下载文档原格式
第二节 导数运算复习目标学法指导能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,并了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y=f(ax+b)的复合函数)的导数.1.熟记基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,是解决复杂导数问题的基础.2.注意导数的运算法则的符号.3.复合函数求导,要分清复合函数的结构,恰当引入中间变量,将复合函数分解成较为简单的函数,然后求导.一、导数的运算法则1.[f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g ′(x).2.[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x).3.[()()f xg x ]′=()()()()()2f xg x f x g x g x ''-⎡⎤⎣⎦(g(x)≠0).二、复合函数的导数复合函数y=f(ax+b)的导数和函数y=f(u),u=ax+b的导数间的关系为y x′=[f(ax+b)]′=af′(u).与导数运算有关的结论(1)若c为常数,则[cf(x)]′=cf′(x);(2)[f1(x)+f2(x)+…+f n(x)]′=f′1(x)+f′2(x)+…+f′n(x);(3)[f1(x)·f2(x)·f3(x)·…·f n(x)]′=[f′1(x)·f2(x)·f3(x)·…·f n(x)]+[f1(x)·f′2(x)·f3(x)·…·f n(x)]+[f1(x)·f2(x)·f′3(x)·…·f n(x)]+…+[f1(x)·f2(x)·f3(x)·…·f′n(x)];(4)设y=f(u),u=g(x),则复合函数y=f(g(x))的导数为y′x=y′u·u′x.1.曲线y=13x3-2在点(-1,-73)处的切线的倾斜角为( B )(A)30°(B)45°(C)135° (D)-45°2.曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( C )(A)2e (B)e (C)2 (D)1解析:对y=xe x-1求导,得y′=e x-1+xe x-1,由导数的几何意义,得所求切线的斜率k=y′|x=1=2,故选C.3.若函数f(x)的导函数的图象关于原点对称,则函数f(x)的解析式可能是( A )(A)f(x)=3cos x (B)f(x)=x3+x2(C)f(x)=1+2sin x (D)f(x)=e x +x解析:A 中f ′(x)=-3sin x 为奇函数,B 中 f ′(x)=3x 2+2x 非奇非偶函数,C 中f ′(x)=2cos x 为偶函数,D 中f ′(x)=e x +1非奇非偶函数. 故选A.4.已知函数f(x)=x 3-3x,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程是 ;函数f(x)在区间[0,2]内的值域是 . 解析:函数f(x)=x 3-3x,切点坐标(0,0),导数为y ′=3x 2-3,切线的斜率为-3,所以切线方程为y=-3x; 3x 2-3=0,可得x=±1,x ∈(-1,1),y ′<0,函数f(x)是减函数,x ∈(1,+∞),y ′>0,函数f(x)是增函数,f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2, 函数f(x)在区间[0,2]内的值域是[-2,2]. 答案:y=-3x [-2,2]5.已知函数f(x)=(ax+1)ln x,f ′(x)为f(x)的导函数,若f ′(1)=3,则实数a 的值为 .解析:根据题意,f ′(x)=1 ax x +aln x,所以f ′(1)=a+1=3,故a=2. 答案:2考点一 导数的四则运算 [例1] 求下列各函数的导数. (1)y=4x+1x ; (2)y=e x sin x;(3)y=ln xx;(4)y=cos(2x+5).解:(1)y=4x+1x ,则y′=4-21x.(2)y=e x sin x,则y′=e x sin x+e x cos x.(3)y=ln xx ,则y′=21ln xx-.(4)y=cos(2x+5),则y′=-sin(2x+5)·(2x+5)′=-2sin(2x+5).导数的计算方法(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导. 求满足下列条件的函数f(x).(1)f(x)是三次函数,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0;(2)f(x)是二次函数,且x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.解:(1)由题意设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c,由已知得()()()()03,00,1323,21240.⎧==⎪'==⎪⎨'=++=-⎪⎪'=++=⎩f df cf a b cf a b c解得a=1,b=-3,c=0,d=3,故f(x)=x 3-3x 2+3.(2)由题意设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0), 则f ′(x)=2ax+b.所以x 2(2ax+b)-(2x-1)(ax 2+bx+c)=1, 化简得(a-b)x 2+(b-2c)x+c=1, 因为此式对任意x都成立,所以,2,1,=⎧⎪=⎨⎪=⎩a b b c c解得a=2,b=2,c=1, 故f(x)=2x 2+2x+1.考点二 导数运算的综合问题[例2] (1)设曲线y=11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2(2)设函数f(x)在R 上可导,f(x)=x 2f ′(1)-2x+1,则f(a 2-a+2)与f(1)的大小关系是( )(A)f(a 2-a+2)>f(1) (B)f(a 2-a+2)=f(1) (C)f(a 2-a+2)<f(1) (D)不确定解析:(1)因为y=11x x +-, 所以y ′=-()221x -.因为x=3,所以y ′=-12即切线斜率为-12, 因为切线与直线ax+y+1=0垂直, 直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以-12·(-a)=-1得a=-2.故选D.(2)由题意,f ′(x)=2f ′(1)x-2,则f ′(1)=2f ′(1)-2,可得f ′(1)=2,则f(x)=2x 2-2x+1,由二次函数性质可知,函数f(x)在(12,+∞)上单调递增,因为a 2-a+2=(a-12)2+74>1>12,所以f(a 2-a+2)>f(1),故选A.[例3] (1)设函数f(x)=g(x)+x 2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率是( )(A)4 (B)-14 (C)2 (D)-12(2)已知曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则a= .解析:(1)由导数的几何意义,得g ′(1)=2,求导函数得 f ′(x)=g ′(x)+2x,k=f ′(1)=g ′(1)+2=4,故选A. (2)法一 因为y ′=1+1x , 所以y ′|x=1=2,所以y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1), 所以y=2x-1.又切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切, 当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a ≠0,由()221,21,y ax a x y x ⎧=+++⎪⎨=-⎪⎩得ax2+ax+2=0,因为Δ=a2-8a=0,所以a=8.法二因为y′=1+1x,所以y′|x=1=2,所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1), 所以y=2x-1,又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a≠0.因为y′=2ax+(a+2),所以令2ax+a+2=2,得x=-12,代入y=2x-1,得y=-2,所以点(-12,-2)在y=ax2+(a+2)x+1的图象上,故-2=a×(-12)2+(a+2)×(-12)+1,所以a=8.答案:(1)A (2)8[例4] 设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.(1)求a,b之间的关系;(2)求ab的最大值.解:(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,设C1与C2的一个交点为(x0,y0),由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直.所以(2x 0-2)·(-2x 0+a)=-1, 即420x -2(a+2)x 0+2a-1=0,①又点(x 0,y 0)为C 1与C 2的交点,故有200020022,,y x x y x ax b ⎧=-+⎪⎨=-++⎪⎩ ⇒220x -(a+2)x 0+2-b=0.②由①②消去x 0,可得a+b=52.(2)由(1)知,b=52-a, 所以ab=a(52-a)=-(a-54)2+2516. 所以当a=54时,(ab)max =2516. 曲线f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程为Ax+By+C=0有三层含义:一是点在曲线上,二是点在切线上,三是函数f(x)在点x=x 0处的导数等于切线的斜率,即f ′(x 0)=- A B .1.若函数f(x)满足f(x)=13x 3-f ′(1)·x 2-x,则f ′(2)的值为( A ) (A)3 (B)1 (C)0 (D)-1 解析:f ′(x)=x 2-2f ′(1)x-1,令x=1,得f ′(1)=-2f ′(1) ,解得f ′(1)=0, 所以f ′(x)=x 2-1. 所以f ′(2)=3. 故选A.2.设函数f(x)=ax 3+3x,其图象在点(1,f(1))处的切线l 与直线x-6y-7=0垂直,则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为( B )(A)1 (B)3 (C)9 (D)12解析:f′(x)=3ax2+3,由题设得f′(1)=-6,所以3a+3=-6,a=-3,所以f(x)=-3x3+3x,f(1)=0,切线l的方程为y-0=-6(x-1),即y=-6x+6.所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12×1×6=3.故选B.3.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为( C )(A)2 (B)-1 (C)1 (D)-2解析:因为y=x3+ax+b,所以y′=3x2+a;由题意得13,3,13,ka ka b+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩解得2,1,3,kab=⎧⎪=-⎨⎪=⎩则2a+b=-2+3=1.故选C.4.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点,则P点处切线倾斜角α的取值范围为( C )(A)[0,π2)∪[5π6,π) (B)[2π3,π)(C)[0,π2)∪[2π3,π) (D)(π2,5π6]解析:因为y′=3x2-3≥-3,故切线斜率k≥-3,所以切线倾斜角α的取值范围是[0,π2)∪[2π3,π).故答案为C.类型一导数的计算1.设f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),……,f n+1(x)=f′n(x),x∈N,则f2 020(x)等于( C )(A)cos B·cos C=14(B)-cos x(C)sin x (D)-sin x解析:根据题意,f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x)=cos x,f2(x)=f′1(x)=-sin x,f3(x)=f′2(x)=-cos x,f4(x)=f′3(x)=sin x,则有f0(x)=f4(x),f1(x)=f5(x),……则f2 020(x)=f4(x)=sin x.故选C.2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),满足f(x)=2xf′(2)+x3,则f′(2)等于( B )(A)-8 (B)-12 (C)8 (D)12解析:因为f(x)=2xf′(2)+x3,所以f′(x)=2f′(2)+3x2;令x=2,则f′(2)=2f′(2)+12,得f′(2)=-12.故选B.类型二导数运算的综合问题3.直线y=12x+b与曲线y=-12x+ln x相切,则b的值为( A )(A)-1 (B)-2 (C)-12(D)1解析:设切点为(x0,-12x0+ln x0),则斜率为k=-12+1x,由题意知-12+1x=12,所以x0=1.所以切点为(1,-12),又因为切点在切线y=12x+b上,所以-12=12+b.所以b=-1.故选A.4.已知f′(x)是函数f(x)的导函数,如果f′(x)是二次函数,f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为那么曲线y=f(x)上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( B )(A)(0,π3] (B)[π3,π2)(C)[π2,2π3] (D)[π3,π)解析:由题意知f′(x)=a(x-1)2所以f′(x)=a(x-1)2即tan所以α∈[π3,π2).故选B.5.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.解析:y′=3(x2+3x+1)e x,故切线斜率k=y′|x=0=3,故切线方程为y=3x. 答案:y=3x6.已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是.解析:根据导数的几何意义及图象可知,曲线y=f(x)在点P 处的切线的斜率k=f ′(2)=1,又过点P(2,0),所以切线方程为x-y-2=0. 答案:x-y-2=07.已知f(x)=ln x,g(x)=12x 2+mx+72(m<0),直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m 等于 . 解析:因为f ′(x)=1x, 所以直线l 的斜率为k=f ′(1)=1,又f(1)=0,所以切线l 的方程为y=x-1.g ′(x)=x+m,设直线l 与g(x)的图象的切点为(x 0,y 0), 则有00020001,1,17,22x m y x y x mx ⎧⎪+=⎪=-⎨⎪⎪=++⎩又m<0,于是解得m=-2.答案:-28.已知函数f(x)=12x 2-aln x,(a ∈R). (1)若y=f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b 的值;(2)若f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a 的取值范围.解:(1)因为f ′(x)=x-a x(x>0), 又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以2ln 22,21,2a b a -=+⎧⎪⎨-=⎪⎩所以2,2ln 2.a b =⎧⎨=-⎩(2)因为f(x)在(1,+∞)上为增函数,所以f ′(x)=x-a x≥0在(1,+∞)上恒成立. 即a ≤x 2在(1,+∞)上恒成立,所以有a ≤1.。
