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定积分的变上限求导法定积分是微积分中的一个重要概念，在数学、物理、化学等学科中有广泛应用。
在实际中，我们经常会遇到定积分的变上限求导问题，本文将介绍定积分的变上限求导法。
一、定义首先，我们需要了解定积分的定义。
对于一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$x$的任意分割可以写成$a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b$区间$[x_{i-1},x_i]$的长度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$x_i$点处的函数值为$f(x_i)$，则$[x_{i-1},x_i]$的面积为$f(x_i)\times\Delta x_i$。
所以区间$[a,b]$的面积可以近似表示为$S_n=\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i$当$x$的分割无限细时，即$\Delta x_i\to 0$，$n\to \infty$时，所求面积就是定积分，可以表示为：$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i$其中，$a$和$b$分别是积分的下限和上限，$dx$是区间长度的微元，可以理解为$\Delta x$在$n\to \infty$时的极限。
二、变上限的求导法现在考虑定积分的变上限求导问题。
假设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，$c$是$[a,b]$内的一个定值，定义函数$F(x)=\int_c^xf(t)dt$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续可导，并且有$F'(x)=f(x)$。
证明：可知$\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=\dfrac{1}{h}\int_c^{x+h}f(t)dt-\dfrac{1}{h}\int_c^xf(t)dt=\dfrac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt$在$h\to 0$时，上式变为$F'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt=f(x)$因此$F(x)$在$[a,b]$上连续可导，并且有$F'(x)=f(x)$。
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt=⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量在积分区间上变动。
t ],[x a （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果在上连续，则在（a ，b ）上可积，而可积，则)(x f ],[b a )(x f )(x f 在上连续。
⎰=xa dt t f x F )()(],[b a 定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在（a ，b ）上可积。
)(x f ],[b a )(x f 定理3如果在上连续，则在上可导，而且有)(x f ],[b a ⎰=xa dt t f x F )()(],[b a ).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：)(x f 可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是连续的。
)(x f )(x f ' （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 <变上限积分改变上下限，变号。
>)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 <上限是复合函数的情况求导。
>)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 <上下限都是变的时候，用上限的减去)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰下限的。
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
对积分上限函数求导换元法1 换元法求导在微积分学中，换元法是一种用于求解积分和求导的技巧。
其中，求导换元法是指通过应用连锁法则来求解一些很难直接求导的函数。
1.1 基本思想求导换元法的基本思想是，将复杂的函数表示成一个较简单的函数的复合形式，然后应用链式法则来求解导数。
具体来说，我们假设函数$f(u)$在某个区间内可导，而另一个函数$y=g(x)$又在该区间内可导。
则，如果$f$是一个复合函数，满足$f(u)=f(g(x))$，那么，$f$的导数可以表示为：$$ \frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\frac{du}{dx} $$此处，链式法则用于求解$f$的导数，其中$\frac{df}{du}$和$\frac{du}{dx}$分别表示$f$对$u$求导和$u$对$x$求导。
1.2 求解方法在实际的计算中，我们通常需要先找到一组合适的变量替换，使得原函数能够表示成一个容易求导的形式，然后再应用链式法则来求解导数。
比如，对于一个积分上限为$x$的积分，$$ F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt $$我们可以通过引入一个新的变量$u=g(x)$来简化它，即$$ F(x)=\int_{0}^{g(x)}f(t)dt $$接着，我们可以利用链式法则来求解$F$的导数：$$ \frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{g(x)}f(t)dt=\fr ac{d}{dx}[F(g(x))] $$因此，我们只需要求出$F$关于$u$的导数$\frac{d}{du}F(u)$和$u$关于$x$的导数$\frac{du}{dx}$，就可以得到$F$关于$x$的导数。
1.3 例子接下来，我们将通过一个具体的例子来演示求导换元法的使用。
假设我们要求解函数$$ F(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}}\frac{dt}{1+t^4} $$的导数。
这里，积分上限是函数$x$的平方根。
积分上限函数的求导及应用本文介绍了积分上限函数的概念、性质，求导数的方法。
标签：积分上限函数;连续函数;可导课堂教学是教学各个环节中最重要的一环，它是给学生传授知识的重要手段之一。
课堂教学的目的，不仅在于给学生讲清书本上的内容，更重要的是培养学生分析问题、解决问题的能力。
因此，我们必须在深刻理解、钻研教材的基础上，全局考虑，根据认识规律去组织教材，提出问题，逐步分析和解决问题，从而培养提高学生的思维能力。
下面就自己在积分上限函数教学中的一点体会作一介绍。
积分上限函数的概念、性质，不仅是微积分学基本理论（Newten—Leibniz 公式）的证明工具，也是学习概率数理统计的基础。
然而，学生对这一部分内容却感到十分棘手，难以理解和掌握。
为了使这一较难的问题能轻松愉快地解决，在讲授这部分内容时，首先自己讲授书本内容，然后引导学生思考，从而将问题转化，最后总结出易理解和掌握的结果。
积分上限的函数，我们主要讲清其概念及性质。
x∈[a，b]定义：设函数f（x）在区间[a，b]上连续，对于任意的，f（x）在区间[a，x]上也连续。
所以函数f（x）在[a，x]上也可积。
定积分f（t）dt的值依赖上限x，因此它是定义在[a，b]上的x的函数，记φ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]则φ（x）=f（t）dt称为积分上限的函数。
由上述定义知x∈[a，b]，且对于任意一个x，都有一个确定的f（t）dt与之对应，故f（t）dt是上限的一个函数，记作φ（x），即φ（x）=f（t）dt x∈[a，b]对于函数φ（x），学生们往往弄不清t的变化范围，课堂上借助几何图形（图1）说明并标明变量x、t的取值范围（图2），这样就较易了解掌握了。
<E：＼书＼排版＼中小企业管理与科技·上旬刊201601＼文件＼172-1.jpg>图1<E：＼书＼排版＼中小企业管理与科技·上旬刊201601＼文件＼172-2.jpg>图2函数φ（x）具有下列重要性质：定理1：设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数φ（x）=f（t）dt在区间[a，b]上可导，并且它对上限的导数就等于被积函数在上限处的值，即φ′（x）=f（t）dt=f（x）或dφ（x）=f（x）dx为给出此定理的证明，首先应引导学生将问题转化，即=f（x），实际上原问题有两部分，一是“存在性”;二是“导数值”。
