- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?
隐函数求导法则: 视 y=y(x) , 应用复合函数的求导法直接对方程
F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数.
2/18
例1 求由方程 xy ey - e 0 所确定的隐函数 y y(x)
2 x4
1)
.
9/18
三、由参数方程所确定的函数的导数
若
x (t)
y
(t
)
可确定
y 与 x 间的函数关系 ,
称此函数为由此参数方程所确定的函数 .
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
得 , 此参数方程确定的函数 y t 2 ( x )2 ,
即 y y(x) x2 .
(2) 含有较多的乘、除、乘 方、开方运算的函数。
6/18
例4 设 y xsin x ( x 0) , 求 y .
解 等式两边取对数, 得 ln y sin x ln x ,
上式两边对 x 求导 , 得
1 y cos x ln x sin x 1 ,
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
22
的切线方程及法线方程 .
解 视 y y( x) , 方程两边对 x 求导, 得
3x2 3 y2 y 3 y 3xy,
y ( 3, 3) 22
y x2 y2 x
33 (,)
22
1.
于是，所求切线方程为 y 3 ( x 3) , 即 x y 3 0 .
2
2
法线方程为 y 3 x 3 , 即 y x .
y( x) dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
y(t) , x(t )
dt dy
y { x
y(t ) x(t)
确定
y
y( x)的求导法 :
dy dx
dt dx
y(t ) x(t )
dt
11/18
例7
求摆线
x a(t sin t)
y
a(1
cos
t
)
在 t
2
时的切线方程。
上式两边对 x 求导 , 得
y y
1 2
1 x
x
2x 2
1
2 (x 1)
2 x2
,
y' 1 2
x(x2 1) (x 2)(x 1)2
1 x
x
2
2
x
1
2 (x 1)
1 x2
.
8/18
例6 设
y
( x 1) 3 ( x 4)2
x ex
1
,
解
(D (, 4) (4, ) ,
求 y .
函数不恒正.)
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
10/18
对
x
y
x(t) y(t )
t It,
若
x x(t)
在上
I
单调、可导且
t
x(t ) 恒不为零
x x(t ) 在对应的 I x上有可导的反函数 t t 1( x); 又若 y y(t) 在 It 上可导 ,
y y(t ) y(t 1( x)) y( x) 在 I x 上可导 , 且
解 dy y(t) a sin t sin t , dx x(t) a a cos t 1 cos t
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
1.
2
例8
求
x
y
a cos3 a sin3
t t
表示的 y y(x) 的导数 .
解
dy y(t) dx x(t)
3a sin2 t cos t 3a cos2 t( sin t)
2
2
注 本例中的方程形为 F(x, y)=G(x, y), 其确定的y=y(x)
的求导方法仍然是...。
4/18
例3 设 x4 xy y4 1, 求 y'(x) 在点 (0,1) 处的值 .
解 方程两边对 x 求导, 得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
法一：得y' y 4x3 4 y3-x
tan t ,
12/18
例9
求椭圆线
x a cos t
y
b
sin
t
(0 t 2 )在 t 时的切线方程。
4
解 dy y(t) b cos t b cot dx x(t) a sib cos
a
sin
4
b a
4
又当 t 时, x a cos a , y b sin b ,
高等数学
第二节_2 隐函数的导数及由参数方程所 确定的函数的导数
一、 隐函数的导数 二、 对数求导法 三、 由参数方程所确定的函数的导数 四、 小结、作业
1/18
一、隐函数的导数
由方程 F( x, y) 0 所确定的函数 y y( x) 称为隐函数 .
y f ( x) 形式的函数称为显函数.
y x0
y 1
1 4
;
法二：直接将 x 0、y 1代入（1），得
y x0
y 1
1 4
;
5/18
二、对数求导法 ——利用隐函数求导法求显函数导数的方法。
对数求导法： 先对 y=f(x)（>0）两边取对数(或加绝对值后
两边取对数), 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
适用范围:
(1) 幂指型函数 u( x)v( x) ,
4
42
42
得 所求切线方程为
y b b (x a ), 即 bx ay 2ab 0 .
2a
2
13/18
等式两边取绝对值再取对数，得
ln | y | ln | x 1 | 1 ln | x 1 | 2ln | x 4 | x , 3
上式两边对 x 求导 , 得
y 1 1 2 1 , y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1) 3 ( x 4)2
x1 1
ex
( x1
1 3( x 1)
的导数 dy , dx
dy dx
x0.
解 视 y y( x), 方程两边对 x 求导, 得
y x dy dx
e y dy 0
dx
解得
dy dx
y x ey
,
由原方程知 x 0 时, y 1,
dy dx
x0
y x ey
x0 y 1
1.
3/18
例2 设曲线 C 的方程为 x3 y3 3xy, 求过 C 上点 ( 3 , 3 )
xsin x (cos x ln x sin x ) . x
问： 能否用显式求导法求出（xsin x） ?
7/18
例5
设
x(x2 1) y (x 2)(x 1)2 ,
解
求 y.
等式两边取绝对值再取对数，得
ln | y | 1 [ln | x | ln(x2 1) 2 ln | x 1| ln | x 2 |] , 2
