：7设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性. 题型：计算题答案：当0£x £1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x x ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim)(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：8设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式. 题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xx xϕ; 当x >π时,10cos 21cos 21|cos 210sin 21)()(000=+-=-=+==⎰⎰⎰πϕπππt dt tdt dt t f x xx . 因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算难度：8设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：8所属所属知识点：微积分的计算难度：8⎰+πππ2)3sin(dx x ;题型：计算题答案：0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰-+123)511(x dx;题型：计算题答案：51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰203cossin πϕϕϕd ;题型：计算题答案：⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰-πθθ03)sin1(d ;题型：计算题答案：⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰262cosππudu ;题型：计算题答案：2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5dx x ⎰-222;题型：计算题答案：dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5dy y ⎰--22228;题型：计算题答案：⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dyy dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰-121221dx x x ;题型：计算题答案：41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx xx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰+31221xxdx ;题型：计算题答案：⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰--1145xxdx ;题型：计算题答案：61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x xxdx 令. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰+411xdx ;题型：计算题答案：)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x xdx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰--14311x dx ;题型：计算题答案：2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰-axa xdx 20223;题型：计算题答案：)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6dt tet ⎰-1022;题型：计算题答案：2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e e t d edt tet t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰+21ln 1e xx dx ;题型：计算题答案：)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰-++02222x x dx;题型：计算题答案：2)1arctan(1arctan )1arctan()1(1122022222π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰-222cos cos ππxdx x ;题型：计算题答案：32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰--223cos cos ππdx x x ;题型：计算题答案：⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰+π2cos 1dx x .题型：计算题答案：22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππx xdx dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;(2)⎰-224cos 4ππθθd ;(3)⎰--2121221)(arcsin dx x x ;(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 题型：计算题答案：(1) 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(2πθπ=++=x x .(3) ⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .分数：20所属所属知识点：定积分的计算难度：6证明: ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中(u)为连续函数.题型：证明题答案：因为被积函数(x2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a, a]关于原点对称, 所以有 ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ. 分数：6所属所属知识点：定积分的计算难度：5设f(x)在[-b, b]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =-t, 则dx =-dt, 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb b b dt t f dt t f dx x f )()1)(()(, 而⎰⎰---=-bb b b dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=b b bb dx x f dx x f )()(.分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：6设f(x)在[a, b]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =a +b -t , 则dx =dt , 当x =a 时t =b, 当x =b 时t =a , 于是⎰⎰⎰-+=--+=b a b a abdt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba b a dx x b a f dt t b a f )()(, 所以 ⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：7 证明: ⎰⎰>+=+11122)0(11xx x x dx x dx .题型：证明题答案：令tx 1=, 则dt t dx 21-=, 当x =x 时xt 1=, 当x =1时t =1, 于是 ⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111x x xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx.分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：7证明: ⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 题型：证明题答案：令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：6证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx n n . 题型：证明题答案：⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sinxdxxdx xdx n n n, 而 ⎰⎰⎰⎰==---=202022sin sin ))((sin sinπππππππxdxtdt dt t tx xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx nn .分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：8设f(x)是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 题型：证明题答案：已知f(x +l)=f(x).⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala llla lla a adxx f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令, 所以 ⎰⎰=+l a adx x f dx x f 01)()(. 因此⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：8若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 题型：证明题答案：设⎰=xdt t f x F 0)()(. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx===---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数. 若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx-=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.分数：12所属所属知识点：定积分的计算。

高等代数第5章习题参考答案

第五章二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--；4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。

解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-=()222333142y y y y ++--=，再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。

2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=()()2322212x x x x +++=，于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。

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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

《工程高等代数》5第五章线性方程组习题解答

习题五A 组1．填空题（1）当方程的个数等于未知数的个数时，=Ax b 有惟一解的充分必要条件是．解因为()()R R n ==A A b 是=Ax b 有惟一解的充要条件．故由()R n =A 可得||0≠A ．（2）线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 有解的充分必要条件是．解对方程组的增广矩阵施行初等行变换()12341100011000111001a a a a ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎪⎝⎭B A b12341231100011000110000a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪→ ⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭．所以方程组有解的充要条件是()()R R =A B ，即43210a a a a -+-=．（3）设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组=Ax 0的通解为．解令111⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x显然x 满足方程组，又因为()1R n =-A ，所以()1n R -=A ，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为T 11(1,1,,1)1k k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．（4）设A 为n 阶方阵，||0=A ，且kj a 的代数余子式0kj A ≠（其中，1k n ≤≤；1,2,,j n =），则=Ax 0的通解．解因为0=A ，又0kj A ≠，所以()1R n =-A ，并且有11220, ;||0, i k i k in kn i k a A a A a A i k ≠⎧+++=⎨==⎩．A 所以()T12,,,k k kn A A A 是方程组的解，又因为()1R n =-A ，可知方程组的通解为()T12,,,k k kn c A A A =x ，其中c 为任意常数．（5）设11222221231111211111,,11n n n n n n n x a a a x a a a x a a a x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A x b ，其中，(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=，则非齐次线性方程组T =A x b 的解是=x ．解 T (1,0,0,,0)=x ．（6）设方程123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = ．解 2a =-．2．单项选择题（1）齐次线性方程组355⨯⨯1=A x 0解的情况是．(A) 无解； (B) 仅有零解；(C) 必有非零解； (D) 可能有非零解，也可能没有非零解．答（C ）．（2）设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩()3R n =-A ，且123,,ξξξ为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是．(A) 12312,2,32+- -ξξξξξ； (B) 122331,,+-+ ξξξξξξ；(C)122132-2,-2,32+-+ ξξξξξξ； (D) 12231324,2+,++ - ξξξξξξ．答（A ）．（3）要使T 1(1,0,2)=ξ，T 2(0,1,1)=-ξ都是线性方程组=Ax 0的解，只要A 为． (A) (211)-； (B) 201011⎛⎫⎪⎝⎭；(C) 102011-⎛⎫⎪-⎝⎭； (D)011422011-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭．答（A ）．（4）已知12,ββ是=Ax b 的两个不同的解，12,αα是相应的齐次方程组=Ax 0的基础解系，12,k k 为任意常数，则=Ax b 的通解是．(A) 12()k k 12112-+++2ββααα； (B) 12()k k 12112++-+2ββααα；(C) 12()k k 12112-+-+2ββαββ； (D) 12()k k 12112++-+2ββαββ．答（B ）．（5）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0 若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax =b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax =0的基础解系是．(A) 不存在； (B) 仅含一个非零解向量；(C) 含有两个线性无关的解向量； (D) 含有三个线性无关的解向量．答（B ）．（6）设有齐次线性方程组Ax =0和Bx =0，其中A ，B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax =0的解均是Bx =0的解，则()()R R ≥A B ；② 若()()R R ≥A B ，则Ax =0的解均是Bx =0的解； ③ 若Ax =0与Bx =0同解，则()()R R =A B ；④ 若()()R R =A B ，则Ax =0与Bx =0同解．以上命题正确的是．（A ） ①，②；（B ）①，③；（C ）②，④；（D ）③，④．答（B ）．（7）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0 ．（A ）当n m >时仅有零解；（B ）当n m >时必有非零解；（C ）当m n >时仅有零解；（D ）当m n >时必有非零解．答（D ）．（8）设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量．若秩T0⎛⎫=⎪⎝⎭αAα秩()A ，则线性方程组．（A ）=αAx 必有无穷多解；（B ）=αAx 必有惟一解；（C ）T 0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭αA αx 0仅有零解；（D ）T 0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭αA αx 0必有非零解．答（D ）．3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系(1) 12341234123420,20,2220;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩解对系数矩阵施行初等行变换，有41001121321110103221240013⎛⎫-⎪-⎛⎫⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭A ．与原方程组同解的方程组为14243440,330,40,3x x x x x x ⎧-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎩或写为1241344343944331x x x k x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭x ，其中143k =为任意常数．所以，基础解系为 14943⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ．(2) 12341234123420,3630,51050;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩解1211120136130010510150000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，与原方程组同解的方程组为12432 0,0,x x x x +-=⎧⎨=⎩或写为124223442,,0,x x x x x x x x =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩, 其中，24,x x 可取任意常数12,k k ，故12123421100001x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．所以，基础解系为122110,0001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ．(3) 12341234123412342350,3270,4360,2470;x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解231512473127012126413600151247000327--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ， ()4R n ==A ，方程组组只有零解．(4) 123412341234123434570,23320,41113160,7230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=⎩．解3131017173457192001233217174111316000072130000⎛⎫-⎪⎪-⎛⎫⎪-⎪⎪--⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，与原方程组同解的方程组为134234313 017171920 01717x x x x x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，．或写为1342343344313171719201717x x x x x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪=⎩，，，．故1212343131920170017x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．所以基础解系为123131920,170017-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ． 4．求解下列非齐次线性方程组．(1) 123123124+2232101138x x x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，，；解对增广矩阵施行初等行变换42121338312100101134113080006---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭B ，所以()2,()3R R ==A B ．无解．(2) 23424538213496x y z x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩，，，；解231410211245011238213000041960000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B()()2R R ==A B ，所以原方程组有解．与原方程组同解的方程组为21,2,x z y z z z =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩．故211210x y k z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (3) 21,4222,21x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩；解111102222111142212000102111100000⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪⎪⎪=-→ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭B ，()()2R R ==A B ，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为111222,,0x y z y y z z w ⎧=-++⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩，．所以原方程组的通解为111222100010000x y y z z w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121211020020000k k ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭． (4) 21,3234,4352x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩．解116107772111159532134017771435200000⎛⎫-- ⎪-⎛⎫ ⎪⎪⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭B ，()()2R R ==A B ，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为116777595777x z w y z w z z w w ⎧=++⎪⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪=⎩，，，．故通解为1267115597700070x y k k z w ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 5．问λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x ⎧λ++=⎪+λ+=λ⎨⎪++λ=λ⎩，，(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解？解系数行列式21111(1)(2)11D λλλλλ==-+．当1≠λ且2-≠λ时0≠D ，方程组有惟一解．当1=λ时，对增广矩阵施行初等行变换111111111111000011110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ，则()()13R R ==<A B ，故原方程组有解且有无穷多解．当2-=λ时，对增广矩阵施行初等行变换211111241212121211242111--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B112411240336033603390003--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, ()2,()3R R ==A B ．所以方程组无解．6．非齐次线性方程组1231231232x x x x x x x x x 2⎧-2++=-⎪-2+=λ⎨⎪+-2=λ⎩，，当λ取何值时有解？并求出它的全部解．解对增广矩阵施行初等行变换，得222112112121033(1)112000(1)(2)λλλλλλλ⎛⎫---⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭B ，当1λ≠且2λ≠-时，()2,()3R R ==A B 方程组无解．当1λ=时，有101101100000-⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭B()()2R R ==A B ，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为13233310x x x x x x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩，，．故原方程组的解为1213111010x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．当2λ=-时，有101201120000-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭B与原方程组同解的方程组为13233322x x x x x x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩，，．故方程组的解为123121210x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．7．设12312312322124224x x x x x x x x x (2-λ)+-=⎧⎪+(5-λ)-=⎨⎪--+(5-λ)=-λ-1⎩，，，问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解．解系数行列式2222254(1)(10)245D λλλλλ--=--=------．当1λ≠且10λ≠时，方程组有惟一解．当1λ=时，有122112212442000024420000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭B()()1R R ==A B ，方程组有无穷多解，此时123221x x x +-=通解为12123221100010x x k k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．当10=λ时，有8221254225420111245110003----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B ，()2,()3R R ==A B ，故方程组无解．8．问,a b 为何值时，非齐次线性方程组123423423412340,221,(3)2,321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ (1) 有惟一解，求出惟一解；(2) 无解；(3) 有无穷多解，并写出通解．解方程组的增广矩阵11110111100122101221.013200101321100010a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B当1≠a 时，()()4R R ==A B ，方程组有惟一解．此时2100012301001.10010100010a b a a b a b a -++⎛⎫ ⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-→⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B所以，12342231,,,0111a b a b b x x x x a a a -+--++====---．当1=a 时，有11110012210000100000b ⎛⎫⎪⎪→ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭B ，所以，当1=a 且1-≠b 时，()2R =A ，()3R =B ，方程组无解．而当1=a 且1b =-时，有10111012210000000000---⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎪⎝⎭B ，()()2R R ==A B ，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为1342341,221,x x x x x x --=-⎧⎨++=⎩ 或写为13423433441,221,,.x x x x x x x x x x =+-⎧⎪=--+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 故原方程组的通解为121234111221100010x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ，其中12,k k 为任意实数．9．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且1232132,4354⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηηη，求该方程组的通解．解 4,()3n r R ===A ，所以1n r -=，令11124136242()8351046⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξηηη，则1ξ为基础解系，故方程组的通解为1132435465k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ξη，其中k 可取任意常数．10．设,A B 都是n 阶方阵，且=AB 0．证明()()R R n +≤A B ．证明设12(,,,)n =B b b b ，则有(1,2,,)j j n ==Ab 0．可见每个j b 都是=Ax 0的解向量．因()R r =A ，可知=Ax 0的解空间的维数是n r -，所以向量组12,,,n b b b 的秩小于等于r n -，从而()R n r ≤-B ，于是()()()R R r n r n +≤+-=A B ．11．已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解．（1）证明方程组的系数矩阵A 的秩()2R =A ；（2）求,a b 的值及方程组的通解．解（1）设123,,ααα是方程组=βAx 的3个线性无关的解，其中111114351,1131a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A β．则有1213(),()-=-=ααααA 0A 0，即1213,--αααα是对应齐次线性方程组=Ax 0的解，且线性无关．（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）．所以()2n R -≥A ，即4()2()2R R -≥⇒≤A A ．又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2R ≥A ．因此()2R =A ．（2）因为11111111111143510115011513013004245a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A又()2R =A ，则420,2,,450 3.a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩ 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，111111024243511011532133100000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭B ，故原方程组与下面的方程组同解13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩．选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩．故所求通解为12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ，12,k k 为任意常数．12．已知三阶矩阵A 的第一行是()a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =（k 为常数），且AB =0，求线性方程组Ax =0的通解．解由于AB =0，故()()3R R +≤A B ，又由,,a b c 不全为零，可知()1R ≥A ．当9k ≠时，()2R =B ，于是()1R =A ；当9k =时，()1R =B ，于是()1R =A 或()2R =A ． ① 对于9k ≠，由AB =0可得123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭A =0和36k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A =0．由于()()TT121,2,3,3,6,k ==ηη线性无关，故12,ηη为Ax =0的一个基础解系，于是Ax =0的通解为1122c c =+x ηη，其中12,c c 为任意常数．② 对于9k =，分别就()2R =A 和()1R =A 进行讨论．如果()2R =A ，则Ax =0的基础解系由一个向量构成．又因为123⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭A =0，所以Ax =0的通解为()T11,2,3c =x ，其中1c 为任意常数．如果()1R =A ，则Ax =0的基础解系由两个向量构成．又因为A 的第1行是(),,a b c ，且,,a b c 不全为零，所以Ax =0等价于1230ax bx cx ++=．不妨设0a ≠，()()TT12,,0,,0,b a c a =-=-ηη是Ax =0的两个线性无关的解，故Ax =0的通解为 1122c c =+x ηη，其中12,c c 为任意常数．13．确定常数a ,使向量组T1(1,1,),a =αT 2(1,,1),a =αT 3(,1,1)a =α可由向量组T 1(1,1,)a =β，T 2(2,,4)a =-β，T 3(2,,)a a =-β线性表示，但向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表示．解对矩阵123123(,,,,)=B βββααα作初等行变换，有123123(,,,,)=B βββααα=12211111411a aa a a a a --⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ →1221102201000403(1)1a a a a a a a --⎛⎫⎪++- ⎪ ⎪---⎝⎭，当2a =-时，→B 122112000030006033---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，显然2α不能由123,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当4a =时，→B 122114066030000093--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭，显然23,αα均不能由123,,βββ线性表示，因此4≠a ．而当2-≠a 且4≠a 时，秩123(,,)3R =βββ，此时向量组123,,ααα可由向量组123,,βββ线性表示．又12312311122(,,,,)111114a a a a a a a --⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭C αααβββ 2111220110220110423a a a a a a a a a --⎛⎫ ⎪→--++ ⎪ ⎪--+⎝⎭21112201102200206342aa a a a a a a a --⎛⎫⎪→--++ ⎪ ⎪--++⎝⎭，由题设向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表示，必有01=-a 或022=--a a ，即1a =或2-=a ．综上所述，满足题设条件的只能是1a =．14．已知齐次线性方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求,,a b c 的值．解方程组（Ⅱ）的未知量个数大于方程个数，故方程组（Ⅱ）有无穷多解．因为方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解，所以方程组（Ⅰ）的系数矩阵的秩小于3．对方程组（Ⅰ）的系数矩阵施以初等行变换12310123501111002a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，从而2a =．此时，方程组（Ⅰ）的系数矩阵可化为123101235011112000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故T (1,1,1)--是方程组（Ⅰ）的一个基础解系．将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（Ⅱ）可得2,1==c b 或 .1,0==c b当2,1==c b 时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以初等行变换，有112101213011⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然此时方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解．当1,0==c b 时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以初等行变换，有101101202000⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然此时方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的解不相同．综上所述，当2,1,2a b c ===时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解． 15．设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．解对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.00aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()1R n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为,021=+++n x x x由此得基础解系为T 1(1,1,0,,0),=-η T 2(1,0,1,,0),=-ηT 1,(1,0,0,,1),n -=-η于是方程组的通解为1111,n n x k k --=++ηη其中11,,-n k k 为任意常数．当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.0101n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭B 可知2)1(+-=n n a 时，()1R n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 由此得基础解系为T (1,2,,)n =η，于是方程组的通解为k =x η，其中k 为任意常数．16．设T 1(1,2,0)=α,T 2(1,2,3)a a =+-α, T 3(1,2,2)b a b =---+α, T (1,3,3)=-β, 试讨论当b a ,为何值时,(1) β不能由123,,ααα线性表示；(2) β可由123,,ααα惟一地线性表示, 并求出表示式；(3) β可由123,,ααα线性表示, 但表示式不惟一, 并求出表示式．解设有数,,,321k k k 使得112233k k k ++=αααβ．记123(,,)=A ααα．对矩阵(,)A β施以初等行变换, 有1111(,)22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭．（1）当0=a 时, 有1111(,)0010001b -⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭A β．可知()(,)R R ≠A A β．故方程组无解, β不能由123,,ααα线性表示．（2）当0≠a , 且b a ≠时, 有1111(,)01000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭A β1100110100010a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()(,)3R R ==A A β, 方程组有惟一解：a k 111-=, ak 12=, 03=k ．此时β可由123,,ααα惟一地线性表示, 其表示式为1211(1)a a=-+βαα．（3）当0a b =≠时, 对矩阵(),A β施以初等行变换, 有1111(,)01000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭A β1100110110000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， ()(,)2R R ==A A β，方程组有无穷多解，其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数．β可由123,,ααα线性表示, 但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα．17．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T (1,1,1,1)--是该方程组的一个解，试求（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（2）该方程组满足32x x =的全部解．解将T (1,1,1,1)--代入方程组，得μλ=．对方程组的增广矩阵B 施以初等行变换, 得1101021211200131132441002(21)2121λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++---⎝⎭⎝⎭B ，（1）当21≠λ时，有1001011010*********⎛⎫⎪ ⎪⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，()()34R R ==<A B ，故方程组有无穷多解，且T 011(0,,,0)22=-ξ为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 T(2,1,1,2)=--η，故方程组的全部解为T T 011(0,,,0)(2,1,1,2)22k k =+=-+--ξξη (k 为任意常数)．当12λ=时，有11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，()()24R R ==<A B ，故方程组有无穷多解，且T 01(,1,0,0)2=-ξ为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 T 1(1,3,1,0)=-η，T 2(1,2,0,2)=--η，故方程组的全部解为T T T 01122121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k k k =++=-+-+--ξξηη(21,k k 为任意常数)．（2）当21≠λ时，由于32x x =，即k k -=+-2121，解得21=k ，故方程组的解为T T T 111(1,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ ．当21=λ时，由于32x x =，即121231k k k =--，解得212141k k -=，故方程组的全部解为T T T 22111(,1,0,0)()(1,3,1,0)(1,2,0,2)242k k =-+--+--ξT T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---其中2k 为任意常数．18．已知平面上三条不同直线的方程分别为123:230,:230,:230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=．解必要性．设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组23,23,23ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩有惟一解，故系数矩阵222a b b c c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与增广矩阵232323a b c b c a c a b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 的秩均为2，于是0=B ．由于22223236()[]23a b cb c a a b c a b c ab ac bc c a b-=-=++++----B=])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性．由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=B ，故秩()3<B ．由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2=B ．于是，秩()=A 秩()B 2=．因此方程组有惟一解，即三直线321,,l l l 交于一点．*19．求方程组12311231231,0,1,242,x x x x x x x x x x -+=⎧⎪=⎪⎨++=-⎪⎪++=⎩ 的最小二乘解．解方程组的系数矩阵和常数项矩阵为111100111124-⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，1012⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭b ，记123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，则方程组的正规方程TT=A Ax A b 为1234262268268188x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解之得1233/54/51x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，方程组的最小二乘解为12334,, 1.55x x x =-=-=*20．当外加电压E (单位:V )分别为5，8，10，12时，测得电源中对应的电流I (单位:A )分别为4，6，8，9，试根据公式00E E R I =+确定电源内阻0R 与电源的端电势0E ．解根据公式00E E R I =+，把测得的数据代入方程，得0000000045,68,810,912.E R E R E R E R +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 该方程组的系数矩阵和常数项矩阵为14161819⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，581012⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭b ，记00E R ⎛⎫= ⎪⎝⎭x ，则方程组的正规方程TT=A Ax A b 为004273527197256E R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解之得0017/5979/59E R -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即000.288(), 1.339()E V R ≈-≈Ω。

高等数学课后习题答案--第五章

x1 1 2 4 1 1 − 2 4 1 3 2 ~ ~ ~ (3) x + x + 1 在 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的坐标 x 2 = 0 1 4 1 = 0 1 − 4 1 = − 3 . x 0 0 1 1 0 0 1 1 1 3
8. 设 P2 为次数不超过 2 的多项式全体构成的线性空间。 ~ =1， ε ~ = x + 2, 证明(1) P2 的基可取为 ε 1 =1, ε 2 = x , ε 3 = x 2 ，也可取为 ε 1 2 2 ~ ε = (x + 2) ；
3 1 2 3
~ =ε , ε ~ = 2ε + ε , ε ~ = 4ε + 4ε + ε , 8. (1) ε 1 1 2 1 2 3 1 2 3
x1,n −1 x 2,n −1
M L L x n −1,n −1 L x n ,n −1
x1n x2n M x n −1 , n x nn
x1n x2n M M M , k −2 k −2 ml xl 2 L ∑ ml xl ,n −1 x n −1 , n ∑ l =1 l =1 k −2 k −2 n x L n x x ∑ ∑ nn l l , n −1 l l2 l =1 l =1 x11 x12 L x1,n −1 x1n x 21 x 22 L x 2,n −1 x 2 n K 因此矩阵 A 经过适当的行变换后, 变为 M M M M , 于是 | A |= 0 , L 0 L 0 s 0 0 0 L 0 t ~ ~ ~ 即 a , a , K, a 线性相关, 与已知矛盾. rank ((a , a ,K, a )) ≥ k − 1 .

《高代与解几》第五章矩阵专题练习-参考答案

第五章专题练习—矩阵的秩与矩阵的运算---参考答案一、选择题1-5、BCBBB 5-10、DAACB 11-15、DDBDA二、填空题1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3033 2、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01223、00==B A 或4、B A n)1(-; ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0011A B5、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000213141 6、 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----611859131320001 7、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-80232 8、C A 1- 9、 E 10、 1/2__ 11、31； 9 ； 81 12、 1613、I 2 14、 3 15、__2__三、计算题1、求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7931181332111511的秩. 解 2131413115111511123027431810274139704148r r r r r r -------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪⎪−−−→ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭32422115102740000000r r r r ----⎛⎫⎪-⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵的轶为2.2、利用初等变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111111111111111的逆矩阵：解()111110001111010011110010111101A E ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 213141111110000022110002021010022011r r r r r r ---⎛⎫ ⎪---⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭43234311111000020210100022110000041111r r r r r r -↔-⎛⎫ ⎪--- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭4331412121111100001011201200011121200000114141414r r r --⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭342414111034141414010014141414001014141414000114141414r r r r r r ---⎛-⎫ ⎪--⎪−−−→ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭12310001414141401001414141400101414141400114141414r r r --⎛⎫⎪-- ⎪−−−→⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭因此 1111111*********111A -⎛⎫ ⎪-- ⎪=⎪-- ⎪--⎝⎭3、用分块法求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛140520000120013的逆矩阵：解 12310031002100210000250025041041A O A O A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因111112311125151,,2123414218A A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 1110023000011851802919A--⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭.4、求解矩阵方程：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛63354321X 解记矩阵方程为A X B =,其中1253,3436A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由于122034A ==-≠，所以A 可逆，故1X A B -=.构造()211223(12)12531070343601632r r r r r A B -+⨯-⎛⎫⎛-⎫=−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以 170632X A B --⎛⎫==⎪-⎝⎭.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2014310125、已知三阶方阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10110111A , 且O E AB A =--2, 求矩阵B . 解: 由O E AB A =--2, 得: E B A A =-)(, 又由1||=A , 得A 可逆, 所以：1-=-A B A , 1--=A A B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101010110001111]|[E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1010010*********~ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1001110010211001~ 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-101102111A , 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=000200320100110211100110111B .6、设矩阵,A B 满足关系式2AB B A =+，且301110014A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B . 解由关系式2AB B A =+，整理得2AB B A -=，再由矩阵的分配律得(2)A E B A -=，即 ()12B A E A -=-，又由301110014A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1012110012A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,求其逆矩阵得 ()111012112110221012111A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故矩阵()12113015222221110432111014223B A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭7、设，解矩阵方程.解：由，得，且从而所以，X ==8.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10110111A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200020102B , 已知B A B A AX AXB +-+=22, 求矩阵X . 解: 11)(---+=E B B A A X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=30330613.9. 已知矩阵B A 、满足O I BX BXAB=---1, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001020100A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011220111B , 求矩阵X .解: 由O I BX BXAB =---1得: I I AB BX =--)(1, 容易验证: I AB B --1,均可逆,故有: 111)(----=I AB B X 111)(])[(----=-=B A B I AB⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-0210100101012000111.10、设A 为三阶矩阵,12A =,求1*(2)5A A --.解：【思路分析】先化简1*(2)5A A --,再计算行列式. 方法一: 1*1111(2)5522A A AA AA-----=-=-,所以1*131(2)52(2)16A A AA---=-=-⋅=-.方法二: *1*1***11(2)555422A A A AA A A A---=-=⋅-=-,所以311**3*3(2)54(4)(4)16A A A A A---=-=-=-⋅=-.四、解方程组1、当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++03303202321321321x x x x x x x x x λ有非0解？并求一般解.解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2001101213511012113132121λλλA所以当2-=λ时，线性方程组有无穷多解，取3x 为自由未知数，原方程组等价于⎩⎨⎧=--=++00232321x x x x x 即：⎩⎨⎧-==3231x x x x故原方程组的一般解为：⎩⎨⎧-==3231x x x x 3x 为自由未知数2、当b a ,取何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=--=+-+bx x x x a x x x x x x x x x x x 43214321432432153112224、当b a ,取何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=++++=-+++bx x x x x x x x x x x x x x a x x x x x 5432154325432154321334536221323无解.有唯一解.有无穷多解？有解时，求其解．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=b a b a b A 13345362210311231111111334536221011111131123),( ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------→56221362210362210111111b a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→2000000362210111111a b aa 可见，当0≠a 或2≠b 时，该方程组无解。

高数同济版第五章答案

习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx b a ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10. 解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→.(2)取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n x i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nn n n n n n .3. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)4112π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ; (4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 ⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2 ,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m, 宽L =2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n Hi n H L x L x P n n i n n i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑. 将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质:(1)⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1. 证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ; (4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21a r c t a n )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2, 1)21(-=e f ,得1-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 1022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[a ,b ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd dc ca ba . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0.证法二因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？ (2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x . 又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x . 习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数. 解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解方程两对x 求导得 e y y ' +cos x =0,于是 y exdx dy cos -=.4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ;(2)⎰+32411x x dt tdx d ;(3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解 (1)42022021221112x x x u dxdu dt t du d u x dt t dx d u x +=⋅+=⋅+=+⎰⎰令. (2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt tdx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x12281312xx xx +++-=.(3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ =-cos(πsin 2x )(sin x )'+ cos(πcos 2x )( cos x )'=-cos x ⋅cos(πsin 2x )-sin x ⋅cos(πcos 2x ) =-cos x ⋅cos(πsin 2x )- sin x ⋅cos(π-πsin 2x ) =-cos x ⋅cos(πsin 2x )+ sin x ⋅cos(πsin 2x ) =(sin x -cos x )cos(πsin 2x ).6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x xaa+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx x x ;解 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ; 解6145)421432()921932(|)2132()()1(22322394223942194=+-+=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x .(4)⎰+33121xdx;解66331arctan3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰xxdx . (5)⎰--212121xdx ;解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 121121212πππ=--=--==---⎰xx dx .(6)⎰+axa dx3022;解aa a a xax a dxa a 30arctan 13arctan 1arctan1303022π=-==+⎰. (7)⎰-124xdx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin41012π=-==-⎰xx dx . (8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 41)1arctan()1(|)arctan ()113(11333013012201224π+=----=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x . (9)⎰---+211e xdx;解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x x dx e e .(10)⎰402tan πθθd ; 解4144tan)(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |; 解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x =-cos x |π0+cos x |ππ2=-cos π +cos0+cos2π-cos π=4.(12)⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 211 1)(2x x x x x f .解38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2)⎰--=+-=-+-=-=ππππππππ0cos 1cos 1)(cos 1cos 1|cos 1sin k kk k k k k k kx k kxdx . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 9. 求下列极限:(1)xdtt xx ⎰→02cos lim;(2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdtt x xx . (2)2222222222002002000022002lim2lim)(2lim)(limx xt x x xxt x x xt xt x xt xt x xedt e xee dt e xedt e dt e dttedt e ⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→=⋅='⋅=2212lim 22lim2020222=+=+=→→x e x e e x xx xx . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x x x ===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x x ϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解当x <0时, 00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时, 21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xx x ϕ; 当x >π时, 10cos 21cos 21|cos 210sin 21)()(000=+-=-=+==⎰⎰⎰πϕπππt dt tdt dt t f x x x . 因此 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=xadt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0. 证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有 ))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F . 习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(2=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解 410cos 412cos 41cos 41sin cos cos sin 33203203203=+-=-=-=⎰⎰πϕϕϕϕϕϕπππd s d . (4)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰22cos ππudu ;解222222sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-02022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228; 解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 122212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰.(10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-22cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 23222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-2223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x . 解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-24cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-0244)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x .(3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--1021022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx x x dx x x324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是 ⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x dx x dx.证明令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+1112112211)1(1111x x xdt t dt t t x dx , 而⎰⎰+=+xx dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m .证明令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ00sin 2sin xdx xdx nn .证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n ,而 ⎰⎰⎰⎰==---=20200sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n n n 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数.证明设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e. (3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx ;解344344342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππx xdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx xx;解⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx xx x xd dx xx)12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d xx x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan 214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x .(7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 02-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x 2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x x x 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t t x dx x te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt et.因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1e e e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx x m (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(102π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sintdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===202000sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m m m m (用第8题结果). 根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解因为1]1111[21][21ch 20)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt ept ptωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102x x x dx x , 所以反常积分⎰-202)1(x dx发散.(9)⎰-211x xdx ;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k kk x k x d x x x dx ; 当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时, kk k k k x k x d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln kx x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散.当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点, 同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !. 总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限: (1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n nn p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→1ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰x x x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim)(lim )(lima af x xf dt t f ax dt t f x dt t f a x x xa ax xa ax xa a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则).(5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx x x d x dx ;解计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba b a b a ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222212222])()([2)()(⎰⎰⎰⎰⋅++≤ba ba ba ba dx x g dx x f dx x g dx x f ,又()2212212212222])([])([])()([2)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋅++ba ba b a ba b a badx x g dx x f dx x g dx x f dx x g dx x f ,所以()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f . 6. 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 且f (x )>0. 证明⎰⎰-≥⋅ba baa b x f dxdx x f 2)()()(. 证明已知有不等式⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222, 在此不等式中, 取)(1)(x f x f =, )()(x f x g =, 则有⎰⎰⎰⋅≥⋅⋅ba ba ba dx x f x f dx x f dx x f 222])(1)([])(1[])([,即⎰⎰-≥⋅b a baa b x f dxdx x f 2)()()(.。

高等代数第五章练习题

第五章练习题1．写出下列二次型的矩阵.（1）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（2）1234135(,,,)246785T f x x x x X X⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2．将二次型 2221231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+-表成矩阵形式，并求该二次型的秩.3．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同.4. 用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++5．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形2221236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换.6．用配方法、初等变换法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++7．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=133322211x x y x x y x x y得f =232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩.8． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.9. 化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形，所用的可逆线性变换矩阵为 .10．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为 11．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a =12. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 314. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ).(A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零(C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n(D) A 合同于单位矩阵15. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定16. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似17．试证：若A 是n 阶方阵，则TA A 是半正定矩阵．18．设A 为n 阶实对称矩阵，且满足A A A ++23= 3 E ，证明A 是正定矩阵．19．设B 为可逆矩阵，A =B T B ,证明f =T X A X 为正定二次型20. 证明：A ，B 正定，则BAB 也正定。

高数第五章测试题及答案(1)

高等数学第五章定积分测验题一、选择题（每题３分，共１５分） 1 设2()sin ,x xI x tdt =⎰则'()I x =（）（Ａ）2cos cos xx -；（Ｂ）22cos cos x x x -；（Ｃ）22sin sin x x x -；（Ｄ）22sin sin x x x +。

2 定积分⎰badx x f )(表示和式的极限是（）．（A ）))((lim 1a b n k f n a b n k n --∑=∞→；（B ）))(1(lim 1a b n k f n a b n k n ---∑=∞→；（C ）k nk kn x f ∆∑=∞→)(lim1ξ（k ξ为],[1k k x x -上任一点）；（D ）k nk kx f ∆∑=→)(lim1ξλ（}{max 1k nk x ∆=≤≤λ，k ξ为],[1k k x x -上任一点）． 3 设12200()11xx dt dt F x t t =+++⎰⎰，则（）（Ａ）()0F x =；（Ｂ）()2F x π=；（Ｃ）()arctan F x x =；（Ｄ）()2arctan F x x =. 4 广义积分0d e +ex xx+∞-=⎰（）（Ａ）2π；（Ｂ）4π；（Ｃ）发散；（Ｄ）π. 5 设()f x 连续，且2140()d 1x f t t x -=-⎰，则(8)f = （）（Ａ）108；（Ｂ）48；（Ｃ）18；（Ｄ）８二、填空题（每题3分，共15分） 1 若反常积分11q dx x +∞⎰发散，则必有q _____；反常积分10=⎰_________. 2 131(cos )cos x x xdx -+=⎰_________． 3240sin ______.xdx π=⎰4 1000sin ()xdx t dt dx -=⎰____________；5 0x →时，3x ⎰是x αβ的等阶无穷小，则____,_____.αβ==三、解答题（每题5分，共40分）1求03[ln(1sin )]limxx t t dtx →+-⎰。

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