第二节 求导法则

f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )

高等数学（上）
推广 设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
dy 例1 y ln tan x ，求 dx .
y
y’
xα
ex
αxα-1
ex
cos x sin x 2 tan x x sec
ax
lnx ln|x| logax sinx
ax lna
1/x 1/x 1/xlna cosx
cot x csc x sec x x tan x sec
2
csc x csc x cot x
高等数学（上）
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f (u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f (u ) ( x ) 或 dx
高等数学（上）
1 x
f ( x) 2 ，求 题、设 f ( x ) 在 x 3 处连续，且 lim x3 x 3 f ( 3 ) = 2
d 1 1 1 题、若 f ( 2 ) , 求f ( ). dx x x 2
= －1
4 3 2
题、确定a , b, c , d的值, 使曲线y ax bx cx d 与y 11x 5在点(1,6)处相切, 经过点( 1,8)并在 点(0,3)处有一水平的切线 .
y 1 1 f ( x ) lim lim x 0 x y 0 x ( y )

数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设 ，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x

g[ f ( x )] g[ f ( x )]

f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x


e
x ln x


e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:

设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x=0
.
方程两边对x 方程两边对 求导, dy dy y + x − ex + ey =0 dx dx
dy e x − y 解得 , = y dx x + e
dy ∴ dx
x=0
由原方程知 x = 0, y = 0,
y= x
sin x
.
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形 .
( x + 1)3 x − 1 例1 设 y = , 求y′ . 2 x ( x + 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
∴ (a )′ =
x
1 (log a y ) ′
= ylna = a x ln a
即：
特别地：
(a )′ = a x ln a
x
(e )′ = e
x
x
三、复合函数的求导法则
定理
如 函 u = ϕ(x)在 x0可 , 而 = f (u) 果 数 点 导 y 在 u0 = ϕ(x0 )可 , 则 点 导 复合 数 y = f [ϕ(x)]在 函 点 x0可 , 且 导 其导 为 数 dy dx

且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs

(cosx) cos2 x

sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh

第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
1 1 1 1 (arcsin x )' 2 2 (sin y )' cos y 1 sin y 1 x
有
dy dx
x x0
f ( u0 ) ( x0 )
即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导 ,乘以中间变量对自变量求导.
16
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.且
dy dy du . dx du dx
sin x x 1 cos x
15
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
二.复合函数的导数
定理2. 2. 3 设函数 y = f (u) 与u = (x)可以复合 成函数y=f [(x)] ，如果u = (x)在x0可导，而 y = f (u) 在对应的u0= (x0)可导，则函数y=f [(x)]在 可导，且
( C ) 0
1 ( x ) x
( sin x ) cos x
(cos x ) sin x
( arcsin x )
( a x ) a x ln a
( arccos x )
( e ) e
x
x
( arctan x ) ( arc cot x )
9
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算

微
积
分
例1(3). y x ( x 3 4 cos x sin 1) ,
3 ( x 4 cos x sin 1) 解: y ( x )
2 x 1 ( x 3 4 cos x sin 1) x (3x2 +4sinx) 2 x 1 y x 1 (1 4 cos1 sin 1) ( 3 4 sin 1) 2 7 7 sin 1 2 cos1 2 2
微
积
分
第三章
第二节 求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则
四、初等函数的求导问题
微
积
分
第一节根据导数的定义已经求出了一些简
单函数的导数。但对于比较复杂的函数，直接
用定义求其导数往往比较困难。
本节将介绍求导数的几个 基本法则和基本
初等函数的导数公式，利用这些法则和公式，
h v( xC h v( xC ) v ) 推论: ( C为常数 ) 2
v ( x h) v ( x ) u ( x h) u ( x ) v ( x ) u ( x) h h
v
v
微
积
分
例3. 求证
sin x (sin x) cos x sin x (cos x) 证: (tan x) cos2 x cos x

1
x ( x 3 4 cos x sin 1)
( x 3 4 cos x sin 1) x （ -（4cosx） -(sin1) ] [ x3）
微
积
分
例2. 解:
y a cos x ln x,

3 x 2 − y − xy′ + y′ cos y = 0
3x 2 − y y′ = x − cos y
例2-16 已知 x4 + xy – 2y2 = 0，求 y′ | x=1 ， ′ 解 方程两边同时关于自变量 x 求导得 所以
4 x 3 + y + xy′ − 4 yy′ = 0
4x + y y′ = 4y − x
dy = f ′(u ) ⋅ g ′( x) dx
的导数。 例2-13 求函数 y = sin3x 的导数。 解 设 y =u3，u = sin x 则根据法则 2-4 得
y′ = (u 3 )′ ⋅ (sin x)′x = 3u 2 ⋅ cos x = 3sin 2 x ⋅ cos x u
的导数。 例2-14 求函数 y =cot[ ln(x2-5x+6)]的导数。 的导数 则根据法则2-4得 解 设 y = cot u, u = ln v, v = x 2 − 5 x + 6 ，则根据法则 得 1 2 2 y′ = (cot u )′ ⋅ (ln v)′ ⋅ ( x − 5 x + 6)′x = − csc u ⋅ ⋅ (2 x − 5) u v v 1 2 2 = − csc [ln( x − 5 x + 6)] ⋅ 2 ⋅ (2 x − 5) x − 5x + 6
3
当 x =1 时，1+y - 2y2 = 0 , y =1 或 y =-1/2 ，所以 1 4− 4 +1 5 2 = −7 y′ x =1 = = 或 y′ x =1 = 4 −1 3 −2 − 1 6
（二）参数方程的求导公式 表示时， 当函数关系用参数方程 x = ϕ (t ) 表示时，

可推广到任意有限项的情形.
(2) (uv)′ = u′v + u v′
证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有
f (x + h) − f (x) u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x) f ′(x) = lim = lim h→0 h→0 h h
u(x + h) −u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) − v(x) = lim h→0 h h

例2. 求证
′ sin x (sin x)′ cos x − sin x (cos x)′ 证: (tan x)′ = = cos 2 x cos x
cos x + sin2 x = sec2 x = 2 cos x
2
′ 1 −(cos x)′ = sinx (sec x)′ = = 2 cos2 x cosx cos x
注：此法则可推广到多个中间变量的情形. ：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例如,
y
dy dy d u dv = ⋅ ⋅ dx d u dv dx
u v x
= f ′(u) ⋅ϕ′(v) ⋅ψ′(x)
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例4. 求下列各函数的导数. 求下列各函数的导数. 解:
= f ′( ln cos(ex ) )⋅ [−ex tan( ex )]
含义不同
f ′(u) u=lncos(ex )
例12. 设下列各函数的导数
(1) y = f [ f (sin x)] ; (2) y = f (ln x)e f (x) .
解：(1) y′ = f ′[ f (sin x)] ⋅ f ′(sin x) ⋅ cos x

16
五、基本求导法则与导数公式
1. 常数和基本初等函数的导数
(C) 0
(x ) x1
(sin x) cos x (tan x) sec2 x
(cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
6
（2）(uv) uv u v
证: 设 f (x) u(x)v(x) , 则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h

lim
h 0
u(
x

h) h


v(x)
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
(loga
x)

1 x ln a
(arcsin x) 1
1 x2
(arctan
2019/7/11
x)

1 1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arccot x) 1
1 x2
17
x)

1 x ln
a
(a 0, a 1)
（8）(ln x ) 1 x
2019/7/11
3
但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它 们的导数往往很困难.
例如，求下列函数的导函数：
（1） y x3 ax 2cos x ； （2） y arctan x ；
（3） y e 12x ；

= 2(cos2 x − sin 2 x ) = 2 cos 2 x 注意到 y = sin 2 x y = sin u, u = 2 x
y′ = cos u u′ = 2 u x y′ ⋅ u′ = 2 cos u = 2 cos 2 x = y′ u x x
由以上两例可见： 由以上两例可见：由 y = f ( u ), u = ϕ ( x ) 复合 而成的函数 y = f [ϕ ( x )] 的导数 y′ 恰好等于 y x ′ 对中间变量 u 的导数 yu 与中间变量 u 对自变量 x 的导数 u′ 的乘积 x
同理可得
(arccos x)′ = −
1 1− x
2
.
1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x
1 ( arc x)′ = − cot . 2 1+ x
三、复合函数的求导法则
前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经 基本初等函数经 前面我们已经会求简单函数 有限次四则运算的结果的导数， 有限次四则运算的结果的导数，但是像
y′ = y′ ⋅ u′ x u x
——这就是链式法则 这就是
y 果 数 点 导 定理 如 函 u = ϕ(x)在 x0可 , 而 = f (u) 点0 在 u = ϕ(x0)可 , 则 合 数y = f [ϕ(x)]在 导 复 函 点 x0可 , 且 导 为 导 其 数 dy ′ 0 x=x0 = f ′(u )⋅ ϕ (x ). 0 dx
注
链式法则——“由外向里，逐层求导” 由外向里，逐层求导” 链式法则 由外向里
推广 设 y = f ( u), u = ϕ (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数 y = f {ϕ [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx 例6 求 数y = lnsin x的 数 函 导 .